Capítulo 8 Cantidad de movimiento

Capítulo 8 Cantidad de movimiento

1

8 CANTIDAD DE MOVIMIENTO

8.1. Impulso

Si dos hombres intentan empujar un auto, aplicando

una fuerza en un instante de tiempo muy pequeño,

es muy posible que no lo muevan, en cambio si la misma fuerza es aplicada por un lapso de tiempo

mayor, posiblemente lograrían mover el auto.

El producto de esta fuerza por el tiempo que tarda

en actuar sobre un cuerpo dado se define como

impulso.

𝐼 = 𝐹 ⃗⃗⃗⃗ ∆𝑡 (8.1)

El impulso es una magnitud vectorial por eso su dirección y

sentido son los de la fuerza pero su módulo viene dado por el módulo de la fuerza multiplicado por el tiempo de actuación de la

fuerza. Su unidad en el sistema Internacional es el newton por

segundo (N s)

La fuerza F ⃗⃗⃗ que actúa en un tiempo muy corto, se denomina

fuerza de impulso.

Si la fuerza que actúa sobre un cuerpo no es constante, el impulso de la partícula es un vector que

tiene una módulo igual al área de la curva fuerza vs tiempo.

Ejemplo 8.1.

Sobre una partícula de 10 [Kg] de masa, que se mueve horizontalmente y que tiene una velocidad

inicial de 2 [m/s], se aplica una fuerza de 30 [N] en la misma dirección y sentido, durante 5 [s],

calcular:

a) El impulso que se ha aplicado a la partícula

b) Aceleración

c) La velocidad que tendrá cuando cese la fuerza

Solución

a) 𝐼 = �⃗� ∆ 𝑡 → 𝐼 = 30 [𝑁] �̂� ∗ 30 [𝑠] = 900 [𝑁 𝑠] �̂� b) Por la segunda ley de Newton:

𝐹 = 𝑚 𝑎 → 𝑎 = 𝐹

𝑚 → 𝑎 =

30 [𝑁]

10 [𝑘𝑔]= 2 [

𝑚

𝑠2]

F

t

Ot ft

8.1. Impulso

8.2. Cantidad de movimiento 8.3. Cantidad de movimiento de un

sistema de partículas 8.4. Ley de la conservación de la

cantidad de movimiento

8.5. Colisiones o choques 8.6. Características en los choques

8.7. Coeficiente de restitución 8.8. Colisión elástica

8.9. Colisión completamente inelástica o plástica

8.10. Colisión no elástica o inelástica 8.11. Centro de masas

8.12 Vector posición del centro de

masas

Objetivos

➢ Definir momentum e impulso

lineal para sistemas aislados.

➢ Utilizar el Principio Momentum-

Impulso para calcular los

cambios de momentum.

➢ Comprender la relación entre

fuerza media y el intervalo de tiempo para un impulso

determinado.

➢ -Reconocer la conexión entre la

tercera ley de Newton y la

conservación del momentum.

➢ Reconocer los choques frontales

entre dos partículas.

➢ Utilizar la definición de centro de masa de un sistema aislado.

Figura 8.1


2

c) por cinemática

𝑣𝑓 = 𝑣0 + 𝑎 𝑡 → 𝑣𝑓 = 2 [𝑚

𝑠] + 2 [

𝑚

𝑠2] 5 [𝑠] = 12 [

𝑚

𝑠]

8.2. Cantidad de movimiento

El momentum lineal, o cantidad de movimiento �⃗⃗� de una partícula se define como el producto de su

masa por su velocidad:

�⃗⃗� = 𝑚 �⃗� (8.2)

La cantidad de movimiento es una magnitud vectorial. Puede considerarse como una medida de la

dificultad de llevar la partícula al reposo. Por ejemplo, un camión pesado tiene mayor momentum

lineal que un automóvil ligero que se mueve con igual velocidad. Es necesaria una fuerza mayor

para detener el camión en un tiempo determinado que para detener el automóvil en el mismo

tiempo.

Si sobre un sistema no actúa una fuerza externa entonces su momentum permanece constante, es

decir, �⃗⃗� = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒.

Si el momentum de un objeto cambia, entonces su masa o su velocidad deben haber cambiado, sino ambas. Si la masa permanece sin cambios (como en la mayoría de los casos), entonces su velocidad

ha cambiado y por lo tanto hay una aceleración involucrada en el cambio. Pero ¿qué produce

aceleración?, sabemos que la respuesta es una fuerza. Mientras mayor es la fuerza que actúe,

mayor es el cambio en velocidad (aceleración) y mayor será el cambio de su momento.

El cambio de la cantidad de movimiento está dado por:

∆�⃗⃗� = ∆ (𝑚 𝑣)⃗⃗⃗⃗⃗ = �⃗⃗�𝐹 − �⃗⃗�0 (8.3)

Si la masa de la partícula (o sistema) es constante se tiene:

∆�⃗⃗� = 𝑚 ∆ �⃗� → ∆�⃗⃗� = 𝑚 �⃗�𝐹 − 𝑚 �⃗�0 (8.4)

En un sistema, si no hay una fuerza neta o un impulso neto actuando sobre él, entonces el

momentum de ese sistema no cambia.

Si sobre un sistema actúa una fuerza externa, entonces de la segunda Ley de Newton se puede

deducir:

�⃗� = 𝑚 𝑎 ⃗⃗⃗ ⃗ → �⃗� = 𝑚 �⃗⃗�𝐹 − �⃗⃗�0

∆ 𝑡 → �⃗� = 𝑚

�⃗⃗�𝐹 − �⃗⃗�0

∆ 𝑡 → �⃗� ∆ 𝑡 = 𝑚 (�⃗�𝐹 − �⃗�0)

De donde se tiene:

𝐼 = ∆�⃗⃗� (8.5)

El impulso de la fuerza F ⃗⃗⃗ es igual al cambio de momento de la partícula.

Con la finalidad de no trabajar con muchos subíndices, en el presente capítulo se ha optado por

utilizar como velocidades iníciales al vector �⃗�, y finales al vector �⃗⃗�


3

Ejemplo 8.2

Un hombre de 75 [kg] se deja caer desde una altura de 5 [m] a una piscina, y transcurre un tiempo de 0,45 [s] para que el agua reduzca la velocidad

del hombre a cero. ¿Cuál fue la fuerza promedio que el agua ha ejercido

sobre el hombre? (Figura 8.2)

Solución

Por conservación de la energía mecánica:

𝐸𝑃 = 𝐸𝐶 → 𝑚 𝑔 ℎ = 1

2 𝑚 𝑣2 → 𝑣 = √2 𝑔 ℎ

El impulso del hombre es igual a su cantidad de movimiento.

�⃗� ∆ 𝑡 = 𝑚 (𝑣𝐹 − 𝑣0)

𝑐𝑜𝑛 𝑣𝐹 = 0} → �⃗� = −

𝑚 �⃗⃗�0

∆ 𝑡

En módulo.

𝐹 = 𝑚 √2 𝑔 ℎ

∆ 𝑡 =

75 [𝑘𝑔]√2 × 9,8 [𝑚𝑠2 ] × 5 [𝑚]

0,45 [𝑠]= 1 650 [𝑁]

Ejemplo 8.3

Una pelota de béisbol de 274 [g] se mueve hacia el

bateador con una velocidad de 13,4 [m/s], y al ser bateada, sale en dirección contraria con una

velocidad de 26,8 [m/s]. Encuentre el impulso y la

fuerza media ejercida sobre la pelota si el bate

estuvo en contacto con la pelota por un lapso de

0,01 [s]. (Figura 8.3)

Solución

Considerando como dirección positiva la de la pelota después de ser bateada

𝐼 = 𝑚 (�⃗⃗� − 𝑣) → 𝐼 = 0,274 [𝑘𝑔] (26,8 [𝑚

𝑠] 𝑖̂ − (− 13,4 [

𝑚

𝑠] 𝑖̂)) = 11 [𝑁 𝑠] 𝑖̂

�⃗� ∆ 𝑡 = 11 [𝑁 𝑠] 𝑖̂ → �⃗� = 11 [𝑁 𝑠] 𝑖̂

0,01 [𝑠]= 1 100 [𝑁] 𝑖̂

Ejemplo 8.4

Sobre una partícula de 10 [Kg] de masa, que se mueve horizontalmente y que tiene una velocidad

inicial de 2 [m/s], se aplica una fuerza de 30 [N] en la misma dirección y sentido, durante 5 [s],

calcular:

d) El impulso que se ha aplicado a la partícula

e) Aceleración

f) La velocidad que tendrá cuando cese la fuerza

Solución

d) 𝐼 = �⃗� ∆ 𝑡 → 𝐼 = 30 [𝑁] �̂� ∗ 30 [𝑠] = 900 [𝑁 𝑠] �̂� e) Por la segunda ley de Newton:

Figura 8.2

Figura 8.3

][5 m

v

u


4

𝐹 = 𝑚 𝑎 → 𝑎 = 𝐹

𝑚 → 𝑎 =

30 [𝑁]

10 [𝑘𝑔]= 2 [

𝑚

𝑠2]

f) por cinemática

𝑣𝑓 = 𝑣0 + 𝑎 𝑡 → 𝑣𝑓 = 2 [𝑚

𝑠] + 2 [

𝑚

𝑠2] 5 [𝑠] = 12 [

𝑚

𝑠]

Ejemplo 8.5

Una pelota de golf de 50 [g] es golpeada por un palo de golf y ésta alcanza una distancia de 200

[m], si el tiempo de contacto dura 4,5*10–4 [s] calcule el impulso y la fuerza aplicada por el palo,

suponga un ángulo de 45° en la velocidad inicial.

Solución

De la distancia que alcanza la pelota se obtiene la velocidad final que adquiere la pelota después de

ser golpeada por el palo de golf:

𝑑 = 𝑣0 𝑠𝑒𝑛 (2 𝛼)

2

𝑔

𝑠𝑒𝑛 90° = 1} → 𝑣0

2 = 𝑑 𝑔 → 𝑣0 = √ 200 [𝑚] × 9,8 [𝑚

𝑠2] = 44,27 [

m

s]

𝐼 = ∆ �⃗⃗� → 𝐼 = 𝑚 (𝑣𝑓 − 𝑣0) → 𝐼 = 0,05 [𝑘𝑔] (44,27 [m

s] − 0 [

m

s]) = 2,21 [𝑁 𝑠]�̂�

𝐹 =𝐼

𝑡 → 𝐹 =

2,21 [𝑘𝑔 𝑚

𝑠]

4,5∗10−4 [𝑠]= 4 919 [𝑁]

8.3. Cantidad de movimiento de un sistema de partículas

La cantidad de movimiento de un sistema de partículas es igual a la

suma vectorial de sus respectivas cantidades de movimiento. (figura

8.4)

�⃗⃗� = �⃗⃗�1 + �⃗⃗�2 + ⋯ ⋯ �⃗⃗�𝑛 = ∑ �⃗⃗�𝑖𝑛𝑖 = 1 (8.6)

Ejemplo 8.6

Una vasija de 50 [g] se encuentra en reposo. Repentinamente

explota en dos fragmentos los cuales se dirigen en sentidos opuestos. Si la velocidad de uno de ellos es 3 veces la velocidad del otro

fragmento en el instante de la explosión, calcular la masa de cada

uno de ellos.

Solución

𝑢1 = −3 𝑢2 (1)

𝑚1 + 𝑚2 = 50 [𝑔] → 𝑚2 = 50 [𝑔] − 𝑚1 (2)

0 = 𝑚1 𝑢1 + 𝑚2 𝑢2 (3)

(1) y (2) y (3)

0 = 𝑚1(−3 𝑢2) + (50 [𝑔] − 𝑚1) 𝑢2 → −3 𝑚1 + 50 [𝑔] − 𝑚1 = 0 → 𝑚1 = 12,5 [𝑔]

𝑚2 = 37,5 [𝑔]

Figura 8.4

1P

2P

3P

1P2P

3P

P


5

Ejemplo 8.7

Un cañón montado sobre ruedas tiene una masa de 10 [TM] y dispara proyectiles de 10 [kg] a 300

[m/s]. Determinar:

a) Su cantidad de movimiento (momento lineal).

b) El impulso que se ejerce sobre el cañón.

c) Su velocidad de retroceso

Solución

a) Para la bala

∆�⃗⃗�𝐵 = 𝑚 𝑣𝐹 − 𝑚 𝑣0 → 𝑃𝐵 = 10 [𝑘𝑔] ∗ 300 [𝑚

𝑠] = 3 000 [

𝑘𝑔 𝑚

𝑠]

b) �⃗⃗� = �⃗⃗�𝐵 + �⃗⃗�𝐶 = 0 → �⃗⃗�𝐶 = − �⃗⃗�𝐵 → 𝑃𝐶 = − 3 000 [𝑘𝑔 𝑚

𝑠]

c) 0 = 𝑚𝐵 𝑢𝐵 + 𝑚𝐶 𝑢𝐶 → 𝑢𝐶 = − 𝑚𝐵 𝑢𝐵

𝑚𝐶→ 𝑢𝐶 = −

10 [𝑘𝑔]∗300 [𝑚

𝑠]

10 000 [𝑘𝑔] = −0,3 [

𝑚

𝑠]

Ejemplo 8.8

Un cañón de masa 1 000 [kg] lanza un proyectil de 20 [kg]

con una velocidad de 1 000 [m/s]. ¿Cuál es la velocidad de

retroceso del cañón?

Solución

0 = 𝑚𝐵 𝑢𝐵 + 𝑚𝐶 𝑢𝐶 → 𝑢𝐶 = − 𝑚𝐵 𝑢𝐵

𝑚𝐶→ 𝑢𝐶 = −

(20 [𝑘𝑔])(1 000 [𝑚

𝑠])

1 000 [𝑘𝑔] = −20 [

𝑚

𝑠]

Ejemplo 8.9

Se dispara horizontalmente un proyectil de 8 [g] y penetra

en un bloque de madera de 9 [kg] que puede moverse libremente. La velocidad del sistema formado por el bloque y

el proyectil después del impacto es de 30 [cm/s]. Deducir la

velocidad inicial del proyectil.

