compendio del curso de Clculo I

[compendio del curso de Clculo I]2 de diciembre de 2014

Universidad Nacional Mayor de San Marcos Facultad de Ingeniera de Sistemas e Informtica E.A.P. Ingeniera de Software

Clculo I

Integrantes del Grupo:Carhuaricra Rivera, Luciano ErnestoCastillo Chvez, Luigi JairCornejo Herrera, talo NeilIllesca vila, AaronJaimes Arteaga, Angello Victor

Ciclo acadmico 2014-II

LIMA, PER 2014

ndice

Introduccin21.Los nmeros reales32.funciones103.Lmites de Funciones204.la Derivada265. Aplicaciones de la derivada34

Introduccin

En el presente trabajo escrito se pretende recopilar las definiciones, observaciones y ejemplos expuestos en clase durante el desarrollo del curso de Calculo I impartido por el profesor Teodoro Alfredo Llerena Lucero.En l se exponen en forma terica los conceptos de sistemas de nmeros reales, relaciones, funciones, lmites y continuidad, derivadas y sus aplicaciones.Su desarrollo fue realizado de manera grupal por alumnos del curso.Para completar dicha labor fue necesario transcribir los apuntes escritos realizados por los mismos durante el trascurso del ciclo 2014-II.Durante su realizacin se procur mantener el rigor matemtico de las definiciones, pero a la vez de que resultara fcil de entender para los dems estudiantes.La digitacin fue realizada utilizando ntegramente el conocido procesador de texto Microsoft Word 2010.Sin embargo, algunas grficas de funciones se realizaron utilizando las herramientas de trazo de grficas del buscador web de Google.

1. Sistema de los nmeros realesEl sistema de los nmeros reales es denotado por R y es el conjunto donde provisto de dos operaciones, una operacin de orden y el axioma supremo (axioma de completitud).

SUMA: +: y (a,b) +(a,b) := a+bPRODUCTO: y (a,b) (a,b) := a.bQue verifican los siguientes axiomas:

1.- Cerradura:

2.- Conmutativa: A+b=b+a A.b=b.A

3.- Asociatividad: a+(b+c)=(a+b)+c a(b.c)=(a.b).c

4.- Neutro:

Existe un nmero llamado cero 0 tal que a+0=a (neutro aditivo) Existe un nmero llamado uno 1 tal que a.1=1.a=a (neutro multiplicativo)

5.- Inverso Opuesto:

*Inverso Aditivo b es llamado opuesto de a (o inverso aditivo de a) y denotamos b=-a

*Inverso Multiplicativo b es llamado inverso multiplicativo de a y denotamos b=

6.- Distributiva:

7.- Ley de la Tricotoma

se verifica:A IR una funcin tal que x,-y Df, entonces decimos: f es una funcin par sif(-x)= f(x)f es una funcin impar sif(-x)= -f(x)f es una funcin peridica si existe t IR, t0 tal que:x+t Df; x Dff(x+t)= f(x); x DfNota: Al menor t entero positico se denomina perido de fFunciones inversaSe llama funcin inversa o reciproca de f a otra funcin f1 que cumple que:Si f(a) = b, entonces f1(b) = a.Funciones BiyectivasSea f: A->B, una funcin diremos que :1. f es una funcin inyectiva(uno a uno):i. Sia,bson elementos deA tales quef(a)=f(b), necesariamente se cumplea=b.ii. Sia,bson elementosdiferentesdeA, necesariamente se cumplef(a)f(b).1. f es una funcin sobreyectiva, si:yB xA: f(x)=yFunciones trigonomtricasFuncin senof(x) = sen xDominio:IRRango: [1, 1]Perodo:2 radContinuidad: Continua enxIRImpar: sen(x) = sen xFuncin cosenof(x) = cos xDominio:IRRango: [1, 1]Perodo:2 radContinuidad: Continua enxIRPar: cos(x) = cos xFuncin tangentef(x) = tg xDominio:IR-{(2k+1). /2, k Z}Rango:IRContinuidad: Continua enxIR-{( /2+ .k)}Perodo: radImpar: tg(x) = tg xFuncin cotangentef(x) = cotg xDominio: IR-{( .k, kIR)}Recorrido:IRContinuidad: Continua enxIR-{(.k, kIR)}Perodo: radImpar: cotg(x) = cotg xFuncin secantef(x) = sec xDominio:IR-{(2k+1). /2, k Z}Recorrido: ( , 1]U[1, )Perodo:2 radContinuidad: Continua enxIR-{( /2+ .k)}Par: sec(x) = sec xFuncin cosecantef(x) = cosec xDominio:IR-{( .k, kIR)} Recorrido: ( , 1]U[1, )Perodo:2 radContinuidad: Continua enImpar: cosec(x) = cosec x3. Lmites de funcionesSea f una funcin definida en un intervalo abierto que contiene a a y sea L un nmero real, la afirmacin: Significa que para E>0 existe un >0 tal qu:| f(x)-L| < E, siempre que 0