Flexión Pura y Momento Flector

7/24/2019 Flexin Pura y Momento Flector

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)a(

(b)

F

FF

F

M

d

F

F

A

)c(

MM)(d

F

Fd

M

Flexin pura y momento flector

Ejemplo

La figura 1a muestra la imagen de una barra de plstico flectada aplicando, con pulgares endices, dos pares de fuerzas, uno en cada extremo. Este tipo de carga se denomina flexin

en cuatro puntos. Si imaginamos un corte recto de la viga en el tramo central (ig. 1b!, el

sistema de fuerzas interiores "ue act#an sobre la seccin de corte debe ser e"uivalente a un

momento $ (en ro%o! "ue e"uilibra al del par de fuerzas exteriores. &omando momentos en

el punto ' e igualando a cero tenemos

)$'*+ $ - d * + $ * d (1!

bviamente, el momento $ es igual para cual"uier punto del vano central de la viga, como

se deduce de "ue el corte es para un punto arbitrario, / se confirma del e"uilibrio de un

tramo de viga completamente contenido en el vano central, como el de la figura 1c. 0n

tramo de viga cu/o sistema de fuerzas interiores sobre una seccin recta se reduce a un

momento, se dice "ue esta solicitado en flexin pura, / el esfuerzo correspondiente se

denomina momento flector.

2 3erifi"ue "ue se obtiene el mismo resultado si se plantea el e"uilibrio de un tramo de viga

"ue inclu/a el extremo iz"uierdo, en lugar del derec4o.


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(a)

)b(

)c(

F

FF

F MM

x

y+

)(dx

y(d)

igura 1 3iga sometida a flexin en cuatro puntos en el vano central el momento flector es

constante.

Criterio de signos

5omo se 4a indicado, un momento flector es un esfuerzo, / es conveniente escoger un

criterio de signos. )ara vigas 4orizontales, se elige tradicionalmente el signo positivo

cuando la deformada de la viga es cncava 4acia arriba (ig. 6a!, / negativo cuando es

cncava 4acia aba%o (ig. 6b!. Sin embargo, la orientacin de la concavidad no es una

propiedad intrnseca, como puede comprobarse dibu%ando una forma cncava 4acia arriba

en una 4o%a de papel / girndola 17+8 en su plano, con lo "ue 9arriba 9pasa a ser 9aba%o:.

&enemos pues "ue definir unos e%es unidos a la viga (o al papel! "ue indi"uen de forma

#nica lo "ue se entiende por 9arriba:.

Lo primero es situar el e%e x a lo largo del e%e geom;trico de la viga con un sentido "ue

podemos elegir arbitrariamente, / "ue suele tomarse, para vigas 4orizontales, de iz"uierda a

derec4a, como en la figura 6c. El e%e / se toma siempre perpendicular al e%e x / orientado

de manera "ue para llevar el semie%e positivo x sobre el semie%e positivo / se realiza un

giro de .6 ampliaremos los criterios de signos.

igura 6 5riterio de signos para los momentos flectores.


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)(a

B

F

x

y

`` xx

A X

)(b

F

QXMX

(c)

R Ay QX

MXMeA

Flexin simple y esfuerzo cortante

5uando una viga, o un tramo de ella, est sometida a un momento flector variable, siendo el

esfuerzo axil nulo, decimos "ue se encuentra solicitada en flexin simple, en cu/o caso,adems del esfuerzo flector aparece un esfuerzo cortante, normal al e%e de la viga.

Ejemplo

El e%emplo ms simple es el de una m;nsula con una fuerza en su extremo, tal como se

representa en la figura >a. Si cortamos por un plano normal por el punto ? a la distancia x

del empotramiento, el e"uilibrio del tramo ?@ de viga situado a su derec4a re"uiere "ue el

sistema de fuerzas interiores en ? puedan a4ora reducirse a un momento $? / a una fuerza

vertical "ue denominamos esfuerzo cortante A?= sus valores se obtienen de las condiciones

de e"uilibrio de fuerzas / de momentos

B)/ *+ - A? * + A? * (6!

igura > $;nsula sometida a flexin simple.

