Embed Size (px)
Citation preview
Gravitatorio PAU
Fco Javier Corral 2017-2018
AND 01. Un meteorito de 1000 kg colisiona con otro, a una altura sobre la superficie terrestre de 6 veces
el radio de la Tierra, y pierde toda su energía cinética.
a) ¿Cuánto pesa el meteorito en ese punto y cuál es su energía mecánica tras la colisión?
b) Si cae a la Tierra, ¿con qué velocidad llega a la superficie terrestre.
A esa altura, la gravedad es:
2411 2T T
2 2 6 2
T T
M M 5,98·10g G G 6,67·10 0,2m·s
(R h) (7R ) (7·6,37·10 )
y el peso P mg 200N
y la energía total es igual a la potencial: 24
11 9T
P 6
T
M m 5,98·10 1000E G 6,67·10 8,95·10 J
R h 7·6,37·10
Si cae sobre la Tierra, la diferencia de energías potenciales se convierte en energía cinética:
2411 10T
P SUP 6
T
M 5,98·10E G 6,67·10 6,26·10 J
R 6,37·10
10 2 1
C P
1E E 5,365·10 J 1000·v v 10358,6m·s
2
AND 02. Dos masas m1 = 2 kg y m2 = 5 kg están situadas en los puntos P1(0,2) y P2(1,0) respectivamente.
a) Dibujar y calcular el campo gravitatorio en el punto O(0,0) y en el punto P(1,2).
b) Calcular el trabajo necesario para desplazar una partícula de 0,1 kg desde el punto O al P.
a) El campo gravitatorio es:
en el punto P, P 2 2
2 5g G i G j
1 2 y en el punto O,
O 2 2
2 5g G i G j
2 1
o bien,
10 1
Pg 1,57·10 N·kg , formando un ángulo de 32º con la parte negativa del eje X
10 1
Og 3,35·10 N·kg , formando un ángulo de 84,29º con el eje X
b) Necesitamos saber el potencial gravitatorio en cada punto:
10 1
P11
O P MOVIL P O10 1
O
2 5V G G 3,00·10 J·kg
1 2 W m (V V ) 1·10 J2 5
V G G 4,00·10 J·kg2 1
AND 03. Un satélite artificial de 500 kg gira alrededor de la Luna en una órbita circular situada a 120 km
sobre la superficie lunar y tarda 2 horas en dar una vuelta completa. Calcular:
a) la masa de la Luna.
b) la energía potencial del satélite cuando se encuentra en órbita.
Dato: RL = 1740 km
a) La fuerza Luna-satélite es la centrípeta y el radio de la órbita es O LR R h
222L SAT L L
SAT O O2 2 2 2
OO O O
2 3 2 6 322O
L 2 11 2
M m M M 4vG m G R G R
RR R R T
4 R 4 (1,860·10 )M 7,34·10 kg
GT 6,67·10 (2·3600)
b) 22
11 9L
P 6
O
M m 7,34·10 ·500E G 6,67·10 1,316·10 J
R 1,860·10
x
y
P1
P2 O
P
Gravitatorio PAU
Fco Javier Corral 2017-2018
AND 04. Suponer que un cuerpo se deja caer desde la misma altura sobre la superficie de la Tierra y de la
Luna. Calcular:
a) la relación entre los tiempos de caída.
b) la altura que alcanza un cuerpo lanzado verticalmente en la Luna con una velocidad de 40 ms- 1
Datos: MT=81 ML RT=(11/3) RL g=10 m·s – 2
a) La relación entre gravedades es:
2 2
2T T L L L
L2 2
L L T 2
L L
11
3
g M ·R 81M ·R6,025 g 1,63m·s
g M ·RM · R
En caída libre y sin velocidad inicial, 2 L T
T L
1
2
t g2hh gt t 2,45
g t g
b) cuando se para F 0 L
v 0 v g t t 24,54 s
y el espacio recorrido en ese tiempo es 2 2
0 L
1 1h v t g t 40·24,54 1,63·24,54 490,80m
2 2
AND 05. Suponiendo que la órbita de la Tierra alrededor del Sol es circular de radio 1,5·1011 m.
a) Calcular razonadamente la velocidad de la Tierra y la masa del Sol.
b) Si el radio orbital disminuyera en un 20%, ¿cuáles serían el periodo de revolución y la velocidad
orbital de la Tierra?
La velocidad en la órbita es 11
1O2 R 2 1,5·10
v 29885,8m·sT 365·86400
La fuerza de atracción es la centrípeta:
2 32 2 11 322 30S T O
A CP T T O T O S2 2 2 11 2
OO
M M 4 R4 4 (1,5·10 )vF F G M M R M R M 2,01·10 kg
RR T GT 6,67·10 (365·86400)
Si el radio disminuye, utilizando la última expresión:
2 3 2 3 2 11 37O O
S 2 11 30
S
4 R 4 R 4 (0,80·1,5·10 )M T 2,26·10 s
GMGT 6,67·10 ·2,01·10
y la nueva velocidad orbital sería 11
1
7
2 ·0,8·1,5·10v 33362,0m·s
2,26·10
AND 06. Un satélite de 200 kg en una órbita alrededor de la Tierra tiene una energía cinética de 5,3·109 J.
Calcular:
a) el radio de la órbita y la energía mecánica del satélite.
b) la velocidad de escape del satélite desde su posición orbital.
La velocidad del satélite es9
1C2E 2·5,3·10
v 7280,1m·sm 200
y como su velocidad orbital es:
11 246T T
O 2 2
O
GM GM 6,67·10 5,98·10v R 7,53·10 m
R v 7280,1
La energía total es 24
9 11 9
T C P 6
5,98·10 ·200E E E 5,3·10 6,67·10 5,29·10 J
7,53·10
La velocidad de escape desde esa órbita es 11 24
1T
ESC 6
O
2GM 2·6,67·10 5,98·10v 10292,7m·s
R 7,53·10
Gravitatorio PAU
Fco Javier Corral 2017-2018
AND 07. Se lanza un cohete de 600 kg desde el nivel del mar hasta una altura de 1200 km sobre la
superficie de la Tierra. Calcular:
a) Cuánto ha aumentado la energía potencial gravitatoria del cohete.
b) Qué energía adicional habría que suministrar al cohete para que escapara a la acción del campo
gravitatorio terrestre desde esa altura.
