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Ministerio de Cultura, Educacin, Ciencia y Tecnologa

Universidad Tecnolgica Nacional

Facultad Regional Rosario

Secretara Acadmica rea Ingreso

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UNIDAD N 3

3 . ESTTICA DEL CUERPO RGIDO.

3.1 QU ES UN CUERPO RGIDO?.

Consideramos cuerpo rgido a aqul que tiene dimensiones considerables y que no se deforma

frente a la accin de fuerzas.

Existe el cuerpo absolutamente rgido?. No existe el cuerpo absolutamente rgido ante

cualquier fuerza. Cada uno lo ser dentro de un cierto valor de fuerza, de tal manera que

superado ese valor, el cuerpo sufre deformaciones.

Nosotros slo trabajaremos con cuerpos que no se deforman bajo la accin de las fuerzas que

actan sobre ellos. Adems para simplificar la teora supondremos que los sistemas de fuerzas

son coplanares.

3.2 CUPLA O PAR DE FUERZAS IGUALES Y OPUESTAS

Se denomina cupla al sistema formado por dos fuerzas paralelas de la misma intensidad y

sentido contrario.

En este caso el mdulo de la suma de las dos fuerzas es cero. Sin embargo es evidente que el

cuerpo sobre el que actan no estar en equilibrio, ya que, bajo la accin de la cupla, gira en

el sentido horario indicado por las flechas curvas.

La suma S de las fuerzas que constituyen el sistema cupla , no es el sistema resultante como

en el caso de un cuerpo puntual. Es ms, no existe ninguna fuerza que sola pueda reemplazar

el efecto de la cupla. Slo otra cupla podr hacerlo.

Es decir que el sistema equivalente de una cupla es otra cupla . Cundo podemos decir que dos

cuplas son equivalentes?. Para poder decir que dos cuplas son equivalentes habr que compararlas

analizando sus efectos sobre el cuerpo rgido. Como la suma es nula habr que buscar otro elemento

para distinguirlas.

3.3 MOMENTO DE UNA FUERZA CON RESPECTO A UN PUNTO

Puede una sola fuerza producir el mismo efecto sobre un cuerpo rgido que una cupla?.

Aparentemente s

F2

F1

Fig. 3.1

F

A

F2

F1

Fig. 3.2

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Si el punto A se mantiene fijo, la fuerza F har girar al cuerpo alrededor de l.

Al fijar A estamos restringiendo posibilidades de movimiento al cuerpo rgido, esto implica que

hemos vinculado al cuerpo.

El vnculo ejerce una fuerza (reaccin del vnculo) sobre el cuerpo F. En definitiva tambintenemos una cupla.

La idea de que una fuerza hace girar a un cuerpo alrededor de un punto o eje se encierra enuna magnitud denominada momento da la fuerza respecto al punto o eje.

La Figura 3-4 es la vista superior de un objeto plano que gira alrededor de un eje

perpendicular al plano de la Fig. y que pasa por el punto O.

La distancia desde este punto que simboliza un eje de rotacin a la lnea de accin de una

fuerza se denomina brazo de mom ento o b r azo de pa lanca de la fuerza respecto al eje. El

producto del valor de una fuerza por su brazo se denomina m o m e n t o d e l a f u e r za respecto

al eje.

El cuerpo esta sometido a las fuerzas F1 y F2 que se encuentran en el plano de la Fig. El brazo

de momento de F1 es la distancia OA, de la longitud l1 y el brazo de momento F2 es la distancia

OB, de longitud l2.

El efecto de la fuerza F1 es producir una rotacin alrededor del eje en sentido contrario a las

F

FA

Fig. 3.3

A

Lnea de accin de 1F

Lnea de accin de2F

Brazo de palanca de 2F

Brazo de palanca de 1F

1F

2F

Lnea de accin de 3F l1

l2

Fig. 3-4

3F O

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agujas de un reloj, mientras que el de la fuerza F2 es producir una rotacin del mismo sentido.

Para distinguir entre estos sentidos de rotacin adoptaremos el convenio de que los momentos

de sentidos contrarios al del reloj son positivos y los del mismo sentido, negativos. Por

consiguiente el momento M1 de la fuerza F1 respecto al eje que pasa por O es:M1 = + F1 l1

Y el momento M2 de F2 es:

M2 =-F2 l2

Como la recta de accin de la fuerza F3 pasa por el punto O el momento de dicha fuerza respecto de

ese punto resulta nulo. Evidentemente en este caso es imposible que la fuerza F3 haga girar el cuerpo

alrededor del punto O.

