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Capıtulo 4
Modelo de Elementos Finitos
4.1. Generacion del modelo
El modelo de elementos finitos de la mandıbula, desarrollado por Martınez-Reina [82] se
complemento con un modelo adaptado de la articulacion temporomandibular desarrollado
por Perez del Palomar [17]. La mandıbula ha sido mallada con elementos hexaedricos lineales
de 8 nodos (tipo C3D8 de la librerıa de ABAQUSr, codigo comercial utilizado). Contiene un
total de 77.490 elementos y 88.836 nodos. Su acople con la articulacion temporomandibular
ha sido realizado manualmente en el programa de elementos finitos comercial I-DEAS v.9.
Figura 4.1: Modelo de EF de la articulacion temporomandibular
La articulacion ha sido modelada con un disco articular, practicamente con elementos
41
42 Modelo de Elementos Finitos
hexaedricos (3.853 elementos y 7.580 nodos); dos ligamentos colaterales a cada lado del disco
articular, sujetando el disco al cuello del condilo correspondiente, y el ligamento temporo-
mandibular que sujeta el condilo al hueso temporal. Todos los ligamentos han sido mallados
con elementos hexaedricos de manera manual en el software comercial I-DEAS v.9 para un
mejor control de la relacion de aspecto de los mismos. Los ligamentos capsulares que for-
man la bolsa sinovial y los ligamentos estilomandibulares y esfenomandibulares no han sido
considerados en esta primera aproximacion por considerarse de menor prioridad. El hueso
temporal se ha considerado como un solido rıgido y se ha mallado una superficie resultante
de realizar un spline de la superficie craneal (figura 4.1). Luego, la articulacion del lado res-
tante (izquierdo) fue generada como imagen especular respecto al plano sinfisario utilizando
el ANSYS v.11.0 como herramienta, ver figura 4.1.
Finalmente, el modelo completo fue exportado al software comercial ABAQUS v.6.8.,
utilizado para obtener la solucion de los diversos casos planteados (figura 4.2).
Figura 4.2: Modelo de EF de la mandıbula completa
4.2 Modelo de comportamiento de los dientes y del ligamento periodontal 43
4.2. Modelo de comportamiento de los dientes y del li-
gamento periodontal
Los dientes fueron simulados con un comportamiento elastico, lineal e isotropico con
las propiedades mostradas en la Tabla 4.1. Los dientes estan compuestos esencialmente por
esmalte y dentina. La dentina es la que le proporciona elasticidad al duro pero fragil esmalte
y como el esmalte esta presente en menor proporcion, se consideran solamente la dentina
como componente principal de los dientes.
Propiedades elasticas E(MPa) ν
Dentina [14] 17600 0.25
Cuadro 4.1: Propiedades mecanicas de los dientes. El comportamiento de ambos se supone
isotropo, elastico y lineal.
Figura 4.3: Modelo de EF de los dientes y los ligamentos periodontales
El ligamento periodontal (PDL) es un tejido blando, altamente vascular que une las
raıces de los dientes al hueso alveolar (ver figura 4.3). Esta compuesto principalmente por
fibras de colageno en diferentes direcciones. Entre las fibras de colageno se encuentra un
fluido que permite amortiguar las cargas oclusales. La mayorıa de los estudios asignan un
modulo de Poisson para el PDL entre 0.4 y 0.49 ya que puede ser considerado un tejido
incompresible. En la literatura se encontraron valores de modulo de Young que varıan entre
0.07 y 1750MPa. En este trabajo, se compararan dos series de valores para simular el
ligamento periodontal como elastico, lineal e isotropo (ver Tabla 4.2). Se denominara PDL
A al ligamento periodontal con las propiedades utilizadas en la tesis de Martınez Reina
[62] y PDL B a las propiedades encontradas por Rees and Jacobsen [80, 81]. Estos autores
44 Modelo de Elementos Finitos
correlacionan un modelo de elementos finitos con un estudio clınico de desplazamiento de
piezas dentales (Tanne and Sakuda [87]) y sugieren un modulo elastico de 50MPa y un
modulo de Poisson de 0.49 para simular el PDL obteniendo buenos resultados.
Propiedades elasticas E(MPa) ν
PDL A [78,96] 3 0.45
PDL B [80,81] 50 0.49
Cuadro 4.2: Propiedades mecanicas consideradas para el ligamento periodontal.
4.3. Modelo de comportamiento de los componentes de
la articulacion
El disco articular y los ligamentos de la articulacion fueron modelados como tejidos
blandos hiperelasticos.
La mayorıa de los tejidos blandos biologicos son anisotropos, viscoelasticos, no ho-
mogeneos y sufren grandes deformaciones; sin embargo, la matriz solida de estos tejidos
es relativamente insensible a la velocidad de deformacion despues de elevados ciclos de car-
ga [25]. Estos tejidos, y en particular, el fibrocartılago del disco articular, llegan a un estado
de ”precondicionamiento”despues de elevados ciclos de carga, Una vez que se alcanza este
estado, se observa que las tensiones y deformaciones llegan a un estado estacionario despues
de varios ciclos de carga. Este tipo de comportamiento ”pseudoelastico”puede ser modelado
utilizando un modelo hiperelastico.