Calculamos la energía potencial en la superficie y en ese punto:
2411 10T
PO 6
T 9
P PF PO2411 10T
PF 6
T
M m 5,98·10 600E G 6,67·10 3,76·10 J
R 6,37·10E E E 6·10 J
M m 5,98·10 600E G 6,67·10 3,16·10 J
R h 7,57·10
La energía que hay que comunicarle es la cinética correspondiente a la velocidad de escape desde esa
altura:
11 241 2 10T
ESC C ESC6
T
2GM 2·6,67·10 ·5,98·10 1v 10265,5m·s E mv 3,16·10 J
R h 27,57·10
AND 08. El planeta Júpiter tiene varios satélites. El más próximo es Io, que gira en una órbita de radio
421600 km con un periodo de 1,53·105 s, y el siguiente satélite es Europa, que gira a 670000 km del
centro de Júpiter. Calcular:
a) la masa de Júpiter y el periodo de rotación de Europa.
b) la velocidad de escape de Júpiter.
Dato: RJ = 71500 km
a) Si aplicamos la tercera ley de Kepler:
2 32 3Europa Europa2 5 2 5Io
Europa Io3 3 3 3
Io Europa Io
T RT 670000T T (1,53·10 ) 3,065·10 s
R R R 421600
Con los datos de Io, la fuerza de atracción Júpiter-Io es la fuerza centrípeta:
2 22J Io Io J J
Io Io Io Io2 2 2 2
IoIo Io Io Io
2 3 2 8 327Io
J 2 11 5 2
Io
M M v M M 4G M G R G R
RR R R T
4 R 4 (4,216·10 )M 1,892·10 kg
GT 6,67·10 (1,53·10 )
b) La velocidad de escape es:
11 271J
ESC 7
J
2GM 2·6,67·10 ·1,892·10v 59413,54m·s
R 7,15·10
AND 09. El satélite español PAZ de observación de la Tierra, de 1400 kg, se lanza para situarlo en una
órbita circular geoestacionaria.
a) Explique qué es un satélite geoestacionario y calcule el valor de la altura respecto de la
superficie terrestre a la que se encuentra dicho satélite.
b) Determine las energías cinética y potencial del satélite en órbita.
a) Un satélite geoestacionario es aquel que gira en su órbita con la misma velocidad angular que
la Tierra y está siempre en la misma vertical.
La velocidad angular de la Tierra es 5 12 rad7,27·10 rad·s
24·3600
Gravitatorio PAU
Fco Javier Corral 2017-2018
Para cualquier satélite
22 2T T
A CP T2
T TT
11 247T3 3
T 2 5 2
M m MvF F G m G (R h)
(R h) (R h)(R h)
GM 6,67·10 ·5,98·10(R h) 4,226·10 m
(7,27·10 )
si le restamos el radio terrestre, la altura es de 35889 km
b) para calcular las energías sólo hay que sustituir en la expresión correspondiente:
2411 7 6T T P
P C7
T T
M m M m E5,98·10 ·1,4 1E G 6,67·10 1,32·10 J E G 6,61·10 J
R h 2 R h 24,226·10
AND 10. a) Dos partículas, de masas m y 2m, se encuentran situadas en dos puntos del espacio separados
una distancia d. ¿Es nulo el campo gravitatorio en algún punto cercano a las dos masas? ¿Y el potencial
gravitatorio? Justifique las respuestas.
b) Dos masas de 10 kg se encuentran situadas, respectivamente, en los puntos (0,0) m y (0,4) m.
Represente en un esquema el campo gravitatorio que crean en el punto (2,2) m y calcule su valor.
a) El campo gravitatorio se anula en un punto entre las dos masas
1 2 2 2 2 2
2mm 1 2 dg g G G x
3x (d x) x (d x)
El potencial no se anula en ningún punto. El potencial es un escalar y tiene el mismo signo para los dos.
b) el valor de 1111 1
1 2 2 2
m 10g g G 6,67·10 8,34·10 N·kg
r ( 8)
el ángulo que forma cada vector g con la horizontal es 45º y la g total que
sólo tiene componente horizontal es 11
TOTg 8,34·10 2 i
AND 11. a) Dos satélites de igual masa se encuentran en órbitas de igual radio alrededor de la Tierra y de
la Luna, respectivamente. ¿Tienen el mismo periodo orbital? ¿Y la misma energía cinética? Razone las
respuestas.
b) Según la NASA, el asteroide que en 2013 cayó sobre Rusia explotó cuando estaba a 20 km de altura
sobre la superficie terrestre y su velocidad era 18 km·s-1. Calcule la velocidad del asteroide cuando se
encontraba a 30000 km de la superficie de la Tierra. Considere despreciable el rozamiento del aire.
a) La velocidad de un satélite en su órbita GM
vR
depende de la masa del cuerpo central. Las
velocidades son diferentes así como las energías cinéticas.
el periodo orbital es 2 R
Tv
y como las velocidades son diferentes, los periodos también.
b) La energía total del asteroide es la misma a 20 km y a 30000 km de altura
2 2T T
20 30000
T 20 T 30000
24 2411 2 11 2
300006 4 6 7
4 1 1
30000
M m M m1 1G m v G m v
R h 2 R h 2
5,98·10 5,98·101 16,67·10 18000 6,67·10 v
2 26,37·10 2·10 6,37·10 3·10
v 1,487·10 m·s 14,87km·s
g1
g2
m 2m P
x
g1
g2
Gravitatorio PAU
Fco Javier Corral 2017-2018
CYL 01. La distancia Luna Tierra es 3,84 ⋅108 m, y la distancia Tierra Sol es 1496·108 m. La Luna tiene una
masa 7,35·1022 kg y el Sol 1,99·1030 kg. Considere las órbitas circulares y los astros puntuales.
a) Comparando la velocidad lineal de los astros en sus órbitas respectivas, determine cuántas
veces más rápido se desplaza la Tierra alrededor del Sol que la Luna alrededor de la Tierra.
b) En el alineamiento durante un eclipse de Sol, calcule la fuerza neta que experimenta la Luna
debido a la acción gravitatoria del Sol y de la Tierra. Indique el sentido (signo) de dicha fuerza.
a) para cualquier astro P que gira alrededor de otro G:
30
SOL
T 8 302
G P G T
P2 2424
LTIE
L 8
GM G·1,99·10v
R 1496·10M M GM v 1,99·10 ·3,84vF G M v 854,2
R R vR 5,98·10 ·1496GM G·5,98·10v
R 3,84·10
b)
30 2211 20S L
SL 2 8 2
SL
24 2211 20T L
TL 2 8 2
TL
M M 1,99·10 ·7,35·10F G 6,67·10 4,38·10 N
R (1492,16·10 )
M M 5,98·10 ·7,35·10F G 6,67·10 1,99·10 N
R (3,84·10 )
La fuerza neta es 20F 2,39·10 N en el sentido Luna-Sol
CYL 02. Sabiendo que la distancia media Sol–Júpiter es 5,2 veces mayor que la distancia media Sol–Tierra,
y suponiendo órbitas circulares:
a) Calcule el periodo de Júpiter considerando que el periodo de la Tierra es 1 año.
b) ¿Qué ángulo recorre Júpiter en su órbita mientras la Tierra da una vuelta al Sol?