Solución

𝑚𝑝 𝑣𝑝 = (𝑚𝑝 + 𝑚𝐵) 𝑢 → 𝑣𝑝 = (𝑚𝑝 + 𝑚𝐵) 𝑢

𝑚𝑝 → 𝑣𝑝 =

(8𝑥10−3 + 9) (0,30)

8𝑥10−3 → 𝑣𝑝 = 338 [𝑚 𝑠⁄ ]

8.4. Ley de la conservación de la cantidad de movimiento

Si la fuerza externa resultante sobre un sistema compuesto por una sola partícula es cero, el

momento lineal total del sistema permanece constante (entonces se conserva el momento lineal).

�⃗� ∆ 𝑡 = 𝑚 (�⃗�𝐹 − �⃗�0)

�⃗� = 0} → 𝑚 �⃗�𝐹 − 𝑚 �⃗�0 = 0 → 𝑚 �⃗�𝐹 = 𝑚 �⃗�0

�⃗⃗�𝐹 = �⃗⃗�0 = 𝑐𝑡𝑒. (8.7)

Si se considera que la fuerza externa resultante sobre un sistema compuesto por dos partículas es

cero, entonces se cumple el principio de acción y reacción, es decir,

Pv

u

Bu

Cu

Figura 8.5

Figura 8.6


6

�⃗�12 = − �⃗�21 → 𝑚1 �⃗�1 = − 𝑚2 �⃗�2 → 𝑚1 ∆ �⃗�1

∆ 𝑡 = − 𝑚2

∆ �⃗�2

∆ 𝑡

𝑚1 ∆ 𝑣1 = − 𝑚2 ∆ 𝑣2 → 𝑚1 (𝑣1 − 𝑣𝑜1) = − 𝑚2 (𝑣2 − 𝑣𝑜2)

𝑚1 𝑣1 − 𝑚1 𝑣𝑜1 = − 𝑚2 𝑣2 + 𝑚2 𝑣𝑜2 → 𝑚1 𝑣1 + 𝑚2 𝑣2 = 𝑚1 𝑣𝑜1 + 𝑚2 𝑣𝑜2

�⃗⃗�01 + �⃗⃗�02 = �⃗⃗�𝐹1 + �⃗⃗�𝐹2 (8.8)

Resultado que se conoce como ley de la conservación de la cantidad de movimiento.

Esta ley es una de las más importantes de la física. Es, en general más aplicable que la ley de

conservación de la energía mecánica debido a que las fuerzas internas ejercidas por una partícula del sistema sobre otra son frecuentemente no conservativas. Así pues, estas fuerzas internas

pueden hacer variar la energía mecánica total del sistema.

La propiedad de que el momento de un sistema se conserva, si no actúan fuerzas externas sobre él,

es conocida como una de las leyes centrales de la mecánica y se llama: ley de la conservación del

momentum lineal.

Cuando se dispara una bala con un rifle, las fuerzas

presentes son internas. El momento total del sistema

formado por la bala y el rifle, por tanto no sufre un cambio

neto. Por la tercera ley de Newton de la acción y la reacción, la fuerza ejercida sobre la bala es igual y opuesta

a la fuerza ejercida sobre el rifle. Las fuerzas que actúan

sobre la bala y el rifle lo hacen durante el mismo tiempo, lo

que da por resultado cantidades de movimiento iguales pero con direcciones opuestas. Aun cuando la bala y rifle

por sí mismos han adquirido considerable momento, como

sistema no experimentan cambio alguno en el momento.

Antes del disparo, el momento es cero; después del disparo, el valor neto sigue siendo cero. No se

gana ni se pierde cantidad de movimiento.

Ejemplo 8.10

Un astronauta de 80 [kg] queda varado en el espacio a 30

[m] de su nave. A fin de retornar a ella, lanza una llave de

0,5 [kg] con una rapidez de 20 [m/s] en dirección opuesta a donde se encuentra la nave. ¿Cuánto tiempo le toma al

astronauta en llegar hasta donde se encuentra la nave?

Solución

0 = 𝑚𝐴 𝑢𝐴 − 𝑚𝑙𝑙 𝑢𝑙𝑙 → 𝑢𝐴 = 𝑚𝑙𝑙 𝑢𝑙𝑙

𝑚𝐴→ 𝑢𝐴 =

(0,5 [𝑘𝑔])(20 [𝑚

𝑠])

80 [𝑘𝑔] = 0,125 [

𝑚

𝑠]

Entonces: 𝑑𝐴 = 𝑢𝐴 𝑡 → 𝑡 = 𝑑𝐴

𝑢𝐴 → 𝑡 =

30 [𝑚]

0,125 [𝑚

𝑠] → 𝑡 = 240 [𝑠]

m11v

m22v

m1 m2 m1 m2

1u

2u

despues

antes

Figura 8.7

Figura 8.8

M

V

m

v

30 [m]

Figura 8.9


7

8.5. Colisiones o choques

Tomando en cuenta un sistema aislado (de él no entra ni sale, ni energía ni masa) compuesto de dos o más partículas, los

choques se definen como interacciones violentas entre dos o

más cuerpos en el que existe contacto entre ellos durante un

tiempo muy pequeño.

8.6. Características en los choques

a) Los dos cuerpos pueden desintegrarse en pedazos

b) Puede haber una transferencia de energía cinética y

cantidad de movimiento c) Las dos masas se pueden unir para formar una sola

d) Las masas pueden permanecer invariables. Aun en este

caso hay diversas posibilidades. Los cuerpos pueden

permanecer completamente inalterados, como cuando

chocan dos bolas de billar, o bien se pueden deformar,

como cuando chocan dos automóviles.

Existen dos clases de choques, los frontales y los oblicuos. El

primero se caracteriza por que las partículas, antes y después

de la colisión se mueven a lo largo de una línea recta. En el segundo las direcciones de las partículas antes y después de la

colisión son distintas. En lo que sigue, sólo se considerarán las

colisiones frontales.

Los choques frontales, a la vez se clasifican en, elásticos, inelásticos y plásticos (totalmente inelásticos). Todos estos

choques tienen la característica de conservar su momentum o

cantidad de movimiento, pero no así su energía cinética.

8.7. Coeficiente de restitución

En general, un choque inelástico es una situación intermedia entre los casos extremos de choque

elástico, en el que las velocidades relativas se invierten, y choque perfectamente inelástico, en el

que no existe velocidad relativa después del choque. El coeficiente de restitución e, que es una

medida de la elasticidad de una colisión, se define como el cociente entre la velocidad relativa de

retroceso y la velocidad relativa de aproximación.

𝑒 =𝑉𝑟𝑒𝑡𝑟𝑜𝑐𝑒𝑠𝑜

𝑉𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎𝑐𝑖ó𝑛=

𝑢2 − 𝑢1

𝑣1 − 𝑣2 (8.9)

En una colisión elástica e = 1; en una colisión perfectamente inelástica e= 0 y en una colisión

inelástica 0 < e < 1.

Para resolver problemas de choques se utiliza la conservación de la cantidad de movimiento y el

coeficiente de restitución.

m1

1v

m2

2v

antes

1u

2u

despues

m1 m2

m1

1v

m2

antes

m2

m1

despues

1u

2u

Colisión frontal

Figura 8.10

Colisión oblicua

Figura 8.11


8

8.8. Colisión elástica

Los choques que son elásticos mantienen el momentum inicial del sistema al igual que la energía cinética total del sistema. Dentro de

este tipo de choque es importante mencionar un caso importante

que es el choque de dos cuerpos de igual masa y uno de ellos

inicialmente en reposo. En el caso de que ambos cuerpos tengan la misma masa y uno de ellos se encuentra en reposo, al impactar se

transferirá la energía desde el cuerpo en movimiento hacia el que

no se está moviéndose, quedando el cuerpo inicialmente en

movimiento en reposo, mientras que el otro seguirá en movimiento, el mismo que seguía el primer cuerpo, un ejemplo de

este es el juego de pool o billar. Mientras dura el choque cabe

señalar que en el contacto de ambos cuerpos la energía se

almacena en una deformación mínima y no permanente.

Cuando un choque es elástico no se genera calor ni existe deformación permanente de los objetos

involucrados.

En todas las colisiones elásticas se puede utilizar el coeficiente de restitución,

𝑒 = 𝑣2 − 𝑣1

𝑣𝑜1 − 𝑣𝑜2 = 1 (8.10)

o la conservación de la energía cinética.

1

2𝑚1𝑣1

2 +1

2𝑚2𝑣2

2 =1

2𝑚1𝑢1

2 +1

2𝑚2𝑢2

2 (8.11)

Esta ecuación, junto con la correspondiente a la conservación del momento lineal, es suficiente para

determinar las velocidades finales de dos objetos.

Ejemplo 8.11

Dos jugadores de hockey sobre patines se mueven uno hacia

el otro. Sus masas son mA= 70 [kg] y mB = 80 [kg], y sus

velocidades al chocar, vA= 5 [m/s] y vB= 1 [m/s], respectivamente. Si la colisión es elástica, calcular la

velocidad de A y B después del choque.

Solución

Utilizando la conservación del momentum,

𝑚𝐴 𝑣𝐴 − 𝑚𝐵 𝑣𝐵 = 𝑚𝐴 𝑢𝐴 + 𝑚𝐵 𝑢𝐵 → 70 [𝑘𝑔] ∗ 5 [𝑚

𝑠] − 80 [𝑘𝑔] ∗ 1 [

𝑚

𝑠] = 70 [𝑘𝑔] 𝑢𝐴 + 80 [𝑘𝑔] 𝑢𝐵

27 = 7 𝑢𝐴 + 8 𝑢𝐵 (1)

Utilizando el coeficiente de restitución 𝑒 = 𝑢𝐵 − 𝑢𝐴

𝑣𝐴+ 𝑣𝐵

1 = 𝑢𝐵 − 𝑢𝐴

5 [𝑚

𝑠] + 1 [

𝑚

𝑠] → 6 [

𝑚

𝑠] = 𝑣𝐵 − 𝑣𝐴 // *(- 8)

− 48 [𝑚

𝑠] = −8 𝑢𝐵 + 8 𝑢𝐴 (2)

Sumando (1) y (2)

− 21 [𝑚

𝑠] = 15 𝑢 𝐴 → 𝑢𝐴 = −0,7 [

𝑚

𝑠] ; 𝑢𝐵 = 5,3 [

𝑚

𝑠]

m1

1v

m2

2v

antes

1u

2u

despues

m1 m2

mA

Av

mB

Bv

antes

Au

Bu

despues

mA mB

Figura 8.12

Figura 8.13


9

El signo negativo para A significa simplemente que después de la colisión ella se mueve en sentido

contrario al asignado inicialmente.

8.9. Colisión completamente inelástica o plástica

Un choque se dice perfectamente inelástico cuando los objetos se deforman, producen calor y

permanecen unidos después del choque, por lo que sus velocidades finales son las mismas.

En este tipo de colisión se conserva la cantidad de movimiento.

𝑚1�⃗�1 + 𝑚2�⃗�2 = (𝑚1 + 𝑚2)�⃗� (8.12)

En un choque plástico la energía no se conserva. (Se pierde en forma de calor y trabajo de deformación). Después de un choque plástico los cuerpos suelen quedar pegados moviéndose juntos

con la misma velocidad. Ejemplo de choque plástico: choque de 2 bolas de masilla o plastilina.

Ejemplo 8.12

Una camioneta de 1800 [kg] está detenido y es golpeado por atrás por otro automóvil de 900 [kg] y

los dos quedan enganchados. Si el auto se movía a 20 [m/s] ¿cuál es la velocidad final de los dos?

Solución

𝑚𝐴 𝑣𝐴 = (𝑚𝐴 + 𝑚𝐶) 𝑢 → 900 [𝑘𝑔] ∗ 20 [𝑚

𝑠] = (900 [𝑘𝑔] + 1 800 [𝑘𝑔]) 𝑢 → 𝑢 = 6,7 [

𝑚

𝑠]

8.10. Colisión no elástica o inelástica

Una colisión se denomina inelástica cuando los objetos que chocan se deforman y producen calor durante el choque. En este caso se conserva el momento lineal, pero no la energía cinética del

sistema.

En todas las colisiones inelásticas se puede utilizar el coeficiente de restitución, considerando que,

0 < 𝑒 = 𝑢2 − 𝑢1

𝑣1 − 𝑣2 < 1 (8.13)

Esta ecuación, junto con la correspondiente a la conservación del momento lineal, es suficiente para

determinar las velocidades finales de dos objetos.

m11v

m22v

m1 m2 m1 m2

uuu

== 21

despues

antes

Av 0=Cv

u

m11v

m22v

m1 m22u

despues

antes

1u

Figura 8.14

Figura 8.15

Figura 8.16


10

Ejemplo 8.13

Dos discos de 1,0 [kg] y 2,0 [kg] tienen velocidades de 4,0 [m/s] y 8,0 [m/s], respectivamente y se mueven en línea recta en sentidos opuestos. Si el coeficiente de restitución entre ellas es e = 0,8,

determinar la velocidad de cada disco después del choque.

Solución Utilizando la conservación del momentum,

𝑚1 𝑣1 − 𝑚2 𝑣2 = − 𝑚1 𝑢1 − 𝑚2 𝑢2

1 [𝑘𝑔] ∗ 4 [𝑚

𝑠] − 2 [𝑘𝑔] ∗ 8 [

𝑚

𝑠] = − 1 [𝑘𝑔] 𝑢1 − 3 [𝑘𝑔] 𝑢2

− 12 [𝑚

𝑠] = − 𝑢1 − 2 𝑢2 (1)

Utilizando el coeficiente de restitución,

𝑒 = − 𝑢2 + 𝑢1

𝑣1+ 𝑣2 → 0,8 =

− 𝑢2 + 𝑢1

4 [𝑚

𝑠] + 8 [

𝑚

𝑠] → 9,6 [

𝑚

𝑠] = − 𝑢2 + 𝑢1 (2)

Sumando (1) y (2)

− 2,4 [𝑚

𝑠] = − 3 𝑢2 → 𝑢2 = 0,8 [

𝑚

𝑠] → 𝑢1 = 10,4 [

𝑚

𝑠]

Ejemplo 8.14

Si el bloque de masa m de la figura experimenta una colisión

inelástica contra la pared, con e = 0,75. Si la rapidez del bloque es

v = 2 [m/s], ¿cuál será su rapidez después del choque?

