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CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN A LA SIMULACIÓN NUMÉRICA DE YACIMIENTOS

El objetivo de la ingeniería de yacimientos es adquirir un mejor conocimiento de las características del yacimiento de tal manera que el ingeniero de yacimientos esté en capacidad de estimar las reservas recuperables, definir el mejor esquema de explotación que permita recuperar la mayor cantidad de hidrocarburos a un bajo costo y predecir el comportamiento futuro del yacimiento. Esto se logra partiendo del hecho de que las condiciones reales del yacimiento se pueden representar a través de un modelo. Para nuestro propósito, debemos considerar un modelo como una entidad que permite el estudio de un fenómeno, bajo condiciones de prueba apropiadas, que tiene la probabilidad de que ocurra en la práctica. En general los modelos pueden clasificarse como físicos y matemáticos. Los físicos son reproducciones de laboratorio tendientes a reproducir lo que ocurre en el yacimiento y las ecuaciones que describen de manera teórica este comportamiento constituyen el modelo matemático. Ambos tipos de modelos han jugado un papel importante en la industria del petróleo. Por ejemplo, las leyes que gobiernan el flujo de fluidos en un medio poroso fueron descubiertas y delineadas empleado modelos físicos. La ley de Darcy, los conceptos de permeabilidad relativa, presión capilar, densidad y correlaciones de viscosidad, entre otras, tienen sus orígenes en experimentos con modelos físicos. Está de más decir que estos modelos han sido y son indispensables en la ingeniería de yacimientos. Sin embargo, tienen sus limitaciones: es poco práctico el modelamiento riguroso de sistemas de gran escala como lo es un yacimiento de petróleo, por lo que podría decirse que los modelos físicos son muy útiles en el estudio de fenómenos a pequeña escala. Cuando se requiere modelar sistemas globales, como un yacimiento, se debe recurrir a un enfoque diferente, usualmente un enfoque matemático. El deseo de tratar en forma adecuada un yacimiento con algún grado de exactitud dió origen a la tecnología conocida como simulación de yacimientos. Esto no quiere decir que las técnicas de simulación de yacimientos están limitadas a soluciones globales. Estas también se usan en el estudio de fenómenos locales alrededor de la cara del pozo y han demostrado ser superiores, en este aspecto, a los modelos físicos.

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El modelo matemático más familiar es la ecuación de balance de materia. Este es un modelo matemático o simulador de yacimiento en todo sentido. Este modelo se basa en un concepto físico fundamental: el principio de conservación. Este principio cuando se expresa en forma matemática bajo las limitaciones de suposiciones arbitrarias constituye el modelo. Vale la pena anotar que los modelos modernos están basado en los mismos principios. Difieren en la medida en que se re-definen las suposiciones inherentes en la ecuación de balance de materiales y se aproxima más cercanamente a las condiciones reales del yacimiento. Antes de discutir los principios involucrados en la construcción de un simulador numérico de yacimientos, se debe aclarar a lo que se hace referencia por “solución numérica”. Supóngase que se expresa un proceso físico particular por medio de una ecuación matemática (o conjunto de ellas), que el proceso toma lugar en alguna región que tiene dimensiones finitas. Las ecuaciones que describen este proceso siempre harán referencia a un punto dentro de la región. Al realizar un proceso matemático sobre la ecuación, se puede determinar la interacción de este punto con todos los otros puntos en el sistema a todos los tiempos y de ese modo se predice el comportamiento del proceso físico bajo estudio. Este proceso comúnmente se conoce como solucionar la ecuación. Si las ecuaciones matemáticas no son muy complejas, el proceso de solución puede llevar a obtener una fórmula la cual puede ser subsecuentemente manipulada para calcular los parámetros deseados. Esta solución es una solución analítica. Por otra parte, si las ecuaciones son muy complejas y no pueden resolverse analíticamente, debemos conformarnos con algo menos que una fórmula para representar la solución. Lo que se debe hacer en estos casos, es reemplazar la ecuación original por un conjunto más simple que sea fácil de resolver y que esté relacionado, de alguna manera, con la ecuación original. Sin embargo, en lugar de obtener otra(s) fórmula(s), se puede llegar a soluciones de las ecuaciones más simples en forma de tablas de valores numéricos, cada uno de los cuales se refiere a puntos discretos en el espacio y en el tiempo dentro de la región. Esto se conoce como solución numérica, la cual representa una aproximación a la ecuación original que se quería resolver. Si se quiere construir un modelo matemático que supere las limitaciones de la ecuación de balance de materiales, por ejemplo, siempre se van a obtener ecuaciones que caen dentro de la segunda categoría, las cuales requieren soluciones numéricas, de aquí el nombre de simulación numérica de yacimientos.

