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Leyes de los exponentes

Los exponentes también se llaman potencias o índices

El exponente de un número dice cuántas veces se multiplica el número.

En este ejemplo: 82 = 8 × 8 = 64

En palabras: 82 se puede leer "8 a la

segunda potencia", "8 a la potencia 2" o

simplemente "8 al cuadrado"

Todo lo que necesitas saber...

Todas las "Leyes de los Exponentes" (o también "reglas de los exponentes") vienen de tres ideas:

El exponente de un número dice multiplica el número por sí mismo tantas veces

   

Lo contrario de multiplicar es dividir, así que un exponente negativo significa dividir

   

Un exponente fraccionario como 1/n quiere decir hacer la raíz n-ésima:

Si entiendes esto, ¡entonces entiendes todos los exponentes!

Y todas las reglas que siguen se basan en esas ideas.

Leyes de los exponentes

Aquí están las leyes (las explicaciones están después):

Ley Ejemplo

x1 = x 61 = 6

x0 = 1 70 = 1

leyes de los logaritmos

Buscar

1

x-1 = 1/x 4-1 = 1/4

xmxn = xm+n x2x3 = x2+3 = x5

xm/xn = xm-n x4/x2 = x4-2 = x2

(xm)n = xmn (x2)3 = x2×3 = x6

(xy)n = xnyn (xy)3 = x3y3

(x/y)n = xn/yn (x/y)2 = x2 / y2

x-n = 1/xn x-3 = 1/x3

Explicaciones de las leyes

Las tres primeras leyes (x1 = x, x0 = 1 y x-1 = 1/x) son sólo parte de la sucesión natural de exponentes. Mira este ejemplo:

Ejemplo: potencias de 5

  ... etc...  

52 1 × 5 × 5 25

51 1 × 5 5

50 1 1

5-1 1 ÷ 5 0.2

5-2 1 ÷ 5 ÷ 5 0.04

  ... etc...  

verás que los exponentes positivos, cero y negativos son en realidad parte de un mismo patrón, es decir 5 veces más grande (o pequeño) cuando el exponente crece (o disminuye).

La ley que dice que xm xn = xm+n

En xm xn , ¿cuántas veces multiplicas "x"? Respuesta: primero "m" veces, despuésotras "n" veces, en total "m+n" veces.

Ejemplo: x2 x3 = (xx) × (xxx) = xxxxx = x5

Así que x2 x3 = x(2+3) = x5

La ley que dice que xm /xn = xm-n

Como en el ejemplo anterior, ¿cuántas veces multiplicas "x"? Respuesta: "m" veces, después reduce eso "n" veces (porque estás dividiendo), en total "m-n" veces.

Ejemplo: x4-2 = x4 /x2 = (xxxx) / (xx) = xx = x2

(Recuerda que x/x = 1, así que cada vez que hay una x "sobre la línea" y una "bajo la línea" puedes cancelarlas.)

Esta ley también te muestra por qué x0 =1 :

Ejemplo: x2 /x2 = x2-2 = x0 =1

La ley que dice que (xm )n = xmn

Primero multiplicas x "m" veces. Después tienes que hacer eso "n" veces, en total m×n veces.

Ejemplo: (x3 )4 = (xxx)4 = (xxx)(xxx)(xxx)(xxx) = xxxxxxxxxxxx = x12

Así que (x3 )4 = x3×4 = x12

La ley que dice que (xy)n = xn yn

Para ver cómo funciona, sólo piensa en ordenar las "x"s y las "y"s como en este ejemplo:

Ejemplo: (xy)3 = (xy)(xy)(xy) = xyxyxy = xxxyyy = (xxx)(yyy) = x3 y3

La ley que dice que (x/y)n = xn /yn

Parecido al ejemplo anterior, sólo ordena las "x"s y las "y"s

Ejemplo: (x/y)3 = (x/y)(x/y)(x/y) = (xxx)/(yyy) = x3 /y3

La ley que dice que

Para entenderlo, sólo recuerda de las fracciones que n/m = n × (1/m):

Ejemplo:

Y eso es todo

Si te cuesta recordar todas las leyes, acuérdate de esto: siempre puedes calcular todo si entiendes las tres ideas de la parte de arriba de esta página.

Ah, una cosa más... ¿Qué pasa si x= 0?

Exponente positivo (n>0) 0n = 0

Exponente negativo (n<0) ¡No definido! (Porque dividimos entre 0)

Exponente = 0 Ummm ... ¡lee más abajo!

El extraño caso de 00

Hay dos argumentos diferentes sobre el valor correcto. 00 podría ser 1, o quizás 0, así que alguna gente dice que es "indeterminado":

x0 = 1, así que ... 00 = 1

0n = 0, así que ... 00 = 0

Cuando dudes... 00 = "indeterminado"

Exponentes Exponentes fraccionarios Notación de índices - Potencias de 10 Menú de Álgebra

MATEMÁTICAS BÁSICASLEYES DE EXPONENTES Y LOGARITMOSLEYES DE EXPONENTESSea un número real x . Si se multiplica por sí mismo se obtiene x x . Si a este resultado se multiplicanuevamente por x resulta x x x . De manera sucesiva, si x se multiplica por si misma n veces, seobtiene: _____n veces

x x x xPara simplificar este tipo de expresiones se acostumbra utilizar una notación abreviada, tal que:5432

x x x x x xx x x x xx x x xx x xy en general:nn veces

x x x x x_____Donde x es llamada base y el número n escrito arriba y a su derecha, es llamado exponente. Elexponente indica el número de veces que la base se toma como factor.Primera ley de los exponentesSea un número real x diferente de cero y dos números naturales n y m también diferentes de cero.Entonces, se cumple que:

n m n m x x xAl multiplicar potencias con la misma base, se mantiene la base y se suman los exponentes.Ejemplos.