Solución

Para éste clase de problema sólo se utiliza el coeficiente de

restitución, en consecuencia:

𝑒 = 𝑢

𝑣 → 𝑢 = 𝑒 𝑣 → 𝑢 = 0,75 × 2 [

𝑚

𝑠] → 𝑢 = 1,5 [

𝑚

𝑠]

m11v

m22v

m1 m22u

despues

antes

1u

v

mu

mantes despues

v

m

Figura 8.17

Figura 8.18

Figura 8.19


11

Ejemplo 8.15

La figura muestra la masa m1 = 1,5 [kg] que se encuentra inicialmente en reposo, en contacto con el extremo de un muelle ideal de constante recuperadora k = 500 [N/m], comprimida 30 [cm]. La

masa m2 = 1,5 [kg] también se encuentra inicialmente en reposo, a una distancia de 2 [m] de m1,

en la parte interior de una pista semicircular de radio R = 0,25 [m]. En el tramo horizontal que

separa m1 de m2, el coeficiente de rozamiento es µ = 0,2, mientras que en la pista semicircular el

rozamiento es despreciable.

Solución

Cuando se suelta la masa m1 el muelle se descomprime e impulsa la masa m1, que se separa del

muelle y choca elásticamente con m2. Calcular: a) La velocidad de m1 un instante antes de entrar en

contacto con m2. b) Las velocidades de ambas masas un instante después de entrar en contacto. c)

La aceleración centrípeta de m2 cuando llega a la parte más alta del recorrido circular (punto B).

a) Para el tramo AB se aplica el principio momentum-momentum-energía

1

2 𝑘 𝑥2 =

1

2 𝑚1 𝑣1

2 + µ 𝑚1 𝑔 𝑑 → 𝑘 𝑥2 = 𝑚1 𝑣12 + 2 µ 𝑚1 𝑔 𝑑

𝑚1 𝑣12 = 𝑘 𝑥2 − 2 µ 𝑚1 𝑔 𝑑 → 𝑣1 = √

𝑘 𝑥2− 2 µ 𝑚1 𝑔 𝑑

𝑚1

𝑣1 = √ (500) (0,30)2− (2)(0,2)(1,5)(9,8)(2)

1,5 → 𝑣1 = 4,7 [𝑚 𝑠⁄ ]

b) Como las dos masas tienen el mismo valor, entonces:

𝑢1 = 0 [𝑚 𝑠⁄ ] ; 𝑢2 = 4,7 [𝑚 𝑠⁄ ]

c) Aplicando la conservación de la energía y eligiendo el nivel de referencia en el punto más

bajo:

1

2 𝑚2 𝑢2

2 = 1

2 𝑚2 𝑣2𝐷

2 + 𝑚2 𝑔 2 𝑅 → 𝑢22 = 𝑣2𝐷

2 + 4 𝑔 𝑅 → 𝑣2𝐷2 = 𝑢2

2 − 4 𝑔 𝑅

Luego, 𝑎𝑐𝐷 = 𝑣2𝐷

2

𝑅 → 𝑎𝑐𝐷 =

𝑢22− 4 𝑔 𝑅

𝑅 → 𝑎𝑐𝐷 =

(4,7)2− (4)(9,8)(0,25)

0,25

𝑎𝑐𝐷 = 49,2 [𝑚 𝑠2⁄ ]

2 [m]

R

1m2m

A B

D

C

Figura 8.20


12

Ejemplo 8.16

Por el carril circular sin rozamiento de radio 𝑅 = 1 [𝑚] de la figura,

se lanza una masa m con una velocidad 𝑣 = 2 [𝑚 𝑠⁄ ]. En el tramo

rectilíneo siguiente de longitud 𝑑 = 1,5 [𝑚] el coeficiente de

rozamiento cinético entre la masa y el suelo es 𝜇 = 0,6. Suspendida

de una cuerda y en reposo se encuentra una masa M = 2m.

Cuando la masa m llega a la posición donde se encuentra M choca

elásticamente con ella. Calcular la altura que alcanza la masa M después del choque. Considere que 𝑔 = 9,8 [𝑚 𝑠2⁄ ].

Solución

Utilizando balance de energías entre los puntos P y B,

1

2 𝑚 𝑣2 + 𝑚 𝑔 2 𝑅 = 𝜇 𝑚 𝑔 𝑑 +

1

2 𝑚 𝑣𝐵

2 // × ( 2

𝑚)

𝑣2 + 4 𝑔 𝑅 = 2 𝜇 𝑔 𝑑 + 𝑣𝐵2 → 𝑣𝐵 =

√ 𝑣2 + 2 𝑔 (2 𝑅 − 𝜇 𝑑)

𝑣𝐵 = √ (2)2 + (2)(9,8)[(2)(1) − (0,6)(1,5)]

𝑣𝐵 = 5,1 [𝑚 𝑠⁄ ]

Usando la conservación del momentum y el coeficiente de

restitución,

𝑚 𝑣𝐵 = − 𝑚 𝑢𝐵 + 2 𝑚 𝑢𝐶

𝑣𝐵 = − 𝑢𝐵 + 2 𝑢𝐶 (1)

𝑒 = 𝑢𝐶 + 𝑢𝐵

𝑣𝐵 → 𝑒 𝑣𝐵 = 𝑢𝐶 + 𝑢𝐵

𝑣𝐵 = 𝑢𝐶 + 𝑢𝐵 (2)

Sumando (1) y (2), 2 𝑣𝐵 = 3 𝑢𝐶 → 𝑢𝐶 = 2 𝑣𝐵

3 → 𝑢𝐶 =

(2) (5,1)

3 → 𝑢𝐶 = 3,4 [𝑚 𝑠⁄ ]

Utilizando la conservación de la energía mecánica para la masa “2 m”,

1

2 2 𝑚 𝑢𝐶

2 = 2 𝑚 𝑔 ℎ → ℎ = 𝑢𝐶

2

2 𝑔

ℎ = (3,4)2

(2)(9,8) → ℎ = 0,59 [𝑚 𝑠⁄ ]

Ejemplo 8.17

Una bala de masa m=40 [g] y velocidad vb atraviesa la esfera

de un péndulo de masa M=1,8 [kg], saliendo con una velocidad

vb /2 como se indica en la figura. La esfera pendular cuelga del extremo de la cuerda de longitud L = 1 [m]. ¿Cuál es el

mínimo valor de vb para que el péndulo complete un círculo

completo?

Solución

Por conservación del momentum lineal:

𝑚 𝑣𝑏 = 𝑚 𝑣𝑏

2+ 𝑀 𝑣𝑓 → 𝑚

𝑣𝑏

2= 𝑀 𝑣𝑓

d

v

m

M

A B

R

d

v

m

h

A B

R

..RNM

Bv

Bu

Cu

antes despues

Bv

2Bv

L

Mm

Figura 8.22

Figura 8.21

Figura 8.23

Figura 8.24


13

𝑣𝑏 = 2 𝑀 𝑣𝑓

𝑚 (1)

Para que el péndulo complete el círculo, la energía que posea la esfera debe ser suficiente para alcanzar el punto el punto

A, es decir que, en ese punto el péndulo debe tener

velocidad. Luego por conservación de la energía mecánica,

1

2 𝑀 𝑣𝑓

2 = 1

2 𝑀 𝑣𝑎

2 + 𝑀 𝑔 2 𝐿

𝑣𝑓2 = 𝑣𝑎

2 + 4 𝑔 𝐿 (2)

Utilizando dinámica circular:

𝑇 + 𝑊 = 𝑀 𝑎𝑐 Para el valor mínimo de la velocidad, 𝑇 = 0, luego,

𝑀 𝑔 = 𝑀 𝑣𝑎

2

𝐿

Entonces, 𝑣𝑎2 = 𝑔 𝐿 (3)

Reemplazando (3) en (2), 𝑣𝑓2 = 𝑔 𝐿 + 4 𝑔 𝐿 → 𝑣𝑓

2 = 5 𝑔 𝐿

𝑣𝑓 = √ 5 𝑔 𝐿 (4)

Finalmente (4) en (1), 𝑣𝑏 = 2 𝑀 √ 5 𝑔 𝐿

𝑚

Reemplazando valores:

𝑣𝑏 = (2)(1,8) √ (5)(9,8)(1)

40𝑥10−3 → 𝑣𝑏 = 630 [𝑚 𝑠⁄ ]

8.11. Centro de masas

Cuando se considera un objeto o un sistema de partículas en reposo o en movimiento se define el

centro de masas como el punto donde, a efectos inerciales, se supone concentrada toda la masa de un objeto o de un sistema. El concepto se utiliza para análisis físicos en los que no es indispensable

considerar la distribución de masa. Por ejemplo, esferas, barras, automóviles, etc.

En realidad el centro de masas no es más que una herramienta utilizada por los físicos para

simplificar los problemas. Es uno de esos términos que uno en un principio cree que existe en la realidad y después cuando llega a la Carrera se da cuenta de que no es más que otro invento de los

científicos que permite simplificar los problemas que nos encontramos en el día a día.

En Física, el centroide, el centro de gravedad y el centro de masas pueden, bajo ciertas

circunstancias, coincidir entre sí. En estos casos se suele utilizar los términos de manera

intercambiable, aunque designan conceptos diferentes. El centroide es un concepto puramente geométrico que depende de la forma del sistema; el centro de masas depende de la distribución de

materia, mientras que el centro de gravedad depende también del campo gravitatorio. Así aclarando

conceptos se tiene que:

• el centro de masas coincide con el centroide cuando la densidad del cuerpo es uniforme o cuando la distribución de materia en el sistema tiene ciertas propiedades, tales como

simetría.

• el centro de masas coincide con el centro de gravedad, cuando el sistema se encuentra en un

campo gravitatorio uniforme (el módulo y la dirección de la fuerza de gravedad son

constantes).

Av

CaW

T

Bv

L

M

Av

2Bv

Fv

m

A

Figura 8.25

Figura 8.26

http://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsica

http://es.wikipedia.org/wiki/Centroide

http://es.wikipedia.org/wiki/Centro_de_gravedad

http://es.wikipedia.org/wiki/Centroide

http://es.wikipedia.org/wiki/Campo_gravitatorio

http://es.wikipedia.org/wiki/Densidad_%28f%C3%ADsica%29

http://es.wikipedia.org/wiki/Simetr%C3%ADa

http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%B3dulo_%28vector%29

http://es.wikipedia.org/wiki/Gravedad

http://es.wikipedia.org/wiki/Constante_f%C3%ADsica


14

El centro de masas de un sistema de partículas es un punto que, a muchos efectos, se mueve

como si fuera una partícula de masa igual a la masa total del sistema sometida a la resultante de las fuerzas que actúan sobre el mismo. Se utiliza para describir el movimiento de traslación o el reposo

de un sistema de partículas.

8.12. Vector de posición del centro de masas

El vector de posición del centro de masas se define como:

𝑟𝐶𝑀 = ∑ 𝑚𝑖 𝑟𝑖 𝑛

𝑖=1

∑ 𝑚𝑖𝑛𝑖=1

= 𝑚1 𝑟1 + 𝑚2 𝑟2 + …………… + 𝑚𝑛 𝑟𝑛

𝑚1 + 𝑚2 + …………… 𝑚𝑛

o también

𝑟𝐶𝑀 = ∑ 𝑚𝑖 𝑟𝑖 𝑛

𝑖=1

𝑀 =

𝑚1 𝑟1 + 𝑚2 𝑟2 + …………… + 𝑚𝑛 𝑟𝑛

𝑀 (8.14)

Donde M es la masa total del sistema de partículas. La

posición del centro de masas no tiene por qué coincidir con la

posición de ninguna de las partículas del sistema, es

simplemente un punto en el espacio.

Para una distribución bidimensional de masas, el centro de masas está dado por 𝑟𝐶𝑀 = 𝑥𝐶𝑀 𝑖̂ + 𝑦𝐶𝑀 𝑗̂ , cuyas coordenadas

se expresan como:

𝑥𝐶𝑀 = ∑ 𝑚𝑖 𝑥𝑖 𝑛

𝑖=1

𝑀 =

𝑚1 𝑥1 + 𝑚2 𝑥2 + …………… + 𝑚𝑛 𝑥𝑛

𝑀 (8.15)

𝑦𝐶𝑀 = ∑ 𝑚𝑖 𝑦𝑖 𝑛

𝑖=1

𝑀 =

𝑚1 𝑦1 + 𝑚2 𝑦2 + …………… + 𝑚𝑛 𝑦𝑛

𝑀 (8.16)

Si el sistema de partículas está aislado, “su centro de masas permanece constante en cualquier instante del tiempo”, aún cuando dentro del sistema las partículas se hallen en

movimiento.

Ejemplo 8.18.

Tres masas, de 2 [𝑘𝑔], 4 [𝑘𝑔] y 5 [𝑘𝑔] están localizadas en las posiciones (3 [𝑚], 0 [𝑚]), (5 [𝑚], 0 [𝑚]) y (− 4 [𝑚], 0 [𝑚]), tal como ilustra la figura. Halle la posición del centro de masas del sistema.

Solución utilizando (8.15) y (8.16)

𝑥𝐶𝑀 = (2 [𝑘𝑔])(3 [𝑚]) + (4 [𝑘𝑔])(5 [𝑚]) + (5 [𝑘𝑔])(− 4 [𝑚])

3 [𝑘𝑔] + 4 [𝑘𝑔] + 5 [𝑘𝑔] = 0,5 [𝑚]

𝑦𝐶𝑀 = 0,0 [𝑚]

][mx

][my1m 2m3m

1r

2r

1m

nr

5r

4r

3r

3m

2m

4m

CMr

5m

nm

M

x

y

Figura 8.27

Figura 8.28

http://acer.forestales.upm.es/basicas/udfisica/asignaturas/fisica/dinam1p/dinam1p_1.html

http://acer.forestales.upm.es/basicas/udfisica/asignaturas/fisica/dinam1p/dinam1p_1.html


15

Ejemplo 8.19

La mancuerna de la figura tiene una barra de conexión de masa despreciable. Halle la posición del centro de masas del sistema si m1 = m2 = 2 [kg], y (b) si m2 = 4 [kg] y m2 = 8 [kg].