Si la fuerza se expresa en kilogramo y la longitud en metro, el momento se expresa enkilogramo metro(kgm).

Si la fuerza se expresa en Newton y la longitud en metro, el momento se expresa en

Newton metro (Nm)

3.4 MOMENTO DE UNA CUPLA

La resultante R de las fuerzas es nula, por tal motivo un PAR no produce una traslacin

del cuerpo sobre el cual acta. El nico efecto de un PAR es producir rotacin.

El momento resultante del par en la Fig. 3-5 respecto al punto arbitrario 0, es:

M0 =x1 F-x2 F =x1 F-(x1 +l)F=-F l.

Puesto que las distancias x1 y x2 no aparecen en el resultado, deducimos que el momento del

par es el mismo respecto a t o d o s los puntos del plano de las fuerzas que forman el

par, y es igual al producto del valor de cada fuerza por la distancia entre sus lneas de accin.

Un cuerpo sometido a un par solo puede mantenerse en equilibrio mediante la accin de otro

par del mismo momento y sentido opuesto.

1x

x

y

O

l

F

F

2x

Fig. 3-5

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3.5 CONDICIONES GENERALES DE EQUILIBRIO DE UN CUERPO RGIDO

Detallaremos ahora cules son las condiciones necesarias y suficientes que deben

cumplirse para que un cuerpo rgido permanezca en equilibrio.

De esa manera, conocindolas, pueden aplicarse para resolver problemas en los que

sea necesario calcular alguna incgnita, que debe tener un valor determinado sin el cual el

sistema pierde el equilibrio.

Dado un sistema de fuerzas coplanares aplicado a un cuerpo rgido siempre es posible

hallar un sistema equivalente constituido por una fuerza y una cupla. Esta nocin permite

reducir el sistema de fuerzas aplicado sobre el cuerpo en estudio, simplificando su anlisis.

Cuando hablamos de cuerpo puntual, o bien de fuerzas concurrentes, vimos que el

sistema aplicado tena como sistema equivalente, una nica fuerza cuyo origen coincida con elde las fuerzas del sistema.

Pero tratndose de un cuerpo rgido, pueden trasladarse todas las fuerzas al origen?.

Sera ste un sistema equivalente?.

Comencemos por el caso de una sola fuerza, como se indica en la figura

Se desea trasladar la fuerza F al origen O. Para ello aplicamos al cuerpo las fuerzas F1 y

F2. Estas fuerzas tienen igual mdulo y direccin que F y sentidos opuestos entre s.

El sistema original (F aplicada en A) es equivalente al sistema formado por F2 aplicada

en O y una cupla constituda por el par de fuerzas F y F1.

Conclusin: Si se desea trasladar una fuerza paralelamente a s misma, es necesario

agregar sobre el cuerpo rgido un par de fuerzas de la misma intensidad y sentidos opuestos,

paralelas a la dada, a la distancia a la que se quiere trasladar.

Un sistema de fuerzas tendr as, como equivalente, tantas fuerzas iguales trasladadas

al punto indicado como fuerzas tenga el sistema original, ms la misma cantidad de cuplas.

Cundo un cuerpo rgido estar en equilibrio?

Y

XO

F

A

Y

XO

F

A

F2

F1

d

Fig. 3-6

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Un cuerpo rgido estar en equilibrio cuando est: (a) en reposo o se traslade con

movimiento rectilneo uniforme o (b) no gire o lo haga con movimiento circular uniforme

El requisito (a) queda satisfecho por la primera condicin de equilibrio

= = ;x yF O F O

El requisito (b), que es la segunda condicin de equilibrio, puede expresarse de un modo

sencillo en funcin de los momentos de las fuerzas.

Para calcular la suma de los momentos de un sistema de fuerzas coplanares se calcula

separadamente el momento de cada fuerza y luego se suman estos momentos

algebraicamente. As, si un cuerpo esta en equilibrio bajo la accin de un nmero cualquiera

de fuerzas coplanares, la suma algebraica de los momentos de estas fuerzas respecto a

cualquier eje es nula.

Ejemplo 1: Una barra rgida cuyo peso propio es despreciable (Fig. 3-7) esta apoyada en el

punto O y soporta en el extremo A un cuerpo de peso w1. Hallar el peso w2 de un segundo

cuerpo atado al extremo B si la barra esta en equilibrio, y calcular la fuerza ejercida sobre la

barra por el pivote situado en O.

