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________________ ____ MATEMATICA
1
TEMA 1POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN
1I.- Potenciación: Es la operación que consiste en repetir un número llamadobase tantas veces como indica otro número llamado exponente, al resultado deesta operación se le llama potencia.
a = basen = exponente an= pp= potencia
2.- Leyes de Exponentes
an.am=an+m nmn
m
aaa -=
(a.b)n=an.bnn
nn
ba
ba
=÷øö
çèæ
nn
aa 1
=-nn
ab
ba
÷øö
çèæ=÷
øö
çèæ
-
(an)m=anm ( )( ) abba
=úûù
êëé mnnm aa
3.- Radicación: La raíz n-ésima de una expresión a, llamada radicando; es otraexpresión talque esta raíz elevada a n, nos da el radicando a, es decir:
nn baba =«= También se tiene que:
nm
n m aa =bab a = nn aa
EJERCICIOS
1. Hallar el valor numérico de:355351 212 123 ++=A
2. Calcular:
S =
2222222222=S
3. Simplificar:
7727
798172
1
02
+×+
++×=
+
-
xx
xx )(P
4. Al reducir:
xx
xx
..E332323
1
12
-+
= +
++
5. Reducir:
33
5
2
22
++
= nn n
n nnn
a
a.aE
6. Simplificar:
20 11
3 4 53 4 5
-=
a
a.a.a.aD
7. Hallar el menor valor que cumple con la siguiente igualdad:
31255 12
=+x
8. Hallar “x” si:
273233 =
-x
Dar como respuesta el valor de:
112
+++
=x
xxEx
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2
9. Hallar “n” en:
( )2555 63
aan
=10. Calcular “x” si:
9033 31 22
=+ ++ xx
11. Calcular:
nnn
n .R 2312
38
2512565
++
+
+=
12. Si 33
=xx , hallar x6
13. Hallar “x” si:
2561
=+xxx
14. Calcular “n” si:
20
351
321
311
aa.a...........a.........a....
n
vecesn43421
÷øö
çèæ -
÷øö
çèæ -
÷øö
çèæ -
úúú
û
ù
êêê
ë
é
úúû
ù
êêë
é;
es igual a 1, donde a ¹ 1
15. Calcular:
111
11
67
78
3737
2222 -
--
--
++
++
++
+++
= nnn
nn
nn
nn
M
16. Sabiendo que: 52 3=nxcalcular:
[ ]444 3444 21
444 8444 76
vecesn
n
veces"n"
x............x.x.x)x(x..............x.x.xA
2
1111
322222
----=
17. Sabiendo que el exponente final de:
4444 34444 21radicales"n"
x............xxx3 3 3 3 2222
es n380
y2nx = , hallar: (n + x)
18. Hallar las tres últimas cifras del exponente final de efectuar:
4444444444 34444444444 21
factores
AAAAA40
1111171111711171177 ...)....(..........).().().(
PROBLEMAS
1. Resolver:
41311
33446
531025651215
......
=E
A) 2 B) 5 C) 3 D) 1 E) N.A.
2. Simplificar:
2x
x2
5
5E--
-=
A) 5 B) 25 C) 125 D) 625 E) 225
3. Si: 5122X83 = , hallar “x”
A) 2 B) –2 C) 3 D) 1/3 E) N.A.
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3
4. Resolver:
( ) ( ) ( )[ ] 5,0322 3/13/122/1E --- ++=
A) 1 B) 3 C) 5 D) 7 E) 99
5. Resolver: 2x – 2x–2 = 3A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) N.A.
6. Reducir:
112
2416E
---
--
úúû
ù
êêë
é=
A) 1/2 B) 2 C) 4 D) 1/4 E) 1/8
7. En1x2x 42 813
-+= , hallar “x”
A) 0 B) 1 C) 2 D) –1 E) –2
8. Hallar”x”:1Xx 48 42
+=
A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) N.A.
9. Hallar “x”:3 4x74 2x13 55 +- =
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) N.A.
10. Si:x2
10x
3
127 =- , hallar “x”
A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) N.A.
11. Reducir:
4x
2x5x
3.3
)3(33E+
++ -=
A) 2/3 B) 4/9 C) 8/9 D) 8/3 E) 1/3
12. Simplificar:4
6 3 94
3 6 9 a.aEúúû
ù
êêë
é
úúû
ù
êêë
é=
A) a2 B) a4 C) a8 D) a16 E) N.A.
13. Si 2x2x = , hallar “x”
A) 2 B) 2 C) 3 2 D) 2–1 E) N.A.
14. Reducir:
nnn
n2n
328
1664E
+
+=
A) 2 B) 4 C) 8 D) 16 E) 64
15. Reducir:
n2n22n
1n
24
4.5E
++
+
+=
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
16. Resolver:
11
11
ba
baabE--
--
+
-=
A) a+b B) a–b C) ab D) a/b E) b/a
17. Hallar “x”2.5x–2 + 2x = 12.5x–3 + 3.2x–3
A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) N.A.
18. Calcular “P”:
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4
P =211
11
42
222aa
aaa
+-
-+
+
++
A) 7/9 B) 7/6 C) 5/7 D) 9/7 E) 8/7
19. Reducir la expresión:
P =1x2x
sumandosx3
33
6666++ -
++++444 8444 76
KK
A) 1 B) 3x C) 2,3x D) 3x+1 E) N.A.
20. Reducir:
N2
22
2.2.2.2.216 16S úûù
êëé=
A) 2 B) 2 C) 4 D) 8 E) 16
21. Hallar “n” en:
777
77834n
n15=
-
--
A) 5 B) 7 C) 9 D) 11 E) 13
22. Hallar”x”:
12822227 1x27 57 37
=-K .
A) 3 B) 5 C) 7 D) 9 E) 11
23. Hallar “x”3x + 3x–1 + 3x–2 + 3x–3 + 3x–4 = 363
A) 1 B) 2 C) 5 D) 6 E) 11
24. Si: 2xxx = ,
hallar el valor de: )x(2xxx
x+×
A) 2 B) 4 C) 8 D) 16 E) N.A.
25. Hallar “x” en:
16y,64y 1x1x
x ==÷÷ø
öççè
æ-+
.
A) 2 B) –1 C) 5 D) 3 E) 4
26. Si:n 2nn n729 xx = , hallar “n”
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
27. Calcular el valor de la expresión:
E =1m21mm25m
m21m1m23m
7.27.2
7.27.2+++
+++
-
-
A) 1 B) 2 C) 3 D) 2m E) 7m
28. Simplificar:
A =2 22
2 22
)2(
)2(-
A) 1 B) 2 C) 4 D) 1/2 E) N.A.29. Si: xm . yn = 10m
xn . ym = 10n
hallar “E”
( )yx
y.xE =
A) 10 B) 10 C) 1010 D)1010 E) 1
30. Reducir:
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5
2nnnnn
nn nn2n
nn nnE
úúû
ù
êêë
é-
úúú
û
ù
êêê
ë
é
=
A) nn B) 1 C) n D) n n E)2nn
31. El exponente de reducir la siguiente expresión es:
x1
1 1xx
1xx
22
xE- +-
úúú
û
ù
êêê
ë
é
úû
ùêë
é=
-
A) 1 B) x4 C) xx D) x x E) N.A.
32. Operar:
ac )cb(
ab )cb(ba )ca(
1
11
x
x.xE
- -
- -- -
-
--
=
A) x C) xa+b+c E) xabc
B) 1 D) xab+ac+bc
33. Hallar”n”:
n
ab
ba
ba
÷øö
çèæ=
-
-
3 21
36
61
21
41
33
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) N.A.
34. Si: 4yxx =+ ;
8x (x+y) = 1024;hallar: x . yA) 24 B) 28 C) 32 D) 256 E) 64
35. Si:21x x
1
=-
;
y dar como respuesta el valor de1x)x4(
-
A) 1 B) 2 C) 4 D) 8 E) N.A
36. Simplificar:
nnnn
nnn
325
61510E
--- ++
++=
A) 10 B) 20 C) 30 D) 40 E) 50
37. Simplificar:
1x
1
1x
1Exyyx -
+-
=--
A) x B) yx C) xy D) xx E) N.A.
38. Resolver:xxx
xxxx
xxE
-----
úúú
û
ù
êêê
ë
é= -
A) x B)x1 C) 1 D) xx E) N.A.
39. Simplificar:
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6
M =4 4 4
7 7 7 444
radicx.x.x
radicxxx
¥
¥¸¸¸
KK
KK
A) x B) x6 C) 6 x D) x E) 3 x
40. Proporcionar la raíz cúbica de “x” si:
96x x x 4x3x2x 4radicales"x"x.x.x =KK
A) 3 B) 2 C) 2 D) 3 3 E) N.A.
TEMA 2
ECUACIONES E INECUACIONES DE PRIMER GRADO
Una ecuación es una relación de igualdad que se establece entre dos expresionesmatemáticas de por lo menos una variable.
Las ecuaciones pueden ser:x3 + 3x2 – 7 = 0 ecuación polinomial
Ecuaciones 02
1=
-+
xxy ecuación fraccionaria
Algebraicas03 =-- zx ecuación irracional
22x – 4x + 1 = 0 ecuación exponencial
Ecuaciones log x – x3 = 0 ecuación logarítmicaTrascendentes
sen x – 8 = 0 ecuación trigonométrica
Clasificación de las ecuaciones según su soluciónA) Ecuación compatible.- Es aquella que tiene al menos un elemento en suconjunto solución.
B) Ecuación compatible determinada.- Es aquella que tiene un número limitado deelementos en su conjunto solución.Ejemplo: x - 3 = 0
c.s. = { 3 }
C) Ecuación compatible indeterminada.- Es aquella que tiene un número ilimitadode elementos en su conjunto solución, es decir su solución son todos los númerosreales.Ejemplo: ( x – 3 ) = x – 3
x = x 0x = 0 c.s. = R
D) Ecuación incompatible.- Es aquella que no tiene ningún elemento en suconjunto solución, es decir su solución es el vacío.Ejemplo: x – 4 = x + 5
0x = 9 c.s. = f
PROBLEMAS
1. Hallar “x” en: 3x – 4 (x + 3) = 8x + 6A) –2 B) –1 C) –3 D) 2 E) 1
2. Hallar “x”: 5x + 6x – 81 = 7x + 102 + 65xA) 1 B) 2 C) 3 D) –2 E) –3
3. Resolver: (x + 3)/2 – (x – 1)/4 = (x + 6)/3A) 1 B) –2 C) 2 D) 3 E) –3
4. Hallar “x”: 10 –4
2/x12113
65x3
-=+
A) 14 B) 7 C) 11/4 D) 4/25 E) 11/7
5. Hallar “x” en: 2 –8
5x44
1x240
1x --
-=
-
A) 65 B) 64 C) 66 D) 63 E) N.A.
1-B 2-D 3-D 4-D 5-C 6-B 7-C 8-E 9-B 10-C11-C 12-B 13-B 14-C 15-A 16-B 17-B 18-A 19-A 20-C21-D 22-C 23-C 24-A 25-D 26-C 27-C 28-A 29-D 30-C31-E 32-B 33-C 34-B 35-B 36-C 37-E 38-B 39-C 40-B
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7
6. Resuelve:2x
38
43
101x7
53x
-=+-
--
A) {–1} B) {1} C) {3} D) f E) N.A.
7. Resolver: 03x91x6
x341x2
=-+
+-
+
A) –1 B) 24 C) –1/24 D) –24 E) N.A.
8. Resolver:25
1x3x2
1x21x
=++
++
+
A) –3/5 B) 3/5 C) –1 D) 5/3 E) N.A.
9. Hallar “x”:4x
x1x5x
3x1x
2x6x
+-
--
=-+
-++
A) 1/2 B) –1/2 C) 1/3 D) –1/3 E) 3/5
10. Resolver:4x51x2
2x57x2
--
=++
A) 13/14 C) –13/14 E) N.A.B) 14/13 D) –14/13
11. Resolver: 0)3x2()1x(
1)1x(x2
1=
++-
-A) 3/7 B) 7/3 C) 3/4 D) –3/7 E) 7/4
12. Resolver: 3x – (2x – 1) = 7x – (3 – 5x) + (–x + 24)A) 2 B) –1/2 C) 1/2 D) 4/3 E) –2
13. Resolver:2
512
2 xxx =+
-
A) x = –2/19 C) x = –1/19 E) x = –2/9B) x = 1/19 D) x = 2/19
14. Resolver y dar como respuesta el conjunto solución:5x3x
4x2x
++
=++
A) {10} B) {12} C) f D) {5} E) N.A.
15. Resolver:47
10x
5x2x3 -=-
A) 7/10 B) 7/5 C) 7/15 D) 7 E) N.A.
16. Si la ecuación de primer grado:(x – a) (2x + 1) + bx2 + 8x + 5 + a = 0no tiene solución real. Hallar a + b.A) 5/2 B) 5 C) 5/4 D) –5/2 E) N.A.
17. Dar como respuesta el conjunto solución de:5y
1025y
y2-
+-=-
A) {3} B) {4} C) {5} D) {6} E) f
18. Resolver: 33x
73x
x3
9x
102
=-
-+
+-
A) 3 B) –3 C) 1 D) –1 E) 2
19. Resolver:4x
x2x
3
4x
x52x
322 -
--
=-
-+
A) –2 B) 2 C) 3 D) –3 E) 1
20. La ecuación:6x5x
11xx22x5x
3x1x
2
2
+-
--=
-+
+-+
A) Admite como solución: x = 3B) Admite como solución: x = 1C) Admite como solución: x = 2D) Admite múltiples solucionesE) No admite solución
21. Resolver: 01111x21
21
21
21
=-ïþ
ïýü
ïî
ïíì
-þýü
îíì
-÷ø
öçè
æ-
A) 34 B) 32 C) 30 D) 24 E) 12
22. Resolver la ecuación en “x”: ÷ø
öçè
æ -+÷ø
öçè
æ -xb1
ab
xa1
ba = 1
A) a + b C) a – b E) 1B) ab D) a2 + ab + 1
23. Resolver la siguiente ecuación en “x”:
845
)8x()5x(12)7x()4x(
)5x()3x(7)4x()2x(
=-+
-+-
-+-+
A) 9 B) –16 C) –25 D) 21 E) N.A.
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8
24. Si la ecuación: 321
231
32+=
+-
+-
- mx
mxxmx , se reduce a una ecuación de
primer grado en “x”, ¿qué valor asume el parámetro “m”?A) –1 B) 2 C) 1 D) –2 E) 4
25. Con respecto al problema anterior, ¿cuál es la solución de la ecuación?
A)23 B)
32 C)
25 D)
52 E)
43
26. Resolver:1x2x
3x4x
4x3x
2x1x
--
---
=--
---
A) 1 B) 3/2 C) 5/2 D) 1/2 E) 5
27. Resolviendo: (a + 1) (x – a [(1 – a) x + a] – 1) = (a2 – 1) (a – 1)se obtiene para “x” el valor:A) 1 B) 2 C) a D) 2a E) a + 1
28. ¿Qué valor debe tener “x” para que se cumpla:
m1m4
)1m(
1m
1
x
x1
m1mx
-=
-
+-
+
-
A) m + 1 C) – (m + 1) E) 1B) m – 1 D) 1 – m
29. Al resolver:
a5x)a5(
5a1
25a
2a5
1a5
x)a5(2 +
-+
--
-=
++
-+
Se obtiene:
A) x = a C) x =a101a - E) x =
a21a -
B) x =a
1a + D) x =20
1a -
30. Resolver en “x”:
x)ba(
1a
ba
1a
)ba(
1ax
)ba(
1a22222 -
++
-
+=
-
++
+
+
A)a
ba + C)1aba
++ E)
a2ba 22 -
B)a2ba + D)
1aba
+-
31. Resolver en “x”:nm
)nx(2nmnx
nmmx
nmmx
--
+++
=+
-+
-+
A) 2m B) 3m C) 3n D) 2n E) m+n
32. Resolver en “x”: 2bax
x1bax
1x+
+--
=-+
-
A) a – b C) a + b E) abB) (a – b)2 D) (a + b)2
33. Resolver la ecuación en “x”: ÷ø
öçè
æ ++=-
+-
+-
c1
b1
a12
abcx
acbx
bcax ; abc ¹ 0.
Indique por respuesta el equivalente de:cbax
cabx
bacx
+-
++-
++-
A) 3 B) –3 C) 6 D) –6 E) 1
34. Para qué valor de “x” se verifica la siguiente igualdad:
ax
ax
bx
bx
ax
ax
bx
bx
-
++
+
-=
+
-+
-
+ ; x ¹ 0
A) a+b B) a–b C) ab D) –ab E) 1
35. Resolver: x35x22x33x2 =+-+++A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
36. Hallar “x”: 05x29x20
5x2
10x7x12
3x2
2x7x15
5x4222
=+-
--
--
+-
-+
+
A) 3 B) 6 C) –3 D) –6 E) 0
37. Hallar “x” en: ( )3333 1x1x21x1x --+=-++A) 14/11 C) –14/13 E) N.A.B) 14/13 D) 15/13
38. Resolver la siguiente ecuación en “x”: 6331x1x1x -=--+
A) 1 B)45 C)
25 D) 3 E) N.A.
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9
39. Hallar “a” en función de “x”: 4x6ax5
x6ax5=
-+
++
A) 3x/40 C) 35x/3 E) 4x/3B) –3x/40 D) 3x/4
40. Hallar (m + n + 2): (m + n + 1)3 – 6 (m + n) (m + 3 + n) = (n – 1 + m)3
A) 1/9 C) –291 E) 43/13
B) 291 D) 3
2. INECUACIONES DE PRIMER GRADO
2.1.IntervalosSean dos números reales a y b tales que a<b, se denomina intervalo de extremos ay b a los siguientes subconjuntos en R
A) Intervalo cerrado: [a,b] = {x Î R / a ≤ x ≤ b}
B) Intervalo abierto: ]a,b[ = {x Î R / a < x < b}
C) Intervalo semiabierto: ]a,b] = {x Î R / a < x ≤ b}
[a,b[ = {x Î R / a ≤ x < b}
D) Intervalos infinitos: [a,+∞[ = {x Î R / x ≥ a}
]a,+∞[ = {x Î R / x > a}
]-∞,b] = {x Î R / x ≤ a}
]-∞,b[ = {x Î R / x < b}
2.2.Conjuntos acotadosA) Cota superior
Un número real k es una cota superior de un subconjunto no vacío S de R sí ysólo sí: x ≤ k ; " xÎS
B) Cota inferiorUn número real k es una cota inferior de S si y sólo si x ≥ k ; " xÎS
C) SupremoUn número real c se llama supremo de un subconjunto no vacío S de R, y se
escribe c = sup S si:· c es cota superior de S (x ≤ c, " xÎS)· c es la menor cota superior de S, es decir:
"kÎR / x ≤ k, " xÎ S, entonces k ≥ cPor lo tanto, c no necesariamente pertenece a S
D) ÍnfimoUn número real d se llama ínfimo de un subconjunto no vacío S de R, y se
escribe c = inf S si:· d es cota inferior de S (x ≥ d, " xÎ S)· d es la mayor de las cotas inferiores de S, es decir:
" kÎR / x ≥ k, " xÎ S, entonces k ≤ dPor lo tanto, d no necesariamente pertenece a S
E) MáximoSi c es supremo de S y cÎS, entonces c es máximo de S (c = máx S)
F) MínimoSi d es ínfimo de S y d Î S, entonces d es mínimo de S (d = min S)
1-A 2-E 3-E 4-A 5-C 6-D 7-C 8-A 9-B 10-A11-D 12-E 13-A 14-C 15-E 16-A 17-E 18-C 19-D 20-E21-C 22-A 23-C 24-C 25-B 26-C 27-B 28-A 29-C 30-C31-C 32-B 33-A 34-D 35-C 36-D 37-B 38-B 39-C 40-B
a x b
a x b
a x b
a x b
a x
a x
bx
ax
Cotas inferiores Cotas superioresS
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10
Ejemplo: dado el conjunto S = ]2, 5] el sup S =5, además 5Î S, entonces el máx S = 5. el ínf S = 2, pero 2Ï S, entonces S no tiene mínimo.
Problemas
1. Sean los conjuntos (intervalos) A = {x Î Â / x £ 5} y B = {x Î Â / –8 £ x < 12}Hallar:I. A È BII. (A È B)’III. A Ç BIV. (A Ç B)’V. A – B
2. Para reales afirmamos:a. Si a > 0 Þ a2 > 0b. Si a < b Þ ac > bcc. Si 0 < a < b Þ 0 < b–1 < a–1
Son verdaderas:A) Todas C) Solo I y III E) N.A.B) Sólo I D) Sólo I y II
3. Resolver: 2x + 4 £ x + 12A) ]–¥, –8] B) ]–¥, 8] C) ]–¥, 26] D) ]–¥, –16] E) N.A.
4. Resolver: 3x + 4 £ 2x + 10 < 5x + 8A) [2/3, 6] C) ]2/3, 6] E) ]2/3, 6[B) Â D) f
5. Si x es entero, ¿qué valor no puede tomar x en:5
1x3
1x ->
+ ?
A) 1 B) –3 C) 0 D) –6 E) 11
6. Resolver: 3x
1x>
+
A) x < 1/2 C) x > 0 E) N.A.B) 0 < x < 1/2 D) x < 0
7. Si: x Î ]2, 8[ Ù (x + 4) Î ]m, n[ , hallar “m.n”:A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) N.A.
8. Si a la edad de Carlos se le duplica resulta menor que 84. Si a la mitad dedicha edad se le resta 7 resulta mayor que 12. Hallar la suma de las cifras dela edad de Carlos, si dicha suma es mayor que 5.A) 6 B) 8 C) 9 D) 10 E) 12
9. El número de plumas contenidas en una caja es tal que su duplo, disminuidoen 86, es mayor que 200. De la caja se sacan 17 y quedan menos que ladiferencia entre 200 y la mitad de las que había inicialmente. ¿Cuántas eranéstas?A) 156 B) 188 C) 144 D) 123 E) 132
10. Un auto viaja de A a B. Si luego de haber recorrido la tercera parte más 20Km, lo que le falta no es mayor a 224 Km. Hallar la distancia de A a B; si laquinta parte de esta distancia es mayor que 73. Se sabe además que dichadistancia medida en Km es un número entero.A) 364 B) 365 C) 366 D) 363 E) N.A.
11. Un número entero y positivo, es tal que la tercera parte del que le precede,disminuida en 10, es mayor que 14, y que la cuarta parte del que le sigue,aumentada en 10, es menor que 29. ¿Con qué cifra comienza el número?A) 5 B) 7 C) 9 D) 8 E) 4
12. Se tiene un cierto número de monedas. Si se hacen montones de a 7, no sepueden completar 8 de aquellos, y si se hacen de a 6, se completan y quedaun sobrante. ¿Cuál es el número de monedas?A) 55 B) 54 C) 53 D) 45 E) N.A.
13. Resolver: 2x + 3(x – 2) > 9A) x < 3 B) x > 3 C) x £ 3 D) x ³ 3 E) N.A.
14. Resolver: A = [5, 8], B: 2x + 3 < x + 10, hallar B – AC
A) á–7, 8ñ C) [7, 8] E) N.A.B) á7, 8ñ D) á7, 8]
15. Resolver: 3x + 4 > 2x + 1 8x – 5 < 2x + 31
A) á–3, 6ñ C) [3, 6] E) N.A.B) á3, 6ñ D) á3, 6]
16. Resolver:4
x)4x(3 ++ > 2 (x + 1)
A) x < 2 B) x > 2 C) x £ 2 D) x ³ 2 E) N.A.
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17. Hallar el menor valor entero de “y” si:x = 4y + 2xx – 3 < y – 4
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
18. Si:3
2x35
1x4 -³
+ el mayor valor entero de x que cumple es:
A) 4 B) 3 C) 5 D) –2 E) 7
19. Si: A = [ 5, 9 ]; B = [ 8, 17 ñ; hallar A È BA) á5, 17ñ C) [5, 17ñ E) á5, 17]B) Â D) [5, 17]
20. Si: A = á –¥, 2 ñ; B = [ –2, 7 ñ, hallar A – BA) á–2, +¥ñ C) á–¥, –2 ] E) á–2, +¥ñB) á–¥, –2ñ D) Â
21. Si: A = á –¥, 1 ñ, B = á –4, 8 ] y C = á 5, 16 ]; hallar: (A È B)’ – CA) á16, +¥ñ C) á–¥, 5 ] E) á–2, +¥ñB) [ 16, +¥ñ D) á–¥, 5 ñ
22. Si: A=á 3, 5 ] y B = á –¥, 2 ] È á 4 , 10 ]; Hallar A – B´A) á–4, 5ñ C) [4, 5] E) N.A.B) á4, 5ñ D) á 4, 5]
23. Resolver:31x2
41
2x
+>-
A) á–¥, –7/8ñ C) á–¥, –7/18ñ E) N.A.B) Â D) f
24. Resolver:4
1x3
1x ->
+
31x
41x +
<-
A) á–7, 7ñ C) [–7, 7] E) N.A.B) Â D) f
25. Para reales afirmamos:a. Si a < b Þ a + c < b + cb. Si a < 0 Þ –a > 0c. (a + b)2 ³ 2ab
Son verdaderas:
A) Sólo I C) Solo III E) N.A.B) Sólo II D) Todas
26. Si: x = 1981 (1 + 2 + 3 + ... + 1982)y = 1982 (1 + 2 + 3 + ... + 1981)
se cumple:A) x < y – 1 C) x < y – 3 E) x = y – 1/2B) x < y – 2 D) x > y
27. Si x Î ]2, 8[ Ù (x + 4) Î ]m, n[ , hallar m.n:A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) N.A.
28. Resolver: 2x + 4 £ 3x + 6 £ 5x – 10A) [–2, ¥[ C) [8, ¥[ E) [2, ¥[B) [–8, ¥[ D) f
29. Resolver: 3x + 4 £ 2x + 8 £ 2x + 6A) Â C) ]4, ¥[ E) N.A.B) ]–¥, 4[ D) f
30. Resolver: 2 £ 5 – 3x < 11A) á–¥, 2ñ C) ] –2, 1] E) [1, +¥ñB) [–2, 1] D) á–2, +¥ñ
31. Resolver: 5x – 2 < 10x + 8 < 2x – 8A) ]–2, +¥ñ C) f E) á–2, +¥ñB) á–¥, –2ñ D) Â
32. Resolver:31
41x3
51
£-£-
A) ]1/6, 7/12[ C) ]1/60, 7/36[ E) N.A.B) á1/6, 7/12ñ D) [1/60, 7/36]
33. Resolver: 2x + 10 £ 2x + 12 £ x + 11A) Â C) ]–¥, –1[ E) ] –¥, –1]B) ]–¥, 1[ D) ]–¥, 1]
34. Resolver:51x4
21x
35x2
+£-
<+
A) á–13, –1/5] C) f E) N.A.B) Â D) á–¥, –13ñ
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12
35. Resolver: 25x31
3x4
+£-
A)  C) á–¥, 45/11ñ E) N.A.B) f D) á45/11, +¥ñ
36. Resolver: 7x –41 < x +
47
A) á1/3, +¥ñ C) [1/3, +¥ñ E) N.A.B) á–¥, 1/3ñ D) á–¥, –1/3ñ
37. La suma de los valores enteros de “x” que satisfacen el sistema:
13
7x25
8x32
5x13+
+>
-+
- .............. (I)
7x
21x1
51x3
-+
<-- .............. (II)
A) 5 B) 9 C) 14 D) 20 E) 27
38. La suma de todos los enteros x que satisfacen el sistema:
75x4 - < x + 3 ............... (I)
48x3 + > 2x –5 ............... (II)
es:A) –21 B) –36 C) –18 D) 18 E) 25
39. En  se define la operación:2
bab*a -= ; según ello halle el conjunto
solución de: (x – 1) * 2 £ (3 * x) *21
£ (1 + 2x) * 5
A) (2 ; 8] C) (2/3 ; 8/3] E) [1 ; 8/5]B) [2 ; 3] D) [2 ; 8/3]
40. Si el producto de dos números positivos y diferentes es 1, la suma de ellos es:A) Siempre menor que 10.B) Siempre mayor que 2.C) En algunos casos menos que 1.D) En algún caso igual a 2.E) Siempre menor que 2.
41. Un carpintero hizo un cierto número de mesas. Vende 70 y le quedan porvender más de la mitad. Hace después 6 mesas y vende 36, quedándosemenos de 42 mesas por vender. ¿Cuántas mesas hizo?A) 145 B) 157 C) 147 D) 130 E) 141
42. Se desea saber el menor número de libros que hay en un estante, si el dobledel número de éstos se le disminuye en 7, el resultado es mayor que 29 y si altriple se le disminuye en 5 el resultado es menor que el doble del númeroaumentado en 17.A) 18 B) 19 C) 204 D) 21 E) 22
43. Si al doble de la edad de cierta persona se resta 17 años resulta menor que35; pero si a la mitad de la edad se suma 3 el resultado es mayor que 15.¿Cuál es dicha edad?A) 12 B) 24 C) 25 D) 26 E) 13
44. Entre Pedro y Luis tienen menos de 8 hijos. Luis tiene más hijos que Ramón yaunque Pedro tuviera tres hijos menos, seguiría teniendo más hijos queRamón. ¿Cuántos hijos tiene Ramón?A) 2 B) 1 C) 3 D) 5 E) N.A.
45. Se desea saber el menor número de postulantes que rinden un examenconociendo que su doble disminuido en 23 no llega a 95 y que al retirarse 13quedaron más de las tres cuartas partes del número inicial. Indicar la sumade cifras del número.A) 7 B) 11 C) 10 D) 9 E) 8
46. Una persona dispone de cierta cantidad para premiar a sus sobrinos. Pensódarles 500 pesos a cada uno, pero le faltaban más de 200 pesos. Despuéspensó darles 450 pesos a cada uno y le sobraban más de 300 pesos. Porúltimo decide darles 400 pesos a cada uno y le sobraban menos de 875pesos. Hallar el número de pesos que tenía sabiendo que es múltiplo de 20.A) 5280 B) 5300 C) 5250 D) 5260 E) N.A.
47. La tercera parte de cierto número disminuida en 3 es mayor que 25; pero lacuarta parte del mismo número disminuida en 2 es menor que 20. ¿De quénúmero como máximo se trata?A) 84 B) 85 C) 87 D) 81 E) 80
48. Si a un número de dos cifras se le resta en que resulta de invertir sus cifras seobtiene otro mayor que 71; si la suma de cifras es mayor que 9. ¿Cuántosdivisores positivos admite dicho número?A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) N.A.
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49. Un padre dispone de 320 soles para ir a un evento deportivo con sus hijos. Sitoma entradas de 50 soles le falta dinero y si las toma de 40 soles le sobradinero. ¿Cuántos hijos tiene el padre?A) 5 B) 4 C) 6 D) 43 E) 70
50. A un estudiante le dieron a vender una cierta cantidad de politos de los quevendió 35 y le quedaron más de la mitad, luego le devuelven 3 y vendedespués 18 con lo que le restan menos de 22 politos. ¿Cuántos politos ledieron?A) 69 B) 70 C) 71 D) 72 E) 73
3. VALOR ABSOLUTO
El valor absoluto de un número real a denotado por │a│ se define como:
îíì
<-³
=00
asi,aasi,a
a
Geométricamente │a│ es la distancia entre el punto donde se encuentra a y elcero.
Propiedades1. │a│ ≥ 0, " aÎR Ù │a│= 0 Û a = 02. │a│ =│-a│3. │a.b│ = │a│.│b│4. │a+b│≤ │a│+│b│ (desigualdad triangular)5.6. │a│2 = a2
7. -│a│ ≤ a ≤ │a│
Propiedades adicionales8. │a│= b « b ≥ 0 Ù (a = b v a = -b)9. │a│=│b│ « a = b Ú a = -b10. Si b >0 entonces:
· │a│< b « -b < a < b· │a│ ≤ b « -b ≤ a ≤ b
11. │a│ > b « a > b Ú a < -b│a│ ≥ b « a ≥ b Ú a ≤ -b
Ejercicios
1. Resolver la ecuación 23
2 =-x
A){ 0 , 11} B){ 1 , 12 } C){ 11 , 12 } D){ 0 , 12 } E){ 3 , 12 }
2. Resolver la ecuación ½ 4x - 1½ = 5A){-1 , 3/2 } B){ -1 , 1/2 } C){ 1 , 3/2 } D){ 0 , 1/2 } E){ 3/2 , 0}
3. Resolver la ecuación 151
=-+
xx
A){ 0 } B){ 2 } C){ 12 } D){ 3 } E){ 5 }
4. Resolver la ecuación 21
32=
--x
x
A){ 0 } B){ 5/4 } C){ 1/2 } D){ 7/3 } E){ 2/7 }
5. Resolver la ecuación 414
3=-
x
A){ -4 , 11} B){ 20/3 , 12 } C){ 1/6 , 12 } D) { -4 , 20/3 } E){ 3 , 12 }
6. Resolver │2x +2│= 6x – 18A) x=2 i x=5 B) x=3 i x=5 C) x=–2 i x=3 D) x=5 E) x=2
7. Hallar el C:S: de 33
4=
-xx
A) { -1/2 , 2/5 } B){ 1/2 , -1/2 } C){ 1/5 , 12 } D){ 7/3 , 12 } E){ 2/5 , 12}
8. Resolver: 041x3 =+-
A){ 0,3 } B) Æ C){ 12,3 } D){6, 3 } E){ 5,8 }
9. Resolver 41
2
=-x
x Rpta: { 2 , -2 + 2 2 , -2 - 2 2 }
10. Si 2 > x > y . Calcule el valor de "y" si : ½x - y½ + ½x - 2½ = 3.
A)1 B)-1 C)2 D)4 E)-2
11. Si y > x ; ½x2 - y2½ = 27 ; ½x + y½ = 3 ¿ Cuál es el valor de " x - y "?.
2-C 3-A 4-C 5-D 6-B 7-C 8-E 9-C 10-C11-B 12-C 13-B 14-F 15-A 16-E 17-A 18-A 19-C 20-B21-A 22-D 23-C 24-E 25-D 26-D 27-D 28-C 29-D 30-C31-B 32-D 33-E 34-C 35-E 36-B 37-D 38-A 39-D 40-B41-C 42-B 43-C 44-B 45-E 46-A 47-C 48-B 49-C 50-C
2aa =
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14
A)10 B)-11 C)21 D)9 E)12
12. Si x > 1 ¿Cuál es el valor de "x" en la ecuación : ½x2 + 2x +1½ - ½1 + x½ -½1 - x½ = 10.
A){ -4 , 11} B){ 20/3 , 12 } C){ 1/6 , 12 } D) { -3, 3 } E){ 3 , 12 }
13. Si 3x + 15 = 0. Determine el valor de a+11b si55
-
+=
xx
a
xxx
xb21
68-
+--=
A)14 B)-41 C)21 D)42 E)12
14. Hallar el C:S: de ½2x - 1½ > 3.A) IR –[ -1 , 2 ] B)[ -1 , 2 ] C)IR–[-2, 1]D)IR–[-4,2] E)[1, 2]
15. Hallar el C:S: de 22
3 £-x
.
