-
Unidad 3
Cartas de control para atributos
Muchas caractersticas de calidad no pueden representarse
convenientemente con valores numricos.
En tales casos cada artculo inspeccionado por lo general se
clasifica como conforme o disconforme respecto de las
especificaciones para esas caractersticas de calidad.
A las caractersticas de calidad de este tipo se les llama
atributos.
-
Unidad 3
Cartas de control para atributos
Tambin dentro de estas cartas de control, se
hallan aquellas que monitorean la cantidad de
defectos que se encuentran en una muestra
de n elementos.
-
La carta de control para la fraccin disconforme
La fraccin disconforme se define como el
cociente entre el nmero de artculos
disconformes de la poblacin y el
nmero total de artculos que componen
dicha poblacin
N
Dp
-
La carta de control para la fraccin disconforme
Los artculos pueden tener varias
caractersticas de calidad que son
examinadas al mismo tiempo por un
inspector.
Si el artculo no se ajusta al estndar en una
o ms de esas caractersticas, se clasifica
como disconforme.
-
Bases estadsticas
Los principios estadsticos fundamentales de la
carta de control para la fraccin disconforme
tienen su base en la distribucin binomial.
Hacemos las siguientes consideraciones:
-El proceso de produccin est operando de forma
estable.
-La probabilidad de encontrar un articulo
disconforme es p.
-Las unidades sucesivas producidas son
independientes.
-
Bases estadsticas
Entonces cada unidad producida es una
realizacin de una variable aleatoria
Bernoulli con parmetro p.
Si se selecciona una muestra aleatoria de n
unidades del producto, y D es el nmero de
unidades del producto que son
disconformes, entonces D tiene una
distribucin binomial con parmetros n y p
-
Bases estadsticas
Es decir:
Donde x va de 0 a n
xnxn
x
ppxDP
)1()(
-
La fraccin disconforme muestral se define
como el cociente entre el nmero de
unidades disconformes en la muestra, D y el
tamao de la muestra n; es decir
n
Dp
-
Estadsticos muestrales
Se sabe que tiene distribucin de
probabilidad binomial, con media
y varianza
p
n
ppp
)1(2
pp
-
Desarrollo de la carta de control p
w
2w
La carta p sigue los principios estadsticos de
las cartas de control de Shewhart, es decir son
cartas tres sigmas. Sea w un estadstico que
mide una caracterstica de calidad.
Si la media de w es
y la varianza de w es
-
Desarrollo de la carta de control p
El modelo general es:
ww LLSC
wLC
ww LLIC
-
Fraccin disconforme del proceso desconocida
Cuando no se conoce la verdadera fraccin
disconforme p del proceso, deber estimarse
a partir de los datos observados.
El procedimiento es seleccionar m muestras
preliminares, cada una de tamao n.
-
Fraccin disconforme del proceso desconocida
Entonces si hay
unidades disconformes en la muestra i, la
fraccin disconforme de la i-sima muestra se
calcula como
iD
n
Dp ii
-
Fraccin disconforme del proceso desconocida
El promedio de estas fracciones disconformes
muestrales es:
m
p
mn
D
p
m
ii
m
ii
11
-
Lnea central y lmites de control
Se pueden expresar como
n
ppppLSC p
133 2
pLC
n
ppppLIC p
133 2
-
Diseo de la carta de control p
La carta de control p tiene tres parmetros
que deben especificarse:
-el tamao de la muestra
-la frecuencia del muestreo
-el ancho de los lmites de control
-
Diseo de la carta de control p
Duncan ha propuesto que el tamao de
la muestra debe ser lo suficientemente
grande como para tener una
probabilidad del 50 % de detectar un
corrimiento en la fraccin defectuosa hacia
algn valor importante.
Por ejemplo, suponer que p (promedio)=0,01
y se quiere que la probabilidad de detectar un
cambio a p(promedio) =0,05 sea de 0,5.
-
Tamao de la muestra
Suponiendo que es vlida la aproximacin
de la distribucin binomial por la normal,
deber elegirse n de tal manera que el lmite
superior de control coincida exactamente
con la fraccin disconforme en el estado
fuera de control.
-
Tamao de la muestra
562
3
01,005,0
)99.0)(01,0(
n
n
pppLSC
)1(305,0
-
Lmite inferior positivo
Otro criterio es elegir n lo suficientemente grande para que la
carta de control tenga
un lmite de control inferior positivo
0)1(
3 n
pppLIC
-
Ejemplo
Las botellas de plstico para un
detergente lquido se fabrican por moldeo
de impacto.