La Figura 3-7 (b) representa el diagrama de fuerzas de la barra. Las fuerzas T1 y T2 son iguales

respectivamente, a w1 y w2. Tomando momentos respecto a un eje perpendicular a la barra y

que pase por O, las condiciones de equilibrio dan:= = 1 2yF P T T O (1 condicin)

Fig. 3-7Barra en equilibrio bajo la accin de fuerzas paralelas

A B

w1w2

O

(a) (b)

A B

T1 T2

O

P

l1 l2

SEGUNDA CONDICIN DE EQUILIBRI O

M O=

(respecto a cualquier eje)

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0 1 1 2 2M T l T l O= = (2 condicin)

Sean l1 = 3m, l2 = 4m. w1= 4kg. De las ecuaciones anteriores se deducen

P=7 Kg. T2 = w2 = 3kg.

Para comprobar que el momento resultante respecto a cualquier eje es nulo, calculemos los

momentos respecto a un eje que pase por el punto A:

= + 1 2 1 2( )AM Pl T l l

= 7kg x 3m 3kg x 7m = O

No es necesario que el punto respecto al cual se toman momentos se encuentre sobre la barra.

Para comprobar esto, el lector puede calcular el momento resultante respecto a un punto

situado 1m a la izquierda de A y 1m por encima de el.

Ejemplo 2: En la Figura 3-8 la escalera mide 6m de longitud, pesa 80kg. y tiene su centro de

gravedad en el punto medio, se encuentra en equilibrio apoyada en una pared vertical sin

rozamiento y formando un ngulo de 53 con el suelo. Calclese los valores y direcciones de la

fuerza que ejercen la pared y el piso contra la escalera.

Si la pared no tiene rozamiento, F1 es

horizontal. La direccin de F2 es desconocida

(excepto en casos especiales, su direccin no

coincide con la de la escalera). En lugar de

considerar como incgnitas su valor y direccin

es ms sencillo descomponer las fuerzas F2 en

componentes segn Ox y Oy y hallar stas.

Despus puede calcularse el valor y direccin

de F2. La primera condicin de equilibrio

proporciona, por lo tanto, las

ecuaciones

= == =

2 1

2

cos ;

80

x

y

F F F O

F F sen kg O

(1 condicin)

Al escribir la segunda condicin pueden calcularse los momentos respecto a un eje que pase

por cualquier punto. La ecuacin resultante es ms sencilla si se elije un punto por el cual

pasen dos o ms fuerzas, puesto que estas fuerzas no aparecern en la ecuacin. Tomemos

por lo tanto, momentos respecto a un eje que pase por el punto A:

53

F2sen

F1

F2

F2cos

w = 80Kg

6 m

4,8 m

A

1,8 m 1,8 m

Fig. 3-8

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1 4,80 80 1,80AM F m kg m O= = (2 condicin)

En virtud de la segunda ecuacin, F2 sen = 80kg, y la tercera

1

14430

4,80

kg mF kg

m

= =

Entonces, de la primera ecuacin

F2 cos = 30kg

Por consiguiente:

2 22 (80 ) (30 ) 85,5

8069,5

30

F kg kg kg

kgarctg

kg

= + =

= =

3.6 RESULTANTE DE UN SISTEMA DE FUERZAS PARALELAS

La direccin de la resultante de un conjunto de fuerzas paralelas es la misma que la

de las fuerzas y su intensidad es la suma de sus intensidades.

Consideramos las fuerzas paralelas F1 y F2 El punto O es un punto cualquiera arbitrario, y el

eje x se ha tomado perpendicular a la direccin de las fuerzas.

La lnea de accin de la resultante puede encontrarse a partir de la condicin de que el

momento de la resultante respecto a cualquier eje ha de ser igual a la suma de los

momentos de las fuerzas dadas.

En la Figura 3-9. las fuerzas no tienen componentes segn el eje x, de modo que la intensidad

de la resultante:

1 2yR F F F= = +

Fig. 3-9

2x

1x

x

x

y

O

R

F1

F2

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Si x1 y x2 son las distancias desde O a las lneas de accin de las fuerzas, su momento

resultante respecto a un eje que pase por O es:

0 1 1 2 2M x F x F= + (3.1)

Representaremos por x la distancia desde O a la lnea de accin de la resultante. El momento

de la resultante respecto a O ser:

0 1 2( )M Rx F F x= = + (3.2)

Y puesto que debe ser igual al momento resultante, tenemos:

(3.1) = (3.2)

1 2 1 1 2 2( )F F x F x F x+ = +

Por, consiguiente:

1 1 2 2

1 2

F x F xx F F

+= + ,

Quedando determinados el valor, el sentido y la lnea de accin de la resultante.