A) [ -1 , 20 ] B) [ 2 , 10 ] C)[-2, 10]D)[-2, 2] E)[10, 20]
16. Hallar el complemento de la solución de 521
5³-
x .
A) ] -45/3 , 55/2 [ B) ] -45/2 , 55/3 [ C) ] -45/2 , 55/2 [D) ] -45/4 , 55/3 [ E) ] -45/4 , 55/4 [
17. Hallar el C:S: de 13
1 <-x .
A) ] -1 , 20 [ B) ] 0 , 6 [ C)]-2, 6[D)]-2, 0[ E)]0, 20[
18. Resolver la siguiente desigualdad ½x - 3½ > -1,A) ] 0 , +¥ [ B) ] - ¥ , 0 [ C)] - ¥ , +¥ [D)] 3 , +¥ [ E)] -1 , +¥ [
19. Hallar el C:S: de ½3 - 2x ½ < 0.A) ] 0 , 1 [ B) ] - ¥ , 3/2 [ C)] - ¥ , +¥ [D)Æ E)] 3/2 , +¥ [
20. ¿Cuál es el mayor valor entero que satisface 1312
£+-
xx
?
A)2/3 B)-4 C)1 D)4 E)2
21. Hallar la suma del supremo y del ínfimo del conjunto solución de½3 - 2x½ < ½x + 4½.
A)1/4 B7/4 C)2/11 D)4/21 E)20/3
22. La solución de 221
>-+
xx es de la forma ] a , b [ È ] c , d [ . Hallar a+b+c+d
A)10 B)14 C)11 D)14 E)21
23. Hallar la diferencia del supremo y el ínfimo del complemento del conjunto
solución de 253³
+x
x.
A)-5 B)1 C)10 D)5 E)-2
24. La solución de 3713
<+-
xx
es de la forma ] – m/n , + ¥ [; Hallar m.n si m y n
son enteros.A)30 B)-10 C)-30 D)15 E)-20
25. Hallar el mayor de los números que cumple la inecuación 3x211x2
³+
-.
A)-3/5 B)-1/3 C)-1/2 D)1/5 E)-1/4
26. Hallar el complemento del conjunto solución de 452 +³+ xx . A) ] -1 , 20 [ B) ] -3 , -1 [ C)]-2, 6[ D)]-2, 0[ E)]0, 20[
27. Hallar el valor de la expresión ] [10114
,Î--+
xsix
xx
A) -1/4 ,1 B) -1/4 C) 1 D) 5 E) 1, 5
1-D 2-A 3-B 4-B 5-D 6-D 7-A 8-B 9-10-B 11-D 12-D 13-D 14-A 15-B 16-C 17-B 18-C19-D 20-D 21-E 22-A 23-A 24-A 25-E 26-B 27-D
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15
TEMA 3
SISTEMAS DE ECUACIONES
Dado el sistema222
111
cybxacybxa
=+=+
Compatible Determinado Entonces
01221 ¹- baba
Compatible indeterminadoEntonces
2
1
2
1
2
1
cc
bb
aa
==
IncompatibleEntonces
2
1
2
1
2
1
cc
bb
aa
¹=
Ejercicios y problemas
1. Al resolver el sistema 3x – (4y + 6) = 2y – (x + 18) 2x – 3 = x – y + 4Dar como respuesta la diferencia de las soluciones.A) 1/2 B) –1 C) 2 D) –3 E) 4
2.72
yxyx
-=-+ ;
2yx1yx8
---+ = 2
A) x = –5, y = 9 D) x = 3, y = 2B) x = 3, y = 9 E) N.A.C) x = 2, y = –9
3. En el sistema ax + by = a2 + b2 ; bx + ay = 2abDar como respuesta la suma de las soluciones.A) a – b C) a + 2b E) 3a – 2bB) a + b D) 2a – b
4. x + y = 5 u + v = 11y + z = 8 v + x = 9z + u = 9 Hallar el valor de u.A) –2 B) 2 C) 3 D) –4 E) 4
5. (a + b) x + (a – b) y = 15(2a – 3b) x + (2a – 5b) y = a + 2bSi el sistema anterior admite como solución x = 3, y = –7 , hallar el valorde a.A) 30 B) –30 C) –60 D) 60 E)–45/2
6. Determinar el valor de “k” para que el sistema:2x – 5y + 3z = 0 ........ (I)x – y + z = 0 ........ (II)3x + ky + z = 0 ........ (III)
Sea compatible indeterminado.A) 1 B) 3 C) 5 D) 7 E) 9
7. Calcular “m” para que el sistema sea incompatible(m – 3) x + 3y = 52x + (m – 2) y = 7A) 1 B) 3 C) 7 D) 5 E) 9
8. Resolver: (a + b) x – (a – b) y = 4 ab (a – b) x + (a + b) y = 2a2 – 2b2
Indicar el valor de: yA) a B) b C) a – b D) a + b E) 2a
9. Resolver el sistema: 3x + 2y – z = 3 –2x + y + 3z = 5 4x – y – 2z = –1
e indicar el valor de “y”A) 2 B) –2 C) 1 D) –1 E) 0
10. Resolver el sistema: 2x + y + z = 85x – 3y + 2z = 37x + y + 3z = 20
Señalar el valor de (x2 + y2)A) 10 B) 13 C) 4 D) 5 E) 36
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16
11. Si a, b, c son distintos de ceros:
ayx
y.x=
+ ; b
zxz.x
=+
; cyz
z.y=
+el valor de “x” es:
A)acbcab
abc++
D)abbcac
abc2-+
B)acbcab
abc2-+
E)bcacab
abc2-+
C)acbcab
abc2++
12. Para que valores de “m” el sistema de ecuaciones:x + 2y = m3x + 4y = 5
Tiene soluciones positivasA) 5/3 £ m £ 5/2B) 5/3 < m < 5/2C) 5/3 < m £ 5/2D) 3/2 < m < 5/2E) N.A.
13. ¿Cuánto debe valer “a” par que en el sistema:3x + 7y + 2z = 1¼¼¼ (1)2x + 3y + 7z = 1¼¼¼ (2)ax + 2y + 3z = 0¼¼¼ (3)
el valor de “y” sea igual al de “z”A) 1 B) –2 C) 4 D) –3 E) –5
14. Si ayx
xy=
+, b
zxxz
=+
, czy
yz=
+, donde a, b y c son distintos de cero
entonces “x” es igual a:
A)acbcab
abc++
D)abbcac
abc2-+
B)acbcab
abc2-+
E)bcacab
abc2-+
C)acbcab
abc2++
15. Determinar el valor “m” para que el sistema propuesto presente infinitassoluciones: mx + y = 3 .... (1) 6x + (m – 1) y = 2m .... (2)A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
16. Si el mayor de dos números se divide entre el menor el cociente es 2 y elresiduo 4, y si 5 veces el menor se divide por el mayor el cociente es 2 y elresiduo 17. Hallar el mayor.A) 25 B) 24 C) 55 D) 54 E) 36
17. Para qué valor de “m”, las raíces (x1 y x2) de la ecuación: 4x2 + mx + 5 = 0,
satisfacen:îíì
-=+-=+4x3x8xx3
21
21
A) –12 B) –6 C) 6 D) 12 E) 18
18. Si el sistema de ecuaciones y – x = 4 x2 – kx + y2 = 8x + 8
Tiene solución única, hallar la suma de los posibles valores de k.A) 8 B) 4 C) 6 D) 16 E) 0
19. Se tiene un cuadrado cuyos lados están expresados según:
Calcula el valor de:
E =1
11
11
yxyx
-
--
--
úúû
ù
êêë
é
-
+
A) –1/3 B) –1/2 C) –1 D) 1/3 E) 1/2
20. En el sistema:îíì
+=+-=-
1byx22by2x
¿Cuál es el valor de b, para tener x = 3y?
A) 8 B) 2/5 C) 1/2 D) 5/2 E) 2
21. Hallar el valor de “c” en el sistema:3x – 2y = c ¼¼ (1)2x + 3y = c ¼¼ (2)
Sabiendo que el valor de “x” excede el de “y” en 12 unidades.A) 28 B) 12 C) 39 D) 17 E) 19
3x – y
3y + 5
4x – y – 3
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22. Para qué valores de “m” el sistema de ecuaciones tiene soluciones positivas
135372
=+=+
yxmyx
A)591m
326
<£ B) <591m
326
£<
C)591m
326
££ D)591m
326
<<
23. Para qué valores del parámetro “k” el sistema: Tiene infinitas soluciones.( ) ( )( ) 72ky30x17k
12ky3kx1k+=++
+=+++
A) 3 B) 3 y 7 C) 1 D) 2 y -1 E) 4 y 1
TEMA 4
ECUACIONES E INECUACIONES CUADRÁTICAS
En numerosos problemas, como la resolución de triángulos rectángulos oel estudio de movimientos físicos con aceleración, aparecen términosdesconocidos elevados al cuadrado. Tales problemas se resuelven pormedio de ecuaciones de segundo grado, también llamadas cuadráticas.
41. Ecuaciones cuadráticasSe llama ecuación cuadrática, o de segundo grado, con una incógnita a todaaquella que tiene la forma general reducida ax2 + bx + c = 0, siendo a ≠ 0. Engeneral: a, b, c Î R.
Si todos los coeficientes de la ecuación son distintos de cero, se dice que escompleta.
Si el coeficiente lineal o el término constante son nulos, la ecuación esincompleta.
4.2 Resolución y discusión de ecuaciones cuadráticas:
Pueden darse varios casos:
· Si la ecuación es incompleta sin coeficiente lineal ni término
independiente (ax2 = 0), la solución es x = 0 (doble).
· Cuando es incompleta sin coeficiente lineal (ax2 + c = 0), las raíces son:
ac-
±
· Cuando es incompleta sin término independiente (ax2 + bx = 0), tiene dosraíces:
abxx -
=Ú= 21 0
· Una ecuación completa tiene dos raíces, dadas por la fórmula:
aacbbx
242 -±-
=
El valor D=b2 - 4ac se llama discriminante, y de su estudio se deduce que· Si D>0 , la ecuación tiene dos raíces reales distintas;· Si D=0 , existe una única solución doble dada por x = -b/2a,· Si D<0 es menor que cero, las son complejas.
4.3 Relación entre las raíces y los coeficientes:· La suma de las raíces de la ecuación es igual al coeficiente lineal
cambiado de signo dividido por el coeficiente principal: x1 + x2 = -b/a.· El producto de las raíces es igual al término independiente dividido por el
coeficiente principal: x1 . x2 = c/a.· Si se conocen la suma: s = x1 + x2 y el producto: p = x1 . x2 de las raíces de
la ecuación, se tiene que: x2 - sx + p = 0.· Conociendo la diferencia d = x1 - x2 y el producto p = x1 . x2 de las raíces,
se deduce que: 04 22 =++± pxdpx· Sabiendo el valor de las raíces x1 y x2, la ecuación se puede expresar
como un producto de binomios: (x - x1) (x - x2) = 0 (ecuación factorial).
4.4 Ecuaciones bicuadradasEstas ecuaciones tienen como forma general: ax4 + bx2 + c = 0
1–B 2–A 3–B 4–E 5–C 6–B 7–D8–C 9–C 10–B 11–D 12–B 13–E 14–D
15–C 16–D 17–D 18–E 19–B 20–D 21–C
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Al ser de orden 4, las ecuaciones bicuadradas tienen cuatro raíces o soluciones.Se resuelve sustituyendo y = x2, y se obtiene ay2 + by + c = 0.
· Se obtienen las raíces y1 e y2 de esta ecuación de segundo grado.· Se calculan las cuatro raíces de x como
12,1 yx ±= ;24,3 yx ±=
Según los valores obtenidos para y1 e y2 en la resolución de la ecuación desegundo grado intermedia, pueden darse varios casos:
· Si y1 > 0 e y2 > 0, la ecuación bicuadrada tiene cuatro soluciones reales.
· Cuando y1 > 0 e y2 < 0, o bien y1 < 0 e y2 > 0, la ecuación bicuadrada tiene
dos soluciones reales y dos complejas.· Si y1 < 0 e y2 < 0, la ecuación bicuadrada no tiene soluciones reales (sus
cuatro soluciones pertenecen al conjunto de los números complejos).
4.5. Ecuaciones irracionales
Forma general: dcbxnax =++Para resolver estas ecuaciones, se elevan los dos miembros de la ecuación a lapotencia que resulte conveniente según el índice del radical.El procedimiento general de resolución de las mismas consiste en:- Aislar en uno de los miembros el término que tiene la raíz cuadrada.- Elevar al cuadrado ambos miembros para eliminar la raíz. Después de
simplificar la ecuación resultante, se obtiene una ecuación de segundo gradocon una incógnita.
- Se procede a resolver esta ecuación de segundo grado, con arreglo a losmétodos habituales.
- Al haberse elevado la ecuación al cuadrado, se ha introducido una solución«falsa». Las dos raíces obtenidas de la ecuación de segundo grado se han decomprobar en la ecuación irracional original; se descubrirá entonces que sólouna de ellas cumple la igualdad de la ecuación. Ésta será su única solución.
Algunas ecuaciones que no son necesariamente cuadráticas, pueden resolversepor los métodos de factorización o por la fórmula cuadrática, si primero se realizauna sustitución apropiada. Como por ejemplo:
x4 + 5x2 – 84 = 0Haciendo: x2 = z, de donde: x4 = z2
Reemplazando: z2 + 5z – 84 = 0
(z + 12)(z – 7) = 0 z + 12 = 0 Ú z – 7 = 0 z = - 12 Ú z = 7 x2 = - 12 Ú x2 = 7
4.6 Ecuaciones Incompletas:
Son de la forma ax2 + bx = 0 Ú ax2 + c = 0Para resolver este tipo de ecuación se procede de la siguiente forma:
En: ax2 + bx = 0 En: ax2 + c = 0
ïî
ïíì
-=
=
abx
x
2
1 0
îíì
-±ac
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE COOPERATIVO Y AUTÓNOMO
1. La suma de las raíces de la ecuación: 3x2 + ax + a – 6 = 0 es 4, hallar suproducto.
2. La ecuación: 2x2 + 5x – 1 = 0, tiene como raíces r y s, hallar:A) r2 + s2
B) r3 + s3
3. La ecuación: 3x2 + 7x – 8 tiene raíces r y s. Hallar una ecuación que tengaraíces r2 y s2.
4. Si r y s son raíces de la ecuación: x2 – 3x + 4 = 0, hallar (2r + 3s + 1) (3r + 2s– 1) + 2s
5. Hallar el menor valor de “m” de modo que la ecuación: 4x2 – mx + 1 = 0; tengasolución única.
6. Cuál o cuáles de las siguientes ecuaciones:I) x2 – x – 1 = 0II) x2 – 2x + 3 = 0III) 3x2 + x – 2 = 0no admite raíces reales.
7. Si la ecuación 2x2 + 3x + k – 3 = 0 tiene raíces reales y diferentes; hallar elproducto de todos los valor de k, si k Î N.
8. La ecuación: x2 – 5x + m + 2 = 0, posee raíces reales, mientras que: 2x2 + 3x+ m = 0 posee raíces complejas. Calcular la suma de valores enteros de “m”,que satisface estas condiciones.
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9. Determine el mayor valor de “a” en la ecuación cuadrática: ax2 + (5 – a)x + 1 =0; de tal manera que el producto de las raíces sea igual a la diferencia de lasmismas.
10. Si: x12 + x2
2 – x1x2 = 4; Siendo x1 y x2 soluciones de la ecuación: x2 + (b – 2)x + (b – 2) = 0Determinar el menor valor que adquiere: x1x2
2 + x12x2
PROBLEMAS
23. Determinar la ecuación cuyas raíces sean –5/6 y –5/3:A) 9x2 – 15x + 25 = 0B) 18x2 + 25x + 25 = 0C) 18x2 + 45x + 25 = 0D) 18x2 – 15x + 25 = 0E) N.A.
24. Si a, b son las raíces de la ecuación: x2 – 9x +5 = 0
hallar: E =1ba
ab++
A) 1 B) –1 C) 2 D) 1/2 E) N.A.
25. Indique cuál de las siguientes ecuaciones no tiene soluciones reales:
A) x2 – 5x + 6 = 0B) 4x2 – 10x + 6 = 0C) 12x2 + 15x – 18 = 0D) x2 – 18x + 325 = 0E) N.A.
26. Si {x1, x2} Ì Z y son las raíces de la ecuación:x2 + cx + d = 0
donde una es el doble de la otra y 3x1 + x2 = 21hallar c + dA) 9 B) 18 C) 27 D) 15 E) N.A.
27. Si la siguiente ecuación posee raíces simétricas4x2 – (2m – 1)x – 5 = 0; hallar “m”.
A) 1 B) 1/2 C) 2 D) 4 E) N.A.
28. De la pregunta anterior indique una de las raíces.A) 0 C) 1 E) 2/5
B) –1 D) 5
29. Si en la ecuación: 3x2 – 10x + 7m4 - = 0una raíz es el recíproco de la otra, hallar mA) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
30. Si {r, s} es el conjunto solución de: x2 – mx + m2 = 0
hallar: E =rs
srs3r 22 ++
A) –1 B) 1 C) 1/2 D) 2 E) –2
31. De la ecuación: ax2 + bx + c = 0 Ù {a, b, c} Ì Â; indicar cuál de lassiguientes es cierta:
I. Siab
- > 0 entonces el producto de las raíces es positivo.
II. Siac > 0 entonces la suma de las raíces es positivo.
III. Si b = 0 Ùac < 0 las raíces son simétricas.
A) Solo I C) Solo I y II E) Solo IIIB) Solo II D) Solo II y III
32. Resolver: x27 - = 7 – x Y dar como respuesta la suma de raíces:A) 13 B) 11 C) 2 D) 7 E) 4
33. Si las raíces de la ecuación x2 + ax + 56 = 0 son dos números consecutivospositivos, halla a.A) 15 B) –15 C) 12 D) –12 E) 10
34. De la ecuación: x2 + ax + 2a = 0, se sabe que la diferencia de sus raíces esa , a ¹ 0. Hallar la diferencia de las raíces.
A) 9 B) 3 C) 3 D) 2 E) 2
35. Indique lo verdadero para la ecuación:ax2 + bx + c = 0
I. Si c > 0, las raíces son positivas.II. Si b > 2, las raíces no son simétricas.III. Si c ¹ 0, sus raíces no son nulas.A) Solo I C) Solo III E) TodasB) Solo II D) Solo II y III
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36. Si x1 Ù x2 son las raíces de la ecuación :3x
11x
1+
++
= 2
hallar:21 x1
x1
+
A) 3 B) 1 C) –1 D) –3 E) N.A.
37. Si x1 y x2 son las raíces de la ecuación: x2 + bx + b2 = 0
hallar:32
3
31
3
x
b
x
b+
A) 1 B) –4 C) 2 D) 3 E) 4
38. Si m y n son las raíces de resolver: 2ax
aax
x=
--
+
hallar:mn
mn2nm 22 ++
A) 2 B) –2 C) 4 D) –4 E) N.A.
39. Si las raíces de la ecuación cuadrática x2 – px + q = 0, son reciprocas entre sí,hallar q.A) 0 B) –1 C) 1 D) 2 E) N.A.
40. Hallar la ecuación de segundo grado de coeficientes racionales, en donde unade las raíces es: 3 + 2A) x2 – 7x + 6 = 0B) x2 – 7x = 0C) x2 – 6x – 7 = 0D) x2 – 6x + 7 = 0E) N.A.
41. Calcular “m” si las raíces de una ecuación: (m + 1) x2 – 2mx + (m – 3) = 0,son igualesA) 3/2 B) 2/3 C) –3/2 D) –2/3 E) N.A.
42. Hallar “k” si: x2 – 15 – k (2x – 8) = 0; tiene raíces iguales.A) 1 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8
43. Resolver: x21x3 -+ = –6 dar como respuesta la suma de sus soluciones.A) 7/4 B) 27/4 C) 5 D) –7/4 E) –5
44. Calcular “m” en: x2 – 8x + m = 0; con raíces x1 y x2 si: 3x1 – 4x2 = 3A) 5 B) 10 C) 15 D) 25 E) 35
45. En la ecuación:x1
xba1
abba
-++
=+ ; El producto de las raíces es:
A) 0 B) 1 C) ab D) –ab E) N.A.
46. Calcular “m” en: x2 – mx + 48 = 0; con raíces x1 y x2 si: x1 = 3x2A) 16 B) –16 C) ±16 D) 12 E) ±12
47. Hallar “c” para que en la ecuación: x2 – 8x + c = 0, una raíz sea el inversomultiplicativo de la otra.A) –1 B) 1 C) 16 D) –16 E) 0
48. Halle el menor valor entero positivo del parámetro “n” para que la ecuacióncuadrática en “x”: x2 + n x + 1 = 0, presente raíces reales.A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) Más de 6
49. Dada la ecuación 2x2 + 3px + p + 4 = 0, determinar el producto de todosaquellos valores de p que hacen que la suma de los cuadrados de las raícessea 14. A) –2 B) –6 C) –8 D) 6 E) N.A.
50. Si el discriminante de una ecuación general de segundo grado es unacantidad positiva y cuadrado perfecto, se afirma que las raíces son:A) Reales e igualesB) Racionales e igualesC) Irracionales y desigualesD) Enteras y desigualesE) Racionales y desiguales
51. Si las raíces de: (2 + 2k)x2 – (1 + k)x + 4 = 0; son iguales, el valor de k es:A) 31 B) 32 C) –1 D) 1 E) N.A.
52. Sabiendo que las raíces de la cuadrática en “x”:x2 + bx + 30 = 0, son positivas y la diferencia entre ellas es 7, halle el valor de“b”.A) 13 C) 5 E) Más de una es correctaB) –13 D) –5
53. Si las ecuaciones:(2m + 1) x2 – (3m – 1) x + 2 = 0Ù (n + 2) x2 – (2n + 1) x – 1 = 0
son equivalentes; calcular el valor de “m”A) –9 B) 6,5 C) 9 D) –6,5 E) 14
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54. ¿Para cuántos valores naturales de a, la ecuación de segundo grado, (a – 3)x2 + 3x + 2 = 0, tiene soluciones reales?A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) 2
55. Hallar el cubo de la suma de las raíces de una ecuación de segundo grado enla que sus tres coeficientes son iguales.A) 2 B) –1 C) 1 D) 3 E) –2
56. Las ecuaciones: x2 + ax + b = 0 y x2 + cx + d = 0, a ¹ c, b ¹ d; tiene raízcomún. El valor de esta es:A) (b – d) / (a – c) B) (d – b) / (a – c) C) bd/acD) ac/bd E) N.A.
57. Calcular n–m, sabiendo que las siguientes ecuaciones tienen las mismasraíces:(m – 2) x2 – (m + 2) x – (n3 + 6) = 0(m – 1) x2 – (m2 + 1) x – (4n3 – 4) = 0Nota: Considerar el mayor valor posible para m.A) –1 B) 1 C) 2 D) 3 E) 5
58. Calcular el valor de “t” para que se cumpla que:r–2 + s–2 = –14–1
en la siguiente ecuación:x2 – tx – x + 28 = 0.
r, s: raíces de la ecuación.A) t = 1 Ú t = –3 D) t = –2 Ú t = 1B) t = 1 E) t = –2C) t = –1
59. Si la ecuación: Kx2 + (2K + 1) x + K = 0, tiene raíces iguales, hallar el productode las raíces de la siguiente ecuación:
(4K + 3) y2 + 3Ky – 4K2 + 9 = 0A) 35/8 C) –35/8 E) N.A.B) 35/4 D) –35/4
60. Hallar “m” en la ecuación: x2 + (2m + 5) x + m = 0, sabiendo que una raízexcede a la otra en 3 unidades.A) 2 B) –2 C) 4 D) 1 E) –1
61. Si p y q son raíces de la ecuación:x (x + 2b) = –2c , hallar p–2 + q–2
A) (b2 – c2) c–2 D) (b2 – c) c–2
B) (b2 – c2) c–1 E) (b – c2) c–1
C) (b – c2) c–2
62. Si r y s son raíces de la ecuación:x2 – 3ax + a2 = 0, hallar : r3 – s3 , si r3 – s2 > 0A) 8 3 a2 C) 8 3 a3 E) 8 5 a3
INECUACIÓN
A partir de un rectángulo de cartón de 40cm de ancho y 60 de largo deseamosformar una caja recortando cuatrocuadrados, uno en cada vértice, para sudoblado posterior. ¿Qué valores podemosdar al lado de los cuatro cuadrados paraque el volumen de la caja sea al menos de5 litros?
Efectuando un análisis algebraico del tema:
Llamamos “x” al lado del cuadrado, con lo que los lados de la base de la cajamedirán respectivamente 60 – 2x y 40 – 2x. La altura de la caja equivale al lado x.
Así ya tenemos el volumen: (60-2x)(40-2x)x.
Convertimos los litros a cm3: 5000 cm3.Llegamos así a la inecuación que resuelve el problema: (60-2x)(40-2x)x>5000
Por tanto, el problema se resuelve estudiando esta inecuación.
Problema: Un grupo de alumnos y alumnas del Ceprunsa piensa que igual que elfútbol, nació el fútbol sala, podrían inventar un rugby sala e instalarlo en elgimnasio. Han logrado que les cedan 32 metros de perfiles metálicos paraconstruir dos porterías en forma de hache. Desean un área total entre los perfilesde al menos 20 metros cuadrados. ¿Entre qué límites pueden elegir su altura yanchura?La alumna más lista del grupo ha realizado el esquema y el planteo, y ha ofrecidoesto a los demás:
1-C 2-D 3-D 4-A 5-B 6-E 7-C 8-D 9-E 10-C11-B 12-B 13-D 14-D 15-C 16-D 17-C 18-D 19-C 20-B21-C 22-C 23-C 24-C 25-B 26-C 27-C 28-E 29-A 30-B31-A 32-C 33-B 34-B 35-A 36-C 37-A 38-B 39-D 40-E
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22
Llamó “b” a la altura y “a” a la base. Como disponemos de 16metros de perfil por portería, se cumplirá que: a+2b = 16 de donde:a = 16-2b y el área del hueco de la hache:A = ab = b(16-2b)Si llamamos “x” a la variable “b”, podremos escribir la inecuación:x(16 - 2x) ³ 20; o bien: x(16 – 2x) – 20 ³ 0
Importante:
I. Si a > b > 0 → 0>> nn ba ; Nnba nn Î>> ;0II. Si a < b < 0 →
1) 022 >> nn ba2) 01212 << ++ bn ba ; n ÎN
III. Si a < 0 Ù b > 0, además: };{0 222 baMáxxbxa <£®<<IV. Propiedad del trinomio positivo:
Sea P(x) = ax2 + bx + c ; P(x) > 0 ↔ a > 0 Ù D < 0
Ejemplos:
1. Cuál es el conjunto solución de: 3x2 + 7x – 6 > 0 Primero hallamos su discriminante: D = 72 – 4(3)(-6) = 121 Como D > 0, la inecuación tiene dos raíces (puntos críticos) y además es
factorizable:
(3x – 2)(x + 3) = 0
De donde los puntos críticos son: 2/3 y – 3 Ubicándolos en la recta real de los números:
+ - +
-3 2/3 Rpta.: ]-∞, 3[ È ]2/3; +∞[
2. Resolver: 2x2 – 4x + 13 ³ 0D = 42 – 4(2)(13) = - 88
Como: D < 0, la curva no corta a la recta numérica, pero como es mayor cero,entonces la solución es todos los reales.
Rpta.: R
3. Resolver: 11>
x Restando a ambos miembros 1: 011
>-x
01<
-x
x
Puntos críticos: x = 1 x = 0
+ - +
0 1 Rpta.: ]0; 1[
4. Resolver: 13 +<+ xx - Determinamos el dominio: x + 3 ≥0, entonces: x ≥ - 3
31 +>+ xx( )22 3)1( +>+ xx
x2 + x – 2 > 0 - Calculamos los puntos críticos: x1 = - 2 ; x2 = 1 - Verificamos si las raíces verifican la inecuación irracional: Para x = - 2 : - 2 + 1 - 32 +- = - 2 no es raíz de la inecuación. Para x = 1 : 1 + 1 - 31+ = 0 si es raíz de la inecuación
- Determinamos el signo de la inecuación irracional: Para: x Î [-3; 1[ es ( - ) Para x Î ]1 ; +∞[ es ( + ) Solución: x Î ]1 ; +∞[
EJERCICIOS Y PROBLEMAS
1. La solución de la inecuación: – x2 + 8x – 7 > 0A) Â C) 0 < x < 7 E) N.A.B) –1 < x < 7 D) 1 < x < 7
2. Resolver:)2x(
)x7)(15x3)(12x2(+
-+-£ 0
A) [–5,2[ È [6, 7] B) ] –¥, –5] È ]–2, 6] È [7, +¥[ C)[–5,6]– {2}D) Â E) N.A.
a
b
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3. Resolver:)4x(x
6x+
+³ 0
A) ]–6, 0[ B) ]–¥, –6] È ]–4, 0[ C) [–6, –4[ È ]0, +¥[D) f E) N.A.
4. Resolver: (x + 4) (x + 2) > 0. Dar como respuesta un intervaloA) á–¥, –4ñ C) [4, +¥ñ E) N.A.B) f D) Â
5. Resolver: (x + 2) (x + 2) > 0A) ]–2, + ¥] C) [2, + ¥[ E) ]2, + ¥[B) f D) Â – {–2}
6. Resolver: (x – 1) (x – 1) < 0A) ]–1, + ¥] C) ]1, + ¥[ E) N.A.B) f D) Â
7. Resolver: (x + 6) (x + 6) £ 0A) [–6, + ¥[ B) f C) {–6} D) Â E) ]–¥, –6]
8. Resolver: x2 + 1 > 0A) [–1, + ¥[ C) {–1} E) ]–¥, –1]B) f D) Â
9. Resolver: x2 + 6x + 12 ³ 0A) [–3, + ¥[ C) {–3} E) N.A.B) f D) Â
10. Resolver: x2 + 2x + 2 < 0A) [–2, + ¥[ C) {–2} E) ]–¥, –2]B) f D) Â
11. Resolver:x3 < 2, y dar como respuesta el complemento del conjunto solución
A) ]0, 3/2[ B) [0, 3/2] C) ]–¥, 0[ È [3/2, + ¥[D) ]–¥, 0[ È ]3/2, + ¥[ E) N.A.
12. Resolver:1x2x
3x8x
++
³++
A) ]–1, –1/2] D) [–3, –1] È [–1/2, +¥[B) [–1, –1/2] E) ]–3, –1[C) ]–3, –1[ È [–1/2, +¥[
13. Si x Î á–2, 3ñ, además: a < x2 + 10x – 3 < b hallar b – aA) 55 B) –55 C) 36 D) 19 E) N.A.
14. Resolver: (x + 3) (x – 5) (x – 1) < 0A) á–¥, –3ñ È á1, 5ñB) á–¥, –3] È [1, 5ñC) á–¥, 1ñ È á3, 5ñD) á–¥, 1ñ È [3, 5ñE) N.A.
15. Resolver: x (x + 5) £ – 4A) á–¥, –4ñ C) á–1, +¥ñ E) [–4, –1]B) á–4, +¥ñ D) f
16. ¿Entre qué limites debe estar comprendido “n” para que la inecuación: x2 +2n x + n > 3/16, se verifique para todo valor real de “x”?
A) 4 < n < 5 D) 1/4 < n < 5/4B) 1/4 < n < 1/2 E) –1/4 < n < 3/4C) 1/4 < n < 3/4
17. Resolver: (x – 3)3 (x2 – 1)2 (x – 1)5 x > 0
A) x Î á–¥, 1ñ È53
,2
B) x Î á–¥, –1ñ È á5, 12ñC) x Î á0, 1ñ È á3, +¥ñD) x Î á–1, 0ñ È á1, 3ñE) N.A.
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18. Se tiene que: –1 < x – 1 < 1, entonces se cumple que: a < x2 – 1 < b donde:A) a + b = 2 C) a + b = –7 E) a + b = –9B) a + b = 12 D) a + b = 8
19. Resolver: 5223 x1)x2()1xx(2x -×-×+-×- > 0
A) á1 , ¥ñ – {2} B) [1 , ¥ñ C) á1 , ¥ñD) á2 , ¥ñ E) á–2 , ¥ñ
20. Resolver e indicar el valor que no pertenece al conjunto solución:
41x
31x -
ñ+
A) 0 B) 1 C) –2 D) –5 E) –10
1–D 2–B 3–C 4–A 5–D 6–B 7–C 8–D 9–D 10–B11–B 12–C 13–A 14–A 15–E 16–C 17–C 18–A 19–A 20–E
TEMA 5
FUNCIONES
Intuitivamente la palabra función se refiere a una asignación o correspondenciade un conjunto a otro. Por ejemplo: Considera un conjunto de estudiantes y unconjunto de edades, en que a cada estudiante le corresponde un número que essu edad en años.
Estudiante EdadEsteban 19
Kevin 18Isabel 21María 18Pablo 20
En la tabla se observa que a cada estudiante le corresponde una edad. A ese tipode asociación se le llama función.
Definición: Para dos conjuntos X e Y una función o aplicación es unacorrespondencia matemática denotada YXf ®: que asigna a cada x de X, unúnico f(x) de Y .
En el ejemplo anterior el dominio es {Esteban, Kevin, Isabel, María, Pablo} y elrecorrido es {18,19, 20, 21}. La función se puede ilustrar mediante un diagramausando flechas para indicar la forma en que se asocian los elementos de los dosconjuntos. Dibuja ese diagrama en el espacio provisto.
Nota: Si x es un elemento en el dominio de la función, entonces el elemento en elrecorrido que f asocia con x se denota simbólicamente f(x), y se llama la imagende x bajo la función f. En el ejemplo anterior f(Kevin) = 18, f(Isabel) = 21. Tambiénse conoce la imagen como el valor de la función f en x.
También “x” es la variable independiente, “y” es llamado variable dependiente.
NotaEl dominio de una función puede estar limitado por:1.- Por el propio significado y naturaleza del problema que representa.
EjemplosA. En la función f (x)=x 2 el dominio lo forman los números reales.Por ejemplo, f ( -8 )= ( -8 ) 2 = 64 . Como la expresión que define la función no tienerestricciones, el dominio de la función es R.
B. La función definida por f (x )=x+1 , tiene como dominio e imagen todos losnúmeros reales R
C. Con la sucesión de números reales (an)= (-n2+18) (es una función: f(n)=-n2+18)pasa algo parecido pues en principio no tenemos inconveniente en calcular laimagen de cualquier número real. No obstante, la propia definición de sucesiónnos hace considerar que solo son posibles las imágenes de números naturales.
2.- Por la expresión algebraica que define el criterio.A la hora de estudiar la expresión que representa una función tendrás quetener en cuenta tres aspectos fundamentales:
1 El radicando de una raíz de índice par debe ser positivo.
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2 Si se trata de una división, el divisor debe ser distinto de cero.3 La función logaritmo solo admite valores mayores estrictos que cero.