1) 3 2 3 2 5 x x x x

2) 2 6 8

4a 5a 20a

3) 4 2 7 13

2k k 5k 10k

4) 3 2 3 4 6438 b a b a ab 5)3 5 6 4 9 10 9 10

51240481214856q p q p q q p q p Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Leyes de exponentes y logaritmos Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

2Segunda ley de los exponentesSea un número real x diferente de cero y dos números naturales n y m también diferentes de cero.Entonces, se cumple que:n mmn

xxx Al dividir potencias con la misma base, se mantiene la base y se restan los exponentes.Ejemplos.1)7 4 34

7

x xxx 2)538

2510aaa 3) 2 257 3

4728k mk mk m 4)246

384132aaa5)4 62 23 6 7

324832xy zx y zx y z Tercera ley de los exponentes

Sea un número real x diferente de cero. Si en la ley anterior, se hace que n m , se tiene que:0 x xxx n nnn

.Pero al dividir una expresión por si misma el resultado es la unidad, así que se cumple que:10 x Cualquier base diferente de cero elevada a la potencia cero es uno.1) 12 2 022

x xxx2) 5 5150 a 3) 10 xyz Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Leyes de exponentes y logaritmos Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

34) 392733

aa5) 113 13 013136 73 4 6

x xxxx xx x x

Cuarta ley de los exponentesSea un número real x diferente de cero y dos números naturales n y m también diferentes de cero.Entonces, se cumple que:

n m n m x xAl elevar una potencia a otra potencia, se mantiene la base y se multiplican los exponentes.Ejemplos.

1) 326 3 2 x x x

2) 3412 3 4 a a a

3) 5315 5 3 e e eQuinta ley de los exponentes

Sean dos números reales x y y diferentes de cero y un número natural n también diferente de cero.Entonces, se cumple que:

n n n xy x yEl producto de uno o más factores que se elevan todos a la vez a un exponente es igual a un producto decada factor elevado al exponente.Ejemplos.

1) 5 10 10

52

2a 2 a 32a

2) 12 12 3 3

4

3k 3 k 27k

3) 4 4 12 4 12

43

5ab 5 a b 625a b

4) 2 2 6 2 6 2 2 4xy 4 x y 16x y

5) 6 30 12 18 30 12 18 5 2 3 6 10m n p 10 m n p 1'000,000m n pSexta ley de los exponentes

Sean dos números reales x y y diferentes de cero y un número natural n también diferente de cero.Entonces, se cumple que:Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Leyes de exponentes y logaritmos Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

40

, yyxyxnn n

El cociente de uno o más factores que se elevan todos a la vez a un exponente es igual al cociente decada factor elevado al exponente.Ejemplos.1)222

yxyx 2) 3 3

3 333 3

c da bcdabcdab 3) 81625353535 1244 3 443 44

3 p p p p

4) 8

1242434423423

2 2 1648mkmkmkmk 5) 24 12

18 3012266 46 3 6 5 664 23 5

7294 096343

4w z, x yw zx yw zx y Séptima ley de los exponentesSea un número real x diferente de cero. Si n es un número entero diferente de cero, por las leyesanteriores se cumple que:10 nn n n nn

x x x xxxPero el recíproco del número real n x se definió como n x1, ya que cumple con 11 nn

xx .Comparando las expresiones, se llega a:nn

xx1 Elevar una expresión a una potencia entera negativa, equivale a formar una fracción con numerador unoy cuyo denominador es la misma expresión pero con la potencia positiva.Ejemplos.1)xx1 1 2) 33 66aa Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Leyes de exponentes y logaritmos Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

53) 4 5

4 57 103 5

88324p qp qp qp q 4)a cba b ca bca b c626 2 111 55 3 4

23231827

5) 4 12 12

4 1243

161 1212 2x xx x LOGARITMOSSea la expresión: , con a 0 y a 1.Se denomina logaritmo base del número al exponente b al que hay que elevar la base paraobtener dicho número. Es decir:que se lee como "el logaritmo base del número es ” y como se puede apreciar, un logaritmorepresenta un exponente.

La constante a es un número real positivo distinto de uno, y se denomina base del logaritmo. Lapotencia b a para cualquier valor real de solo tiene sentido si a 0 .

Ejemplos.1) 5 252 ⇒25 2 5 log 2) 3 814 ⇒81 4 3 log 3) 8 512 3 ⇒512 38 log 4)641216

⇒66412

1 log 5)1024145 ⇒5102414 log Logaritmos Decimales:Se llaman logaritmos decimales a los logaritmos que tienen por base el número diez. Al ser muyhabituales es frecuente no escribir la base:Logaritmos Naturales:Se llaman logaritmos naturales (también llamados neperianos) a los logaritmos que tienen por base elnúmero irracional e 2.718281828459 , y se denotan como ln o por L :a x b a xlog x b a a x bblog x log x 10Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Leyes de exponentes y logaritmos Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

6loge x ln x L x Ejemplos.45 45 1 653212 10 log log .