Un material elastico de Green o hiperelastico posee una funcion de energıa-deformacion
escalar (tambien denominada funcion de energıa potencial o funcion de energıa almacenada,
pues es una medida de la energıa almacenada por el material al deformarse). La teorıa de
la hiperelasticidad parte de la existencia de esta funcion de energıa W = W (F ), carac-
terıstica del material, y que determina sus propiedades mecanicas. Dentro del marco de la
hiperelasticidad transversalmente isotropa e incompresible, la funcion densidad de energıa
de deformacion se puede escribir como:
Ψ = F1(I1, I2) + F2(λ) + F3(I1, I2, λ) (4.1)
4.3 Modelo de comportamiento de los componentes de la articulacion 45
En la ecuacion (4.1) I1 e I2 son los invariantes del tensor por la derecha de Cauchy y λ es
la deformacion a lo largo de la direccion de las fibras; la funcion F1 representa la respuesta
de la matriz extracelular, la funcion F2 representa la contribucion de la familia de fibras
de colageno y F3 es la contribucion de la interaccion fibras y matriz. La tension de Cauchy
para un material incompresible con una funcion densidad de energıa de deformacion dada
por (4.1) ha sido propuesta y comparada con curvas de comportamiento del disco articular
en el trabajo de Perez del Palomar [17]. A partir de estos resultados se puede caracterizar
el comportamiento de la fase solida, sin embargo, sabemos que el cartılago es un material
bifasico compuesto tambien por una fase lıquida. En este estudio, se pretende incorporar el
efecto de la articulacion sobre las propiedades de la mandıbula y por ello, se ha comenzado
aproximando el comportamiento del disco (figura 4.4) como un material hiperelastico tipo
Mooney-Rivlin (4.2). Las constantes C1 y C2 se determinan a partir de ensayos realizados
al disco articular [17].
F1 =C1
2(I1 − 3) +
C2
2(I2 − 3) (4.2)
Figura 4.4: Modelo de EF del disco articular.
La primera constante de la ecuacion (4.2) afecta mucho a la rigidez a traccion (alar-
gamiento mayores que uno) cuando las deformaciones son grandes (multiplica al primer
invariante). La segunda afecta a la rigidez a compresion cuando las deformaciones son muy
grandes (alargamientos mucho menores que uno). Si la constante C2 es cero, el material
tiene un comportamiento tipo Neo-Hookeano. En un material incompresible, el segundo in-
variante es la suma de los inversos de los cuadrados de los alargamientos. Por eso, en los
46 Modelo de Elementos Finitos
ligamentos de la articulacion (figura 4.5) se usa un modelo Neo-Hookeano para describir su
comportamiento, porque la rigidez a compresion de los mismos, es despreciable, ya que nunca
van a trabajar a compresion, ecuacion (4.3). Para estos ligamentos se utiliza una constante
promedio de las encontradas para los ligamentos de la rodilla ya que las patologıas asociadas
a la ATM no suelen estar relacionadas con disfunciones de estos ligamentos y por ello, no es
posible encontrar datos experimentales sobre los mismos [93].
F1 =C1
2(I1 − 3) (4.3)
Figura 4.5: Modelo de EF de los ligamentos de la articulacion, a la izquierda, en amarillo, ligamentos
colaterales; a la derecha, en rojo, ligamento temporomandibular.
C1(MPa) C2(MPa)
Ligamento Temporomandibular [17] 6 0
Ligamento Colateral [17] 6 0
Disco Articular [17] 0.9 0.0009
Cuadro 4.3: Propiedades de los ligamentos de la articulacion y del disco articular.
4.4. Modelo de comportamiento del tejido oseo
4.4.1. Introduccion
El hueso es un tejido vivo que esta cambiando continuamente su estructura interna.
Diversos modelos matematicos han sido desarrollados para simular el proceso de cambio
4.4 Modelo de comportamiento del tejido oseo 47
microestructural (denominado remodelacion osea interna), permitiendo estimar las propie-
dades elasticas del hueso y su dependencia con el estımulo. Frost [24], en 1987, postula su
teorıa del ”mecanostato” en la que propone que el hueso dispone de un mecanismo, que el
denomino mecanostato, que regula la densidad osea de la misma forma que un termosta-
to regula la temperatura de una habitacion. De acuerdo con esta teorıa, una deformacion o
estımulo muy bajo como el que sufren los huesos planos, provocarıa su completa reabsorcion,
algo que no ocurre en la realidad. Posteriormente, Turner [90], en 1999, propone una nueva
teorıa modificando algunos de los conceptos propuestos por Frost. Basa su teorıa en el hecho
de que las celulas reaccionan fuertemente ante cambios fısicos y bioquımicos del ambiente
pero esa reaccion disminuye, eventualmente, a medida que las celulas se ”acomodan” al nue-
vo estado. Turner sugiere que la deformacion o estımulo de referencia no es una constante
del tejido oseo, sino que puede variar para adaptarse a la deformacion que normalmente
soporta. Estos modelos, entre otros, indican que el tejido oseo dispone de una serie de me-
canismos para autorregularse. Esos mecanismos tienen como mision primera, modificar la
densidad osea, y relacionadas con ella, las propiedades mecanicas, con el objetivo global de
homogeneizar el estımulo local y mantenerlo dentro de cierto rango.
A continuacion se introduciran algunos modelos de remodelacion previos al utilizado en
este trabajo.