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En términos generales, podría decirse que un simulador numérico está integrado por tres modelos: el diferencial, el numérico y el de computador. El modelo diferencial está conformado por el conjunto de ecuaciones diferenciales que describen los procesos físico-químicos que ocurren en el yacimiento en función del espacio y del tiempo. El modelo numérico constituye la forma en que se da solución al modelo diferencial. Por lo menos existen tres formas de hacer este modelo:

• diferencias finitas, que es el más usado

• elementos finitos: no se usa porque no permite la unión de las ecuaciones de masa y energía

• Elementos de volumen de control Para este propósito se divide el yacimiento en una serie de pequeños bloques, de acuerdo con la geometría del yacimiento, a los que se les puede asignar un valor único para las propiedades de la roca, de este modo se pueden tener en cuenta las heterogeneidades y la anisotropía del yacimiento. La variación espacial de las propiedades del fluido también se puede asignar por bloques o zonas a través de todo el sistema. Para reflejar la existencia de pozos, se asignan tasas de producción e inyección a la celda en donde se encuentren. Una vez se han ubicado los pozos y se han definido las propiedades a cada bloque se plantean las ecuaciones fundamentales en cada nodo del sistema a diferentes niveles de tiempo. De esta forma se obtiene el modelo numérico del simulador constituido por un alto número de ecuaciones discretas. Con el fin de dar solución a este gran número de ecuaciones se requiere la elaboración de un programa de computador conocido como el modelo de computador del simulador. La información básica que se requiere para ejecutar el modelo de computador es la siguiente.

• Geometría del yacimiento

• Ubicación de pozos productores e inyectores con sus respectivas tasas de flujo.

• Propiedades de la roca y del fluido en cada bloque

• Distribución inicial de fluidos en el yacimiento

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• Presión promedia en cada nodo en el tiempo cero. Los resultados obtenidos dependen del enfoque que se le haya dado al simulador, del tipo de modelo y de la aplicación para la cual fue construido. En general se busca estudiar el comportamiento del yacimiento bajo diferentes esquemas de producción, de ubicación de pozos y para diferentes tasas de producción e inyección.

HISTORIA DE LA SIMULACION

La Simulación de Yacimientos ha sido practicada desde el inicio de la Ingeniería de Petróleos. En la década de los 40, el potencial de la simulación de yacimientos fue reconocido y muchas compañías iniciaron el desarrollo de modelos analógicos y numéricos con la finalidad de mejorar las soluciones analíticas existentes (cálculo de balance de materiales y desplazamiento 1-D de Buckley-Leverett).

En la década de los 50, se llevaron a cabo investigaciones en lo que respecta a solución numérica de ecuaciones de flujo. Como resultado, se obtuvieron programas de computador para simulación de yacimientos, aunque sencillos pero útiles. Estos programas representaron el mayor avance y usaron la solución de un conjunto de ecuaciones de diferencias finitas para describir el flujo multifásico 2-D y 3-D en medios porosos heterogéneos. Fue la primera vez que los Ingenieros de Yacimientos lograron resolver problemas complejos.

En la década de los 60, el desarrollo de la Simulación de Yacimientos estuvo dirigida a resolver problemas de yacimientos de petróleo en tres fases. Los métodos de recuperación que fueron simulados incluían depletación de presión y varias formas de mantenimiento de presión. Los programas desarrollados operaban en grandes computadores (Mainframe) y usaban tarjetas para el ingreso de datos.

Durante la década de los 70, la tendencia cambió bruscamente, debido al creciente número de investigaciones en procesos EOR, avances en técnicas de simulación numérica y la disminución del tamaño e incremento de velocidad de los computadores. Los simuladores matemáticos fueron desarrollados de tal manera que incluían procesos de inyección química, inyección de vapor y combustión in situ. La investigación durante este período resultó en avances significativos en lo que respecta a la caracterización de la física del hidrocarburo, en el desplazamiento bajo la influencia de la temperatura, agentes químicos y comportamiento de fase multicomponente.