)$? *+ (C - x! - $? * + $? * (C - x! (>!

El resultado indica "ue el esfuerzo cortante es constante e igual a , / "ue el esfuerzo

flector, en cambio, varia linealmente con x, valiendo C en el empotramiento / + en el

extremo de la m;nsula.

)uesto "ue la viga entera debe estar en e"uilibrio, la reaccin vertical en el empotramiento

D'/ / el momento de empotramiento $'e

(la reaccin D'x es trivialmente nula! debensatisfacer el e"uilibrio de la viga entera, es decir

B))/ *+ D'/ * + D'/ * -- (! $'*+ C $'

e * + $'e * C (F!

2 5ompruebe "ue imponiendo el e"uilibrio del tramo '? de la viga (ig. >c! resultan los

mismos valores de los esfuerzos flector / cortante en ?.


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()d )e(

Figura4: Criteriosdesigos!

Criterio de signos

5onsideremos una viga orientada de la forma tradicional (4orizontal / e%e x 4acia la

derec4a! / consideremos el tramo comprendido entre dos secciones rectas tal como semuestra en la figura a. G "ue la seccin situada ms a la derec4a es la seccin frontal / la

situada a la iz"uierda la seccin dorsal. En un caso general de un tramo de viga inclinada, la

seccin frontal es a"uella para la cual el sentido de su normal exterior coincide con el

sentido positivo del e%e de la viga= la seccin dorsal es a"uella para la cual la normal

exterior tiene sentido contrario al positivo de la viga (ig. b!.

El sistema reducido de fuerzas exteriores sobre la seccin frontal se denomina frontal, / de

igual forma sus componentes fuerza axil frontal, fuerza cortante frontal / momento flector

frontal= / anlogamente para la seccin dorsal. 5onsiderando una rebanada de pe"ueHo

espesor tal como se muestra en la figura c, el criterio de signos se resume diciendo "ue un

esfuerzo es positivo si su correspondiente accin frontal es positiva de acuerdo con los

signos definidos para los e%es / los giros. Esto lleva a los criterios de signos /a conocidos

para el axil / para el momento flector, / al convenio de "ue el esfuerzo cortante es positivo

si su correspondiente fuerza cortante frontal tiene el sentido del e%e / positivo, tal como se

muestra en la figura d, o, simplificadamente, en la figura e, en la "ue el sentido del e%e /

es implIcito.

Leyes de esfuerzos cortantesFuerzas concentradas

5onsideremos una viga recta sometida a fuerzas concentradas normales a su e%e, como la

indicada en al figura Fa, en la cual se supone "ue las fuerzas estan en e"uilibrio, es decir

"ue


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)a( "# "$"% "4 "&C

(b)QC

"4 "&

)(cQC"

# "$"%

)(d

QA QB"4

Q'Q

* + / ?$')i * + (J!

)odemos calcular mu/ rpidamente el esfuerzo cortante en cual"uier punto de la viga, por

e%emplo el 5, sin ms "ue cortar por este punto / escribir el e"uilibrio de fuerzas verticales

"ue act#an sobre el tramo de la viga situado a la derec4a del corte (ig. Fb! o a su iz"uierda

(ig. Fc!. 5omenzando por el tramo derec4o, tendramos

B)/ *+ ) )F - A5 * + ) (K!

i=4

5

Pi

Si escribimos el e"uilibrio para el tramo iz"uierdo tendremos

B)/ *+ )1 )6 )> A5 * + A5 *-

) (7!i=1

3

Pi

/, evidentemente el resultado es el mismo en virtud de las condiciones de e"uilibrio global

(J!.