log 168 ln 168 5.123963 e Para potencias enteras de diez, los logaritmos decimales cumplen con:10 0 01 0 01 22 ⇒. log .10 0 1 0 1 11 ⇒. log .10 1 1 00 ⇒log 10 10 10 11 ⇒log 10 100 100 22 ⇒log 10 1 000 1 000 33 , ⇒log , 10 10 000 10 000 44 , ⇒log , Los logaritmos decimales de los números comprendidos entre otros dos, cuyos logaritmos decimales sonnúmeros enteros, son números decimales. Todo número decimal se compone de parte entera y partedecimal. La parte entera recibe el nombre de característica y la parte decimal, mantisa.La parte entera del logaritmo o característica depende del intervalo en el que se defina el número y laparte decimal o mantisa del valor de las cifras significativas del número.Por ejemplo, para log 45 1.653212 , la característica es y la mantisa es 0.653212 .La mantisa siempre es positiva, pero la característica puede ser cero si el número está comprendidoentre y 10 , es positiva, sí el número es mayor que o negativa si el número es menor que 1 . Laspotencias de sólo tienen característica, su mantisa es 0 . En el logaritmo de un número menor que1 la característica es negativa, pero la mantisa es positiva. Por ejemplo log 0.5 1 0.698970 yno puede escribirse como 1.698970 , pues esto indica que tanto la característica como la mantisason negativas. El modo correcto de escribirlo, indicando que sólo la característica es negativa, es1.698970 .Ejemplos.1) Para log 624 2.795184 , la característica es 22) Para log 7 0.845098 , la característica es 03) Para log 0.029 2.462398 , la característica es 2Las propiedades de los logaritmos son las siguientes:1)2) log a a 1

3) log a u vlog a u log a v 11 10101 0 a logFacultad de Contaduría y Administración. UNAM Leyes de exponentes y logaritmos Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

74) log u log vvulog a a a 5) log u n log u an

a 6) log unlog u ana

1 Ejemplos.Comprobar las propiedades de los logaritmos.1) 10 1 00 log log 2) log 10 13) log 100 1,000log 100,000 5que equivale a calcular: log 100 log 1,000 2 3 54) 10 000 41001 000 000 log ,' ,logque equivale a calcular: log1'000,000 log 100 6 2 45) 10 100 22 log log que equivale a calcular: 2 log 10 2126) log 10,000 log 100 2que equivale a calcular: 4221

10 00021 log , Ejemplo.Aplicando las propiedades de los logaritmos, simplificar la siguiente expresión:

4

6

25 3ca blogSolución.

log a c log c log a log b log cca blogca blog 4 5 3 2 4 5 3 225 3425 36 6 6 6 6 64

6 Ejemplo.Sabiendo que log 100 2 y que log 4 0.6020 , aplicando las propiedades de los logaritmos y sinusar la calculadora, determinar los valores aproximados de: log 400, log 25 , log 16 , log 2 .Solución.

log 400 log 1004log 100 log 4 2 0.6020 2.6020100 4 2 0 0620 1 3984100log 25 log log log . .16 4 2 4 20 06201 204 2 log log log . .0 3010

20 60204212 4 ..log log log Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Leyes de exponentes y logaritmos Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

8Un antilogaritmo es el número que corresponde a un logaritmo dado. Consiste en el problema inverso alcálculo del logaritmo de un número. Esto es:log x y antilog y x a x ya a es decir, consiste en elevar la base al número que resulta.Ejemplo.4 527 3 655810 3 655810 4 527 10 4 527 3 655810

10 10 log , . anti log . , , . Cambio de Base:Dada una base conocida b , para calcular un logaritmo de un número x en cualquier base a , se aplicala siguiente expresión:log alog xlog xbb

a .Por conveniencia, la base elegida para b generalmente es la diez, así que la expresión queda como:log alog xlog x a10

10 Ejemplo.Calcular: 570 3 logSolución: se identifican las variables: a 3, x 570, b 105 7760480 4771212 75587435705703 ...loglog

log Comprobación: 3 5705 776048 . MATEMÁTICAS BÁSICASLEYES DE EXPONENTES Y LOGARITMOSLEYES DE EXPONENTESSea un número real x . Si se multiplica por sí mismo se obtiene x x . Si a este resultado se multiplicanuevamente por x resulta x x x . De manera sucesiva, si x se multiplica por si misma n veces, seobtiene: _____n veces

x x x xPara simplificar este tipo de expresiones se acostumbra utilizar una notación abreviada, tal que:5432

x x x x x xx x x x xx x x xx x xy en general:nn veces

x x x x x_____Donde x es llamada base y el número n escrito arriba y a su derecha, es llamado exponente. Elexponente indica el número de veces que la base se toma como factor.Primera ley de los exponentesSea un número real x diferente de cero y dos números naturales n y m también diferentes de cero.Entonces, se cumple que:

n m n m x x xAl multiplicar potencias con la misma base, se mantiene la base y se suman los exponentes.Ejemplos.

1) 3 2 3 2 5 x x x x

2) 2 6 8

4a 5a 20a

3) 4 2 7 13

2k k 5k 10k

4) 3 2 3 4 6438 b a b a ab 5)3 5 6 4 9 10 9 10

51240481214856q p q p q q p q p Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Leyes de exponentes y logaritmos Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

2Segunda ley de los exponentesSea un número real x diferente de cero y dos números naturales n y m también diferentes de cero.Entonces, se cumple que:n mmn

xxx Al dividir potencias con la misma base, se mantiene la base y se restan los exponentes.Ejemplos.1)7 4 34

7

x xxx 2)538

2510aaa 3) 2 257 3

4728k mk mk m 4)246

384132aaa5)4 62 23 6 7

324832xy zx y zx y z Tercera ley de los exponentes

Sea un número real x diferente de cero. Si en la ley anterior, se hace que n m , se tiene que:0 x xxx n nnn

.Pero al dividir una expresión por si misma el resultado es la unidad, así que se cumple que:10 x Cualquier base diferente de cero elevada a la potencia cero es uno.1) 12 2 022

x xxx2) 5 5150 a 3) 10 xyz Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Leyes de exponentes y logaritmos Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

34) 392733

aa5) 113 13 013136 73 4 6

x xxxx xx x x

Cuarta ley de los exponentesSea un número real x diferente de cero y dos números naturales n y m también diferentes de cero.Entonces, se cumple que:

n m n m x xAl elevar una potencia a otra potencia, se mantiene la base y se multiplican los exponentes.Ejemplos.

