Desarrollo de un modelo de elementos finitos para el diseño

Tecnura

ISSN: 0123-921X

[email protected]

Universidad Distrital Francisco José de Caldas

Colombia

RODRÍGUEZ CALDERÓN, WILSON; PALLARES MUÑOZ, MYRIAM ROCÍO

Desarrollo de un modelo de elementos finitos para el diseño racional de pavimentos

Tecnura, vol. 9, núm. 17, 2005, pp. 25-37

Universidad Distrital Francisco José de Caldas

Bogotá, Colombia

Disponible en: http://www.redalyc.org/articulo.oa?id=257021014002

Cómo citar el artículo

Número completo

Más información del artículo

Página de la revista en redalyc.org

Sistema de Información Científica

Red de Revistas Científicas de América Latina, el Caribe, España y Portugal

Proyecto académico sin fines de lucro, desarrollado bajo la iniciativa de acceso abierto

http://www.redalyc.org/revista.oa?id=2570

http://www.redalyc.org/articulo.oa?id=257021014002

http://www.redalyc.org/comocitar.oa?id=257021014002

http://www.redalyc.org/fasciculo.oa?id=2570&numero=21014

http://www.redalyc.org/articulo.oa?id=257021014002

http://www.redalyc.org/revista.oa?id=2570

http://www.redalyc.org

25Desarrollo de un modelo de elementos finitos para el diseño racional de pavimentos

WILSON RODRÍGUEZ CALDERÓN / MYRIAM ROCÍO PALLARES MUÑOZ

con-ciencias

Desarrollo de un modelo de elementosfinitos para el diseño racional de pavimentos

Development of a finite elements model for rationaldesign of pavement

R E S U M E N

El modelo desarrollado pretende predecir los es-

fuerzos y deformaciones de la estructura del

pavimento por acción del tráfico y el clima, reali-

zando inicialmente un análisis estructural lineal y

planteando luego una propuesta no lineal con su

respectiva solución iterativa, teniendo en cuenta el

carácter de las ecuaciones empleadas. El artículo

presenta un modelo de elementos finitos para des-

cribir de forma real y lógica el comportamiento

físico-mecánico de una estructura de pavimento,

teniendo el mayor número de variables o paráme-

tros permitidos por las formulaciones lineal y no

lineal de los modelos constitutivos de los materia-

les que componen la estructura.

Una vez obtenido el modelo computacional, es po-

sible proceder en una segunda fase a la calibración

de los parámetros mediante medición directa u op-

timización matemática. Este trabajo es el comienzo

de una investigación con posibles modificaciones

futuras, dadas las múltiples irregularidades de una

estructura de pavimento tradicional; no obstante,

el propósito es avanzar en la metodología de análi-

sis del estado tenso-deformacional de los

pavimentos ante cargas estándar.

Palabras clave: elementos finitos, diseño racional de pavimentos, modelos constitutivos.

Key words: finite elements, rational design of pavements, constitutive models.

WILSON RODRÍGUEZ CALDERÓN

Ingeniero Civil de la Universidad Industrial de Santander, Especialista en Gerencia Integral de

Obras de la Escuela de Ingenieros Militares, Magíster en Métodos Numéricos para el Cálculo y

Diseño en Ingeniería de la Universidad Politécnica de Cataluña (Barcelona). Director de los grupos

de investigación Informática y Métodos Matemáticos (registrado ante Colciencias, Colombia) y

Simulación y Control Numérico “SICON” (reconocido por Colciencias). Docente del programa de

Ingeniería Civil de la Pontificia Universidad Javeriana.

[email protected]

MYRIAM ROCÍO PALLARES MUÑOZ

Ingeniera Civil de la Universidad Industrial de Santander, Magíster en Métodos Numéricos para

Ingeniería de la Universidad Politécnica de Cataluña.

[email protected]

Clasificación del artículo: investigación

Fecha de recepción: mayo 02 de 2005 Fecha de aceptación: diciembre 16 de 2005

26 Tecnura año 9 No.17 segundo semestre de 2005

con-ciencias

A B S T R A C T

The model developed in this investigation tries to

predict the stresses and strains of the pavement

structure to traffic and climate. Initially, a lineal struc-

tural analysis is made; later, a non lineal proposal

and the iterative solution are suggested, keeping the

character of the used equations. This article intro-

duces a finite elements model that tries to describe

the physical-mechanical behavior of a pavement

structure, keeping the biggest number of variables

or allowed parameters, so much for the lineal for-

mulation as for the non lineal formulation of the

materials constitutive models that compose the

structure. This work starts a research with possi-

ble future modifications, considering the high variety

of irregularities of the traditional pavement structu-

re. We wish to advance in the tension-deformation

state of pavements in front of standard charges

analysis methodology.