Ejemplos Calcula el dominio de definición de las siguientes funciones:
1) 2
21)( xxf = . En este caso, al no aparecer cocientes ni raíces ni logaritmos
en los que intervenga la variable x, podemos calcular la imagen a cualquiernúmero real. Por tanto Dom( f )= R
2) 1)( -= xxf Como el radicando de una raíz de índice par debe serpositivo, debemos exigir: x – 1 ≥ 0 → x ≥ 1→ Dom ( f ) = [1;+∞)
3)145)(
+-
=xxxf Ahora tendremos que los puntos que no pertenecen al
dominio son los que anulan al denominador. Veamos cuales son: x + 1=0luego x = - 1. Por tanto el dominio de f serán todos los números reales menosel -1: Dom(f )= R - {-1}
4) 21)( xxf -= Tengo que exigir de nuevo: 1 – x2 ≥ 0 → 1 ≥ x2 →-1≤x≤1 → Dom( f )= [-1 ; 1]
EjerciciosCalcula la imagen de los números 0, 1, 2, y 10 en las siguientes funciones:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) xxf.nnfsucesiónLa.x
xxm.xxg.xxf.
-=+=
-
-=-==
45344
133121
2
222
5.1 Definición
La gráfica de la función f es el lugar geométrico de los puntos del plano cuyascoordenadas satisfacen la ecuación y=f(x)
Operaciones con funciones Sean la funciones f1 y f2, se define:Suma de funciones: (f1+f2)(x)= f1(x)+f2(x) Dom(f1+f2)= Dom(f1) Ç Dom(f2)Diferencia de funciones: (f1-f2)(x)= f1(x)-f2(x) Dom(f1-f2)= Dom(f1) Ç Dom(f2)Producto de Funciones: (f1.f2)(x)= f1(x).f2(x) Dom(f1.f2)= Dom(f1) Ç Dom(f2)
Cociente de Funciones: ( ) ( )( )xfxfx
ff
2
1
2
1 =÷÷ø
öççè
æ Dom(f1/f2)= Dom(f1)ÇDom(f2)-{x / f2(x)= 0}
EjemplosCalcula la función suma de las siguientes funciones con sus dominios respectivos:
1.- f1 (x)=x 2 +1 y f 2(x )=-2x 2+4 y=(f1+f2)(x)=x 2+1-2x 2+4=-x 2+5 . Además, Dom(f1+f2)= Dom(f1) Ç Dom(f2)= R
2.- ( )x
xxf 11
+= y ( )
11
2 -+-
=xxxf
Entonces ( )( )xx
xx
xxff 1111
21 =-+-
++
=+
Además, Dom(f1+f2)= Dom(f1) Ç Dom(f2)= R - {0;1}
3.- Dadas las funciones f1(x)=x+1 y f2(x)=x+2 calcula (f1.f2)(x) así como (f1/f2) (x)con sus dominios respectivos.
( )( ) ( )( ) ( )212321
2
1221 +
+=÷÷
ø
öççè
æ++=++=×
xxx
ffxxxxxff
Su dominio Dom(f1 / f2)= Dom(f1) Ç Dom(f2)= R - {-2}
puesto que el -2 anulará el denominador de la función cociente.
4.- Sean f(x) = 2x – 1 ; g(x) = x + 3; hallar (f + g)(x) y (f /g ) (f + g)(x) = 3x + 2 ; Dom = R 1 Ç R 2 = R
( )312
+-=÷÷
ø
öççè
æxxx
gf ; Dom (f /g ) = R – {-3}
Observa que en la función cociente también hemos quitado del dominio elpunto -3 puesto que la función se anula para dicho punto.
5.2 Función compuesta.
DefiniciónDadas dos funciones y=f(x), z=g(y), se llama función compuesta (g o f ) a la función(gof ) (x)=g( f (x ) )
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Observando este esquema observamos que para que exista la función compuestaes necesario que el recorrido de la función f quede totalmente incluido en eldominio de la función g.NotaSi no se verificara esta condición podríamos construir una función compuestarealizando una restricción en los puntos donde no existen problemas. En estecaso, el dominio de definición de la nueva función sería:
Dom (g o f) = {x ÎDom(f) / f(x) ÎDom(g)}
Ejemplos
1.- Estudiar la existencia de la función compuesta de las siguientes funciones y encaso afirmativo calcularla: f(x)=x+1 g(x)=x2+1
En este caso el dominio de la función g es todo R. Cuando esto ocurra, la funcióncompuesta existe y el dominio de la misma coincidirá con el dominio de f.Por tanto, en este caso la función compuesta existe y Dom(gof) = Dom(f) = RAdemás (gof )(x ) =g ( f(x ) )=( f (x) ) 2+1=( x+1)2 +1= x 2+2x+1+1= x 2+2x+2
2.- Estudiar la existencia de gof en el caso:11)(
-+
=xxxf y 2)( xxg =
En este caso, Dom(g) = R luego el la función gof existe siendo ademásDom(g o f ) = Dom(f ) = (-∞, -1] È(1;+∞)
11
11))(())(()(
2
-+
=÷÷ø
öççè
æ-+
===xx
xxxfxfgfg o
3.- Dadas las funciones:21)(
+-
=xxxf y 31)( +=
xxg estudiar la existencia de gof y
de f o ga) Para g o fDom(g) = R - {0}. Por tanto, si existe algún punto del dominio de f tal que f(x)=0entonces no existirá g o f. Veámoslo:
1010210)( =«=-«=
+-«= xx
xxxf
Por tanto, como existe un punto verificando eso, la función gof no existe en estecaso. No obstante construyamos una restricción. Para ello bastará con quitar aldominio de f los puntos que verifican que f(x)=0. Dom(f ) = R - {-2} y Dom(gof ) = R - {-2,1}
b) Para f o gDom(f ) = R - {-2}.Por tanto habrá que comprobar si existe algún punto tal que g(x)=-2:
51512312)( -=«-=«-=+«-= x
xxxg
Como existe un punto en esas condiciones, no existe fog. No obstanteconstruyamos una restricción. Para ello bastará con quitar al dominio de g lospuntos que verifican que g(x) = -2.
Dom(g) = R - {0} y Dom(gof ) = R - {-1/5,0}
4.- Sean: f:R→R / f(x) = x2, y g: R→R / g(x)=x+2,Para gof
img (f )ÌDom(g)→(gof)(x)=g[f (x)](gof)(x)=g[f(x)]=g(x2)=x2+2
Para fogimg (g)ÌDom(f )→(fog)(x)=f [g(x)]
(fog)(x)=f[g(x)]=f(x+2)=(x+2)2
5.3 DefiniciónSe llama función identidad a la función que le hace corresponder a cada númeroreal el propio número. Se representa por I(x).
5.4 DefiniciónUna función f se dice inyectiva o función uno a uno, si verifica que dos puntosdistintos no pueden tener la misma imagen. De otra forma:
f es inyectiva ↔ ( "x1, x2 talque f(x1)=f(x2)→x1=x2 )
5.5 DefiniciónUna función se llama sobreyectiva si todo elemento “y” de B es imagen de algúnelemento “x” del dominio, es decir f: A→ B es tal que:
RBAyxfAxBy Ì=Î$Î" ,;)(/,
Por ejemplo, f: R → R / f (x)=x2 no es inyectiva ni sobreyectiva.h : R → R , h(x)= x3 es sobreyectiva.
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4
5
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7
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9
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6
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-8
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-3
-2
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0
1
2
3
4
5
6
7
-3 -2 -1 0 1 2 3
f : [0;+¥) → R talque : f(x) = x2 es inyectiva.
DefiniciónSea f:A→B una función inyectiva, entonces existe la función inversa de f denotadapor f - 1 , donde f - 1 : B→A definida por :
f - 1 (y)=x si y sólo si f (x)=y
Ejemplos1.- Calcular, si es posible la función inversa de
En primer lugar debemos estudiar si la función en cuestión es inyectiva o no:
212112212121
12212
2
1
121
332222
)1)(2()1)(2(12
12)()(
xxxxxxxxxxxx
xxxxxx
xxxfxf
=®=®--+=--+®
®+-=+-®+-
=+-
®=
Con esto queda probado que la función f es inyectiva y por tanto existe f -1.Calculémosla:
( )
( )12
12
2112
1
---
=Þ---
=
Þ-=+Þ+-=
-
xxxf
yyx
xxyxxy
5.6 FUNCIONES ELEMENTALES:
5.6.1.LA FUNCIÓN LINEALTiene por ecuación: y=ax, con “a” se llama pendiente y, cuanto mayor sea mayores la inclinación de la recta que la representa.5.6.1.1 Características:-Su dominio es Dom(y)= R-Es una función impar (simétrica con relación alorigen de coordenadas).Corta al eje X y al eje Y sólo en el punto (0, 0).-Crece si a>0 y decrece si a<0.-Su gráfica es una recta que pasa por el origende coordenadasEJEMPLOLa gráfica de y=-2x es:
5.6.2 LA FUNCIÓN AFÍNSu ecuación es: y=mx+b“m” es la pendiente. “b” es la ordenada al origeny representa la distancia desde el punto donde lagráfica corta el eje Y hasta el origen decoordenadas.Características:-Su dominio es Dom(y)= R-Es continua.-Corta el eje Y en (0, b) y al eje X en (-b/m, 0).
EJEMPLOLa gráfica de: y=4x-2 es:
5.6.3. LA FUNCIÓN CUADRÁTICATiene por ecuación general: f (x)= ax2+bx+c con a≠0 y su gráfica es una parábola.Características:
Vértice situado en÷÷ø
öççè
æ÷øö
çèæ--
abf,
ab
22.
-El domino es Dom(y)= R-Es continua. Corta al eje Y en (0, c).-Si a>0, la parábola se abre hacia arriba y si a<0,la parábola se abre hacia abajoEJEMPLOEn la función: y=x2-4x+3Como a=1>0, entonces la parábola se abre haciaarriba y la abscisa del vértice es (-(-4)/2(1))=2 yf(2)=-1 así el vértice es el punto (2-1). Y la gráficaes:
5.6.3 LA FUNCIÓN DE PROPORCIONALIDAD INVERSA
Su ecuación es: k ≠ 0;
Su gráfica es una hipérbola que tiene como asíntotas a los ejes coordenados.Características-El dominio es: Dom(y)= R -{0}-La función presenta una discontinuidad de salto infinito en x = 0.-No corta a los ejes de coordenados.-Es una función impar y simétrica con relación al origen de coordenadas.
12)(
+-=
xxxf
xky =
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
-3 -2 -1 0 1 2 3
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-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
EJEMPLOLa tabla de valores de la función
xy 8-
= es:
Y su gráfica es:
5.6.7.APLICACIÓN DE LAS FUNCIONES A LA RESOLUCIÓN DEPROBLEMAS
Ejemplo 1:Encontrar la ecuación de la función afín que pasa por los puntos cuyascoordenadas son (-1, 3) y (4, 7).Sabemos que una función afín es de la forma:y=mx+nSustituyendo x e y por los valores de las coordenadas de los dos puntos dados seobtiene el siguiente sistema de ecuaciones:
þýü
=+=+-
743
nmnm
Restando miembro a miembro nos da:5445 =®-=- mm
Y, sustituyendo en la 1ª:5
19354
=®=+- nn
Y la función pedida es:5
1954
+= xy
Ejemplo 2:
La compañía telefónica nos cobra mensualmente, 4 por alquiler de la línea y 40céntimos de euro por cada minuto hablado. Escribe la ecuación de la función quenos da el gasto en relación de los minutos hablados. ¿Cuánto habrá que pagar sihemos hablado 2 horas? ¿Cuántos minutos hemos hablado si hemos pagado 35?
La ecuación de la función es: y=0,4x+4
Si hacemos x=120 minutos. y=0,4*120+4=52
Si hemos pagado 35, habremos hablado: 35=0,4x+4 → x=77,5
Es decir, 1 hora, 17 minutos y 30 segundos.
Ejemplo 3:¿Cuál es la ecuación de la parábola que pasa por los puntos (0, 4), (2, 0) y (-2, 0)?
La ecuación general será: y=ax2+bx+c
Para cada uno de los puntos dados obtenemosc=44a+2b+c=04a-2b+c=0
Estas dos últimas forman un sistema de ecuaciones (una vez sustituido el valor dec dado por la 1ª) que resuelto da:
0188424424
=Ù-=®-=®þýü
-=--=+
baababa
Y la ecuación es: y = -x2+4
Ejercicios y problemas
1. Si: f(x) =8
1)1x2( 2 -+ , hallar: f(1) + f(0)
A) 1 B) 0 C) –1 D) 2 E) 3
2. Si: f(x) = 4x + 2 y H(x) = x2 – 1, hallar f(H(1))A) 3 B) 2 C) 1 D) 0 E) –1
3. Si: f(2x+2) = 3x+6, hallar f(6)A) 12 B) 6 C) 24 D) 18 E) 15
x 8 4 2 1 -1 -2 -4 -8y -1 -2 -4 -8 8 4 2 1
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4. Si: f(2x–1) = 3x4 - + 4x7 + , hallar f(5)
A) 3917 + B) 10 C) 8 D) 12 E) 9
5. Si: R(x) = 3x – 2x, S(x) = 4, T(x) = R(x) / S(x)son correctasI. R(2) = 5II. S(1) = S(2) = S(3) = 4III. T(4) = 75/4
A) Sólo I C) Sólo III E) TodasB) Sólo I y II D) Sólo I y III
6. Si: f(x) = 3x + 4, hallar “z” en: f(5z) – f(z–1) = 15A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
7. Dada la función: g(x) = nx2 + m se conocen las coordenadas (1, 8); (3, 16).Dar el valor de: (m+n)/4nA) 7 B) 8 C) 2 D) 4 E) 1
8. Si g es función:g(x) = {(0, 2m–n), (0, n), (3, 5p), (0, 2–n), (3, –10–5p) (12, 3–q), (12, 9+2q)}hallar: (m + n + q) / pA) –1 B) 1 C) 0 D) 2 E) N.A.
9. De:
Se cumple:I. f(2) + f(3) = 29II. f(f(2)) = 61III. f(x) = 5x + 2
A) Sólo I C) Sólo I y III E) TodasB) Sólo I y II D) Sólo II
10. Dada la función:6x1x4)x(f
+-
= para x ¹ -6 su inversa es:
A)4xx61
-+ B)
4x)x61(
--- C)
4xx61
++
D)4x
)x61(-+- E)
4xx61
+--
11. Dadas las funciones: f = {(3, 4), (2, 5), (-1, 4), (-3, 4)}
g = {(2, 1), (3, -1), (-1, 0), (6, -3), (1, -1)}; El dominio de :esgf
A) {2, 3} B) {0, 3} C) {-1, 3} D) {-2, 5} E) {4, 1}
12. Si: f = {(-3, 2), (0, 0), (2, 4), (3, -1), (4, 3)} g = {(2, 0), (3, 4), (4, 7), (6, 2)}. Hallar: f + g
A) {(2, 4), (3, 3), (4, 10)} B) {(2, 4), (4, 2), (6, 6)}C) {(-1, 2), (3, 4), (6, 11)} D) {(4, 4), (6, 3), (8, 10)} E) f
13. Si f(x) = 2x2 – 1 y g = {(-1, 2 ), (0,1), ( 9,2 ), (3, 12)}, hallar (f+3g)( 2 )
A) 2 B) 27 C) 30 D) 18 2 E) 2
14. Si: f = {(-3, 2), (0, 0), (2, 4), (3, -1), (4, 3)} y g = {(2, 0), (3, 4), (4, 7), (6, 2)},Hallar: f + gA) {(2, 0), (3, -4), (4, 21)} B) {(2, 4), (4, 2), (0, 0)}C) {(4, 0), (9, -4), (16, 21)} D) {(4, 4), (2, 2), (3, 3)} E) f
15. Si f = {(-3, 2), (0, 0), (2, 4), (3, -1), (4, 3)} y g = {(2, 0), (3, 4), (4, 7), (6, 2)}. Hallar: f . g
A) {(2, 4), (3, 3), (4, 10)} B) {(2, 4), (4, 2), (6, 6)}C) {(-1, 2), (3, 4), (6, 11)} D) {(4, 4), (6, 3), (8, 10)} E) f
16. Dadas las funciones: f(x) = 2x9 - yg(x) = {(-3, 2), (-2, 3), (0, 1), (1, -1), (2, 4), (6, 5)} Hallar el dominio de: (f -g)
A) {-2, -3, 1, 2} B) {-3, -2, 0, 1, 2, 6} C) {-3, -2, -1, 0, 1, 2}D) {-3, -2, 0, 1, 2} E) {-3,-2, 0}
17. Sean las funciones: f = {(0, -1), (1, 5), (2, 0)} y g = {(0, 1), (1, 0), (2, 4), (3, 8)}Determinar los elementos de:
gf
A) {(1, 0), (-2, 2)}B) {(0, -1), (2, 2)}C) {(0, -1), (2, 0)}D) {(0, -1), (1, 0), (2, 0)}E) f
246
10M
x f(x)
12223252M
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18. Dadas las funciones reales: f(x + 1) = x2, x Î <-1, 7] yg(x - 1) = 2x – 1, x Î [1, +¥>, hallar: (f o g )(x)A) 4x2 B) 2x2 C) 2x + 1 D) x2 + 2x – 1 E) x + 1
19. Si f(x) = 2x2 - 3x y g(x) = x2 – x + 2 dos funciones reales, determinar: (g o f)A) 4x4 – 12x3 + 7x2 + 3x +2 B) 4x4 + 2x3 + 7x2 + 3x + 1C) x4 + 2x3 – 7x2 + x – 2 D) x4 + 1E) x4 -12x + 7x2 + x
20. Si f(x) =2x
1+
hallar el rango de la función inversa de f
A) R – {-2} B) R – {2} C) R – {4} D) [0, 4> E) R+
21. Si f y g son dos funciones definidas por: f(x) = x2 – 4 y g = {(2, -1), (4, 5 ), (7, 5 )}. Hallar f o gA) {(-3, 2), (1, 4), (7, 1)} B) {(2, -3), (4, 1), (7, 1)}C) {(0, -1), (1, 0), (2, 1)} D) {(0, 4), (1, -3), (2, 0)} E) f
22. Sea la función F dada por: F = { (3; 7a + 2b); (2; 5); (2; a + 2); (3; 5b – 2a )};Diga cuál o cuáles son funciones:I. R1 = {(a, b);(b – a ; 5) ; ( 5; b – a ); (a + b; 5 )}II. R2 = {(3, b); ( b; 3); (3; 8);( 9; 2a – b )}III. R3 = {(3, 5);(9; 7);(b; a);(5a; 3b)}A) Solo II y III B) Solo III C) Solo I y IIID) Solo I E) Solo II
23. Sea F la función definida por: ( ) ( ) 2222 bxaxsenxF --=
Donde a y b son constantes. ¿Cuál es el dominio de “F”, siendo a < b?A) >¥+È--¥< ;a[]a;B) IRC) >¥+È--¥< ;b[]b;D) ><È--< b;a]a;bE) N.A.
24. Se define f(x) como función par, si se cumple que:f(–x) = f(x), para todo x. Según esto son funciones pares:I. f(x) = –x4
II. f(x) = xIII. h(x) = 8xA) Sólo I C) Sólo I y II E) Sólo I y IIIB) Sólo II D) Sólo II y III
25. Sea: g(x) =
ïïî
ïïí
ì
££<£-
<£-+
100x8,38x4,6x
4x1,x2hallar: M =
)100(g)99(g)98(g)7(g)2(g)1(g
++++-
A) 1 B) 9/4 C) 4/9 D) 7/6 E) N.A.
26. Si: f(x) = 3x2 – 6x + 4; p(x) = 2x2 y T = {a Î N / f(a) = p(a+1) – 7}hallar n(T)A) 0 B) 9 C) 1 D) 2 E) N.A.
27. Si: G : N Þ N Ù G(x) = 3 – x7 - ; son ciertas:I. Dom (G) = {0, 3, 6, 7}II. Ran (G) = {1, 2, 3}III. n(Dom (G)) = 3A) Sólo I C) Sólo II y III E) N.A.B) Sólo II D) Todas
28. Se define la función f en A = {2, 4, 6} donde: f = {(2,6); (4, m+3);(n–1,6 ); (4,4)}Luego m.n:A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9
29. Dadas las funciones de recta: f(x) = 2x + 3 y g(x) = 33 – ax y además seintersectan en (5, b); hallar a + bA) 7 B) 13 C) 19 D) 18 E) N.A.
30. Hallar: f(12) en:
A) 14 B) 10 C) 8 D) 19 E) N.A.
31. Si: f(x) = 3x + 7 y g(x) = 2x + 18; A = {x Î N+ / f(x) £ g(x)}, hallar: n(A)A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11
32. Si: f(x) =ïî
ïí
ì
³<£
<+
10xx210x30
3x7x
–8
f(x)
x
y
37°
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31
hallar:)2(f
)11(f)5(f)0(f-
-+
A) 3 B) –3 C) 1 D) –1 E) 0
33. Hallar: Dom(f) Ç Ran(f)
A) [1, 10[ C) ]1, 10] E) N.A.B) ]1, 10[ D) ]1, 12[
34. De la siguiente función:
hallar:)))5(f(f(f
))7(f(f)2(f +
A) 1 B) 2 C) 3 D) 1/5 E) N.A.
35. Hallar el rango de f(x) = –|x| + 3A) ]3,¥-B) lRC) R–
D) [ ¥,3E) lR+
36. Hallar rango: ( ) 3x2xf +-=
A) a,1 B) α2,- C) [ α3, D) [ α2, E) [ ]32,
37. ¿Cuáles de las siguientes gráficas representan una función?I.
II.
III.
A) Solo I D) Solo IIIB) Solo II E) TodasC) Solo II y III
38. Halla el rango de P, si P(x) = 4x2 – 16x + 17A) ] –1 ; 1 [ C) ] –1 ; ¥ [ E) [ 2 ; ¥ [B) [ 1 ; ¥ [ D) [ –1 ; ¥ [
39. Dada la función f definida según:f(x) = –2x2 + 16x – 16, 1 £ x < 5halla Ran (f) – Dom (f)A) [ 5 ; 16 ] B) [ –2 ; 1 [ È [ 5 ; 16 ] C) [ – 2 ; 5 [D) [ 1 ; 16 [ E) N.A
40. Halla el valor de a, si (2; n) es uno de los puntos de corte de la parábola cuya
ecuación es: y =21 x2 + 1 y la recta cuya ecuación es: y = –2x + a
A) 7 B) 5 C) 4 D) 3 E) 1
41. Resolver:( )
( ) 613xSign
14x20xsign4
22
<++
--++
A) [-4; 4] B) <-4; 4> C) [-5; +5> D) <-5; 5> E) N.A.
10
x
y
–7 –5 2 12
4
1
2
7
5
A B
2
5
7
f
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
(2; n)
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32
42. Hallar el área del triángulo que se genera por la intersección de la función F:y = 2 - |x + 1|. Con el eje “x”A) 2u2 B) 8u2 C) 4u2 D) 10u2 E) 6u2
TEMA 6
FUNCIÓN EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA
6.1. Función Exponencial.- Una función exponencial de base a es aquella cuyaregla de correspondencia es xaxf =)( ; con a real positivo y .1¹a Dondeel RfDom =)( , [.,0])( +¥=fRang
y=ax
0<a<1
X
(0,1)
y=ax
1<a
X
(0,1)
YY
6.1.1 Ecuaciones e Inecuaciones Exponencialesa. Si )()( xgxf bb = Û ).()( xgxf =b. Si aa xgxf )()( = Û ).()( xgxf =c. Si )()()()( xgxfbb xgxf <«< cuando .1>bd. Si )()()()( xgxfbb xgxf >«> cuando .1>be. Si )()()()( xgxfbb xgxf >«< cuando .10 << bf. Si )()()()( xgxfbb xgxf <«> cuando .10 << b
6.2. Función Logarítmica.- Si 0>b y 1¹b entonces la función xlog)x(f b= sellama función logaritmo de base b cuyo [,0])( +¥=fDom , .)( RfRang =
6.2.1 Ecuaciones de Logaritmos: Nxlogb = Û Nbx = para .10 ¹< ba. xb xb =log
b. 01log =b
c. 1log =bb
d. yxxy bbb logloglog +=
e. yxyx
bbb logloglog -=
f. xnx bn
b loglog =
g. xn
x bn
b log1log =
h. xnmx b
mbn loglog =
i.xb
bx 1
1loglog =
j. ba
xaxb loglog
log =
k. yx = sí y solamente sí
yx bb loglog =
l. yx bb xy loglog =m. 1log.log =bx xb de aquí
bx
xb log
1log =
n. wwzy xzyx loglog.log.log =
o. xx bb logcolog -=p. x
b bxanti =log
6.2.2 Inecuaciones de Logaritmos
Siendo 10 << byxyx bb <®> loglogyxyx bb >®< loglog
Siendo 1>byxyx bb >®> loglogyxyx bb <®< loglog
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33
6.3. Consecuencias
Función Exponencial base (e)
y=ex
X
(0,1)
Y
( )( ) ] [+¥=
=;fRang
RfDom0
Función logaritmo de base 10
y=log x
X(1,0)
Y
( ) ] [( ) RfRang
;fDom=
+¥= 0
Observación. Se cumple que: xlnxloge =
EJERCICIOS
1. Resolver: ( )1 2log x log 7x 12 0+ - + =
A) 3 B) 2 C) 3/2 D) 2/3 E) N.A.
2. Hallar el mayor valor de: ( )2log x 7x 21 log 2511 115 3- +
=A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
3. ( ) ( ) ( )2 2 2Log cos2x Log senx 1 log cos x- = +
A) p/4 B) /8p C) / 2p D) p E) 3p
4. Hallar el dominio de la función cuya regla de correspondencia viene dada por:
( )2
xx x 12F Log
3x 4æ ö+ -
= ç ÷ç ÷-è ø
A) R B) f C) 4x 4; 3;3
Î - È +¥
D) ]x ;0Î -¥ E) N.A.
5. A partir de la gráfica de cierta función exponencial.
Halle la regla de correspondencia
A) x2 B) 1 C)x1
9æ öç ÷è ø
D) x3 E) x9
6. Resolver: ( ) ( )lognn 10Log 2x 1 Log x 1 n- + - =
A) x = 3 B) x = 2 C) x = f D) x = 5 E) x = 6
7. Proporcionar el valor de x si ( ) ( )x 1 x 12 2Log 9 7 2 log 3 1- -+ = + +
A) { }C.S 1,2= B) { }C.S 3,4= C) { }C.S 5,6=
D) { }C.S 2,3= E) { }C.S 1,3=
8. Resolver: 3x 2x xe 2.e 2e 3 0- - - =A) Ln 2 B) Ln 3 C) Ln 4D) Ln 5 E) N.A.
9. Luego de resolver: 32 log9 log3492A log 3.log 4 5 .4= +
( ) ( )2colog anti log 43 31 323
B anti log log anti log 2-
= dar el valor de ( ) 1AxB -
A) 0,32 B) 0,64 C) 3,2 D) 6,4 E) 1,25
10. Resolver: [ ]25log28log18log212xlog -++=
A) 48 B) 49 C) 50D) 51 E) 52
y
x
3 ;272
æ öç ÷è ø
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11. Resolver: ( ) ( ) 12xlog3xlog 66 =-++A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
12. Hallar “a” en: ( ) 12log2alog4 =+A) 96 B) 97 C) 98 D) 99 E) 100
13. Hallar “a” en: ( )23 2/alog64logalog =-A) 13 B) 14 C) 15 D) 16 E) 17
14. Resolver: 14xlog12,1log7xlog +-=-+
A) 3 B) 4 C) 5 D) 1 E) 2
15. Hallar “x”: ( )100log
clogblogalogxlog +-=
A)bca B)
bc1 C)
ba
D)c
ab E)2a
16. Resolver: ( ) ( )5x3log81log1x5log 393
27 -+=-A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
17. Resolver: 03log3log.3log 81/x3/xx =+A) 9 Y 1/9 B) 9 Y 2/9 C) 9 Y 3/9D) 9 Y 4/9 E) 9 Y 5/9
18. Resolver: ( ) ( )3x3xlog24xlog1 22 --+=-+A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9
19. Hallar “x”: ( ) 10log5x3xlog a2
a 310 =+-
A) 2 Y 1 B) 3 Y 1 C) 4 Y 2 D) 1 Y 5 E) 2 Y 6
20. Resolver en R+ ( ) 5logxlog27logxloglog2 --=A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10
21. Dada la ecuación 0x
10x43
xlog =÷÷ø
öççè
æ- Hallar el producto de las raíces
A) 10-1 B) 10-2 C) 8-2 D) 9-1 E) 10-10
22. El valor de “b” que satisface la ecuación: ( ) ( ) 049log49log b2
b =+-A) 6 B) 3 C) 8D) 9 E) 10
23. Si “x” es un número real y
x2
1x xa xxlog2 x
1
=÷÷÷
ø
ö
ççç
è
æ- Donde:
x
x1
xa÷ø
öçè
æ
= ; Calcular el valor de “x”
A) 2 B) 2 C) 3 D) 9 E) 10
24. El valor de P que satisface la siguiente igualdad.23125log 4
b =
A) 3 B) 7 C) 8 D) 9 E) 5
25. Hallar “x” si10x + 10-x = 3
A)úúû
ù
êêë
é ±2
53log B)úúû
ù
êêë
é +2
53log C)úúû
ù
êêë
é -2
53log
D)úúû
ù
êêë
é ±3
53log E)úúû
ù
êêë
é ±2
52log
26. Simplificar la expresión÷øöç
èæ 34log
3 8log2
A) 8 B) 7 C) 8 D) 9 E) 6
27. Sea el sistema. 1ylogxlogba
=- i x – y = 0.75
Hallar las soluciones siendo: a = 0.25 y b = 0.5A) x = 0.25 Ù y = 1 ; x = 2.25 Ù y = 3B) x = 0.25 Ù y = 1 ; x = 2.25 Ù y = 2C) x = 0.25 Ù y = 1 ; x = 1.25 Ù y = 3D) x = 0.25 Ù y = 2 ; x = 2.25 Ù y = 3E) x = 25 Ù y = 1 ; x = 2.25 Ù y = 3
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35
28. Si: P1010 yx =+ úû
ùêë
é-+
=-qpqplogyx Hallar 10x – 10y
A) 4 B) 1 C) 0 D) q E) 2q
29. Resolver: ( ) 16xantiantixx
=loglogA) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
30. Resolver ( ) ( ) 25x3logco1x5log33
=-+-
A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1
31. Resolver:( ) ( )3 10blog.aE
b
100aa
log
=
A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10
32. Hallar 3 25log2 2baM -= Si: ( ) 24balog 24b2a
=-+÷øöç
èæ +
A) 1 B) 3 C) 5 D) 7 E) 9
TEMA 7
FUNCIÓN POLINÓMICA
Una función polinómica tiene la forma:
0;)( 012
21
1 ¹++++++= -- n
nn
nn
nn aaxaxaxaxaxaxf L
y diremos que tiene grado “n”, o sea el mayor exponente al cual se halle elevada x.
El dominio de todas estas funciones polinómicas es el conjunto de los númerosreales. Son funciones continuas, tienen tantas raíces como indica su grado. Enocasiones una misma raíz se repite (orden de multiplicidad).
La función será llamada incompleta si alguno de los ai es igual a cero.
7.1 Componentes de un polinomio:Se llama término a cada uno de los distintos grupos que componen un polinomio yque vienen precedidos por un signo + ó -.Se llama grado de un término al exponente con el que figura la indeterminada enese término (Factor numérico del mismo).Se llama término constante al coeficiente numérico que no contiene variable,solamente posee coeficiente.En toda expresión algebraica encontraremos grados relativos (están en relación acada una de las letras de la expresión algebraica) y un grado absoluto (referido atoda la expresión).Un monomio es una expresión algebraica en la que las únicas operaciones queaparecen entre las letras son el producto y la potencia de exponente natural.
7.2 Grado Relativo de un monomio:El grado relativo de un monomio no es otra cosa que el exponente que afecta acada letra. (La parte numérica no tiene ninguna importancia).
8x3 y5
GR(x) = 3 (el Grado Relativo con respecto a la letra “x” es 3)GR(y) = 5 (el Grado Relativo con respecto a la letra “y” es 5)
7.3 Grado Absoluto de un monomio:El grado absoluto de monomio es la suma de los exponentes de todas y cada unade las letras.
8x3 y5
GA = 3 +5 = 8 (el Grado Absoluto es 8)Un polinomio es una expresión algebraica que se obtiene al expresar cualquiersuma de monomios no semejantes.
7.4 Grado de un polinomio: Es el grado del término de mayor grado.· El término de primer grado se llama término lineal.· El término de grado cero se denomina término independiente.
7.5 Grado Relativo de un polinomio:El grado relativo de un polinomio es el exponente que afecta a cada letra teniendoen cuenta que tendremos tantos grados relativos como letras tenga la expresiónalgebraica.El grado relativo de un polinomio esta representado por el mayor exponente dedicha letra o variable.Ejemplo: - 9 x4 y3 + 14 x6 y5
· GR(x) = 6 (Grado relativo con respecto a la letra “x” es 6)· GR(y) = 5 (Grado relativo con respecto a la letra “y” es 5)· Los grados relativos no son necesariamente del mismo término.
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36
7.6 Grado Absoluto de un polinomio:El grado absoluto de un polinomio es la suma de los exponentes de todas y cadauna de las letras pero teniendo en cuenta que sólo se tomara el valor mayor de losresultados que obtengas. (Se trabaja independientemente cada uno de lostérminos y se suma los exponentes).
9 x4 y3 + 14 x6 y5
Primer término= 4+3 sumados dan 7.Segundo término= 6+5 sumados dan 11.
GA = 6 (el Grado Absoluto es 6)
7.7 Grado de las operaciones algebraicas:El grado de una operación algebraica se determina después de realizaroperaciones indicadas:
· Grado de un producto: Se suman los grados de los factores.· Grado de un cociente: Se resta el grado del dividendo menos el grado
del divisor.· Grado de una potencia: Está dada por el grado de la base multiplicado
por la potencia.· Grado de una raíz: Está dado por la división del grado del radicando
entre el índice de la raíz.
7.8 Polinomios especiales:7.8.1.- Polinomios homogéneos: Son aquellos cuyos términos monomios tienen
igual grado. (Al restarlos obtenemos un polinomio nulo). Grado absoluto = Grado de homogeneidad
7.8.2.- Polinomio Heterogéneo: Son aquellos cuyos términos monomios tienediferente grado.(Al sumarlos obtenemos un polinomio nulo).
7.8.3.- Polinomios Completos: Un polinomio completo con respecto a una letraes cuando contiene todos los exponentes consecutivos desde el más alto, almás bajo.Un polinomio es completo si aparecen en todas potencias menores de lavariable, a partir de la mayor de ellas. (En caso de ser necesario se completaagregándole con coeficiente nulo los términos faltantes.
7.8.4.- Polinomios Ordenados: Cuando los monomios que lo componen estánescritos en forma creciente o decreciente según sus grados.