1) 326 3 2 x x x

2) 3412 3 4 a a a

3) 5315 5 3 e e eQuinta ley de los exponentes

Sean dos números reales x y y diferentes de cero y un número natural n también diferente de cero.Entonces, se cumple que:

n n n xy x yEl producto de uno o más factores que se elevan todos a la vez a un exponente es igual a un producto decada factor elevado al exponente.Ejemplos.

1) 5 10 10

52

2a 2 a 32a

2) 12 12 3 3

4

3k 3 k 27k

3) 4 4 12 4 12

43

5ab 5 a b 625a b

4) 2 2 6 2 6 2 2 4xy 4 x y 16x y

5) 6 30 12 18 30 12 18 5 2 3 6 10m n p 10 m n p 1'000,000m n pSexta ley de los exponentes

Sean dos números reales x y y diferentes de cero y un número natural n también diferente de cero.Entonces, se cumple que:Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Leyes de exponentes y logaritmos Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

40

, yyxyxnn n

El cociente de uno o más factores que se elevan todos a la vez a un exponente es igual al cociente decada factor elevado al exponente.Ejemplos.1)222

yxyx 2) 3 3

3 333 3

c da bcdabcdab 3) 81625353535 1244 3 443 44

3 p p p p

4) 8

1242434423423

2 2 1648mkmkmkmk 5) 24 12

18 3012266 46 3 6 5 664 23 5

7294 096343

4w z, x yw zx yw zx y Séptima ley de los exponentesSea un número real x diferente de cero. Si n es un número entero diferente de cero, por las leyesanteriores se cumple que:10 nn n n nn

x x x xxxPero el recíproco del número real n x se definió como n x1, ya que cumple con 11 nn

xx .Comparando las expresiones, se llega a:nn

xx1 Elevar una expresión a una potencia entera negativa, equivale a formar una fracción con numerador unoy cuyo denominador es la misma expresión pero con la potencia positiva.Ejemplos.1)xx1 1 2) 33 66aa Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Leyes de exponentes y logaritmos Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

53) 4 5

4 57 103 5

88324p qp qp qp q 4)a cba b ca bca b c626 2 111 55 3 4

23231827

5) 4 12 12

4 1243

161 1212 2x xx x LOGARITMOSSea la expresión: , con a 0 y a 1.Se denomina logaritmo base del número al exponente b al que hay que elevar la base paraobtener dicho número. Es decir:que se lee como "el logaritmo base del número es ” y como se puede apreciar, un logaritmorepresenta un exponente.

La constante a es un número real positivo distinto de uno, y se denomina base del logaritmo. Lapotencia b a para cualquier valor real de solo tiene sentido si a 0 .

Ejemplos.1) 5 252 ⇒25 2 5 log 2) 3 814 ⇒81 4 3 log 3) 8 512 3 ⇒512 38 log 4)641216

⇒66412

1 log 5)1024145 ⇒5102414 log Logaritmos Decimales:Se llaman logaritmos decimales a los logaritmos que tienen por base el número diez. Al ser muyhabituales es frecuente no escribir la base:Logaritmos Naturales:Se llaman logaritmos naturales (también llamados neperianos) a los logaritmos que tienen por base elnúmero irracional e 2.718281828459 , y se denotan como ln o por L :a x b a xlog x b a a x bblog x log x 10Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Leyes de exponentes y logaritmos Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

6loge x ln x L x Ejemplos.45 45 1 653212 10 log log .

log 168 ln 168 5.123963 e Para potencias enteras de diez, los logaritmos decimales cumplen con:10 0 01 0 01 22 ⇒. log .10 0 1 0 1 11 ⇒. log .10 1 1 00 ⇒log 10 10 10 11 ⇒log 10 100 100 22 ⇒log 10 1 000 1 000 33 , ⇒log , 10 10 000 10 000 44 , ⇒log , Los logaritmos decimales de los números comprendidos entre otros dos, cuyos logaritmos decimales sonnúmeros enteros, son números decimales. Todo número decimal se compone de parte entera y partedecimal. La parte entera recibe el nombre de característica y la parte decimal, mantisa.La parte entera del logaritmo o característica depende del intervalo en el que se defina el número y laparte decimal o mantisa del valor de las cifras significativas del número.Por ejemplo, para log 45 1.653212 , la característica es y la mantisa es 0.653212 .La mantisa siempre es positiva, pero la característica puede ser cero si el número está comprendidoentre y 10 , es positiva, sí el número es mayor que o negativa si el número es menor que 1 . Laspotencias de sólo tienen característica, su mantisa es 0 . En el logaritmo de un número menor que1 la característica es negativa, pero la mantisa es positiva. Por ejemplo log 0.5 1 0.698970 yno puede escribirse como 1.698970 , pues esto indica que tanto la característica como la mantisason negativas. El modo correcto de escribirlo, indicando que sólo la característica es negativa, es1.698970 .Ejemplos.1) Para log 624 2.795184 , la característica es 22) Para log 7 0.845098 , la característica es 03) Para log 0.029 2.462398 , la característica es 2Las propiedades de los logaritmos son las siguientes:1)2) log a a 1