1. Antecedentes e introducción

En el diseño de pavimentos es viable suponer solu-

ciones a partir de las que, mediante un proceso de

ajustes sucesivos, puede lograrse una condición

favorable en la estructura del pavimento que ga-

rantice unas condiciones de equilibrio durante

determinado período de tiempo. Este procedimien-

to para el dimensionamiento de las estructuras de

pavimento se conoce como “métodos analíticos o

racionales”; ellos se fundamentan en el análisis del

estado de esfuerzos y deformaciones que les indu-

cen diferentes solicitaciones como tránsito, clima y

características de los materiales de cada una de las

capas y del suelo de fundación o subrasante.

Para el análisis de estructuras de pavimento exis-

ten dos grandes vertientes o grupos de métodos:

los de carácter empírico y los fundamentados en

criterios racionales, comúnmente llamados meca-

nicistas. Para la implementación adecuada de un

modelo racional se requiere de un computador que

desarrolle los procesos matemáticos y del criterio

ingenieril adquirido por experiencia directa en ca-

racterización de los materiales, determinación de

patologías causantes de daño en estructuras del

pavimento y familiaridad con órdenes de magnitud

de parámetros de entrada y salida del problema.

Los métodos racionales pueden presentar diferen-

cias en la predicción del comportamiento de la

estructura del pavimento de acuerdo con: a) rigu-

rosidad de modelos constitutivos de material; b)

* * *

caracterización de parámetros de entrada; c) hipó-

tesis sobre dominio y condiciones de contorno del

problema; d) compatibilidad existente entre capas;

e) solicitaciones y condiciones ambientales para el

funcionamiento. En la medida en que el modelo se

adecue a las condiciones reales, será mayor la

aproximación con la cual se caracterice la respuesta

estructural y los esfuerzos y deformaciones críti-

cas para el diseño de espesores.

2. Marco teórico

Dentro de los métodos más difundidos para el dise-

ño racional de pavimentos se encuentran aquellos

que representan la estructura como un conjunto de

capas de espesor constante y longitud infinita hori-

zontal, apoyadas sobre un dominio semi-infinito o

subrasante. Las capas se suponen compuestas por

materiales homogéneos, isótropos y gobernados por

un modelo constitutivo lineal elástico. Sin embargo,

debe notarse que en la definición del módulo elástico

de la capa asfáltica se tienen en cuenta la tempera-

tura y frecuencia de aplicación de la carga, con lo

cual, implícitamente, se considera el comportamien-

to visco-elástico real de las mezclas asfálticas. Bajo

esta perspectiva se han desarrollado importantes

aplicaciones computacionales, como ALIZE III,

ELSYM5 y DEPAV1

; paquetes de software que

trabajan con las restricciones propias de su formu-

1 Software comercial para el diseño de pavimentos.



con-ciencias

lación y están restringidos en capacidad en cuanto

al número de capas que pueden representar.

Las técnicas más avanzadas para el análisis y dise-

ño racional de pavimentos consideran el uso de

elementos finitos como la vía de mayor flexibilidad

y versatilidad para la representación de los mate-

riales, las condiciones de compatibilidad y la

representación de n capas; en general se destaca

la gran capacidad para incluir complejidades al pro-

blema, generando mayor certeza de los resultados

alcanzados. A este grupo pertenecen las aplicacio-

nes multifísicas que originalmente no están diseñadas

para abordar el problema particular del comporta-

miento tenso-deformacional de la estructura del

pavimento; sin embargo, cuentan con todas las he-

rramientas que aprovechadas por un usuario

experto pueden conducir a modelos satisfactorios,

más centrados en la realidad del comportamiento

del pavimento. En este artículo se plantea el uso de

ANSYS como modelador de alto rango; no obstan-

te, pueden emplearse otros modeladores similares,

por ejemplo, ABAQUS o NASTRAN2

, teniendo

en cuenta que en cada uno de ellos es necesario

realizar una adaptación de acuerdo con las posibili-

dades de modelación numérica que ofrecen.

En este trabajo se presenta un contraste entre los

modelos elásticos y elastoplásticos, generando gran-

des expectativas sobre la validez de las dos teorías

en la representación del comportamiento de los di-

ferentes materiales de un pavimento.