4.4.2. Carter: el concepto de auto-optimizacion
Desde las ideas de Pauwels (1980) [75], se suponıa que la tension tiene un papel fun-
damental en el estımulo que controla la atrofia (manifestada en osteoporosis) o hipertrofia
(desarrollo excesivo) en el hueso trabecular. Pauwels dio la respuesta del hueso a dicho
estımulo en funcion de la tension local. Carter y sus colaboradores, basandose en ideas de
Pauwels, proponen que debe existir una cierta magnitud, que el hueso controle de manera
natural, de tal forma que mediante mecanismos biologicos dicha magnitud, o estımulo, se
pueda mantener en un cierto rango, que caracteriza el estado cuasi-estacionario de remode-
lacion osea nula.
Carter et al. [9] proponen una definicion del estımulo (S), que tiene en cuenta el hecho de
que el proceso de remodelacion esta influenciado por la historia de carga a la que se somete
48 Modelo de Elementos Finitos
a un tejido oseo durante un cierto perıodo de tiempo.
S ∝N
∑
i=1
niσmi (4.4)
donde ni es el numero de veces que se realiza a diario la actividad i, N es el numero de
actividades distintas que se realiza habitualmente y σi es una tension efectiva asociada a
dicha actividad y que se define a continuacion. La principal aportacion de este modelo es
precisamente que incluye la influencia del numero de ciclos en el estımulo (ni), ası como
la historia de carga reciente, a traves de la combinacion de los distintos casos de carga
(i = 1, ..., N). La influencia del estado tensional se tiene en cuenta a traves de la mencionada
tension efectiva, que se define de la siguiente forma:
σi =√
2E(ρ)Ui(σi), (4.5)
como funcion del modulo de Young E, que depende de la densidad del hueso, ρ, y de la
energıa de deformacion correspondiente a cada caso de carga, Ui, que depende del tensor de
tensiones local, σi.
Que una carga dinamica es mas efectiva para activar la remodelacion osea que una carga
estatica, es un hecho ampliamente aceptado [50, 72, 83]. Lanyon y Rubin [50] demostraron
que una carga constante aplicada in vivo, por medio de una serie de muelles e inmovilizando
el hueso, provoca reabsorcion en el hueso, como ocurrirıa si no estuviera sometido a ningun
tipo de carga. Sin embargo, una carga moderada repetida periodicamente puede inducir la
remodelacion osea, dependiendo del nivel de tension y del numero de ciclos que ocurra la
carga en el perıodo de estudio; por tanto, dependera de forma indirecta de la velocidad de
aplicacion de la carga. El peso de uno y otro factor esta controlado por el exponente m, que
Whalen y Carter [95] estiman entre 3 y 8, dependiendo del tipo de actividad.
Un sistema biologico de remodelacion osea ha de definir un determinado funcional de
adaptacion, que permita al hueso maximizar su integridad estructural con la menor cantidad
posible de masa osea. De esta forma, la tension actua como una herramienta de optimizacion
que minimiza una determinada funcion objetivo, directamente relacionada con la integridad
estructural [26]. A partir de esta idea, el modelo propone una relacion entre la densidad
aparente y la tension efectiva, de la siguiente forma:
ρ ∝(
N∑
i=1
niσmi
)1/2m
(4.6)
4.4 Modelo de comportamiento del tejido oseo 49
4.4.3. Modelo de remodelacion osea interna isotropa de Stanford
Este modelo contiene muchas ideas utilizadas en el modelo anisotropo basado en la
mecanica del dano de Doblare y Garcıa, que sera explicado mas adelante y que ha sido
utilizado en las simulaciones de este trabajo.
El modelo isotropo de Stanford fue desarrollado a finales de la decada de los 80 y prin-
cipios de los 90 del siglo pasado, en dicha universidad, bajo la direccion del Dr. Dennis
Carter, de cuyo modelo, ası como de otros tambien referidos anteriormente, toma algunas
ideas importantes. En primer lugar, establece una condicion de remodelacion homeostatica
a nivel local, como sugieren los trabajos de Carter et al. [9], Fyhrie y Carter [26], Frost [24]
y Turner [89]. Esto quiere decir que el tejido oseo dispone de una serie de mecanismos para
autorregularse y mantener dentro de un cierto rango de valores una determinada magnitud
fisiologica, denominada estımulo mecanico. Esos mecanismos tienen como mision primera
modificar la densidad osea y, relacionadas con ella, las propiedades mecanicas, con el objeti-
vo global de homogeneizar el estımulo local y mantenerlo dentro del rango antes comentado.
El estımulo mecanico local, Ψt, tambien denominado estımulo tensional tisular diario, es
una magnitud que esta relacionada con la carga a la que se encuentra sometido el tejido y
que, de forma muy parecida a la que lo hace Carter (ec. (4.4)), tiene en cuenta los distintos
casos de carga que conforman la actividad diaria habitual:
Ψt =
( N∑
i=1
niσmti
)1/m
(4.7)
donde N es, como hasta ahora, el numero de casos de carga, ni es el numero promedio
de ciclos diarios del caso de carga i, σti es la tension efectiva local para el caso de carga
i, parametro escalar que representa la intensidad del estado tensional local en el tejido
mineralizado y m es de nuevo el exponente de la ecuacion (4.4).
Jacobs [44] propone una simplificacion de la historia de carga que tiene en cuenta la escala
de tiempos tan diferente en que ocurren la variacion de las cargas y la respuesta del hueso.