3) log a u vlog a u log a v 11 10101 0 a logFacultad de Contaduría y Administración. UNAM Leyes de exponentes y logaritmos Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

74) log u log vvulog a a a 5) log u n log u an

a 6) log unlog u ana

1 Ejemplos.Comprobar las propiedades de los logaritmos.1) 10 1 00 log log 2) log 10 13) log 100 1,000log 100,000 5que equivale a calcular: log 100 log 1,000 2 3 54) 10 000 41001 000 000 log ,' ,logque equivale a calcular: log1'000,000 log 100 6 2 45) 10 100 22 log log que equivale a calcular: 2 log 10 2126) log 10,000 log 100 2que equivale a calcular: 4221

10 00021 log , Ejemplo.Aplicando las propiedades de los logaritmos, simplificar la siguiente expresión:

4

6

25 3ca blogSolución.

log a c log c log a log b log cca blogca blog 4 5 3 2 4 5 3 225 3425 36 6 6 6 6 64

6 Ejemplo.Sabiendo que log 100 2 y que log 4 0.6020 , aplicando las propiedades de los logaritmos y sinusar la calculadora, determinar los valores aproximados de: log 400, log 25 , log 16 , log 2 .Solución.

log 400 log 1004log 100 log 4 2 0.6020 2.6020100 4 2 0 0620 1 3984100log 25 log log log . .16 4 2 4 20 06201 204 2 log log log . .0 3010

20 60204212 4 ..log log log Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Leyes de exponentes y logaritmos Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

8Un antilogaritmo es el número que corresponde a un logaritmo dado. Consiste en el problema inverso alcálculo del logaritmo de un número. Esto es:log x y antilog y x a x ya a es decir, consiste en elevar la base al número que resulta.Ejemplo.4 527 3 655810 3 655810 4 527 10 4 527 3 655810

10 10 log , . anti log . , , . Cambio de Base:Dada una base conocida b , para calcular un logaritmo de un número x en cualquier base a , se aplicala siguiente expresión:log alog xlog xbb

a .Por conveniencia, la base elegida para b generalmente es la diez, así que la expresión queda como:log alog xlog x a10

10 Ejemplo.Calcular: 570 3 logSolución: se identifican las variables: a 3, x 570, b 105 7760480 4771212 75587435705703 ...loglog

log Comprobación: 3 5705 776048 . MATEMÁTICAS BÁSICASLEYES DE EXPONENTES Y LOGARITMOSLEYES DE EXPONENTESSea un número real x . Si se multiplica por sí mismo se obtiene x x . Si a este resultado se multiplicanuevamente por x resulta x x x . De manera sucesiva, si x se multiplica por si misma n veces, seobtiene: _____n veces

x x x xPara simplificar este tipo de expresiones se acostumbra utilizar una notación abreviada, tal que:5432

x x x x x xx x x x xx x x xx x xy en general:nn veces

x x x x x_____Donde x es llamada base y el número n escrito arriba y a su derecha, es llamado exponente. Elexponente indica el número de veces que la base se toma como factor.Primera ley de los exponentesSea un número real x diferente de cero y dos números naturales n y m también diferentes de cero.Entonces, se cumple que:

n m n m x x xAl multiplicar potencias con la misma base, se mantiene la base y se suman los exponentes.Ejemplos.

1) 3 2 3 2 5 x x x x

2) 2 6 8

4a 5a 20a

3) 4 2 7 13

2k k 5k 10k

4) 3 2 3 4 6438 b a b a ab 5)3 5 6 4 9 10 9 10

51240481214856q p q p q q p q p Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Leyes de exponentes y logaritmos Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

2Segunda ley de los exponentesSea un número real x diferente de cero y dos números naturales n y m también diferentes de cero.Entonces, se cumple que:n mmn

xxx Al dividir potencias con la misma base, se mantiene la base y se restan los exponentes.Ejemplos.1)7 4 34

7

x xxx 2)538

2510aaa 3) 2 257 3

4728k mk mk m 4)246

384132aaa5)4 62 23 6 7

324832xy zx y zx y z Tercera ley de los exponentes

Sea un número real x diferente de cero. Si en la ley anterior, se hace que n m , se tiene que:0 x xxx n nnn

.Pero al dividir una expresión por si misma el resultado es la unidad, así que se cumple que:10 x Cualquier base diferente de cero elevada a la potencia cero es uno.1) 12 2 022

x xxx2) 5 5150 a 3) 10 xyz Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Leyes de exponentes y logaritmos Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

34) 392733

aa5) 113 13 013136 73 4 6

x xxxx xx x x

Cuarta ley de los exponentesSea un número real x diferente de cero y dos números naturales n y m también diferentes de cero.Entonces, se cumple que:

n m n m x xAl elevar una potencia a otra potencia, se mantiene la base y se multiplican los exponentes.Ejemplos.

1) 326 3 2 x x x

2) 3412 3 4 a a a

3) 5315 5 3 e e eQuinta ley de los exponentes

Sean dos números reales x y y diferentes de cero y un número natural n también diferente de cero.Entonces, se cumple que:

n n n xy x yEl producto de uno o más factores que se elevan todos a la vez a un exponente es igual a un producto decada factor elevado al exponente.Ejemplos.