2.1 Ventajas del método de elementos finitos enel análisis

El método de elementos finitos cuenta con innume-

rables ventajas para el desarrollo de un modelo

conceptual y numérico de análisis racional de pavi-

mentos. Entre ellas pueden destacarse:

a) Inclusión de la temperatura como parámetro en

la capa asfáltica. Ello se logra gracias a la posi-

bilidad de incorporar curvas maestras que

caracterizan el módulo dinámico de la mezcla

asfáltica en el intervalo de 5 a 40°C, u otro in-

tervalo de trabajo.

b) Introducción de la no linealidad en las deforma-

ciones (large strain) a través de la activación

de la no linealidad geométrica en el modelo

elastoplástico.

c) Inclusión de la cohesión y del ángulo de fric-

ción como parámetros característicos de los

geomateriales; esto permite, a través de un

modelo constitutivo de Drucker-Prager, carac-

terizar el material no linealmente (aproximación

elastoplástica al modelo de Mohr-Coulomb).

d) Curvas de esfuerzo-deformación (modelos reo-

lógicos).

e) Condición de compatibilidad ligada o no ligada

entre capas.

f) Solución iterativa e incremental para la aplica-

ción de la carga.

g) Determinación de zonas plásticas.

h) Inexistencia de restricción en el número de ca-

pas constituyentes del modelo geométrico.

i) Posibilidad futura de tener en cuenta modelos

constitutivos de material y análisis más avanza-

dos, dado el carácter abierto del método.

2.2 Clasificación y fundamentación del análisis

Los modelos fundamentan su análisis en curvas de

esfuerzo-deformación, teoría elástica y elasto-plas-

ticidad perfecta en geomateriales; sus cálculos se

basan en una representación de las condiciones de

campo en términos del estado de tensiones y de-

formaciones inducidas por diferentes solicitaciones

(cargas, clima, etc.) a los materiales constitutivos

de la estructura del pavimento.

En el modelo lineal es importante señalar que la

imposición o no de condición de liga entre capas

marca notablemente el análisis del comporta-

miento del pavimento. Igualmente, en el análisis

estructural no lineal deben destacarse los siguien-

tes efectos:

• Grandes deformaciones (large strain): la de-

formación no está definida en forma lineal sino

2 Software comercial de elementos finitos.


con-ciencias

en términos de una función logarítmica (e = Ln

(DL/L)) que permite minimizar el error en los

cálculos ante grandes deformaciones. Es de

notar que esta expresión es muy conveniente

en el análisis de geomateriales, según la litera-

tura técnica sobre este tema.

• Variación en la forma de aplicación de la carga

a medida que la estructura se deforma: las car-

gas concentradas y el peso mantienen su

dirección después de la deformación, mientras

que la presión de inflado siempre se ejerce de

manera perpendicular a la superficie, ajustán-

dose a la estructura deformada.

• Variación de la respuesta estructural de acuer-

do con el nivel de esfuerzos: cada punto del

modelo puede trabajar de manera elástica o

inelástica de acuerdo con el nivel de esfuerzo

solicitado, representando la no linealidad del

problema.

3. Planteamiento del problema

3.1 Modelación de la estructura del pavimento

En el análisis de la estructura de un pavimento nue-

vo se requiere de un predimensionamiento, esto es,

de los espesores de las capas que lo componen

obtenidos de diseños preliminares. En estructuras

existentes los espesores de capa son determinados

mediante inspección directa a través de sondeos,

apiques o extracción de núcleos.

En la figura 1 se esquematiza una estructura de

pavimento típica. En un modelo de este tipo desa-

rrollado con ANSYS pueden añadirse capas y variar

la dimensión de los espesores y tipos de material, si

el analista así lo requiere. El modelo desarrollado

en este trabajo representa sólo la mitad derecha

utilizando una formulación axisimétrica bidimensio-

nal del problema de esfuerzo-deformación. La línea

roja representa el eje de simetría para el dominio y

la carga circular de magnitud q y radio a. En cuan-

to a la condición de unión de las interfaces puede

optarse por compatibilidad ligada o no ligada, de

acuerdo con los materiales componentes y la expe-

riencia del analista en proyectos similares.

Figura 1. Estructura típica de un pavimento

Las dimensiones de las capas constitutivas de la

estructura del pavimento modelado se presentan en

la tabla 1.

Tabla 1. Espesores de capa de la estructura del pavimento

La subrasante es semi-infinita; sin embargo, en los

modelos de elementos finitos las fronteras se ubi-

can de tal forma que puedan establecerse líneas en

donde no existen desplazamientos importantes, de-

bido a la lejanía que presentan respecto a la carga

aplicada.

3.2 Módulos de elasticidad de los materiales

Los módulos de elasticidad del suelo y de las capas

granulares se determinan por medio de ensayos

triaxiales dinámicos para suelos. El módulo elástico

de la capa asfáltica se establece a través de ensa-

yos de módulos dinámicos a la temperatura y a la

frecuencia de diseño del pavimento, o por medio de

pistas de prueba o tramos experimentales sobre los

cuales se realizan ensayos de viga Benkelman do-

ble o utilizando deflectómetros.

