Documento Cartas de Control

Cartas de Control H. Hdez. / Julio 2005

CARTAS DE CONTROL

Las cartas de control son la herramienta más poderosa para analizar la variación en la mayoría de los procesos.

Han sido difundidas exitosamente en varios países dentro de una amplia variedad de situaciones para el control del proceso.

Las cartas de control enfocan la atención hacia las causas especiales de variación cuando estas aparecen y reflejan la magnitud de la variación debida a las causas comunes.

Las causas comunes o aleatorias se deben a la variación natural del proceso.

Las causas especiales o atribuibles son por ejemplo: un mal ajuste de máquina, errores del operador, defectos en materias primas.

Se dice que un proceso está bajo Control Estadístico cuando presenta causas comunes únicamente. Cuando ocurre esto tenemos un proceso estable y predecible.

Cuando existen causas especiales el proceso está fuera de Control Estadístico; las gráficas de control detectan la existencia de estas causas en el momento en que se dan, lo cual permite que podamos tomar acciones al momento.

Ventajas:

Es una herramienta simple y efectiva para lograr un control estadístico. El operario puede manejar las cartas en su propia área de trabajo, por lo cual puede dar

información confiable a la gente cercana a la operación en el momento en que se deben de tomar ciertas acciones.

Cuando un proceso está en control estadístico puede predecirse su desempeño respecto a las especificaciones. En consecuencia, tanto el productor como el cliente pueden contar con niveles consistentes de calidad y ambos pueden contar con costos estables para lograr ese nivel de calidad.

Una vez que un proceso se encuentra en control estadístico, su comportamiento puede ser mejorado posteriormente reduciendo la variación.

Al distinguir ente las causas especiales y las causas comunes de variación, dan una buena indicación de cuándo un problema debe ser corregido localmente y cuando se requiere de una acción en la que deben de participar varios departamentos o niveles de la organización.

Cartas de control por variables y por atributos.-

En Control de Calidad mediante el término variable se designa a cualquier característica de calidad “medible” tal como una longitud, peso, temperatura, etc. Mientras que se denomina atributo a las características de calidad que no son medibles y que presentan diferentes estados tales como conforme y disconforme o defectuoso y no defectuoso.

Según sea el tipo de la característica de calidad a controlar así será el correspondiente Gráfico de Control que, por tanto, se clasifican en Cartas de Control por Variables y Cartas de Control por Atributos.

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Comparación de las cartas de control por variables vs. atributos

Cartas de Control por variables Cartas de control por atributosVentajas significativas Conducen a un mejor

procedimiento de control.Son potencialmente aplicables a cualquier proceso

Proporcionan una utilización máxima de la información disponible de datos.

Los datos están a menudo disponibles. Son rápidos y simples de obtener.Son fáciles de interpretar.

Son frecuentemente usados en los informes a la Gerencia.

Más econónomicasDesventajas significativas No se entienden a menos que

se de capacitación; puede causar confusión entre los limites de especificación y los límites de tolerancia.

No proporciona información detallada del control de características individuales.

No reconoce distintos grados de defectos en las unidades de producto.

Campos de aplicación de las cartas

VARIABLES

Carta Descripción Campo de aplicación.Medias y Rangos Control de características individuales.Medias y desviación estándar.

Control de características individuales.

I Individuales Control de un proceso con datos variables que no pueden ser muestreados en lotes o grupos.

ATRIBUTOS

Carta Descripción Campo de aplicación.P Proporciones Control de la fracción global de defectuosos de un proceso.NP Número de

defectuososControl del número de piezas defectuosas

C Defectos por unidad Control de número global de defectos por unidadU Promedio de

defectos por unidadControl del promedio de defectos por unidad.

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Elaboración de Cartas de control (variables)

Paso 1: Colectar los datos.Los datos son el resultado de la medición de las características del producto, los cuales deben de ser registrados y agrupados de la siguiente manera: Se toma una muestra(subgrupo) de 2 a 10 piezas consecutivas y se anotan los resultados de

la medición( se recomienda tomar 5). También pueden ser tomadas en intervalos de tiempo de ½ - 2 hrs., para detectar si el proceso puede mostrar inconsistencia en breves periodos de tiempo.