1) 5 10 10

52

2a 2 a 32a

2) 12 12 3 3

4

3k 3 k 27k

3) 4 4 12 4 12

43

5ab 5 a b 625a b

4) 2 2 6 2 6 2 2 4xy 4 x y 16x y

5) 6 30 12 18 30 12 18 5 2 3 6 10m n p 10 m n p 1'000,000m n pSexta ley de los exponentes

Sean dos números reales x y y diferentes de cero y un número natural n también diferente de cero.Entonces, se cumple que:Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Leyes de exponentes y logaritmos Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

40

, yyxyxnn n

El cociente de uno o más factores que se elevan todos a la vez a un exponente es igual al cociente decada factor elevado al exponente.Ejemplos.1)222

yxyx 2) 3 3

3 333 3

c da bcdabcdab 3) 81625353535 1244 3 443 44

3 p p p p

4) 8

1242434423423

2 2 1648mkmkmkmk 5) 24 12

18 3012266 46 3 6 5 664 23 5

7294 096343

4w z, x yw zx yw zx y Séptima ley de los exponentesSea un número real x diferente de cero. Si n es un número entero diferente de cero, por las leyesanteriores se cumple que:10 nn n n nn

x x x xxxPero el recíproco del número real n x se definió como n x1, ya que cumple con 11 nn

xx .Comparando las expresiones, se llega a:nn

xx1 Elevar una expresión a una potencia entera negativa, equivale a formar una fracción con numerador unoy cuyo denominador es la misma expresión pero con la potencia positiva.Ejemplos.1)xx1 1 2) 33 66aa Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Leyes de exponentes y logaritmos Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

53) 4 5

4 57 103 5

88324p qp qp qp q 4)a cba b ca bca b c626 2 111 55 3 4

23231827

5) 4 12 12

4 1243

161 1212 2x xx x LOGARITMOSSea la expresión: , con a 0 y a 1.Se denomina logaritmo base del número al exponente b al que hay que elevar la base paraobtener dicho número. Es decir:que se lee como "el logaritmo base del número es ” y como se puede apreciar, un logaritmorepresenta un exponente.

La constante a es un número real positivo distinto de uno, y se denomina base del logaritmo. Lapotencia b a para cualquier valor real de solo tiene sentido si a 0 .

Ejemplos.1) 5 252 ⇒25 2 5 log 2) 3 814 ⇒81 4 3 log 3) 8 512 3 ⇒512 38 log 4)641216

⇒66412

1 log 5)1024145 ⇒5102414 log Logaritmos Decimales:Se llaman logaritmos decimales a los logaritmos que tienen por base el número diez. Al ser muyhabituales es frecuente no escribir la base:Logaritmos Naturales:Se llaman logaritmos naturales (también llamados neperianos) a los logaritmos que tienen por base elnúmero irracional e 2.718281828459 , y se denotan como ln o por L :a x b a xlog x b a a x bblog x log x 10Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Leyes de exponentes y logaritmos Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

6loge x ln x L x Ejemplos.45 45 1 653212 10 log log .

log 168 ln 168 5.123963 e Para potencias enteras de diez, los logaritmos decimales cumplen con:10 0 01 0 01 22 ⇒. log .10 0 1 0 1 11 ⇒. log .10 1 1 00 ⇒log 10 10 10 11 ⇒log 10 100 100 22 ⇒log 10 1 000 1 000 33 , ⇒log , 10 10 000 10 000 44 , ⇒log , Los logaritmos decimales de los números comprendidos entre otros dos, cuyos logaritmos decimales sonnúmeros enteros, son números decimales. Todo número decimal se compone de parte entera y partedecimal. La parte entera recibe el nombre de característica y la parte decimal, mantisa.La parte entera del logaritmo o característica depende del intervalo en el que se defina el número y laparte decimal o mantisa del valor de las cifras significativas del número.Por ejemplo, para log 45 1.653212 , la característica es y la mantisa es 0.653212 .La mantisa siempre es positiva, pero la característica puede ser cero si el número está comprendidoentre y 10 , es positiva, sí el número es mayor que o negativa si el número es menor que 1 . Laspotencias de sólo tienen característica, su mantisa es 0 . En el logaritmo de un número menor que1 la característica es negativa, pero la mantisa es positiva. Por ejemplo log 0.5 1 0.698970 yno puede escribirse como 1.698970 , pues esto indica que tanto la característica como la mantisason negativas. El modo correcto de escribirlo, indicando que sólo la característica es negativa, es1.698970 .Ejemplos.1) Para log 624 2.795184 , la característica es 22) Para log 7 0.845098 , la característica es 03) Para log 0.029 2.462398 , la característica es 2Las propiedades de los logaritmos son las siguientes:1)2) log a a 1

3) log a u vlog a u log a v 11 10101 0 a logFacultad de Contaduría y Administración. UNAM Leyes de exponentes y logaritmos Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

74) log u log vvulog a a a 5) log u n log u an

a 6) log unlog u ana

1 Ejemplos.Comprobar las propiedades de los logaritmos.1) 10 1 00 log log 2) log 10 13) log 100 1,000log 100,000 5que equivale a calcular: log 100 log 1,000 2 3 54) 10 000 41001 000 000 log ,' ,logque equivale a calcular: log1'000,000 log 100 6 2 45) 10 100 22 log log que equivale a calcular: 2 log 10 2126) log 10,000 log 100 2que equivale a calcular: 4221

10 00021 log , Ejemplo.Aplicando las propiedades de los logaritmos, simplificar la siguiente expresión:

4

6

25 3ca blogSolución.

log a c log c log a log b log cca blogca blog 4 5 3 2 4 5 3 225 3425 36 6 6 6 6 64

6 Ejemplo.Sabiendo que log 100 2 y que log 4 0.6020 , aplicando las propiedades de los logaritmos y sinusar la calculadora, determinar los valores aproximados de: log 400, log 25 , log 16 , log 2 .Solución.