El ensayo de módulos dinámicos se realiza emplean-

do una máquina de tracción indirecta, como la

máquina dinámica de ensayos Nottingham Asphalt

Tester –NAT. El ensayo es una prueba de tracción

indirecta: una carga vertical es aplicada con de-

aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa

aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa

aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa



con-ciencias

terminada frecuencia a una probeta de mezcla as-

fáltica midiendo instantáneamente el desplazamiento

horizontal de la muestra mediante sensores (LVDT)

calibrados para capturar desplazamientos del orden

micrométrico. La frecuencia de carga es controlada

a través del parámetro rise-time (tiempo pico), que

determina el tiempo de ascenso de la carga y permi-

te tener en cuenta el comportamiento viscoelástico

real de las mezclas asfálticas. Generalmente, el en-

sayo se realiza a tres temperaturas (5, 25 y 40°C)

para caracterizar lo que comúnmente se denomina

curva maestra de la mezcla asfáltica o del núcleo

extraído in situ. Las figuras 2, 3 y la gráfica 1 ilus-

tran ciertos detalles sobre el ensayo de módulos.

Figura 2. Montaje de la prueba de módulos dinámicos –NAT

Los módulos de elasticidad tomados como referen-

cia se muestran en la tabla 2.

Tabla 2. Módulos de las capas constitutivas

Figura 3. Aplicaciones de carga en pruebas de módulos dinámicos

Gráfica 1. Curvas maestras de módulos dinámicos3 El valor del módulo dinámico fue tomado de ensayos sobre

muestras obtenidas en el Laboratorio de Asfaltos del Instituto

Colombiano del Petróleo, en el marco de la investigación de los

autores, titulada “Aditivos mejoradores de adherencia para asfaltos”.

Las conclusiones más importantes de este proyecto se publicaron

en la revista de Corasfaltos Asfaltos y Pavimentos (septiembre de

2000). La granulometría de la mezcla corresponde al huso medio de

la especificación MDC-2 del Invías-96 para capa de rodadura de

mezcla densa en caliente. El asfalto utilizado fue una muestra de

Apiay-1999. La dosificación se efectuó con el método Marshall y el

porcentaje óptimo de asfalto obtenido fue de 6,3%. El valor del

módulo dinámico empleado en el modelo se tomó a una temperatura

de 25°C y una frecuencia de 5 Hz.

3.3 Relaciones de Poisson

El módulo de Poisson se define como la relación

entre las deformaciones horizontal y vertical indu-

cidas en la estructura del pavimento por acción de

la carga. La variación de este parámetro no tiene

una incidencia considerable en su comportamiento;

por esta razón, se emplean valores característicos

como los mostrados en la tabla 3.

Tabla 3. Relaciones de Poisson de las capas constitutivas de

la estructura del pavimento

* Los datos fueron tomados del documento “Caracterización

de materiales viales. Su aplicación al diseño estructural de

pavimentos” de la Universidad del Cauca, en el cual se recopilan

importantes trabajos de investigación de diferentes países

incluido Colombia.

En el modelo que aquí se propone se incorporó la

variación del módulo de Poisson respecto a la tem-


con-ciencias

peratura en la capa asfáltica utilizando la siguiente

función, propuesta por la Universidad de Notting-

ham:

Para T< 10º C → ν = 0,25

T> 10º C → ν = 0,01*T + 0,15 (1)

Suponiendo condiciones normales de temperatura

(25°C) en la capa asfáltica, ν ≈ 0,40. La gráfica 2

ilustra el comportamiento de Poisson en la capa

asfáltica respecto a la temperatura, como lo indica

la expresión (1).

Gráfica 2. Curva de la Universidad de Nottingham para la

relación de Poisson en mezclas asfálticas

3.4 Ángulo de fricción interna y cohesión

Estos dos datos son imprescindibles para el modelo

elastoplástico no lineal propuesto en este trabajo.

Empleando estos dos parámetros es posible definir

el esfuerzo de fluencia incorporando materiales

constitutivos del tipo elasto-plástico perfecto (grá-

fica 3), que son una aproximación bastante cercana

del modelo constitutivo de Mohr-Coulomb para geo-

materiales.