Se toman 20 muestras, cada una con
n=100 botellas, son inspeccionadas en el
orden en que se producen y se notifica la
cantidad de botellas defectuosas de cada
muestra.
Los datos aparecen a continuacin.
-
Tabla de valores
Muestra Di pi Muestra Di pi
1 12 0,12 11 10 0,1
2 15 0,15 12 7 0,07
3 18 0,18 13 12 0,12
4 10 0,1 14 8 0,08
5 12 0,12 15 9 0,09
6 11 0,11 16 15 0,15
7 5 0,05 17 10 0,1
8 9 0,09 18 6 0,06
9 13 0,13 19 12 0,12
10 13 0,13 20 13 0,13
-
Lnea central y lmites de control
La lnea central se obtiene como
11,020
2,2 pLC
m
p
mn
D
p
m
ii
m
ii
11
2039,0
100
)11,01(11,0311,0
13
n
pppLSC
0161,0
100
)11,01(11,0311,0
13
n
pppLIC
-
Carta de control
Carta p
191715131197531
0,20
0,15
0,10
0,05
0,00
Muestra
Pro
porc
in
_P=0,11
UCL=0,2039
LCL=0,0161
Grfica P de C1
-
Suponga que la media del proceso
aumenta a p= 0,15. Cul es la
probabilidad de detectar el cambio en la
primera muestra despus del cambio?
-
Actividad
En un pozo petrolero, durante la perforacin
se utiliza una inyeccin con alto contenido
de baritina. Se sacan 50 muestras de
inyeccin por da y si el valor de la densidad
es menor que 1,35 kg/l o mayor que 1,4 kg/l,
se considera defectuosa( fuera de
especificacin)
-
Tabla de valores
a
Da n Fuera esp Da n Fuera esp
1 50 6 11 50 4
2 50 5 12 50 3
3 50 6 13 50 4
4 50 4 14 50 2
5 50 6 15 50 1
6 50 5 16 50 3
7 50 7 17 50 3
8 50 5 18 50 2
9 50 6 19 50 4
10 50 5 20 50 2
-
Aplicacin
Construya una carta de control estadstico para la fraccin
disconforme, con lmites 2 y 3
sigmas.
Indique si el proceso est dentro de control estadstico.
Suponga que la media del proceso aumenta en una desviacin
estndar Cual es la
probabilidad de detectarlo antes de la tercera
muestra despus del cambio?
-
La funcin caracterstica de operacin
La funcin caracterstica de operacin de la
carta de control para la fraccin disconforme
es una representacin grfica de la
probabilidad de aceptar incorrectamente la
hiptesis de que el proceso se halla
funcionando bajo control estadstico (error
tipo II), contra la fraccin disconforme del
proceso.
-
La probabilidad de cometer un error tipo II se
puede calcular de la siguiente manera
n
Dp
LICpPLSCpP
nLICDPnLSCDP
-
Puesto que D es una variable aleatoria
binomial con parmetros n y p, la
probabilidad de cometer el error tipo II
puede calcularse a partir de la distribucin
binomial acumulada.
-
Suponiendo que n=50,
=0,2 ; LIC=0,0303 y LSC= 0,3697p
)0303,0)(50((3697,0)(50( DPDP
52,1()49,18 DPDP
)1(18 DPDP
-
Curva caracterstica de operacin
Curva CO
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6
Fraccin defectuosa
Erro
r t
ipo
II
Serie1
-
Tamao muestral variable:
Cuando n no es constante, se puede trabajar
con lmites individuales o trabajar con un n
promedio.
El tercer enfoque consiste en trabajar con
una variable estandarizada, donde los
puntos se grafican en unidades de desviacin
estndar.
-
Esta carta de control tiene la lnea central en
cero y los lmites superior e inferior son +3 y
-3 respectivamente. La variable graficada en
la carta es:
i
ii
n
pp
ppZ
)1(
-
Cartas de control para la cantidad de
defectos
Un artculo disconforme contiene al menos
un defecto en su estructura.
Sin embargo, dependiendo de la naturaleza y
gravedad, es muy posible que una unidad
contenga varios defectos y no se clasifique
como disconforme.
-
Hay muchas situaciones prcticas donde
es preferible trabajar directamente con el
nmero de defectos en vez de usar la
fraccin defectuosa.