Durante la década de los 80, el rango de las aplicaciones de la simulación de yacimientos continuó expandiéndose. La descripción de yacimientos avanzó hacia

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el uso de la GeoEstadística para describir heterogeneidades y proporcionar una mejor definición del yacimiento.

Se desarrolló la tecnología para modelar yacimientos naturalmente fracturados, incluyendo efectos composicionales. Así mismo, el fracturamiento hidráulico y pozos horizontales y su aplicación al monitoreo del yacimiento. Al inicio de la década de los 90, las aplicaciones fueron hechas en grandes computadores (Mainframe), al final de la década se empezaron a usar microcomputadores.

Actualmente, computadores personales y una gran cantidad de sistemas de simulación de yacimientos, proporcionan al Ingeniero, un medio económico y eficiente para resolver complejos problemas de Ingeniería de Yacimientos.

AVANCES RECIENTES

Los avances recientes se han centrado principalmente en los siguientes temas :

1.- Descripción del yacimiento.

2.- Yacimientos Naturalmente Fracturados.

3.- Fracturamiento Hidráulico.

4.- Pozos Horizontales.

Referente a descripción del yacimiento, se están aplicando técnicas estocásticas sustentadas en lo siguiente :

a).- Información incompleta del yacimiento en todas sus escalas.

b).- Propiedades de roca variables.

c).- Relación desconocida entre propiedades.

d).- Abundancia relativa de muestras con información proveniente de los pozos.

Referente a yacimientos naturalmente fracturados, la simulación se ha extendido a aplicaciones composicionales e inyección cíclica de vapor.

Respecto a fracturamiento hidráulico, se ha enfatizado en la predicción de la geometría de la fractura. Se dispone de varias técnicas para predecir la distribución de los esfuerzos in situ, mejorando de esta forma la simulación del crecimiento de la fractura en el sentido vertical y lateral.

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El objetivo de la simulación de pozos horizontales es estudiar los efectos de longitud del pozo, ángulo de inclinación, heterogeneidades locales, permeabilidad direccional, barreras y caída de presión en el pozo. La simulación exacta de los fenómenos cerca al pozo, ha permitido estudiar los efectos que tienen los pozos horizontales sobre la productividad, intersección de fracturas, conificación y recuperación de hidrocarburos.

TIPOS DE SIMULADORES Los simuladores de yacimientos se pueden clasificar de acuerdo al número de dimensiones, al tipo de yacimiento que se quiere simular o al proceso particular que se quiere estudiar. Ver figura 1. De acuerdo al número de dimensiones El modelo más simple es el de dimensión cero o modelo tanque ya que considera el yacimiento como un tanque. En este modelo las propiedades del fluido y de la roca no varían de punto a punto y considera que el disturbio de presión inducido en el yacimiento debido a la producción o inyección de fluidos se transmite en forma instantánea a través de todo el sistema, razón por la cual los cálculos siempre se realizan a condiciones estáticas.

Modelo tanque o dimensión cero

Con miras a tener un enfoque más realístico, se pueden unir dos o más de estos tanques, asignando un valor único a las propiedades de la roca y del fluido a cada tanque y permitiendo flujo de uno al otro a través de las caras adyacentes. Este constituye un modelo en una dimensión.

Aunque los modelos en una dimensión consideran al yacimiento más detalladamente que el modelo de dimensión cero, solamente dan una idea general del movimiento de fluidos y de la distribución de presiones en el yacimiento en función del tiempo.

Estos modelos 1D son usados para estudiar la sensibilidad del comportamiento del yacimiento a las variaciones de los parámetros del mismo. Por ejemplo, la sensibilidad del petróleo recuperable a la relación de movilidad, permeabilidad absoluta o la forma de las curvas de permeabilidad relativa.