log 400 log 1004log 100 log 4 2 0.6020 2.6020100 4 2 0 0620 1 3984100log 25 log log log . .16 4 2 4 20 06201 204 2 log log log . .0 3010

20 60204212 4 ..log log log Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Leyes de exponentes y logaritmos Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

8Un antilogaritmo es el número que corresponde a un logaritmo dado. Consiste en el problema inverso alcálculo del logaritmo de un número. Esto es:log x y antilog y x a x ya a es decir, consiste en elevar la base al número que resulta.Ejemplo.4 527 3 655810 3 655810 4 527 10 4 527 3 655810

10 10 log , . anti log . , , . Cambio de Base:Dada una base conocida b , para calcular un logaritmo de un número x en cualquier base a , se aplicala siguiente expresión:log alog xlog xbb

a .Por conveniencia, la base elegida para b generalmente es la diez, así que la expresión queda como:log alog xlog x a10

10 Ejemplo.Calcular: 570 3 logSolución: se identifican las variables: a 3, x 570, b 105 7760480 4771212 75587435705703 ...loglog

log Comprobación: 3 5705 776048 . MATEMÁTICAS BÁSICASLEYES DE EXPONENTES Y LOGARITMOSLEYES DE EXPONENTESSea un número real x . Si se multiplica por sí mismo se obtiene x x . Si a este resultado se multiplicanuevamente por x resulta x x x . De manera sucesiva, si x se multiplica por si misma n veces, seobtiene: _____n veces

x x x xPara simplificar este tipo de expresiones se acostumbra utilizar una notación abreviada, tal que:5432

x x x x x xx x x x xx x x xx x xy en general:nn veces

x x x x x_____Donde x es llamada base y el número n escrito arriba y a su derecha, es llamado exponente. Elexponente indica el número de veces que la base se toma como factor.Primera ley de los exponentesSea un número real x diferente de cero y dos números naturales n y m también diferentes de cero.Entonces, se cumple que:

n m n m x x xAl multiplicar potencias con la misma base, se mantiene la base y se suman los exponentes.Ejemplos.

1) 3 2 3 2 5 x x x x

2) 2 6 8

4a 5a 20a

3) 4 2 7 13

2k k 5k 10k

4) 3 2 3 4 6438 b a b a ab 5)3 5 6 4 9 10 9 10

51240481214856q p q p q q p q p Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Leyes de exponentes y logaritmos Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

2Segunda ley de los exponentesSea un número real x diferente de cero y dos números naturales n y m también diferentes de cero.Entonces, se cumple que:n mmn

xxx Al dividir potencias con la misma base, se mantiene la base y se restan los exponentes.Ejemplos.1)7 4 34

7

x xxx 2)538

2510aaa 3) 2 257 3

4728k mk mk m 4)246

384132aaa5)4 62 23 6 7

324832xy zx y zx y z Tercera ley de los exponentes

Sea un número real x diferente de cero. Si en la ley anterior, se hace que n m , se tiene que:0 x xxx n nnn

.Pero al dividir una expresión por si misma el resultado es la unidad, así que se cumple que:10 x Cualquier base diferente de cero elevada a la potencia cero es uno.1) 12 2 022

x xxx2) 5 5150 a 3) 10 xyz Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Leyes de exponentes y logaritmos Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

34) 392733

aa5) 113 13 013136 73 4 6

x xxxx xx x x

Cuarta ley de los exponentesSea un número real x diferente de cero y dos números naturales n y m también diferentes de cero.Entonces, se cumple que:

n m n m x xAl elevar una potencia a otra potencia, se mantiene la base y se multiplican los exponentes.Ejemplos.

1) 326 3 2 x x x

2) 3412 3 4 a a a

3) 5315 5 3 e e eQuinta ley de los exponentes

Sean dos números reales x y y diferentes de cero y un número natural n también diferente de cero.Entonces, se cumple que:

n n n xy x yEl producto de uno o más factores que se elevan todos a la vez a un exponente es igual a un producto decada factor elevado al exponente.Ejemplos.

1) 5 10 10

52

2a 2 a 32a

2) 12 12 3 3

4

3k 3 k 27k

3) 4 4 12 4 12

43

5ab 5 a b 625a b

4) 2 2 6 2 6 2 2 4xy 4 x y 16x y

5) 6 30 12 18 30 12 18 5 2 3 6 10m n p 10 m n p 1'000,000m n pSexta ley de los exponentes

Sean dos números reales x y y diferentes de cero y un número natural n también diferente de cero.Entonces, se cumple que:Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Leyes de exponentes y logaritmos Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

40

, yyxyxnn n

El cociente de uno o más factores que se elevan todos a la vez a un exponente es igual al cociente decada factor elevado al exponente.Ejemplos.1)222

yxyx 2) 3 3

3 333 3

c da bcdabcdab 3) 81625353535 1244 3 443 44

3 p p p p

4) 8

1242434423423

2 2 1648mkmkmkmk 5) 24 12

18 3012266 46 3 6 5 664 23 5

7294 096343

4w z, x yw zx yw zx y Séptima ley de los exponentesSea un número real x diferente de cero. Si n es un número entero diferente de cero, por las leyesanteriores se cumple que:10 nn n n nn

x x x xxxPero el recíproco del número real n x se definió como n x1, ya que cumple con 11 nn

xx .Comparando las expresiones, se llega a:nn

xx1 Elevar una expresión a una potencia entera negativa, equivale a formar una fracción con numerador unoy cuyo denominador es la misma expresión pero con la potencia positiva.Ejemplos.1)xx1 1 2) 33 66aa Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Leyes de exponentes y logaritmos Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

53) 4 5

4 57 103 5

88324p qp qp qp q 4)a cba b ca bca b c626 2 111 55 3 4

23231827

5) 4 12 12

4 1243

161 1212 2x xx x LOGARITMOSSea la expresión: , con a 0 y a 1.Se denomina logaritmo base del número al exponente b al que hay que elevar la base paraobtener dicho número. Es decir:que se lee como "el logaritmo base del número es ” y como se puede apreciar, un logaritmorepresenta un exponente.