Solución

(a) Note que cada masa se considera como una partícula localizada en el centro de cada esfera

(centro de masas). Luego, utilizando (2) y (3)

xCM = (2 [kg])(0,25 [m]) + (2 [kg])(0,75 [m])

2 [kg] + 2 [kg] = 0,5 [m]

yCM = (2 [kg])(0,25 [m]) + (2 [kg])(0,25 [m])

2 [kg] + 2 [kg] = 0,25 [m]

xCM = (4 [kg])(0,25 [m]) + (8 [kg])(0,75 [m])

4 [kg] + 8 [kg] = 0,58 [m]

yCM = (4 [kg])(0,25 [m]) + (8 [kg])(0,25 [m])

4 [kg] + 8 [kg] = 0,25 [m]

Ejemplo 8.20

Un hombre y una mujer cuyas masas son mH =75,0 [kg] y mM = 60,0 [kg] se encuentran parados en los

extremos de un bote de 120,0 [kg] de masa y 3,0 [m] de

largo. Si la mujer recorre la distancia x = 1,28 [m] sobre el

bote y se encuentra con el hombre, determine la distancia

que recorre el bote.

Solución

Para resolver este problema se debe tomar en cuenta que si

el sistema es aislado entonces, el centro de masa no cambia

al transcurrir el tiempo, luego,

Para la posición inicial, 𝑥𝐶𝑀 = 𝑚𝐵

𝐿

2+ 𝑚𝐻 𝐿+ 𝑚𝑀 0

𝑚𝐵+ 𝑚𝐻+ 𝑚𝑀

𝑥𝐶𝑀 = 𝑚𝐵

𝐿

2+ 𝑚𝐻 𝐿

𝑚𝐵+ 𝑚𝐻+ 𝑚𝑀 (1)

Para la posición final, 𝑥𝐶𝑀 = 𝑚𝐵 (

𝐿

2+ 𝑑) + 𝑚𝐻 (𝑥 +𝑑)+ 𝑚𝑀 (𝑥+𝑑)

𝑚𝐵+ 𝑚𝐻+ 𝑚𝑀 (2)

Igualando (1) y (2) 𝑚𝐵

𝐿

2 + 𝑚𝐻 𝐿

𝑚𝐵+ 𝑚𝐻+ 𝑚𝑀 =

𝑚𝐵 ( 𝐿

2+ 𝑑) + 𝑚𝐻 (𝑥 +𝑑)+ 𝑚𝑀 (𝑥+𝑑)

𝑚𝐵+ 𝑚𝐻+ 𝑚𝑀

(𝑚𝐵 + 2 𝑚𝐻) 𝐿 = (𝐿 + 2 𝑑) 𝑚𝐵 + 2 𝑚𝐻 (𝑥 + 𝑑) + 2 𝑚𝑀 (𝑥 + 𝑑)

2 𝑚𝐻 𝐿 = 2 𝑚𝐵 𝑑 + 2 𝑑 (𝑚𝐻 + 𝑚𝑀) + 2 𝑥 (𝑚𝐻 + 𝑚𝑀)

𝑚𝐻 𝐿 = 𝑚𝐵 𝑑 + 𝑑 (𝑚𝐻 + 𝑚𝑀) + 𝑥 (𝑚𝐻 + 𝑚𝑀)

𝑚𝐻 𝐿 − 𝑥 (𝑚𝐻 + 𝑚𝑀) = 𝑑 (𝑚𝐵 + 𝑚𝐻 + 𝑚𝑀)

][mx

][my1m

2m

25,0

25

,0

75

,0

][3 m

2/L

0

L

x

0d xL −

2/L

Figura 8.29

Figura 8.31

Figura 8.30


16

𝑑 = 𝑚𝐻 𝐿 − (𝑚𝐻 + 𝑚𝑀) 𝑥

𝑚𝐵 + 𝑚𝐻 + 𝑚𝑀

𝑑 = (75,0 [𝑘𝑔])(3 [𝑚]) − (75,0 [𝑘𝑔]+ 60,0 [𝑘𝑔]) (1,28 [𝑚])

120,0 [𝑘𝑔] + 75,0 [𝑘𝑔]+ 60,0 [𝑘𝑔] → 𝑑 = 0,2 [𝑚]

Ejemplo 8.21

El sistema ilustrado en la figura se deja en libertad a partir del reposo cuando 𝜃 = 30°. Si se desprecia toda forma de rozamiento,

determinar la distancia que recorre el carro de masa 𝑀 = 5 𝑚,

hasta el instante en que la barra homogénea y uniforme de longitud 𝐿 = 1,5 [𝑚], haga contacto con la superficie horizontal del

carro (cuando el punto A llegue a la superficie horizontal del

carro). La barra tiene una masa m.

Solución Inicialmente se calcula la distancia d.

cos 𝜃 = 𝑑

𝐿 2⁄ → 𝑑 =

𝐿

2 cos 𝜃 → 𝑑 =

1,5 [𝑚]

2 cos 30° → 𝑑 = 0,65 [𝑚]

Suponiendo que el centro de masa del carro se encuentra en el punto P, para la posición inicial se

tiene

𝑥𝐶𝑀 = 𝑀 𝑥𝐶 + 𝑚 (𝑑 + 𝑥𝐶)

𝑀 + 𝑚 =

4 𝑚 𝑥𝐶 + 𝑚 (𝑑 + 𝑥𝐶)

4 𝑚 + 𝑚=

𝑚 (4 𝑥𝐶 + 𝑑 + 𝑥𝐶)

5 𝑚

𝑥𝐶𝑀 = 5 𝑥𝐶 + 𝑑

5 (1)

para la posición final 𝑥𝐶𝑀 = 𝑀 0+ 𝑚

𝐿

2

𝑀+𝑚

𝑥𝐶𝑀 = 𝑚

𝐿

2

4 𝑚 + 𝑚

𝑥𝐶𝑀 =

𝐿

2

5 (2)

igualando (1) y (2)

5 𝑥𝐶 + 𝑑

5 =

𝐿

2

5

5 𝑥𝐶 + 𝑑 = 𝐿

2

𝑥𝐶 = 𝐿

2− 𝑑

𝑥𝐶 = 1,5 [𝑚]

2− 0,65 [𝑚]

𝑥𝐶 = 0,10 [𝑚]

M

A

B

m

M

MP

m

M

A

B

m

P

A B

d

Bx

Cx X0

Figura 8.32

Figura 8.33


17

CANTIDAD DE MOVIMIENTO

Opción múltiple

8.1. Con respecto a la cantidad de movimiento, puede decirse que:

a) Es una magnitud vectorial. b) Es el cociente entre la masa del cuerpo y la velocidad que tiene.

c) La variación en la cantidad de movimiento que sufre un cuerpo sometido a la acción

de una fuerza neta F es directamente proporcional al tiempo durante el cual actúa

la fuerza.

d) El producto del tiempo de acción de la fuerza por la variación de la cantidad de movimiento es igual al módulo de la fuerza.

e) Sólo a y c son correctas.

8.2. Un chico que está de pie en el extremo de una balsa flotante que permanece inmóvil

relativa a la orilla, camina hacia el extremo opuesto de la balsa, alejandose de la orilla.

Como consecuencia, la balsa:

a) Permanece inmovil.

b) Se mueve alejandose de la orilla.

c) Se mueve hacia la orilla.

8.3. Un bloque de masa m se traslada hacia la derecha con una rapidez v. Colisiona de frente

con un objeto de masa 3m moviéndose en la dirección opuesta. si los dos objetos se unen,

¿cuál es la rapidez del objeto combinado de masa 4m, después de la colisión?

a) 0 b) v/2 c) v d) 2v

8.4. Un automovil y un camión grande viajan con la misma rapidez, colisionan de frente y quedan unidos. ¿Cuál vehículo se somete al mayor cambio en la magnitud de su cantidad de

movimiento?

a) El automovil.

b) El camión. c) El cambio en la magnitud de cantidad de movimiento es la misma para ambos.

d) Imposible determinar sin más información.

8.5. En una colisión perfectamente inelástica en una dimensión entre objetos. ¿qué condición

única es necesaria de tal modo que toda la energía cinética inicial original se pierda después

de la colisión?

a) Los objetos deben tener cantidades de movimiento con la misma magnitud pero

direcciones opuestas.

b) Los objetos deben tener la misma masa. c) Los objetos deben tener la misma velocidad.

d) Los objetos deben tener la misma rapidez, con vectores de velocidad en direcciónes

opuestas.

8.6. Un pequeño tazón chino tiene una energía cinética E y se desliza a lo largo de una cubierta

sin fricción cuando un empleado, con la sincronización perfecta, coloca una bola de arroz dentro del tazón mientras pasa frente a él. Si el tazón y la bola tienen la misma masa, ¿cuál

es la energía cinética del sistema?

a) 2 E b) E c) E/2 d) E/4 e) E/8


18

8.7. En un juego de billar, una bola roja viaja en la dirección x positiva con rapidez v y la bola

marcada se desplaza en la dirección x negativa con rapidez 3v cuando las dos bolas colisionan de frente. ¿Qué enunciado es verdadero que relaciona sus velocidades

subsecuentes a la colisión? Ignore cualquier efecto de giro.

a) Bola roja: - v; bola marcada: 3v

b) Bola roja: v; bola marcada: 2v c) Bola roja: - 3v; bola marcada: v

d) Bola roja: v; bola marcada: 3v

e) Las velocidades no pueden ser determinadas sin conocer la masa de cada bola.

8.8. Si dos partículas tienen cantidades de movimiento iguales, ¿sus energías cinéticas son

iguales?

a) Si siempre

b) No jamás

c) No, excepto cuando sus masas son iguales.

d) No, excepto cuando sus magnitudes de velocidades son las mismas e) Si, mientras se muevan a lo largo de de líneas paralelas.

8.9. Si dos partículas tienen energías cinéticas iguales, ¿sus cantidades de movimiento son

iguales?

a) Si siempre b) No jamás

c) Si, siempre que sus masas son iguales.

d) Si, si sus masas y direcciones de movimiento son las mismas

e) No, a menos que se estén moviendo perpendicularmente entre si.

8.10. El momento lineal de un sistema se conserva si:

a) no hay fuerzas externas actuando sobre el sistema.

b) no hay fuerzas de rozamiento actuando dentro del sistema.

c) no hay ganancias ni pérdidas de energía cinética por el sistema. d) las fuerzas que actúan sobre el sistema están en equilibrio.

8.11. Una pelota cae al suelo desde una altura h, y rebota hasta una altura de h/2. El módulo del

impulso proporcionado a la pelota durante el impacto está dado por:

a) m √g h + m √2 g h

b) m √g h + m √2

c) m g h + 1

2 m g h

d) m √g h − 1

2 m g h

8.12. Se emplea una pequeña explosión para separar una cápsula espacial de su cohete, una vez agotado el combustible, como

se muestra en la figura: En este proceso, ¿qué le sucede al

momento lineal total y a la energía cinética total del sistema

formado por la cápsula y el cohete?

Momento lineal total Energía cinética total

a) aumenta aumenta

b) aumenta sin cambio

c) sin cambio sin cambio d) sin cambio aumenta


19

8.13. Con respecto a la cantidad de movimiento de un cuerpo, es correcto afirmar todo lo

siguiente, excepto:

a) Tiene dimensión L.M.T -1.

b) Es directamente proporcional a la masa del cuerpo.

c) Es una magnitud escalar.

d) Se mantiene constante si sobre el cuerpo no actúan fuerzas netas. e) Si el cuerpo choca con otro, la cantidad de movimiento del conjunto tiende a

conservarse.

8.14. Una persona está en reposo sobre un estanque helado y sin rozamiento. Lleva en sus manos

un objeto pesado. ¿Cómo podría alcanzar la orilla?

a) Andando.

b) Reptando.

c) Lanzando el objeto horizontalmente.

d) Lanzando el objeto verticalmente hacia arriba.

8.15. Para que se conserve el momento lineal de un sistema de partículas, es necesario que:

a) Se conserve la energía.

b) No actúen fuerzas exteriores.

c) La suma de las fuerzas exteriores sea igual a la suma de las fuerzas interiores.

d) Parte de las partículas estén en reposo.

8.16. Tiene lugar un accidente ferroviario por hundimiento

de un puente. Un vagón queda al borde de un

precipicio con una persona dentro. En la figura se

observa que ésta sostiene un objeto pesado en la

mano. ¿Qué debe hacer para salvar la vida?

a) Moverse hacia la derecha.

b) Moverse hacia la izquierda.

c) Lanzar el objeto hacia la izquierda. d) Lanzar el objeto verticalmente hacia arriba

8.17. Dos astronautas que están situados fuera de una nave espacial y deciden jugar al ping-pong.

A medida que transcurre la partida, los astronautas:

a) Se separan cada vez más.

b) Se acercan cada vez más. c) Permanecen a la misma distancia.

d) No podrían jugar en situación de ingravidez.

8.18. ¿Cuándo se conserva el momento lineal de un sistema de partículas?

a) En choques elásticos. b) En choques inelásticos.

c) En explosiones.

d) En todos los casos anteriores.

8.19. ¿Qué magnitud se conserva en un choque elástico entre dos partículas?

a) Energía cinética del sistema.

b) Energía cinética de cada partícula.

c) Momento lineal de cada partícula.

d) Velocidad de cada partícula.


20

8.20. Una masa de 1 [kg] lleva una velocidad de 10 [m/s] y choca elásticamente con otra masa

idéntica que está en reposo. Siendo P⃗⃗ el momento lineal y Ec la energía cinética del sistema

formado por las dos masas, se cumple:

a) P⃗⃗ y Ec permanecen constantes.

b) P⃗⃗ permanece constante, pero Ec disminuye.

c) P⃗⃗ disminuye, pero Ec se conserva.

d) Tanto P⃗⃗ como Ec disminuyen.