A partir de la tercera ley de Kepler, 2 3 22
3J J TT
J3 3 3
T J T
T R ·TTT (5,2) ·1 11,86años
R R R
y el ángulo recorrido en un año es 360º
30,35º11,86
CYL 03. Un satélite artificial de 250 kg se encuentra en una órbita circular alrededor de la Tierra a una
altura de 500 km. Si queremos transferirlo a una nueva órbita en la que su periodo de revolución sea tres
veces mayor:
a) Calcule la altura de esta nueva órbita y su velocidad lineal.
b) Obtenga la energía necesaria para realizar la transferencia entre ambas órbitas.
a) la velocidad del satélite en la órbita inicial es 11 24
1T
1 6 3
GM 6,67·10 ·5,98·10v 7619,7m·s
R 6,37·10 500·10
y el periodo 6 3
1
2 R 2 (6,37·10 500·10 )T 5665,0s
v 7619,7
A partir de la tercera de Kepler calculamos el radio de la órbita nueva
2 2 2
3 6 3 3 6 61 2 2 332 1 23 3 2
1 2 1
T T TR R 9·(6,37·10 500·10 ) 14,29·10 m h 7,92·10 m
R R T
en la que la velocidad lineal es 11 24
1T
2 6
GM 6,67·10 ·5,98·10v 5283,2m·s
R 14,29·10
Sol Luna Tierra
Eclipse de Sol
dT-S
dT-L
Gravitatorio PAU
Fco Javier Corral 2017-2018
b) la energía para pasar de una órbita a otra es
2411 9T
1 6
1 9
2 12411 9T
2 6
2
M m 5,98·10 ·2501 1E G 6,67·10 7,26·10 J
2 R 2 6,87·10E E E 3,77·10 J
M m 5,98·10 ·2501 1E G 6,67·10 3,49·10 J
2 R 2 14,29·10
CYL 04. La masa de Marte, su radio y el radio de su órbita alrededor del Sol, referidos a las magnitudes de
la Tierra, son, respectivamente: 0,107, 0,532 y 1,524. Calcule:
a) la duración de un año marciano (periodo de rotación alrededor del Sol)
b) el valor de la gravedad y la velocidad de escape en la superficie de Marte.
Los datos son M M OM
T T OT
M R R0,107 0,532 1,524
M R R
a) Kepler3: 2 32
2 3M OMT
M T3 3 3
OT OM OT
T RTT T (1,524) ·1 1,88años
R R R
b) 2M T
M T2 2 2
M T
M 0,107 M 0,107g G G g 3,70m·s
R (0,532R ) 0,532
1M T
ESCM ESCT
M T
2GM 2G·0,107 Mv 0,45v 4933m·s
R 0,532R
CYL 05. Dos masas puntuales, m1=5 kg y m2=10 kg, se encuentran situadas en el plano XY en los puntos de
coordenadas (0,1) y (0,7) respectivamente. Sabiendo que todas las coordenadas están expresadas en
metros, calcule:
a) La intensidad del campo gravitatorio debido a las dos masas en el punto (4,4).
b) El trabajo necesario para trasladar una masa de 1 kg situada en el punto (0,4) hasta el punto
(4,4), en presencia de las otras dos masas, indicando el signo del trabajo calculado.
11 11 15
5 2 2 2
5
11 11 110
10 2 2 2
10
m 5g G 6,67·10 1,33·10 Nkg
r 3 4
m 10g G 6,67·10 2,66·10 Nkg
r 3 4
Las dos forman un ángulo de 36,87º (tg=0,75) con la horizontal, luego
11 1
x 10 5
12 1
y 10 5
g g cos36,87º g cos36,87º 3,19·10 Nkg
g g sen36,87º g sen36,87º 7,98·10 Nkg
11 12g 3,19·10 i 7,98·10 j
También podíamos haber dicho que 2 2 11 11
TOTg (3,19) (0,798) ·10 3,28·10 Nkg , que forma un ángulo
de 12
11
7,98·10arctg 14,04º
3,19·10
con la parte negativa del eje de las X.
El trabajo es la diferencia de energía potencial entre los dos puntos:
11
(4,4) (0,4)
10·1 5·1 10·1 5·1W E E G G G G 3G 5G 2G 1,33·10 J
5 5 3 3
g10
g5
Gravitatorio PAU
Fco Javier Corral 2017-2018
CYL 06. La lanzadera espacial Columbia giraba en una órbita circular a 250 km de altura sobre la
superficie terrestre. Para reparar el telescopio espacial Hubble, se desplazó hasta una nueva órbita
circular situada a 610 km de altura sobre la Tierra. Sabiendo que la masa del Columbia era 75000 kg,
calcule:
a) El periodo y la velocidad orbital iniciales de la lanzadera Columbia.
b) La energía necesaria para situarla en la órbita donde está el Hubble.
a) La velocidad de un satélite en órbita es:
11 241T
6 3
GM 6,67·10 ·5,98·10v 7762,2m·s
R 6,37·10 250·10
y el periodo orbital: 6 32 R 2 (6,37·10 250·10 )
T 5538,6s 1h23m27sv 7762,2
b) La energía para pasar de una órbita a la otra es la diferencia de energías totales:
2411 12T
250 6 3
T 11
610 2502411 12T
610 6 3
T
M m 5,98·10 ·750001 1E G 6,67·10 2,26·10 J
2 R h 2 6,37·10 250·10E E E 1,2·10 J
M m 5,98·10 ·750001 1E G 6,67·10 2,14·10 J
2 R h 2 6,37·10 610·10
CYL 07. En el caso del campo gravitatorio creado por un planeta, demuestre que:
a) la velocidad de escape de un cuerpo es independiente de su masa.
b) para un cuerpo en órbita circular la CINETICA POTENCIAL
1
2E E
a) La deducción más fácil es por energías. En la superficie del planeta y en el infinito la energía
total es la misma. En el infinito la energía potencial es cero y si el cuerpo se para la energía
cinética también se anula.
2 P
T C P 2 P PP
P P
T
M m1planetaP E E E mv G M m 2GM1
2 R mv G v2 R R
infinito E 0
que no depende de la masa del cuerpo que se lanza.
b) La energía potencial a una altura h es P
P
P
M mE G
R h
para un satélite que está en órbita a una altura h, la fuerza de atracción es la centrípeta:
22P P P
C P2
P P PP
M m GM GMv 1 1 1G m v E mv m E
R h R h 2 2 R h 2(R h)
CYL 08. Calcular la energía potencial gravitatoria de un satélite de 100 kg de masa que está orbitando a
1000 km de altura sobre la Tierra. ¿Se podría utilizar la expresión E=m g h?