Es aquel que con respecto a la letra llamada ordenatriz, los exponentes vande menor a mayor o viceversa.
7.8.5.- Polinomio Mónico: Si su coeficiente principal es 1. (El coeficiente de sumayor término es 1)
7.8.6.- Polinomios Idénticos: Dos polinomios son idénticos si tienen el mismogrado y los términos de igual exponente en x tienen los mismos coeficientes.
7.8.7.- Polinomio idénticamente nulo: Cuando todos sus coeficientes son nulos.
P(x) es equivalente a "0"
7.9 FUNCIONES POLINÓMICAS DE GRADO MAYOR QUE 2.La gráfica de una función polinómica de primer grado es una línea recta y la deuna función polinómica de segundo grado es una parábola vertical.Indudablemente, un elemento clave en el dibujo de la gráfica de una funciónpolinómica lo constituye la obtención de los interceptos con los ejes; en particular,los interceptos con el eje X. Para obtener éstos últimos debemos resolver laecuación polinómica correspondiente, recurriendo a los métodos: teorema delfactor y la división sintética. Por ejemplo:
· La función f(x) = x3 + 6x2 + 10x + 8 = (x + 4)(x2 + 2x + 2) tiene un interceptocon el eje X en x = - 4 y un intercepto con el eje Y en (0, 8)
· La función f(x) = 2x4 – x3 – 19x2 + 9x + 9 = (x + 3)(2x + 1)(x – 1)(x – 3) f(x) = 2x4 – x3 – 19x2 + 9x + 9 = (x + 3)(2x + 1)(x – 1)(x – 3)
tiene cuatro interceptos con el eje X: en x = -3, x = - ½, x = 1 y x = 3, y unintercepto con el eje Y: (0; 9)
· La función f(x) = 4x6 – 24x5 + 45x4 – 13x3 – 42x2 + 36x – 8f(x) = (x + 1)(2x – 1)2 (x – 2)3 tiene tres interceptos con el eje X en x = -1,
x = ½ y x = 2, y un intercepto con el eje Y en (0; -8)· La función f(x) = 3x5 – 19x4 + 16x3 + 70x2 – 100x + 48
f(x) = (x + 2)(x – 3)(x – 4)(3x2 – 4x + 2) tiene tres interceptos con el eje X enx = -2, x = 3 y x = 4, y tiene un intercepto con el eje Y en (0; 48)
OPERACIONES CON POLINOMIOS
1) Efectuar la siguiente multiplicación: (3x3 – 5x2 + 6x – 8) (4x2 – 5) Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos
segundo polinomio.= 12x5 – 15x3 – 20x4 + 25x2 + 24x3 – 30x – 32x2 + 40
Se suman los monomios del mismo grado: 12x5 - 20x4 + 9x3 – 7x2 – 30x + 40 Se obtiene otro polinomio cuyo grado es la suma de los grados de los
polinomios que se multiplican.
2) Resolver la división de polinomios:P(x) = x5 + 2x3 − x - 8 Q(x) = x2 −2 x + 1
P(x) : Q(x)
A la izquierda situamos el dividendo. Si el polinomio no es completocolocamos ceros en los lugares que correspondan.
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37
128020 22345 +---+++ xxxxxxx
A la derecha situamos el divisor dentro de una caja.Dividimos el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor.x5 : x2 = x3
Multiplicamos cada término del polinomio divisor por el resultado anterior y lorestamos del polinomio dividendo:
8022
128020
234
3345
22345
--++-+-
+---+++
xxxxxxxx
xxxxxxx
Volvemos a dividir el primer monomio del dividendo entre el primer monomio deldivisor. Y el resultado lo multiplicamos por el divisor y lo restamos al dividendo.2x4 : x2 = 2 x2
825242
80222
128020
23
234
234
23345
22345
----+-
--+++-+-
+---+++
xxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxx
Procedemos igual que antes.5x3 : x2 = 5 x
8685105
825242
802522128020
2
23
23
234
234
23345
22345
---+-
----+-
--++++-+-+---+++
xxxxx
xxxxxx
xxxxxxxxxx
xxxxxxx
Volvemos a hacer las mismas operaciones.8x2 : x2 = 8
16108168868
5105825
242802
8522128020
2
2
23
23
234
234
23345
22345
--+-
---+-
----+-
--+++++-+-
+---+++
xxxxxxxxxxx
xxxxxxx
xxxxxxxxxxxxx
Así, 10x− 16 es el resto, porque su grado es menor que el del divisor y por tantono se puede continuar dividiendo. El cociente de la división es x3+2x2 +5x+8.
Ejercicios resueltos:
1. Sea el binomio: E(x,y) = axa+2 y3 + 2x5y3 – 3xb-5 y2 + bx3y2
Calcular: a . b
Resolución: Por ser un binomio:axa+2 y3 ; 2x5 y3 son semejantes
- 3xb-5 y2 ; bx3 y2 son semejantes
Luego: a + 2 = 5 b – 5 = 3 a = 3 b = 8
Entonces: a.b = (3)(8) = 24
2. Si: = x2001 – 4x1999 + 3x – 1
Calcular: P(3)
Resolución: 311
=-+
xx de donde: x = 2
Luego: P(3) = 22001 – 22.21999 + 3(2) – 1= 5
3. Si: f(x) = 3x + 2 Ù P(x) = 2 f(x) + x + 1Calcular: H = f(4) + P(1)
÷øö
çèæ
-+
11
xxP
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Resolución: f(4) = 3(4) + 2 = 14 P(1) = 2 f(1) + 1 + 1 = 2[3(1) + 2] + 2
= 12Entonces: H = 14 + 12 = 26
4. Dado el polinomio:P(x) = 4x5 – 6x4 + 12x2 – 18. Determinar el coeficiente de x5 de otro polinomioque al restar de P(x) resulte – 2x5.
Resolución: El polinomio sustraendo será de la forma:S(x) = ax5 – 6x4 + 12x2 – 18
De donde: P(x) – S(x) = (4 – a)x5
4 – a = - 2 - a = - 6 a = 6
PRODUCTOS NOTABLES:
Producto algebraico que responden a una regla cuya aplicación simplifica laobtención del resultado.
Los productos notables más importantes son:Binomio de Suma al Cuadrado
( a + b )2 = a2 + 2ab + b2
Binomio Diferencia al Cuadrado( a - b )2 = a2 - 2ab + b2
Diferencia de Cuadrados( a + b )( a - b ) = a2 - b2
Binomio Suma al Cubo( a+b )3 = a3 + 3 a2b + 3 ab2 + b3
= a3 + b3 + 3 ab (a +b)
Binomio Diferencia al Cubo( a - b )3 = a3-b3-3ab(a-b)
Suma de dos Cubosa3 + b3 = (a + b )( a2 – ab + b2)
Diferencia de Cubosa3 - b3 = ( a - b ) ( a2 + ab + b2)
Trinomio Suma al Cuadrado óCuadrado de un Trinomio(a+b +c)2= a2 + b2 + c2+2ab+2bc+ 2ac
= a2+ b2+c2 +2 ( ab+bc+ ac)
Trinomio Suma al Cubo (a+b+c)3=a3+b3 +c3+3(a+b)(b+c)(a+c)
Identidades de Legendre( a+b)2+(a – b)2= 2a2+2b2 = 2(a2 + b2)( a + b)2 + ( a – b)2 = 4 ab
Producto de dos binomios quetienen un término común
( x + a)(x + b) = x2 + ( a + b) x + ab
COCIENTES NOTABLES
Caso I :12321 ........ ---- ++++=
-- nnnn
nn
bbabaababa para todo “n” par o impar.
Caso II:12321 ........ ---- +-+-=
++ nnnn
nn
bbabaababa únicamente si “n “ es impar
Caso III:12321 ........ ---- --+-=
+- nnnn
nn
bbabaababa únicamente si “n” es par
Ejemplos:
1. 6514233245677
yyxyxyxyxyxxyxyx
+-+-+-=++
2.
43223455
403122130455
815436241624332
)3()2()3()2()3()2()3()2()3()2(24332
yxyyxyxxyx
yx
yxyxyxyxyxyx
yx
+-+-=++
+-+-=++
3. 43223455
yxyyxyxxyxyx
++++=--
4.
654233245657
6051
423324150657
2481632642
128)()2()()2(
)()2()()2()()2()()2()()2(2
128
mxmmxmxmxmxxmxmx
mxmx
mxmxmxmxmxmxmx
++++++=--
++
++++=--
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PROPIEDADES DE LOS COCIENTES NOTABLES*Para hallar los términos de un cociente notable:
yxyx nn
±±
1° El exponente del 1° término irá disminuyendo de uno en uno a partir de (n-1)hasta cero inclusive, mientras que el exponente del 2° término irá aumentandode uno en uno a partir de cero hasta (n-1) inclusive.
2° El desarrollo tiene “n” términos.
3° En los cocientes notables que tengan por denominador expresiones de la forma“x-y” los signos de los términos del desarrollo serán positivos.
4° En los cocientes notables que tengan por denominador expresiones de la forma“x+y” los signos del desarrollo serán alternadamente positivos y negativos.
5° Cualquier término del desarrollo de un cociente notable se puede encontrarusando la fórmula:
Tk = ± xn-k yk-1
-En donde: “k” es el lugar del término que se pide, “x”, representa el 1°término del denominador del cociente notable, “y” representa el 2° término deldenominador del cociente notable y “n” es el exponente común al cual estánelevados cada uno de los términos del denominador del cociente y queaparece en el numerador.
6° Para que una expresión de la forma:qn
pm
yxyx
±±
Sea desarrollado como cociente notable debe cumplirse que : m/n = p/q
FACTORIZACIÓNCASOS:
I. Factor común monomio:
Factorizar: 8x2 y3 - 10ax3 y4 + 6bx4 y5
FCM : 2x2 y3
Entonces: 2x2y3 (4 – 5axy + 3bx2 y2 )II. Factor común polinomio:
Descomponer: 3x(x – y + 2z) – x + y – 2zAgrupando convenientemente: 3x(x – y + 2z) – (x – y + 2z)FCP: (x – y + 2z)→ (x – y + 2z) (3x – 1)
III. Por identidades:Descomponer en factores:16x4 y6 – 81a6 z4
(4x2 y3)2 – (9a3 z2)2
(4x2 y3 + 9a3 z2 )( 4x2 y3 - 9a3 z2 )
1) 4x2 – 12xy + 9y2
(2x)2 – 2(2x)(3y) + (3y)2
(2x – 3y)2
2) x2 – 5x + 6 = (x – 3)(x – 2)
3) x2 – 8x – 345 = (x – 23)(x + 15)
4) 2x3 - x2y2 + 2 xy - y3 = ( x2 + y )( 2x - y2 )
5) 15x4 – 2x2 y – 77 y2
3x2 - 7y
5x2 11y
(3x2 – 7y)(5x2 + 11y)6) 27x3 – 108x3 y + 144 xy2 – 64y3
(3x)3 – 3(3x)2 (4y) + 3(3x)(4y)2 – (4y)3
(3x – 4y)3
IV. Por agrupación de términos: Descomponer:
1) x3 – 2x2 – x + 2(x3 – 2x2) – (x – 2)x2 (x – 2) – ( x – 2)(x – 2) (x2 – 1)(x – 2) (x + 1)( x – 1)
2) x2 + 2xy + y2 – 3x – 3y – 4(x2 + 2xy + y2) – (3x + 3y) – 4(x + y)2 – 3 (x + y) – 4
(x + y – 4) ( x + 1)
V. Por evaluación( Rufini):x3 – x2 – 41x + 105
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40
0713555
035211056331054111
--
--
Rp.: (x – 3)(x – 5)(x + 7)
VI. Doble aspa:4x2 + 4 xy - 15 y2 - 8 x + 76 y - 96
2x - 3y 8
2x 5y - 12
Rpta.: (2x – 3y + 8)(2x + 5y – 12)
VII. Doble aspa especial:3x4 - 8x3 + 3x2 + 22x - 24
x2 4 = 12 x2
3x2 - 6 = - 6x2
6x2
Falta: 3x2 – 6x2 = - 3x2 = - 3x ( x) Entonces:
x2 - 3x 4
3x2 x - 6
- 8x3 22x Rp.: (x2 – 3x + 4)(3x2 + x – 6)
RAÍCES DE UNA ECUACIÓN POLINÓMICA:
Dado P(x) un polinomio real de grado “n”, se denomina ecuación polinómica degrado “n” con coeficientes reales de la forma: P(x) = 0
anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 = 0; an≠0
Ejemplo: 3x5 – 8x4 + 6x2 – x + 1 = 0
Si para x = a, P(a) = 0→ “a” es una raíz del polinomio P(x).Ejemplo:
2x3 – 5x2 – 28x + 15 = 0 Para : x = - 3
2(-3)3 – 5(-3)2 – 28(-3) + 15 = 0 Entonces – 3 es una raíz (solución de la ecuación pilnómica.
TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ALGEBRA
Toda ecuación polinómica de grado n ³ 1, con coeficientes reales, tiene “n” raícesreales o complejas.
Ejemplo: Resolver: x3 – 2x2 + 4x – 8 = 0
(x – 2)(x2 + 4) = 0 x – 2 = 0 Ú x2 + 4 = 0 x = 2 Ú x = 4-± x = ± 2i Conjunto Solución = {2; 2i; – 2i}
TEOREMA DEL RESIDUO Sea la división:
axxP
+)( ; el resto es: R(x) = P(– a)
Ejemplo: Hallar el resto de: (3x4 – 2x3 – 9x2 + 8x – 12) : (x – 2)
Resto: P(2) = 3(2)4 – 2(2)3 – 9(2)2 + 8(2) – 12 R(x) = 0
Cuando el resto es cero, entonces (x + a) es un factor de P(x). En este caso (x – 2)es factor del polinomio P(x)
RAÍCES REALESAplicando la regla de Ruffini se determina un número real “a”.
Ejemplo: Resolver: x4 + x3 – 8x2 – 2x + 12 = 0 Divisores de 12 : { ± 1; ± 2; ± 3; ± 4; ± 6; ± 12} posibles raíces racionales
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De los cuales 2, –3 son raíces racionales y 2± son raíces irracionales
RAÍCES RACIONALESSi la ecuación P(x) = 0, posee coeficientes racionales, eliminando denominadoresse puede obtener coeficientes enteros.
Resolver: 12x5 – 26x4 + 6x3 + 13x2 – 3x – 2 = 0P(1) = 0 entonces una raíz de la ecuación es : 1
De igual manera: P(-1/2) = 0; P(2/3) = 0 Por lo tanto: (x – 1)(x + ½) (x – 2/3)(12x2 – 12x – 6) = 0 Resolviendo: 12x2 – 12x – 6 = 0
2x2 – 2x – 1 = 0
4132 ±
=x
þýü
îíì -+
-=4
132;4
132;32;
21;1SolucionCojunto
NÚMEROS COMPLEJOS
z = {(a;b)/ a ÎR Ù bÎR} Donde: a = parte real de z
b = parte imaginaria de z Re(z) = a Im(z) = b
FORMAS DE REPRESENTAR UN NÚMERO COMPLEJO
- Forma binómico: z = a + bi- Forma polar o trigonométrica: z = r(cos q+ i senq ) = r cis q
- Forma exponencial: z = reiq, abbar =+= qtan22
En estas formas: i = 1-
Potencias de i : i1 = i i2 = - 1 i3 = - i i4 = 1
En general: i4m = 1 i4m+k = ik
Ejemplos: i279 = i4m+3 = i3 = - ii1862 = i4m+2 = i2 = - 1
También: i + i2 + i3 + . . . . + i4m = 0
OPERACIONES EN C
Dados los complejos: z1 = a + bi y z2 = c + di
Suma: (a + c) + (b + d)iResta: (a – c) + (b – d)iMultiplicación: (ac – bd) + (ad + bc)i
División: idcadbc
dcbdac
÷øö
çèæ
+-
+÷øö
çèæ
++
2222
Potenciación: (a + bi)n se multiplica a + bi “n” vecesRaíz cuadrada: [ ]2/2/cos qq isenrbia +±=+
TEOREMA DE MOIVRESi: z = r (cosq + i sen q)Entonces: zn = rn (cos nq + i sen nq), donde n ÎN
INVERSO DE UN NÚMERO COMPLEJO z -1
Si z = a + bi, (z ¹ 0), entonces:
÷øö
çèæ
+-
+=-
22221
babi
baaz
EJERCICIOS Y PROBLEMAS
1. Hallar “n” sí : M = n nx...n 3x.
n 2x.n x Es de 6to grado.A) 10 B) 11 C) 12D) 13 E) 9
2. El monomio:nn nn n2nxn3nxM
-=
Es de grado 32. Calcular “n”A) 1 B) 1/4 C) 1/4D) 2 E) 4
3. Cuál es la suma de coeficientes del polinomio homogéneo( ) 5bbxbyax34aaxy,xP ++++=
A) 12 B) 11 C) 12D) 13 E) 19
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4. Si en el polinomio.2my.6nmx74my.5nmx83my.2nmx4P +-++-+++--+= se verifica que la diferencia entre los
grados relativos de “x” e “y” es 5 y además el menor exponente de “y” es 3.Hallar su grado absoluto.A) 15 B) 16 C) 17D) 18 E) 19
5. Calcular m + n para que el polinomio2ny3mx111ny2mx73ny1mx3P -++-++-+=
Sea de grado absoluto 8 y de grado relativo respecto a “y” igual a 5.A) 1 B) 6 C) 7D) 8 E) 9
6. Calcular a + b + c sí el polinomioc11x-2bx5-ax23xP(x) +++=
Es idénticamente nulo.A) 11 B) 12 C) 15D) 13 E) 14
7. EL polinomio P(x) es completo y ordenado ascendentemente, calcular el valorde: (2m – 3n + 4p)Sí : 6mx73mnx45npx3)x(P -++--+-=A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5
8. Si n2–3n + 4 = 0, calcular el grado de: 1n 2nx2n 1nx)x(M - -*- -=
A) 1/9 B) 2/3 C) 3/2D) 1/8 E) 8
9. Siendo: czacxczbbybyaaxz)y,P(x, ++º
Un polinomio homogéneo; Hallar: 1nnnn
n
cba)cba(-
++
++
A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5
10. Del polinomio de Grado 11:3my2nx2my3nx53y)P(x, -++++=
Se tiene: 5yGR-xGR = Luego 2m + n es:
A) 15 B) 16 C) 18D) 14 E) N.A.
11. Calcular el valor de “m + n” con la condición de que el polinomionmy2nm2x1nmy3nm2xy2nmy4-n2mxy)P(x, +-++++-+++++= Sea de
grado absoluto 28 y la diferencia de grados relativos a x e y sea igual a 6.A) 17 B) 15 C) 13D) 10 E) 9
12. Si el término independiente y el coeficiente principal son iguales en elpolinomio:
)1nx51nx10)(1n2x4x2)(nxnx6)(5x32x()x(P ---++++-+-= (n >1)Hallar el grado de P (x)A) 11 B) 12 C) 13D) 14 E) 15
13. Calcular a + b + c sí el polinomio c11x-2bx5-ax23xP(x) +++=Es idénticamente nulo.
A) 11 B) 12 C) 15 D) 13 E) 14
14. Calcular la suma de coeficientes del siguiente polinomio homogéneobaaabzaby2bbax3a)z,y,x(P -
+-=A) 38 B) 58 C) 68D) 78 E) 88
15. Si4x32x4)x(F
--= Calcular F(2)+F(1)
A) 5 B) 0 C) 1D) 11 E) 2
16. Si P(x) º 5x + 10, reducir: P(x+1) + P(x+2)A) 10x + 1 B) 35x –1 C) 10xD) 10x + 35 E) 5(2x + 6)
17. Encontrar el valor de “N”siendo P(x;y) º 4xa+3y2b–5(56xa+3y4b – 47x2by7b+3) Un polinomio homogéneo, además N –2 = a2 b–2 + 2ab –1 +29.
A) 1/8 B) 8 C) 1/16D) 1/24 E) 1/7
18. Si: F(x) = ax2 + bx + c y además: F(x - 1) = x2 – x +1Hallar (a + b + C)A) 1 B) 2 C) 3D) – 4 E) 4
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43
19. Si: ( ) 2x31xF +º+ ; hallar: F(x)A) 3x2 - 6x + 5 B) 3x2 - 12x + 5 C) 3x2 - 6x – 5D) x2 - x + 5 E) 3x2 - 16x + 1
20. Dada la relación; ( ) 4x4xx2xF ++º+
halle: ( )x2xF -
A) x - 4 x +4 B) x C) 2x
D) x + 4 E) x
21. Si se sabe que: yzxzxyzyx 222 ++=++
Calcular el valor de: 9101010
10
zyx)zyx(M
++
++=
A) 4 B) 3 C) 1D) 5 E) 2
22. Calcular el V.N. de: M = x – y; Si se sabe que:
)3.......(....................322yx
)2(..............................1n
1y
)1..(....................11n
1nnx
44
2
2
22
=+
-=
--
--=
A) 5± B) 3± C) 4±D) 6± E) 4
23. Si: :devalorEl;cba 222 +=
÷ø
öçè
æ -++
÷ø
öçè
æ -++
÷ø
öçè
æ -++
÷ø
öçè
æ ++ c2
cbab2
cbaa2
cba2
cba
Es:
A)bc3
B)bc4
C)bc5
D)bc2
E)bc6
24. Marcar la igualdad correcta:I) ( ) 333 baba +=+ II) ( ) ac2ab2bacba 222 +++=++
III) ( ) ( )33 abba -=- IV) ( ) ( )22 abba -=-
V) ( ) 4a6a2a 32 +-=-
A) I B) I y II C) IVD) I y III e) A, B, C y D
25. Efectuar: ( ) ( ) ( ) ( )2222 2x1x1x2x -+-+
A) 16x40x33x10x 2468 +-+-
B) 16x40x33x10x 2468 ++++C) 0D) 1x8 -
E) 5x2x3x2x 286 ++++
26. De las igualdades:I). ( ) bc2ac2cab2bacba 2222 +++++=++
II). ( ) ( ) 333 bbaab3aba ---=-
A) Solo I es correcta B) Solo II es correctaC) I y II son correctas D) Ninguna es correctaE) No se puede afirmar nada
27. Marcar verdadero o falso según corresponda.A) ( ) 222 bababa ++=+ ( )B) ( )( )2222 babababa +-+=+ ( )C) ( )( )2233 babababa +-+=+ ( )D) ( )( ) ( ) abxbaxbaax 2 --+=+- ( )E) ( ) ( ) ( )222 ba2baba +=-++ ( )
28. Si: a – b = b – c = 2 ; Hallar el valor de: acbcabcba 222 ---++A) 4 B) 8 C) 12D) 16 E) 20
29. Si: a + b + c = 0. Hallar el valor de:abc
acb
bca 222
++
A) 3 B) -3 C) 1D) 0 E) 6
30. Si: yx = b ; ay1
x1
22 =+ entonces ( ) Ayx 2 =+
A) (a + 2b)2 B) a2 + b2 C) b(ab + 2)D) ab(b + 2) E) 1/a + 2b
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44
31. Si: 2yxxy 11 =+ --
Calcular el valor de:
yx
x)yx3(M n2
2nn+
+=
A) 20 B) 16 C) 17D) 18 E) 19
32. Si: 3ab,2ba ==+
Calcular el valor de:22
33
babaM
+
+=
A) 6 B) 5 C) 3D) 7 E) 4
33. Si se sabe que; .12x -= Calcular:1xx2x5xM 235 +++-=
A) -2 B) 2 C) 4D) 3 E) 2
34. A partir de la igualdad: 4xyz
xzy
yzx
=++
Calcular el V.N. de:
)xyz(z)xzy(y)yzx(x)xyz(z)xzy(y)yzx(xM
-+-+-+++++
=
A) 8 B) 6 C) 9D) 7 E) 5
35. Si a + b + c = 0, entonces:
222
222
cba)a2cb()b2ca()c2ba(E
++
-++-++-+=
A) 9 B) 8 C) 11D) 10 E) 7
36. Si se sabe que: )ba(3a
bb
a 22-=-
Calcular el valor de:222
88
)ba()ba(4 +
A) 7 B) 6 C) 8D) 9 E) 5
37. De las igualdades:
yz2xzyB;
x)zy()zy(xA
222
22
22 -+=
-+
--=
Calcular: E = A + B + A.BA) 2 B) 4 C) 0D) 3 E) 1
38. Si se sabe que:xy1xy1
yx2
-+
= Calcular el valor de:
( )22 yx4yx2yx2
yx2yx2
yx2yx2
yx2yx2E -÷÷
ø
öççè
æ+-
--+
÷÷ø
öççè
æ+-
+++
=
A) 16 B) 17 C) 18D) 15 E) 14
39. Calcular el valor de:abx
bx2a)bx)(ax(E
3-
++++
= ; Si
(a + 2x + b)(a - 2x + b) = 2)ba( -A) 11 B) 0 C) 4D) 2 E) 3
40. Calcular el valor de: )xx1)(xx1)(xx1)(x1)(x1( 12622 +++++--+
Sabiendo que: 6 2x =A) -5 B) -6 C) -4D) -7 E) -8
41. Al reducir:2323
2323E
+-+
-+=
Se obtiene:A) 11 B) 10 C) 9D) 8 E) 7
42. Calcular: x1x1M --+= si x = 0.75A) 0 B) 1 C) 2D) 3 E) 4
43. Si se sabe que: 1x1x =+ hallar: 5
5x1xG
5+=
A) 0 B) 2 C) 3D) 1 E) 5
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45
44. Sabiendo que a > b; Además: )I..(..........3ab
ba 33 =+
Calcular:ab
baE -=
A) 5 B) 4 C) 44D) 32 E) 3 4
45. Si: a + b + c =0 ; Calcular:)cb)(abbcaca(
abc2H 2 ++++=
A) 2 B) 3 C) -2D) -3 E) 4
46. Si: (a + b + c – d) (a + b – c + d) = (c + d + a – b) (c + d – a + b)
Calcular:22
22
dcba
M+
+=
A) 0 B) 3 C) 1D) 2 E) -1
47. Si: 4)ba()ba(
)ba()ba(222222
44=
+-+--+
Calcular:
b4ab3a7M
++
=
A) 3 B) 2 C) -2D) 4 E) 1
48. Si: 0cba 333 =++ , entonces el valor de:
)ca(c)bc(b)ab(aabc3
E-+-+-
=
A) a + b – c B) a – b + c C) –a + b – cD) a – b – c E) a + b + c
49. A partir de: a + b + c = 0. Indicar el valor de:
)bcacab(abccbaM
555
++++
=
A) -5 B) -4 C) -2
D) -6 E) -3
50. Hallar el término octavo del desarrollo de:yxyx 1010
--
A) 22yx B) xy C) 33yx
D) 72yx E) 1xy-
51. Hallar el término 10mo del desarrollo de:yxyx 2424
--
A) 914yx B) yx14 C) 149yxD) xy E) 1
52. El término de lugar 4 del cociente de:
33
aa
yxyx
-
- contiene un “x” cuyo grado relativo es 0.
Hallar la suma de coeficientes de dicho cociente:A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5
53. Si el término que ocupa el lugar 10 del cociente de:22
nn
yxyx
-
- tiene un “x” cuyo
grado relativo es: ÷øö
çèæ
2n . Hallar el número de términos del cociente:
A) 10 B) 20 C) 15D) 12 E) 16
54. El cociente de ba
nm
yxyx
+
- . Tiene 12 términos. Si el 4to término contiene un “x”
de grado 16 y a + b = 5. Hallar “n”A) 24 B) 36 C) 18D) 42 E) 48
55. Simplificar la expresión:
1xxx....xxx1xxx......xxE 3699n36n33n3
3699n66n63n6
+-++-+-
-+-+-+-=---
---
A) n3x B) 1x n3 - C) 1x n3 +D) 1 E) 2
56. Hallar “n” si el cociente es notable:2ny1nx
)6n(5y3n5x+--
+-+
A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5
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46
57. Indicar cuántos términos tiene el siguiente desarrollo7n 6n
7 6x yx y
-
-, sabiendo
que, el término del lugar 7 tiene como grado absoluto 57.A) 10 B) 8 C) 6D) 12 E) 9
58. Indicar el coeficiente del término de primer grado del cociente de:5 4 3 22x 2x 5x 3 2x 5 2
x 2
- + + -
+A) 28- B) 2 C) 23-D) 16 E) N.A.
59. Calcular p y q. si la división es exacta5x62x
q2px4x
+-
++ indicar p + q.
A) 1 B) -1 C) 2D) -2 E) N.A.
60. Calcular m y n si el resto de la divisiónmx52x4
nx352mx83x234x12
+-
+-+- , es 2x –
3, indicar: m + n.A) 31 B) 32 C) 33D) 34 E) 1
61. Hallar el resto de la división1x2x
2367x
+-
-
A) x-2 B) x + 2 C) x2+1D) x + 1 E) N.A.
62. Hallar el resto de dividir:( ) ( ) ( ) ( )
5x4x72x32x52x42x
2
3246382
++
-+++++-+
A) x + 2 B) 2x + 1 C) 2x- 1D) x + 1 E) x-1
63. Un polinomio de tercer grado cuyo primer coeficiente es 1 es divisible por (x–2) y (x–1) y al ser dividido por ( x –3) da resto 20. Hallar P(0).A) 14 B) –14 C) 7D) –7 E) 8
64. Hallar el resto en: ( ) ( )( )( )4x5x
24x5x 1311
--+-+-
A) 3x B) 6x + 8 C) 3x+5D) 2x–7 E) N.A.
65. Efectuar la división 1xnxnxn
-+-
y dar como respuesta la suma de
coeficientes del cociente:A) n2 B) (n - 1) C) (n2 - 1)B) (n – 2) E) n3
66. El residuo que se obtiene al dividir ( ) ( ) :es1xentre4x2x2 233n2 -+-+
A) 6 B) 5 C) 2B) 1 E) 4
67. Hallar el valor de (ab) si la división es exacta:3xx3
3x4x7bxax2
234
++++++
A) 81 B) 82 C) 83B) 84 E) 80
68. Calcular el resto:23x
7x22x22x22x 356
+-++++
A) 9 B) 8 C) 7B) 6 E) 5
69. Dividir:2x5
2x7x5x6x15 234
--+-- y dar como respuesta la suma de
coeficientes del cociente:A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) N.A.
70. Calcular el resto en:2x
9x7x3x2x2
22728
+
+-++
A) 3 – 7x B) 7x - 3 C) 9 – 7xD) 7x - 9 E) N.A.
71. Hallar el polinomio P(x) de grado 3 si es divisible entre (x - 2) y (x + 3) ycuya suma de coeficientes es -4 y tiene por término independiente a 6.A) (x - 2) (x + 3) ( 2x - 1) B) (x + 2)(x + 3)(2x - 1)C) (x + 2) (x + 3) ( 2x + 1) D) (x - 2) (x - 3) ( 2x - 1)e) N.A.
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72. Al dividir un polinomio P(x) entre (x + 1) y (x - 1) se obtiene como restos 2 y4 respectivamente. Hallar el resto de dividir dicho polinomio entre x2 – 1A) x + 2 B) x – 2 C) x + 3D) x - 3 E) N.A.
73. Un polinomio P(x) de tercer grado se divide separadamente entre (x - 1); (x -2) y (x + 3 ); dando como resto común 5. además al dividirlo entre (x + 1) daun resto igual a 29. Calcular el término independientes de P(x)A) 12 B) 13 C) 14D) 15 E) 17
75. Factorizar: 8x2 y3 – 12x3 y4 + 20x2 y8 ; e indicar el número de factores en total.A) 24 B) 23 C) 21 D) 19 E) N.A.
76. Factorizar: Z = ac + bc + ay + by + a + bA) (a + b) (c + y)B) (a + b) (c + y + 1)C) (a + b) (c + y – 1)D) (a – b) (c + y + 1)E) (a – b) (c + y – 1)
77. Factorizar: 4a2 x4 – z2
A) (2x2 + z) (2ax2 – z)B) (2ax2 + z) (2x2 – z)C) (2ax + z) (2ax – z)D) (2ax2 + z) (2ax2 – z)E) (2ax2 + z) (2ax2 – z2)
78. Factorizar: (2x – 3)2 – (x – 5)2
A) (4x – 5) (2x + 1)B) (3x – 8) (x + 2)C) (x + 7) (x + 2)D) (3x + 5) (x – 2)E) N.A.
79. Factorizar: 4x2 – (x + y)2 ; e indicar el factor primo de mayor suma decoeficientesA) 3x – y C) 4x – y E) x + y
B) 3x + y D) 5x + y
80. Factorizar: 4x2 + 12xy + 9y2
A) (2x + 3y)2 C) (3x2 + 2y)2 E) N.A.B) (2x – 3y)2 D) (2x2 – 3y)2
81. Factorizar: 8x6 + 343 e indicar la suma de los coeficientes de uno de susfactores primosA) 5 B) 12 C) 39 D) 45 E) N.A.
82. Factorizar: 27x6 – 125A) (3x2 + 5) (9x4 + 15x2 + 25)B) (3x – 5) (9x4 + 15x2 + 25)C) (3x2 – 5) (9x2 + 15x2 + 25)D) (3x2 – 5) (9x4 – 15x2 + 25)E) (3x2 – 5) (9x4 + 15x2 + 25)
83. Factorizar: m2 n4 + 2mn2 + 1A) (mn2 – 1)2 C) (m2n – 1) E) (mn + 1)2
B) (mn2 + 1)2 D) (m2n + 1)2
84. Factorizar: (x + z)2 – (y – w)2
A) (x + z + y + w) (x + y – z – w)B) (x – z – y – w) (x + y + z + w)
C) (x + z + y – w) (x + z – y + w)D) (x + y) (y + w)E) N.A.
85. Factorizar: (4x2)2 – 8 (4x2) – 105A) (4x2 + 15) (4x2 – 7)B) (x2 – 15) (x2 + 7)C) (4x2 – 15) (4x2 + 7)D) (4x2 + 15) (x2 – 7)E) 4 (x2 + 15) (x2 – 7)
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86. Factorizar: 4m2 – 4m(n – m) + (n – m)2
A) (3m – n)2 C) (2m + n)2 E) N.A.B) (3m + n)2 D) (2m – n)2
87. Factorizar: 216a3 – 1A) (6a – 1) (36a2 + 6a + 1)B) (8a + 1) (8a – 1)C) (8a – 1) (64a2 + 8a + 1)D) (6a + 1) (36a2 – 6a + 1)E) N.A.
88. Al factorizar x6 – 1 resulta que el número de factores trinomios es:A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
89. Factorizar: x4 – 13x2 + 36; e indicar el número de factores binomios.A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) N.A.