8.21. La velocidad del cambio del momento lineal de un cuerpo es una medida de:

a) La fuerza neta que actúa sobre el cuerpo

b) El impulso que actúa sobre el cuerpo

c) La inercia del cuerpo

d) La aceleración del cuerpo

e) La velocidad del cuerpo

Problemas conceptuales

8.22. Una bola de hule se dispara contra un bloque de madera. ¿En qué caso ejercerá mayor

impulso el hule sobre el bloque, si se queda pegado o rebota?

8.23. Si a un globo lleno de aire se le quita el tapón, le globo sale disparado. Explíquese por qué

sucede esto. ¿Pasaría lo mismo si se dejara escapar en el vacío?

8.24. Suponga que usted golpea una pelota de tenis con la raqueta. La pelota rebota primero en

el piso del campo, pasa sobre la red y cae en el pasto de la orilla. ¿Cuántos impulsos recibió

y cuál fue el mayor de ellos?

8.25. Si dos objetos colisionan y uno está inicialmente en reposo, ¿es posible que los dos queden

en reposo después de la colisión? ¿Es posible para alguno quedar en reposo después de la

colisión? Explique

8.26. Un buen tirador dispara un rifle estando de pie con la culata del arma contra el hombro. Si la cantidad de movimiento hacia delante de una bala es la misma que la cantidad de

movimiento hacia atrás en el arma, ¿por qué no es tan peligroso ser golpeado por el arma

que por la bala?

8.27. En un choque totalmente inelástico, ¿Es posible que la energía cinética final después del

choque sea cero? Cite un ejemplo. ¿Cómo debería ser la cantidad de movimiento inicial para

que esto suceda? ¿Es cero la energía cinética inicial del sistema? Explique.

8.28. ¿Qué representa físicamente el área del gráfico F vs. tiempo?

8.29. Un cuerpo en reposo estalla y se divide en dos partes. Justifica que las velocidades de las

dos partes tienen que tener la misma dirección. Las velocidades, ¿tendrán el mismo sentido

o sentido opuesto?

8.30. Un balón cae desde una altura H, choca elásticamente con el suelo y rebota de manera que

sube hasta la misma altura H. Razona si como consecuencia del choque ha cambiado o no:

a) La cantidad de movimiento del balón. b) La energía cinética del balón.

8.31. Es posible que en un cierto proceso se conserve la cantidad de movimiento de un sistema

de partículas pero que no se conserve la energía cinética? Si la respuesta es negativa,

razónalo. Si la respuesta es afirmativa, pon un ejemplo.


21

8.32. Si dos objetos chocan y uno está inicialmente en reposo, ¿es posible que ambos se

encuentren en reposo después del choque? ¿Es posible que uno esté en reposo después del

choque? Explique.

8.33. En un choque perfectamente elástico entre dos partículas, ¿la energía cinética de cada

partícula cambia como resultado del choque?

8.34. Considere un choque perfectamente inelástico entre un auto y un camión. ¿Qué vehículo

pierde más energía cinética como consecuencia del choque?

Falso verdadero

8.35. Se produce una explosión en un sistema aislado. Justifica cuál o cuáles de les siguientes

afirmaciones son correctas:

a) No varía ni su cantidad de movimiento ni su energía cinética. R: F

b) Varía su cantidad de movimiento pero no su energía cinética. R: F

c) Varían su cantidad de movimiento y su energía cinética. R: F

d) No varía su cantidad de movimiento pero sí su energía cinética. R: V

8.36. Dos cuerpos de masas m1 = 2 [kg] y m2 = 5 [kg], se encuentran inicialmente en reposo. Sobre cada cuerpo se ejerce un impulso de 3 [N*s]. De acuerdo con dicha información,

analiza los siguientes enunciados y clasifícalos según sean falsos o verdaderos:

a) La cantidad de movimiento adquirida por m1 es igual a la adquirida por m2.

b) La cantidad de movimiento adquirida por m1 es mayor a la adquirida por m2. c) La velocidad adquirida por m1 es mayor que la velocidad adquirida por m2.

Impulso

8.37. Una pelota de 0,6 [kg] se lanza hacia la izquierda contra una pared a una velocidad de 50

[m/s]. Rebota hacia la derecha con una velocidad de 40 [m/s]. Calcular el impulso de la

pared sobre la pelota.

8.38. Un patinador de 80 [kg] de masa le aplica a otro de 50 [kg] de masa una fuerza de 25 [kgf]

durante 0,5 [s], ¿qué velocidad de retroceso adquiere el primero y que velocidad final toma

el segundo?

8.39. Un desprevenido conductor avanza a 80 [km/h] en un auto cuya masa es de 1 200 [kg] y

choca repentinamente con un árbol. Si el auto se detiene en 2 [s]. Determinar:

a) La variación en la cantidad de movimiento del auto.

b) El impulso que ejerce el árbol sobre el auto hasta detenerlo.

c) La fuerza con que el auto es rechazado por el árbol.

8.40. Un automóvil se detiene en un semáforo. Cuando la luz se pone en

verde, el automóvil acelera, aumentando su rapidez desde 0 hasta

5,2 [m/s] en 0,832 [s]. ¿Cuáles son las magnitudes del impulso lineal

y la fuerza promedio total experimentada por un pasajero de 70 [kg]

en el automóvil durante el tiempo en que el automóvil acelera?

8.41. Un automóvil de 1 500 [kg] de masa choca contra un muro, como se

ve en la figura. La velocidad inicial V0 = - 15 [m/s]. La velocidad final

VF = - 2,6 [m/s]. Si el choque dura 0,15 [s]. Encuentre el impulso

debido a este y la fuerza promedio ejercida sobre el automóvil


22

8.42. El frente de 1,2 [m] de un automóvil de 1 400 [kg] está diseñado como una “zona de

pliegue” que se colapsa para absorber el choque de la colisión. Si un automóvil que viaja a

25 [m/s] se detiene uniformemente en 1,2 [m]. REVISAR

a) ¿Cuánto tiempo transcurre después de la colisión?

b) ¿Cuál es la magnitud de la fuerza promedio en el automóvil?

c) ¿Cuál es la aceleración del automóvil? Exprese la aceleración como un múltiplo de la aceleración de la gravedad.

8.43. Sobre un cuerpo de masa igual a 15 [kg] que se desplaza con MRU a 6 [m/s], actúa una

fuerza neta constante de 8 [N] colineal y de igual sentido que el desplazamiento. La

velocidad final del cuerpo es de 12 [m/s]. ¿Durante cuanto tiempo fue aplicada la fuerza.

8.44. Una persona de 60 [kg] salta desde una altura de 1,8 [m]. La aceleración de la gravedad

es de 9,8 [m/s2] y el tiempo transcurrido entre el momento en que sus pies tocan el piso y

el momento en que su centro de masa se detiene completamente es de 0,5 [s]. Calcular la

fuerza de reacción del piso, supuesta constante que actúa sobre el.

Momento

8.45. Un cuerpo de 5 [kg] de masa tiene una velocidad vertical en sentido ascendente de 4

[m/s] en un punto “P” situado a cierta altura. El cuerpo asciende hasta que su velocidad es

cero, y luego cae libremente, teniendo una cantidad de movimiento de 76,7 [kg m/s] en el

instante previo a tocar el piso. Calcule:

a) El valor absoluto de la variación en la cantidad de movimiento entre el instante en

que pasó por el punto “P” en el ascenso y el momento previo a tocar el piso.

b) El tiempo total transcurrido en el intervalo señalado en el ítem a).

c) Suponiendo que el cuerpo fue lanzado hacia arriba desde el plano del piso, calcule la variación de la cantidad de movimiento desde el instante en que fue lanzado

hasta el instante en que toca nuevamente el piso.

8.46. Con una escopeta se dispara un cartucho de 100 perdigones de 0,4 [g] cada uno, los que

adquieren una velocidad de 280 [m/s], ¿cuál es la velocidad de retroceso del arma si pesa

5 [kg]?

8.47. Un jugador de béisbol utiliza una maquina

lanzadora para ayudarse a mejorar su promedio de

bateo. Coloca la máquina de 50 [kg]. Sobre un

estanque congelado, como se puede ver en la figura La maquina dispara horizontalmente una

bola de béisbol de 0,15 [kg]. Con una velocidad de 36 𝑖 ̂ [m/s]. ¿Cuál es la velocidad de retroceso de la

maquina?

8.48. Un hombre de 80 [kg] que se encuentra de pie sobre una superficie helada arroja

horizontalmente una pelota de 100 [g] con una velocidad de 25 [m/s].

a) ¿En qué dirección y con qué velocidad comenzara a moverse el hombre? b) Si el hombre arroja 4 de esas pelotas cada 3 [s], ¿cuál es el impulso lineal que

experimenta en ese tiempo?

c) ¿Cuál es la fuerza media que actúa sobre él (se supone nulo el rozamiento del

hombre con el hielo)?

8.49. Un rifle con un peso de 30 [N] dispara una bala de 5 [g] con una rapidez de 300 [m/s]

a) Hallar la rapidez de retroceso del rifle.


23

b) Si un hombre de 700 [N] sostiene firmemente el rifle contra su hombro, encuentre la

rapidez de retroceso del hombre y el rifle.

8.50. Se monta un cañón sobre una plataforma de ferrocarril, con la apertura elevada 30° y

apuntando en la dirección de la via. El cañón dispara un proyectil de 10 [kg] a 1 [km/s].

a) Si la plataforma y el cañón juntos tienen una masa de 360 [kg] (sin incluir el

proyectil), ¿cuál es la rapidez de retroceso de la plataforma? b) En este problema, parece que la cantidad de movimiento en la dirección “y” no se

conserva. Explique qué le sucede.

8.51. Una persona de 65 [kg] lanza una bola de nieve de 0,045 [kg] hacia adelante con una

rapidez respecto de la tierra de 30 [m/s]. Una segunda persona de 60 [kg], atrapa la bola de nieve, las dos personas están sobre patines. la primera persona inicialmente se está

moviendo hacia adelante con una rapidez de 2,5 [m/s] y la segunda persona inicialmente

está en reposo. ¿Cuáles son las velocidades de las dos personas después de intercambiar

la bola de nieve? Ignore la fricción entre los patines y el hielo.

8.52. Un arquero dispara una flecha hacia un objetivo de 300 [g] que se desliza en sentido contrario con una rapidez de 2,5 [m/s] sobre una superficie uniforme, resbaladiza. La

flecha de 22,5 [g] se dispara con una rapidez de 35 [m/s] y pasa a través del objetivo,

que se detiene por el impacto. ¿Cuál es la rapidez de la flecha después de pasar a través

del objetivo?

8.53. Gemelas idénticas, cada una con masa de 55 [kg] están sobre patines de hielo y en reposo

sobre un lago congelado, es posible que se considere sin fricción. La gemela A lleva un

morral de 12 [kg] y lo lanza horizontalmente a 3 [m/s] hacia la gemela B. Ignorando

efectos de gravedad, ¿cuáles son las magnitudes de velocidad consecutivas de la gemela A

y la gemela B?

8.54. Un cañón de 2 500 [kg] de peso dispara un proyectil de 30 [N] de peso en una dirección

que forma 30° con la horizontal. Como consecuencia, el cañón retrocede con una

velocidad de 0,8 [m/s]. Suponiendo nulo el rozamiento, calcular la velocidad que lleva el

proyectil al abandonar el cañón.

8.55. Una vasija de 50 [g] se encuentra en reposo. Repentinamente explota, dirigiendose en

sentidos opuestos lod dos fragmentos en que se dividio. Si la velocidad de uno de ellos es

3 veces la velocidad del otro fragmento en el instante de la explosión, calcular la masa de

cada uno de ellos.

8.56. Demostrar que la energía cinética “K” y la magnitud (módulo) de la cantidad de

movimiento p de una partícula de masa m, están relacionadas por la expresión K = p2/2m.

Con ésta última expresión analizar lo siguiente:

a) Un pájaro de masa 0,04 [kg] y una pelota de béisbol de masa 0,145 [kg] tienen la misma energía cinética ¿cuál tiene mayor magnitud de cantidad de movimiento?

b) Un hombre de 700 [N] y una mujer de 450 [N] tienen la misma cantidad de

movimiento ¿cuál tiene mayor energía cinética?

8.57. Un cuerpo de 8,0 [kg], se desplaza paralelamente al eje X con una rapidez de 2,0 [m/s], sin que actúe sobre él ninguna fuerza externa. Repentinamente ocurre una explosión que

lo fragmenta en dos pedazos de igual masa. Si el sistema recibe como consecuencia de la

explosión una energía que hace duplicar la velocidad de uno de los trozos y suponiendo

que ninguno de los fragmentos cambia de dirección respecto al movimiento original. Determina la velocidad de cada uno de los fragmentos inmediatamente después de la

explosión.


24

8.58. Un arquero está de pie y en reposo sobre hielo sin fricción y

dispara una flecha de 0,5 [kg] horizontalmente a 50 [m/s]. La masa combinada del arquero y el arco es 60 [kg]. ¿Con que

velocidad se mueve el arquero a través del hielo después de

disparar la flecha?

8.59. Luis y Ana patinan juntos a 3 [m/s]. Luis insiste en preguntar a Ana cuanto pesa. Molesta, ella se empuja de Luis de modo que se acelera hasta moverse a 4 [m/s] y él se frena

hasta moverse a 2,25 [m/s] en la misma dirección. La fricción, en el sentido físico, es

despreciable en este drama. Si Luis pesa 700 [N] ¿Cuánto pesa Ana?

Impulso - momento

8.60. ¿Qué impulso ejerce una pared sobre una pelota de 0,1 [kg] que rebota en ésta con una

velocidad inicial de 50 [m/s]?

8.61. La bala de un rifle de masa 200 [g], su velocidad de salida es de 100 [m/s] y la longitud

del cañón es de 160 [cm]. ¿Cuál es la fuerza aceleradora de la bala?