5onsideremos a4ora el e"uilibrio de un tramo de la viga sobre el "ue no actua ninguna

fuerza exterior, como el mostrado en la parte iz"uierda de la figura Fd. En este caso se

tiene, para el esfuerzo cortante

B)/ *+ A@ - A' * + (


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#*

### ##

4 4

#*

## ##

##

x

Q

&

#*

#&

,&

,#*

lo cual significa "ue el esfuerzo cortante experimenta un salto al pasar de un lado a otro de

la fuerza concentrada, / "ue el salto tiene signo contrario al de la fuerza /endo de iz"uierda

a derec4a, / el mismo signo de la fuerza /endo de derec4a a iz"uierda. 3eamos un e%emplo

Ejemplo: En la viga de la figura, dibu%ar un diagrama "ue represente grficamente la le/ de

esfuerzos cortantes (fuerzas en M, cotas en m!.

Solucin:Mumerando los vanos de iz"uierda a derec4a

(1!B PF y=0 - J A1 * + A1 * J=

(6!B PF y=0 - J - 1+ A6 * + A6 * 1J=

(>!B PF y=0 - A> 11 - 11 * + A> * += /

(!B PF y=0 - 11 - A * + A * -11.

5on lo "ue el diagrama de momentos resulta

)odra 4aberse 4ec4o incrementalmente, por e%emplo empezando por la derec4a A *

-11, A> * A11, A6 * A>1J, A1 * A6-1+, o por la iz"uierda A1 * J, A6 * A11+, etc. )or

supuesto los resultados son id;nticos.

Fuerzas distribuidas

5onsideremos una viga recta sometida a fuerzas distribuidas normales a su e%e, es decir en

la direccin del e%e /. Sea p(x! la fuerza por unidad de longitud en el punto x (ig. Ja!. El

e"uilibrio de un tramo cual"uiera entre dos secciones rectas


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a( ) x -(x)

x

-

(b)

Q$

A-#$

Q

x# x$

Q#

-*

` x`x

x

Q

x

Ax,`

igura J 3iga sometida a cargas distribuidas.

a las distancias x1 / x6 N x1 re"uiere "ue la suma de fuerzas verticales sea cero, es decir

* + (11!

donde es la resultante de las fuerzas distribuidas entre 1 / 6 (ig. Jb!. Esta resultante

puede calcularse escribiendo "ue la fuerza "ue act#a sobre un elemento de viga de longitud

dx es p(x!dx / "ue, por tanto, la resultante es

* rea del diagrama de fuerza distribuida (16!

es decir, "ue con las unidades adecuadas, la resultante de las cargas distribuidas es el rea

sombreada de gris en la figura Jb, por lo "ue, si se trata de una forma de cu/a rea

conozcamos la expresin (rectngulo, tringulo, trapecio, parbola, ...! podemos utilizar

dic4a expresin directamente= en caso contrario 4a/ "ue integrar. 3eamos un e%emplo

Ejemplo:En la m;nsula de la figura, determinar la le/ de esfuerzos cortantes / dibu%ar el

diagrama correspondiente.

Solucin. 5ortando por un punto situado a la distancia

x del empotramiento /

aislando del tramo de la derec4a resulta

p

p


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Q . -*$ (` x)$

Q

x

#$-*` -*

$(` x)$

/Q

/x+- .*

donde la resultante de la sobrecarga * rea del tringulo * px(C - x!O6 / px * (p+OC!(C-x!,

por seme%anza de tringulos. La ecuacin de e"uilibrio da directamente

* +, de donde ,

"ue es la ecuacin de una parbola de e%e vertical con v;rtice en el extremo de la m;nsula /

cu/o valor en el empotramiento es p+CO6, por lo "ue el diagrama de esfuerzos cortantes es el

siguiente

Nota: es posible tambi;n resolver el problema planteando el e"uilibrio del tramo de la viga

a la iz"uierda de la seccin. En este caso 4a/ "ue calcular primero la reaccin en el

empotramiento, "ue es 6, /, por tanto, la ecuacin de e"uilibrio seria

donde es el rea del trapecio de sobrecarga limitado por las

verticales en + / x. bviamente el resultado es el mismo, / solo ligeramente ms laborioso.

