Seminario Problemas 2016_I

8/18/2019 Seminario Problemas 2016_I

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Seminario de Problemas de Pensamiento Lógico

Problemas de Geometría Analítica

P1. Cálculo del Área de un triángulo en función de las coordenadas rectangulares desus vértices

PROBLEMARESOLUCIÓ

OPERACIOES

ME!ALES

Dado lascoordenadasrectangulares delos vértices de untriángulo:

P1( x1 , y 1)

P2( x2, y 2) y

P3( x3, y 3)

Calcula:a. Área del triángulo

1. Gráca del triángulo

1. Identicación2. Co!aración". Deducción

#. $eriación

2. Convenir L1: ´ P1 P2

L2: ´ P2 P3 y

L3: ´ P1 P3

". Cálculo de los lados

L1=√ ( x2− x1)2+( y2− y1 )

2

L2=√ ( x3− x2 )

2

+ ( y3− y2 )2

L3=√ ( x3− x1 )2+ ( y3− y1 )

2

#. Cálculo del sei!er%etro & ! '

p= L1+ L2+ L3

2

(. Cálculo del Área del triángulo

)eorea de *erón A=√ p ( p− L1 ) ( p− L2) ( p− L3 )

+. Cálculo del Área del triángulo,étodo Deterinantes

A=1

2‖ x

1 y

1 1

x2

y2 1

x3

y3 1‖

A=1

2| x2 y 3− x3 y2− x1 y3+ x3 y1+ x1 y 2− x2 y1|

-. es!uesta:• /l Área es una y 0nica e inde!endiente

del étodo• $i 3 indica 4ue los !untos son

colineales &no foran un triángulo'

5. e!ortar resultado

I6. Diagraa de 7lu8o

utor: Ing. 9oran 6ás4ue ;uis!e


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2


"iagrama del #roceso de sol$ción del #roblema

No

Si


Inici

Ingresar: P1 ( x1 , y1 ) P2 ( x2 , y 2) P3 ( x3 , y 3 )

/s: x2 y3− x3 y2− x1 y3+ x3 y1+ x1 y2− x2 y 1≠0

Cálculo de la longitud de loslados:

L1=√

( x2− x1)

2

+( y2− y1 )

2

L2=√ ( x3− x2

2

+ ( y3− y22

Cálculo del sei!er%etro:

p= L1+ L2+ L3

2

Cálculo de la su!ercie:

A=√ p ( p− L1 ) ( p− L2) ( p− L3 )

,étodo de deterinantes

A=1

2‖ x

1 y

1 1

x2

y2 1

x3

y3 1‖

Re#ortar A


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"


P2. Cálculo de los Ángulos internos de un triángulo en función de las coordenadasrectangulares de sus vértices

PROBLEMARESOLUCIÓ

OPERACIOESME!ALES

Dado las coordenadasrectangulares de losvértices de untriángulo:

P1( x1 , y 1)

P2( x2, y 2) y

P3( x3, y 3)

Calcula:a. Ángulos internos del

triángulo (∝, β , γ )

1. Gráca del triángulo 2. Identicación". Co!aración#. Deducción

(. $eriación

2. Convenir L1: ´ P1 P2

L2: ´ P2 P3 y

L3: ´ P1 P3

". Cálculo de la !endiente de loslados

m L1= y 2− y1 x2− x1

m L2

= y

3− y

2

x3− x2

m L3= y 3− y1 x3− x1

#. Cálculo de los ángulos internos deltriángulo

(∝, β , γ ) dado en radianes

∝=tan−1

[

m L1

−m L3

1+m L1

m L3

]

β= tan−1[ m L2−m L11+m L2m L1 ] γ =tan

−1[ m L3−m L21+m L3

m L2

] (. Co!ro


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#


+. e!ortar resultados


"iagrama del #roceso de sol$ción del #roblema

No

Si


Inici

Ingresar: P1 ( x1 , y1 ) P2 ( x2 , y 2) P3 ( x3 , y3 )

/s: x2 y3− x3 y2− x1 y3+ x3 y1+ x1 y2− x2 y 1≠0

Cálculo de la !endiente de loslados:

m L1

= y

2− y

1

x2− x1

m = y

3− y

2

Cálculo de los Ángulos:

∝=tan−1[ m L1−m L31+m L

1

m L3

] β= tan−1[ m L2−m L11+m L2m L1 ]