Mientras que las tensiones pueden variar en tiempos del orden de segundos, al caminar por
ejemplo, o incluso menos en el caso de un impacto, la respuesta de remodelacion tiene tiempos
caracterısticos del orden de semanas o meses. Por ello, es conveniente sustituir las tensiones
o deformaciones instantaneas por variables cuasi-estaticas que contienen informacion sobre
todas las actividades que se producen durante la historia reciente de carga. En concreto, la
informacion que interesa de cada actividad es la tension maxima promedio que origina y el
50 Modelo de Elementos Finitos
numero de ciclos que tiene lugar dicha actividad en el perıodo de control en el que se toma
dicho promedio. La duracion de este perıodo no afecta de manera relevante a la respuesta
de la remodelacion, siempre que no sea excesivamente grande ni pequeno.
Por motivos practicos, se suelen agrupar las distintas actividades diarias segun sea su
influencia en la remodelacion. Con esta aproximacion, se resume la historia de carga en una
serie reducida de actividades, cada una de ellas con unas determinadas condiciones de apoyo,
de carga y un numero de ciclos que dicha carga se repite diariamente. Ademas, se supone
que el orden de aplicacion de las cargas no es relevante en la respuesta, dada la diferencia de
escala de tiempos ya comentada. La figura 4.6 muestra como se agruparıan las cargas segun
niveles de tension similares.
σ
1
2 2
3
t
Figura 4.6: Evolucion temporal de las tensiones en una actividad generica. Cada una de las acti-
vidades con rangos de tensiones similares se agrupan en un caso de carga, como los senalados en la
grafica: 1, 2 y 3.
Jacobs comprobo que la diferencia entre la aplicacion simultanea y la aplicacion secuen-
cial de las cargas no es significativa, mientras el numero de dıas que dure una secuencia no
sea excesivo. Sin embargo el coste computacional sı disminuye de forma muy favorable con
esta aproximacion. Que la secuencia de agrupamiento no resulte muy larga dependera del
numero de actividades que se tengan en cuenta.
Otra hipotesis de este modelo es la de suponer que la matriz osea esta completamente
mineralizada, con una densidad local igual en todos los puntos, ρ. De esta forma, la densidad
aparente del tejido oseo, ρ, definida como la masa de matriz osea contenida en la unidad de
volumen de tejido, depende tan solo de la porosidad local, n, y no del grado de mineralizacion
4.4 Modelo de comportamiento del tejido oseo 51
de la matriz osea, que se supone que no varıa en este modelo.
n = 1 −Vm
VT= 1 −
ρ
ρ(4.8)
Segun Martin [59] y el propio Jacobs [44] el hueso cortical presenta una porosidad mınima
de 0.05. Jacobs asigna ademas al hueso cortical de mınima porosidad una densidad aparente
de 1.92 g/cm3, de lo que se deduce facilmente el valor asignado a la densidad de la matriz
osea, ρ = 2.02 g/cm3.
Para poder tratar al hueso como un medio continuo, es necesario pasar de la escala
microscopica a nivel de tejido, en el que el material es heterogeneo, al nivel continuo. Esto
se hace de forma indirecta, relacionando la resistencia ultima del hueso trabecular a nivel
continuo, σult, con la resistencia ultima del tejido oseo trabecular, σultt, que se supone
constante. Gibson [30] establece que ambas magnitudes estan relacionadas a traves de la
densidad aparente por medio de alguna funcion R(ρ).
σult(ρ) = R(ρ)σultt(4.9)
La evidencia experimental [10] muestra que esta funcion debe ser proporcional al cuadra-
do de la densidad aparente. Comoquiera que la resistencia ultima a nivel continuo y a nivel
tisular deben coincidir en el caso de porosidad nula, la funcion debe ser tal que R(ρ) = 1.
De esta forma la ecuacion (4.9) se puede reescribir de la siguiente forma [2]:
σult(ρ) =(ρ
ρ
)2
σultt(4.10)
Esta relacion se debe cumplir no solo para la resistencia ultima sino para cualquier valor
de tension, y en particular para la tension efectiva. Ası, sustituyendo en la ecuacion (4.7) la
tension efectiva a nivel tisular o local por la tension efectiva a nivel continuo y operando, se
puede obtener el estımulo tensional diario continuo
Ψ =
( N∑
i=1
niσmi
)1/m
(4.11)
que se relaciona con el estımulo tensional diario tisular de la misma forma que las tensiones
Ψt =( ρ
ρ
)2
Ψ (4.12)
y que es posible simplificar como
Ψ = n1/mc σ (4.13)
52 Modelo de Elementos Finitos
Si es posible de alguna manera determinar la distribucion de tensiones y deformaciones
a nivel continuo en un determinado hueso, por ejemplo por medio del MEF, con la ecuacion
(4.5) se puede determinar la tension efectiva continua y usando las ecuaciones (4.12) y
(4.13) obtener el estımulo tensional tisular diario, Ψt. Una vez conocido este, el siguiente
paso consiste en determinar cuan lejos esta el tejido de cumplir el equilibrio homeostatico.
Para ello se define el error de remodelacion, e, como la diferencia entre el estımulo tensional
tisular diario y un valor de referencia que se considera de equilibrio, Ψ∗
t .
e = Ψt − Ψ∗
t (4.14)
Si este error de remodelacion no es nulo o esta fuera de un determinado rango, se produce
una respuesta del hueso que se traduce en una variacion de la densidad aparente a nivel local.