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Figura 1. Clasificación General de los Simuladores

Tipos de Simulador

Número de Dimensiones

Tipo de Yacimiento

Proceso de Recuperación

Dimensión Cero

Una Dimensión

Dos Dimensiones

Tres Dimensiones

Modelo Lineal

Geometría Horizontal

Modelo Radial

Geometría Vertical

Geometría Radial

Modelo Cartesiano

Modelo Cilíndrico

Yacimientos de Gas

Yacimientos de Petróleo

Yacimientos de Condensado

Recuperación Primaria

Simulación Térmica

Inyección de Químicos y Polímeros

Desplazamiento Miscible

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Estos modelos son raramente usados en estudios de yacimientos para un campo entero, debido a que no se puede modelar el barrido areal y vertical. Por ejemplo, no se pueden efectuar cálculos confiables de la eficiencia del desplazamiento en regiones invadidas debido a que no se puede representar los efectos gravitacionales que actúan perpendicularmente a la dirección del flujo.

Modelo de una Dimensión: (a) Lineal; (b) Vertical.

Modelo radial

MODELOS 2-D

AREALES.- Los modelos areales cartesianos 2-D (x,y) son los más usados en los estudios de yacimientos. Se usan principalmente para estudiar el yacimiento entero en casos donde el espesor de la formación es relativamente pequeño o donde no hay una gran variación vertical en las propiedades de los fluidos y la formación.

(a)

(b)

h

r

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Los modelos areales usan normalmente sistema de coordenadas cartesianas (x,y), sin embargo existen algunas aplicaciones que requieren sistemas de coordenadas radiales (r,θ ) o cilindricas. Estos dos últimos sistemas proporcionan una mejor definición cerca a los pozos.

Modelo en dos dimensiones horizontal y vertical

El modelo de geometría horizontal es particularmente útil en la simulación de eficiencias de barrido, efectos de barreras y evaluación de arreglos geométricos de pozos de inyección. Los modelos verticales permiten simular la variación vertical de permeabilidad, efectos de estratificación y efectos de segregación de fluidos.

SECCIONES TRANSVERSALES.- Se usan primariamente para desarrollar :

a.- Para simular inyección de agua periférica o inyección de gas en la cresta con la finalidad de proporcionar información sobre la uniformidad de la eficiencia de barrido.

b.- Se usan también para analizar el efecto de la gravedad, capilaridad y fuerzas viscosas sobre la eficiencia de barrido vertical (conificación de agua).

Si la eficiencia de barrido areal, es un aspecto importante a ser tomado en cuenta, no se debe usar este tipo de modelo para estimar el comportamiento total del campo.

RADIAL. Es usado para desarrollar funciones de pozo que permitan predecir el comportamiento cuando se usen en modelos 2-D areales y 3-D y permiten evaluar el comportamiento de los pozos cuando los efectos verticales dominan el comportamiento como en el caso de la conificación de agua o gas. Los modelos 2-D radiales son muy usados para simular la convergencia o divergencia del flujo en una región radialmente simétrica del yacimiento.

Además se usan estos modelos para estudiar el comportamiento de pozos en yacimientos con empuje de agua de fondo, con capa de gas y yacimientos que

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tienen una delgada columna de petróleo y se encuentran rodeados por agua o gas.

Modelo radial en dos dimensiones (r,θ)

MODELOS MULTICAPA.- Usados para modelar yacimientos con varias capas sin flujo cruzado ("crossflow"), sin embargo estas capas tienen las mismas condiciones límites, tales como acuífero común o la producción proveniente de las capas se mezcla en el pozo (commingled).

MODELOS 3-D.- Los modelos en tres dimensiones pueden ser cartesianos o radiales. Son los más versátiles ya que permiten simular la variación de las propiedades de la roca y de las condiciones del fluido en forma areal y vertical. Sin embargo su aplicación es limitada debido a su alto costo y a que requiere una caracterización precisa del yacimiento.

Los modelos 3-D son usados donde la geometría del yacimiento es muy compleja como para ser modelado por un 2-D. Los yacimientos en etapa de depleción avanzada tienen una dinámica de fluido muy compleja y requieren ser modelados con un simulador 3-D. También se usan modelos 3-D para simular el desplazamiento de fluidos donde los regímenes de flujo son dominados por el flujo vertical.