2411 7T
P 6 6
T
M m 5,98·10 ·100E G 6,67·10 5,41·10 J
R h 6,37·10 1·10
Se puede utilizar E=m g h sólo si queremos hacerlo mal. Esa expresión sólo es válida si la altura es
despreciable frente al radio terrestre, sólo en ese caso podemos considerar la gravedad como una
constante.
Gravitatorio PAU
Fco Javier Corral 2017-2018
CYL 09. El periodo de rotación de Marte es 24,6229 horas. Si el radio de la órbita aeroestacionaria
(equivalente a una órbita geoestacionaria en la Tierra) es 20425 km, ¿cuál es la masa del planeta?
Si sabemos que la velocidad de escape de Marte es 5,027 km/s ¿cuál es el radio del planeta?
Para un satélite marte-estacionario 6
1
6
T 24,6229h 88642,44 s 2 R 2 ·20,425·10v 1447,77m·s
T 88642,44R 20,425·10 m
y la velocidad de un satélite marciano en su órbita es
2 2 623M 0
M 11
0
G·M v R 1447,77 ·20,425·10v M 6,687·10 kg
R G 6,67·10
La velocidad de escape desde la superficie de Marte es
11 236M M
ESC M 2 3
M ESC
2·G·M 2·G·M 2·6,67·10 ·6,687·10v R 3,53·10 m
R v 5,027·10
CYL 10. Mediante observaciones astronómicas se ha descubierto recientemente un planeta extrasolar
(Gliese 581b) orbitando en torno a una estrella de la clase de las enanas rojas. La órbita es
circular, tiene un radio de 6,076 millones de kilómetros y un periodo de rotación orbital de 5,368
días. Determine la masa de la estrella.
Empezamos como siempre (Kepler 3): 22
2EST
A CP ORB ORB2 2
ORB0RB
M m 4vF F G m m R m R
RR T
2 3 2 9 329ORB
EST 2 2 11
4 R 4 (6,076·10 )M 6,17·10 kg
T G (5,368·86400) ·6,67·10
CYL 11. La Luna se mueve alrededor de la Tierra describiendo una órbita circular de radio 3,84·108 m con
un periodo de 27,32 días.
a) Calcule la velocidad y la aceleración de la Luna respecto a la Tierra y realice un esquema de la
trayectoria en el que se muestren ambos vectores.
b) Si desde la superficie terrestre se lanza un objeto verticalmente con una velocidad inicial igual
a la mitad de su velocidad de escape, ¿qué altura máxima alcanzará sin tener en cuenta el efecto
de la atmósfera?
a) La Luna es un satélite de la Tierra. La velocidad de un satélite en su órbita es
11 241T
8
ORB
G·M 6,67·10 ·5,98·10v 1019,17m·s
R 3,84·10
Si no tuviéramos la masa de la Tierra 8
2ORB2 R 2 ·3,84·10
v 1022,15m·sT 27,32·86400
y la aceleración es la centrípeta 2 2
3 2
CP 8
ORB
v 1019,17a 2,70·10 m·s
R 3,84·10
b) La velocidad de escape desde la Tierra es 11 24
1T
ESC 6
T
2G·M 2·6,67·10 ·5,98·10v 11190,74m·s
R 6,37·10
en el punto más alto se para y no tiene energía cinética. Lo hacemos por energías
v
aN
Gravitatorio PAU
Fco Javier Corral 2017-2018
2T T
INI FIN TOT P
T T
224 2411 11 6
6 6
M m M m1E E E E G m v G
R 2 R h
5,98·10 5,98·101 11190,746,67·10 6,67·10 h 2,123·10 m
2 26,37·10 6,37·10 h
CYL 12. Un meteorito de 350 kg que cae libremente hacia la Tierra, tiene una velocidad de 15 m·s-1
cuando está a una altura de 500 km sobre la superficie terrestre. Calcular:
a) el peso del meteorito a esa altura.
b) velocidad con la que llega al suelo.
a) la gravedad a 500 km de altura es 24
11 2T
2 6 5 2
T
M 5,98·10g G 6,67·10 8,45m·s
(R h) (6,37·10 5·10 )
y el peso será P mg 350·8,45 2957,5N
b) lo hacemos por energías
2 2T T
INI FIN INI FIN
T T
24 2411 2 11 2 1
FIN FIN6 5 6
M m M m1 1E E G m v G m v
R h 2 R 2
5,98·10 5,98·101 16,67·10 15 6,67·10 v v 3019,05m·s
2 26,37·10 5·10 6,37·10
OVI 01. Calcula la distancia Tierra-Luna sabiendo que la Luna tarda 28 días en realizar su órbita circular en
torno a la Tierra.
Datos: g = 9,8 m·s-2; RT= 6370 km
Tenemos que calcular es la masa de la Tierra:2 6 2
24T T
T2 11
T
M gR 9,8·(6,37·10 )g G M 5,96·10 kg
GR 6,67·10
y después recordar la tercera ley de Kepler:
22 11 24 28T T
3 3O O2 2 2 2
O
M GM T4 6,67·10 ·5,96·10 (28·86400)G R R 3,89·10 m
R T 4 4
OVI 02. Un cohete de masa 5000 kg despega de la superficie terrestre con una velocidad de 20 km/s.
a) Calcular su energía mecánica total, considerando que la energía potencial es nula a distancias
muy largas.
b) Razona si el cohete será capaz de escapar a la atracción gravitatoria terrestre y, en caso
afirmativo, calcula la velocidad del cohete cuando se encuentre muy alejado de la Tierra.
Datos: g = 9,8 m·s-2; RT= 6370 km
La energía total cuando despega del suelo es:
242 2 11 11T
T C P 6
T
M m 5,98·10 ·50001 1E E E mv G 5000·20000 6,7·10 6,87·10 J
2 R 2 6,37·10
La velocidad inicial es superior a la velocidad de escape y sale de la atracción terrestre. La energía
necesaria es:
11 242 11T
ESC ESC ESC 6
T
2GM 2·6,67·10 5,98·101 1v E mv 5000· 3,13·10 J
R 2 2 6,37·10
Gravitatorio PAU
Fco Javier Corral 2017-2018
y la energía inicial es 2 12
O
1E 5000·(20000) 1·10 J
2 y la energía cinética en el infinito es la diferencia:
C11 1
C O ESC
2EE E E 6,87·10 J v 16577,1m·s
m
OVI 03. Hay un punto entre la Tierra y la Luna en el que la fuerza gravitatoria total de ambos cuerpos se
anula. Sabiendo que la distancia entre los centros de ambos cuerpos es de 384000 km, calcular:
a) ¿a qué distancia se encuentra ese punto del centro de la Tierra?
b) ¿cuánto vale el potencial gravitatorio en ese punto?
