70 Cantidad de Movimiento

8/18/2019 70 Cantidad de Movimiento

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IMPULSO y CANTIDAD DE MOVIMIENTO

INTRODUCCIÓN

De acuerdo a las leyes de Newton aplicados a

partículas o a cuerpos rígidos sabemos que sisobre una partícula no actúan fuerzas entonces su

velocidad en los sistemas inerciales permanece

invariable, pero si consideramos partículas en

interacción mutua que no están fijamente unidas

como un cuerpo rígido, de modo que puedan tener

movimiento relativo entre si, al cual llamaremos

sistemas de partículas! , tienen un punto común

llamado centro de masa cuyo movimiento de

traslación es representativo del conjunto departículas" #odemos asumir que la masa del

sistema esta concentrada en el centro de masa y podemos tratar al sistema como si

fuera una única partícula ubicada en el centro de masa" $a aplicación de la

%egunda ley de Newton al centro de masa nos conduce a definir la ley de la

conservación de la cantidad de movimiento lineal

%i definimos el concepto de sistema aislado,

comprendiendo con ello el conjunto de

partículas que interactúan entre sí donde

e&isten una serie de magnitudes relacionadascon las velocidades que no varían con el

tiempo, como por ejemplo la cantidad de

movimiento del sistema" 'ste nuevo enfoque

(vectorial) representa un complemento de la

descripción energ*tica (escalar), vista en el

capítulo de trabajo y energía, y las leyes de

Newton para el estudio de los problemas

mecánicos"

'ste tercer modo de tratar problemas dedinámica, solo nos muestra como el +ombre

puede e&plicar una gran cantidad de

fenómenos naturales y darse cuenta como la

física no es tan compleja como muc+os

consideran, es decir, no basta con querer aprender de memoria una serie de

formulas, es necesario analizar cuidadosamente los problemas para poder elegir el

camino mas fácil para resolverlos" racias a esta nueva descripción se +a podido

descubrir la e&istencia del núcleo del átomo, estudiar la formación de las diferentes

etapas geológicas de la tierra, enviar una nave espacial a la $una, además de

entender problemas sencillos como el patear un balón, etc"


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m

vi

vf

t= ∆I F

IMPULSO

's una cantidad física vectorial que caracteriza la acción integrada de una fuerza Fen un intervalo de tiempo -t" 'l impulso causa un cambio de velocidad"

$a interacción entre el pie y la pelota produce una fuerza sobre la pelota en un

tiempo -t"

IMPULSO DE UNA FUERZA CONSTANTE:

%upongamos que una fuerza F constante actúa sobre

la masa m durante un intervalo de tiempo ∆t , tal como

se indica en la figura

Una fuerza constante F actuando sobre una masa m durante un tiempoΔt, le cambia su cantidad de movimiento

%e define el impulso de la fuerza F como el producto de la fuerza por el intervalo de

tiempo de interacción.

. en /Ns0

'l impulso tiene la misma dirección que

la fuerza que la produce

%í graficamos la fuerza versus el

tiempo, podemos observar que el área

bajo la curva nos proporciona la

magnitud del impulso de la fuerza F

Impulso = Area = F !

V2

F

V1

ráfica F versus t


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= ∆ tmI F

t m t = ∆ = ∆I F a

2 1t ( )m v v = ∆ = −I F

t m= ∆ =I F Δv

IMPULSO DE UNA FUERZA CON MA"NITUD VARIA#LE

%i la magnitud de una fuerza F varia con el tiempo tal como se observa en la figura

La magnitud del impulso recibido por la partícula en el intervalo de tiempo ∆t es

igual al área bajo la curva de la gráfica F versus t !

'n esta ultima ecuación la fuerza 1m que aparece es la fuerza media que +a

actuado sobre la partícula en el intervalo ∆t" 'l impulso tiene la misma orientación

que la fuerza 1 que la produce"

IMPULSO $ CANTIDAD DE MOVIMIENTO

2uando se estudió la primera ley de Newton se estableció. que toda partícula que se

mueve con velocidad constante o permanece en reposo en algún sistema de

referencia inercial, permanecerá en dic+o estado indefinidamente a menos que un

agente e&terno le modifique su estado de movimiento" 'sto es, si el sistema está

aislado.