Sin embargo, el modelo no relaciona de forma directa ambas variables, sino a traves de la
denominada velocidad de remodelacion superficial, r, toda vez que tanto la eliminacion de
hueso antiguo como la formacion del nuevo se produce en la superficie osea. La variable r
esta relacionada directamente con el estımulo tensional a que esta sometido el tejido, como
muestra la figura 4.7.
r1: craneo2: periostio del femur3: metafisis del femur
estımulo1
1
2
2
3
3
Figura 4.7: Curvas que relacionan r con el estımulo tensional tisular para tres regiones de hueso
diferentes. Figura tomada de Beaupre et al. [2].
Este modelo fue aplicado principalmente para predecir la distribucion de densidad osea
en la extremidad proximal del femur, por lo que se usan curvas del tipo 2 y 3 simplificadas
4.4 Modelo de comportamiento del tejido oseo 53
como en la figura 4.8
r(µm/dıa)
w w
c1
c2
e
Figura 4.8: Ley de remodelacion usada por Jacobs [44].
Se observan dos cosas importantes: En primer lugar que existe una zona en torno al valor
del estımulo de referencia, denominada zona muerta o zona de equilibrio, donde la actividad
osea no tiene un efecto neto claro sobre la cantidad de hueso y es la evidencia experimental
de la idea de ”pereza” en la respuesta osea, sugerida por Carter [8]. En segundo lugar se
observa que la respuesta de todos los huesos no es la misma y tampoco lo es la de distintas
partes de un mismo hueso. Ası, el craneo y otros huesos planos apenas sufren reabsorcion,
lo cual parece logico dado que este tipo de huesos sirven de proteccion mas que de soporte
de carga.
Como ya se ha dicho, el hueso aparece y desaparece en la superficie osea y ası se ha
introducido la variable velocidad de remodelacion superficial, que se define como el volumen
de hueso generado o eliminado por unidad de tiempo y por unidad de superficie disponible
para la remodelacion. Martin [59] definio la superficie especıfica, Sv, como la cantidad de
superficie disponible para la remodelacion por unidad de volumen de hueso y la relaciono con
la porosidad, encontrando que un polinomio de quinto grado (ecuacion (4.15)) se ajusta a
huesos de distintas zonas del cuerpo, de diferentes edades y estados de salud. En la figura 4.9
se representa esta correlacion pero frente a la densidad aparente en lugar de la porosidad.
Sv = 32.3n − 93.9n2 + 134n3 − 101n4 + 28.8n5 (4.15)
Se recuerda que en este modelo el hueso se encuentra completamente mineralizado y ası lo
54 Modelo de Elementos Finitos
1
2
3
4
Sv(m
m2/m
m3)
ρ(g/cm3)
Figura 4.9: Superficie especıfica en funcion de la densidad aparente.
estara pues, tanto el hueso que se elimina como el nuevo que se forma sobre la superficie osea.
De esta forma la variacion de la densidad aparente viene dada por la siguiente expresion:
ρ = k r Sv ρ, (4.16)
en la que todas las variables han sido ya definidas a excepcion de k, que es el porcentaje
de superficie disponible que se encuentra activa para la remodelacion y que normalmente se
toma igual a la unidad.
Para obtener la densidad aparente en el siguiente paso de carga, se integra la ecuacion
(4.16) mediante un algoritmo de integracion de Euler explıcito,
ρ(t + ∆t) = ρ(t) + ρ(t)∆t, (4.17)
y finalmente se actualizan las propiedades elasticas en cada punto del dominio solido (en
la malla de elementos finitos se hace en los puntos de integracion de Gauss) segun las
expresiones experimentales obtenidas por Beaupre et al. [1, 44] y teniendo en cuenta que el
hueso se supone un material isotropo.
La utilizacion del algoritmo de Euler esta justificada por la lentitud del proceso de
remodelacion comentada anteriormente y conduce a buenos resultados siempre que el paso
de integracion no sea excesivamente grande.
4.4 Modelo de comportamiento del tejido oseo 55
4.4.4. Modelo de remodelacion osea anisotropa basado en la Mecani-
ca del dano
Formulacion teorica
Utilizando el ”fabric tensor” como medida de la anisotropıa osea, Doblare y Garcıa [18]
plantean un nuevo modelo de dano-reparacion aplicable a la remodelacion osea interna,
que podrıa considerarse, en parte, una extension del modelo isotropo de Stanford al caso
anisotropo.
El dano se interpreta como una medida del volumen de huecos en el interior del tejido
oseo y de la direccionalidad de los mismos, a traves del ”fabric tensor”. De acuerdo con
esto, se define el material virgen como aquel con porosidad nula y en este caso se considera
isotropo. Eso conlleva que este modelo considere asimismo isotropo el tejido oseo cortical
ideal sin porosidad.
Existen dos diferencias fundamentales con la teorıa de dano clasica. La primera es que
en esta siempre se produce aumento del dano, mientras que aquı, en el proceso de formacion
osea, la porosidad puede disminuir. Lo hace como consecuencia del aporte energetico puesto
en juego por los procesos metabolicos que tienen lugar en un organismo vivo y que no
estan presentes en los materiales inertes que usualmente trata la teorıa clasica de dano. La
segunda diferencia es que en este modelo el aumento del dano-porosidad, reabsorcion osea, se
produce en las regiones con un nivel bajo de tensiones mientras que el aumento del dano en
la teorıa clasica siempre se produce por un nivel elevado de tensiones. Estas peculiaridades
llevan a que el tejido oseo cumpla, con los postulados utilizados en este modelo, el principio
de mınima disipacion mecanica, es decir, la respuesta del hueso al estımulo mecanico es
tal que minimiza la energıa mecanica disipada, condicion contraria al principio de maxima
disipacion, que cumplen los materiales inertes en la Mecanica de Dano [84].