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(


Cálculo de las ecuaciones de los =ados

L1: y− y

1=

y2− y

1

x2− x1( x− x1 )

L1: ( x2− x1 ) y−( x2− x1 ) y1=( y2− y1 ) x−( y2− y1 ) x1

L1: ( x2− x1 ) y=( y2− y1) x+( x2− x1 ) y1−( y2− y1 ) x1


Co!ro


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+


L1: ( y2− y1) x−( x2− x1 ) y+( x2− x1 ) y1−( y2− y1 ) x1=0

L1: ( y2− y1) x−( x2− x1 ) y+ x2 y1− x1 y1− x1 y 2+ x1 y 1=0

L1: ( y2− y1) x+( x1− x2 ) y+ x2 y 1− x1 y2=0

L1: Ax+By+C =0

Donde: A= y2− y1

B= x1− x2

C = x2 y1− x1 y2

Cálculo de la ltura >1

h1=| A xo+B y o+C |

√ A2+B2 :. Po ( xo, yo )= P3 ( x3 , y 3 )

h1=|( y2− y1) x3+( x1− x2 ) y3+ x2 y 1− x1 y 2|

√ ( y2− y1 )2+ ( x1− x2)

2

A= L

1h1

2

A=

√ ( x2− x1 )2

+ ( y2− y1 )2

⟨|( y2− y1 ) x3+ ( x1− x2) y3+ x2 y1− x1 y2|

√ ( y2− y1)2+( x1− x2 )

2 ⟩2

Pero: ( x2− x1 )2

+( y2− y1 )2

= ( y2− y1 )2

+( x1− x2 )2

=uego:

A= L

1h1

2 A=

|( y2− y1 ) x3+( x1− x2 ) y3+ x2 y 1− x1 y2|2

$e deduce lógicaente 4ue:

A= L2 h2

2 A=

|( y3− y2 ) x1+( x2− x3 ) y1+ x3 y 2− x2 y3|2

A= L3 h3

2 A=

|( y3− y1 ) x2+( x1− x3 ) y2+ x3 y 1− x1 y3|2



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-


BIOMIO "E E&!O

Problema de Algebra Lineal

Caso. Cálculo de loa térinos del desarrollo del ?inoio de 9e@ton

PROBLEMA RESOLUCIÓ

OPERACIO

ESME!ALES



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5


Dado laeA!resión:

(2 x3−0.5 y 2 )6

Calcular a. Deduca

odelosateáticos4ue !eritan ella o


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B



Caso: /n un


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1


C =k (t C aC )

M =k (t M a M )

P=k ( t P a P )

J =k ( t J aJ )

$i: t #2 eses a 13333 t a #23333

tC "" ese aC (333 tC aC 1+(333

t, 2- eses a, 5333 t, a, 21+333

tP 21 eses aP 13333 tP aP 213333

tH 1( ese aH 11333 tH aH 1+(333

R

420000

= C

165000

= M

216000

= P

210000

= J

165000


1. =ógica Pro!osicional



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/1. $ea: p:−log317>−ln17

y : $ : −511 <−713 /sta


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1


$ : &m=&1+nn2 /sta


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/H. $i ngélica tiene t%tulo de ,édico entonces ngélica es ,édico

$i ngélica es ,édico Entonces ngélica tiene t%tulo de ,édico

/H. $i es enor ? entonces en la recta nuérica se localia a i4uierda de ?

$i en la recta nuérica se localia a i4uierda de ? Entonces es enor ?

#. Pro!iedad )ransitiva

$i: ! 4 4 r entonces ! r

$i Hulio decide vacacionar en el oriente !eruano entonces Hulio via8ara a )ara!oto $i Hulio via8a a )ara!oto entonces Hulio conocerá =aas $i Hulio decide vacacionar en el oriente !eruano entonces Hulio conocerá =aas.

(. Pro!iedad Inversa ! 4 entonces L ! L 4

Mary nació en )ara!oto entonces Mary es )ara!otina Mary no nació en )ara!oto entonces Mary no es )ara!otina

+. Pro!iedad Contra rec%!roca.

$i: ! 4 entonces L 4 L !

/n el e8e!lo anterior

Mary no es )ara!otina entonces Mary no nació en )ara!oto

2. Pro

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