F 3 %

%i se aplica una fuerza F constante a la partícula el efecto será el cambio develocidad o aceleración constante

V1

V2

F


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2 1t mv mv = ∆ = −I F

t

f i − ∆

= =∆

p pF

m

v

α

p

∆ = ∆tF p

∆ = −2 1tF p p

= mp v

t2 1

= ∆ = − = ∆I F p p p

m

∆=

∆

p

F

'l impulso produce el cambio en la cantidad mv asociado al movimiento de la

partícula

$a ecuación anterior se escribe como

%e define la 2antidad de movimiento o momentum lineal de la partícula de masa m!

la cantidad = mp vv en 4g ms−5, donde m es una propiedad del cuerpo y v

depende del sistema de referencia

$a fuerza se puede escribir

6edefiniendo la segunda ley de Newton de lasiguiente manera.

'l cambio en la cantidad de movimiento de

una partícula con el tiempo es igual a la fuerza

promedio que +a actuado sobre la partícula en

el intervalo de tiempo ∆t !

$a primera ley de Newton se reinterpretaría como 7oda partícula que se mueve

con p constante o que permanezca en reposo con p 3 %, se mantendrá en dic+oestado en forma indefinida a menos que algún agente e&terno le modifique su

estado inicial

$a cantidad de movimiento permite diferenciar entre dos partículas con masa distinta

que se mueven con la misma velocidad" 8dentifica el estado de movimiento de lapartícula

P1= m

1 v

1

P2= m

2v

2


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t2 1

= ∆ = − = ∆F p p

7oda fuerza F que actúa sobre una masa m, cambia su cantidad de movimiento de

p5 +asta p9

's decir: el impulso de la fuerza F produce el cambio de la cantidad demovimiento de la partícula&

'sta última relación recibe el nombre teorema del impulso y la cantidad de

movimiento! y nos permite obtener el impulso que recibe la masa m sin necesidad

de conocer la fuerza 1"

SISTEMA DE PART'CULAS

;n s(s!ema )e par!*+ulas es un conjunto de partículas con alguna característicacomún que permita delimitarlo y en el que la posición y movimiento de una partícula

depende de la posición y movimiento de las demás" ;n sistema de partículas puede

ser discreto o continúo" ;n sistema de partículas se reduce al movimiento de una

partícula utilizando el concepto de centro de masa

;n sistema de partículas se puede aislar con el fin de estudiar su movimiento" $a

elección de las partículas que conforman el sistema es completamente arbitraria

'n el sistema %5 puede considerarse a las bolas 5, 5< y => y en el podemos analizar

el movimiento de dic+as bolas cuando interactúen con las bolas que est*n fuera del

sistema" 7ambi*n se puede considerar otros sistemas como %9 formado por las bolas

5>,?9, 9=, =>"

FUERZAS INTERNAS $ E,TERNAS

$as interacciones entre las partículas se manifiestan a trav*s de fuerzas que pueden

ser de contacto, el*ctricas, electromagn*ticas, gravitacionales, etc"

2uando las fuerzas de interacción se producen dentro del sistema donde se

encuentran las partículas se denominan fuerzas internas" %iempre aparecen en

pares como acción y reacción lo que +ace que su resultante sea cero, lo que +ace

que no cambie la cantidad de movimiento del sistema"

$as fuerzas e&ternas son las fuerzas entre partículas que se encuentran fuera del

sistema y partículas que se encuentran dentro del sistema" 2omo son fuerzas

e&ternas al sistema cambia la cantidad de movimiento del sistema"


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SISTEMAS AISLADOS $ NO AISLADOS