- el nmero de soldaduras defectuosas en
100 m de oleoducto
- el nmero de defectos de pintura en las
puertas de un automvil o sobre la
superficie de un electrodomstico
-
Ejemplos
- nmero de remaches rotos en el ala de un
avin
- el nmero de defectos en rollos de papel
(defectuosa aplicacin de blanqueadores
qumicos)
-
Como se controla
Para resolver estas situaciones se
construyen cartas de control para el nmero
total de disconformidades en una unidad o
bien para el nmero promedio de
disconformidades por unidad.
En estas cartas de control se considera que
el modelo Poisson es apropiado para
modelar la ocurrencia de defectos en
muestras de tamao constante o variable.
-
Procedimientos con tamao de la muestra constante
Consideremos la ocurrencia de defectos en
una unidad de inspeccin del producto.
En la mayora de los casos, la unidad de
inspeccin ser una sola unidad del
producto, aun cuando no necesariamente es
siempre as.
-
La unidad de inspeccin es simplemente una
entidad para la cual es conveniente llevar
registros.
Podra ser un grupo de 5 unidades del
producto, 10 unidades del producto, etctera.
-
Carta de control basada en el modelo Poisson
En estas situaciones se construye una carta de
control basada en la cantidad de defectos que se
encuentran en la muestra.
En este caso se considera que la cantidad de
defectos sigue una distribucin de probabilidad de
Poisson. Por lo que la probabilidad de obtener un
xito se calcula como
x
cexP
xc
)(
-
Parmetros de la distribucin
Donde c es la media de la distribucin de
probabilidad.
c tambin es la varianza de la distribucin
representa la cantidad promedio de
defectos en las m muestras, y se obtiene como
c
m
c
c
m
ii
1
-
Lnea central y lmites de control de la carta c
La lnea central y los lmites de control son:
ccLIC
cLC
ccLSC
3
3
-
Ejemplo:
El papel de una industria se fabrica a partir de una
madera semidura, con ms color que el normal.
Se utiliza un blanqueador qumico formado por cloro
y divinilbenceno.
Peridicamente se toman muestras de cinco rollos y
se anota el nmero de defectos observados. A
continuacin se proporciona los resultados de 25
muestras.
-
Tabla de valores
Muestra Cant. defectos Muestra Cant. defectos
1 3 14 8
2 2 15 0
3 0 16 2
4 1 17 4
5 4 18 3
6 3 19 5
7 2 20 0
8 4 21 2
9 1 22 1
10 6 23 7
11 2 24 3
12 3 25 2
13 2
-
Resultados
Total de defectos= 70
21,28,238,23
8,225/70
82,78,238,23
ccLIC
cLC
ccLSC
-
Carta de control
a
252321191715131197531
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
Muestra
Co
nte
o d
e m
uestr
as
_C=2,8
UCL=7,820
LCL=0
1
Grfica C de la cantidad de defectos por unidad en rollos de
papel
-
Se observa un punto fuera de control, se elimina y se
recalcula.
a
2321191715131197531
8
7
6
5
4
3
2
1
0
Muestra
Conte
o d
e m
uest
ras
_C=2,583
UCL=7,405
LCL=0
Grfica C de cantidad de defectos en rollos de papel.
-
La funcin caracterstica de operacin
La curva caracterstica de operacin para la
carta c es una grfica de vs la verdadera
media del nmero de defectos
-
La funcin caracterstica de operacin
La expresin para es
Dado que c cambi de valor
)( LICxPLSCxP
-
La funcin caracterstica de operacin
Donde x es una variable aleatoria Poisson
con parmetro c. Si como en este caso
y se produce un cambio de la media
a otro valor, se cometer un error tipo II cada
vez que la muestra se ubique dentro de los
lmites de control
58,2c
-
La funcin caracterstica de operacin
Puesto que el nmero de defectos debe ser
entero,
)0405,7 xPxP
07 xPxP
-
Clculo de la curva caracterstica de operacin para varios
valores de c, con uso de la distribucin acumulada de Poisson
C
0,2 1,0 0,818 0,182 0,5 1,0 0,606 0,394 1,0 0,999 0,367 0,632
1,5 0,999 0,223 0,776 2,0 0,998 0,135 0,863 2,6 0,994 0,074 0,92
3,0 0,988 0,049 0,944 5,0 0,866 0,006 0,86 8,0 0,452 0,0 0,452 15,0
0,018 0,0 0,018
)7( xP )0( xP
-
Curva caracterstica de operacin
Curva OC
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 5 10 15 20
cantidad promedio de defectos
Err
or
tipo II
Serie1
-
Carta de control por unidad de inspeccin. Carta u
La carta c se usa cuando la cantidad de
unidades de inspeccin es igual a 1. Pero
no necesariamente siempre ser as.