Para geomateriales, el modelo de Drucker-Prager

establece que el esfuerzo de fluencia puede ser

calculado por medio de:

(2)

donde: σy → Esfuerzo de fluencia

φ → Angulo de fricción interna

C → Cohesión > 0

Gráfica 3. Curva esfuerzo-deformación de un geomaterial

(modelo Drucker-Prager)

Para el modelo no lineal se establecieron valores

de prueba obtenidos de la literatura técnica en el

tema. Sin embargo, es importante señalar que este

modelo es una propuesta cuyo éxito dependerá de

la calibración de los parámetros por medio de en-

sayos de laboratorio y de campo que permitan

establecer su magnitud real. En cualquier caso, el

modelo Drucker-Prager ha sido probado con éxito

en problemas geotécnicos de cierta utilidad prácti-

ca en ingeniería. La tabla 4 muestra los valores

adoptados para probar el modelo no lineal de ele-

mentos finitos en este trabajo.

Tabla 4. Cohesión y ángulo de fricción para el modelo no

lineal propuesto

Se conoce que en la capa asfáltica el ligante aporta

cohesión a la mezcla asfáltica y el agregado mine-

ral la componente friccionante (SUPERPAVE). En

las demás capas la cohesión y el ángulo de fricción

son parámetros conocidos y utilizados ampliamen-

te en problemas de esfuerzos bajo zapatas y

estabilidad de taludes, referenciados con suficien-

cia en la literatura técnica sobre el tema.

3.5 Presión de inflado y radio de carga

La carga aplicada está representada por una pre-

sión vertical distribuida uniformemente sobre un área



con-ciencias

circular. Se ha demostrado que la presión transmi-

tida equivale a la presión de inflado de las llantas.

Como el modelo utilizado en este trabajo es bidi-

mensional, en el programa es necesario especificar

que la carga es aplicada en un área circular, lo cual

determina la naturaleza axisimétrica del modelo. El

radio de carga empleado es de 10,8 cm, bajo una

presión de inflado de 5,6 kg/cm2

.

3.6 Condiciones de contorno aplicadas almodelo

El modelo está confinado lateralmente y el eje de la

carga circular está restringido en sus movimientos

horizontales debido a la simetría de la carga respecto

al eje central. La base de la estructura está restringida

en su movimiento vertical y su ubicación se establece

en la medida que los desplazamientos de dicha base

tiendan a cero. Las capas se consideran ligadas o no

ligadas, según el caso, y la geometría utilizada busca

aprovechar la característica cilíndrica del modelo real,

permitiendo un ahorro considerable en elementos y

tiempo computacional.

3.7 Parámetros de control del diseño

En la estructura del pavimento, la deformación por

tracción en la fibra inferior de la capa asfáltica

(et) y el esfuerzo vertical por compresión aplica-

do sobre la subrasante (sv) se establecen como

parámetros de control. Se destaca que el esfuerzo

de tracción en la fibra inferior de la capa asfáltica

(st) es un parámetro que puede establecer diferen-

cias entre un modelo elástico y uno elastoplástico.

En la figura 4 se indica la ubicación de estos pará-

metros en la estructura del pavimento.

Figura 4. Ubicación de los parámetros de control del diseño de la estructura del pavimento

3.8 Organización del programa ANSYS

El programa ANSYS está organizado en dos niveles

básicos: entrada y procesamiento (o de rutinas). El

nivel de entrada actúa como una puerta dentro y fue-

ra del programa; es usado para tener un control global

del programa. En el nivel de procesamiento están dis-

ponibles varios procesadores, cada uno constituido por

un conjunto de funciones que realizan tareas específi-

cas del análisis: en el preprocesador general (/PREP7)

se construye el modelo paramétricamente (geome-

tría, materiales, acoplamiento y restricciones a los

grados de libertad), en el procesador de solución

(/SOLU) se aplican las cargas y se obtiene la solu-

ción del problema, y en el posprocesador general

(POST1) se evalúan los resultados sobre todo el

modelo en puntos específicos.

4 Disponible en la librería de elementos del programa comercial de

elementos finitos ANSYS.5 Las direcciones ortotrópicas del material corresponden a las

direcciones de las coordenadas del elemento.

3.9 Elemento finito empleado

El elemento PLANE424

es bidimensional y definido

por cuatro nodos, con dos grados de libertad por nodo

(UX,UY) y capacidad para representar estados de

tensión plana, deformación plana y axisimetría. El

elemento posee propiedades plásticas, creep, rigidez

al esfuerzo, grandes deflexiones y capacidad para

grandes deformaciones; también posee propiedades

para materiales ortotrópicos5

. En la tabla 5 se ilus-

tran la geometría, localización de nodos y sistema de

coordenadas para este elemento, con el que se cons-

truyeron todas las capas del modelo.


con-ciencias

Tabla 5. Datos de entrada del elemento para análisis estructural –2D, PLANE42

4. Resultados y discusión

Con el objeto de observar los efectos de los mode-

los constitutivos de los materiales, las condiciones

de liga o no liga entre capas y la verificación de

parámetros de diseño (esfuerzos y deformaciones

de tracción en la interfase capa asfáltica-base

granular y los esfuerzos verticales en la subrasan-

te) en la estructura de un pavimento, se realizaron

tres modelos6

:

1) Modelo elástico lineal de capas ligadas: la hipó-

tesis de compatibilidad en todas las capas es de

tipo ligada, lo que significa compatibilidad total

en los desplazamientos horizontales y verticales.