;n sistema es aislado cuando no actúan sobre *l fuerzas e&ternas" $as únicas

interacciones son las que se dan entre las partículas del sistema

;n sistema es no aislado cuando sobre el sistema actúan fuerzas e&ternas además

de las internas

Fuerzas internas y externas

CANTIDAD DE MOVIMIENTO DE UN SISTEMA DE DOS PART'CULAS:

$a cantidad de movimiento de un sistema de partículas es igual a la suma de la

cantidad de movimiento de cada partícula

Dado un sistema de dos partículas de la figura se define la cantidad de movimientodel sistema como la suma de la cantidad de movimiento de cada una ellas

p = p5 - p9

21

12

6

11 Fuerzas externas

Partícula externa al

sistema

%istema aislado de dos partículas


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CONSERVACIÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO DE UN SISTEMA DEDOS PART'CULAS

%upongamos un sistema de dos partículas sujetas a su interacción mutua F59 , F95 ya las fuerzas e&ternas Fe&t"5 y Fe&t"9 tal como se muestra en la figura.

@bservamos que la cantidad de movimiento de cada partícula no es constante

debido a las fuerzas que actúan sobre ellas, entonces nos preguntamos Ala cantidad

de movimiento del sistema se mantendrá constanteB

#ara contestar esta pregunta analicemos cada partícula por separado.

p5 no es constante pues sobre m5 actúa la fuerza F59 y Fe&t"5 aplicando la segunda leyde Newton tenemos.

t Δ

1Δ

ext,112

pFF =+

análogamente podemos decir que p9 no es constante pues sobre m9 actúan lasfuerza F95 y Fe&t"9

t Δ

2Δ

ext,221

pFF =+

si sumamos estas dos ecuaciones y ordenamos adecuadamente.

t t ext ext Δ

2Δp

Δ

1Δp

2,F1,F21F12F +=+++

o

t Δ

)21

Δ(

ext,2ext,12112

ppFFFF

+=+++

por la tercera ley de Newton (ley de acción y reacción).

F59 C F95 3 %

entonces .

t

)(

Δ

Δ

ext,2ext,121

ppFF

+=+

ó


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Δp0

Δ t=

n........

1 2 n ii 1

= + + + = ∑

=

p p p p p

t Δ

Δ

Ext

pF =

donde F'&t es la fuerza e&terna resultante que actúa sobre el sistema

F'&t 3 Fe&t,5 C Fe&t,9

Es decir, el cambio en la cantidad de movimiento del sistema con el tiempo es igual

a la fuerza resultante externa que actúa sobre el sistema

+ora si la fuerza resultante e&terna es cero

F'&t 3 Fe&t,5 C Fe&t,9 3 %

entonces tendremos.

Δp 0=

esto significa que el cambio en la cantidad de movimiento del sistema en el intervalo

de tiempo ∆t es cero.

p 3 p5 C p9 3 +!e

Si la fuerza externa que actúa sobre el

sistema es cero entonces su cantidad de

movimiento se mantiene constante en

todo momento

6esumiendo.

%í. F'&t 3 Fe&t,5 C Fe&t,9 3 %

entonces p 3 p5 C p9 3 cte

'sta condición recibe el nombre del principio de conservación de la cantidad de

movimiento del sistema y podemos generalizarla a un sistema conformado por varias partículas.

Dado un sistema de n partículas se define la cantidad de movimiento del sistema

como.

a) %i sobre el sistema actúan varias fuerzas e&ternas se cumple que.

donde Fe&t" 3∑

j F j


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1

0

n

i

F

=

=∑

1

0

n

i

I

=

=∑

Δp 0=

es la suma de todas las fuerzas e&ternas al sistema y p 3 ∑=

n

1ipi

b) %i la fuerza resultante e&terna que actúa sobre el sistema es cero el principio de

conservación de la cantidad de movimiento establece que.

p 3 ∑=

n

i 1

pi 3 cte

es importante notar que las fuerzas internas no cambian la cantidad de movimiento

del sistema de partículas.