90. Sean: z1 = cis 60º y z2 = cis 30º Hallar: z1.z2 A. 1 B. 0 C. -1 D. i E. –i
91. Hallar el resultado de:180i
)i41)(i32( -+
A. (10;-5) B. (14; -2) C. (10;-2) D. (14; -5) E. (12; -5)
92. Hallar el valor de x, para que la suma de los números complejos:z1 = x + 5i; z2 = - 5 + 7i sea imaginario puro.A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 E. 6
93. Hallar el valor de “m”, para que al dividir z1 = 3 + im entre z2 = - 2 + i de cómoresultado un número imaginario puro.A. 5 B. -4 C. 6 D. 3 E. -5
94. Después de efectuar la operación:i35
)i2)(i47(+
--
La parte real del resultado es:
A. 5/34 B. 105/34 C. 14/5 D. -12/5 E. 0
95. Respecto al resultado de la operación:i37
)i2()i54( 2
+-
Señalar cuáles afirmaciones son verdaderas(V) o falsas(F).I. La parte real es mayor que la parte imaginariaII. Re(z) + Im(z) = 138/58III. El Re(z) es negativo y el Im(z) es positivo.
A. VVV B. VFV C. VVF D. FFV E. FFF
96. Determinar el valor de x para que el producto: (x + 3i) ( 2 - i) Sea un número real.
A. 22 B. 2 C. 3 2 D. - 2 E. 2
97. La diferencia de dos números complejos es – 4 – 6i. La parte imaginaria deuno de ellos es – 2 y el producto de ellos es imaginario puro. Uno de dichosnúmeros complejos es:A. (2+ 5 )- 8i B. (-2 - 2 5 )- 8iC. (2+2 5 ) + 6i D. (3 + 5 ) – 8i E. (4 + 5 ) – 4i
98. Hallar la raíz cuadrada de: z = 5 – 12 i A. ± (3 – 2i) B. ± (3 + 2i) C. ± (4 – 3i) D. ± (4 + 3i) E. ± (13 – 8i)
99. Una de las raíces de la ecuación 9x4 – 1 = 0 es:A.
23 B.
33- C. i3 D. i3- E. 3
100. Una de las raíces de la ecuación: 8x6 + 7x3 – 1 = 0 es :
A. -1/2 B.43 C.
43
- i D.23 E.
23 i
101. El cociente de dos números complejos es imaginario puro. Su suma es 5 y elmódulo del dividendo es el doble que el del divisor. Uno de dichos complejoses:A. 4 + i B. 2 + i C. 4 – i D. 2 – i E. 4 + 2i
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49
TEMA 8
MATRICES
81. Conceptos generales sobre matrices
Una matriz es un conjunto de números o expresiones numéricas que seordenan como una tabla de filas y columnas. Cada una de las interseccionesde filas o columnas se denomina elemento de la matriz.
Por convenio, las matrices se representan así:
A = (aij)mn
El número m nos indica el número de filas que tiene la matriz y el número nindica la cantidad de columnas que tiene la matriz.
Ejemplo:
Esta matriz es de orden 3´4
Una matriz formada por “m” filas y “n” columnas se dice que tiene orden odimensión m x n.
8.2. Clases de matrices
Si la matriz tiene m filas y n columnas, (m ¹ n) la matriz se llama rectangular.Cuando el número de filas y el de columnas coinciden, la matriz es cuadrada,con dimensión n x n y se le considera matriz de orden n; en este caso, loselementos de la matriz de subíndices a11, a22, a33, ..., ann ocupan la llamadadiagonal principal de la matriz. Esta diagonal adquiere importancia en laresolución de determinantes. La traza de una matriz es la suma de todos loselementos de la diagonal principal de la matriz.
Una matriz cuadrada se denomina triangular cuando todos los elementossituados por encima o por debajo de la diagonal principal son nulos.
Matriz columna: Matriz mx1 (matriz que solo tiene una columna).
úúúú
û
ù
êêêê
ë
é
=
41
31
21
11
aaaa
A
Matriz fila: Matriz 1xn (matriz que solo tiene una fila).[ ]14131211 aaaaA =
8.2.1Matriz nula: Matriz mxn con todos sus elementos iguales a cero . Se denotapor Omxn; en ocasiones se abrevia a O cuando se sobreentiende el tamaño o no esnecesario especificarlo.
8.2.2 Matriz diagonal: Una matriz cuadrada se llama diagonal si son cero loselementos que no pertenecen a su diagonal principal.
úúú
û
ù
êêê
ë
é=
33
22
11
000000
aa
aA
8.2.3 Matriz identidad: Una matriz cuadrada se llama matriz identidad si esdiagonal y los elementos de su diagonal principal valen la unidad. Se usará lanotación In, donde n es el orden de la matriz. A veces se utiliza la notaciónabreviada I cuando el orden se sobrentiende o no es necesario especificarlo.
úúú
û
ù
êêê
ë
é=
100010001
I
8.2.4 Matriz transpuesta: Sea A una matriz de orden mxn. Llamaremos matriztranspuesta o traspuesta de A, At, a la matriz de orden nxm cuyos elementos sonlos de A intercambiando filas por columnas:
jitij aa = . Una matriz A es simetrica si
At=A y es antisimetrica si At= -A.
Pongamos un ejemplo:úû
ùêë
é--
=®úúú
û
ù
êêê
ë
é
--=
596824
589264
tAA
úúúú
û
ù
êêêê
ë
é
=
mnmmm
n
n
aaaa
aaaaaaaa
A
L
MOMMM
L
L
321
2232221
1131211
úúú
û
ù
êêê
ë
é
823697451221
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50
8.2.5.Matrices iguales: Dos matrices A = (aij)m×n y B = (bij)p×q son iguales, sí ysolo sí, tienen el mismo orden y en las mismas posiciones, elementos iguales, esdecir :
m=p, n=q; y aij = bij "i, "j8.3. Suma de matrices:
Si A = (ai j) mxn y B = (bi j) mxn entonces su suma es A + B = (ai j + bi j) mxn.
La suma de dos matrices de igual orden o dimensión se obtiene una nuevamatriz cuyos elementos se calculan como la suma de los elementos de lamisma fila y columna de las dos matrices, que actúan como sumandos.
Propiedades de la suma de matrices:
1). Propiedad Expresión simbólica y significado2) Conmutativa A + B = B + A3) Asociativa A + (B + C) = (A + B) + C4) Elemento neutro A + O = O + A = A5) Elemento simétrico A + (- A) = ( - A) + A = O
Siendo: O matriz nula, es la matriz que tiene todos sus elementos iguales acero.
(- A) es la matriz opuesta de la matriz A.
8.4. Producto y potencias de matrices
En el álgebra de matrices, se definen:
· Si kA = k(aij)mn, debes multiplicar cada elemento de la matriz por el escalar
que es un número constante.
Ejemplo:
úû
ùêë
é=ú
û
ùêë
é=
86102
4351
22A
Propiedades: RÎ" 1,,vj , nmMA ´Î" se tiene que
1) AA )()( jvvj =2) Distributiva I: BABA jjj +=+ )(3) Distributiva II: ( BAA vjvj +=+ )
4) Elemento neutro de escalares: 1×A = A
8. 5. El producto de dos matrices sólo es posible cuando tienen los órdenes«encadenados »; es decir, una matriz A = (aij) de orden m x n sólo puedemultiplicarse por otra B = (bij) si la dimensión de ésta es n x p, de maneraque la matriz producto resultante tiene un orden igual a m x p. Esto quieredecir, que sólo pueden multiplicarse dos matrices que tienen el númerode columnas de la primera matriz igual al número de filas de la segundamatriz. La matriz resultante C = (cij) se calcula de forma que cada uno desus términos cij es igual a la suma ordenada de los productos de loselementos de la fila i de A por los de la columna j de B: primer elementode la fija i de A por primer elemento de la columna j de B; más el segundode la fila i por el segundo de la columna j, etc.
Ejemplo:
úû
ùêë
é=ú
û
ùêë
é++++++
++++++=
úúú
û
ù
êêê
ë
é´ú
û
ùêë
é138126114393633
70442465402160361828110261002490
14131211109876
543210
Como ampliación del concepto de producto, puede definirse la potencia enésimade una matriz como el producto de ésta por sí misma n veces. Para que unamatriz pueda multiplicarse por sí misma tiene que ser cuadrada. Es decir:
44 344 21
vecesn
n AAAAA .............=
8.6. Determinantes y matrices
El determinante de una matriz cuadrada A, es el valor de la suma dedeterminados productos que se realizan con los elementos que componen lamatriz.Se denota por el símbolo |A| o det (A).
Determinantes de orden 2
Sea:úû
ùêë
é=
2221
1211
aaaa
A → det(A) = ½A½ = a11.a22 – a12 . a21
Regla de Sarrus
Para calcular el determinante de una matriz de orden 3, se recurre al uso de lallamada regla de Sarrus. Este determinante se obtiene de la suma de seistérminos:
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51
Tres positivos, formados por los siguientes productos de tres factores: los treselementos de la diagonal principal y los elementos de las dos líneas paralelas aesta diagonal, multiplicados por el vértice opuesto.Otros tres negativos, también constituidos por productos de tres factores: los treselementos de la diagonal secundaria y los de las líneas paralelas a ella,multiplicados por el vértice opuesto.Es decir, dada una matriz A:
Si
333231
232221
131211
333231
232221
131211
aaaaaaaaa
Aaaaaaaaaa
A =®úúú
û
ù
êêê
ë
é=
Entonces el desarrollo de su determinante, según la regla de Sarrus, vendría dadopor:
det(A)= a11a22a33 + a12a23a31 + a21a32a13 - a13a22a31 - a21a12a33 - a32a23a11
8.7. Menores complementarios
Dada una matriz cuadrada de orden n, se denomina menor complementario acada una de las matrices de orden (n - 1) que se obtienen al suprimir la fila y lacolumna donde se encuentra un elemento (aij) de la matriz original.Por ejemplo, para la matriz cuadrada de orden 3
pueden definirse, entre otros, los dos siguientes menores complementarios:
8.8. Adjunto y matriz adjunta
Para una matriz cuadrada A de orden n se llama adjunto Aij del elemento aij aldeterminante del menor complementario de dicho elemento multiplicado por (-1)elevado a i más j. Es decir:
Aij = (- 1)i+j . αij
Dada una matriz cuadrada A, se define su matriz adjunta, que se denota Adj(A),como aquella en la que los elementos de A están reemplazados por sus adjuntosrespectivos:
úúúú
û
ù
êêêê
ë
é
=®
úúúú
û
ù
êêêê
ë
é
=
nnnnn
n
n
nnnnn
n
n
AAAA
AAAAAAAA
AAdj
aaaa
aaaaaaaa
A
L
MOMMM
L
L
L
MOMMM
L
L
321
2232221
1131211
321
2232221
1131211
)(
8.9. Desarrollo de un determinante
El valor de un determinante puede obtenerse a partir de los adjuntos de loselementos de su matriz correspondiente. Así:
úúúú
û
ù
êêêê
ë
é
=
mnmmm
n
n
aaaa
aaaaaaaa
A
L
MOMMM
L
L
321
2232221
1131211
nn AaAaAaAaA 11131312121111 ...++++=
En este caso, el determinante se ha desarrollado por la primera fila. En general, undeterminante puede desarrollarse por filas o por columnas.
En el manejo de determinantes se pueden establecer algunas propiedades quefacilitan las operaciones de cálculo. Tales propiedades son:
· 1. Una matriz cuadrada con una fila o una columna en la que todos loselementos son nulos tiene un determinante igual a cero.
· 2. El determinante de una matriz con dos filas o dos columnas iguales escero.
· 3. Cuando dos filas o dos columnas de una matriz son proporcionalesentre sí (una se puede obtener multiplicando la otra por un factor), sudeterminante es cero.
· 4. Al intercambiar dos filas o dos columnas de una matriz, sudeterminante cambia de signo.
· 5. Al multiplicar todos los elementos de una fila o una columna de unamatriz por un número, el determinante de la matriz resultante es igual alde la original multiplicado por ese mismo número.
· 6. El determinante de una matriz triangular o una matriz diagonal esigual al producto de los elementos de su diagonal principal.
· 7. Cuando a una fila (o columna) de una matriz se le suma o resta unacombinación lineal de otras filas (o columnas), el valor de sudeterminante no se altera.
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52
Matriz Inversa (A-1)
Para la matriz cuadrada A de orden n, se dice que existe una matriz inversa A-1
también cuadrada de orden n, cuando el producto de ambas es igual a la matrizidentidad: A ´ A-1 = A-1 ´ A = I.
Toda matriz que tiene inversa se dice inversible o no singular, mientras quecuando carece de inversa se denomina matriz singular.
Teorema. Sea la matriz:úû
ùêë
é=
2221
1211
aaaa
A
Si el determinante de A no es cero, entonces la matriz inversa de A es:
úû
ùêë
é-
-=-
1121
12221 1aaaa
AA
Ejemplo: Encontrar 1-A
úû
ùêë
é=
4153
A
Primero: encuentro el determinante de A: ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) 75121543 =-=-=A
Segundo: calculo la adj A :
Cofactores de A
úû
ùêë
é=
4153
A
411 =A 112 -=A521 -=A 322 =A
Tercero: con las respuestas formo la matriz B y luego obtengo TB que es la adjA .
úû
ùêë
é-
-=
3514
B adjABT =úû
ùêë
é-
-=
3154
Cuarto: aplico el teorema
úû
ùêë
é-
-=-
2212
21111 1AAAA
AA
úúú
û
ù
êêê
ë
é
-
-
=úû
ùêë
é-
-=-
73
71
75
74
3154
711A
Comprobamos la respuesta:AAIAA 1
21 -- ==
Regla de Cramer
Un sistema de ecuaciones lineales se dice de Cramer cuando cumple lassiguientes condiciones:
· Es un sistema cuadrado, con igual número de ecuaciones que de
incógnitas.
· El determinante de la matriz de los coeficientes asociada es distinto de
cero.
En consecuencia, un sistema de Cramer es siempre compatible determinado(tiene una solución única).
Para calcular la incógnita xi del sistema de ecuaciones lineales, se sustituye lacolumna i de la matriz de coeficientes por los términos independientes, seobtiene el determinante de la matriz resultante y se divide este valor por el deldeterminante de la matriz de los coeficientes. Por tanto, la solución de un sistemade Cramer se obtiene hallando cada incógnita xi según la fórmula:
CC
x ii =
Siendo Ci la matriz resultante de sustituir la columna de la matriz de loscoeficientes correspondiente a la incógnita por la de los términos independientes.Sea el sistema de ecuaciones:
ïþ
ïý
ü
=-+=++-=-+
12022
1
zyxzyx
zyx
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53
úúú
û
ù
êêê
ë
é-=
úúú
û
ù
êêê
ë
é
úúú
û
ù
êêê
ë
é
-
-
101
112221121
zyx
Hallamos los determinantes de:
4112
221121
=-
-=D
4112021121
;8112
201111
;8111
220121
=-
=D-=-
--=D=
-
--=D zyx
;zz;yy;xx 122 =DD
=-=DD
==DD
=
Luego la solución del sistema es x = 2; y = -2 y z = 1
Resolución de un sistema por eliminación gaussiana
El procedimiento más utilizado para resolver sistemas de ecuaciones linealesmediante matrices es el llamado método de eliminación gaussiana, que constade los siguientes pasos:
- Se forma la matriz ampliada del sistema incorporando a la de los coeficientes,por la derecha, una nueva columna con los elementos de la matriz de lostérminos independientes.
- Se aplican operaciones elementales sobre las filas de esta matriz ampliada,hasta lograr que por debajo de la diagonal principal de la matriz todos lostérminos sean nulos.
- Se obtiene entonces un sistema equivalente de ecuaciones de resolucióninmediata.
Este método permite también realizar una rápida discusión del sistema.Si la última fila de la matriz resultante de la transformación de la ampliada produceuna ecuación del tipo 0x + 0y + cz = k, con c ¹ 0, el sistema es compatibledeterminado (tiene una solución única).
Cuando esta última fila corresponde a una ecuación del tipo 0x + 0y + 0z = k, k ¹ 0el sistema es incompatible (carece de solución).Si esta última fila se traduce en una ecuación del tipo 0x + 0y + 0z = 0, el sistemaserá compatible indeterminado (con infinitas soluciones).Ejemplo: Sea el sistema:
ïþ
ïý
ü
=++-=++
=+-
342
422
zyxzyx
zyx
Matriz amplificada:
úúú
û
ù
êêê
ë
é
-
-
314121114212
M
M
M
A la fila f3 se le suma la fila f2 y a esta segunda multiplicada por 2, se le resta laprimera:
úúú
û
ù
êêê
ë
é -
525000304212
M
M
M
Luego, a f3 ´ 3 se le resta f2 ´ 5:
úúú
û
ù
êêê
ë
é -
1560000304212
M
M
M
Finalmente: 6z = 15→ z = 5/2 ; y = 0 ; x = - ½
EJERCICIOS Y PROBLEMAS
1. Determine “a + b” si: 2 1 54 3 11
ab
é ù é ù é ù=ê ú ê ú ê ú
ë û ë û ë ûA) 2 B) 3 C) 5 D) 6 E) 7
2. Si 1 02 5
3
+é ùê ú= ê úê úë û
a bA a
b x
; Es una matriz simétrica. Calcular los valores de a, b y x
dar como respuesta: ba x+A) 4 B) 2 C) 6 D) 0 E) N.A.
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54
3. Sean las matrices. 20a b b
A y Bc b c
é ù é ù= =ê ú ê ú
ë û ë û; si se cumple que: A B I+ =
donde 1 00 1
I é ù= ê ú
ë û.
Hallar a + b + 2cA) 1/2 B) –1/2 C) 3/2 D) 0 E) N.A.
4. Resolver: ( ) 4 21 2 11 13 5
xx xx
- ++ +=
-A) 4/3 B) 3/4 C) 5 D) 6 E) N.A.
5. Resolver:6 1 4 1
03 1 2 1
8 1 4 10
4 1 2 1
x yx y
x yx y
+ -= Ù
- -
- -=
+ +
Dar como respuestaa x + yA) 2/3 B) 3/2 C) 5/2 D) 2/5 E) N.A.
6. Calcular el valor de: yFz x
=+
sabiendo que:1 2 3
04 5 6x y z =
A) 0,2 B) 0,3 C) 0,4 D) 0,5 E) N.A
7. Resolver:2 3 5
8 2 1284 7 5x = -
-A) 100 B) -50 C) 2 D) -2 E) N.A.
8. Sea 2 0;
4 2A
-é ù= ê ú-ë û
calcular 2 3 4E A A A A nA= + + + + +L
A) ( )( )( ) ( )
1 02 1 1
n nn n n n
- +é ùê ú+ - +ë û
B) 1 00 1
é ùê úë û
C) 01 2
nn n
é ùê ú+ +ë û
D) ( )( ) ( )
1 01 1
n nn n n n
+é ùê ú+ - +ë û
E) N.A.
9. Si A y B son matrices involutivas y
3 6 02 1 2
4 3 5BA
é ùê ú= -ê úê ú-ë û
Hallar la suma de los
elementos de la diagonal principal de la matriz: ( )2C A B= +A) 4 B) 2 C) 5 D) 6 E) N.A.
10. Calcular la traza de “x” en la ecuación: Ax = AB – Bx, donde:1 2 0 2
;3 4 3 3
A B-é ù é ù
= =ê ú ê ú- -ë û ë ûA) 24 B) -24 C) 25 D) -2T E) N.A.
11. Sea:1 22 1
A é ù= ê ú
ë û, calcular la traza de B si: AB es la matriz identidad.
A) 2/3 B) 3 C) 2 D) – 2/3 E) –3
12. Sean las matrices:0a b
Ac
é ù= ê ú
ë û y 2 b
Bb c
é ù= ê ú
ë ûSi se cumplen que A + B = I, donde
1 0.
0 1I é ù
= ê úë û
Hallar a + b + 2c
A) -1 B) -1/2 C) 0 D) 1/2 E) 1
13. Sean: úû
ùêë
é-
=úû
ùêë
é=
1032
B2310
A yîíì
=-=+
ByxAy2x Donde x e y son
matrices de orden 2, entonces x es:
A) úû
ùêë
é01
3/73/4 B) úû
ùêë
é- 2/12
2/52/3 C) úû
ùêë
é-
-73/4
2/93
D) úû
ùêë
é0374 E) ú
û
ùêë
é14/3
2/74/9
14. Sean las matrices:x 3y x 2 6 y 4 8
A B C1 y 1 6 x 2 3- - - -é ù é ù é ù
= = =ê ú ê ú ê ú-ë û ë û ë û
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55
Si A = B ; Hallar: 3A + 2C
A) úû
ùêë
é --9711 B) ú
û
ùêë
é-9602 C) ú
û
ùêë
é --3284
D) úû
ùêë
é --9812 E) ú
û
ùêë
é --9712
15. Calcular a + b - c si:2 7 5 21 21
11 4 15 14 105 9 8 19 15
c ab a
c c
-æ ö æ ö æ öç ÷ ç ÷ ç ÷+ = -ç ÷ ç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷ ç ÷-è ø è ø è øA) 26 B) 28 C) 42 D) 54 E) -26
16. Sea la matriz:úúû
ù
êêë
é -=
1x3xH
2 talque: det(H) = 4 ; luego H2 es:
A) úû
ùêë
é -1131
B) úû
ùêë
é---
2262
C) úû
ùêë
é-
-14316
D) úû
ùêë
é---
2414
E) úû
ùêë
é-
--4432
17. Calcular el determinante de la matriz INn;1nn
n1nA Îú
û
ùêë
é-
+=
A) 1 B) -1 C) n D) -n E) Absurdo
18. Simplificar:
abba
bababa
T2
2
=
A) 10 B) 20 C) 30 D) 5 E) 0
19. Resolver: : 02x41x1x21x2
=+++-
A) 1 B) 2 C) -1 D) -2 E) 3
20. Si x Î R2 es solución del sistema: Ax = b.Calcular Traz (xt B), Donde:
÷÷ø
öççè
æ=÷÷
ø
öççè
æ=
12
b;1211
A
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 1/2
21. Sean a, b, c números reales positivos.Entonces el valor de x tal que:
:es,0xcxx
xxbxxxxa
=+
++
A)bcacab
abc++
B)bcacab
abc++
- C)cba
abc++
-
D)cba
abc++
E) abc
22. Sean las matrices A y B tales quez00yx0wvu
B,4/10012/10
111A =-
-=
Encontrar u + v + w + x + y + z si se cumple que AB = I (I es la matrizidentidad)A) 21 B) 20 C) 18 D) 15 E) 7
23. Dada la matriz: ÷÷ø
öççè
æ -=
00
Ma
a, entonces el valor de la M1003 es:
A)÷÷ø
öççè
æ10011003a B)
÷÷ø
öççè
æ- 01
101003a C)÷÷ø
öççè
æ-10011003a
D) ÷÷ø
öççè
æ -01101003a E) ÷÷
ø
öççè
æ -00111003a
24. Definamos la matriz÷÷÷
ø
ö
ççç
è
æ=
10211A nn Entonces la matriz:
B = A1 A2 A3 … An An+1 … es: (Atención: nótese que n crece indefinidamente)
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56
A)÷÷ø
öççè
æ1001 B)
÷÷ø
öççè
æ1011 C)
÷÷ø
öççè
æ1021
D)÷÷ø
öççè
æ1101 E)
÷÷ø
öççè
æ102/11
25. Sean A y B dos matrices definidas por: úû
ùêë
é -=
2413
A y úû
ùêë
é-
=1120
B ;
entonces el valor de:1BA
B2BAE
-+
--=
A. 10 B. 15 C. 20 D. 25 E. 60
26. Si A es una matriz antisimétrica definida así:úúú
û
ù
êêê
ë
é
--+
-=
2c4e41ba
cdbaA
Determinar el valor de: T = a + b + c+ d + e A. -1 B. 1 C. 2 D. 3 E. 4
27. Hallar la traza de la siguiente matriz simétrica:
úúú
û
ù
êêê
ë
é
++
+=
z37z3y2xz3y25
10y2xxA
A. 10 B. 8 C. 11 D. 6 E. 0
28. Calcular la matriz inversa de:
úúú
û
ù
êêê
ë
é
---
--=
131122311
P
Señala el elemento a33 de la matriz inversa:
A. 2/7 B. 5/7 C. 1/7 D. 0 E. ½
29. Dadas las matrices úû
ùêë
é-
=úúú
û
ù
êêê
ë
é-
-=
312184
By102112
A , hallar la tras(A.B)
A. 0 B. 1 C. -1 D. 2 E. -2
30. Resolver la ecuación: x7121142x1
3x01x-=
--
+- y señalar uno de los
valores de x.
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 E. 9
31. Sea la ecuación matricial: 2A = AX + B
Donde: úû
ùêë
é--
=úû
ùêë
é-
=1321
By1101
A , Hallar la traza de la matriz X.
A. 1 B. 0 C. 2 D. 3 E. 4
32. Seanúúú
û
ù
êêê
ë
é
--
-=
úúú
û
ù
êêê
ë
é --=
úúú
û
ù
êêê
ë
é
--=
521210102
Cy900650213
B,105
321142
A
Cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas (V) y cuáles sonfalsas (F)
I. Las tres matrices rectangulares son de orden 3. II. El elemento 2,2 de – A – B + C es: - 4
III. El elemento 3,2 de 3A + C/2 es: - 1
A. VVF B. FFV C. FVV D. VVV E. FFF
33. 10. Si: úû
ùêë
é=
1001
A se cumple:
I. A2 = A70
II. A4 ¹ A8
III. A3 = A2 + A
A. VFF B. VVF C. VFV D. FFV E. FVV
34. Sabiendo que: úû
ùêë
é-
=úû
ùêë
é+
+=ú
û
ùêë
é=
d216a
Cy3dc
ba4B,
dcba
A
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57
Con los que se cumple: 3A – B = C. Calcular el valor de: d.c.b.a!4Q =
A. – 1 B. 1 C. 2 D. – 2 E. 3
35. Se tienen las matrices: úû
ùêë
é=ú
û
ùêë
é-
=yzx4
Byy11x
A
Donde x, y, z no son todos cero. Si AB es la matriz cero, entonces los valoresde x, y, z son respectivamente:
A. 0; 1; 0 B. 1; 1; 4 C. -1; 1; 4 D. 1; -1; 0 E. 1; -1; -4
36. Sea la matriz: A=(aij)3×2 definida por:
ïïî
ïïí
ì
>+
=
<-
=
jisi;ji
jisi,j.i
ji:si,ji
aij
Determinar la traza de: (A.AT) A. 56 B. 48 C. 60 D. 68 E. 52
37. Si A y B son dos matrices definidas porîíì
¹-=+
== ´ ji;jiji;ji
a/)a(A ij33ij y
ïïî
ïïí
ì
=+
<"=
="
== ´
0bb
ji,1b
ji,0b
b/)b(B
jiij
ij
ij
ij33ij
Hallar: det (A + B) A. 48 B. 52 C. 42 D. 58 E. 60
38. Sea: úû
ùêë
é-
=1101
A Calcular: An ; nÎ N
A.úû
ùêë
é1001 B.
úû
ùêë
én
n0
0 C.úû
ùêë
é-n
n0
0 D.úû
ùêë
é- 1
01n
39. La siguiente matriz es simétrica:úúú
û
ù
êêê
ë
é
+++=c320c3b2
ac3b2b2a75a
A
Determinar su traza. A. 14 B. 15 C. 16 D. 17 E. 18
TEMA 9
TRIÁNGULO
Es un polígono de tres lados, es decir, una porción de plano limitada por tressegmentos unidos, dos a dos, por sus extremos. Los tres segmentos que limitan eltriángulo se denominan lados, y los extremos de los lados, vértices.
En un triángulo se consideran dos tipos de ángulos: interior (formado por doslados) y exterior (formado por un lado y la prolongación de otro).
9.1Propiedades (Teoremas)
· En todo triángulo, la suma de los ángulos interiores es igual a dos rectos.· En todo triángulo, un ángulo exterior es igual a la suma de los dos ángulos
interiores no adyacentes.· En todo triángulo, a mayor lado se opone mayor ángulo.· Si un triángulo tiene dos lados iguales, sus ángulos opuestos son también
iguales.· En todo triángulo, un lado es menor que la suma de los otros dos y mayor que
su diferencia.
9.2 Clasificación de los triángulos
Por sus lados: Equiláteros: Sus tres lados iguales. Isósceles: dos lados iguales yuno desigual. Escaleno: tres lados desiguales.
Por sus ángulos: Rectángulos: un ángulo recto. Acutángulo: tres ángulosagudos. Obtusángulo: Un ángulo obtuso.
9.3 ELEMENTOS NOTABLES DE UN TRIÁNGULO
Toda recta que une un vértice del triángulo con cualquier punto de su lado opuestoo su prolongación, se denomina CEVIANA.
Bisectriz es la semirrecta que divide a un ángulo en dos partes iguales. Incentroes el punto de intersección de las tres bisectrices de un triángulo. Es el centro dela circunferencia inscrita.
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58
Mediatriz de un segmento es la recta perpendicular al mismo en su punto medio.Circuncentro es el punto de intersección de las tres mediatrices de un triángulo.Es el centro de la circunferencia circunscrita.Altura es el segmento perpendicular comprendido entre un vértice y el ladoopuesto. Ortocentro es el punto de intersección de las tres alturas de un triángulo.Mediana es el segmento comprendido entre un vértice y el punto medio del ladoopuesto. Baricentro es el punto de intersección de las tres medianas de untriángulo.
Recta de EulerEn cualquier triángulo, el circuncentro, ortocentro y baricentro están contenidos enuna misma recta, llamada recta de Euler.
Un lado es menor que la suma de los otros dos.a < b + c, b < a + c, c < a + b
Propiedades adicionales:
yx
z
x+y=180º+z
a
b yx
x+y=a+b
x+y=a+b
by
a
x
x
290 yºx +=
y
y x
2yx =
xy
290 yºx -=
x
y
x+y=180º
Si BD es bisectriz
x
zyD
B
2zyx -=
9.4 CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
Si dos figuras geométricas tienen la misma forma pero no el mismo tamaño, enotros, puede ser que sean de igual forma y tamaño. Al comparar dos figuras, siobservamos que tienen la misma forma y la misma medida, decimos que lasfiguras son congruentes.
El símbolo que se emplea para denotar la congruencia es: @
Para comparar dos triángulos y determinar si existe congruencia entre ellos,existen tres criterios, que se describen y ejemplifican a continuación.
Primer criterio: lado, lado, lado (LLL)
Dos triángulos son congruentes si los tres lados de uno de ellos son congruentes alos lados del otro triángulo.
Segundo criterio: lado, ángulo, lado (LAL)
Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados y el ángulo comprendidorespectivamente congruente.
Tercer criterio: Ángulo, lado, ángulo (ALA)
Dos triángulos son congruentes si dos ángulos y el lado comprendido entre ellos,de uno de los triángulos, son congruentes con dos de los ángulos y el ladocomprendido entre ellos del otro triángulo.
Con base en el conocimiento de los criterios de congruencia se puede demostrarcon facilidad si de dos triángulos son congruentes.
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59
PROPIEDAD DE LA BISECTRIZ.- todopunto de la bisectriz de un ánguloequidista de los lados del ángulo.
.
aa
A
B
P
PROPIEDAD DE LA MEDIATRIZ. Todopunto de la mediatriz de un segmento,equidista de los extremos del segmento.
P
A B
MEDIATRIZ
TEOREMA DE LA BASE MEDIA elsegmento de recta que une los puntosmedios de dos lados de un triángulo esparalelo al tercer lado y mide la mitad desu longitud.
A C
B
M Na
2a
PROPIEDAD DEL TRIÁNGULO RECTÁNGULOLa mediana relativa a la hipotenusa midela mitad de la hipotenusa.
B
A CM
2ACBM =
PROPIEDAD DEL TRIÁNGULOISÓSCELES En un triángulo isóscelesla altura relativa a la base también esbisectriz y mediana
A
B
M C
Triángulos Notables
53º
5k4k
3k
2k
k
k
37º 30º
60º
3k
k
2k
45º
45º
9.5 POLÍGONOS
Las formas que ves en un tablero de ajedrez, un diamante de béisbol y una señalde alto son figuras planas. Los polígonos son figuras planas y cerradas limitadaspor segmentos. Si el polígono es regular, todos sus lados tienen la misma longitudy todos sus ángulos la misma medida.
DIAGONALES: Para cualquier polígono convexo de n lados, la fórmula para hallarla cantidad de diagonales que posee es:
( )2
3-nn
Ejemplo: Determinar la cantidad de diagonales que posee un polígono de 28lados. En este caso n = 28, luego: 350
22528
232828
=´
=- )(
Un polígono de 28 lados posee 350 diagonales.
ÁNGULOS INTERNOS: Sólo para polígonos regulares, la fórmula para hallar lamedida de cada ángulo interno es:
n)n(ºi 2180 -
=
Suma de ángulos internos: Para cualquier polígono la suma de sus ángulosinternos es: Si = 180(n – 2)
NOTA: La fórmula anteriormente entregada no necesita la hipótesis de polígonoregular.En los polígonos regulares:
1) Ángulo interior:nni )2(º180ˆ -
=
2) Ángulo exterior:n
e º360ˆ =
3) Ángulo central:n
ºac360
=
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60
PROBLEMAS1. A, B, C y D son puntos consecutivos de una recta. Si AC = 12 cm, BD = 17 cm
y AD = 21 cm, calcular BC.A) 7 cm C) 9 cm E) 11 cmB) 8 cm D) 10 cm
2. P, Q y R son puntos consecutivos de una recta, tales que PQ = RQ + 22. Si Mes punto medio de PR , calcular MQ.A) 22 B) 11 C) 33 D) 5,5 E) 2,75
3. F, A y G son puntos colineales y consecutivos; FA – AG = 12 y M puntomedio de FG . Calcular MA.A) 6 B) 8 C) 7 D) 5 E) 4
4. A, S, O, N, D son puntos colineales y consecutivos; ON = DN + 3; AS = OS;OS = ON + 1 y AD + SN = 48. Calcular AD.A) 30 B) 31 C) 32 D) 33 E) 34
5. P, Q, R y S son puntos consecutivos de una recta; PR + QS = 27 y PS =20. Calcular QR.A) 3 B) 7 C) 5 D) 9 E) 4
6. Se tienen los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD tal que: mÐAOD =6mÐBOC y mÐAOB + mÐCOD = 75°. Calcular la mÐBOC.A) 5° B) 10° C) 15° D) 20° E) 25°
7. Se tienen los ángulos consecutivos AOB y BOC; se traza OD : bisectriz delÐAOB. Hallar la mÐCOD si: mÐAOC + mÐBOC = 160°.A) 20º B) 40º C) 60º D) 80º E) N.A.
8. Sabiendo que los ángulos AOB y AOC son complementarios siendo OXbisectriz del ángulo BOC. Entonces el ÐAOX mide:A) 15º B) 30º C) 45º D) 60º E) N.A.