Las fuerzas de atracción son iguales y T L
M 81M
T L
T L 2 2 6
M m M m xF F G G 9 x 345600km
x (D x) 384·10 x
El potencial gravitatorio es el debido a las dos masas, Tierra y Luna:
211 24 6 1T L
T L 6 6
M M 1,23·101V V V G G 6,67·10 ·5,98·10 1,28·10 J·kg
x D x 345,6·10 38,4·10
OVI 04. Se le quiere plantear a la Agencia Espacial Europea el envío de tres naves a Marte para hacer de
satélites “marte-estacionarios”. Calcular:
a) qué tipo de órbita tendrían los satélites
b) la altura sobre la superficie de Marte a la que se encontrarían.
Datos: MM=6,41·1023 kg RM=radio de Marte 3388 km período de rotación de Marte 24h37m23s
Los satélites tendrán órbita ecuatorial, estarán a 120º para cubrir toda la superficie marciana y tendrán la
misma velocidad angular que el planeta. El periodo de los satélites es 88643 s.
Si igualamos la fuerza de atracción con la centrípeta:
2 112 23 26M M
3 3O O2 2 2 2
O
M GM T4 6,67·10 6,41·10 (88643)G R R 20,42·10 m
R T 4 4
y restando el radio de Marte nos queda que la altura del satélite es 17,03·106 m
OVI 05. La Tierra da la vuelta al Sol exactamente en 1 año y el radio medio de su órbita es de 149,5
millones de kilómetros. Saturno tiene una órbita aproximadamente circular a una distancia 9,54 veces
mayor del Sol que la terrestre. Determine:
a) la masa del Sol
b) la relación entre el período de revolución de Saturno alrededor del Sol y el de la Tierra.
Igualando las fuerzas que actúan sobre la Tierra:
2 32 2 9 330S O
O S2 2 2 11 2
O T T
M 4 R4 4 (149,5·10 )G R M 1,989·10 kg
R T GT 6,67·10 (365·86400)
y aplicando la tercera ley de Kepler: 3 33
3SAT SAT SATT
2 2 3
TT SAT T
R T RR9,54 29,47
TT T R
x D-x
Gravitatorio PAU
Fco Javier Corral 2017-2018
OVI 06. Determine la velocidad de escape de un objeto de 2 kg de masa en la Luna, la cual (casi esférica)
posee una masa de 7,36·1022 kg y un radio de 1740 km. Si deseamos la velocidad de escape de un objeto
de 10 kg, ¿cómo se modifica el resultado anterior?
La velocidad de escape es: 11 22
1L
ESC 6
L
2GM 2·6,67·10 ·7,36·10v 2375,4m·s
R 1,74·10
La masa del objeto no influye en el valor de la velocidad de escape.
OVI 07. Un agujero negro es un objeto tan masivo que tiene una velocidad de escape igual a la velocidad
de la luz en el vacío. La gravitación universal de Newton proporciona un valor correcto para el radio del
agujero negro (denominado radio de Schwarzschild). Determine ese radio para un agujero negro con una
masa:
a) 10 veces la del Sol b) con una masa de 1 kg. Dato: MS=1,99x1030 kg.
La velocidad de escape es
3111
2 8 2 27
m 1,99·10 kg R 24496,2m2GM 2GM 2·6,67·10 mv R
R v (3·10 ) m 1kg R 1,48·10 m
OVI 08. Considera un satélite artificial que describe dos vueltas alrededor de la Tierra cada 24 h en una
órbita circular.
a) Calcula la altura a la que se encuentra sobre la superficie terrestre.
b) Determina la velocidad del satélite.
Datos: MT=5,98·1024 kg RT=6370 km.
El periodo del satélite es de 12 h= 43200 s. Igualando las fuerzas que actúan sobre el satélite:
22 11 24 26T T
3 3O O2 2 2 2
O
M GM T4 6,67·10 ·5,98·10 ·(43200)G R R 26,62·10 m
R T 4 4
y si le quitamos el radio terrestre, nos queda que la altura es 6h 20,25·10 m
la velocidad que tiene el satélite en su órbita es 11 24
1T
6
O
GM 6,67·10 ·5,98·10v 3870,88m·s
R 26,62·10
OVI 09. Un mini-satélite artificial de 310 kg utilizado para aplicaciones de observación de la Tierra con
alta resolución, gira en una órbita circular a 600 km de altura sobre la superficie terrestre. Calcule:
a) Velocidad en órbita y periodo orbital.
b) Energía potencial y energía mecánica del mismo.
c) Energía necesaria para que, partiendo de esa órbita se coloque en otra a una altura de 1000 km.
a) la velocidad del satélite en su órbita es 11 24
1T
6 5
0
G·M 6,67·10 ·5,98·10v 7564,8m·s
R 6,37·10 6·10
y el periodo es 6 5
02 R 2 (6,37·10 6·10 )
T 5789,2s 1h36m29sv 7564,8
b)
2411 10T
P 6 59T
TOT C P
2 2 9
C
M m 5,98·10 ·310E G 6,67·10 1,774·10 J
R h 6,37·10 6·10E E E 8,870·10 J
1 1E mv 310·(7564,8) 8,870·10 J
2 2
Gravitatorio PAU
Fco Javier Corral 2017-2018
c) la energía necesaria es la diferencia de energía total entre las dos órbitas
T T
FIN INI T
T FIN T INI T FIN T INI
11 24 8
6 6 6 5
M m M m1 1 1 1 1E E E G G G·M m
2 R h 2 R h 2 R h R h
1 1 16,67·10 ·5,98·10 ·310 4,814·10 J
2 6,37·10 1·10 6,37·10 6·10
OVI 10. Dos masas de 5000 y 15000 kg distan 2 metros entre sus centros. Determine y discuta la posición
del punto o puntos en que la intensidad del campo gravitatorio es nula. ¿En ese lugar cuál es el potencial
del campo?
La intensidad de campo gravitatorio tiene la misma dirección y sentido
que la fuerza de atracción. Sólo se puede anular en la zona entre los dos
cuerpos. En ese punto g1=g2
2 21 2
2 2
m m 3 1G G 5(2 x) 15x x 0,366m
2x (2 x)
El potencial gravitatorio es un escalar y su valor es PE m
V Gm d
y en ese punto el potencial es:
11 61 2
P 1 2
m m 5000 15000 JV V V G G 6,67·10 1,52·10
x (2 x) 0,366 1,634 kg
OVI 11. El planeta X tiene el mismo radio que la Tierra pero su densidad es el doble de la terrestre.
¿Qué valor tendrá la intensidad del campo gravitatorio en su superficie (gx0)?
¿A qué altura el valor de gx será el mismo que en la superficie terrestre?