Un problema que está asociado a los modelos 3-D es el tamaño. Un adecuado modelo puede tener tantos gridblock que consumiría mucho tiempo en proporcionar resultados y retardaría la toma de decisiones.

h

r θ

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Modelo cartesiano en tres dimensiones (x,y,z)

Modelo radial en tres dimensiones (r,θ,z)

De acuerdo al tipo de yacimiento Según esta clasificación existen tres grupos: simuladores de yacimientos de gas, de yacimientos de aceite negro y de yacimientos composicionales (aceite volátil y gas condensado). Los simuladores de yacimientos de gas pueden tener modelos monofásicos o bifásicos dependiendo de si hay o no agua móvil.

r θ

z

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Por otra parte, el modelo black oil, también conocido como modelo β es capaz de simular aquellos sistemas donde hay presencia de agua, aceite y gas teniendo en cuenta la solubilidad del gas en el petróleo, por lo cual la transferencia de fases se lleva a cabo entre el gas y el aceite, aunque no tiene en cuenta cambios en la composición de estas fases. En este modelo el fluido del yacimiento es aproximado por dos componentes: un componente no volátil (crudo) y un componente volátil (gas) soluble en la fase del petróleo. Este modelo asume lo siguiente:

• Se considera que el agua y el crudo son inmiscibles

• El gas es soluble en el aceite, pero no en el agua

• A condiciones de yacimiento, el aceite está formado por dos componentes: aceite a condiciones de superficie y gas a condiciones normales

• Dentro del yacimiento los fluidos se encuentran en equilibrio termodinámico Los yacimientos de condensado y de aceite volátil usualmente requieren un simulador de propósito especial que tenga en cuenta el comportamiento composicional entre los componentes hidrocarburos individuales en las fases gas y líquido. Este tipo de modelo está catalogado dentro de los más complejos puesto que se enfoca a componentes individuales y no a fases, además presentan problemas tales como la determinación de las propiedades físicas de las fases cerca al punto crítico, la caracterización de los componentes del crudo y los largos tiempos requeridos para correr el simulador. De acuerdo al tipo de proceso Los procesos y fenómenos particulares del yacimiento como la conificación en la cara del pozo, el recobro térmico, la inyección de químicos y los desplazamientos miscibles constituyen otros tipos de modelos de yacimiento. En los modelos de conificación se examina en detalle el comportamiento del pozo con el propósito de determinar los mejores intervalos de completamiento y las mejores tasas de producción necesarios para minimizar la conificación de agua o de gas dentro del pozo. Los procesos de recobro térmico, incluyendo la estimulación con vapor, el desplazamiento con vapor y la combustión in situ han dado origen a modelos de yacimientos muy sofisticados que tratan de tener en cuenta todos los fenómenos físicos involucrados.

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Los modelos de inyección de químicos tienen en cuenta ecuaciones de conservación adicionales para diferentes especies, por ejemplo, polímeros, surfactantes, etc. Además, deben tener en cuenta el efecto de la adsorción e incluir los efectos de reducción de permeabilidad en la fase acuosa despues del contacto con el polímero. La mayoría de los modelos de desplazamiento miscible se basan en modificaciones de los modelos usados en los procesos de desplazamiento inmiscible.

RAZONES PARA EFECTUAR SIMULACION

La simulación puede proporcionar beneficios potenciales en los siguientes aspectos:

(1) Estudiar la recuperación final primaria y su comportamiento bajo diferentes modos de operación tales como depleción natural, inyección de agua y/o gas.

(2) El tiempo en el cual debe iniciarse un proceso de recuperación mejorada a fin de maximizar la recuperación así como el tipo de patrón que debe ser usado.

(3) El tipo de proceso de recuperación mejorada más apropiado y cuál será la recuperación final y el comportamiento con el proceso elegido.

(4) Investigar los efectos de nuevas ubicaciones y espaciamientos de pozos.

(5) Analizar el efecto de las tasas de producción sobre la recuperación

(6) Analizar que tipos de datos tienen el mayor efecto sobre la recuperación y por lo tanto los que deben ser estudiados cuidadosamente con experimentos físicos de laboratorio.

PREPARACION DE LOS DATOS

La calidad de los datos de salida no puede ser mejor que la calidad de los datos de entrada. Los datos requeridos para hacer un estudio de simulación proviene de varias fuentes y no están siempre en el formato requerido para ser aplicados directamente al computador.