CENTRO DE MASA

2uando se estudio en cinemática el movimiento bidimensional se vio que todo

cuerpo lanzado al aire, bajo la influencia de la gravedad, describiría una trayectoria

parabólica y tomamos como ejemplo un proyectil, una pelota, etc" #ero todos ellosfueron tratados como partículas puntuales sin dimensiones, pero la realidad es que

http://images.google.com.pe/imgres?imgurl=http://www.sectorfisica.cl/Contenidos/Mecanica/LeyesdeNewton/LN7_clip_image010.jpg&imgrefurl=http://www.sectorfisica.cl/Contenidos/Mecanica/LeyesdeNewton/LN6.html&h=271&w=549&sz=18&hl=es&start=1&usg=__cYDUnWYgVlSJA5EIPFMcrE5_wpc=&tbnid=wbYE66cdY_AAsM:&tbnh=66&tbnw=133&prev=/images%3Fq%3DconservaCION%2BDE%2BLA%2BCANTIDAD%2BDE%2BMOVIMIENTO%26gbv%3D2%26ndsp%3D20%26hl%3Des%26sa%3DNhttp://www.monografias.com/trabajos10/prafi/Image3501.gifhttp://images.google.com.pe/imgres?imgurl=http://www.hverdugo.cl/mom23.gif&imgrefurl=http://www.hverdugo.cl/mom2.htm&h=334&w=674&sz=8&hl=es&start=6&usg=__cpUuTPvzRL36BxVfMoxFsE77W10=&tbnid=0ZLrsOBtH_7EsM:&tbnh=68&tbnw=138&prev=/images%3Fq%3DconservaCION%2BDE%2BLA%2BCANTIDAD%2BDE%2BMOVIMIENTO%26gbv%3D2%26ndsp%3D20%26hl%3Des%26sa%3DNhttp://images.google.com.pe/imgres?imgurl=http://www.telefonica.net/web2/vmartinmorales/images/explosion.gif&imgrefurl=http://www.telefonica.net/web2/vmartinmorales/efb_dinamica.htm&h=151&w=199&sz=2&hl=es&start=15&usg=__yaE4kDFzWbF2RdpeQW70pCPMr3Y=&tbnid=FI_9c3CQfYPl7M:&tbnh=79&tbnw=104&prev=/images%3Fq%3DconservaCION%2BDE%2BLA%2BCANTIDAD%2BDE%2BMOVIMIENTO%26gbv%3D2%26ndsp%3D20%26hl%3Des%26sa%3DN


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todos estos cuerpos están conformados por muc+as partículas" #or ejemplo si

lanzamos una mancuerna al aire de la figura

El centro de masa de la mancuerna lanzada al aire describe unatrayectoria parabólica

;n observador que se encuentra lejos verá que *sta efectivamente describe una

trayectoria parabólica, pero qu* verá el observador si se acerca más y ve

detalladamente lo que sucede

'l observador dirá que cada masa en forma individual no describe una trayectoria

parabólica, sino que están girando y movi*ndose capric+osamente, pero sin

embargo el punto marcado en la mancuerna si describe una parábola, este punto

particular del sistema recibe el nombre de entro de masa .2E/ y se comporta comouna partícula puntual de masa ! C m. Fer figura

El centro de masa de la mancuerna se

comporta como una partícula puntual de

masa M+m

PROPIEDADES DEL CM&

Gemos definido el 2E como un punto tal que si toda la masa del sistema estuvieraconcentrada en *l, el sistema se comportaría como una partícula"


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CM

nm

m m ...... m i i1 1 2 2 n n i 1

nm m ........ m1 2 n m

ii 1

∑+ + +

== =+ + +

∑

=

rr r r

R

nm

ii 1

CM M

∑==R

5"H 'l 2E permite reducir un sistema de partículas a una sola partícula"

9"H 'l 2E de un sistema se mueve como un punto material cuya masa es la masa

total del sistema, impulsado por las fuerzas e&teriores"

="H 7odas las fuerzas e&teriores al sistema se suponen aplicadas en su 2E" $a

aceleración del 2E coincide, pues, con la aceleración del sistema"


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n

mΔi ii 1Δ

CM M

∑==

r

R

VELOCIDAD DEL CENTRO DE MASA

'l movimiento de cada una de las partículas del sistema nos advierte que el centro

de masa de la misma deberá estar movi*ndose tambi*n, si analizamos una de ellas,

digamos la jHesima partícula, en un tiempo ∆t *sta deberá +aberse desplazado -r j,

entonces el desplazamiento del 2E en ese mismo intervalo de tiempo será.

si dividimos esta e&presión por ∆t y +acemos que este intervalo de tiempo sea lo

mas pequeKo posible ( 0t →∆ ) obtendremos.