9. El complemento de la mitad del suplemento de 20° es:A) 20° B) 10° C) 45° D) 80° E) 15°
10. a y q son medidas de ángulos adyacentes y: 2a + q = 200°. Calcular el valorde q.A) 20° B) 40° C) 100° D) 140° E) 160°
11. Si 21 L//L , hallar x.
A) 30°B) 40°C) 60°D) 70°E) 80°
12. Calcular el valor de x, si L1 // L2.
A) 70°B) 90°C) 80°D) 75°E) 60°
13. Si L1 // L2 // L3, calcular: y – x.
A) 30°B) 60°C) 75°D) 90°E) 100°
14. En la figura, 21 L//L . Calcular el valor de x.
A) 118°B) 112°C) 102°D) 108°E) 128°
15. Si r // s y a + b = 170°, calcular el valor de b.A) 40°B) 30°C) 20°D) 50°E) 60°
L1
L2
aa
bb
x 56°
L1
L260°
x
L1
L2
x
a
ab
b
L1
L3
xy
L2100°
55°
b
a
s
r
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61
16. si: a° + b° = 170°, 21 L//L . Hallar “x”.
A) 100°B) 110°C) 120°D) 130°E) N.A.
17. Si: 21 L//L . Calcular mÐx.
A) 30°B) 60°C) 90°D) 120°E) N.A.
18. Hallar “x” si: 21 L//L .
A) 40°B) 50°C) 55°D) 70°E) N.A.
19. En la figura determinar el menor valor entero de x.
A) 4B) 5C) 6D) 7E) 8
20. En la figura, entre qué valores puede variar la longitud del segmento AC.
A) 5 < x < 10 D) 4 < x < 12B) 5 < x < 9 E) 3 < x < 10C) 4,5 < x < 10,5
21. En el gráfico, indicar el segmento de menor longitud.
A) ALB) LJC) LED) EJE) AJ
22. En el gráfico, hallar “q”.
A) 20°B) 15°C) 12°D) 18°E) 24°
23. En la figura, hallar x.
A) 120°B) 80°C) 60°D) 40°E) 20°
xa°
b°50°
q+10°
qL2
L1
x30°
30°
a
a
L1
L2
x
70°
40°
L1
L2
16
x x+7
A
B
C
D2
4
7
8
A
E
L
J
50° 60°
82°81°
q2q
3q
2q 2q
A
B
C
R
a2a 2q q
20°x
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62
24. Calcular el valor de x:A) 30°B) 45°C) 60°D) 75°E) 15°
25. El DPQR es isósceles: PQ = QR y mÐQ = 122°. Calcular la medida del ánguloexterior en el vértice R.A) 122° B) 135° C) 147° D) 163° E) 151°
26. En la figura, hallar x + y
A) 249°B) 250°C) 251°D) 252°E) 139°
27. El ángulo B de un triángulo ABC mide 78°, sobre ACyBC,AB se toman lospuntos M, N y P respectivamente de manera que AM = MP y NC = NP.Calcular la medida del ángulo MPN.A) 102° B) 80° C) 75° D) 60° E) 78°
28. En la figura, ABCD es un cuadrado y el triángulo AMD es equilátero. Hallar x.
A) 40°B) 50°C) 60°D) 80°E) N.A.
29. Hallar x:
A) 52°B) 48°C) 42°D) 66°E) 66°
30. En la figura: AB = BC y BP = BQ, entonces:
A) a = bB) a = 2bC) a = 3bD) b = 2aE) b = 3a
31. Hallar “x”, si CM = MD y AN = NC.
A) 6°B) 12°C) 22°D) 28°E) 32°
32. En un triángulo ABC las bisectrices interiores de los ángulos A y C, seintersecan en “M”. Sobre AC se considera el punto R, tal que: mÐAMR = 90°,mÐABC = 40°. Hallar la mÐRMC.A) 10° B) 15° C) 20° D) 40° E) 50°
33. En un triángulo obtusángulo isósceles ABC (AB = BC), la bisectriz del ánguloA forma con la altura relativa al lado BC un ángulo de 30°. Hallar la medidadel ángulo B del triángulo.A) 60° B) 110° C) 80° D) 50° E) 100°
34. El ángulo D de un triángulo AOD mide 32°. Sobre el cateto OD se toma unpunto P, desde el cual se traza PQ perpendicular a la hipotenusa AD .Calcular la medida del ÐOMQ, siendo M el punto medio de AP .A) 116° B) 25° C) 62° D) 40° E) 58°
35. Los ángulos A y C de un triángulo ABC miden 48° y 12° respectivamente. Setoman los puntos medios M y N de los lados BCyAC respectivamente.Luego se prolonga AB hasta un punto P, de tal manera que BC = 2BP.Calcular la medida del ángulo MPN.
A) 15° B) 20° C) 12° D) 12,5° E) 25°
x
aa
a
b
bb
x
y
69°
A
B C
D
Mx80°
110°
x
76°
aa
A
B
CP
Q
a
b
A B
C
D
N M
x22°
62°
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36. Del gráfico, hallar x.
A) 95°B) 110°C) 115,5°D) 125°E) 117,5°
37. El perímetro de un triángulo equilátero ABC es 36. Se une A con el puntomedio M de BC y se traza MD perpendicular a AB , hallar AD.
A) 3 B) 2 3 C) 4 D) 3 E) 6 3
38. En un triángulo rectángulo ABC, el ángulo B mide 90° y C mide 30°. Lamediatriz de BC corta en E a AC y a la bisectriz del ángulo ABE en P. Si
AC=2 3 , hallar BP.A) 3 B) 6 C) 9 D) 12 E) 8
39. En el triángulo mostrado, calcularHCHP
.
A) 3 / 4B) 1/4C) 3 / 2D) 1/2E) 3 / 3
40. En la figura, AB = 1. CalcularBCACAEAD
+
+
A) 6 / 3
B) 2 6 / 3
C) 6 / 2
D) 3 6 / 2
E) 6
41. En un triángulo rectángulo ABC, las bisectrices interiores de los ángulosagudos A y C se intersecan en el punto P. Hallar AC si AP=2 y PC=6 2 .
A) 8 2 B) 12 C) 10 2 D) 10 E) 12 2
42. Si el número de lados de un polígono le agregamos su número de vértices seobtiene 20. Hallar su número de lados.A) 10 B) 15 C) 20 D) 25 E) 30
43. De todos los polígonos regulares, ¿cuál es el que posee mayor ángulocentral?A) Triángulo D) HexágonoB) Cuadrado E) DodecágonoC) Pentágono
44. ¿En qué polígono se cumple que el número de sus diagonales excede alnúmero de sus vértices en 7?. (Dar el número de lados)A) 7 B) 8 C) 9 D) 11 E) 13
45. El número de ángulos rectos a que equivale la suma de los ángulos interioresde un polígono convexo es 20. Hallar el número de sus lados.A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14
46. Se sabe que un polígono convexo la suma de sus ángulos interiores es 540°.Con este dato se pide averiguar el número total de sus diagonales.A) 8 B) 7 C) 6 D) 5 E) 4
47. Hallar el número de diagonales de un polígono cuyos ángulos interioressuman 900°.A) 5 B) 9 C) 14 D) 20 E) N.A.
48. ¿En qué polígono se cumple que el número de lados es igual al número dediagonales?A) Pentágono C) Heptágono E) N.A.B) Hexágono D) Octógono
49. ¿En qué polígono regular se cumple que la medida del ángulo exterior es eldoble de la medida del ángulo interior?A) Triángulo C) Pentágono E) N.A.B) Cuadrilátero D) Hexágono
50. ¿En qué polígono se cumple que el número de lados más la mitad del númerode vértices es igual al número de diagonales?A) Pentágono C) Heptágono E) N.A.B) Hexágono D) Octógono
A
B
C
x
70°a
a
ww f
f
A
B C
D
E
60°45°
30°
A
B
CP
H
30°
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64
51. Hallar el número de lados de un polígono convexo cuyos ángulos internos yexternos suman 3 960°.A) 21 B) 22 C) 24 D) 18 E) 20
52. Hallar el número de diagonales de un polígono convexo, sabiendo que susuma de ángulos interiores es igual a 2 340°.A) 27 B) 35 C) 65 D) 15 E) 90
53. En un polígono regular se cumple que la suma de medidas de los ángulosinteriores es 6 veces la medida de un ángulo interior. ¿Cuántos lados tienedicho polígono?A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) N.A.
54. Si al número de lados de un polígono se le aumenta 3, su número dediagonales aumentará en 15. Hallar el número de lados del polígono original.A) 4 B) 5 C) 7 D) 8 E) 9
55. ¿Cuántos lados tiene el polígono en el cual su número de diagonales aumentaen dos, al aumentar en uno el número de lados?A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) N.A.
56. Hallar x en la figura si el pentágono y el hexágono son regulares.A) 12°B) 18°C) 24°D) 48°E) N.A.
57. ¿Cuántos lados tiene el polígono en el cual la suma de sus ángulos internos yexternos es 3780°?A) 10 B) 15 C) 21 D) 25 E) N.A.
58. ¿Cuántas diagonales tiene el polígono regular en el cual el ángulo externo esla mitad del interno?A) 12 B) 9 C) 14 D) 5 E) 8
59. ¿Cuántos lados tiene el polígono cuyo número de diagonales excede en 133al número de lados?A) 20 B) 19 C) 18 D) 17 E) 16
60. ¿Cuántos lados tiene el polígono donde el número de lados excede en 2 alnúmero de diagonales?A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) N.A.
61. En un trapezoide ABCD las bisectrices interiores de los ángulos A y B secortan en P. Si la mÐAPB = 30° y mÐD = 20°. Hallar la mÐC.A) 20° B) 30° C) 40° D) 50° E) 25°
62. Se tiene el rombo ABCD. Desde “O” punto de intersección de las diagonales,se traza OQ (Q punto medio de AD ). Si OQ = 3. Hallar el perímetro delrombo.A) 24 B) 12 C) 18 D) 20 E) 16
63. Si las diagonales de un trapecio dividen a la mediana en tres partes iguales.En qué relación están las bases.A) 3:2 B) 3:1 C) 2:1 D) 4:1 E) N.A.
64. Interiormente a un cuadrado ABCD se construye el triángulo equilátero AFD.La prolongación de BF corta a CD en P. Hallar la mÐDFP.A) 30° B) 45° C) 15° D) 75° E) 60°
65. En un paralelogramo ABCD se traza la bisectriz del ángulo C que corta a ADen E y a la prolongación de BA en F. Si ED = 6 y BF = 10. Hallar el perímetrode dicho paralelogramo.A) 40 B) 36 C) 30 D) 32 E) 30
66. En un trapezoide ABCD, mÐB = 80° y mÐC = 150°. Hallar el menor ánguloformado por la bisectriz interior del ángulo A y la bisectriz exterior del ánguloD.A) 30° B) 20° C) 25° D) 35° E) 40°
67. Se tiene un trapezoide ABCD, mÐB = 144°. mÐBCD = 60°, BC = CD = AD.Hallar la mÐACB.A) 6° B) 8° C) 12° D) 15° E) 18°
68. Se tiene un cuadrilátero ABCD, si mÐBCD = 60°. mÐD = 90° y BC = CD =AD. Hallar la mÐBAC.A) 45° B) 30° C) 15° D) 20° E) 10°
69. Calcular la base mayor AD de un trapecio ABCD en el cual BC=CD. Labisectriz exterior del ángulo C corta a la prolongación de AD en F y elsegmento que une los puntos medios de AC y BF mide 12 m.A) 6m B) 12m C) 18m D) 24m E) 30m
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65
70. En un romboide ABCD mÐA<mÐB, se traza ADBH ^ , de modo que elángulo: mÐABH=mÐDBC, si BC= 5 m y CD=4 m. Calcular DB.A) 1m B) 2m C) 3m D) 4m E) 5m
71. Se tiene un trapecio ABCD ( BC : base menor), AB=BC=CD=2
AD . Calcular la
mÐD.A) 30° B) 60° C) 75° D) 53° E) 45°
72. En un paralelogramo ABCD se tiene que el ángulo ABC mide 120° y BC =3CD: Si se traza la altura DH y la mediana del trapecio ABHD es 5,5, halla elperímetro del paralelogramo ABCD.A) 11 B) 12 C) 16 D) 18 E) 19
73. En un trapecio de bases BC=4 y AD=12, se traza la diagonal AC que corta ala mediana del trapecio MN en un punto E. Hallar la relación entre lasmedidas de MEyEN , sabiendo que M pertenece al lado AB .A) 2 B) 3 C) 6 D) 4 E) 1,5
74. BC // AD; BC = 6; AD = 14. Hallar MP.
A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10
75. Los radios de las circunferencias miden 8; 3 y 1. Hallar el perímetro deltriángulo determinado por los centros.
A) 12B) 13C) 14D) 15E) 16
76. Los radios de las circunferencias miden 3 y 1. M y N son los centros de lascircunferencias y T es punto de tangencia. Hallar PT.
A) 3
B) 2 3C) 4D) 4 3E) 5
77. Se tienen tres circunferencias tangentes exteriores entre sí de diferentetamaño; si las distancias entre sus centros son 12; 10 y 8 m respectivamente,¿cuál es la longitud del radio mayor?A) 5 m B) 7 m C) 8 m D) 7,5 m E) F.D.
78. Desde un punto exterior a una circunferencia trazamos una tangente que tienela misma medida que el radio (7 2 cm). ¿Cuál es la distancia más corta delpunto a la circunferencia?A) 7 (2 – 2 ) cm D) 18 cm
B) 7 (2 + 2 ) cm E) F.D.
C) 14 2 cm
79. En una circunferencia, una cuerda de 16 cm tiene una flecha de 2 cm.¿Cuánto mide el radio de la circunferencia?A) 15 cm C) 15 3 cm E) 18 cmB) 16 cm D) 17 cm
80. En una circunferencia de radio 17, se puede trazar una cuerda que mide 16.¿Cuánto mide la longitud de la flecha relativa a dicha cuerda?A) 3 B) 5 C) 2 D) 3 E) 5
1. B 2.B 3. A 4. B 5.B 6.C 7. D 8.C 9.B 10. E11. C 12. B 13. D 14. B 15. A 16. D 17. D 18. B 19. B 20. B21. E 22. D 23. C 24. B 25. E 26. A 27. E 28. A 29. A 30. B31. A 32. C 33. E 34. A 35. C 36. D 37. D 38. C 39. C 40. B41. D 42. A 43. A 44. A 45. C 46. D 47. C 48. A 49. A 50. B51. B 52. E 53. A 54. B 55. A 56. C 57. C 58. B 59. B 60. B61. C 62. A 63. C 64. B 65. D 66. C 67. A 68. B 69. D 70. C71. B 72. C 73. B 74. E 75. E 76. C 77. B 78. A 79. D 80. C
A
B C
D
M
P
a
a
P
T
M N
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TEMA 10
SEMEJANZA Y PROPORCIONALIDAD
10.1.Teorema de Thales: Si dos rectas cualesquiera se cortan por varias rectasparalelas, los segmentos determinados en una de las rectas son proporcionales alos segmentos correspondientes en la otra.
Si: 321 L//L//L , se cumplen las siguientes proporciones
nm
ba
= ,nb
ma
=
yn
nmb
ba +=
+
Corolario: Si una recta es paralela a un lado del triángulo e interseca a los otrosdos, determinan en ellos, segmentos proporcionales.
Si MN //AC entonces
nb
ma
=
10.2 Teorema de la bisectriz interior y exterior:
Teorema: La bisectriz de un ángulo de unTriángulo divide al lado opuesto en dossegmentos proporcionales a los lados queforman ese ángulo.Es decir, en el triángulo ABC :
ac
nm
=
Teorema: La bisectriz de un ángulo exteriordel triángulo divide exteriormente el ladoopuesto en dos segmentos, cuyas medidasson proporcionales a las de los lados delcorrespondiente ángulo interior del triángulo.
ac
qp
=
Semejanza de Triángulos: En geometría, existen casos en los que se presentanciertas similitudes entre figuras; aquí los conceptos de congruencia o semejanzase establecen cuando las figuras son de la misma forma y tienen igual o diferentetamaño.
En la congruencia, los lados y los ángulos tienen la misma medida y, en lasemejanza, las dos figuras tienen la misma forma, aunque no tengannecesariamente la misma medida o tamaño; sus ángulos correspondientes uhomólogos deben ser congruentes y los segmentos correspondientes o ladoshomólogos deben guardar entre sí una relación proporcional.
¿Cuándo se puede afirmar que dos triángulos son semejantes? Para contestaresta pregunta es necesario que se cumplan las condiciones que se analizarán acontinuación:
a
b n
mL1
L2
L3
b
NM
CA
B
n
ma
A
B
Cnm
c aq q
A
B
Dqp
ca
q
C
q
Np
no40mm
QP
R
O
Mp
qr60º
54mm
30mm
27mm20mm
60mm40º
80º
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67
Obsérvense los siguientes triángulos: ¿serán semejantes? Si se toma con un transportador la medida del ángulo M, se puede ver que escongruente con el ángulo P; de la misma forma, el ángulo N es igual a Q, y R a O,por lo que se puede establecer que:
<M = <P = 60°; <N = <Q = 40°; <O = R = 80°
Por otra parte, las medidas en milímetros de los lados opuestos a estos ángulostienen una razón o constante de semejanza, esto es, el cociente de los ladosopuestos a ángulos iguales es constante.
5,06030
==mp 5,0
5427
==nq 5,0
4020
==or
Para comprobar que los ángulos M, N y O del MNO son, respectivamente,congruentes a los ángulos P, Q y R del PQR, se puede calcar el PQR, recortar ysobreponer, uno a uno, los ángulos de los dos triángulos. Gracias a los datosobtenidos puede afirmarse que los triángulos MNO y PQR son semejantes. Elsímbolo ~ indica semejanza entre dos figuras, por lo que se pueden representarcomo: DPQR ~ DMNO
Para determinar la semejanza entre dos triángulos existen tres criterios que sonlos siguientes:
Primer Criterio: Ángulo – Ángulo (AA): Dos triángulos son semejantes si tienendos de sus ángulos respectivamente iguales.
Segundo Criterio: Lado - Ángulo- Lado ( LAL): Dos triángulos son semejantes sidos de sus lados son proporcionales respectivamente y congruente el ángulo queforman.
Tercer Criterio: Lado - Lado - Lado (LLL): Dos triángulos son semejantes si sustres lados son respectivamente proporcionales.
PROBLEMAS
1. Siendo : L1 // L2 // L3, hallar BC .
A) 5 mB) 10C) 15D) 7,5E) N.A.
2. Calcular “x” si: 1L // 2L // 3L // 4L
A) 2B) 4C) 6D) 8E) N.A.
3. Calcular “x”. Si: AE//BD y AF//BE
A) 1B) 2C) 3D) 4E) N.A.
4. Calcular “x”
A) 7B) 14C) 21D) 28E) N.A.
5. En un triángulo acutángulo ABC, se traza la mediana AM . Por M se traza unaparalela a AC que corta a AB en N. La mediana BF corta a MN en P y a AMen Q. Si BF = 18, hallar PQ.A) 4,5 B) 5 C) 6 D) 4 E) 3
6. En la figura mostrada, la suma de todos los valores de “x” para los cualesAB//FG es:
A) 16B) 18C) 20D) 17E) 19
A
B
C
E
F
G
L1
L2
L3
7
42K+1
5K–5
A
C
GF
B
x – 4
4x – 3
3x – 19
x 6
x+4 y+9
3 y
L1
L2
L3
L4
A
B
C
DE
F
2
4
x
A
B
C
D
E
P
x
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68
7. En un triángulo ABC se traza la bisectriz interior AM . Luego se traza elsegmento MN paralelo a AB (N en AC ). Si MN = 3, MB = 2 y MC = 4, hallarAC.A) 12 B) 15 C) 9 D) 14 E) 6
8. En el D escaleno ABC: AB = 6 m, BC = 8 m, AC = 7 m, la bisectriz interior BDmide 6 m. Hallar la distancia del incentro a “B”.A) 2 m B) 4 C) 6 D) 8 E) 10
9. Los catetos BCyAB de un triángulo ABC miden 5 y 12 respectivamente.
Sobre AC se toma un punto “P” desde el cual se levanta la perpendicularPQ , “Q” en la prolongación de AB . Calcular PQ si: PC = 3A) 6 B) 12 C) 18 D) 24 E) 30
10. Los lados de un triángulo son ACyBC,AB , cuyas longitudes son 18, 27 y
45 respectivamente. ¿A qué distancia de C, sobre el lado BC , debe tomarseun punto N desde el cual los segmentos MN y NP (con P en AC , M en AB )estén en la relación de 1 a 2, siendo AB//NP y AC//MN ?A) 20,5 B) 22,5 C) 23,5 D) 21,5 E) 24,5
11. En un trapecio ABCD las bases AB y CD miden 6 m y 12 m,respectivamente, y la altura del trapecio mide 8 m. Calcular la distancia delpunto de intersección de las diagonales a la base menor.A) 4/3 m B) 2/3 m C) 7/3 m D) 8/3 m E) 1/3 m
12. Se tiene un triángulo ABC en el cual AB = 6 m, BC = 3 m, se inscribe elrombo BMNP, “M” en AB , “N” en AC y “P” en BC . Calcular la medida dellado del rombo.A) 4 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4,5
13. En un triángulo rectángulo ABC cuyos catetos BCyAB miden 4 y 3. Calcularla distancia del vértice C a la mediana trazada desde el vértice B.A) 2,2 B) 2,4 C) 2,6 D) 2,8 E) N.A.
14. La altura de un triángulo rectángulo con respecto a la hipotenusa mide3 34 m y los catetos están en la relación 3/5. Hallar la medida del catetomayor.A) 12m B) 17m C) 23m D) 34m E) N.A.
15. En una circunferencia de 15 m de radio, dos cuerdas se cortan y dan porproducto de sus segmentos respectivos 200 m2. Hallar la distancia del centrode la circunferencia al punto de intersección de las cuerdas.A) 2 m B) 5 m C) 6 m D) 8 m E) 10 m
16. Por un punto P exterior a una circunferencia se traza las secantesPDByPCA . Si PCA pasa por el centro de la circunferencia y además:
PB=24, PD=8 y PC=6, hallar la longitud del diámetro de la circunferencia.A) 12 B) 15 C) 16 D) 24 E) 26
17. Hallar el perímetro de un triángulo rectángulo, si se sabe que la altura relativaa la hipotenusa mide 12 cm y determina en ella segmentos que son entre sícomo 9 es a 16.A) 30 cm B) 48 cm C) 72 cm D) 54 cm E) 60 cm
18. En la figura: ÐB es obtuso. MF = 12, BF = 2, FC = 9 y AM = MC. Hallar AB.
A) 24B) 25C) 26D) 22E) 18
19. Hallar el perímetro del triángulo equilátero ABC, si las circunferencias tienenigual radio r.
A) 6r ( 3 + 3) D) 3r ( 3 + 1)
B) 6r ( 3 + 2) E) 6r (3 + 2)
C) 6r ( 3 + 1)
A
B
C
A
B
C
F
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A B
C
D
O
20. En la semicircunferencia de centro O, hallar el valor de AC, si AD = 6.
A) 2 C) 2 2 E) 3 2B) 2 D) 4
21. En la figura CD es tres veces mayor que BE; AE = 7, AD = 4, mÐB = mÐC.Calcule el valor de BE.
A) 4,5B) 2,5C) 5,5D) 6,0E) 6,6
22. En un triángulo ABC se trazan las alturas AM y CN . Calcular la longitud delsegmento BM , si AB = 12, NB = 3 y BC = 8.A) 3,8 B) 4,2 C) 3,5 D) 4,5 E) 4,0
23. En un triángulo ABC, AB = BC, la mediatriz de BC corta en F a AC . Por F se
traza BC//FH (H en AB ). Calcular AB, si FH = 2 y FC = 15 .
A) 2 6 B) 5 C) 6 D) 4 E) N.A.
24. Los lados de un triángulo forman una progresión aritmética de razón 6. Hallarla longitud del segmento que une el incentro con el baricentro del triángulo.A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
25. En el triángulo ABC, AN es bisectriz, BM = 2 cm, CN = 6 cm y MN = 4 cm.Calcula AN.
A) 9 cmB) 8 cmC) 7 cmD) 6 cmE) 5 cm
26. Se tiene un triángulo rectángulo ABC, recto en A. Se traza la altura AH (H enBC ) y la bisectriz del ángulo B que corta a la altura AH en el punto E, al ladoAC en F y a la paralela trazada por A a BC en G. Halla FG, si BE = 1 cm.A) 0,5 cm C) 1,5 cm E) 4 cmB) 1 cm D) 2 cm
27. En la figura, PT = TR, ST = 15 y QR = 9. Halla PQ.
A) 6B) 7C) 9D) 21E) 15
28. En un triángulo ABC, AB = 8 m y BC = 12 m, se trazan la bisectriz interior BDy la mediana BM . Si DM = 1,5m, calcular AC.A) 15 m C) 16 m E) 10 mB) 12 m D) 18 m
29. En la figura, calcular AB si BM = 6 y 3AM = 2MC.
A) 8B) 10C) 12D) 14E) 6 3
30. En un triángulo ABC se traza la mediatriz de AC la cual interseca en “P” aBC y en “Q” a la prolongación de AB . Si PC = 4BP; AB = 12. Calcular BQ.A) 2 B) 3,2 C) 3 D) 5 E) 4
31. En el gráfico AO = 5 y M es punto medio de ED. Hallar DB si AB = BC.
A) 0,5B) 1C) 1,5D) 2E) 2,5
A
BC
DE
A
B
C
M
N
PQ
R
S T
A
B
CM
a q
a+q
A B
C
D
E
O
M
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70
32. Se tiene un triángulo rectángulo ABC, donde AB = 3 cm, AC = 4 m yBC = 5 cm. Se traza la mediatriz DE de la hipotenusa (D en BC y E en AC ).Halla su longitud.A) 1,875 cm C) 1,50 cm E) 1,60 cmB) 2,40 cm D) 1,75 cm
33. La base AC de un triángulo isósceles ABC mide 60 m. Se trazan lasalturas CEyAD . Halla la longitud del segmento DE , sabiendo que BC = 3BE.A) 20 m C) 30 m E) 45 mB) 15 m D) 12 m
34. En un paralelogramo ABCD: M es punto medio de CD . Si ACBM Ç : P y ladistancia de P a AB es igual a 8. Hallar la distancia de P a CD .A) 4 B) 3 C) 4,5 D) 5,5 E) 6
35. Del gráfico adjunto se pide calcular MN, si AB excede a MN en 5 además:
23
NCBN
= .
A) 10/4B) 10/6C) 5D) 10/3E) N.A.
36. En la figura ABCD es un paralelogramo. AB = 18, AP = 4 (QP). Hallar PD.A) 6B) 8C) 9D) 12E) 4
37. Calcular AB si BF = 4m y FC = 5m.A) 4,5mB) 8,5mC) 6mD) 7mE) 8m
38. En la siguiente figura, calcula DE, si AC = 12 m, AB = 8 m y BD = 3 m.
A) 3 mB) 4 mC) 4,5 mD) 5 mE) 2 m
39. Calcular la longitud de la paralela al lado AC de un triángulo ABC, si AC = 18y la paralela se ha trazado por el baricentro del triángulo.A) 9 B) 12 C) 13 D) 14 E) 16
40. Calcular el lado de un cuadrado inscrito en un rombo cuyas diagonales miden2x y x unidades.A) 2x B) 2x/3 C) 3x/2 D) x/2 E) x/3
41. Hallar el lado del cuadrado si AP = 9m y SC = 25m
A) 5 mB) 10 mC) 15 mD) 20 mE) 4 m
42. En un triángulo ABC, se inscribe un rombo BMNT (M sobre BC y N sobreAC ). Calcular el lado del rombo, si AB = s y BC = t.
A)ts
st-
C) s – t E)ts
st+
B) s + t D) st
43. En la figura AB = 3 y BD = 2 3 . Calcular BC
A) 2B) 4C) 6D) 8E) 10
A
B
CM
N
A
B C
D
Q P
A
B
C
F
aa
A
B
C
D
Ea
a
A
B
Q
P
R
S C
A
a C
a
D
B
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44. En un trapecio ABCD ( CD//AB ), las diagonales se intersecan en P. Si 3AB =5CD; AP + PB = 30, hallar: CP + PD.A) 14 B) 16 C) 18 D) 20 E) 24
45. Los lados de un triángulo ABC miden AB = 8 m, BC = 10 m y AC = 12 m.Hallar la longitud de la paralela al lado AC trazada por el incentro deltriángulo ABC.A) 9,2 m C) 4,2 m E) 8,2 mB) 7,2 m D) 6,2 m
46. La base mayor de un trapecio mide 7 veces la longitud de la base menor. Laaltura mide 8. Hallar la distancia del punto de corte de las diagonales a labase mayor.A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 8,5
47. En el trapecio isósceles de la siguiente figura, si las bases mayor y menormiden 12 m y 8 m, hallar la longitud de PQ.
A) 9,2 mB) 9,5 mC) 9,0 mD) 9,8 mE) 9,6 m
48. Los lados de un triángulo ABC miden BC = 6, CA = 8 y AB = 4. Por un puntoM de AB se traza la paralela MN al lado BC . Hallar AM, de modo que elperímetro del triángulo MAN sea igual al perímetro del trapecio BMNC.A) 3,5 B) 2,0 C) 1,5 D) 2,5 E) 3,0
49. En un rombo ABCD, de 12 cm de lado, se toma el punto medio M de BC .AM corta a BD en G y DM a AC en H. Calcular GH.
A) 4 C) 2 2 E) 3
B) 6 D) 3 2
50. En un paralelogramo ABC. Un punto P de AC dista 2m y 3m de AB y ADrespectivamente. Si la longitud del lado mayor del paralelogramo es 15m.Calcular la longitud del lado menor.A) 9m C) 8m E) 13mB) 10m D) 12m
TEMA 11RELACIONES MÉTRICAS
11.1 EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO
222
2
2
2
222
h1
c1
a1
b.nc
b.ma
h.bc.an.mh
cab
=+
=
=
==
+=
11.2 EN EL TRIÁNGULO ACUTÁNGULO Y OBTUSÁNGULOTeorema de Euclides Si 90º<b<180º
bmcba 2222 -+= Teorema de Heron
Teorema de Stewart Teorema de Mediana
mcnabmnbx 222 +=+22
22
22 cabx +=+
a
b
c
m n
h
( )( )( )cpbpappb
h
cbap
b ---=
++=
22
A
B C
D
P Q
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72
Ejercicios y Problemas
1. En la figura, la suma de las áreas de los cuadrados ABCD y EFGC es 72 u2.Calcular la longitud de FA .
A) 6uB) 9uC) 10uD) 8uE) 12u
2. En la figura, AB = 25; AH = 24 y HC = 30. Hallar HD.
A) 7,25B) 8,75C) 9,20D) 6,25E) 7,50
3. En la figura: EF ´ EQ = 20; AE = 5 y AB = BC. Hallar la longitud del segmentotangente CT.
A) 9B) 9 3
C) 9 2
D) 9 5
E) 9 6
4. Los lados de un triángulo rectángulo tienen medidas que forman unaprogresión aritmética de razón igual a 1. Calcular la medida de la alturarelativa a la hipotenusa.A) 1,2 B) 1,4 C) 1,6 D) 2,2 E) 2,4
5. Los lados menores de un triángulo rectángulo miden x y 3x+3, el tercer ladomide 4x – 3. Calcular el perímetro del triángulo.A) 54 B) 56 C) 58 D) 60 E) 62
6. La hipotenusa de un triángulo mide 20 y la altura relativa a ella mide 9,6.Calcular la medida del cateto mayor.A) 18 B) 5 10 C) 16 D) 6 10 E) 12
7. Hallar AB.
A) 4B) 6C) 8D) 10E) 12
8. Hallar BH.
A) 4B) 6C) 15D) 5E) 9
9. Hallar HB.
A) 9B) 12C) 16D) 13E) 10
10. Hallar PQ.
A) 6B) 9C) 10D) 12E) 15
11. Los catetos de un triángulo rectángulo miden 5 y 12 cm. Hallar la alturarelativa a la hipotenusa.
A)1360 B)
1330 C)
1315 D)
1310 E)
1320
A
B C
D
EF
G
A
B
C
DH
AB
C
E
T
Q
F
x
A
B
CH2 6
A
B
CH3 12
A
B
CH
15 20
P Q
312
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73
12. La altura de un triángulo rectángulo determina en la hipotenusa segmentos de9 m y 16 m. Calcular los catetos.A) 15 y 20 C) 20 y 30 E) 30 y 40B) 40 y 50 D) 50 y 60
13. Hallar R, OP = 8, ON = 15.
A) 16B) 17C) 18D) 20E) 23
14. Los lados de un triángulo miden 10 m, 41 m y 42 m. ¿Cuánto hay que disminuircada lado para que el nuevo triángulo sea rectángulo?A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
15. En un triángulo rectángulo las proyecciones de los catetos están en la relaciónde 4 a 5. Hallar la relación de dichos catetos.
A)52 B)
5
2 C)53 D) 5 E)
54
16. El perímetro de un triángulo rectángulo es 56 y la suma de los cuadrados desus lados es 1 250. Hallar la longitud del menor lado.A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7
17. En un triángulo rectángulo, la suma de las longitudes de sus catetos es 35.Calcular la longitud de la hipotenusa si la altura relativa a la hipotenusa mide12.A) 24 B) 25 C) 26 D) 27 E) 12 3
18. En un trapecio isósceles, calcular la longitud de la proyección de una de susdiagonales sobre la base mayor, si la suma de las longitudes de sus bases es10 cm.A) 2,5 cm B) 5 cm C) 7,5 cm D)10 cm E) 6,5 cm
19. Los lados de un triángulo rectángulo están expresados por tres númerosenteros consecutivos. Hallar la longitud de la proyección del lado mayor sobreel lado menor.A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 2,5
20. La altura trazada del vértice del ángulo recto de un triángulo rectángulo mide60 cm y la proyección de uno de los catetos sobre la hipotenusa es de 25 cm.Hallar el perímetro del triángulo.A) 360 cm C) 380 cm E) 410 cmB) 370 cm D) 390 cm
21. Una rueda está apoyada en un ladrillo como muestra el gráfico. Si: AB = 15 yBC = 9, entonces el radio de la rueda mide:
A) 12B) 13C) 14D) 15E) 17
22. En la figura, calcular el radio de la circunferencia, sabiendo que el lado delcuadrado ABCD mide 16.
A) 6B) 5C) 8D) 10E) 12
23. Hallar PB; si AP = 4; PC = 9 y PD = 12.
A) 1B) 2C) 3D) 4E) 5
24. Hallar CD; si AB = 5, AF = 4 y FC = 3.
A) 7B) 8C) 9D) 10E) 12
A
B
C DR
O
P M
N
AB
C
R
A
B C
D
r
AB
CD
F
A B
CD
P
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25. Hallar PT; si PA = 3 y AB = 9.