Euilibrio local

Si en lugar de plantear el e"uilibrio de un tramo finito de viga planteamos el e"uilibrio de

una rebanada infinitesimal de longitud dx con el extremo dorsal en x, entonces en la

ecuacin (11! tenemos ,/ la ecuacin de e"uilibrio se reduce a

A(x dx! - A(x! p(x!dx * + (1>!

En esta ecuacin diferencial, "ue corresponde a un punto del e%e de la viga, el primer

t;rmino representa la resultante de las fuerzas interiores por unidad de longitud, / el

segundo a la resultante de las fuerzas exteriores por unidad de longitud.

2 5ompruebe "ue la ecuacin de e"uilibrio local se cumple para la solucin del e%ercicio

anterior.Si en un punto x1 4a/ una fuerza concentrada )1, entonces p(x1! * P / la ecuacin anterior

no es aplicable (A no es derivable en este punto! / es preciso escribir la ecuacin de salto

"ue /a se 4a plateado anteriormente, tomando una rebanada con una cara infinit;simamente

a la iz"uierda del punto x1, "ue representamos como / la otra infinit;simamente a su

derec4a ( !. La ecuacin de e"uilibrio resulta


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Q(x+# )Q(x# ) + "# .*

Cortates tota0esQ .

$ +

$(` x) . $ x

(x $ ) -arax1`2$

. -*$

(` x)$ -arax3`2$

x

Q#-*`

%-*`

(1!

Superposicin de leyes de esfuerzos

En muc4os casos prcticos, el sistema de cargas exteriores sobre una viga es comple%o, /

puede subdividirse en subsistemas ms sencillos. Evidentemente, si la viga es isosttica, las

reacciones / los esfuerzos para el sistema completo sern iguales a la suma de las

reacciones / esfuerzos "ue se obtendran para cada subsistema. Esto es as por"ue las

ecuaciones de e"uilibrio son lineales (son sumas de fuerzas o de momentos!. Gebe notarse,

sin embargo, "ue en sistemas 4iperestticos esto slo se cumple si la respuesta cargaQ

desplazamiento del sistema es lineal= volveremos sobre esto al estudiar las deformaciones

inducidas por los esfuerzos.

Ejemplo: Getermine la le/ de esfuerzos cortantes en la m;nsula del e%emplo anterior si,

adems de la carga triangular, se aplica una fuerza concentrada vertical de mdulo p +CO6 /

sentido 4acia aba%o, en el centro de la viga.

Solucin: Ra se calcul el cortante debido a la carga triangular. El cortante debido a la

carga concentrada vale + para x N CO6 / -p+CO6 para + x CO6, por tanto la le/ de

*

p+

C

p+

6

p+

cu/a grafica es

Leyes de momentos flectores

Fuerzas concentradas

5onsideremos de nuevo la viga sometida a fuerzas concentradas del apartado >.>.1, "ue

representamos de nuevo en la figura Ka, "ue cumplen las ecuaciones de e"uilibrio global

(J!.


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)odemos calcular mu/ rpidamente el momento flector en cual"uier punto de la viga, por

e%emplo el 5, sin ms "ue cortar por ese punto / escribir el e"uilibrio de momentos en el

para el tramo de la viga situado a la derec4a del corte (ig. Fb! o a su iz"uierda (ig. Fc!.

5omenzando por el tramo derec4o, tendramos

)$5 *+ $5) $5

)F - $5 * + Mc=

i=4

5

McPi

(1F!

Si escribimos el e"uilibrio para el tramo iz"uierdo tendremos

)$5 *+ $5)1 $5)6 $5)> - $5 * + Mc=i=1

3

McPi

(1J!

/, evidentemente el resultado es el mismo en virtud de las condiciones de e"uilibrio global

(J!.

5onsideremos a4ora el e"uilibrio de un tramo de la viga sobre el "ue no act#a ningunafuerza exterior, como el mostrado en la parte iz"uierda de la figura Kd. En este caso se tiene

tomado momentos en el punto '

)$'*+ $ - $' A(x - x'! * + $ * $' - A(x - x'! (1K!

es decir, "ue en un tramo libre de fuerzas exteriores el momento flector varia linealmente

con la posicin. Gerivando la primera de las dos ecuaciones anteriores con respecto a x

resulta

(17!