Existen diferentes fuentes que proporcionan la misma información. Se debe diferenciar y seleccionar la mejor data disponible. Si ésta no está disponible para

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un caso particular, se debe determinar alguna forma alternativa de conseguir la misma información.

DATOS REQUERIDOS

Los datos requeridos para efectuar una simulación son los siguientes :

(.) Dimensión para el modelo del yacimiento (Grid)

(.) Geometría del yacimiento

(.) Distribución de Porosidad y Permeabilidad

(.) Datos de presión capilar y permeabilidad relativa

(.) Datos PVT de los fluidos

(.) Distribución dentro del yacimiento de la presión y saturación inicial

(.) Método de solución de las matrices

(.) Parámetros de diagnóstico y control de la ejecución ("Corrida")

(.) Datos de producción y de los pozos.

Fuentes para obtener elevación de la Formación

Obtenidos a partir de mapas estructurales del subsuelo. Estos datos son compilados inicialmente de :

1).- Datos de perfiles eléctricos.

2).- Registros de perforación.

Fuentes para obtener el espesor de la Formación

Es obtenido de mapas de espesor total o de espesor neto. Muchos simuladores usan mapas de espesor total para calcular las características de flujo del modelo.

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Los mapas de espesor total proporcionan la dimensión vertical correcta necesaria para evaluar la corrección por potencial; sin embargo para calcular el OOIP (que está basado en espesor de arena neta petrolífera), es costumbre incluir ya sea factores de espesor neto/total para permitir el cálculo de OOIP o un programa separado para calcular el OOIP basado en espesores netos.

El espesor de la formación también se puede obtener a partir de datos estructurales restando a los contornos estructurales del fondo de la formación de los del tope.

Fuentes para obtener la Permeabilidad

La permeabilidad absoluta debe ser obtenida a partir de varias fuentes :

1).- Datos de presión buildup (DST).

2).- Datos de presión falloff.

3).- Pruebas de interferencia.

4).- Pruebas de potencial inicial.

5).- Análisis de regresión.

6).- Medidas de laboratorio.

La fuente más importante de datos de permeabilidad es el análisis de pruebas de presión y el ingeniero debe ser familiar con las técnicas actuales disponibles.

Fuentes para obtener la Porosidad

Este parámetro se obtiene usualmente de las fuentes siguientes :

1).- Datos de perfiles eléctricos.

2).- Medidas de laboratorio.

3).- Correlaciones publicadas.

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Datos de Perfiles Eléctricos

En la forma de señales acústicas o sónicas. Se obtienen por medir el tiempo de viaje del sonido a través de la formación. El tiempo de viaje es directamente afectado por los fluidos que se encuentran presentes en el espacio poroso de la roca.

Medidas de Laboratorio

Que están basadas en la determinación de parámetros tales como: volumen bruto, volumen de granos y volumen poroso. Los métodos usuales determinan el volumen poroso ya sea por la introducción de un fluido hacia la roca o la remoción de los fluidos de la roca.

Correlaciones Publicadas

Que se refieren en su mayoría al estimado de la porosidad a una profundidad determinada en base a la compactación natural.

Fuentes para obtener Permeabilidades Relativas

Es a menudo la data más dificultosa de evaluar u obtener. Las relaciones requeridas por los simuladores son las siguientes :

1).- Permeabilidad relativas gas/petróleo.

2).- Permeabilidad relativa petróleo/agua.

3).- Permeabilidad relativa gas/agua.

Fuentes para obtener datos de Presión Capilar

Estos datos son necesarios para evaluar las presiones en las diferentes fases durante los cálculos IMPES y también para plantear las ecuaciones en la solución SIMULTANEA. Las presiones capilares son determinadas de datos de laboratorio.

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Fuentes para obtener datos de Compresibilidad de la Roca

Estos datos son obtenidos a partir del análisis de laboratorio o de correlaciones publicadas.

DISTRIBUCIÓN DENTRO DEL YACIMIENTO DE LA PRESIÓN Y SATURACIÓN INICIAL

Fuentes para obtener datos de Saturación de fluidos de Formación

En un yacimiento existen dos posibles planos de interés que pueden ser usados para evaluar las saturaciones de los fluidos del yacimiento: El contacto gas/petróleo y el contacto agua/petróleo.

La saturación de agua connata puede ser evaluada de :

1).- Datos de núcleos.