La constante a es un número real positivo distinto de uno, y se denomina base del logaritmo. Lapotencia b a para cualquier valor real de solo tiene sentido si a 0 .

Ejemplos.1) 5 252 ⇒25 2 5 log 2) 3 814 ⇒81 4 3 log 3) 8 512 3 ⇒512 38 log 4)641216

⇒66412

1 log 5)1024145 ⇒5102414 log Logaritmos Decimales:Se llaman logaritmos decimales a los logaritmos que tienen por base el número diez. Al ser muyhabituales es frecuente no escribir la base:Logaritmos Naturales:Se llaman logaritmos naturales (también llamados neperianos) a los logaritmos que tienen por base elnúmero irracional e 2.718281828459 , y se denotan como ln o por L :a x b a xlog x b a a x bblog x log x 10Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Leyes de exponentes y logaritmos Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

6loge x ln x L x Ejemplos.45 45 1 653212 10 log log .

log 168 ln 168 5.123963 e Para potencias enteras de diez, los logaritmos decimales cumplen con:10 0 01 0 01 22 ⇒. log .10 0 1 0 1 11 ⇒. log .10 1 1 00 ⇒log 10 10 10 11 ⇒log 10 100 100 22 ⇒log 10 1 000 1 000 33 , ⇒log , 10 10 000 10 000 44 , ⇒log , Los logaritmos decimales de los números comprendidos entre otros dos, cuyos logaritmos decimales sonnúmeros enteros, son números decimales. Todo número decimal se compone de parte entera y partedecimal. La parte entera recibe el nombre de característica y la parte decimal, mantisa.La parte entera del logaritmo o característica depende del intervalo en el que se defina el número y laparte decimal o mantisa del valor de las cifras significativas del número.Por ejemplo, para log 45 1.653212 , la característica es y la mantisa es 0.653212 .La mantisa siempre es positiva, pero la característica puede ser cero si el número está comprendidoentre y 10 , es positiva, sí el número es mayor que o negativa si el número es menor que 1 . Laspotencias de sólo tienen característica, su mantisa es 0 . En el logaritmo de un número menor que1 la característica es negativa, pero la mantisa es positiva. Por ejemplo log 0.5 1 0.698970 yno puede escribirse como 1.698970 , pues esto indica que tanto la característica como la mantisason negativas. El modo correcto de escribirlo, indicando que sólo la característica es negativa, es1.698970 .Ejemplos.1) Para log 624 2.795184 , la característica es 22) Para log 7 0.845098 , la característica es 03) Para log 0.029 2.462398 , la característica es 2Las propiedades de los logaritmos son las siguientes:1)2) log a a 1

3) log a u vlog a u log a v 11 10101 0 a logFacultad de Contaduría y Administración. UNAM Leyes de exponentes y logaritmos Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

74) log u log vvulog a a a 5) log u n log u an

a 6) log unlog u ana

1 Ejemplos.Comprobar las propiedades de los logaritmos.1) 10 1 00 log log 2) log 10 13) log 100 1,000log 100,000 5que equivale a calcular: log 100 log 1,000 2 3 54) 10 000 41001 000 000 log ,' ,logque equivale a calcular: log1'000,000 log 100 6 2 45) 10 100 22 log log que equivale a calcular: 2 log 10 2126) log 10,000 log 100 2que equivale a calcular: 4221

10 00021 log , Ejemplo.Aplicando las propiedades de los logaritmos, simplificar la siguiente expresión:

4

6

25 3ca blogSolución.

log a c log c log a log b log cca blogca blog 4 5 3 2 4 5 3 225 3425 36 6 6 6 6 64

6 Ejemplo.Sabiendo que log 100 2 y que log 4 0.6020 , aplicando las propiedades de los logaritmos y sinusar la calculadora, determinar los valores aproximados de: log 400, log 25 , log 16 , log 2 .Solución.

log 400 log 1004log 100 log 4 2 0.6020 2.6020100 4 2 0 0620 1 3984100log 25 log log log . .16 4 2 4 20 06201 204 2 log log log . .0 3010

20 60204212 4 ..log log log Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Leyes de exponentes y logaritmos Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

8Un antilogaritmo es el número que corresponde a un logaritmo dado. Consiste en el problema inverso alcálculo del logaritmo de un número. Esto es:log x y antilog y x a x ya a es decir, consiste en elevar la base al número que resulta.Ejemplo.4 527 3 655810 3 655810 4 527 10 4 527 3 655810

10 10 log , . anti log . , , . Cambio de Base:Dada una base conocida b , para calcular un logaritmo de un número x en cualquier base a , se aplicala siguiente expresión:log alog xlog xbb

a .Por conveniencia, la base elegida para b generalmente es la diez, así que la expresión queda como:log alog xlog x a10

10 Ejemplo.Calcular: 570 3 logSolución: se identifican las variables: a 3, x 570, b 105 7760480 4771212 75587435705703 ...loglog

log Comprobación: 3 5705 776048 .