Se realizan las muestras de 20 a 25 subgrupos.

Paso 2: Calcular el promedio para cada subgrupo

Paso 3: Calcule el rango promedio y el promedio del proceso .

Donde K es el número de subgrupos, R1,R2..es el rango de cada subgrupo; son el promedio de cada subgrupo.

Paso 4: Calcule los limites de controlLos límites de control son calculados para determinar la variación de cada subgrupo, están basados en el tamaño de los subgrupos y se calculan de la siguiente forma:

Donde D4, D3, A2 son constantes que varían según el tamaño de muestra. A continuación se presentan los valores de dichas constantes para tamaños de muestra de 2 a 10.

n 2 3 4 5 6 7 8 9 10D4 3.27 2.57 2.28 2.11 2.00 1.92 1.86 1.82 1.78D3 0 0 0 0 0 0.08 0.14 0.18 0.22A2 1.88 1.02 0.73 0.58 0.48 0.42 0.37 0.34 0.31

Paso 5: Seleccione la escala para las gráficas de control

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Para la gráfica la amplitud de valores en la escala debe de ser al menos del tamaño de los

límites de tolerancia especificados o dos veces el rango promedio .Para la gráfica R la amplitud debe extenderse desde un valor cero hasta un valor superior equivalente a 1½ - 2 veces el rango.

Paso 6: Trace la gráfica de controlDibuje las líneas de promedios y límites de control en las gráficas.Los límites de Control se dibujan con una línea discontinua y los promedios con una línea continua para ambas gráficas.Marcar los puntos en ambas gráficas y unirlos para visualizar de mejor manera el comportamiento del proceso.

Paso 7: Analice la gráfica de control

Ejemplo 1

Se toman las medidas de los diámetros de una pieza cilíndrica, el tamaño de muestra de cada subgrupo es de cinco, y se toman 25 subgrupos a intervalos de 1 hr.Realice la carta de control .

Calculando el rango y el promedio para cada subgrupo obtenemos:

Calculando el Rango promedio, promedio del proceso y límites de control:

= .71

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muestra subgrupo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 131 0.65 0.75 0.75 0.60 0.70 0.60 0.15 0.60 0.65 0.60 0.80 0.85 0.702 0.70 0.85 0.80 0.70 0.75 0.75 0.80 0.70 0.80 0.70 0.75 0.75 0.703 0.65 0.75 0.80 0.70 0.65 0.75 0.65 0.80 0.85 0.60 0.90 0.85 0.754 0.65 0.85 0.70 0.75 0.85 0.85 0.75 0.75 0.85 0.80 0.50 0.65 0.755 0.85 0.65 0.75 0.65 0.80 0.70 0.70 0.75 0.75 0.65 0.80 0.70 0.70

muestra subgrupo 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 251 0.65 0.90 0.75 0.75 0.75 0.65 0.60 0.50 0.60 0.80 0.65 0.652 0.70 0.80 0.80 0.70 0.70 0.65 0.60 0.55 0.80 0.65 0.60 0.703 0.85 0.80 0.75 0.85 0.60 0.85 0.65 0.65 0.65 0.75 0.65 0.704 0.75 0.75 0.80 0.70 0.70 0.65 0.60 0.80 0.65 0.65 0.60 0.605 0.60 0.85 0.65 0.80 0.60 0.70 0.65 0.80 0.75 0.65 0.70 0.65

muestra subgrupo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 131 0.65 0.75 0.75 0.60 0.70 0.60 0.15 0.60 0.65 0.60 0.80 0.85 0.702 0.70 0.85 0.80 0.70 0.75 0.75 0.80 0.70 0.80 0.70 0.75 0.75 0.703 0.65 0.75 0.80 0.70 0.65 0.75 0.65 0.80 0.85 0.60 0.90 0.85 0.754 0.65 0.85 0.70 0.75 0.85 0.85 0.75 0.75 0.85 0.80 0.50 0.65 0.755 0.85 0.65 0.75 0.65 0.80 0.70 0.70 0.75 0.75 0.65 0.80 0.70 0.70