En ocasiones ser preferible contar con
varias unidades de inspeccin, con lo cual
se incrementa el rea de oportunidad para
la ocurrencia de disconformidades.
-
Carta de control por unidad de inspeccin. Carta u
El tamao de la muestra se elige teniendo
en cuenta factores estadsticos, como
puede ser asegurar un lmite inferir de
control positivo o tener una probabilidad
particular de detectar un corrimiento en el
proceso
-
Carta de control por unidad. Carta u
Supongamos que se decide usar un tamao
de la muestra basado en n unidades de
inspeccin, sin que n tenga que ser
necesariamente entero.
La carta u es una carta de control basada
en el nmero promedio de defectos por
unidad de inspeccin.
-
Carta de control por unidad. Carta u
Si se encuentran c defectos totales en una
muestra de n unidades de inspeccin,
entonces el nmero de defectos por unidad
de inspeccin es
n
cu
-
Parmetros y lmites de control
El parmetro c es una variable aleatoria
Poisson, lo mismo que u. El u medio se
obtiene
m
u
u
m
ii
1
-
Parmetros y lmites de control
Los parmetros de la carta son:
n
uuLIC
uLC
n
uuLSC
3
3
-
Ejemplo
Un fabricante de bombas centrfugas usadas en la
Industria qumica y petrolera, quiere controlar el
numero de disconformidades en un rea de
ensamblaje.
La unidad de inspeccin se define como 4 bombas
y los datos de 16 muestras (cada una de tamao 4)
se muestran a continuacin.
-
Tabla de valores
a
N de muestra N de defectos N de muestra N de defectos
1 1 9 2
2 3 10 1
3 2 11 0
4 1 12 2
5 0 13 1
6 2 14 1
7 1 15 2
8 5 16 3
-
clculos
u1=1/4=0,25
u2=3/4=0,75
u3=2/4=0,5
-
Carta u
15131197531
1,4
1,2
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0,0
Muestra
Conte
o d
e m
uestr
as p
or
unid
ad
_U=0,422
UCL=1,396
LCL=0
Grfica U de C1
-
Procedimientos con tamaos de muestra variable
La carta de control para la cantidad de
defectos en ciertas ocasiones se lleva
adelante utilizando una inspeccin del 100%
del producto.
Cuando se emplea este mtodo de muestreo,
el nmero de unidades de inspeccin en una
muestra no ser constante.
-
Procedimientos con tamaos de muestra variable
Por ejemplo, la inspeccin de rollos de tela o papel
lleva con frecuencia a una situacin en el que el
tamao de la muestra vara, ya que no todos los
rollos tienen exactamente la misma longitud o
anchura.
Si se utiliza una carta de control para esta situacin,
tanto la lnea central como los lmites de control
variaran con el tamao de la muestra.
-
Procedimiento
El procedimiento correcto es emplear una
carta de control para cantidad de defectos
por unidad de inspeccin.
La unidad de inspeccin ser una
cantidad fija, elegida de tal manera que en
el total producido en la muestra,
represente una cantidad significativa.
-
Ejemplo
En una planta de acabado textil se
inspecciona la tela teida con colorante
qumico sinttico para controlar la cantidad de
defectos en la superficie.
Se utiliza una unidad de inspeccin de 50
metros cuadrados.
Los datos obtenidos se dan en la siguiente
tabla:
-
Tabla de valores
N de rollo m2 Defectos Unidades de Insp.
ni
Def. por unid. Insp
ui
1 500 14 10 1,4
2 400 12 8 1,5
3 650 20 13 1,54
4 500 11 10 1,1
5 475 7 9,5 0,74
6 500 10 10 1
7 600 21 12 1,75
8 525 16 10,5 1,52
9 600 19 12 1,58
10 625 23 12,5 1,84
Total 153 107,5
-
Se calcula
Existen tres enfoques para resolver este
problema. Usar lmites de control
promediados, utilizar lmites de control
individuales o utilizar una variable
estandarizada.
42,15,107
153u
-
Explicaremos este tercer enfoque, por
considerarlo el ms apropiado, dejndole al
alumno la posibilidad de leer a Montgomery
para acceder a los otros dos esquemas
-
Grfico estandarizado
En este caso el lmite superior es +3 y el
inferior es -3, siendo la lnea central cero.
Se grafica
in
u
uiuiZ
-
Grfico estandarizado
05,0
10
42,1
42,14,11
Z 19,0
8
42,1
42,15,12
Z
36,0
13
42,1
42,154,13
Z
-
Carta u para n variable