Para el caso de reabsorcion, se define el tensor de dano, o tensor de porosidad, mediante
la expresion
d = 1 − H2 = 1 −
(
ρ
ρ
)β/2 √A H (4.18)
donde ρ es la densidad aparente, ρ la densidad maxima del hueso cortical, β el exponente
que relaciona la densidad aparente con el modulo de Young en las expresiones de Beaupre et
al. [1], H es el ”fabric tensor” normalizado de forma que det(H) = 1 y A un parametro
que se introduce para asegurar que en el caso isotropo la formulacion reproduzca el modelo
56 Modelo de Elementos Finitos
isotropo de Stanford. Su valor es:
A =B(ρ)
Bρβ(ρ)−β (4.19)
donde B es el coeficiente de la ecuacion que relaciona la densidad aparente con el modulo
Young en las expresiones de Beaupre et al. [1] y las variables con ”gorro”hacen referencia a
los valores correspondientes al hueso cortical de maxima densidad.
Trabajando con las ecuaciones, estos autores llegan a:
σ = H−1
σ H−1, (4.20)
Esta expresion junto con la ecuacion constitutiva del dano da lugar a un tensor de flexibili-
dad:
D = H−2
DH−2, (4.21)
cuyas direcciones de ortotropıa coinciden con los ejes principales del tensor H, o del tensor de
dano d, del que es paralelo. Con la anterior ecuacion, se puede calcular el tensor de compor-
tamiento a partir de los autovectores y autovalores del tensor H. Las propiedades elasticas
en ejes de ortotropıa vienen dadas por expresiones como las que siguen, que corresponden a
la direccion principal de dano i:
1
Ei=
1
E
1
h4i
−νij
Ei= −
ν
E
1
h2i h2
j1
2Gij=
1 + ν
E
1
h2i h2
j
(4.22)
donde E y ν son respectivamente el modulo de Young y el coeficiente de Poisson correspon-
diente al hueso con porosidad nula y hi son los autovalores del tensor H.
En reabsorcion se usa el tensor de dano, tal como se ha indicado hasta ahora, mientras
que para formacion se define un tensor analogo al de dano pero asociado a la reparacion,
R = H2. La formulacion es identica para uno y otro caso.
Una vez establecida la ley de comportamiento del hueso, el siguiente paso es definir como
varıa dicho comportamiento con la carga. Esto equivale a preguntarse como se modifica H
con el estado de tensiones. En primer lugar, se define el estımulo de remodelacion, Y, de
forma analoga a como se hace en plasticidad, como la variable termodinamica asociada al
dano o a la reparacion, segun se trate de reabsorcion o formacion. En la practica no es
necesario hacer tal distincion y se define como la variable termodinamica asociada al tensor
4.4 Modelo de comportamiento del tejido oseo 57
H que caracteriza tanto al dano como a la reparacion. Sı es necesario definir la variable
mecanica independiente del proceso: deformacion o tension. En formacion, la variable basica
que rige el proceso es la tension, en la lınea de lo indicado por Wolff, que postulo que los
ejes principales de ortotropıa se orientan segun las direcciones principales de tension. Por el
contrario, en reabsorcion se utiliza la deformacion como variable basica independiente. Con
ello, se tiene, para el caso de reabsorcion:
Y =∂ψ(H, ε)
∂H(4.23)
Garcıa mostro [27] como derivar en la ecuacion anterior para llegar a la siguiente expresion:
Y = 2[
2G sym[
(HεH) (Hε)]
+ λ tr(H2ε) sym(Hε)
]
(4.24)
siendo G y λ las constantes de Lame correspondientes al hueso cortical de porosidad nula.
Para cuantificar la importancia del nivel de anisotropıa en el estımulo mecanico se define
un nuevo tensor, J, definido mediante la expresion
J =(1 − ω)
3tr(Y)1 + ω dev(Y) =
(1 − 2ω)
3tr(Y)1 + ω Y (4.25)
El factor de anisotropıa, ω, es el que pesa la importancia del nivel de anisotropıa del estımulo
en el modelo. Es tal que ω ∈ [0, 1], de manera que ω = 0 conduce a un modelo que depende
unicamente de la componente isotropa del estımulo. De esa forma la velocidad de variacion
de las componentes del tensor de comportamiento es independiente de la direccion. El otro
extremo, ω = 1, produce el mayor grado de anisotropıa posible con este modelo.