Promedio 0.70 0.77 0.76 0.68 0.75 0.73 0.61 0.72 0.78 0.67 0.75 0.76 0.72Rango 0.20 0.20 0.10 0.15 0.20 0.25 0.65 0.20 0.20 0.20 0.40 0.20 0.05

muestra subgrupo 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 251 0.65 0.90 0.75 0.75 0.75 0.65 0.60 0.50 0.60 0.80 0.65 0.652 0.70 0.80 0.80 0.70 0.70 0.65 0.60 0.55 0.80 0.65 0.60 0.703 0.85 0.80 0.75 0.85 0.60 0.85 0.65 0.65 0.65 0.75 0.65 0.704 0.75 0.75 0.80 0.70 0.70 0.65 0.60 0.80 0.65 0.65 0.60 0.605 0.60 0.85 0.65 0.80 0.60 0.70 0.65 0.80 0.75 0.65 0.70 0.65

Promedio 0.71 0.82 0.75 0.76 0.67 0.70 0.62 0.66 0.69 0.70 0.64 0.66Rango 0.25 0.15 0.15 0.15 0.15 0.20 0.05 0.30 0.20 0.15 0.10 0.10


= 2.11* 0.198 = 0.41

= 0

= .71+(.58)(.198) = .82

= .71-(.58)(.198) = .59

La carta de control R muestra un punto fuera de los limites de especificaciones, por lo cual el proceso se encuentra fuera de control, en este caso es necesario investigar las causas y tomar las acciones correctivas para eliminar el problema. En la siguiente parte se muestran los criterios para determinar las situaciones en las cuales un proceso puede estar fuera de control.

Datos para el TALLERMuestra X1 X2 X3 X4 X5

1 138,1 110,8 138,7 137,4 125,42 149,3 142,1 105 134 92,33 115,9 135,6 124,2 155 117,44 118,5 116,5 130,2 122,6 100,25 108,2 123,8 117,1 142,4 150,96 102,8 112 135 135 145,87 120,4 84,3 112,8 118,5 119,38 132,7 151,1 124 123,9 105,19 136,4 126,2 154,7 127,1 173,2

10 135 115,4 149,1 138,3 130,411 139,6 127,9 151,1 143,7 110,512 125,3 160,2 130,4 152,4 165,113 145,7 101,8 149,5 113,3 151,814 138,6 139 131,9 140,2 141,115 110,1 114,6 165,1 113,8 139,6

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252015105Subgroup 0

0.8

0.7

0.6

Sa

mp

le M

ea

n

Mean=0.7112

UCL=0.8254

LCL=0.5970

0.70.6

0.50.4

0.30.2

0.10.0

Sa

mp

le R

ang

e

1

R=0.198

UCL=0.4187

LCL=0

Xbar/R Chart for C1


16 145,2 101 154,6 120,2 117,317 125,9 135,3 121,5 147,9 10518 129,7 97,3 130,5 109 150,519 123,4 150 161,6 148,4 154,220 144,8 138,3 119,6 151,8 142,721 131 184,8 182,2 143,3 212,822 181,3 193,2 180,7 169,1 174,323 154,8 170,2 168,4 202,7 174,424 157,5 154,2 169,1 142,2 161,925 216,3 174,3 166,2 155,5 184,326 186,9 180,2 149,2 175,2 18527 167,8 143,9 157,5 171,8 194,928 178,2 186,7 142,4 159,4 167,629 162,6 143,6 132,8 168,9 177,230 172,1 191,7 203,4 150,4 196,3

Interpretación del control del proceso.

El objeto de analizar una gráfica de control es identificar cuál es la variación del proceso, las causas comunes y causas especiales de dicha variación y en función de esto tomar alguna acción apropiada cuando se requiera.