M

t m

t ∑

==

→∆

→∆

n

1i Δ

iΔlimi

Δt

Δlim

0CM

0t

r

R

esta es justamente la velocidad instantánea, entonces la velocidad del centro de

masa 02E queda determinada por.

M

m i

n

1ii

CM

v

v

∑

==

v i es la velocidad instantánea de la iHesima partícula"

$a sumatoria que aparece en esta ultima e&presión, es la cantidad de movimiento p

del sistema de partículas

∑

=

=∑

=

=n

1ii

n

1iii pvp m

por lo tanto 02E M

p=

's decir, la velocidad del centro de masa, es igual a la cantidad de movimiento del

sistema de partículas entre la masa total del sistema

'sto nos permite e&presar la cantidad de movimiento del sistema como.

p 3 ! 02E

por el principio de conservación de la cantidad de movimiento, si la fuerza resultante

e&terna es cero entonces la cantidad de movimiento de sistema se mantiene

constante por lo tanto 02E deberá tambi*n permanecer constante, como si se tratasede una partícula de masa ! , esto confirma una vez mas que el centro de masa se

comporta como una partícula puntual de masa ! y velocidad 02E"

ACELERACIÓN DEL CENTRO DE MASA


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I

CM

Ext

M=

Fa

CM

mi i

M

∑=

aa

%i sobre el sistema de partículas actúan varias fuerzas e&ternas, +emos demostrado

antes que.Δt

Δ

Ext

pF = donde

∑=

j jExt FF es la suma de todas las fuerzas

e&ternas al sistema y p 3 ∑=

n

1i pi 3 ! 02E

2ombinando estas ecuaciones

t M

t

M

t Δ

Δ

Δ

)Δ(

ΔΔExt

CMCM vv

pF ===

finalmente obtenemos.

F'&t" 3 ! a2E

es decir la aceleración del centro de masa es igual a la fuerza resultante e&terna que

actúa sobre el sistema entre la masa ! del sistema de partículas

o equivalentemente.

IMPULSO DE FUERZAS IMPULSIVAS

%on aquellas fuerzas que actúan

durante un intervalo de tiempo

muy pequeKo ( s10 4−≈ )

y que tienen una magnitud

promedio muy grandes"

$a fuerza en la definición del

impulso I = Fm Δt es una

fuerza media constante ya que la

F


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fuerza real que actúa durante el intervalo de tiempo pequeKo es muy difícil de

determinar

'n la figura el pico representa la fuerza

impulsiva y el área bajo la curva del

rectángulo equivale al impulso

$a fuerza impulsiva puede variar en

módulo, dirección y sentido, por lo que elgrafico solo representa la magnitud de la

fuerza impulsiva en función del tiempo

E1emplo

;na pelotita de L"I 4g se lanza

+orizontalmente contra una pared con una rapidez de


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'&isten tres tipos de colisiones.

I/ Col(s(34 el5s!(+a& 'n este tipo de colisión la energía de las partículasinmediatamente antes y despu*s de la colisión permanece constante

II/ Col(s(34 (4el5s!(+a& 'n este tipo de colisión la energía de las partículas no semantiene constante, parte de ella se pierde en forma de calor y en la

deformación que sufren los cuerpos durante el c+oque" 1igura 5P

urante una colisión inel!stica, parte de la ener"ía

cin#tica de las masas se convierte en calor

III/ Col(s(34 +omple!ame4!e (4el5s!(+a& 's considerada tambi*n una colisióninelástica pero en este caso los cuerpos permanecen unidos despu*s del

c+oque"

COLISION ELASTICA EN UNA DIMENSIÓN

%upongamos dos partículas movi*ndose en la misma dirección tal como se indica en

la figura >"5I


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'n la figura se indican las velocidades de las masas inmediatamente

antes y despu*s de la colisión elástica

%i conocemos sus velocidades antes de la colisión Acuáles serán sus velocidades

inmediatamente despu*s del c+oqueB

#or ser una colisión elástica su energía se debe conservar, por lo tanto.