Generalizando:

Ejemplo 3. Cuando un cuerpo est en equilibrio bajo la accin de tres fuerzas, la resultante de

dos cualesquiera de ellas es igual y opuesta a la tercera y tiene la misma lnea de accin.

Demostrar que estas condiciones son satisfechas por las tres fuerzas paralelas de la Fig. 3-7

(b) .Se demostr en el ejemplo 1 al final de la seccin 3.5, que si l1= 3m, l2=4m y T1=4kg,

entonces T2=3kg y P=7kg.

Calculemos primero la resultante T1 y T2. Tomemos el eje x a lo largo de la barra con el origen

el A el valor de la resultante es:

= = = 4 3 7R F kg kg kg

La coordenada de su lnea de accin es:

4 0 3 73

7

xF kg kgx m

F kg

= = =

RESULTANTE DE n FUERZAS PARALELAS

1

n

ii

R F=

=

COORDENADA DE LA LINEA DE ACCION DE LA FUERZARESULTANTEFx Fx

xF R

= =

oFy Fy

yF R

= =

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Fig. 3-10Determinacin de la posicin del centro

de gravedad de un objeto plano.

(b)(a)

Por consiguiente, la resultante de T1 y T2 es igual y opuesta a P y tiene la misma lnea de

accin.

La resultante de P y T2 tiene por intensidad

7 3 4R F kg kg kg= = = La coordenada de su lnea de accin es:

7 3 3 7

4

Fx kg m kg mx O

F kg

= = =

De modo que la resultante de P y T2 es igual y opuesta a T1 y tiene la misma lnea de accin.

3.7 CENTRO DE GRAVEDAD

Cada partcula material de un cuerpo es atrada por la Tierra y la fuerza nica quellamamos peso del cuerpo es la resultante de todas esas fuerzas de atraccin. El

sentido de la fuerza ejercida sobre cada partcula es hacia el centro de la Tierra, pero la

distancia hasta el centro de la Tierra es tan grande que para todos los fines prcticos las

fuerzas pueden considerarse paralelas entre si.

Por consiguiente, el peso de un cuerpo es la resultante de un gran nmero de fuerzas

paralelas. El punto de aplicacin de la fuerza peso recibe el nombre de centro de gravedad.

El centro de gravedad de un objeto plano puede determinarse experimentalmente comomuestra la Fig. 3-10. Supongamos una hoja de

papel, la sostenemos suavemente entre el

pulgar y el ndice de modo que cuelgue

libremente. Trazamos una lnea en el papel

verticalmente desde el punto de suspensin,

Fig. 3-10 (a); el centro de gravedad debe estar

en algn punto de esa lnea. Ahora

sostenemos el papel de otro extremo y

repetimos el procedimiento, Fig. 3-10 (b). El

punto en el que las lneas se cruzan es el

centro de gravedad del papel.

El centro de gravedad de un cuerpo tiene otra propiedad importante. Una fuerzaF, cuya lnea

de accin se encuentra, por ej. por encima del centro de gravedad, como en la Fig. 3.11

(a), cambiar a la vez el movimiento de traslaciny el de rotacin del cuerpo sobre el

cual acta. Un ejemplo de este tipo de movimiento se manifiesta cuando pateamos una pelota

de ftbol y esta parte con efecto, el movimiento de traslacin es el desplazamiento de la

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pelota hacia el arco y el movimiento de

rotacin es el giro que realiza la pelota sobre s

misma produciendo el efecto.

Sin embargo, si la lnea de accin pasa porel centro de gravedad, como en la parte (b),

slo queda afectado el movimiento de

traslacin y el cuerpo conserva su

equilibrio de rotacin. Un ejemplo prctico

de este movimiento es cuando pateamos una

pelota y esta parte sin efecto. La pelota slo

se desplaza sin rotacin.

Cuando un objeto descansa o desliza sobre otro, las fuerzas normales y de rozamiento

forman conjuntos de fuerzas paralelas distribuidos sobre la superficie de contacto. Los vectores

nicos que se han utilizado para representar estas fuerzas son, por tanto, en realidad, las

resultantes de sistemas de fuerzas paralelas.

Centro degravedad

Lnea de accinde la fuerza

Si la lnea de accin pasa por elcentro de gravedad, solo quedaafectado el movimiento de traslaciny el cuerpo conserva su equilibrio derotacin.