Juran1 sugiere un conjunto de reglas de decisión para detectar patrones no aleatorios en las cartas de control. Cuando se detecta alguno de los patrones siguientes se puede decir que el tomar alguna acción para corregir el problema ya que el proceso puede estar fuera de control.

PATRONES FUERA DE CONTROL

1 Análisis y planeación de la calidad, J.M. Juran ,F.M Gryna, Tercera Edición, McGrawHill.

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Gráficas de control (variables)

El procedimiento para realizar las cartas de control es similar al de las cartas La diferencia consiste en que el tamaño de la muestra puede variar y es mucho más sensible para detectar cambios en la media o en la variabilidad del proceso. El tamaño de muestra n es mayor a 9.La Carta X monitorea el promedio del proceso para vigilar tendencias. La Carta S monitorea la variación en forma de desviación estándar.

Terminología k = número de subgrupos n = número de muestras en cada subgrupo

= promedio para un subgrupo = promedio de todos los promedios de los subgrupos = Desviación estándar de un subgrupo

= Desviación est. promedio de todos los subgrupos

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Ejemplo 2

Se registra el peso diariamente durante dos semanas. Realizar la gráfica de control

Se calculan los limites de control para cada subgrupo, ya que al tener tamaños de muestra diferentes estos son variables.

Gráfica con límites constantes:

Para la realización de los diagramas de control con límites constantes utilizamos las fórmulas siguientes:

Los parámetros para el gráfico son:

y para el gráfico :

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Ejemplo 3:

Las siguientes cifras son la medias y las desviaciones estándar de muestras de 5 observaciones correspondientes a los diámetros de una pieza metálica:

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10987654321Subgroup 0

25

15

5

Sa

mp

le M

ea

n

Mean=10.87

UCL=13.70

LCL=8.033

4

3

2

1

0

Sa

mp

le S

tDe

v

S=1.451

UCL=3.725

LCL=0

Xbar/S Chart for C1-C5


De la tabla tenemos que: y = .0090

Calculamos los limites de control:

= 74.001 + (1.427)(.0090) = 74.014

= 74.001 – (1.427)(.0090) = 73.998

= (2.089)(.0090) = 0.019

= (0)(.0090) = 0

Carta de control de lecturas Individuales I-MR (Datos variables). A menudo esta carta se llama “I” o “Xi”. Esta Carta monitorea la tendencia de un proceso con datos variables que no pueden ser

muestreados en lotes o grupos. Este es el caso cuando la capacidad de corto plazo se basa en subgrupos racionales de una

unidad o pieza. Este tipo de gráfica es utilizada cuando las mediciones son muy costosas(Ej. Pruebas

destructivas), o cuando la característica a medir en cualquier punto en el tiempo es relativamente homogénea (Ej. el PH de una solución química)

La línea central se basa en el promedio de los datos, y los límites de control se basan en la desviación estándar (+/- 3 sigmas)

Terminología

k = número de piezas n = 2 para calcular los rangos

= promedio de los datos R = rango de un subgrupo de dos piezas consecutivas

= promedio de los (n - 1) rangos

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Donde D4, D3, E2 son constantes que varían según el tamaño de muestra usado para agrupar los rangos móviles como se muestra en la tabla siguiente:

n 2 3 4 5 6 7 8 9 10D4 3.27 2.57 2.28 2.11 2.00 1.92 1.86 1.82 1.78D3 0 0 0 0 0 0.08 0.14 0.18 0.22E2 2.66 1.77 1.46 1.29 1.18 1.11 1.05 1.01 0.98

* Generalmente se utiliza n = 2

Ejemplo 3: La longitud de un tramo de tubo se registra para cada producto. Realice la gráfica de control individual.

Se calcula el rango móvil de la siguiente manera: diferencia entre 1ª y 2ª lectura, 2ª y 3ª y así hasta n-1.