2

1m5 (v 5)

9 C2

1m9(v 9)

9 32

1m5 (v 5′)

9 C2

1m9 (v 9′)

9

de aquí se obtiene

m5((v 5)9 − (v 5′)

9 ) 3 m5((v 9′)9 − (v 5)

9 )

por conservación de la cantidad de movimiento

p5 C p9 = p′5 C p′9

como están en la misma dirección podemos eliminar el vector unitario î

m5v 5 C m 9v 9 3 m5v 5′ C m 9v 9′

de aquí. m5(v 5 − v 5′) 3 m9 (v 9′ − v 9)

dividiendo las ecuaciones

.v 6 v 7/ = .v 7′ v 6′/ o:

.v 6 v 7/ = .v 6′ v 7′/

la cual nos indica que la velocidad relativa de acercamiento es igual y opuesta a la

velocidad relativa de alejamiento

6esolviendo las ecuaciones obtenemos las velocidades despu*s de la colisión.

2)21

(

22

1v

)21

(

)21

('1

v v

mm

m

mm

mm

++

+

−=

2)21

(

)12

(

1)21

(

12

'2

v v v

mm

mm

mm

m

+

−+

+=

COEFICIENTE DE RESTITUCIÓN.6etomemos nuevamente la ecuación

(v 5 − v 9) 3 − (v 5′ − v 9′)

y analicemos la siguiente situación.

%upongamos dos partículas movi*ndose una al encuentro de la otra con velocidades

de 5L mMs y =L mMs tal como se indica en la figura


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%i fijamos un observador en la partícula 5

Au* verá este observador antes y despu*s de la colisiónB

'l observador en todo momento asumirá que la partícula 5 no se mueve respecto de

*l y que la partícula 9 se le apro&ima con una rapidez de


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1 2' '

2 1

1−

=

−

v v

v v

(a rapidez de ale&amiento de la partícula 2 medida por el

observador es menor )ue la de acercamiento

'n este caso el observador vera que debido a la colisión se +a liberado calor y se +a

producido una deformación en ambas partículas, tal como se indica en la figura 9I

'n este caso el observador puede afirmar que la rapidez de acercamiento es mayor

que la rapidez de alejamiento, es decir.

0acercamiento > 0alejamiento

#or ultimo Aqu* vera el observador si la colisión fuera completamente inelásticaB

'n este caso el observador vera que la partícula 9 queda unida a la partícula 5 y +a

perdido toda su energía como consecuencia de la colisión completamente inelástica,

es decir. 0alejamiento 3 %

'n una colisión completamente inelástica, para el observador ligado a la partícula

5, la partícula 9 no se mueve

7engamos en cuenta que la velocidad que mide el observador ligado a la partícula 5

es la velocidad relativa de la partícula dos respecto de la partícula 5, entonces para

un observador en tierra las ecuaciones correspondientes serán.

#ara una colisión elástica. (v 5 − v 9) 3 − (v 5′ − v 9′)

para una colisión inelástica. (v 5 − v 9) Q − (v 5′ − v 9′)


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ó 112

'' 21 <−

−

v v

v v

y para una colisión completamente inelástica. (v 5′ − v 9′) 3 L

ó equivalentemente.

012

'' 21 =−

−

v v

v v

%e define el coeficiente de restituci"n como.

ε =12

'' 21

v v

v v

−

−

el cual nos permite analizar que tipo de colisión se +a efectuado

si 5R = la colisión es elástica

si 5RL

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