En funcion de este nuevo estımulo se plantean los criterios de remodelacion, que deter-
minan las condiciones bajo las cuales se activa los mecanismos de formacion y reabsorcion
osea. Se definen las funciones gr y gf de la siguiente manera:
gr =
√
2(1 − ω)
n1/m√
B ρ2−β/8 ρβ/8 A1/8 271/4
(
J−1 : J−1
)1/4 −1
ρ2−β/2(Ψ∗
t − w)
gf =n1/m
√B ρ2−β/8 ρβ/8 A1/8 31/4
√
2(1 − ω)(J : J)
1/4 − ρ2−β/2(Ψ∗
t + w)
(4.26)
con una forma muy particular y que incluyen un buen numero de constantes. La presencia
de todas esas constantes asegura que al aplicar el algoritmo a un caso isotropo se reproduce
58 Modelo de Elementos Finitos
el modelo isotropo de Stanford. Los criterios de remodelacion se definen:
gf (J,Ψ∗
t , w) ≤ 0 gr(J,Ψ∗
t , w) > 0 reabsorcion
gr(J, Ψ∗
t , w) ≤ 0 gf (J,Ψ∗
t , w) > 0 formacion
gr(J, Ψ∗
t , w) ≤ 0 gf (J,Ψ∗
t , w) ≤ 0 zona muerta
(4.27)
La ley de evolucion de la porosidad se define mediante la expresion
H = µr ∂gr
∂Yreabsorcion
H = µf ∂gf
∂Yformacion
(4.28)
debiendo cumplirse la condicion de consistencia (condiciones de Kuhn-Tucker):
µr, µf ≥ 0 gr, gf ≤ 0 µrgr, µfgf = 0 (4.29)
La forma de calcular los parametros µr y µf consiste en forzar que se cumpla la condicion
establecida anteriormente de que det(H) = 1. Los valores ası obtenidos cumplen la condicion
de consistencia, como demuestra Garcıa [27]. Despues de una serie de calculos se llega a la
siguiente expresion de H:
H =3 β k rSv
4 tr (H−1J−3ω)
ρ
ρJ−3
ω reabsorcion
H =3 β k rSv
4 tr (H−1Jω)
ρ
ρJ ω formacion
(4.30)
en la que se ha introducido el tensor ω para simplificar la formulacion
ω =(1 − 2ω)
31 ⊗ 1 + ω I (4.31)
En la expresion anterior tambien se ha sustituido la derivada temporal de la densidad
aparente, que surge de la derivacion de H, por la expresion utilizada en el modelo isotropo
de Stanford, (4.16). Esto implica que en un material isotropo si se utiliza un criterio de dano
isotropo, (ω = 0), se reproduce el modelo isotropo de Stanford.
Cabe destacar una propiedad de este modelo: si el tensor de porosidad, o de forma equi-
valente el ”fabric tensor”, esta alineado con el tensor de tensiones (en ese caso tambien
estara alineado con el tensor de deformaciones), se llega a una situacion de equilibrio direc-
cional. Los autovectores del tensor de porosidad no varıan y por tanto tampoco lo hacen
los ejes de ortotropıa del material, tal como ocurre en realidad, segun indica Cowin [13] y
Odgaard et al. [73] a partir de datos experimentales.
4.4 Modelo de comportamiento del tejido oseo 59
Es preciso comentar que el valor de r en la ecuacion (4.30) se obtiene a partir del criterio
que se encuentre activo en ese momento:
r =
−crgr
ρ2−β/2si gr ≥ 0 y gf < 0
0 si gr < 0 y gf < 0
cfgf
ρ2−β/2si gr < 0 y gf ≥ 0
(4.32)
Esta respuesta remodelatoria es equivalente a la representada en la figura 4.8, correspon-
diente al modelo isotropo de Stanford y presenta una limitacion importante, que se comenta
a continuacion. Segun esa ecuacion, un estımulo mecanico por encima del de equilibrio pro-
duce formacion osea y ademas a una velocidad creciente si el estımulo crece de manera
indefinida. Esto implica que cargas muy elevadas producen formacion de hueso de mane-
ra indefinida, si acaso limitada por el maximo que la densidad osea puede alcanzar. Como
consecuencia del proceso de formacion, la rigidez crecera rapidamente. En ningun caso se
contempla la posibilidad de que el hueso pueda danarse como consecuencia de un estado
tensional demasiado alto, como sugieren gran cantidad de autores [7, 45,51,74,100].
El modelo anisotropo basado en la Mecanica del Dano tampoco distingue el comporta-
miento del hueso en traccion del de compresion. Esto se puede comprobar en la ecuacion
que define el estımulo, (4.24), cuadratrica en las deformaciones y por tanto independiente
del signo de estas.
A pesar de las dos limitaciones comentadas, no se contempla la acumulacion de dano por
sobrecarga y no se distingue entre traccion y compresion, este modelo ha sido utilizado por
Doblare y Garcıa [18, 27], para simular la morfogenesis del femur humano. Las propiedades
elasticas obtenidas presentan un grado de anisotropıa mas parecido a la realidad que otros
modelos.
En este trabajo se utilizara este modelo para describir el comportamiento de la mandıbula
(4.10), implementado en una subrutina de Abaqus. Los parametros para la aplicacion a la
mandıbula fueron obtenidos de un trabajo anterior de Martınez-Reina [62,82]. Partiendo de
una situacion inicial arbitraria, densidad aparente uniforme de 0.5 g/cm3 y hueso isotropo y
aplicando las cargas normales ha sido posible obtener la distribucion de densidad aparente.
60 Modelo de Elementos Finitos
Figura 4.10: Modelo de EF de la mandıbula.
4.5. Condiciones de contorno y cargas aplicadas en el
modelo
La masticacion se simplifica considerandola un proceso pseudostatico. Considerando que
la maxima tension aplicada en un ciclo es la responsable de la remodelacion osea [9] pode-
mos abstraernos de considerar el ciclo de carga completo durante la actividad diaria y solo
considerar el momento de maxima fuerza de masticacion. Este instante aproximadamente
coincide con el instante de oclusion centrica [31,41]. Durante esta fase, la boca esta cerrada
y las superficie articulares de los condilos empujan contra la eminencia articular del tem-
poral en la junta temporomandibular (ATM). Las fuerzas ejercidas por los musculos fueron
consideradas como fuerzas externas distribuidas en la zona de insercion de cada musculo
(ver figura 4.11).