"ue, aun"ue deducida en un caso particular en "ue A es constante en el tramo considerado,es vlida en general como veremos ms adelante al establecer la ecuacin de e"uilibrio

local para los momentos.

5onsideremos, finalmente, un tramo como el de la figura Kd, cu/os extremos estn

sim;tricamente dispuestos uno a cada lado de una de las fuerzas concentradas


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)a( "# "$"% "4 "&C

(b) "4 "&MC

(c) "# "$"%

MC

)(d

QAMA

xA x

QM

"4

s sQ+

Q

M M+

#*

### ##

4 4

#*

## ##

##

igura K 3iga sometida a cargas concentradas arbitrarias.

/ a una distancia s de ella. En este caso tenemos, para el momento flector a iz"uierda ($ -!

/ derec4a ($!

)$centro *+ $ - $- As A-s * + $ - $- T + para s T + (1

lo cual significa "ue el momento flector es continuo cuando se pasa de un lado a otro de la

fuerza concentrada, aun"ue su derivada es discontinua. 3eamos un e%emplo

Ejemplo: En la viga de la figura, dibu%ar un diagrama "ue represente grficamente la le/ de

momentos flectores (fuerzas en M, cotas en m!.

Solucin:Mumerando los vanos de iz"uierda a derec4a (a! $;todo analtico directo

(1! (Mm!=

(6! Mdcha=0 $ Jx 1+(x - ! * + $ * + - 1Jx (Mm!=

(>! Izda=0 -$ 11(1-x!-11(66-x! * + $ * -77 (Mm!=

(! Izda=0 - $ - 11(66 - x! * + $ * -11(66

- x! (Mm!.


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x

,4*

,*

,*

*

$*

,$*

M

5on lo "ue el diagrama de momentos resulta, dibu%ando como es 4abitual

los momentos positivos 4acia aba%o (es decir, dibu%ando siempre el

momento del lado de las fibras traccionadas!

(b! $;todo de puntos caractersticos Sabiendo "ue el momento varia linealmente entre

puntos de carga, basta determinar el momento flector en cada punto de aplicacin de carga

/ unirlos mediante tramos rectos= numerando los puntos de carga de iz"uierda a derec4a (de

1 a F! resulta del e"uilibrio de los tramos iz"uierdos, $1 * +, $6 J U * +$6 *--$6> 11Mm ,U$J >- J11 UU 7 1+1 * +U * +$> * $-77> *Mm (comprueba el9cierre: o-77 Mm, / del de los tramos e"uilibrio global!, - $ - 11 U 7 * + $ * -77Mm, $F * +. )or supuesto los resultados son id;nticos.

Fuerzas distribuidas

5onsideremos de nuevo la viga recta sometida a fuerzas distribuidas normales a su e%e del

apartado (ig. 7a!. El e"uilibrio de momentos de un tramo cual"uiera entre dos secciones

rectas a las distancias x1 / x6 N x1puede escribirse de dos maneras alternativas una tomando

momentos en la seccin dorsal (i.e. respecto del punto del e%e situado en x1! / otra tomando

momentos en la seccin frontal(i.e. respecto del punto del e%e situado en x6!= las ecuaciones correspondientes son

(6+!

$x6 *+ $6 - $1 A1(x6 - x1! M212P

(61!


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( )a x -(x)

x

-

b( )

Q$

A-#$

Q

x# x$

Q#M# M$

x-# $

igura 7 3iga sometida a cargas distribuidas.

donde es el momento de las fuerzas distribuidas entre 1 / 6 respecto del punto i. Estemomento puede calcularse escribiendo "ue la fuerza "ue act#a sobre un elemento de viga

de longitud dx es p(x!dx / "ue, por tanto, los respectivos momentos se pueden escribir

como

(66!