Vamos a escribir una expresión para calcular la gravedad en función de la densidad:
3
X X X
2 2 2
X X X
M ·4 R ·4 R·Vg G G G G
3R R 3·R
y en la superficie será el doble de la terrestre gx=19,6 m·s-2
Si la densidad es el doble, la masa MX=2 MT
T T
T T T2 2 2 2
T T T T
2·M M 2 1g G G 2R R h h ( 2 1)R
(R h) R (R h) R
OVI 12. En un informe se han presentado las siguientes medidas correspondientes a los planetas que se
indican considerando las órbitas circulares. Razona a partir de la 3ª Ley de Kepler si las medidas son
correctas o no.
Planeta Periodo órbita (s) Radio órbita (m)
Venus 1,9·107 1,1·1011
Tierra 4,0·107 1,5·1011
Marte 5,7·107 2,3·1011
La tercera ley de Kepler dice que para cualquier grupo de planetas que da vueltas alrededor de la misma
estrella, el cociente 2
3
Tcte
R . Si calculamos ese cociente para cada planeta tenemos que:
2 22
19 19 19VENUS MARTETIERRA
3 3 3
VENUS TIERRA MARTE
T TT2,712·10 4,741·10 2,670·10
R R R
g1
g2
1 2 P
x
Gravitatorio PAU
Fco Javier Corral 2017-2018
Los valores coinciden para los planetas extremos con un error inferior al 2% lo que es perfectamente
normal. Pero el dato que se obtiene para la Tierra es diferente. Sabemos que la Tierra tarda un año en dar
una vuelta alrededor del Sol, eso es 3,15·107 s y no el valor que aparece en la tabla.
ZAR 01. Io es un satélite de Júpiter cuya masa es 8,9·1022 kg y su radio 1,8·106 m. El radio de la órbita,
supuesta circular, en torno a Júpiter es 4,2·108 m.
a) ¿Cuál es el periodo de rotación de Io en torno a Júpiter?
b) Determina la velocidad y la aceleración de Io en su órbita, (modulo y dirección).
Datos: MJ=1,9·1027 kg; RJ=6,9·107 m
Para cualquier satélite 11 272
1J J
A CP 2 8
0 00
M m GM 6,67·10 ·1,9·10vF F G m v 17370,6m·s
R RR 4,2·10
la aceleración del satélite en su órbita es la centrípeta:
2 22
CP 8
0
v 17370,6a 0,718m·s
R 4,2·10
y el tiempo que tarda en dar una vuelta alrededor del planeta es:
8
02 R 2 4,2·10
T 151919,8s 42h12mv 17370,6
ZAR 02. El satélite Giove-B tiene una masa de 500 kg y su órbita, supuesta circular, se encuentra a una
distancia de 2,32·104 km de la superficie terrestre. Calcula:
a) Energías potencial y cinética del satélite en su órbita.
b) Periodo orbital y módulo del momento angular respecto al centro de la Tierra.
c) Energía mínima necesaria para ponerlo en dicha órbita y velocidad de escape de la misma.
a) Las energías son:
24T 11 10
P 6 4
O
2
T T2 10
C P
O O
M m 5,98·10 ·500E G 6,67·10 3,12·10 J
R 6,37·10 2,34·10
GM M m1 1 1 1E mv m G E 1,56·10 J
2 2 R 2 R 2
b) la velocidad que tiene el satélite en la órbita es:
11 24T 1
6 4
O
GM 6,67·10 ·5,98·10v 7898,68m·s
R 6,37·10 2,32·10
y el tiempo que necesita para dar una vuelta es
6 4
O2 R 2 (6,37·10 2,34·10 )
T 5085,62s 1h24m62sv 7898,68
El momento angular es 26 4 13 1L rmv (6,37·10 2,34·10 )·500·7898,68 2,52·10 kg·m ·s
c) la energía necesaria para ponerlo en órbita es la diferencia de energías totales:
T T
TOTFIN TOTINI T
FIN INI INI FIN
11 24 6
6 6
M m M m1 1 1 1 1E E E G G GM m
2 R 2 R 2 R R
1 1 16,67·10 ·5,98·10 ·500 56,81·10 J
2 6,37·10 6,393·10
Gravitatorio PAU
Fco Javier Corral 2017-2018
y la velocidad de escape 11 24
T 1
6 4
O
2GM 2·6,67·10 ·5,98·10v 11170,2m·s
R 6,37·10 2,34·10
ZAR 03. La aceleración de la gravedad en la superficie de un planeta esférico de 3200 km de radio es 6,2
m·s-2. Calcular la velocidad de escape desde la superficie del planeta. ¿A qué altura h sobre la superficie
del planeta deberá orbitar un satélite que describa una órbita circular en 24 horas?
De la expresión de la gravedad sacamos la masa del planeta:
2 6 2P P P 23
P P2 11
P
GM g ·R 6,2·(3,20·10 )g M 9,52·10 kg
GR 6,67·10
La velocidad de escape es 11 23
1
6
2GM 2·6,67·10 ·9,52·10v 6299,7m·s
R 3,2·10
A partir de la tercera ley de Kepler:
2 2 11 23 26
3 3O O2 2 2 2
O
4 GM T 6,67·10 ·9,52·10 · 86400MG R R 22,9·10 m
R T 4 4
luego la altura a la que orbita el satélite es 19,7 km.
ZAR 04.
a) Definir el momento angular L de una partícula. Justifique su teorema de conservación.
b) Un satélite de 200 kg describe una órbita circular de radio R=1,914·107 m alrededor de la
Tierra. Calcule la velocidad orbital del satélite y su momento angular respecto del centro de la
Tierra.
c) Determine el trabajo que deben realizar los motores del satélite para pasar a otra órbita
circular de radio 1,2·R.
a) El momento angular de una partícula de masa m que se mueve respecto al punto O se define como el
momento del momento lineal L r mv .
Si derivamos esa expresión con respecto al tiempo tenemos el principio de conservación:
dL d dr dv
r mv mv r m v mv r F r F Mdt dt dt dt
v mv 0 es el producto vectorial de dos vectores paralelos.
b) la velocidad del satélite en su órbita es 11 24
1
7
GM 6,67·10 ·5,98·10v 4565,02m·s
R 1,914·10
y el momento angular será 7 13 2 1L rmv 1,914·10 ·200·4565,02 1,75·10 kgm s
c) para pasar de una órbita a otra el trabajo es igual a la diferencia de energías potenciales:
11 24
PF P0 7 7
F 0 0 F
9
Mm Mm 1 1 1 1W E E G G GMm 6,67·10 ·5,98·10 ·200
R R R R 1,914·10 1,2·1,914·10
1,99·10 J
ZAR 05. El Sputnik 1, primer satélite artificial puesto en órbita con éxito (1957), describía una órbita
elíptica con el centro de la Tierra en uno de sus focos. El punto más alejado de la órbita (apogeo) y el más
cercano (perigeo) se situaban a las distancias hA=946 km y hP=227 km de la superficie terrestre.
