Anlisis de cables por elementos finitos, para la estimacin de la tencin de cables en puentes atirantados con base en la medicin experimental en laboratorio y campo de sus nodos y frecuencias naturales de vibracin.

Este suele hacerse a travs de un grupo definido de elementos finitos, los cuales son: elementos de dos nodos tipo Truss (ANSYS, 2009), elementos de mltiples nodos los cuales tienen la ventaja de tener funciones de forma de mayor orden, aunque requieren de integracin numrica y finalmente, elementos curvos con grados de libertad rotacionales. El elemento de dos nodos es el ms comn de los anteriormente mencionados, la matriz de rigidez de este es bsicamente la de un elemento sometido a efectos axiales, sin embargo, presenta una serie de limitaciones que lo hacen aplicable a solo ciertos casos especficos. Dentro de las consideraciones, est que el cable a modelar debe tener una longitud no muy larga y una pre-tensin alta, para la correcta modelacin se debe calcular un mdulo de rigidez axial efectivo (para tener en cuenta el efecto de catenaria). A continuacin se muestra la matriz de rigidez tangencial del elemento truss.

Donde el valor de "" es el mdulo de elasticidad equivalente (para considerar el efecto de catenaria), el cual puede ser calculado por medio de la expresin (frmula de Dischinger):

Donde: Es el peso por unidad de longitud del cable. Es la proyeccin horizontal del cable. La tensin interna del elemento. El rea y El mdulo de Young.

Es habitual no usar la proyeccin horizontal del cable sino la proyeccin del peso en la componente local del cable. Adems de la matriz tangencial, se requiere de una matriz adicional de rigidez geomtrica, funcin de la tensin:

Esta matriz le da estabilidad al clculo del elemento; no obstante, adicional a esta informacin, es necesario utilizar frmulas de interpolacin funciones de forma y dems expresiones que describan la geometra de la catenaria, si se realiza el clculo con una condicin no deformada, los resultados no seran adecuados para un anlisis modal, este mtodo puede permitir la aparicin de eigen valores imaginarios producto del grado de precisin con que se calcul la geometra del elemento. El elemento multinodal es una versin ms slida del elemento de dos nodos en cuanto a precisin y convergencia, las limitaciones siguen siendo similares por lo que su aplicabilidad contina siendo relativa a cables con deformaciones pequeas, de lo contrario, se requerira de una gran cantidad de elementos para evitar errores de convergencia. Finalmente, el modelo con elementos curvos es el ms efectivo de estos, al usar un elemento sencillo de dos nodos sin necesidad de nodos internos que puede ser utilizado para pequeas deflexiones, como ocurre en el caso de puentes atirantados y as mismo para grandes deflexiones en cables de puentes colgantes (esto tambin implica que el elemento permita analizar cables cortos y largos de puentes atirantados con igual precisin).Elemento de cable curvo: Elemento catenaria (Thai y Kim, 2010), (Karoumi, 1997) Este elemento est basado en las expresiones analticas exactas del elemento de catenaria elstico, dentro de las consideraciones se tiene que el cable es perfectamente flexible y que el peso propio est distribuido a lo largo de su longitud, tambin se considera constante el valor del rea transversal del cable, tal como se ve en la Figura.

Las Ecuaciones de equilibrio para el cable son las siguientes (en coordenadas lagrangianas):

Donde:F1, F2 y F3 son las reacciones en x, y y z, respectivamente.W es el peso por unidad de longitud.S es la longitud de la cuerda (la longitud curva deformada).Por esttica se puede expresar la tensin como la suma de las componentes de las reacciones:

De igual forma, la tensin puede ser relacionada con la deformacin unitaria por medio de la ley de Hooke a partir de la siguiente expresin:

Las cuales presentan las siguientes condiciones de frontera: x (0) = y (0) = z (0) = 0, x (L0) = 1x,y (L0) = 1y, z (L0) = 1z. A partir de las anteriores expresiones, es posible formular las longitudes proyectadas del cable en los tres ejes del siguiente modo:

De modo que lx, lyy lzson respectivamente funcin deF1, F2 y F3.

Las cuales se pueden expresar igualmente en forma matricial:

En donde "f" es la matriz de flexibilidad cuyas componentes

"Ti" y "Tj" son las tensiones al inicio y al final del elemento, que pueden ser calculadas como:

Del mismo modo F4, F5 y F6 pueden ser calculadas como:

Ahora bien, la matriz de rigidez es el resultado de calcular la inversa de la matrizf:

Finalmente, la matriz de rigidez tangencial del elemento sera:

Una vez obtenidos los valores, es posible calcular la geometra del elemento adems de su longitud inicial y longitud deformada:

Longitud deformada, donde es calculada como:

La deflexin se calcula con la siguiente expresin (en la cualXest normalizado en funcin de la proyeccin horizontal).

Referencias:

http://www.scielo.cl/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0718-50732012000300004