(b) Pelota sin efecto

Fig. 3-12

Centro degravedad

Lnea de accinde la fuerza

(a) Pelota con efecto

Si la lnea de accin pasa por un ladodel centro de gravedad, cambiar a lavez el movimiento de traslacin y el derotacin

Fig. 3-11Un cuerpo posee equilibrio de rotacin,pero no de traslacin, si esta sometido auna fuerza cuya lnea de accin pasa porel centro de gravedad, como en (b).

F

(a)b

F

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PROBLEMAS

3.1 Estando el sistema de la Fig.3-13 en equilibri o y si los pesos de las cuerdas son

despreciables, cul es el peso de la tabla si la misma es homognea?.

3.2 La barra homognea AB de peso 30 kg de la Fig. 3-14, puede girar alrededor de B.

Determinar el mdulo de F que establece el equilibrio en las condiciones de la figura.

3.3 La tabla homognea mostrada en la Fig. 3-15 pesa 30 N . Encontrar las tensiones

actuantes en cada una de las cuerdas si el peso del objeto es de 100 N y las cuerdas poseen

peso despreciable.

3.4 La barra rgida de la Fig.3-16, cuyo peso es despreciable se encuentra en equilibrio

simplemente apoyada sobre los soportes A y B y actan sobre ella las fuerzas indicadas de

mdulos F1 =200 kg F2 =100 kg y F3 =400 kg. Determinar las reacciones en los apoyos A y B.

3.5 El brazo de la gra en la Fig. 3-17 pesa 40 kg y su centro de gravedad esta en su punto

medio. Calcular: a) la tensin del cable: b) las componentes horizontal y vertical de la fuerza

ejercida sobre el brazo de la gra.

T = 30N

F = 20N

8L2L

F ig. 3-13

FA

B

30

Fig. 3-14

53

CB

A

L/2 L/4 L/4Fig.3-15

F1

3mFig.3-16

2m 4m 1m 2m

A B

F2 F3

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3.6 Un montacargas que pesa 1000kg y cuyas dimensiones son 2,402,41,60m3, cuelga de un

cable y desliza, con una pequea holgura entre guas verticales sin razonamiento, G y G,

como indica la Fig. 3-18.Se coloca en el ascensor una carga de 600 kg. con su centro de

gravedad desplazado 60cm a la izquierda del centro del piso. El montacargas es entonces

elevado a velocidad constante. A) Representar en un esquema la posicin y sentido de las

fuerzas ejercidas por las guas sobre el ascensor, b) Calcular el valor de estas fuerzas.

3.7 Determinar el valor y la lnea de accin de la resultante de las cuatro fuerzas de la

Fig. 3-19.

3.8 Una puerta de 2,1m de altura y 0,9m de ancho esta colgada de goznes separados 1,80m

entre si y a 15cm de los bordes superior e inferior de la puerta. La puerta pesa 30kg, su centro

de gravedad coincide con su centro y cada gozne soporta la mitad del peso de la puerta.

Calcular la componente horizontal de la fuerza ejercida sobre la puerta en cada gozne.

3 m

2,4 m

1,8 m

60 Kg

Fig. 3-17

T

3 6 m

G

2,40 m

G

Fig. 3-18

Fig. 3-19

30 cm60 cm 60 cm

80 Kg

50 Kg

60 Kg

100 Kg

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Fig. 3-20

A

37w1 = 2 Kg

3 m

w2 = 10 Kg

3.9 Para mantener el equilibrio de una barra en

la posicin representada en la Fig. 3-20 ha de

aplicarse una sola fuerza. Puede despreciarse el

peso de la barra. a)cules son las componentesx e y de la fuerza necesaria? b) cul es la

tangente del ngulo que la fuerza ha de formar

con la barra? c) cul es el valor de la fuerza

necesaria? d) dnde deber aplicarse esta

fuerza?

3.10 El extremo A de la barra AB de la Fig. 3-21 descansa sobre una superficie horizontal sin

razonamiento, mientras que el extremo B

esta colgado. Se ejerce una fuerza

horizontal P de 12kg. sobre el extremo.

Despreciando el peso de la barra.

Cules son las componentes horizontales

y verticales de la fuerza ejercida por la

barra sobre el gozne B? Fig. 3-21

fig. 3-21

B

A

3 m

2 4 m

P

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BIBLIOGRAFA

Fundamentos de Fsica I de F. SearsFsica General de Sears y Zemansky

Fsica Universitaria de Sears, Zemansky, Young y Freedman

Fsica Conceptual de P. Hewitt

Fuentes varias de Internet

Documents

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