Gravitatorio PAU
Fco Javier Corral 2017-2018
Determine, para cada una de las magnitudes del Sputnik 1 dadas a continuación, el cociente entre
su valor en el apogeo y su valor en el perigeo: momento angular respecto del centro de la Tierra,
energía cinética y energía potencial gravitatoria.
El radio de la Tierra es 6370 km y los radios extremos de la órbita son:
A Pr 6370 946 7316km r 6370 227 6597km
Ahora vamos con las relaciones. El momento angular es el mismo en todas las posiciones de la órbita
A A A A A
P P P P P
2 2ACA PA PA
22CP PP APP
1
2
1
2
L r mv v v73161 1 0,902
L r mv 6597 v v
mvE E rv0,814 0,902
E E rvmv
ZAR 06. El satélite Astra 2C, empleado para emitir señales de televisión, es un satélite en órbita circular
geoestacionaria. Calcular:
a) la altura a la que orbita y la velocidad con que se mueve.
b) la energía necesaria para ponerlo en órbita.
Datos: RT=6,37∙106 m MT=5,98∙1024 kg MASTRA=6000 kg.
Para el satélite 222
2 2 2 6T T T3
A CP 0 0 02 2 2
00 0
M m M GM T4vF F G m G R R R 42,25·10 m
RR R T 4
La altura a la que está girando es 6 6 6
0 Th R R 42,25·10 6,37·10 35,88·10 m
y se mueve con una velocidad 11 24
1T
6
0
GM 6,67·10 ·5,98·10v 3072,6m·s
R 42,25·10
Para ponerlo en órbita hay que subirlo y comunicarle la velocidad para que se mantenga en la órbita
SUBIR C PFIN PINI CE W E E E E G
ZAR 07. La luz solar tarda 8,31 minutos en llegar a la Tierra y 6,01 minutos en llegar a Venus. Suponiendo
que las órbitas que describen ambos planetas alrededor del Sol son circulares, determine:
a) El periodo orbital de Venus en torno al Sol.
b) La velocidad con la que se desplaza Venus en su órbita.
Sabemos el periodo terrestre y vamos a expresar las distancias en minutos luz. Aplicamos la tercera ley de
Kepler:
2 2 22T M M
M3 3
T M
T T T1año 6,01T 0,85año
8,31 6,01 8,31R R
La velocidad orbital es 8
12 R 2 ·6,01·60·3·10v 25357,2m·s
T 0,85·365·86400
ZAR 08. La nave Apolo 11 permitió la llegada del hombre a la Luna en 1969. Para ello orbitó alrededor de
ella con un periodo de 119 minutos y a una distancia media del centro de la Luna de 1850 km. Suponiendo
que su órbita fue circular, determine:
a) La velocidad orbital del Apolo 11.
b) La masa de la Luna.
Gravitatorio PAU
Fco Javier Corral 2017-2018
Empezamos por el segundo: 22
2L
A CP ORB ORB2 2
ORB0RB
M m 4vF F G m m R m R
RR T
2 3 2 6 322ORB
L 2 2 11
4 R 4 ·(1,85·10 )M 7,35·10 kg
T ·G (119·60) ·6,67·10
Cuando orbita alrededor de la Luna
11 222L 1L
A CP 2 6
M m G·M 6,67·10 ·7,35·10vF F G m v 1627,87m·s
R RR 1,85·10
MAD 01. El planeta A tiene tres veces más masa que el planeta B y cuatro veces su radio. Obtenga:
a) La relación entre las velocidades de escape desde las superficies de ambos planetas.
b) La relación entre las aceleraciones gravitatorias en las superficies de ambos planetas.
a) Los datos son: A B A B
M 3M R 4R , la velocidad de escape 2GM
vR
y si dividimos las dos expresiones tenemos:
A
AA A B B B
B B A B BB
B
2GM
Rv M R 3M R 3
v M R M 4R 22GM
R
b) La relación entre las gravedades es: 2
A A B
2
B B A
g GM R 3
g 16GM R
MAD 02. Un cohete de masa 2 kg se lanza verticalmente desde la superficie terrestre de tal manera que
alcanza una altura máxima, con respecto a la superficie terrestre, de 500 km. Despreciando el rozamiento
con el aire, calcule:
a) La velocidad del cuerpo en el momento del lanzamiento. Compárela con la velocidad de escape
desde la superficie terrestre.
b) La distancia a la que se encuentra el cohete, con respecto al centro de la Tierra, cuando su
velocidad se ha reducido en un 10 % con respecto a su velocidad de lanzamiento.
a) La gravedad varía con la distancia y el trabajo para subir el cuerpo hasta 500 km de altura es
11 24
PFIN PINI 6 6
FIN INI FIN INI
Mm Mm 1 1 1 1W E E G G GMm 6,67·10 ·5,98·10 ·2
R R R R 6,87·10 6,37·10
69,11·10 J
Ese trabajo sale de la energía cinética inicial INI FIN PINI CINI PFIN CINI PFIN PINI
E E E E E 0 E E E
66 2 3 12·9,11·101
9,11·10 mv v 3,02·10 ms2 2
b) aplicamos la conservación de la energía
2 2
INI PTO INI PTO
INI PTO
24 2411 3 2 11 3 2
6
PTO
147 6 6
PTO
PTO
Mm Mm1 1E E G mv G mv
R 2 R 2
5,98·10 5,98·101 16,67·10 2·(3,02·10 ) 6,67·10 0,9· 2·(3,02·10 )
2 R 26,37·10
3,99·105,35·10 8,21·10 R 6,47·10 m
R
Gravitatorio PAU
Fco Javier Corral 2017-2018
MAD 03. Un satélite describe una órbita circular alrededor de un planeta con un periodo de 24 h. La
aceleración de la gravedad en la superficie del planeta es 3,71 m·s-2 y su radio es 3393 km. Determine:
a) El radio de la órbita.
b) La velocidad de escape desde la superficie del planeta
Empezamos calculando la masa del planeta 2 3 2
17P P
P2 11
P
M g·R 3,71·(3,393·10 )g G M 6,40·10 kg
GR 6,67·10
a) para un satélite 2 22
2 2 23
A CP 2 2 2
Mm 4 G·M·Tv MF F G m G R R R
R RR T 4
11 17 25
32
6,67·10 ·6,40·10 ·(24·3600)2,01·10 m
4
b) la velocidad de escape es 11 17
1
ESC 3
2·G·M 2·6,67·10 ·6,40·10v 158,63ms
R 3,393·10
MAD 04. Un planeta esférico tiene una densidad =1,33 g/cm3 y un radio de 71500 km. Determine:
a) El valor de la aceleración de la gravedad en su superficie.
b) La velocidad de un satélite que orbita alrededor del planeta en una órbita circular con un
periodo de 73 horas.