2) Modelo elástico lineal de capas no ligadas: la

hipótesis de compatibilidad en todas las capas

es de tipo no ligada, que simboliza compatibili-

dad sólo en los desplazamientos verticales.

3) Modelo elastoplástico no lineal de capas liga-

das7

: la hipótesis de compatibilidad en todas las

capas es de tipo ligada, con compatibilidad total

en los desplazamientos horizontales y vertica-

les. Este modelo es una propuesta que debe ser

calibrada y verificada en estudios futuros; sin

embargo, es factible numérica y físicamente, si

se tiene en cuenta que los parámetros de cohe-

sión y ángulo de fricción son comunes en la

mecánica de los geomateriales y pueden ser

determinados en el laboratorio.

Los resultados de esfuerzo y deformación de los

tres modelos en consideración se presentan por

medio de isocontornos.

4.1 Modelo elástico lineal de capas ligadas

En la figura 5 se ilustra el modelo geométrico para

las tres alternativas planteadas anteriormente. De

abajo hacia arriba, la primera capa es la subrasan-

te; la siguiente, la sub-base; la tercera, la base y la

cuarta, la capa asfáltica.

6 Trabajo de investigación realizado por uno de los autores

(Rodríguez W.) en el Instituto Colombiano del Petróleo.7 El análisis de comparación se realiza entre un modelo lineal y un

elastoplástico (no se hace con un viscoelástico), dado que existen

serias restricciones para obtener parámetros viscoelásticos de

mezclas asfálticas que puedan emplearse en un modelo de

elementos finitos. Hasta el momento, en Colombia no existen

máquinas para realizar ensayos que puedan obtener estos

parámetros vía experimental. El modelo elastoplástico sugerido

tiene la ventaja de poseer parámetros obtenibles en el laboratorio y,

por tanto, es un modelo factible que va más allá de las técnicas

convencionales y que verifica un problema reportado en la literatura:

la plastificación de la base.



con-ciencias

Figura 5. Dominio del modelo geométrico

En las gráficas 4 y 5 puede observarse la concentra-

ción de esfuerzos y deformaciones horizontales en

la interfase constituida por la capa asfáltica y la base,

como lo predicen otras teorías (por ejemplo, la elás-

tica lineal multicapa, empleada por programas

comerciales como el ALIZE III y el DEPAV). La

gráfica 6 revela que el bulbo de esfuerzos reduce su

influencia a medida que se acerca a la subrasante,

como se espera para garantizar la capacidad portan-

te del suelo. Finalmente, la gráfica 7 permite observar

una concentración de esfuerzos de corte en la capa

asfáltica, que comúnmente no es empleada como pa-

rámetro de control, pero que sería importante evaluar

por los posibles efectos de daño que le producirían,

ya que de ser así debería tenerse en cuenta en el

diseño racional de pavimentos.

Gráfica 4. Isocontornos de esfuerzo horizontal

Gráfica 5. Isocontornos de deformación total horizontal

Gráfica 6. Isocontornos de esfuerzo vertical

Gráfica 7. Isocontornos de esfuerzo cortante


con-ciencias

4.2. Modelo elástico lineal de capas no ligadas

Las gráficas 8 y 9 ponen de manifiesto la influencia

de la compatibilidad no ligada en el comportamien-

to estructural del pavimento, demostrando que los

esfuerzos y las deformaciones horizontales son ab-

sorbidos en gran parte por la capa asfáltica. La gráfica

10 demuestra que el bulbo de esfuerzos vertical se

corta y solo permanece en la capa asfáltica, deno-

tando de cierta manera la discontinuidad provocada

por el carácter no ligado de las capas. La gráfica 11

muestra la persistencia de la concentración de

esfuerzos cortantes en la capa asfáltica.