8.62. Calcular la velocidad final que alcanzará un proyectil sabiendo que la fuerza impulsora vale

20 [N], el tiempo de aplicación es de 30 [ms] y la masa del proyectil es de 3 [g].

8.63. Un hombre colocado sobre patines arroja una piedra que pesa 80 [N] mediante una fuerza

de 15 [N] que actúa durante 0,8 [s], ¿con qué velocidad sale la piedra y cuál es la

velocidad de retroceso del hombre si su masa es de 90 [kg]?

8.64. Un cuerpo de 4 [kg], se mueve sobre el eje “X” con velocidad de 6 [m/s]. Sí se ejerce una

fuerza F = - 10 [N] durante 5 (s). ¿Cuál es la velocidad final?:

8.65. A un carrito que puede deslizarse libremente sobre una pista horizontal se fija un rifle. La

masa del rifle y el carrito es m1 = 10 [kg]. Se dispara horizontalmente el rifle hacia la derecha. La trayectoria de la bala es paralela a la pista. La bala de masa m2 = 0,005 [kg],

recorre una distancia de 50 [m] en 0,2 [s] a partir del punto de partida. Calcular qué

distancia habrá recorrido el carrito (con el rifle unido a él) durante los 0,2 [s], y en qué

sentido. Resp: 0,025 [m]

8.66. Una pelota de 10 [kg] cae verticalmente sobre el piso con una velocidad de 25 [m/s],

rebota con una velocidad inicial de 10 [m/s].

a) ¿que impulso obra sobre la pelota durante el contacto?

b) Si la pelota esta en contacto con el piso 0,02 [s] ¿cuál es la fuerza media ejercida

por el piso?

8.67. Un peso de 2,9 [TM] que cae desde una distancia de 6,5 [ft], se hunde 1,5 [in], en un

montón de tierra de 0,5 [TM], suponiendo que la colisión. Peso-montón de Tierra,

completamente inelástica, halle la fuerza promedio de resistencia ejercida por la Tierra.

8.68. Una pelota de 0,5 [kg] de masa se deja caer desde una altura de 2 [m]. Rebota contra el piso y se eleva a una altura de 1,4 [m]. Si la pelota estuvo en contacto con el piso por

0,08 [s], ¿qué fuerza promedio ejerció el piso en la pelota?


25

Choque elástico

8.69. Dos cuerpos se mueven uno hacia el otro sobre una superficie sin rozamiento, según los datos del esquema. Sabiendo que el cuerpo “B” se aleja con velocidad final de + 4 [m/s].

¿Cuál es la velocidad final de “A”?

8.70. Dos bolas de masas 15 [g] y 5 [g] se mueven en la misma dirección y distinto sentido con

velocidades de 10 [m/s] y 5 [m/s] respectivamente. Calcular sus velocidades después del

choque elástico frontal.

8.71. Resolver el mismo problema anterior suponiendo que las bolas avanzan en el mismo

sentido y que la bola más rápida alcanza a la más lenta.

8.72. Dos pelotas idénticas chocan frontalmente. Una con una velocidad de 0,75 [m/s] y la otra con una velocidad de 0,43 [m/s]. Si el choque es perfectamente elástico, ¿cuál es la

velocidad inicial de cada pelota?

8.73. Un objeto de 5 [g] que se mueve hacia la derecha a 20 [cm/s] realiza una colisión elástica

de frente con un objeto de 10 [g] que esta inicialmente en reposo. Hallar:

a) La velocidad de cada objeto después de la colisión. b) La fracción de la energía cinética inicial transferida al objeto de 10 [g]

8.74. Una partícula de 2 [g] que se mueve a 8 [m/s] realiza una colisión de frente

perfectamente elástica con un objeto de 1 [g] en reposo-

a) Determine la rapidez de cada partícula después de la colisión. b) Calcule la rapidez de cada partícula después de la colisión si la partícula inmóvil

tiene una masa de 10 [g].

c) Determine la energía cinética final de la partícula incidente de 2 [g] en la situación

descrita en los incisos a) y b). ¿En qué caso la partícula incidente pierde más energía cinética?

8.75. Dos bloques de masas m1 y m2 se aproximan entre si en una mesa horizontal con la

misma rapidez constante v0, que mide un observador en el laboratorio. los bloques se

someten a una colisión perfectamente elástica y se observa que m1 se detiene pero m2 se

traslada opuesto a su movimiento original con alguna rapidez constante v.

a) Establezca la relación de las dos masas, m1/m2.

b) ¿Cuál es la relación de sus magnitudes de velocidades v/v0?

Choque plástico

8.76. Un cuerpo de 8 [kg] de masa tiene una velocidad de 10 [m/s] y choca frontalmente con un

objeto de 12 [kg] que se encuentra parado. Si el choque es totalmente inelástico, calcula

a) La velocidad del sistema después del choque.

b) La pérdida de energía en el proceso.

8.77. Un proyectil de 15 [g] de masa viaja a 800 [m/s] e impacta en un bloque de madera, inicialmente en reposo ubicado sobre un riel con rozamiento nulo. Como resultado del

impacto, el conjunto formado por el proyectil y el bloque tiene una velocidad de 4,77

[m/s]. Por lo tanto la masa del bloque es aproximadamente de:


26

8.78. Un automóvil de 1 800 [kg]. Detenido en un semáforo es golpeado por atrás por un auto

de 900 [kg]. Y los dos quedan enganchados. Si el carro mas pequeño se movía 20 [m/s]

antes del choque. ¿Cual es la velocidad de la masa enganchada después de este?

8.79. Una disco de hockey (B) que está en reposo sobre una superficie lisa de hielo es golpeada

por una segunda bola (A), de igual masa (m=250 [g]), que se mueve inicialmente a 24

[m/s] y desviada 30º de su dirección inicial. La bola (B) adquiere una velocidad que forma un ángulo de 45º con la velocidad inicial. Calcula la velocidad de cada bola después del

choque y decir si es elástico o no, justificando la respuesta.

8.80. Una masa de 16 [g] se mueve en la dirección positiva a 30 [cm/s] mientras que una masa

de 4 [g] se mueve en la dirección negativa 50 [cm/s]. Chocan de frente y permanecen

unidas. Encuéntrese su velocidad después del choque.

8.81. Un hombre de masa m1 = 70 [kg] esta patinando con v1 = 8 [m/s] detrás de su esposa de

masa m2 = 50 [kg], quien esta patinando a v2 = 4 [m/s], En lugar de rebasarla, sin darse

cuenta colisiona con ella. Se sujeta de la cintura de su esposa y mantienen el equilibrio.

Resuelva la ecuación de cantidad de movimiento para vf.

8.82. Un vagón de ferrocarril de masa M se mueve con una rapidez v1, choca y se une con dos

vagones acoplados, cada uno de la misma masa M y se mueven en la misma dirección con

una rapidez v2.

a) ¿Cuál es la rapidez vf de los tres vagones unidos después de la colisión en términos de v1 y v2?

b) ¿Cuánta energía cinética se pierde en la colisión? Responda en términos de M, v1 y

v2.

8.83. Un proyectil de 100 [g] que se mueve con una velocidad de 500 [m/s] se dirige horizontalmente y choca contra un bloque de 100 [kg] que se movía en la misma dirección

y sentido contrario con una velocidad de 5 [m/s]. Si se desprecia el rozamiento y teniendo

en cuenta que el proyectil queda alojado en el bloque, determinar la velocidad final del

sistema bloque-proyectil. Resp: 4,49 [m/s]

8.84. Cuando un proyectil de masa 10 [g] choca contra un péndulo balístico de masa 2 [kg], se

observa que el centro de gravedad del péndulo se eleva una altura vertical de 10 [cm]. La

bala queda incrustada en el péndulo. Calcular la velocidad del proyectil. Resp: 284 [m/s]

8.85. Un hombre de 70 [kg] de masa, que corre a una velocidad de 7,0 [m/s] alcanza a un carro

de 30 [kg] de masa que se desplaza a una velocidad de 2,0 [m/s] y salta sobre él. ¿Con

que velocidad marcha el carro con el hombre arriba?


27

8.86. Una barca está en reposo, Juan de 70 [kg], salta desde la proa con una rapidez de 4 [m/s]

y, justo en el mismo instante, Beatriz, de 50 [kg] lo hace desde la popa con una rapidez de 3 [m/s]. Calcula la velocidad de la barca inmediatamente después de que ambos hayan

saltado, sabiendo que la masa de la misma es de 100 [kg].

8.87. Un proyectil de 5 [g] se dispara horizontalmente contra un bloque de madera de 3 [kg],

que se encuentra en reposo sobre una superficie horizontal. El coeficiente de rozamiento dinámico entre el bloque y la superficie es μ = 0,2. El proyectil, después de chocar,

permanece empotrado en el bloque y se observa que este último desliza 25 [cm] sobre la

superficie hasta pararse. ¿Cuál era la velocidad del proyectil?

Choque inelástico

8.88. Dos carros de mina, de igual masa, se desplazan sobre una vía recta horizontal. El carro A

tiene una rapidez de 20 y el B, de 10 [ft/s]. Si el coeficiente de restitución entre ellos es 0,6, diga cuál será la velocidad de cada uno después del impacto. (R: vA = 12 [ft/s] →;

vB = 18 [ft/s] →)

8.89. Un objeto de 25 [g] que se mueve a la derecha a 20 [cm] alcanza y colisiona

inelásticamente (e = 0,5) con un objeto de 10 [g] moviéndose en la misma dirección a 15

[cm/s]. Hallar la velocidad de cada objeto después de la colisión y cuanta energía se

perdió en la colisión.

8.90. Una bola de billar que rueda a través de una mesa a 1,50 [m/s], hace una colisión inelástica de frente con una bola idéntica. Hallar la rapidez de cada bola después de la

colisión, si el coeficiente de restitución es de 0,8:

a) Cuando la segunda bola esta inicialmente en reposo.

b) Cuando la segunda bola se está moviendo hacia la primera con una rapidez de 1 [m/s].

c) Cuando la segunda bola está alejándose con una rapidez de 1 [m/s]

8.91. Si el bloque de masa 𝑚 de la figura se mueve con una rapidez 𝑣0 = 2 [𝑚 𝑠⁄ ] y experimenta

una colisión inelástica con la pared, con 𝑒 = 0,75, ¿qué rapidez tendrá después del choque? 𝑣 = 1,5 [𝑚/𝑠]

8.92. Un bloque de masa 𝑚1 = 2,5 [𝑘𝑔] está en reposo sobre una superficie horizontal lisa como

indica la figura. Un bloque de masa 𝑚2 se pone en movimiento con una velocidad 𝑣02 =

2 [𝑚/𝑠], colisiona con la pared y luego con la masa 𝑚1. Si todos los choques son

inelásticos, con 𝑒 = 0,8, determine el valor de 𝑚2 de tal manera que después del choque

las dos masas tengan la misma rapidez. m2 = 0,71 [kg]

𝑚

�⃗�0

𝑚1

�⃗�02

𝑚2


28

8.93. Una esfera de 3 [kgf] de peso cae libremente desde 8 [m] de altura, choca contra el suelo

y rebota elevándose verticalmente hasta 7 [m] de altura. Sin tener en cuenta el rozamiento, calcular la variación de la cantidad de movimiento producida en el choque con

el suelo y el coeficiente de restitución.

Centro de masa

8.94. Un niño de 25 [kg] está a 16 [m] de un hombre de 80 [kg] de masa. ¿Dónde se encuentra el centro de masa? R: 12,2 [m] del niño, y 3,8 [m] del hombre.

8.95. Calcula el centro de masas de las tres partículas: 3,0 [kg] en el punto (0 [m];0 [m]); 8,0

[kg] en el (1[m] ;2 [m]) y 4,0 [kg] en el (2 [m]; 1 [m]). (1,1 [m]; 1,3 [m])

8.96. Cinco niños de 80 [lb] cada uno, corren juntos desde un extremo de un carro plataforma que inicialmente está en reposo y sin frenos, hasta alcanzar una rapidez, relativa al carro,

de 25 [ft/s]. Determine la rapidez que adquiere el carro, sabiendo que su peso es de 60

[kips]. (R: 0,1656 [ft/s])

8.97. Una camioneta de 1200 [kg] avanza en una autopista recta a 12 [m/s]. Otro auto, de

masa 1800 [kg] y rapidez 20 [m/s], tiene su centro de masa 40 m adelante del centro de masa de la camioneta (ver figura). a) Determine la posición del centro de masa del

sistema formado por los dos vehículos. b) Calcule la magnitud de la cantidad total de

movimiento del sistema, a partir de los datos anteriores. c) Calcule la rapidez del centro

de masa del sistema. d) Calcule la cantidad de movimiento total del sistema, usando la

rapidez del centro de masa. Compare su resultado con el de la parte (b).

8.98. Una mujer de 45 [kg] está parada en una canoa de 60 [kg] y 5 [m] de longitud, y comienza

a caminar desde un punto a 1 [m] de un extremo hacia un punto a 1 [m] del otro extremo

(ver figura). Si puede despreciarse la resistencia al movimiento de la canoa en el agua,

¿Qué distancia se mueve la canoa?

8.99. Un hombre de masa “𝑚“ está de pie sobre el extremo de una tabla de masa “𝑀 = 2 𝑚“ y

9 [𝑚] de longitud, que se encuentra inicialmente en reposo, como se observa en la figura 16.

Si camina hacia el otro extremo y se detiene, determinar la distancia que se mueve la tabla

respecto de tierra. Suponga que la fricción entre la tabla y el piso es despreciable.

𝑀

𝑚

𝑚

𝑚𝐴 𝑚𝐵


29

8.100. Dos personas de masas 𝑚𝐴 = 80 [𝑘𝑔] y 𝑚𝐵 = 65 [𝑘𝑔] se encuentran parados en los extremos

de un bote de masa 𝑚 = 50 [𝑘𝑔] y longitud 𝐿 = 6 [𝑚] como se observa en la figura 19.