a) la masa del planeta es 3 3 3 274 4
3 3M V R 1330· (71500·10 ) 2,04·10 kg
b) calculamos primero el radio de la órbita 2 22
2 2 23
2 2 2
Mm 4 G·M·Tv MG m G R R R
R RR T 4
112 27 28
332 2
G·M·T 6,67·10 ·2,04·10 ·(73·3600)6,197·10 m
4 4
y la velocidad del satélite en su órbita es 27
11 1
8
O
2,04·10Mv G 6,67·10 14817,9m·s
R 6,197·10
MAD 05. Movimiento elíptico de la Tierra en torno al Sol. Cuando la Tierra está en el afelio (posición más
alejada del Sol) su distancia al Sol es de 1,52.1011 m y su velocidad orbital es de 2,92.104 m/s. Hallar:
a) El momento angular de la Tierra respecto al Sol.
b) La velocidad orbital en el perihelio (posición más cercana al Sol), siendo en este punto su
distancia al Sol de 1,47.1011 m.
a) El momento angular de la Tierra es 11 24 4 40 2 1L r·m·v 1,52·10 ·5,98·10 ·2,92·10 2,65·10 kg·m ·s
b) el momento angular se mantiene constante en todos los puntos, luego en el perihelio:
40 11 24 4 1
PER PERL 2,65·10 1,47·10 ·5,98·10 ·v v 3,01·10 ms
MAD 06. Una estrella gira alrededor de un objeto estelar con un periodo de 28 días terrestres siguiendo
una órbita circular de radio 0,45·108 km.
a) Determine la masa del objeto estelar.
b) Si el diámetro del objeto estelar es 200 km, ¿cuál será el valor de la gravedad en su superficie?
a) Para un cuerpo que gira alrededor de otro: 22
2 2 2
A CP 2 2
Mm 4v MF F G m G R R
R RR T
Gravitatorio PAU
Fco Javier Corral 2017-2018
2 3 2 8 321
2 11 2
4 R 4 ·(0,45·10 )M 9,22·10 kg
GT 6,67·10 (28·86400)
b) y la gravedad es 21
11 2
2 5 2
9,22·10Mg G 6,67·10 15,37ms
R (2·10 )
MAD 07. Una nave espacial aterriza en un planeta desconocido. Tras varias mediciones se observa que el
planeta tiene forma esférica, la longitud de su circunferencia ecuatorial mide 2·105 km y la aceleración de
la gravedad en su superficie vale 3 m·s-2
a) ¿Qué masa tiene el planeta?
b) Si la nave se coloca en una órbita circular a 30.000 km sobre la superficie del planeta, ¿cuántas
horas tardará en dar una vuelta completa al mismo?
El radio del planeta es 8
62·10R 31,8·10 m
2
y como la gravedad es
2 6 225P P
P2 11
P
M g·R 3·(31,8·10 )g G M 4,55·10 kg
GR 6,67·10
La circunferencia que recorre el satélite mide 6 8
OL 2 R 2 ·34,8·10 2,19·10 m
y la velocidad del satélite en su órbita es 11 25
1P
6 6
O
GM 6,67·10 ·4,55·10v 9338,5ms
R 31,8·10 3·10
y tarda 82,19·10L
T 23451s 6,51hv 9338,5
MAD 08. Dos lunas que orbitan alrededor de un planeta, describen órbitas circulares concéntricas con el
planeta y tienen periodos orbitales de 42 h y 171,6 h. El diámetro de la órbita que describe la luna más
alejada es de 2,14·106 km. Despreciando el efecto gravitatorio de una luna sobre otra, determine:
a) La velocidad orbital de la luna exterior y el radio de la órbita de la luna interior.
b) La masa del planeta y la aceleración de la gravedad sobre su superficie si tiene un diámetro de
2,4·104 km.
a) Aplicamos la tercera ley de Kepler:
2 2 6 3 22 25INT EXT 3
INT3 3 3 6 3 2
INT EXT INT
T T (1,07·10 ) ·4242 171,6R 4,19·10 km
R R R (1,07·10 ) 171,6
y la velocidad de la exterior es: 9
1EXT
EXT
EXT
2 R 2 ·1,07·10v 10882,9m·s
T 171,6·3600
b) Para la masa del planeta nos fijamos en el satélite exterior (nos dan los datos):
2
P
A CP 2
OO
2 2 624O
P 11
M m vF F G m
RR
v R (10882,9) ·1,07·10M 1,90·10 kg
G 6,67·10
y la gravedad en la superficie es 24
11 2P
2 7 2
P
M 1,90·10g G 6,67·10 0,88ms
R (1,2·10 )
Planeta
Satélite
FA
FCP
Gravitatorio PAU
Fco Javier Corral 2017-2018
MAD 09. Un asteroide de forma esférica y 3 km de radio tiene una densidad de 3 g/cm3. Calcular:
a) La velocidad de escape desde la superficie del asteroide.
b) La velocidad de un cuerpo que partió de la superficie con la velocidad de escape cuando se
encuentra a una altura de 2 km.
a) La masa del asteroide es: 3 3 144 4
3 3M ·V R 3000· (3000) 3,39·10 kg
y la velocidad de escape: 11 14
12GM 2·6,67·10 ·3,39·10v 3,88m·s
R 3000
b) lo hacemos por energías:
2 2 2 2
0 F C0 P0 CF PF 0 F 0 F
2 2 11 14 1
0 F F
M m M m1 1 1 1E E E E E E m v G m v G v v GM
2 R 2 R h R R h
1 1v v 6,67·10 ·3,39·10 3,015 v 3,47m·s
3000 5000
MAD 10. Una reciente investigación ha descubierto un planeta similar a la Tierra orbitando alrededor de la
estrella Proxima Centauri, una enana roja cuya masa en el 12% de la masa solar y su radio es el 14% del
radio solar. Mediante técnicas de desplazamiento Doppler se ha medido el periodo del planeta alrededor
de la estrella obteniéndose un valor de 11,2 días. Calcular:
a) El valor de la gravedad en la superficie de la estrella.
b) El radio de la órbita del planeta supuesta circular.
Datos: MSOL=2·1030 kg RSOL=7·108 m
Los datos de la estrella son: 2930 8 7
PC PCM 0,12·2·10 2,4·10 kg R 0,14·7·10 9,8·10 m
con estos datos la gravedad en la superficie es: 29
PC 11 2
2 7 2
PC
M 2,4·10g G 6,67·10 1666,8m·s
R (9,8·10 )
Para el planeta que da vueltas: 22
PC 2
A CP ORB ORB2 2
ORB0RB
M m 4vF F G m m R m R
RR T
2 11 29 2PC 14
3 3ORB 2 2
GM T 6,67·10 ·2,4·10 (11,2·86400)R 6,162·10 m
4 4
