Tema 3.d TRANSFORMACIONES PROYECTIVAS:

HOMOLOGÍA Y AFINIDAD.

TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS:

1. PROYECTIVIDAD: TRANSFORMACIONES PROYECTIVAS.

1.1. HOMOGRAFÍA.

1.1.1. HOMOLOGÍA.

1.1.1.1.1. AFINIDAD.

PROYECTIVIDAD

Además de la clasificación anterior, podemos diferenciar las transformaciones proyectivas, que son las que se

producen por proyección y sección.

Proyectar consiste en hacer pasar por un elemento cualquiera una recta o plano que al intersecar con una recta

o plano de proyección definirá la proyección del elemento, llamada sección. Podemos proyectar desde un punto

(centro de proyección) o desde una recta (recta de proyección).

Aquí aparecerán los elementos IMPROPIOS (punto, recta o plano), que son los que se encuentran en el infinito.

HOMOGRAFÍA

Es una transformación geométrica que hace corresponder elementos de la misma especie (punto con

punto, recta con recta…) de tal manera que a puntos y rectas incidentes de una figura le corresponden

puntos y rectas incidentes de la otra. La homología, la afinidad, la homotecia, la traslación, la simetría y el

giro son transformaciones homográficas.

HOMOLOGÍA

Es una transformación geométrica homográfica que tiene un centro de homología con el que se encuentran

alineados todos los puntos homólogos y una recta u eje de homología, que es una recta doble, es decir,

formada por puntos que en la transformación coinciden con ellos mismos. Puede desarrollarse en el plano o

en el espacio. Ahora la estudiaremos en el plano.

http://www.educared.org/wikiEducared/Transformaciones_geom%C3%A9tricas_basadas_en_la_proporcion

alidad_directa.html

Dos puntos homólogos A y A’, están siempre alineados con el centro de homología, incluso si uno

de ellos es impropio (cuando está en el infinito).

Dos rectas homólogas se cortan en una recta llamada eje de homología, que es el único lugar de la

homología donde se encuentran puntos dobles exceptuando el centro de homología.

1. RECTAS LÍMITES

Son el lugar geométrico de los puntos homólogos de los del infinito del plano determinado por la figura. Son

dos rectas paralelas al eje. La distancia de una de ellas al eje es la misma que la de la otra al centro. Pueden

estar las dos entre el centro y el eje, o las dos por fuera de ellos. Si dos rectas límites coinciden, la razón de

homología es -1, lo que se denomina involución.

Para resolver una homología necesitamos una serie de datos, que se pueden combinar de muchas

maneras:

1.1. DADOS EL CENTRO, EL EJE Y UN PAR DE PUNTOS HOMÓLOGOS. importante

http://trazoide.com/homologia_999.htm

http://trazoide.com/homologia_990.htm

1.2. DADOS DOS PARES DE PUNTOS HOMÓLOGOS Y LA DIRECCIÓN DEL EJE DE HOMOLOGÍA. Ver

fotocopias.

1.3. TRES PARES DE PUNTOS HOMÓLOGOS importante

http://www.youtube.com/watch?v=X3xrT6-6Xj0&feature=related

1.4. El CENTRO, DOS PUNTOS HOMÓLOGOS Y OTRO DATO importante

http://trazoide.com/homologia_992.htm

1.5. EL CENTRO, EL EJE Y UNA RECTA LÍMITE.

http://www.youtube.com/watch?v=PEEiCRioNOk

http://trazoide.com/homologia_988.htm

http://trazoide.com/forum/viewtopic.php?f=8&t=348&p=1063#p1063

http://trazoide.com/homologia_987.htm

http://trazoide.com/homologia_995.htm

2. HOMOLOGÍAS ESPECIALES

2.1. Cuando el eje y el centro de homología son impropios, la transformación que aplicamos es

una traslación, vista en la primera parte de este tema (apuntes 3.a)

2.2. Si sólo el eje de homología es impropio, la transformación que aplicamos es una homotecia,

vista en la segunda parte de este tema (apuntes 3.b)

2.3. Si sólo el centro de homología es impropio, la transformación que aplicamos es una

afinidad, que veremos a continuación.

HOMOLOGÍA AFÍN o AFINIDAD

Es una transformación geométrica en la que el centro de homología es impropio; por lo tanto todas las

rectas que unen pares de puntos homólogos son paralelas entre ellas y a una dirección llamada dirección de

afinidad, que sustituye al centro de homología.

Tal dirección puede se oblicua, perpendicular o paralela al eje.

En la afinidad no existen rectas límites.

El coeficiente de afinidad k es la relación que une dos puntos homólogos con el eje. K= MA/MA´= NB/NB´

3.1. AFINIDAD DADO UN PUNTO Y SU AFÍN Y EL EJE DE AFINIDAD. Importante

http://www.youtube.com/watch?v=5ydyH372R_c&feature=related

http://trazoide.com/forum/viewtopic.php?f=8&t=1734&start=0

3.2. FIGURA AFÍN A OTRA DADA. Importante

http://trazoide.com/forum/viewtopic.php?p=4435#p4435

http://trazoide.com/afinidad_995.htm

http://trazoide.com/forum/viewtopic.php?f=8&t=2855&start=0

http://trazoide.com/afinidad_980.htm

3.3. AFINIDAD DADO UN PUNTO, LA DIRECCIÓN Y LA RAZÓN DE AFINIDAD. En el ejercicio sólo se realiza

la afinidad del centro de la circunferencia, como si ésta no existiera.

http://www.youtube.com/watch?v=jlV7jkN6Mb8&feature=related

http://trazoide.com/afinidad_987.htm

3.4. RECTAS PERPENDICULARES POR PUNTO AFÍN.

http://trazoide.com/afinidad_986.htm

3.5. ELIPSE AFÍN A CIRCUNFERENCIA

http://trazoide.com/afinidad_997.htm