Despreciando la resistencia del agua, determinar el sentido y la distancia que se desplaza el bote, si las personas cambian de posición. Hacia la izquierda; d = 0,46 [m]

8.101. Una chica de 45 [kg] está de pie sobre un tablón de 150 [kg] que esta originalmente en reposo, libre de deslizamiento sobre un lago congelado que es una superficie plana, sin

fricción. La chica empieza a caminar a lo largo del tablón con una velocidad constante de

1,5 [m/s] a la derecha relativa del tablon.

a) ¿Cuál es su velocidad relativa a la superficie de hielo? b) ¿Cuál es la velocidad del tablón relativa a la superficie de hielo?

8.102. Una muchacha de 45,0 [kg] de masa salta hacia fuera desde la proa de una lancha de 300

[kg] que está inicialmente en reposo. Si la velocidad de la muchacha es de 6,00 [m/s]

hacia la derecha, ¿cuál será la velocidad de la lancha después del salto? R: 0,90 [m/s]

hacia la izquierda.

Combinados

8.103. Un hombre de 730 [N] permanece erguido a la mitad de un estanque congelado de 5 [m]

de radio. Es incapaz de alcanza la otra orilla debido a la falta de fricción entre sus zapatos y

el hielo. Para vencer esta dificultad, lanza su libro de física de 1,2 [kg] horizontalmente

hacia la orilla norte con una rapidez de 5 [m/s]. ¿En qué tiempo llega a la orilla sur?

8.104. Se dispara horizontalmente una bala de 0,0045 [kg] de masa sobre un bloque de 1,8 [kg]

de masa que está en reposo sobre una superficie horizontal, luego del impacto el bloque se

desplaza 1,8 [m] y la bala se detiene en él. Si el coeficiente de rozamiento cinético entre el

bloque y la superficie es de 0,2, ¿cuál era la velocidad inicial de la bala?

8.105. Se dispara una bala de 0,01 [kg] de masa contra un péndulo balístico de 2 [kg] de masa, la

bala se incrusta en el péndulo y éste se eleva 0,12 [m] medidos verticalmente, ¿cuál era la

velocidad inicial de la bala?

8.106. Una partícula A de masa mA se encuentra sujeta por medio de un resorte comprimido a la

partícula B de masa 2 mA, si la energía almacenada en el resorte es de 60 [J] ¿qué energía

cinética adquirirá cada partícula luego de liberarlas?

8.107. Un bloque de madera de masa m2 se halla en reposo

sobre una superficie horizontal según muestra la figura. El coeficiente de rozamiento cinemático es m. El extremo

libre de un resorte se fija al bloque y el otro extremo a

una pared. El resorte se encuentra inicialmente sin

deformación. Una bala de masa m1 que se desplaza horizontalmente alcanza el bloque y se incrusta en él.

Hallar la velocidad inicial v0 de la bala en función del

máximo acortamiento del resorte, m1 m2, k y m .

8.108. Un proyectil de masa 2 [g], que se mueve horizontalmente a la velocidad de 500 [m/s], es disparado contra un bloque de madera de masa 1 [kg]. , inicialmente en reposo sobre una

superficie horizontal. El proyectil atraviesa el bloque y sale de él con su velocidad reducida a

100 [m/s]. El bloque desliza una distancia de 20 [cm] sobre la superficie a partir de su

posición inicial.

a) ¿Cuál es el coeficiente cinético de rozamiento entre el bloque y la superficie? b) ¿Cuál ha sido la disminución de energía cinética del proyectil?


30

c) ¿Cuál era la energía cinética del bloque un instante después de ser atravesado por el

proyectil? Resp: 0,16 , 240 J , 0,32 J

8.109. Un proyectil de 10 [g] lleva una velocidad de 500 [m/s] y después de atravesar una delgada

lámina su velocidad es de 50 [m/s]. Calcular:

a) Su cantidad de movimiento inicial.

b) Su cantidad de movimiento final. c) Su cambio de cantidad de movimiento.

d) La pérdida de su energía cinética.

8.110. Dos partículas, una de las cuales tiene el doble de masa que la otra, se mantienen unidas

por medio de un resorte comprimido entre ellas. La energía almacenada en el resorte es de

60 [J]. ¿Qué cantidad de energía cinética tiene cada partícula después que se las suelta?

8.111. Una pelota de 0,10 [kg] se lanza directo hacia arriba con una rapidez inicial de 15 [m/s].

Hallar la cantidad de movimiento de la pelota:

a) En su altura máxima.

b) A la mitad de su altura máxima.

8.112. Una bala de 10 [g] choca contra un bloque de 990 [g] que se encuentra en reposo sobre

una superficie horizontal lisa, quedando incrustada en él. El bloque está unido a un resorte cuya constante elástica es de 1 [N/m]. Si el choque comprime el muelle 10 [cm], hallar la

velocidad del bloque inmediatamente después del choque y la velocidad inicial de la bala.

8.113. El martillo de 500 [kg] de una piloteadora se suelta desde el reposo, 1,5 [m] arriba de un

pilote de 300 [kg] parcialmente hincado. Se observa que el martillo no rebota al golpear el pilote. Determine la rapidez conjunta de los cuerpos inmediatamente después del impacto.

(R: 3,39 [m/s])

8.114. Una bala de 5 [g] se dispara horizontalmente a un bloque de madera de 1,2 [kg] que

descansa en una superficie horizontal. El coeficiente de fricción cinética entre el bloque y la

superficie es de 0,2. La bala queda incrustada en el bloque, que se desliza 0,23 [m] por la

superficie antes de detenerse. ¿Qué rapidez tenía la bala inicialmente?

8.115. Fotografias estroboscópicas de alta velocidad muestran que el frente de un palo de golf de

200 [g] está viajando a 55 [m/s] justo antes de que golpee una pelota de golf de 46 [g] en

reposo sobre una te. Después de la colisión el frente del bastón viaja (en la misma

dirección) a 40 [m/s]. Encuentre la rapidez de la pelota de golf justo después del impacto.


31

8.116. Una bala de 70 [g] se dispara en un péndulo balístico de 1,5 [kg]. La bala emerge con una

rapidez de 200 [m/s] y el bloque se eleva a una altura máxima de 12 [cm]. Calcular la

rapidez inicial de la bala.

8.117. En una función de Broadway, un autor de 80 [kg] oscila de un cable de 3,75 [m] de largo

está en posición horizontal cuando inicia. En la parte inferior de su arco, levanta a su

compañera de 55 [kg] en una colisión inelástica. ¿Cuál es la altura máxima que alcanzan

después de su oscilación hacia arriba?

8.118. Se dispara una bala de 0,03 [kg] verticalmente a 200 [m/s] contra una pelota de béisbol de

0,15 [kg] inicialmente en reposo. ¿después de la colisión, qué tan alto se elevan la bala y

pelota combinadas, suponiendo que la bala se incrusta en la pelota?

8.119. Se dispara una bala de 8 [g] dentro de un bloque de 250 [g] que está inicialmente en

reposo en el borde de una mesa de 1 [m] de altura. La bala permanece en el bloque y

después del impacto el bloque aterriza a 2 [m] de la parte inferior de la mesa. Calcule la

rapidez inicial de la bala.

8.120. Considere una pista sin fricción como se muestra en la figura, un bloque de masa m1 = 5

[kg] se libera desde “A”. Realiza una colisión de frente elástica en “B” con un bloque de masa m2 = 10 [kg] que inicialmente está en reposo. Calcule la altura máxima a la que se

eleva m1 después de la colisión.

8.121. Una bala de masa m y rapidez v pasa totalmente a través de una plomada de masa M de un

péndulo como se muestra en la figura. La bala emerge con una rapidez de v/2. La plomada del péndulo está sostenida por una varilla de longitud l y masa despreciable. ¿Cuál es el

valor mínimo de v tal que la plomada describa un círculo vertical completo?


32

8.122. Un grano azul de 0,4 [kg] se desliza en un alambre curvo sin fricción, iniciando desde el

reposo en el punto “A”. En el punto “B” el grano colisiona elásticamente con una bola azul de 0,6 [kg] en reposo. Calcule la altura máxima que la bola azul se eleva cuando se mueve

hacia arriba del alambre.

8.123. Un bloque de 0,5 [kg] se libera desde el reposo en la parte superior de una pista sin fricción 2,5 [m] arriba por encima de una mesa. Después colisiona elásticamente con un objeto de 1

[kg] inicialmente en reposo sobre la mesa, como se muestra en la figura.

a) Calcule las velocidades de los dos objetos justo después de la colisión.

b) ¿Después de la colisión, qué tan alto por encima de la pista el objeto de 0,5 [kg] viaja de regreso?

c) ¿Qué tan lejos desde la parte inferior de la mesa aterriza el objeto de 1 [kg] dado

que la altura de la mesa es de 2 [m]

d) ¿Finalmente qué tan lejos de la parte inferior de la mesa aterriza el objeto de 0,5 [kg]

8.124. Un bloque pequeño de masa m1 = 0,5 [kg] se libera desde el reposo en la parte superior de

una cuña curva con una masa m2 = 3 [kg], que se coloca sobre una superficie horizontal sin fricción como en la figura. Cuando el bloque deja la cuña, se mide su velocidad que es de 4

[m/s] hacia la derecha.

a) ¿Cuál es la velocidad de la cuña después que el bloque alcanza la superficie

horizontal? b) ¿Cuál es la altura h de la cuña?


33

8.125. Un cañón está unido rígidamente a un transporte, que puede moverse a lo largo de una vía

horizontal, pero conectado a un poste por un resorte largo, al principio sin estirar y con constante de fuerza k = 2*104 [N]/m], como en la figura. El cañón dispara un proyectil de

200 [kg] a una velocidad de 125 [m/s] dirigido 45° sobre la horizontal.

a) Si la masa del cañón y su carro es de 5 000 [kg], encuentre la rapidez de retroceso

del cañón. b) Determine la máxima extensión del resorte.

c) Encuentre la máxima fuerza que el resorte ejerce sobre el carro.

d) Considere el sistema formado por el cañón, carro y el proyectil. ¿se conserva la

cantidad de movimiento de este sistema durante el disparo? ¿Por qué sí o por qué no?

8.126. Un proyectil de 𝑚 = 20 [𝑔] de masa se dispara con una rapidez 𝑣0 = 200 [𝑚 𝑠⁄ ] contra un

bloque de masa 𝑀 = 8 [𝑘𝑔], inicialmente en reposo sobre una superficie horizontal como

indica la figura 4. Si el proyectil se incrusta en el bloque. Hallar la distancia que recorre el bloque sobre la superficie rugosa (𝜇 = 0,15) antes de detenerse. R: 𝑥 = 0,17[𝑚]

8.127. Dos partículas de masas 𝑚1 = 1 [𝑘𝑔] y 𝑚2 = 2 [𝑘𝑔] se mueven sin rozamiento sobre un

alambre horizontal, con velocidades de 𝑣1 = 8 [𝑚/𝑠] y 𝑣2 = 2 [𝑚/𝑠], como muestra la figura

5. Si un resorte de constante de rigidez 𝑘 = 1 500 [𝑁/𝑚] está unido a 𝑚2, halle la

compresión máxima del resorte. R: x = 0,13[m]

8.128. La figura 6 muestra dos masas distintas situadas sobre un plano horizontal liso. La masa 𝑚1 = 1 [𝑘𝑔] alcanza una rapidez 𝑣01 = 4 [𝑚 𝑠⁄ ] cuando la cuerda se pone tensa. Si el

coeficiente de restitución es 𝑒 = 0,6 ¿cuál será la rapidez de la masa 𝑚2 = 2 [𝑘𝑔].

𝑀

�⃗�0

𝑚1 𝑚2

�⃗�1 �⃗�2 Figura 5 Figura 6

𝑚1 𝑚2 �⃗�01


34

8.129. Un bloque de masa 𝑚 se mueve con una velocidad de 3 [𝑚/𝑠] tal como muestra la figura 8.

Si la superficie horizontal es lisa y el coeficiente de restitución entre el bloque y la pared es 𝑒 = 0,8, ¿que distancia recorrerá el bloque sobre la superficie inclinada rugosa ( = 0,20 )?

R: d = 0,68[m]

8.130. Un proyectil de masa 𝑚 = 50 [𝑔] que se mueve con rapidez 𝑣0 atraviesa violentamente un

bloque de masa 𝑀 = 2 [𝑘𝑔], inicialmente en reposo, como muestra la figura 9. El proyectil

sale del bloque con la cuarta parte de su velocidad inicial. Si el bloque recorre una distancia d = 0,8 [m] sobre la superficie rugosa ( = 0,5 ), halle la velocidad v0 del

proyectil. R: v0 = 149 [m/s]

8.131. La figura 10 muestra un proyectil de masa 𝑚 = 20 [𝑔] moviéndose horizontalmente con

velocidad 𝑣0 = 200 [𝑚 𝑠⁄ ] que se incrusta en un carrito de masa 𝑀 = 2 [𝑘𝑔], inicialmente en

reposo. Si 𝑘 = 450 [𝑁/𝑚], determine la máxima compresión del resorte.

8.132. modo que se le comunica una velocidad 𝑣1 = 4 [𝑚/𝑠] y se mueve por la superficie horizontal

rugosa ( = 0,4) como indica la figura 11 y choca inelásticamente (𝑒 = 0,5) con la pared B.