'4ora bien, se sabe "ue la resultante del sistema de fuerzas paralelas se puede reducir a su

resultante aplicada en el centro de gravedad, estando el centro de gravedad, en

consecuencia, definido por la condicin de "ue el momento del sistema respecto a dic4o

punto sea nulo, es decir "ue se verifi"ue

(6>!

donde es, seg#n se di%o, el rea definida por la curva de distribucin de carga, igual a

la resultante de las fuerzas de sobrecarga.

En consecuencia, si se conoce la posicin xpV1-6 del centro de gravedad de la sobrecarga

sobre el tramo 1W6, podemos escribir su momento en la forma

! (6!

5on estas expresiones, es inmediato comprobar "ue las ecuaciones (6+! / (61! son

e"uivalentes restando las segunda ecuacin de la primera / sustitu/endo las expresiones

(6! resulta(6F!

"ue es una identidad debido a la ecuacin (11! de e"uilibrio de fuerzas normales "ue

asegura "ue el primer par;ntesis es id;nticamente nulo.


14/17

-*

` x`

x

x

En la prctica se utilizara la ecuacin (6+! cuando sean conocidos el cortante / el momento

en la seccin frontal, con lo cual se puede despe%ar $1. Decprocamente, la ecuacin (61! se

utilizara cuando sean conocidos los esfuerzos en la seccin dorsal / podr despe%arse $6.

3eamos un e%emplo

Ejemplo: En la m;nsula de la figura, determinar la le/ de momentos flectores / dibu%ar el

diagrama correspondiente.

Solucin: 5ortamos por un punto situado a la distancia x del empotramiento aislamos

Nota: es posible tambi;n resolver el problema planteando el e"uilibrio del tramo de la viga

a la iz"uierda de la seccin. En este caso 4a/ "ue calcular primero la reaccion en el

empotramiento, "ue es -p+CO6, / el momento de empotramiento, "ue es $e

* -p+C6

OJpor tanto, la ecuacin de e"uilibrio sera

es el rea del trapecio de sobrecarga limitado por las verticales en + / su centro de

gravedad, "ue sera necesario calcular= en la prctica es me%or calcular el momento del

trapecio de carga descomponi;ndola en dos reas (dos tringulos o un tringulo / un

rectngulo!, lo "ue es e"uivalente al clculo implcito del centro de gravedad /a "ue 'xV *


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/M

/x+ Q .*

'1xV1 '6xV6. bviamente el resultado es el mismo, pero el desarrollo resulta

sustancialmente ms laborioso.

Euilibrio local

Si en lugar de plantear el e"uilibrio de un tramo finito de viga planteamos el e"uilibrio de

una rebanada infinitesimal de longitud dx con el extremo dorsal en x, entonces en la

ecuacin (61! tenemos A1 * A(x!, $6 * $(x dx! /

! * infinit;simo de segundo orden, / la ecuacin de

e"uilibrio se reduce a

$(x dx! - $(x! A(x!dx o(dx! * + (6J!

2 5ompruebe "ue la ecuacin de e"uilibrio local se cumple para la solucin del e%ercicioanterior.

En esta ecuacin diferencial, "ue corresponde a un punto del e%e de la viga, el primer

miembro representa el momento resultante de las fuerzas interiores por

igura


16/17

s s

donde m es el momento exterior por unidad de longitud. En la prctica, pocas veces se

encuentran casos con momentos distribuidos.1 )or el contrario, no es raro encontrarse con

momentos exteriores concentrados, "ue tratamos a continuacin.

!omentos exteriores concentrados

Empecemos por un e%emplo la figura


17/17

Este resultado es totalmente general, lo "ue puede demostrarse con sencillez a partir del

e"uilibrio de momentos de una rebanada de la viga simetricamente dispuesta respecto de la

seccion en la "ue actua el momento concentrado como se muestra en la figura 1+.

&omando momentos respecto del extremo dorsal se tiene* += con lo "ue cuando s tiende a cero el

ultimo termino se anula / resulta la ecuacion de salto para momentos

Y$ - $-Z $ex * + (67!

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Flexión Pura y Momento Flector