Gráfica 9. Isocontornos de deformación total horizontal



4.3. Modelo elastoplástico no lineal de capasligadas




con-ciencias

Gráfica 13. Isocontornos de deformación total horizontal Gráfica 16. Isocontornos de deformación plástica horizontal



En las gráficas 12 y 13 se observa la concentración

de esfuerzos y deformaciones horizontales en la

interfase capa asfáltica-base, tal como lo predice

el modelo elástico lineal de capas ligadas; sin em-

bargo, los valores difieren un poco por el cambio

mismo del modelo constitutivo. La gráfica 14 mues-

tra un bulbo de esfuerzos verticales similar al del

modelo elástico de capas ligadas. La gráfica 15

expone la misma configuración en la concentración

de los esfuerzos de corte de la capa asfáltica del

modelo lineal elástico de capas ligadas, con dife-

rencias en los valores. Finalmente, la gráfica 16

revela los fenómenos plásticos en la capa de base,

los cuales se sugiere analizar con mucho cuidado,

si se tiene en cuenta que ellos están controlados

por los parámetros de cohesión y ángulo de fric-

ción del material granular constitutivo.

5. Comparación de resultados

En la tabla 6 se presentan comparaciones entre

esfuerzos y deformaciones para cada uno de los

modelos. Sx (kg/cm2

) representa el esfuerzo hori-

zontal en la interfase capa asfáltica y base granular;

ex, la deformación horizontal en la interfase capa

asfáltica y base granular; Sxy (kg/cm2

) es el es-

fuerzo cortante máximo en la capa asfáltica.


con-ciencias

Tabla 6. Comparación de parámetros de respuesta en los tres modelos

El esfuerzo horizontal Sx es mayor en el modelo no

lineal y se observa una diferencia significativa en-

tre los resultados obtenidos con condición ligada y

no ligada. En las deformaciones horizontales (εx)

ocurre lo mismo que con los esfuerzos horizonta-

les, Sx. En los esfuerzos de corte Sxy se observan

valores similares entre el modelo elástico lineal li-

gado y el modelo no lineal, mientras que el modelo

lineal no ligado presenta esfuerzos menores. La con-

dición no ligada es difícil de garantizar en campo,

dado que en las interfases en verdad existe un fe-

nómeno de contacto complejo y, en algunos casos,

la condición de no liga puede ser inconveniente para

la estabilidad de la estructura. No obstante, los mo-

delos evidencian que el efecto estructural de las

cargas es menor cuando la condición de compatibi-

lidad de las capas es no ligada.

En general, el modelo no lineal es más crítico que el

lineal. Esta situación genera la pregunta: ¿es ne-

cesario avanzar hacia modelos no lineales de

predicción de esfuerzos y deformaciones en pavi-

mentos? Esta pregunta no puede ser respondida

categóricamente, descalificando las aproximacio-

nes hechas por los modelos lineales; no obstante,

los resultados obtenidos del análisis que aquí se plan-

tea advierten que vale la pena realizar esfuerzos

por ir más allá de la teoría de la elasticidad, ya que,

efectivamente, en los pavimentos suceden fenóme-

nos no lineales como deformaciones plásticas,

fluencia y fatiga, entre otros, que sólo pueden abor-

darse considerando otros modelos constitutivos de

mayor alcance.

Sin embargo, deberá evitarse emplear modelos ex-

cesivamente complejos, pues en muchas ocasiones

no es factible obtener sus parámetros por medio

del laboratorio y no queda otra salida que acudir a

costosas técnicas de retrocálculo, debido a la gran

información que requieren para obtener ajustes me-

dianamente satisfactorios, y al consumo de tiempos

considerables para llegar a obtener resultados con

márgenes de confiabilidad aceptables. En este sen-

tido, se considera que la propuesta no lineal

presentada en este trabajo es viable, si se tiene en

cuenta que los parámetros de cohesión, fricción y

módulo pueden ser determinados con pruebas de

laboratorio reconocidas.

6. Conclusiones y recomendaciones

• El método de elementos finitos demuestra su

superioridad respecto a otras metodologías y

marca un camino a seguir para realizar diseños

de pavimentos más ajustados al comportamiento

real. En una segunda fase se propone realizar

las actividades de calibración pertinentes y la

verificación de los modelos para determinar su

grado de validez. Sin embargo, debe destacar-

se que el desarrollo de los modelos numéricos

en sí mismos constituyen una importante herra-

mienta para futuras investigaciones en el campo

del análisis y diseño de pavimentos.

• El esfuerzo de corte es un dato no empleado

normalmente como parámetro de control en el

diseño de pavimentos; sin embargo, los mode-

los de elementos finitos advierten la existencia

de concentraciones de esfuerzos de corte que

probablemente induzcan fallas importantes a la

estructura. Mediante la implementación de un

modelo numérico adecuado podría predecirse

de manera más clara su influencia y la relevan-

cia de tenerlo en cuenta en el diseño. Para pistas

de aeropuertos, el cálculo de esfuerzos de cor-

te tiene gran importancia si se tiene en cuenta

que el impacto de los aviones durante el proce-



con-ciencias

so de aterrizaje produce esfuerzos de corte de

magnitud considerable.