A) 2B) 3C) 4D) 5E) 6
26. En un triángulo rectángulo, el producto de las medidas de los catetos es 48cm2; si la hipotenusa mide 10 cm, ¿cuánto mide la altura relativa a lahipotenusa?A) 12/5 cm C) 24/5 cm E) 5,5 cmB) 1,2 cm D) 5 cm
27. Hallar BC, si AB = 3 y CD = 4.
A) 1,5B) 2C) 2,5D) 3E) 4
28. Hallar PC, si AP = 16, PB = 4 y PD = 32.
A) 1B) 2C) 3D) 4E) 6
29. Hallar AB, si: BC = 1 u, CD = 2u y DE = 13 u.
A) 3,5 uB) 4,5 uC) 6 uD) 2,5 uE) 6,5 u
30. Del gráfico, señalar lo correcto:
A) x2 = ab D) x2 = a2 – b2
B) x2 = 2ab E) 2x = a + bC) bax +=
31. La figura muestra dos semicircunferencias. Indicar lo correcto:
A) a = 2c D) a2 = b . cB) b = c E) c = 3bC) a = b + c
32. En la figura, O es centro de la circunferencia. BF = 3 y OF = 9. Hallar EF.
A) 3B) 3,6C) 4,2D) 3,2E) 4,6
33. En un triángulo equilátero ABC, cuyo lado mide 8 cm, se traza unaperpendicular desde uno de los vértices, hasta el lado opuesto; del pie de estaperpendicular se traza otra perpendicular hacia uno de los otros lados.¿Cuánto medirá esta perpendicular?A) 3 cm C) 3 3 cm E) 2 3 cm
B) 4 3 cm D) 4 cm
34. Una hoja de papel de forma cuadrada, de 20 cm de lado, se dobla juntando 2esquinas opuestas. ¿Cuánto mide el doblez?A) 10 2 cm C) 25 cm E) 20 2 cmB) 10 cm D) 40 cm
A
B
T
P
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
P
A BC
D E
P
Q
x
a b
E
F
Ga
bc
B
D
A CO
F
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35. Los lados de un rectángulo miden 15 y 20 cm respectivamente. ¿Cuál es ladistancia de uno de los vértices a una de las diagonales?A) 18 cm C) 12 cm E) 13 cmB) 9 cm D) 10 cm
TEMA 12
REGIONES POLIGONALES Y CIRCULARES
Triángulo
h
b
2h.bA =
Trapeciob
B
hA
hbBA2+=
Cuadradoa
aa S
S=a2
Paralelogramo
h
b
S
S=b.h
Rectángulo
b
a S
S=a.b
Polígono Regular
a
p: semiperímetrop.aA =
Rombo
D
d
A
2d.DA =
Relación entre áreas de triángulossemejantes
bba a
a’'h’
c’
b’h
c
ab
S S’
2
2
2
2
2
2
2
2
'hh
'cc
'bb
'aa
'SS ====
Área del Círculo y Longitud de suCircunferencia
rS
S=pr2 LC = 2pr
Área de un Sector Circular yLongitud de Arco
rS L
ºrL
ºrS
3602
360
2 pa=
pa=
Area de la corona Circular
R
r
A=p(R2-r2)
Área del Segmento Circular
rS
2360
22 a-
pa=
senrº
rS
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76
EJERCICIOS Y PROBLEMAS
1. En un triángulo ABC se traza la ceviana BD de modo que 3AC = 4DC.Calcular el área del triángulo BDC si el área de ABC es 48 m2.
A) 12 m2 C) 36 m2 E) N.A.B) 24 m2 D) 42 m2
2. Hallar el área del DABC.
A) 36 m2
B) 32 m2
C) 40 m2
D) 38 m2
E) N.A.
3. En un triángulo ABC, AB=8 y BC=10. Se toma “M” punto medio de AC ; ladistancia de “M” a AB es igual a 5. Calcular la distancia de “M” a BC .A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) N.A.
4. En un triángulo ABC se traza la ceviana BD tal que DC = 2AD. Hallar el áreadel triángulo ABC si el área de ABD es 8 m2.A) 18 m2 C) 24 m2 E) 30 m2
B) 16 m2 D) 26 m2
5. M y N son los puntos medios de los lados AB y BC de un triángulo ABC, siADABC = 28 cm2, hallar el ADMBN.A) 9 cm2 C) 7 cm2 E) 14 cm2
B) 6 cm2 D) 12 cm2
6. En un triángulo ABC, AB = 3m, BC = 4m se traza la bisectriz interior BF (F enAC ). Calcular el área de la región triangular BFC si el área de la regióntriangular ABC es 84 m2.A) 18 m2 C) 36 m2 E) N.A.B) 24 m2 D) 48 m2
7. La base de un triángulo mide 4 m. ¿Cuál es en metros la longitud de unaparalela a la base que divide a dicho triángulo en dos partes equivalentes?A) 2 m C) 3 m E) 2( 2 – 1)m
B) 2 2 m D) 2 m
8. La base de un triángulo isósceles mide 18, se trazan dos paralelas a la baseque dividen al triángulo en tres regiones equivalentes. Calcular la longitud dela paralela más cercana a la base.A) 3 2 C) 6 6 E) N.A.
B) 6 2 D) 8 6
9. En la figura mostrada ADABC = 64 u2. Hallar: ADPFE:
A) 4 u2 B) 8 u2 C) 16 u2 D) 24 u2 E) N.A.
10. El área de un DABD es 84 u2 y AB : BC = 5 : 7. Se traza la bisectriz interiorBD . Calcular: área DABD.A) 30 u2 B) 32 u2 C) 35 u2 D) 36 u2 E) 39 u2
11. En un DABC, recto en B, BH es altura. Calcular: ADAHB:ADBHC, si AB:BC = 2: 3.A) 2/3 C) 4/5 E) 16/81B) 3/2 D) 4/9
12. En un DPQR, A Î PQ y B Î QR , tal que PR//AB . Si PR = 8, calcular AB,siendo las regiones AQB y PABR equivalentes.A) 2 2 C) 2 E) 4 2
B) 4 D) 3 2
13. ¿Qué porcentaje del área no sombreada representa el área sombreada?
A) 24% C) 58% E) N.A.B) 36% D) 68%
A
B
C
EF
P
A
B
C
D
M
a
2a
6m2
5 7 9 10 11
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77
5720°
45°2 m
14. En La figura mostrada se tienen dos regiones equivalentes. Hallar EF/AC.
A) 1/2B) 2 / 3C) 1/4D) 2 / 2E) N.A.
15. En un triángulo ABC se traza AC//PQ de tal manera que52
ABCPBQ
=D
D .
Calcular PQ si AC = 20.A) 5 2 B) 10 2 C) 4 10 D) 5 10 E) N.A.
16. En un triángulo se traza la altura al ladoBC , si la altura mide 12 cm. ¿A quédistancia del vértice A se debe trazar una paralela a BC para que sedetermine dos regiones equivalentes?A) 3 2 B) 6 2 C) 6 D) 8 2 E) N.A.
17. En un triángulo ABC de 54 cm2 de área, se ubica el punto “F” sobre AB demodo que: AB = 3BF y M es punto medio de BC. Calcular el área de la regiónAFMC.A) 18 cm2 B) 27 cm2 C) 36 cm2 D) 45 cm2 E) N.A.
18. Hallar el área de la región sombreada, si AE = EC y BF = 3FE y ADABC = 40.
A) 3B) 4C) 5D) 8E) N.A.
19. Del gráfico AD = 2DB, 2EC = 2BE, FC = 3AF y ADABC = 60. Hallar el área dela región sombreada.
A) 20B) 30C) 40D) 80E) N.A.
20. En una región triangular ABC de área 24u2, se ubican los puntos medios “M”de AB , “N” de MC y L de AN tal que BL interseca a MN en “F”. HallarADLFN.A) 2 u2 C) 6 u2 E) N.A.B) 3 u2 D) 9 u2
21. Halla el área de la región sombreada.
A) (p – 1) m2 C) (2p – 2) m2 E) (2p – 4) m2
B) (p – 2) m2 D) (p – 2) m2
22. Hallar el área de la región sombreada.
A) 4 p / 3B) p / 4C) 3 p / 2D) 3 p / 4E) p / 3
23. En la figura se muestra 2 circunferencias concéntricas. Hallar el área de lacorona circular en función de AB.
A) p (AB)2 / 4 C) p (AB)2 / 2 E) 2p (AB)2
B) p (AB)2 / 3 D) p (AB)2
A
B
C
E
Fa
a
A
B
CE
FP
A
B
CF
ED
A B
O
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A B
CD
2a
24. En el cuadrado ABCD mostrado, hallar el área de la región sombreada.
A) pa2 / 4B) pa2 / 2C) 2pa2 / 3D) pa2 / 6E) 3pa2 / 4
25. Calcular el área del círculo inscrito en un triángulo equilátero, el cual a su vezestá inscrito en una circunferencia de longitud igual a 4p m.A) p m2 C) 6p m2 E) 4p m2
B) 2p m2 D) 8p m2
26. Tomando como diámetro los catetos de un triángulo rectángulo se trazan 2semicírculos, cuyas áreas son 55 y 32. Hallar el área del semicírculo cuyodiámetro es la hipotenusa del triángulo.A) 55 B) 87 C) 64 D) 110 E) 32
27. Dentro de un círculo V de radio r se construye otro M tangente interiormentecon V y de diámetro r, entonces:A) V – M = 33
31 % de V
B) V – M = 50% de VC) V – M = 75% de V
D) V Ç M =43 de V
E) V È M = 6632 de V
28. El área del romboide ABCD es 24 cm2 y CM = MD. Calcular el área de laregión sombreada.
A) 1 cm2
B) 2 cm2
C) 3 cm2
D) 4 cm2
E) 5 cm2
29. ABCD es un trapecio de bases BC y AD , con BC > AD . Si área ABD = S1
y área ACD = S2, entonces:A) S1 = 2S2 C) S1 = S2 E) 3S2 = 3S1B) S2 = 2S1 D) S1 = 3S2
30. El área de un trapecio ABCD es 14 u2 y las longitudes de las bases son entresí como 2 es a 5. Por C, se traza AB//CF (F en AD ). Calcular el área deABCF.A) 12 u2 C) 3 u2 E) 8 u2
B) 6 u2 D) 9 u2
31. En la figura: ABCD es un paralelogramo, área DBQE = 4u2 y área DAQD = 9u2. Calcular: área QECD.
A) 12 u2
B) 11 u2
C) 10 u2
D) 13 u2
E) 14 u2
32. En un plano a escala se representa un terreno, en forma de un trapecio cuyasbases miden 4 y 8 cm respectivamente y cuya altura mide 5 cm. Si se sabeque el área del terreno en mención es de 75 000 m2, ¿A cuántos metroscorresponde cada centímetro del plano?A) 50 m C) 250 m E) 75 mB) 100 m D) 125 m
33. Los lados congruentes de un trapecio isósceles miden 17 cm cada uno; laaltura y la base menor miden 15 y 6 cm respectivamente. Hallar el áreaA) 160 cm2 C) 210 cm2 E) N.A.B) 190 cm2 D) 305 cm2
34. Hallar el área de un trapecio isósceles, circunscrito a una circunferencia ycuyas bases son 6m y 14 m.A) 10 7 m2 C) 20 7 m2 E) N.A.
B) 20 21 m2 D) 12 21 m2
35. En la figura: M, N y R son puntos medios de: BC , CD y AD . El romboideABCD tiene área 16 u2. Calcular el área de la región sombreada.
A) 5 u2
B) 6 u2
C) 4 u2
D) 7 u2
E) 8 u2
V
O
A
B C
D
M
A
B C
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A B C
LT
P
O
36. Se da un trapecio, cuyas bases miden 4 m y 16 m y sus diagonales 10 m y 14m. Halla el área del trapecio.A) 4 33 m2 B) 4 66 m2 C) 8 33 m2 D) 8 66 m2 E) N.A.
37. El menor lado de un trapecio rectángulo circunscrito a un círculo de radio “R”
es igual a2R3 . Hallar el área del trapecio.
A)2R7 2
B)2R9 2
C) 3 R2 D)3R11 2
E)38 R2
38. En un triángulo ABC, se traza la altura BH y la mediatriz MF de AC (F enBC ). Calcular el área de la región cuadrangular ABFH si el área de la regióntriangular ABC es 60 m2.
A) 15 m2 B) 20 m2 C) 30 m2 D) 40 m2 E) 45 m2
39. En el gráfico, calcule el área de la región sombreada, si: AL = PL y (AL) (OC)= 16 cm2. (T es punto de tangencia)
A) 2 cm2 B) 4 cm2 C) 6 cm2 D) 8 cm2 E) 10 cm2
40. Las bases de un trapecio miden 1 m y 3 m; se traza una paralela a las basespara dividirlo en dos partes equivalentes. ¿Cuál es la longitud de dichaparalela?
A) 5 m C) 1032 m E) 3 m
B) 10 m D) 532
TEMA 13
GEOMETRIA ANALITICA EN EL PLANO
13.1 Distancia entre dos Puntos, Punto Medio de un Segmento
( ) ( ) ( )201
20110 yyxxP,Pd -+-=
÷øö
çèæ ++
=22
0101 yy;xxM
13.2 la rectaEs el lugar geométrico de todos los puntosdel plano dispuestos en una mismadirección.Al ángulo “a” se le llama ángulo deinclinación de la recta.Se define la pendiente de la recta novertical como la tangente de su ángulo deinclinación
Pendiente de la recta L: m(L)=tana
Ecuaciones de la Recta:
Si tiene pendiente m y pasa por P0(x0;y0) ( ) ( )00 xxmyy:L -=-
Si se conocen dos puntos P1(x1;y1) y P2(x2;y2) ( ) ( )112
121 xx
xxyyyy:L -
--
=-
Ec. General de la rectaBA
m;CByAx:L -==++ 0
Ec. de una Recta Vertical que pasa por P(h,k) L: x-h=0.
1. C 2. A 3. B 4. C 5. C 6. D 7. B 8. C 9. B 10. C11. D 12.E 13. D 14. D 15. C 16. B 17.D 18. E 19. C 20. B21. D 22.A 23. A 24. B 25. A 26. B 27. C 28. B 29. C 30. E31. B 32.A 33. A 34. 35. A 36. D 37. B 38. C 39. D 40. A
01
01
xxyym
--
=
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80
Recuerda que:
· Si L1//L2 → m(L1) = m(L2)
· Si L1^L2 → m(L1).m(L2)= -1
· Distancia del punto P(x0,y0) a la recta L: Ax+By+C=0
( )22
00
BACByAx
L;PD+
++=
13.3 Circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que
equidistan de un punto fijo llamado centro. Al segmento que une el centro de la
circunferencia con un punto de ella, se le llama radio (r).
Ecuaciones de la circunferencia:
Ec. Canónica : x2+y2=r2
Ec. Ordinaria : (x-h)2+(y-k)2=r2
Ec. General : x2+y2+Dx+Ey+F = 0
Dada la ecuación x2+y2+Dx+Ey+F = 0; se considera que :
· Si 042 >-+ FED 2 representa una circunferencia de radio
FDr 4E21 22 -+= y centro en ÷
øö
çèæ --
22E;D .
· Si 042 =-+ FED 2 . Representa solo al punto ÷øö
çèæ --
22E;D .
· Si 042 <-+ FED 2 , no representa ningún conjunto en el plano.
13.4 ParábolaUna parábola es el conjunto de todos los puntos en un plano equidistantes de unpunto fijo y una recta fija; el punto fijo se llama foco y la recta fija directriz
13.4.1 Ecuaciones de la parábolaPara Parábolas que tienen eje paralelo al eje Y
Ec. Canónica : x2=4py Ec. Ordinaria : (x-h)2=4p(y-k)Ec. General : Ax2+Bx+Cy+D=0
Para Parábolas que tienen eje paralelo al eje X
Ec. Canónica : y2=4px Ec. Ordinaria : (y-h)2=4p(x-k)Ec. General : Ax+By2+Cy+D=0
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81
13.5 Elipse: La elipse es el lugar geométrico de un punto que se mueve de modoque la suma de sus distancias a dos puntos fijos (focos) es constante igual a “2a”
13.5.1.Elementos de la Elipse:
F; F’ : focosFF’ : 2cV; V’ : vérticesVV’ : eje mayor = 2axx’ : eje focalC : centro.yy’ : eje normalAA’ : eje menor= 2bDD’ : cuerdaL : directriz
Si una cuerda pasa por cualquiera de los dos focos, se le llama cuerda focal. Si lacuerda focal es perpendicular al eje focal la cuerda se llama lado recto. Longitud
del lado recto se calcula comoab22
Se cumple la relación pitagórica a2 = b2 + c2.
La excentricidad está dada por: 1<=ace
13.5.2 Ecuaciones de la ElipsePara Elipses que tienen su eje focal paralelo al eje X
Ec. Canónica: 12
2
2
2
=+by
ax Ec. Ordinaria: ( ) ( ) 12
2
2
2
=-
+-
bky
ahx
E. General: Ax2+By2+Cy+Dx+F=0(A.B>0)
Para Elipses que tienen su eje focal paralelo al eje Y
Ec. Canónica: 12
2
2
2
=+bx
ay Ec. Ordinaria:
( ) ( ) 12
2
2
2
=-
+-
bhx
aky
E. General: Ax2+By2+Cy+Dx+F=0
13.6 Hipérbola: Es el lugar geométrico de un punto (P) que se mueve en un planode tal manera que la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos (F1 y F2)llamados focos, es siempre igual a una constante positiva (2a).
13.6.1 Elementos de la Hipérbola
F2F1
B2
B1
C V1V2
LF
R
LA1LDLNLDLA2
E
E’
12 L
V1V2 (2a) :Eje transversoF1F2 (2c) :Segmento focalLD1 y LD2 :DirectrizLF :Eje focalLN :Eje normalLA1 y LA2 :AsíntotasC :CentroV1 y V2 :VérticesF1 y F2 :FocosLR :Lado rectoEE’ :Cuerda focalB1B2 (2b) :Eje conjugado
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82
13.6.2 Ecuaciones de la HipérbolaPara Hipérbolas que tienen su eje focal paralelo al eje X
Ec. Canónica: 12
2
2
2
=-by
ax
Ec. Ordinaria: ( ) ( ) 12
2
2
2
=-
--
bky
ahx
E. General: Ax2+By2+Cy+Dx+F=0 (A.B<0)
Para Hipérbolas que tienen su eje focal paralelo al eje Y
Ec. Canónica: 12
2
2
2
=-bx
ay Ec. Ordinaria: ( ) ( ) 12
2
2
2
=-
--
bhx
aky
E. General: Ax2+By2+Cy+Dx+F=0 (A.B<0)
Se cumple que:· c2=a2+b2
· Excentricidad: 1>=ace
· Longitud del lado RectoabLR
22=
PROBLEMAS
1. Una persona parte de un punto A y recorre 2 m al norte, luego 4 m al este yluego 10 m al norte; después 9 m al oeste y por último 24 m al sur, llegando alpunto B. ¿Cuál es la distancia AB?A) 14 m B) 49 m C) 13 m D) 16 m E) 19 m
2. Tres vértices de un cuadrado son (–1; 2), (–1; –2) y (–5; –2) y tres vérticesde otro cuadrado son (2; –3), (2; –9) y (8; –9). Calcular al distancia entre losvértices no conocidos de ambos cuadrados.
A) 194 C) 201 E) 101
B) 192 D) 401
3. Los vértices de un triángulo son: el origen, (3; 4), (6; 0) y los vértices de otrotriángulo son: (7; 3), (1; –5) y (13; –5). Calcular la distancia entre los pies delas alturas relativas a los lados paralelos al eje “x” de ambos triángulos.
A) 52 C) 34 E) 26
B) 41 D) 39
4. Un alumno se desplaza en un plano cartesiano. Parte desde el origen decoordenadas y llega al punto (3; 4). Desde este punto avanza hacia laderecha 9 unidades y hacia arriba una unidad. ¿A qué distancia del origen decoordenadas se encuentra el alumno?
A) 12 u C) 200 u E) 14 u
B) 13 u D) 210 u
5. Se da el segmento AB , donde A(5; 6) y B(–3; –2). Indicar la distancia delpunto medio de dicho segmento al eje de las abscisas.
A) 2 B) 1 C) 4 D) 3 E) 5
6. Calcular el área de una región cuadrada FMAG, si F(2; 4) y el centro estáubicado en (5; 8)
A) 25 m2 C) 50 m2 E) 80 m2
B) 40 m2 D) 100 m2
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7. Las coordenadas del cuadrilátero cuyos vértices son A(-6;-2), B(-2;-1), C(-1;3)y D(-5;2) pertenecen a:
A)Un rectángulo. B) Un rombo C) Un romboideC) Un cuadrado E) Un trapecio
8. Los puntos A(3;8), B(-11;3), C(-8;-2) son los vértices de un ...
A) Triángulo equilátero.B) Triángulo rectángulo.C) Triángulo isósceles.D) Triángulo obtusángulo.E) Son puntos colineales.
9. El segmento limitado por los puntos A(1;-3) y B(4;3) ha sido dividido en trespartes iguales, determinar las coordenadas de los puntos de división.
A) P1(2:-1) y P2(3;-2)B) P1(2:-1) y P2(3;-1)C) P1(2:-1) y P2(3;-0)D) P1(2:-1) y P2(3;1)E) P1(2:-1) y P2(3;2)
10. Hallar las coordenadas de los vértices de un triángulo sabiendo que lascoordenadas de los puntos medios de sus lados son M(-2;1), N(5;2) y P(2;-3).
A) (-5;-4) ; (9;-2) y (1;2)B) (-5;-4) ; (9;-2) y (1;3)C) (-5;-4) ; (9;-2) y (1;4)D) (-5;-4) ; (9;-2) y (1;5)E) (-5;-4) ; (9;-2) y (1;6)
11. Hallar las coordenadas del centroide de un triángulo cuyos vértices son A(-6;-4), B(4;4) y C(6;-8).
A) G(8;-7) B) G(8:-8) C) G(8;-9) D) G(8;-10) E) G(8;-11)
12. Los vértices de un cuadrilátero son A(-4;6), B(-2;-1), C(8;0) y D(6;11). Hallar la
razónPDBPr = en que la diagonal AC divide al segmento BD, donde P es el
punto de intersección de las diagonales.
A) 5/6 B)5/7 C)5/8 D) 5/9 E) ½
13. Sabiendo que las coordenadas de los vértices de un triángulo son A(-4;8),B(3;-8) y que el centro de gravedad es G(2;6). Hallar las coordenadas deltercer vértice.
A) (7;19) B)(7;18) C)(7;17) D) (7;16) E)(7;15)
14. Se dan las ecuaciones de dos lados de un rectángulo L1: 5x+2y-7=0 ; L2:5x+2y-36=0, y la ecuación de una de sus diagonales 3x+7y-10=0, hallar laecuación de la otra diagonal.A) 7x – 3y – 33 = 0B) 7x – 3y – 36 = 0C) 7x – 3y – 39 = 0D) 7x – 3y – 43 = 0E) 7x – 3y – 46 = 0
15. Dada la recta L con ecuación 2y - 3x = 4 y el punto P(1;-3), encontrar laecuación de la recta que pasa por P y es perpendicular a L.
A) 2x + 3y + 3 = 0B) 2x + 3y + 5 = 0C) 2x + 3y + 7 = 0D) 2x + 3y + 9 = 0E) 2x + 3y + 11 = 0
16. Del problema anterior, encontrar la distancia más corta de P a la recta L.
A) 6 B) 7 C) 10D) 13 E) 14
17. El área de un triángulo es A=5u2, dos de sus vértices son los puntos A(3;1) yB(1;-3). Hallar el vértice C si éste se encuentra sobre la recta L: 3x+2y-14=0.
A) (2;4 B) (2;5 C) (2:6)D) (3;4) E) (3;5)
18. Hallar la ecuación de la recta L que pasa por el punto M(12;3) y forma con losejes coordenados un triángulo de 24u2 de área.
A) L1: 6x - 8y - 48 = 0, L2: x - 12y + 20 = 0 B) L1: 6x - 8y - 48 = 0, L2: x - 12y + 24 = 0 C) L1: 6x - 8y - 28 = 0, L2: x - 12y + 24 = 0 D) L1: 6x - 8y - 68 = 0, L2: x - 12y + 24 = 0 E) L1: 6x - 8y - 58 = 0, L2: x - 12y + 24 = 0
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19. Sean A(2;0) y B(3;3) la base de un triángulo. Hallar el vértice C, sabiendo queel área del triángulo es 5 unidades cuadradas y que la línea que une el vérticeC con el origen es bisectriz de los ejes coordenados.
C1 (8 ; 8) y C2 ( 2 ; -2)C1 (8 ; 8) y C2 (-2 ; 2)C1 (8 ; 8) y C2 (-2 ; -2)C1 (8 ;- 8) y C2 (-2 ; -2)C1 (-8 ; 8) y C2 (-2 ; -2)
20. Hallar un punto situado en la parte positiva del eje x, desde el cual se ve elsegmento A(-3;4), B(3;8) bajo un ángulo de 45°.
A) (5+ 17 ; 0) B) (4+ 17 ; 0) C) (3+ 17 ; 0)D) (2+ 17 ; 0) E)(1+ 17 ; 0)
21. Dadas las rectas L1: x-y+2=0 y L2: x+3y-10=0. Determinar la ecuación de larecta que pasa por el punto P(6;4) de tal manera que la parte de esta rectacomprendida entre las rectas dadas L1 y L2 queda dividida por el punto P endos segmentos iguales.
3x + y -14 = 03x + y -16 = 03x + y -18 = 03x + y -20 = 03x + y -22 = 0
22. Hallar la ecuación de la recta que pasa por (3,2) y que forma con los ejescoordenados un triángulo de área 16.
1
310y
12xE
1
34y
12x1
35y
12xC
1
37y
12x1
38y
12xA
=+
=+=+
=+=+
)
D))
B))
23. Hallar la ecuación de la circunferencia de centro (-3,-5) y radio 7 unidades.
A) 015y10x6yx 22 =++++
B) 015y10x6yx 22 =-+++
C) 012y10x6yx 22 =+--+
D) 05y10x6yx 22 =-+++
E) 08y10x6yx 22 =---+
24. Hallar el radio de la circunferencia 07y10x6y2x2 22 =++-+
A) 5 B) 23 C) 5 D) 24 E) 34
25. Hallar las coordenadas del centro de la circunferencia que tiene como ecuación025y20x16y4x4 22 =++-+
A) (2; -2) B) (2; - 5/2) C) (-5/2; -5/2)D) (5/2; 5/2) E) (2; - 3)
26. Hallar la ecuación de recta que pasa por el diámetro de la circunferencia012y4x6yx 22 =-+-+ y que biseca a la cuerda cuya ecuación es
06xy3 =-+
A) 01x2y3 =--B) 011yx3 =+-C) 011xy2 =--D) 011yx3 =--E) 011x2y3 =--
27. La ecuación de una circunferencia es 08y6x4yx 22 =+-++ , hallar laecuación de la recta de pendiente negativa, tangente a la circunferencia quepasa por el punto (3;3)
A) 06xy3 =+-B) 09xy2 =-+
C) 03x3y4 =--D) 06xy3 =--E) 021x3y4 =-+
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28. Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro de es coordenadaspositivas de radio 5 y que pasa por los puntos (-4;0) y (4;0)
A) 016y6yx 22 =--+
B) 016y6yx 22 =-++
C) 012y6x4yx 22 =-+-+
D) 08x4y2yx 22 =--++
E) 08y4x4yx 22 =--++
29. Hallar la ecuación de la circunferencia sabiendo que su centro esta en elpunto (1; -1) y la recta 09y12x5 =+- es tangente a dicha circunferencia
A) 04y2x2yx 22 =---+
B) 01y6x4yx 22 =---+
C) 011y4x8yx 22 =---+
D) 04y2x2yx 22 =+--+
E) 08y4x4yx 22 =--++
30. Hallar las coordenadas del foco de la parábola 0yx2 =+
A) ÷÷ø
öççè
æ
21;0 B) ÷
ø
öçè
æ -410; C) ÷÷
ø
öççè
æ-
21;0
D) (0; 1) E) (0; -1)
31. Hallar la ecuación de la parábola cuyo foco es ÷øö
çèæ 0
21 ; y de recta directriz
2x+1=0A) 0xy2 =-
B) 0x2y2 =-
C) 0x4y2 =-
D) 0y2x2 =-
E) 0y4x2 =-
32. Hallar la ecuación de la parábola de vértice (-4;0) siendo su foco (-6;0)
A) 032x8y2 =-+
B) 016x8y2 =++
C) 032x8y2 =++
D) 016x4y2 =+-
E) 016x4y2 =++
33. Una parábola cuyo vértice está en el origen y cuyo eje coincide con el eje “y” ypasa por el punto (4;-2), hallar la ecuación de la parábola.
A) 0y8x2 =+
B) 0y8x2 =-
C) 0y4x2 =-
D) 0y4x2 =+
E) 0y12x2 =-
34. Hallar la ecuación de la parábola de vértice en el origen y su directriz es larecta x + 5=0
A) 0x5y2 =-
B) 0x10y2 =-
C) 0x20y2 =-
D) 0x10x2 =-
E) 0y20x2 =-
35. Hallar la ecuación de la recta directriz de la curva y2=8x-48
A) 06x =- B) 04x =- C) 08x =-C) 04x =+ E) 07x =-
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36. Hallar la ecuación de la parábola cuya directriz en el eje “y” y tiene como focoal punto (4;0)
A) 016x4y2 =+-
B) 012x6y2 =+-
C) 016x8y2 =+-
D) 04x2y2 =+-
E) 012x4y2 =+-
37. Hallar la ecuación de la parábola que tiene como foco (0;4) y la recta directrizes: y + 4 = 0
A) 0y8x2 =-
B) 0y4x2 =-
C) 0y16x2 =-
D) 0yx2 =-
E) 0y6x2 =-
38. Una cuerda de la parábola 0x4y2 =- es un segmento de la recta03y2x =+- hallar su longitud
A) 5 B) 52 C) 53
D) 54 E) 5/5
39. Dada La ecuación de la elipse 012y16x8y16x 22 =-+-+ , hallar su centro
A) (1; -2) B) ÷÷ø
öççè
æ
21
;4 C) ÷÷ø
öççè
æ-
21
;4
D) (4; -1) E) (4; -2)
40. Hallar uno de los vértices de la elipse 05y32x4y16x 22 =-+-+
A) (-5;0) B) (5; 1) C) (-6; 0)D) (-3; -1) E) (-5; 1)
41. El centro de una elipse es el punto (2; -4), el vértice (-2; -4) y un foco (-1; -4),hallar la ecuación de la elipse.
A) 0145y28x28y16x7 22 =---+
B) 0126y128x28y16x7 22 =+-++
C) 0172y128x28y16x7 22 =++-+
D) 0172y28x28yx 22 =++-+
E) 0132y12x28y16x 22 =++-+
42. Dada la elipse 0180y9x5 22 =-+ , hallar su excentricidad.
A) 2/3 B) 1/3 C) ½D) ¾ E) 4/7
43. Halla uno de los focos de la siguiente elipse: 0400y25x16 22 =-+
A) (0; 6) B) (0; 8) C) (1; 7)D) (1; 5) E) (3; 0)
44. Halla la ecuación de la elipse cuyos vértices son los puntos (4; 0), (-4; 0) ycuyos focos son los puntos (3; 0) y (-3; 0)
A) 0174y16x7 22 =-+
B) 0224y16x7 22 =-+
C) 0136y16x7 22 =-+
D) 0126y16x7 22 =-+
E) 0112y16x7 22 =-+
45. Hallar la ecuación de la hipérbola con centro en el origen y eje transverso en eleje Y si la distancia entre las directrices es 2 y su excentricidad es 2.
A) 112y
4x 22
=- B) 14y
12x 22
=- C) 112x
4y 22
=-
D) 14x
12y 22
=- E) NA.
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46. Hallar ecuación de una hipérbola con centro en el origen, focos sobre el eje X,distancia entre sus directrices igual a 4 y pasa por el punto P(4;3)
A) 110y
15x 22
=- B) 115y
10x 22
=- C) 110x
15y 22
=-
D) 115x
10y 22
=- E)N.A.
47. En una hipérbola con centro en el origen y eje focal sobre el eje X, la distancia
de uno de los focos F(2 3 ;0) a una de sus asíntotas es 3 . Hallar laecuación de la hipérbola.
A)x2-y2=9 B)x2-2y2=9 C)x2-3y2=9D)x2-4y2=9 E)x2-5y2=9
48. Hallar la ecuación de la hipérbola con centro en el origen, que pasa por P(-3;2) y una de sus asíntotas es la recta L1: 2 3 x-5y=0.
A) 6x2-25y2=8 B) 8x2-25y2=8 C)10x2-25y2=8D)l2x2-25y2=8 E)14x2-25y2=8
49. Hallar la ecuación de la hipérbola cuyos focos son F( ± 4;0), si la pendiente deuna de sus asíntotas es 3.
A)45x2-2y2=72 B)45x2-3y2=72 C)45x2-4y2=72D)45x2-5y2=72 E)45x2-6y2=72
50. los focos de la elipsee : 25x2+9y2=225 coinciden con los focos de unahipérbola de excentricidad e=4/3; hallar la ecuación de la hipérbola.
A) y2-3x2=57 B) 3y2-5x2=59 C) 5y2-7x2=61D) 7y2-9x2=63 E) 9y2-11x2=65
TEMA 14GEOMETRIA DEL ESPACIO
14.1 POLIEDROSEs la región del espacio limitada por polígonos.
14.1.1 POLIEDRO REGULAR:Un Poliedro Regular es aquel cuyas caras son polígonos regulares iguales y encada uno de sus vértices concurre el mismo número de caras. Existen 5 tipos depoliedros regulares:
Polígonoutilizado
Vérticesde
Orden
CNº decaras
ANº de
aristas
VNº de
vértices
Nombre delpoliedro
TRIÁNGULO 3 4 6 4 TETRAEDROCUADRADO 3 6 12 8 HEXAEDRO o
CUBOPENTÁGONO 3 12 30 20 DODECAEDROTRIÁNGULO 4 8 12 6 OCTAEDROTRIÁNGULO 5 20 30 12 ICOSAEDRO
Fórmula de EULEREn todo poliedro convexo, la suma de los vértices más las caras es igual a lasaristas más 2 V + C = A + 2
14.2 SUPERFICIE PRISMATICA
14.2.1 PRISMAEs una figura geométrica formada por varios paralelogramos iguales llamadoscaras laterales, y dos polígonos iguales y paralelos llamados bases.
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14.2.2 EL PRISMA REGULAREs el prisma limitado por 2 polígonos regulares, llamados bases, y por tantosrectángulos como lados tenga la base.
Los prismas se denominan según sean sus bases:- Prisma triangular (sus bases son triángulos)- Prisma cuadrangular (sus bases son cuadrados)- Prisma pentagonal (sus bases son pentágonos)
14.2.3 PARALELEPÍPEDO RECTANGULAR (Ortoedro o rectoedro):
Área lateral = 2ac + 2bcÁrea total = 2ac + 2bc + 2abVolumen = a · b · c
Diagonal: D 2 = a2 + b2 + c2
14.2.4 HEXAEDRO (cubo)
x : lado del cuboD : d i agonal del cubo
3xD =S t o t a l=6x2
V=x 3
14.2.5 El PRISMA RECTO REGULAR:
Área lateral = Producto del perímetro de la base por la altura. AL = P . h
Área Total = Área lateral más el área de las dos bases. AT = AL + 2. ABase
Volumen = Área de la base por su altura V = ABase · h
14.3 SUPERFICIE PIRÁMIDAL
14.3.1 PIRÁMIDE Es un poliedro que tiene por base una región poligonal, lascaras laterales son triángulos con un vértice común llamado vértice de la pirámide.
h : altura de la pirámideAp: Apotema de la pirámideap: Apotema de la base
14.3.2 CLASIFICACIÓN
a. Por el número de lados de la base pueden ser: pirámide triangular, pirámidecuadrangular, pirámide pentagonal, etc.
b. Por su forma pueden ser:Ø Regular: cuando la base es un polígono regular y la altura cae en el centroØ IrregularØ Convexa: cuando la base es un polígono convexoØ Cóncava.