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Parte Longitud1 12.022 11.853 11.984 11.725 11.886 12.077 12.038 12.139 12.16

10 12.1611 12.1612 12.2113 12.1914 11.9315 11.89

Parte Longitud Rangos 1 12.02 0.17 2 11.85 0.13 3 11.98 0.26 4 11.72 0.16 5 11.88 0.19 6 12.07 0.04 7 12.03 0.10 8 12.13 0.03 9 12.16 0.00 10 12.16 0.00 11 12.16 0.05 12 12.21 0.02 13 12.19 0.26 14 11.93 0.04 15 11.89

12.03 0.10


=12.03+(2.66)(.10) = 12.29

=12.03 – (2.66)(.10) = 11.76

= 3.27(.10)= .327

= 0

Pág. 12

151050

12.35

12.25

12.15

12.05

11.95

11.85

11.75

11.65

Observation Number

Ind

ivid

ual V

alue

I Chart for C1

1

Mean=12.03

UCL=12.30

LCL=11.75

151050

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

Observation Number

Mo

ving

Ran

ge

Moving Range Chart for C1

R=0.1036

UCL=0.3384

LCL=0


Interpretación del proceso:

Revisar la gráfica de rangos para puntos fuera de los límites de control como signo de la existencia de causas especiales. Note que los rangos sucesivos están correlacionados, debido a que tienen un punto en común y debido a esto se tiene que tener cuidado al interpretar tendencias.

Las gráficas por lecturas individuales pueden ser analizadas para puntos fuera de los límites de control, dispersión de puntos dentro de los límites de control y para tendencias o patrones. Cabe hacer notar que si la distribución de proceso no es simétrica, las reglas mostradas anteriormente para gráficas podrán dar señales de causas especiales sin que éstas existan.

Gráficas de control por atributos

Cualquier característica de calidad que pueda ser clasificada de forma binaria: “cumple o no cumple”, “funciona o no funciona”, “pasa o no pasa”, etc., a los efectos de control del proceso, será considerado como un atributo y para su control se utilizará un Gráfico de Control por Atributos.:Los criterios de aceptación al utilizar gráficas de control por atributos deben estar claramente definidos y el procedimiento para decidir si esos criterios se están alcanzando es producir resultados consistentes a través del tiempo. Este procedimiento consiste en definir operacionalmente lo que se desea medir. Una definición operacional consiste en:

1º . Un criterio que se aplica a un objeto o a un grupo2º. Una prueba del objeto o del grupo y3º. Una decisión, sí o no: El objeto o el grupo alcanza o no el criterio.

Gráfica P para fracción de Unidades Defectuosas (atributos)

La gráfica p mide la fracción defectuosa o sea las piezas defectuosas en el proceso. Se puede referir a muestras de 75 piezas, tomada dos veces por día; 100% de la producción durante una hora, etc. Se basa en la evaluación de una característica (¿se instalo la pieza requerida?) o de muchas características (¿se encontró algo mal al verificar la instalación eléctrica?). Es importante que cada componente o producto verificado se registre como aceptable o defectuoso (aunque una pieza tenga varios defectos específicos se registrará sólo una vez como defectuosa).

Pasos para la elaboración de la gráfica:

Paso 1- Frecuencia y tamaño de la muestra:Establezca la frecuencia con la cual los datos serán tomados (horaria, diaria, semanal). Los intervalos cortos entre tomas de muestras permitirán una rápida retroalimentación al proceso ante la presencia de problemas. Los tamaños de muestra grandes permiten evaluaciones más estables del desarrollo del proceso y son más sensibles a pequeños cambios en el promedio del mismo. Se aconseja tomar tamaños de muestra iguales aunque no necesariamente se tiene que dar esta situación, el tamaño de muestra debería de ser mayor a 30. El tamaño de los subgrupos será de 25 o más.

Paso 2- Calculo del porcentaje defectuoso (p) del subgrupo:

Registre la siguiente información para cada subgrupo:El número de partes inspeccionadas – nEl número de partes defectuosas – np

Calcule la fracción defectuosa (p) mediante:

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Paso 3 – Calculo de porcentaje defectuoso promedio y límites de controlEl porcentaje defectuoso promedio para los k subgrupos se calcula con la siguiente fórmula:

donde es el tamaño de muestra promedio.