¿A qué distancia de la pared A se detiene el bloque? R: d = 1,61[m]

8.133. Un carro de masa 𝑀 = 20 [𝑘𝑔] se desplaza a razón de 10 [𝑚/𝑠]. Desde una altura ℎ = 1[𝑚] se abandona una esfera de masa 𝑚 = 5 [𝑘𝑔] como muestra la figura 12. Si en la colisión la

esfera se adhiere al carro, ¿cuál es la energía desprendida en el choque? R: Q = 249 [J]

8.134. Un bloque de masa “𝑚” moviéndose con una rapidez “𝑣”, choca inelásticamente (𝑒 = 0,7)

contra otro bloque de masa “2 𝑚”, que inicialmente está en reposo y unido a un resorte no

deformado de longitud 𝐿 = 1 [𝑚] y constante elástica 𝑘 = 10 𝑚 𝑔 𝐿⁄ , como se muestra en la

figura 13. Si el bloque de masa “2 𝑚” se detiene luego de recorrer una distancia 𝑥 = 𝐿 2⁄

sobre la superficie horizontal, sin despegarse de éste, determine la rapidez “𝑣”. R: v =1,5 [m/s]

8.135. Se deja caer un bloque de masa 𝑚𝐴 = 25 [𝑘𝑔] desde una altura de 2 [𝑚] sobre el platillo de

masa 𝑚𝐵 = 10 [𝑘𝑔] de una balanza como se observa en la figura 14. Si la constante elástica

𝑀 𝑚 �⃗�

𝑀 𝑚

�⃗�0

Figura 10 Figura 9

ℎ

𝑚

𝑀

�⃗�

● ● A B

𝑑 = 2 [𝑚]

�⃗�1

𝑚 Figura 11 Figura 12

�⃗�

𝑚

𝐿

2 𝑚

Figura 13

Figura 14 ℎ = 2 [𝑚]

𝐴


35

del muelle es 𝑘 = 20 000 [𝑁/𝑚] y suponiendo que el choque es plástico, hallar el

desplazamiento máximo del platillo. R: x = 0,20[m]

8.136. Una esfera de masa “𝑚” resbala a partir del reposo sobre la superficie curvada lisa, de

radio 𝑅 = 2 [𝑚], como se muestra en la figura 15. Luego de descender se incrusta en la

arena que contiene un carrito que inicialmente está en reposo sobre una superficie horizontal cuyo coeficiente de fricción es 𝜇 = 0,1; si la masa del carrito y la arena es 𝑀 =9 𝑚, determine la distancia que recorre el carrito hasta detenerse. R: d = 0,2[m]

8.137. Un bloque de masa 𝑚𝐴 = 1,2 [𝑘𝑔] se desliza hacia abajo de una rampa inclinado como indica

la figura 16. Al llegar a la parte horizontal choca con un bloque de masa 𝑚𝐵 = 7,0 [𝑘𝑔], en

reposo, sobre dicha superficie. Considerando una transición uniforme en la parte inferior

de la rampa y si la colisión es elástica determine: a) las velocidades de los dos bloques después del choque, y b) la distancia a la que llegará 𝑚𝐴 de regreso hacia arriba. R: vA =5,94 [m/s], vB = 2,46 [m/s], d = 3,6 [m]

8.138. Una cuña de masa 𝑀 = 10 𝑚 se encuentra inicialmente en reposo. Si se lanza

horizontalmente una esfera de masa 𝑚 con una rapidez de 10 [𝑚/𝑠], como se observa en la

figura 18, de tal manera que después del choque elástico, la esfera rebota verticalmente,

calcúlese: a) la rapidez con que rebota la esfera, y b) la máxima altura alcanzada por la esfera. R: vE = 9,5 [m/s], d = 4,6 [m]

8.139. Un muelle de constante elástica 2 000 [N/m] es comprimido 10 [cm] por dos bloques de

masas 5 [kg] y 2 [kg] situados en sus extremos. El sistema se deja libre sobre una superficie plana sin rozamiento. ¿Cuál será la velocidad de salida de los dos bloques? R:

1,07 [m/s]; 2,67 [m/s]

8.140. Dos bloques de masas M y 3M se colocan sobre una superficie horizontal sin fricción. Un

resorte ligero se une a uno de ellos, y los bloques son empujados juntos, con el resorte

entre ellos. Una cuerda que los mantiene unidos se quema y después de eso el bloque de masa 3M se mueve hacia la derecha con una velocidad de 2 [m/s], ¿cuál es la velocidad

del bloque de masa M?

𝑅 𝑚

𝑀

𝜇 ● ●

Figura 15

Figura 16

30°

3,6 [𝑚]

𝐴

𝐵


36


37

8.141. Dos esferas pequeñas de 0,5 [kg] y 1 [kg] cuelgan de un mismo punto mediante dos hilos

de 1 [m] de longitud. Se eleva la esfera de 0,5 [kg] hasta que el hilo está horizontal y se suelta, dejándola caer libremente. Calcular: a) velocidad de la esfera inmediatamente

antes de chocar con la otra esfera; b) velocidad de cada esfera después del choque,

supuesto elástico; c) altura máxima de cada esfera tras el choque. [a) 19,6½ [m/s]; b)

v’1(0,5)=1,48 [m/s]; v’2=2,9 [m/s]; c) 0,11 [m]; 0,44 m]

8.142. Considera el sistema de la figura. La masa m1 = 1,5 [kg] se encuentra inicialmente en

reposo, en contacto con el extremo de un muelle ideal de constante recuperadora k = 500

[N/m], comprimida 30 [cm]. La masa m2 = 1,5 [kg] también se encuentra inicialmente en

reposo, a una distancia de 2 [m] de m1, en la parte interior de una pista semicircular de radio R = 0,25 [m]. En el tramo horizontal que separa m1 de m2, el coeficiente de

rozamiento es µ = 0,2, mientras que en la pista semicircular el rozamiento es

despreciable.

Cuando el muelle se deja ir, se descomprime e impulsa la masa m1, que se separa del

muelle y choca elásticamente con m2. Calcula:

Dos dimensiones

8.143. En la figura el cuerpo “A” de mA = 5 [kg] se mueve sobre el eje “x” con velocidad inicial de

VA = 2 [m/s]. Este cuerpo choca con otro “B” de mB = 3 [kg] que se encuentra en reposo.

Después del choque la velocidad de “A” es uA = 1 [m/s] con un ángulo de 30º con el eje de

“x”. ¿Cuál será la velocidad final de “B”?

8.144. Una partícula de masa mA = 100 [g] recorre el semieje positivo de las "x" con una velocidad

de 20 [cm/s]. Choca con otra partícula de masa mB = 20 [g] que se mueve con velocidad de

50 [cm/s] en dirección que forma un ángulo de 53º con el semieje positivo de la "x".

Después del choque ambas partículas se desplazan juntas. Calcular el módulo, dirección y sentido de la velocidad de las dos partículas unidas, después del choque. Resp: 22,67

[cm/s], 17º

8.145. Una piedra A de masa mA = 1 [kg] desliza sobre una superficie lisa de hielo a una velocidad

constante de 16 [m/s] hacia el este. Choca con otra piedra B de masa mB = 4 [kg], inicialmente en reposo. Después del choque, A se mueve perpendicularmente a su dirección

Figura 19


38

inicial hacia el norte con una velocidad de 12 [m/s]. Calcular el módulo y la dirección de la

velocidad de la piedra B después del choque. Resp: 5 [m/s], -37º

8.146. Un proyectil antiaereo disparado en dirección vertical, al alcanzar la altura máxima,

estalla.Se rompe en tres fragmentos. Dos de ellos vuelan formando un angulo recto entre

si, el primero de masa 9,0 [kg] se mueve con una velocidad de 60 [m/s] y el segundo de 18

[kg] de masa con una vlocidad de 40 [m/s] . El otro fragmento se mueve con una rapidez

de 200 [m/s]

a) Que dirección tiene el tercer fragmento

b) Que masa tenia el proyectil antes de explotar

8.147. En una mesa de billar, una de las bola de 200 [g], se impulsa hacia la banda con una velocidad de 0,75 [m/s] formando un ángulo de 30º con la banda. Rebota saliendo con un

ángulo de 15º y con velocidad de 0,25 [m/s]. Calcula:

a) Los momentos lineales de la bola antes y después del rebote.

b) La variación del momento lineal de la bola.

c) La fuerza media durante el re-bote si la interacción duró 0,15 [s]. d) Una explosión rompe una roca en tres trozos. Dos trozos, de 1 [kg] y de 2 [kg],

salen despedidos en ángulo recto con velocidades de 12 [m/s] y 8 [m/s],

respectivamente. El tercer trozo sale con una velocidad de 40 [m/s]. Indica cuál era

la masa inicial de la roca y la dirección y el sentido del tercer trozo respecto del primer trozo.

8.148. En un juego de billar, una bola de masa m1 = 0,25 [kg] se mueve a razón de 7 [m/s],

dirigiéndose hacia otra de igual masa que se encuentra en reposo. Después del impacto, la

bola m1 se mueve a 4 [m/s] formando un ángulo de 35° por encima de la horizontal.

Determina la magnitud de la velocidad de la otra bola y su dirección.

8.149. Un automovil de 2 000 [kg] que se mueve al este a 10 [m/s] colisiona con un automovil de

3 000 [kg] moviendose hacia el norte. Los autos se enganchan y se mueven como una

unidad después de la colisión, con un ángulo de 40° hacia el noreste y una rapidez de 5,22

[m/s]. Hallar la rapidez del auto de 3 000 [kg] antes de la colisión.

8.150. Dos automóviles de masas iguales se aproximan a un crucero. Un vehículo esta viajando

con velocidad de 13 [m/s]hacia el este y el otro viajando al norte con rapidez v2. Ninguno

de los dos conductores ve al otro. Los vehículos colisiona en el cruce y se enganchan,

dejando marcas de deslizamiento paralelas en un ángulo de 55° hacia el noreste. El límite

de velocidad para ambos caminos es de 35 [millas/h] y el conductor que se dirige al norte

afirma que estaba dentro del límite cuando se presento la colisión. ¿Está diciendo la verdad?


39

8.151. Una bola de billar moviéndose a 5 [m/s] golpea una bola inmóvil de la misma masa.

Después de la colisión, la primera bola se mueve a 4,33 [m/s] con un ángulo de 30°

respecto a la línea de movimiento original.

a) Calcular la magnitud de la velocidad y dirección de la segunda bola después de la

colisión.

b) ¿La colisión fue elástica o inelástica?

8.152. Dos objetos de masas m y 3m se están acercando entre sí moviéndose a lo largo del eje x

con la misma rapidez inicial v0. El objeto con masa m está viajando hacia la derecha. Se

someten a una colisión elástica indirecta tal que m se está moviendo hacia abajo después

de la colisión en un ángulo recto a partir de su dirección inicial.

a) Calcule las velocidades finales de los dos objetos. b) ¿Cuál es el ángulo en que el objeto con masa 3m se dispersa?


40

8.153. Un cuerpo de masa m1 = 2 [kg] se encuentra sujeta

por medio de un resorte sin fricción con una velocidad inicial v1= 10 [m/s], frente a él

moviéndose en la misma dirección y sentido se

encuentre el cuerpo de masa m2 = 5 [kg] cuya

velocidad inicial es v2 = 3 [m/s], éste tiene adosado un resorte en su parte posterior, cuya constante

elástica es k = 1 120 [N/m], ¿cuál será la máxima

compresión del resorte cuando los cuerpos choquen?

𝑚1 𝑣1 + 𝑚2 𝑣2 = (𝑚1 + 𝑚2) 𝑢

𝑢 =𝑚1 𝑣1+ 𝑚2 𝑣2

𝑚1 + 𝑚2

u =2 [kg]∗10[

m

s]+ 5 [kg]∗3[

m

s]

2 [kg] + 5 [kg]= 5 [

𝑚

𝑠]

La fuerza elástica del resorte será:

𝐹 = 𝑘 𝑥

Y la energía cinética almacenada en el instante de máxima compresión es:

𝐸𝐶 =1

2 𝑚𝑇 𝑢2

Pero la energía cinética es igual al trabajo realizado por la fuerza del resorte:

𝐸𝐶 = 𝐹 𝑥 = 𝑘 𝑥2

𝑘 𝑥2 = 1

2 𝑚𝑇 𝑢2 → 𝑥 = √

𝑚𝑇 𝑢2

2 𝑘

𝑥 = √7 [𝑘]∗(5[

𝑚

𝑠])

2

2∗ 1 120 [𝑁

𝑚]

= 0,2795 [𝑚

𝑠]

8.154. Un bloque de masa m1 = 1,6 [kg], inicialmente moviéndose a la

derecha con una velocidad de + 4 [m/s] sobre una pista

horizontal sin fricción, colisiona con un resorte sin masa unido a

un segundo bloque de masa m2 = 2,10 [kg] moviéndose a la izquierda con una velocidad a la izquierda con una velocidad de

– 2,5 [m/s], como se muestra en la figura. El resorte tiene una

constante elástica de 6*102 [N/m].

a) Determine la velocidad del bloque 2 en el instante

cuando el bloque 1 se mueve a la derecha con una velocidad de + 3 [m/s], como en la figura.

𝑚1𝑣1 + 𝑚2𝑣2 = 𝑚1𝑢1 + 𝑚2𝑢2 → 𝑢2 = 𝑚1𝑣1+ 𝑚2𝑣2− 𝑚1𝑢1

𝑚2

𝑢2 = 1,6 [𝑘𝑔]∗4 [

𝑚

𝑠]+ 2,1 [𝑘𝑔]∗(− 2,5 [

𝑚

𝑠])− 1,6 [𝑘𝑔]∗3 [

𝑚

𝑠]

2,1 [𝑘𝑔]= − 1,74 [

𝑚

𝑠]

b) Encuentre la compresión del resorte.

𝐸0 = 𝐸𝑓 → 1

2𝑚1𝑣1

2 + 1

2𝑚2𝑣2

2 + 0 = 1

2𝑚1𝑢1

2 + 1

2𝑚2𝑢2

2 + 1

2𝑘 𝑥2

𝑥 = √𝑚1𝑣12+ 𝑚2𝑣2

2− 𝑚1𝑢12− 𝑚2𝑢2

2

𝑘

𝑥 = √1,6 [𝑘𝑔]∗(4 [

𝑚

𝑠])

2+ 2,1 [𝑘𝑔](− 2,5 [

𝑚

𝑠])

2− 1,6 [𝑘𝑔](3 [

𝑚

𝑠])

2− 2,1 [𝑘𝑔](− 1,74 [

𝑚

𝑠])

2

600 [𝑁

𝑚]

𝑥 = 0,173 [𝑚]

8.155. Carros de aire idénticos de masa 200 [g] están equipados con resortes idénticos de k =

3,000 [N/m]. Los carros, que se mueven uno hacia el otro con velocidades de 3 [m/s]


41

sobre una pista de aire (sin fricción) horizontal, chocan y comprimen los resortes.

Encuentre la compresión máxima de cada resorte.

Documents

Capítulo 8 Cantidad de movimiento