14.3.3 Áreas y Volumena. Área Lateral§ lateralescarasdeáreasdeSuma=LA
§PL ApA ´=
21 ; Si la pirámide es regular, donde: p es el perímetro de la
base§ Área Total BLT AAA += donde: BaseladeáreaAB :
§ Volumen h.AV B31
=
14.4 SUPERFICIES DE REVOLUCION
14.4.1 Superficie cilíndrica – cilindro: Es aquella superficie generada por larotación de un rectángulo alrededor de uno de sus lados
r: radio de la baseph: alturaS l a t e r a l =2prhS t o t a l=2pr (r+h)V=pr 2 h
D
ab
c
x
D
h
r
hAp
ap
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14.4.2 Cono: Sólido generado por la rotación de un triangulo rectángulo alrededorde uno de sus catetos.
r: radio de la baseh: altura; g:generatrizr 2 +h2 =g 2
S l a t e r a l =prgS t o t a l=pr (r+g)
hr31V 2p=
14.4.3 Esfera: solido generado por la rotación de una semicircunferencia alrededorde diámetro correspondiente.
r: radio de la esfera24 rS p=
334 rV p=
Problemas
1. En la figura, se tiene un prisma recto. Si HE = 4, AE = 16 y BC = 14, halla elvolumen del prisma, siendo el área del triángulo BEC igual a 140.
2. En un hexaedro regular de volumen 216 cm3, Q es punto medio de la diagonaly P es punto medio de una cara. Halla la longitud de PQ .
3. Calcula el volumen que genera un cuadrado al girar en torno a una de susdiagonales, si el lado de dicho cuadrado mide 6.
4. ¿Cuántas esferas de 3 cm de radio se deben introducir en un recipientecilíndrico de 18 cm de diámetro, para que el nivel de líquido contenido suba 4cm?
5. El diámetro de una esfera mide 60 cm. ¿Cuál es el diámetro de la base de uncono de igual volumen, cuya altura es 30 cm?
6. Un cono circular recto y un cilindro tienen los diámetros de sus bases y susalturas iguales al diámetro de una esfera. Si la suma de los tres volúmenes es100p, ¿cuál es el volumen del cilindro?
7. La longitud de la diagonal de un ortoedro es 17 cm, y dos aristas miden 8 y 9cm, respectivamente. Hallar el volumen del sólido.A) 864 cm3 C) 124 cm3 E) 1 216 cm3
B) 432 cm3 D) 1 224 cm3
8. El área total de un cubo, de volumen 64 cm3, es:A) 48 cm2 C) 96 cm2 E) 16 cm2
B) 24 cm2 D) 64 cm2
9. El área de la superficie de una esfera es igual al área lateral de un cono deradio 6 5 y altura 8 5 cm. Hallar el volumen de la esfera.
A) 500p cm3 B) 500p 2 cm3 C) 500p 3 cm3
D) 250p cm3 E) 125p 5 cm3
10. Hallar el área de la esfera inscrita en un cubo de volumen 64 cm3.A) 32p cm2 B) 16p cm2 C) 36p cm2
D) 8p cm2 E) 64p cm2
11. El volumen de una esfera es 36p cm3 y su área, igual al área lateral de uncono de generatriz 9 cm. El área total del cono es:A) 96p cm2 C) 100p cm2 E) 52p cm2
B) 99p cm2 D) 101p cm2
12. Si las aristas de un cubo se aumentan, respectivamente, en 2, 4 y 6 m, elvolumen del paralelepípedo obtenido excede en 568 m3 al volumen del cubodado. Hallar la longitud de la diagonal de este cubo.A) 10 3 C) 6 3 E) 2 3
B) 5 3 D) 3 3
r
h g
r
A
B
C
E
H
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90
13. Hallar el volumen de un paralelepípedo rectangular, cuya base tiene unadiagonal que mide 2 10 y los lados son uno el triple del otro. La altura delparalelepípedo es 9.A) 36 10 C) 63 10 E) 108 10
B) 54 10 D) 108
14. El área total de un prisma recto de base rectangular es 144 m2. Uno de loslados de la base es el doble del contiguo e igual a la altura. Hallar la diagonaldel prisma.A) 9 m C) 15 m E) 12 mB) 8 m D) 6 m
15. Hallar el área total de un paralelepípedo rectangular sabiendo que su diagonalmide 17 y las dimensiones de la base son 9 y 12.A) 276 C) 562 E) 552B) 580 D) 272
16. En el paralelepípedo rectangular mostrado el área sombreada mide 20 u2.Hallar el área lateral de dicho sólido.
A) 10 ( 3 + 1) m2 D) 20 ( 3 + 1) m2
B) 20 ( 3 – 1) m2 E) Faltan datos
C) 10 (2 3 + 1) m2
17. La altura de un paralelepípedo rectangular mide 6 m y en su base un lado esel doble del otro. Si el área total es 208 m2, calcular el volumen del sólido.A) 112 m3 C) 192 m3 E) 172 m3
B) 202 m3 D) 182 m3
18. Se tiene un tetraedro regular. Hallar su área total, si la altura de una de suscaras mide 3 3 .
A) 36 3 C) 24 3 E) 48 3
B) 12 3 D) 6 3
19. La superficie total de un cono es 6p m2 y su altura mide 2 m. Calcula el radiode la base.A) 4 m C) 2,25 m E) Faltan datosB) 6 m D) 1,5 m
20. En una esfera se inscribe un cilindro recto. Si el radio de su base mide 7 y suárea lateral es 672p, calcula el área de la esfera.
A) 2 000p C) 2 000 2 p E) 2 500p
B) 2 000 3 p D) 2 500 3 p
21. En un cilindro circular recto de 6 cm de radio, que contiene agua, seintroduce una esfera de plomo de 3 cm de radio. ¿En cuánto sube el nivel delagua en el cilindro?A) 0,5 cm C) 1 cm E) 2,5 cmB) 2 cm D) 3 cm
22. Determina el área total de un cilindro circunscrito a un prisma hexagonalregular donde el lado de la base mide 6 y la altura mide 8.A) 96p C) 168p E) N.A.B) 192p D) 84p
23. Un cilindro circular recto se encuentra parado sobre su base en el interior deun cuarto. Si su proyección sobre el techo tiene un área de 4p m2 y sobre unade las paredes laterales, 36 m2, ¿cuál es su volumen?A) 18p m3 C) 6p m3 E) 12p m3
B) 9p m3 D) 36p m3
24. Un barquillo tiene la forma de un cono de 12 cm de altura y 6 cm de radio. Sellena el barquillo de helado de modo que la porción de helado exterior albarquillo sea una semiesfera. Halla el volumen del helado.A) 144p m3 C) 180p m3 E) 388p m3
B) 288p m3 D) 360p m3
25. Un cilindro está lleno de agua hasta la mitad de su altura. Se suelta un pedazometálico y el nivel de agua sube 3,5 m. Calcula el volumen del pedazo, si eldiámetro del cilindro es 8 m.A) 56p m3 C) 28p m3 E) 80p m3
B) 54p m3 D) 84p m3
30°
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91
26. Se tiene un triángulo equilátero de lado “L”. Determina el volumen del sólidogenerado al girar dicho triángulo alrededor de uno de sus lados.
A)2L3p C)
43L3p E)
3L3p
B)4L3p D)
3L2 3p
27. Hallar el área lateral de un cono equilátero si el área de la base es p.A) p B) 2p C) 3p D) p 3 /4 E) p 3 /3
28. Se tiene una pirámide recta de base rectangular de lados 24 m y 18 m cuyasaristas laterales miden 25 m. Hallar el área de la sección formada por unplano que contiene al vértice de la pirámide y a la diagonal de la base.A) 330 m2 C) 325 m2 E) 280 m2
B) 300 m2 D) 320 m2
29. Una esfera cuya área es 100 pcm2 se secciona con un plano distante 3 cm delcentro. Calcular el área del círculo sección.A) 16 p cm2 C) 1800 cm2 E) 1500 p cm2
B) 600 p cm2 D) 600 p cm2
30. Hallar el área total de un prisma recto de 17 cm de altura, siendo la base unrombo de 25 cm de lado y 30 cm de diagonal menor.A) 2800 cm2 C) 3000 cm2 E) N.A.B) 2700 cm2 D) 2900 cm2
31. En un cubo de arista “a”, por los extremos de cada tres aristas que parten deun vértice común, se traza un plano. Halla el volumen del tetraedro formado.
A) a3 / 3 C) a3 / 8 E) a3 / 4B) a3 / 6 D) a3 / 2
32. La base de un prisma recto, es base de un tetraedro regular de altura 2 6 m yel área lateral del prisma es igual al área total del tetraedro. Hallar el volumendel prisma.A) 36 m3 C) 48 E) 32B) 42 D) 54
33. La base de una pirámide es un cuadrado y una arista lateral es perpendiculara la base. Si dos de las otras aristas laterales tienen longitudes de 10 cm y
136 cm, hallar el volumen de la pirámide.
A) 96 cm3 C) 192 cm3 E) 288 cm3
B) 48 cm3 D) 216 cm3
34. En un cono recto de 10 m de altura está inscrito una esfera de 4 m de radio.Hallar el volumen del cono.
A)3
500p C)
3800
p E)3
850p
B)3
700p D)
3950
p
35. Si el volumen de un cono de revolución equilátero ( su generatriz es igual aldiámetro de la base ) es V, hallar el volumen de la esfera inscrita.
A)5V3 C)
2V E)
5V2
B)4V3 D)
9V4
36. El volumen de un cilindro de revolución es V. Calcular el volumen de otrocilindro de radio el doble que el del anterior y la altura la mitad que la deaquél.
A) V B) 2V C)2V
D) 4V E)4V
37. El área total de un cubo, en función de la longitud “d” de una de susdiagonales es:A) 3d2 B) 2d2 C) 12d2 D) d2 E) 4d2
38. La base de una pirámide regular es un cuadrado de 12 m de lado, y la aristalateral de la pirámide es de 10 m. Calcular el área total.A) 144 m2 C) 192 m2 E) N.A.B) 288 m2 D) 336 m2
39. Un cilindro recto está en el interior de un cuarto con su base apoyada en elpiso. Si sus proyecciones sobre el techo y una pared tienen superficies de 4pm2 y 16 m2, respectivamente, calcular el volumen del cilindro.A) 4p m3 C) 12p m3 E) 20p m3
B) 8p m3 D) 16p m3
40. Un disco de 64 cm2 de área se corta por un diámetro en dos partes iguales ycon una mitad se forma un cono circular recto uniendo los radios extremos. Elángulo que forman las generatrices del cono con la base es:A) 15° B) 30° C) 60° D) 45° E) 75°
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92
TEMA 15
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS FUNDAMENTALES
15.1 IDENTIDADES FUNDAMENTALES O BÁSICAS
15.1.1 Identidades Recíprocas:
15.1.1.1 Senx. Cscx = 115.1.1.2 Cosx. Secx = 115.1.1.3 Tanx. Cotx = 1
15.1.2 Identidades por Cociente:
15.1.2.1xcos
senxxtan =
15.1.2.2senx
xcosxcot =
15.1.3 Identidades Pitagóricas:
15.1.3.1 Sen2 x + Cos2x = 115.1.3.2 1+Tan2 x = Sec2
15.1.3.3 1+Cot2 = Csc2x
15.1.4 Identidades Auxiliares:
15.1.4.1 Sen4x + Cos4x = 1-2Sen2x.Cos2x15.1.4.2 Sen4x - Cos4x = Sen2x - Cos2x15.1.4.3 Tan2x – Sen2x = Tan2x.Sen2x15.1.4.4 Sen6x + Cos6x = 1-3Sen2x.Cos2x
15.2 IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS DE ÁNGULOS COMPUESTOS
15.2.1 De la suma y diferencia:
15.2.1.1 sen (a+b) = sena .cosb + cosa .senb15.2.1.2 sen (a–b) = sena .cosb – cosa .senb15.2.1.3 cos (a+b) = cosa .cosb – sena .senb15.2.1.4 cos (a–b) = cosa .cosb + sena .senb
15.2.1.5btan.atan1
btanatan)batan(-
+=+
15.2.1.6btan.atan1
btanatan)batan(+
-=-
15.2.1.7bcot.acot
1bcot.acot)bacot( -=+
15.2.2 Identidades de la mitad de un arco:
15.2.2.12
xcos12xsen -
±=
15.2.2.22
xcos12xcos +
±=
15.2.2.3xcos1xcos1
2xtan
+-
±=
15.2.2.4xcos1xcos1
2xcot
-+
±=
NOTA: El signo (+) ó (-) depende en que cuadrante se ubica el ángulo (x/2) yademás depende de la R.T. que se le aplica.
15.2.3 Identidades del arco doble:
15.2.3.1 sen 2x = 2senx .cosx15.2.3.2 cos 2x = cos2x – sen2x
15.2.3.3xtan1
xtan.2x2tan2-
=
15.2.3.4xcot.2
1xcotx2cot2 -
=
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93
Ejercicios y Problemas
1. Calcular tan2 60° + sec2 45°
A) 1 B) 3 C) 2 D) 5 E) 4
2. Calcular: “tan x”A) 0,5B) 2,5C) 1,5D) 2E) 1
3. Calcular cot q
A) 7/2B) 7/3C) 5/7D) 4/7E) 7/4
4. Calcular “tan x” si el triángulo ABC es equilátero.
A) 3 3
B) 5 3
C) 2 3
D) 3
E) 4 3
5. A partir de la figura adjunta, si23
DCAD
= , calcular54 sen a.
A) 12/17B) 11/13C) 11/17D) 12/15E) N.A.
6. Con los datos de la figura, calcular 11 sec2 q + 4csc2q.
A) 15 11/15B) 11/15C) 16D) 30E) N.A.
7. En la figura AM = (8x – 1), CM = 6x y BM = (4x+1). Si la tan a =34 , calcular:
cot q.A) 4/3B) 7/3C) 5/3D) 8/3E) 1/3
8. En la figura, halle la “tan q”.
A) 2B) 3C) 3/4D) 4/3E) 5/3
9. En un triángulo rectángulo ABC, recto en “C” se tiene csc B – cos A =127 ,
hallar: “tan A”.
A)3
72 C) 4/3 E)7
73
B)27 D)
37
10. En la figura mostrada, calcule “tan a”.
A) 1B) 1/3C) 2/3D) 3/4E) ½
x37°
q
53°
A
B
CDa12
1725
6
q3 11
a
53°
xA
B
C
q
45°
53°
2a a
A
B
CM
a
q
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94
11. Del gráfico calcule la tan q si la tan a = 8/15.
A) 7/8B) 8/7C) 6/7D) 12/13E) 3/7
12. Del grafico mostrado, calcular: E =1511 (tan q . cot f)
A) 1B) 1/2C) 1/3D) 1/4E) 1/5
13. En el cuadrante AOB, calcular “tan q”
A) 1/2 B) 1/3 C) 1/4 D) 1/5 E) 3/5
IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS
14. Reducir:R = (sen x + cos x)2 + (sen x – cos x)2
A) 1 C) 2 E) cos xB) sen x D) 0
15. Simplificar:
Q =22
22
)xcosxsen()xcosxsen(
)xcosxsen()xcosxsen(
-++
--+
A) 1 C) sen x . cos x E) sec x . csc xB) 2 D) 2sen x . cos x
16. Reducir: A =xtan.xsenxcos
xsec.xsen+
A) cos x C) –cos x E) N.A.B) sen x D) –sen x
17. Encontrar el valor de “n” para que la siguiente igualdad sea una identidad:
n2
xsen1xcos
xsen1xcos
=-
++
A) sec x C) tan x E) cos xB) csc x D) ctg x
18. Reducir: E =xsen
2xcos)xsen1( 22 -++
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) N.A.
19. Reducir: E = (tan x + ctg x)2 – (tan x – ctg x)2
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) N.A.
20. Reducir: A = tan x (1 – cot2 x) + cot x (1 – tan2 x)A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
21. Simplificar: P =xcsc
)1x(cot)1x(cot2
22 -++
A) 1 B) 2 C) 0,5 D) 3 E) 4
22. Simplificar: Q = úû
ùêë
é-ú
û
ùêë
é+ xtan
xcos1
xcot1xsec
A) 1 C) sec x E) N.A.B) –1 D) tan x
23. ¿Qué expresión debe colocarse en lugar de “k” para que la ecuación:sec q – cos q = k.sec q se convierta en una identidad?
A) sen q C) sec q E) sen2 qB) cos q D) csc q
8
f
q
6120°
a q
q
53°
A
BO
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IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS DE ANGULOS COMPUESTOS
24. Evaluar: sen12p + sen
125p
A) 2 / 2 C) 2 / 4 E) N.A.
B) 6 / 4 D)26
25. Calcular el valor de: cos 23°
A)4
433 + C)10
334 - E) N.A.
B)10
433 + D)5
334 -
26. Hallar el valor de: sen 7°
A)10
433 - C)10
34 - E)10
32 -
B)10
433 + D)10
334 -
27. A qué es igual: sen 3q cos 2q – sen 2q cos 3qA) sen 5q C) sen 3q E) cos qB) sen q D) cos 5q
28. Reducir:)(tan)(tan1)(tan)(tan
abqqbaabqqba
-+-+--++-+
A) tan(2a – 2q) C) tan(2q – 2a) E) tan 2aB) tan(2a + 2q) D) tan 2b
29. Simplificar: sen (q + 30°) + sen (q – 30°)A) 3 sen q C) –cos q E) 3 cos qB) –sen q D) cos q
30. Si: tan x = 3; tan (x + y) = 33; hallar: tan y
A) 30° B) 0,5 C) 0,3 D) 0,5 E) 0,4
31. Si tanx . tany =51 i senx . seny = 3 / 12; calcular: cos (x – y)
A) 3 / 2 C) 3 / 12 E) N.A.
B) 3 / 5 D) 3 / 10
32. Del gráfico hallar: “tan q”
A) 1/2 B) 2 C)198 D) 2/3 E) N.A.
33. Reducir: E =)(tan
tantan)(tan
tantanba
baba
ba-
-+
++
A) tana + tanb C) 2 E) 1B) tana – tanb D) –2
34. Reducir: S =)yx(cos)yx(cos)yx(sen)yx(sen
++-
--+
A) tan x C) cot x E) N.A.B) tan y D) cot y
35. Sabiendo que: x + y = 30° ; x – y = 53°, reducir:E = (senx + cosx) (seny + cosy)
A) 1,2 B) 1,1 C) 1,3 D) 1,4 E) N.A.
36. En la figura hallar “tan x”
A) 1/3B) 7/6C) 2/3D) 6/7E) F.D.x
1
1
1
3
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96
37. Si ABCD es un cuadrado, calcular “tan x”.
A) 11/2B) –11/2C) 2/11D) –2/11E) 2
38. Sabiendo que: tan A = 4 y B = A – 37°, hallar: “cot B”.A) 13/16 C) 13/14 E) N.A.B) 16/13 D) 14/3
39. Hallar “M” en la siguiente identidad: xcosM1xsec3x2cos
2=
+
+
A) 1 B) 2 C) 2 D) 3 E) 3
40. Sabiendo que: cos2A = –0,5; Calcular: K = senA ´ cosA ´cotA
A) 0,5 C) 0,25 E) 3 / 3
B) 0,5 3 D) 0,25 3
RAZONES DEL ANGULO MITAD
41. Hallar el valor de Cot 22º30’
A) 2 B)22 C) 13 +
D) 12 + E) N.A.
42. Dado33
25cos =a . Hallar el valor de cos 5a.
A) – 1/3 B) 1 / 3 C) 1 / 2D) – 1 /2 E) 3 / 4
43. Calcular: tan 7º 30’ – cot 7º 30’
A) 332 - b) 324 -- c) 324 -
D) 324 + e) 0
44. Sabiendo que tanx = 24 / 7, Hallar el valor de2xcos4
2xsen3 + .
A)1 B) 3 C) 5 D) 7 E) 9
45. Reducir: cscx+ csc2x + csc4x + csc8x + csc16x
A)16xcotxcot - B) cotx – cot16º C) x8cot
2xcot -
D) x16cot2xcot - E)
2xcot
46. Sabiendo quecb
acos+
=a ,ca
bcos+
=b ,ba
ccos+
=f .
Calcular:2
tan2
tan2
tan 222 f+
b+
a
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
TEMA 16
ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS
Valor Principal (VP)16.1 VP para akxSen = ; 1a1 ££-
Resolución akxSen =
Si a > 0 Þ VP es el ángulo agudo ( ) ( ) VP.1180nkx n-+°= ZÎnSi a < 0 Þ VP es el ángulo agudo negativoSi a = 1 Þ VP = 90°Si a =-1 Þ VP = -90°Si a = 0 Þ VP = 0°
16.2 VP para akxCos = ; 1a1 ££-Resolución akxCos =
Si a > 0 Þ VP es el ángulo agudo ( ) VP.360nkx ±°= ZÎnSi a < 0 Þ VP es el suplemento del ángulo agudoSi a = 1 Þ VP = 0°Si a =-1 Þ VP = 180°Si a = 0 Þ VP = 90°
A
B C
D
x53°
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97
16.3 VP para akxtan =Resolución akxtan =
Si a > 0 Þ VP es el ángulo agudo ( ) VP.180nkx +°= ZÎnSi a < 0 Þ VP es el ángulo agudo negativoSi a = 0 Þ VP = 0°
EJERCICIOS Y PROBLEMAS
1. Resolver la ecuación 0x2cos3x2sen =- , dar la mayor solución en [0;2p]
A. p/2 B. p/6 C. p/4 D. 4p/5 E.5p/6
2. En la ecuación: tan2x = tan x; la solución más pequeña en el intervalo ]0;2p]
A. p/2 B. p/3 C. p/4 D. 4p/5 E.3p/4
3. Dar la menor solución positiva de la ecuación 4cos23x-cos6x = 3
A. 0 B. p/3 C. 2p/3 D. 4p/5 E.3p/4
4. Resolver la ecuación sen(x+⅓p) = 0
A. {x/x = kp-p/3} B. {x/x = kp-p/2} C. {x/x = kp-2p/3}D. {x/x=kp+p/3} E. {x/x=kp+2p/3}
5. Al resolver la ecuación sen2x – 5senx + 4 = 0 se obtiene como valor principal:
A. p/2 B. p/6 C. p/4 D. 4p/5 E.5p/6
6. Hallar “x” que es un ángulo en el primer cuadrante que satisface la
ecuación 2ctgx3tgx31
=+
A. p/2 B. p/6 C. p/3D. 4p/5 E.5p/6
7. Resolver tan2x.tan7x = 1, dar como solución la menor positiva:
A. p/2 B. p/16 C. p/18D. 4p/9 E.5p/16
8. Resolver : 01senx.senx =-
a) }2
)1(k{:CS p-+p b) }
2)1({:CS k p
-+p c) }2
)1(k{:CS k p-+p
d) }2
)1(k{:CS k p+p e) }
2)1(k2{:CS k p
-+p
9. Resolver: 03
x2sen =÷ø
öçè
æ p-
a)62
kx p+
p= b)
62kx p
+p
= c)32
kx p+
p=
d)63
kx p+
p= e)
34kx p
+p
=
10. Resolver: 23x4cotx4csc +=+
a) ( )23tanarc21
2kx -+
p=
b) ( )23tanarc21
2kx ++
p=
c) ( )23tanarc23
2kx -+
p=
d) ( )23tanarc21
2kx --
p=
e) ( )23tanarc63
2kx -+
p=
11. Resolver: 7x2csc
1x2sec
1x2cot
1x2tan
1x2cos
1x2sen
1222222 =+++++
a)82
kx p±
p= b)
62kx p
+p
= c)32
kx p+
p=
d)63
kx p+
p= e)
82kx p
±p
=
12. Dada: sen x – cos x + sec x = csc x. Resolver sobre: [0; 2p]
a)þýü
îíì pp
=4
5;3
x b)þýü
îíì pp
=3
5;4
x c)þýü
îíì pp
=4
5;4
3x
d)þýü
îíì pp
=4
5;4
x e)þýü
îíì pp
=4
5;4
5x
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13. Hallar el menor valor positivo de “x”. xcot162xcsc
2xsec 22 =+
a) 11 b) 12 c) 13 d) 14 e) 15
14. Resolver: ( )xcot
x2cos1xtan1
xtan12
2 +=+
-
a)º75k180xº75k180x
-=+= b)
º75k180xº75k170x
-=+= c)
º75k170xº75k180x
-=+=
d)º75k180xº75k180x
+=+= e)
º75k180xº75k180x
-=-=
15. El menor valor de “x” mayor que p/2 que verifica sen 2x + cos 2x = -1 es:a) 130° b) 135° c) 140° d) 145° e) 150°
16. Resolver: 3x2sen3xsen2 2 =+a) x = 180k + 60° b) x = 170k + 60° c) x = 150k – 60°d) x = 130 k + 100° e) x = 200k – 60°
17. Determinar las soluciones de: 2)1sen(3cos22 2 =-q-q-
a)2
)1(k6
)1(k kk p-+p=q\
p-+p=q\
b)2
)1(k6
)1(k kk p-+p=q\
p--p=q\
c)2
)1(k6
)1(k kk p-+p=q\
p-+p=q\
d)2
)1(k6
)1(k kk p--p=q\
p-+p=q\
e)2
)1(k6
)1(k kk p+p=q\
p-p=q\
18. Resolver: 0xcossenx3
x2cosx2sen =+÷øö
çèæ p- . Indicar la mayor solución
negativa.
a) -6p b)
6p
- c)2p d)
2p
- e)3p
19. Resolver: 3x6cosx3cos4 2 =- . Dar las soluciones en el intervalo de [0; p]
a)þýü
îíì p
pp= ;
32;
2;0x b)
þýü
îíì p
pp= ;
22;
3;0x c)
þýü
îíì pp
=3
2;3
;0x
d)þýü
îíì p
pp= ;
32;
3;0x e)
þýü
îíì p
pp= ;
34;
3;0x
20. Resolver: xsecxtan2 2=
a) Zk;4
kx Îp
+p= b) Zk;4
kx Îp
+= c) Zk;4
x Îp
+p=
d) Zk;4
k2x Îp
+p= e) Zk;3
kx Îp
+p=
21. Señalar el menor “x” positivo que cumple: 8senx11
senx11
=-
++
a)6p b)
2p c)
3p d)
4p e)
8p
22. Resolver: 2x2cos.3xcsc.x3sen =+
a) )32cos(arc21nx +±p= b) )32cos(arc
21nx -±p=
c) )34cos(arc21nx -±p= d) )22cos(arc
21nx -±p=
e) )32cos(arc2nx -±p=
23. Resolver (indicar la solución principal). 2senx3xcos +=
a)2p b)
512p c)
1215p d)
1217p e)
3p
24. Resolver:167cos66 =+ xxsen
a)62
nx p±
p= b)
64nx p
±p
= c)62
x p±
p=
d)62
2x p±
p= e)
22nx p
±p
=
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TEMA 17
RESOLUCIÓN DE TRÍANGULOS
17.1. Ángulos Verticales.- Los ángulos verticales son ángulos agudoscontenidos en un plano vertical y formado por dos líneas imaginarias llamadashorizontal y visual.
17. 1.1 Línea Visual. Se llama línea de visión, a la recta imaginaria que une elojo de un observador con el lugar observado.
17.1.2 Angulo de Elevación.- Es el ángulo formado por la línea visual yhorizontal del observador; cuando el objeto está situado por encima de lalínea horizontal.
17.1.3 Angulo de Depresión.- Es el ángulo formado por la línea horizontal yvisual del observador; cuando el objeto está situado debajo de la líneahorizontal.
17.2. Ángulos Horizontales.- Los ángulos horizontales son ángulos agudoscontenidos en un plano horizontal, se determinan tomando como punto dereferencia los puntos cardinales norte (N), sur (S), este (E) y oeste (O).
17.3. Triángulos Oblicuángulos
a, b y c son los lados deltriangulo.
A, B y C son los vérticesdel triángulo.
17.3.1 Ley de Senos: “ En todo triángulo las longitudes de los lados sonproporcionales a los senos de los ángulos opuestos ”
senCc
senBb
senAa
==
17.3.2 Ley de Cosenos.- Se cumple para todo triángulo agudo y obtuso.“Donde, el cuadrado de cualquier lado de un triángulo es igual a la sumade los cuadrados de los otros dos, menos el doble de su producto por elcoseno del ángulo comprendido entre ellos”
Acos.bc2cba 222 -+=
Bcos.ac2cab 222 -+=
Ccos.ab2bac 222 -+=
Angulo de elevación Ángulo de depresión
A
B
C
c a
b
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3.3 Ley de las Tangentes. “Se cumple que la suma de dos lados es a sudiferencia, como la tangente de la semisuma de los ángulos que seoponen a dichos lados es a la tangente de la semidiferencia de losmismos”
÷ø
öçè
æ -
÷ø
öçè
æ +
=-+
2BAtan
2BAtan
baba
÷ø
öçè
æ -
÷ø
öçè
æ +
=-+
2CBtan
2CBtan
cbcb
÷ø
öçè
æ -
÷ø
öçè
æ +
=-+
2ACtan
2ACtan
acac
Ejercicios y Problemas
1. En un triángulo ABC se conocen B=15º y A – B = 90º y el radio de lacircunferencia circunscrita es de longitud 0,6m. Calcular la longitud del ladoopuesto al ángulo “A”.
A) 1m B) m5
26 + C) m5
26 -
D) ( )m10
263 + E) ( )m10
263 -
2. Resolver el triángulo ABC, si: a = 21m b = 32m y A = 115ºA) c = 40m, B = 30º y C = 35ºB) c = 35m, B = 25º y C = 35ºC) Faltan datosD) c = 2m, B = 35º y C = 30ºE) No hay solución
3. Las longitudes de los lados de un triángulo son tres números enterosconsecutivos y el ángulo mayor es el doble del menor (q). La relación del ladomayor al lado menor es:
A) 2 cos q B) cos 2q C) cos q D) 2 sen q E)35
4. En un triángulo ABC simplificar:)CB(Cos
CCoscBCosb-
+
A) a B) b C) cD) b + c E) b – c
5. En un triángulo ABC, simplificar:a ( sen A + sen B + sen C) csc A
A) P B) 2P C) a D)2a E)
2P
6. En un triángulo ABC se verifica:CCos
cBCos
bACos
a==
¿Qué tipo de triángulo no cumple la relación?A) AcutánguloB) RectánguloC) IsóscelesD) EquiláteroE) Oblicuángulo
7. El coseno del mayor ángulo de un triángulo cuyos lados son tres númerosenteros y consecutivos es igual a 1/5. Calcular el perímetro de dicho triángulo.A) 10 B) 12 C) 14 D) 16 E) 18
8. Indicar uno de los ángulos de un triángulo ABC en el cual se cumple:
cba3
ca1
ba1
++=
++
+A) 30º B) 45º C) 60º D) 120º E) 75º
9. Un edificio proyecta una sombra de 150m. cuando el sol forma un ángulo de20º 30' sobre el horizonte, calcular la altura del edificio.Tan20O30’ = 0.73
A) 30 B) 45 C) 60 D) 56 E) 75
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101
10. Desde un punto se observa un edificio cuya parte más alta forma con el sueloun ángulo de 30º, si avanzamos 30 metros, el ángulo pasa a ser de 45º.Calcular la altura del edificio.
A) 30 B) 45 C) 60 D) 56 E) 75
11. Un triángulo tiene por lados tres números impares consecutivos, siendo elmayor ángulo 120º. Hallar las longitudes de los lados.A) 1; 3; 5 B) 3; 5; 7 C) 5; 7; 9 D) 7; 9; 11 E) 9; 11; 13
12. Determinar el ángulo “C” de un triángulo ABC, sabiendo que:B = 120º, a = 2m y c = ( 3 -1)mA) 60º B) 15º C) 7º0’ D) 45º E) 30º
13. Los lados de un triángulo son: 26 , 20 y 18 ; Calcular el área de dichotriángulo.
A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 4
14. Desde la orilla de un río, observamos la copa de un arbol situado en la otraorilla, bajo un ángulo de 60º. Si nos retiramos 10 m. de la orilla, el ángulo deobservación es de 45º. Calcular la altura del árbol y la anchura del río.
A) 10 B) 12 C) 14 D) 16 E) 18
15. Se tiene dos postes de 7m y 1m de altura distanciadas 8m. Calcular elmínimo valor del ángulo de elevación con que una hormiguita observaría loalto del poste menor, desde un punto ubicado entre los postes; sabiendo queel ángulo de elevación para el poste mayor, desde ese punto, es elcomplemento del que se pide calcular.
A) °45 B) °37 C) °53 D) °8 E) °16
16. Un avión vuela en línea recta y horizontal, en un cierto instante el pilotoobserva una base militar con un ángulo de depresión de o37 . Luego de 3minutos el piloto observa nuevamente la base militar esta vez con un ángulode depresión de o53 , si la velocidad del avión es de 14km/min. ¿A que alturaesta volando el avión?
A) 18km B) 36km C) 54km D) 63km E) 72km
17. La estación de Zulú de los guardacostas se encuentra a 120 millas al oestede la estación Rayos X. Un barco en el mar envía una llamada de auxilio lacual es recibida por ambas estaciones. La llamada a la estación Zulú indicaque la posición del barco es o37 al este del norte; la llamada a la estaciónRayos X indica que la posición del barco es de o30 al oeste del norte. Si unhelicóptero que puede volar a 200 millas por hora sale desde la estación máscercana al barco, ¿Cuánto tiempo tardará en llegar a éste?
A) 34.30 min. B) 57.17 min. C) 29.71 min.D) 49.71 min. E) 36.00 min.
18. Un bote de motor sale de Naples, Florida Hacia Key West, a 150 millas dedistancia. Lleva una velocidad constante de 15 millas por hora pero navegacon fuertes corrientes y vientos cruzados. La tripulación descubre, despuésde 4 horas que el bote esta fuera del curso por 37° ¿Cuánto tiempo seagrego al viaje debido a la desviación del curso? (suponga que la velocidadse mantiene en 15 millas por hora y 60.313 @ )
A) 7.20 horas B) 1.20 horas C) 2.80 horasD) 5.20 horas E) 4.20 horas
19. Un alumno de 2m de estatura observa la parte más alta de una torre con unángulo de elevación q , luego se acerca 14m y se observa nuevamente almismo punto con un ángulo de elevación que es el complemento de q .Calcular la distancia que le falta recorrer para llegar a la torre si se cumpleque: 0)4(3Csc)10(7Sec =q-°-°-q .
A) 6m B) 18m C) 24m D) 26m E) 30m
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