Las fuerzas de masticacion son el resultado de la distribucion de presiones obtenidas
por el contacto alimento-diente. En este trabajo se utiliza una simplificacion realizada por
Korioth [48], y en lugar de resolver el problema de contacto, se impide el desplazamiento
vertical de los nodos de la superficie oclusal del diente que entra en contacto con el alimento.
Luego, las fuerzas de masticacion son las fuerzas de reaccion resultantes en esos nodos.
Durante la masticacion el movimiento es realizado por la mandıbula, por lo que es posible
4.5 Condiciones de contorno y cargas aplicadas en el modelo 61
Figura 4.11: Zonas de insercion de los distintos musculos marcadas sobre el modelo de EF. En ellas
se aplican las fuerzas ejercidas por cada musculo, como fuerzas repartidas.
considerar que el craneo esta fijo. Por lo que, se impide el movimiento del temporal y del
extremo del ligamento temporomandibular donde se inserta al hueso del craneo (ver figura
4.12).
Figura 4.12: Condiciones de contorno en la articulacion temporomandibular.
El contacto entre los diferentes componentes de la articulacion se realiza mediante la
opcion de CONTACT PAIR de ABAQUS. Para esta articulacion es necesario definir 7 pares
de contacto para cada condilo, dos para el contacto del disco con el condilo y el temporal,
uno para el ligamento temporomandibular y dos para cada uno de los ligamentos colaterales.
Se han considerado dos tipos de contacto distintos, uno que no permite separacion para las
62 Modelo de Elementos Finitos
inserciones de los ligamentos y otro con un coeficiente de friccion muy bajo que permite el
movimiento relativo en grandes desplazamientos. Debido a que la articulacion se encuentra
embebida en una bolsa capsular llena de lıquido sinovial, la articulacion se encuentra lubri-
cada, presentando un coeficiente de friccion aproximado de 1.10−5 [85, 86]. Se ha supuesto,
que las superficies articulares, la restriccion impuesta por los ligamentos y la actividad de los
musculos en la mandıbula son condicion suficiente para generar el desplazamiento del disco
articular dentro de las superficies articulares [47]. Se ha considerado, ademas, como ya se ha
comentado, que el hueso temporal esta empotrado y de esta manera, la que se desplaza con
las fuerzas de masticacion es la mandıbula.
Se propone un patron de masticacion unilateral alternante. Este, es el mas comun y por
ello es el que se utilizara para considerar el proceso de remodelacion osea. Consiste en la
masticacion secuencial unilateral de molares derechos (paso de carga denominado MD) y
molares izquierdos (MI). Se asumieron 500 ciclos diarios de carga. Si tenemos en cuenta las
escalas de tiempo en las que ocurren la variacion de las cargas y la respuesta del hueso,
podemos hacer la simplificacion propuesta por Jacobs [44] y agrupar las cargas de manera
que solo se consideran 500 ciclos de un unico tipo de carga por dıa, alternandolas cada dıa,
resultando en una relacion 1MD - 1MI.
4.5.1. Formulacion del contacto
En Abaqus/Standard exiten dos metodos para definir la interaccion en el contacto: usan-
do superficies o usando elementos de contacto. Para definir el contacto entre el condilo y el
disco articular y entre el disco y el temporal, se han definido elementos membrana en las su-
perficies de contacto, con una rigidez muy pequena para que no modifique el comportamiento
de los solidos. Generar superficies para definir el contacto permite resolver, de manera mas
sencilla, un problema de contacto entre dos solidos deformables donde se permiten pequenos
deslizamientos, como en el primer caso, y en el contacto entre un solido rıgido y un elemento
deformable, como en el segundo caso. Se ha comprobado con un modelo sencillo de contacto
que definir superficies de contacto, reduce el coste computacional. Condiciones de contacto,
donde se permiten pequenos deslizamientos tienden a converger en menos iteraciones si se
utiliza un contacto superficie-superficie, debido a que este tipo de discretizacion presenta un
comportamiento mas continuo que el contacto nodo-superficie.
Las inserciones de los ligamentos al condilo y al disco articular se han definido con una
4.5 Condiciones de contorno y cargas aplicadas en el modelo 63
discretizacion de contacto nodo-superficie ya que en este caso no se permite deslizamiento
relativo.
El contacto se realiza mediante la opcion de CONTACT PAIR, como se comento an-
teriormente. En el caso del contacto definido con pequenos deslizamientos permitidos, se
utiliza un algoritmo maestra-esclava para resolver la interaccion. El temporal se ha desig-
nado como maestra en el contacto con el disco articular y en el contacto condilo-disco, la
superficie del condilo ha sido definida como maestra por ser el solido mas rıgido.
Los metodos de resolucion posibles, para establecer el contacto en Abaqus/Standard son
el metodo directo (metodo Lagrangiano), el de penalizacion y el metodo del Lagrangiano
aumentado. En este trabajo se ha utilizado el metodo directo y el Lagrangiano Aumentado.
Este ultimo, requiere un mayor numero de iteraciones para resolver el problema debido a
que incrementa la rigidez del contacto en cada iteracion hasta converger. Como el coste
computacional es muy elevado en este caso, se ha optado por trabajar con el metodo directo
para resolver el contacto.