• La condición de liga entre capas no es muy

ventajosa respecto de la de no liga desde el punto

de vista de los esfuerzos y deformaciones ob-

tenidos del análisis. No obstante, en la realidad

suele existir un fenómeno complejo de contac-

to entre capas intermedio entre las condiciones

de liga y no liga. En la topografía colombiana

(zonas montañosas en gran parte del territorio)

no convienen los estados de no liga, que pue-

den afectar la estabilidad de las estructuras.

• Algunas veces la condición de liga entre capas

puede verse afectada por la inclusión de geoma-

llas en las interfases (por ejemplo, geomallas

en la interfase capa asfáltica-base); por esto,

se recomienda evaluar la conveniencia técnica

y económica de emplear este tipo de materiales

en estructuras.

• Se recomienda usar los resultados de los mode-

los numéricos de elementos finitos con buen

juicio y rigor matemático, físico e ingenieril para

tomar decisiones basadas en las restricciones e

hipótesis propias de los modelos; de otra mane-

ra, puede llegarse a concepciones erradas o poco

ajustadas a la realidad. No debe olvidarse que

todo modelo matemático o físico es una aproxi-

mación a la realidad, y que es imprescindible

reconocer el alcance de las teorías que susten-

tan las predicciones halladas.

• El modelo elastoplástico desarrollado en este

trabajo predice deformaciones plásticas en la

base granular. Esta situación es reportada por

la literatura en casos de campo.

Referencias bibliográficas

[1] CHEN, W. F. Y BALADI, G. Y. (1985). Soil Plasticity.

Theory and implementation. Elsevier.

[2] CHRISTIAN, J. F. Y DESAI, C. S. (1977). Constituti-

ve laws for geologic media. Numerical Methods in

Geotechnical Engineering. Desai, C. S. & Christian, J.

T. (eds.), McGraw-Hill.

[3] DAFALIAS, H. F. Y HERRMANN. L. R. (1982).

Bounding surface formulation of soil plasticity. Soil

Mechanics –Transient and cyclic loads. Pande, G.N. &

Zienkiewicz, O.C. (eds.) Wiley.

[4] DAVID M. POTTS, LIDIJA ZDRAVKOVIC (1999).

Finit Element Analysis in Geotechnical Engineering -

Theory. Thomas Telford, London.

[5] DESAI, C. S. Y SIRIWARDANE, H. J. (1984). Cons-

titutive laws for engineering materials. Prentice Hall,

Englewood Cliffs, New Jersey.

[6] DRUCKER, O. C. Y PRAGER, N. (1962). Soil me-

chanics and plastic analysis of limit design. Quarterly

Applied Math, vol. 10, pp. 157-164.

[7] GUDEHUS, G. (1985). Requirements for constitutive

relations for soils. Mechanics of Geomaterials. Rocks,

Concrete, Soils. Bazant, Z. P. (ed.) Wiley, cap. 4.

[8] MARQUES, J. M. M. C. (1984). Stress computation

in elastoplasticity. Engineering Computations, vol. 1,

pp. 42-51.

[9] OWEN, D. R. J. Y HINTON, E. (1980). Finite ele-

ments in plasticity. Pineridge Press.

[10] PERZYNA, P. (1966). Fundamental problems in vis-

coplasticity. Advanced Applied Mechanics, vol. 9, pp.

243-377.

[11] SCOTT, R. F. (1985). Plasticity and constitutive rela-

tions in soil mechanics. J. Geotech. Engrg. ASCE, vol.

111, pp. 559-605.

[12] CHEN, W. F. Y MIZUNO, E. (1990). Nonlinear analy-

sis in Soil Mechanical. Theory and implementation.

[13] SWANSON ANALYSIS SYSTEMS, Inc. Houston.

Ansys User Manual/Revision 5.0. vol. I (Procedu-

res), vol. II (Comands), vol. III (Elements), vol. IV

(Theory).

[14] WOOD, D. M. (1984). Choice of models for geotech-

nical problems. Mechanics of engineering materials.

Desai, C. S. & Gallagher, R. H. (eds.), Wiley.

[15] WOOD, D. M. (1990). Soil Behaviour and Critical

State Soil Mechanics. Cambridge University Press.

[16] ZIENKIEWICZ, O. C. y CORMEAU, I. (1974).

Viscoplasticity-plasticity and creep in elastic solids -

a unified numerical solution approach. Internatio-

nal Journal for Numerical Methods in Engineering.

vol. 8, pp.

Documents

Desarrollo de un modelo de elementos finitos para el diseño