NOTA: Cuando y/o es pequeño, el límite de control inferior puede resultar negativo, en estos casos el valor del límite será = 0

Paso 4- Trace la gráfica y analice los resultados.

Ejemplo 4

Un fabricante de latas de aluminio registra el número de partes defectuosas, tomando muestras cada hora de n = 50, con 30 subgrupos. Realizar la gráfica de control para la siguiente serie de datos obtenida durante el muestreo.

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Muestra Latas defectuosas Muestra Latas defectuosasnp np

1 12 16 82 15 17 103 8 18 54 10 19 135 4 20 116 7 21 207 16 22 188 9 23 249 14 24 15

10 10 25 911 5 26 1212 6 27 713 17 28 1314 12 29 915 22 30 6


Calcule la fracción defectuosa para cada muestra:

= =.4102

= =.05243

Trazando la gráfica

Gráfica np – Número de defectivos

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Muestra Latas defectuosas Fracción defectuosa Muestra Latas defectuosas Fracción defectuosanp p np p

1 12 0.24 16 8 0.162 15 0.30 17 10 0.203 8 0.16 18 5 0.104 10 0.20 19 13 0.265 4 0.08 20 11 0.226 7 0.14 21 20 0.407 16 0.32 22 18 0.368 9 0.18 23 24 0.489 14 0.28 24 15 0.30

10 10 0.20 25 9 0.1811 5 0.10 26 12 0.2412 6 0.12 27 7 0.1413 17 0.34 28 13 0.2614 12 0.24 29 9 0.1815 22 0.44 30 6 0.12

3020100

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

Sample Number

Pro

po

rtio

n

P Chart for C1

1

1

P=0.2313

UCL=0.4102

LCL=0.05243


La gráfica np es basada en el número de defectuosos en vez de la proporción de defectuosos. Los límites son calculados mediante la siguientes fórmulas.

Ejemplo 5:

Utilizando los datos del diagrama anterior, construya la gráfica np e interprete los resultados.

De la tabla obtenemos , n = 50.Calculando los límites de control tenemos:

LSC =

LIC =

Gráfico de Control C.

Pág. 16

3020100

25

20

15

10

5

0

Sample Number

Sam

ple

Cou

nt

NP Chart for cantidad

11

NP=11.57

3.0SL=20.51

-3.0SL=2.621


Gráfica C – para número de defectos

Se utiliza para determinar la ocurrencia de defectos en la inspección de una unidad de producto. Esto es determinar cuantos defectos tiene un producto. Podemos tener un grupo de 5 unidades de producto, 10 unidades, etc.

Los límites de control se calculan mediante las siguientes fórmulas:

Donde:= total de defectos/ número de unidades de producto.

Ejemplo:En la siguiente tabla tenemos el número de unidades de defectos observados en 26 muestras sucesivas de 100 filtros de seguridad.

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Grafica U – Defectos por Unidad

El diagrama u se basa en el promedio de defectos por unidad inspeccionada:

u =

dondec = número de defectosn = cantidad de piezas inspeccionadas

Para determinar los limites de control utilizamos las fórmulas siguientes:

Ejemplo 62 Una compañía que fabrica computadoras personales desea establecer un diagrama de control del número de defectos por unidad. El tamaño de muestra es de cinco computadoras. En la tabla se muestran el numero de defectos en 20 muestras de 5 computadoras cada una. Establecer el diagrama de control u

2 Statistical Quality Control, Douglas C. Montgomery, Second Edition pp.181

Pág. 18

20100

40

30

20

10

0

Sample Number

Sam

ple

Cou

nt

C Chart for C1

1

1

C=19.85

3.0SL=33.21

-3.0SL=6.481


Los límites de control son los siguientes:

Pág. 19

20100

4

3

2

1

0

Sample Number

Sam

ple

Cou

nt

U Chart for C1

U=1.930

3.0SL=3.794

-3.0SL=0.06613

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Documento Cartas de Control