2).- Perfiles eléctricos.

3).- Datos de presión capilar.

Fuentes para obtener datos de Tasas de Flujo

Son requeridos por el simulador para calcular la capacidad productiva de un pozo dentro de un sistema. Estos datos son generalmente basados en lo siguiente:

1).- Indice de productividad.

2).- Indice de Inyectividad

3).- Tasas de flujo óptimas

4).- Máxima diferencial de presión permisible.

El Indice de Productividad es la relación entre la tasa de producción (STB/dia) para flujo líquido a la diferencial de presión en el punto medio del intervalo productor.

J = IP = q / (P - Pwf)

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El IP es una medida del potencial del pozo, o la facilidad del pozo para producir.

El Indice de Inyectividad es usado en pozos inyectores para recuperación mejorada. Es la relación entre la tasa de inyección (STB/día) al exceso de presión sobre la presión del yacimiento.

II = q / (Pwf - P)

Ambos índices (de productividad e inyectividad) están referidos a las presiones en la cara de la arena y las caídas de presión por fricción en el casing o tubing no están incluidas. En el caso de inyección o producción a altas tasas, estas caídas (pérdidas) de presión pueden ser apreciables.

DISEÑO DEL MODELO

A pesar que los resultados de un estudio de simulación son más aceptados debido a la complejidad que se le proporciona al modelo, es mejor diseñar el modelo más simple que permita simular el proceso de desplazamiento con suficiente exactitud. El diseño de un modelo es influenciado por los siguientes factores:

a.- Tipo y complejidad del problema

b.- Tiempo disponible para completar el estudio

c.- Costo del estudio

d.- Calidad de los datos disponibles

f.- Capacidad del simulador y hardware existente.

PLANIFICACION DE UN ESTUDIO DE SIMULACION

A continuación se presenta un posible orden de las actividades más significantes a llevar a cabo durante un estudio de simulación :

A.- Definición del Problema.

B.- Adquisición y Revisión de datos.

C.- Descripción del yacimiento y Diseño del modelo.

D.- Ajuste de historia.

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E.- Predicción.

F.- Reporte.

A.- DEFINICION DEL PROBLEMA.- El primer aspecto a tratar cuando se lleva a cabo un estudio de simulación es definir los problemas del comportamiento del yacimiento y problemas operativos asociados. Para efectuar esto se debe reunir la información suficiente acerca del yacimiento y su forma de operación para identificar las alternativas necesarias en lo que respecta a pronósticos.

Se debe definir en forma clara y concisa el objetivo práctico del estudio. Así mismo son necesarias evaluaciones rápidas a fin de identificar el mecanismo principal de depletación y reconocer que factores dominarán el comportamiento del yacimiento (gravedad, heterogeneidad, conificación, etc.).

Si es posible, determinar el nivel de complejidad del modelo de yacimiento, para iniciar el diseño del mismo e identificar los datos necesarios para su construcción.

B.- ADQUISICION Y REVISION DE LOS DATOS.- Los datos deben ser revisados y reorganizados después que estos hayan sido coleccionados, debido a que estos han sido obtenidos para diferentes razones y normalmente no han sido organizados de tal forma que tengan un uso inmediato.

La revisión debe efectuarse cuidadosamente y se debe consumir todo el tiempo necesario a fin de evitar trabajo inútil.

C.- DESCRIPCION DEL YACIMIENTO Y DISEÑO DEL MODELO. El diseño de un modelo de simulación estará influenciado por el tipo de proceso a ser modelado, problemas relacionados con la mecánica de fluidos, los objetivos del estudio, la calidad de los datos del yacimiento y su descripción, restricciones de tiempo y el nivel de credibilidad necesario para asegurar que los resultados del estudio sean aceptados.

D.- AJUSTE DE HISTORIA.- Después que un modelo de yacimiento ha sido construido, debe ser probado a fin de determinar si puede duplicar el comportamiento del mismo. Generalmente la descripción del yacimiento usada en el modelo es validado haciendo "correr" el simulador con datos de producción e

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inyección histórica y comparar las presiones calculadas y el movimiento de fluido con el comportamiento actual del yacimiento.

E.- PREDICCION.- Una vez que se ha obtenido un ajuste de historia aceptable, el modelo puede ser usado para predecir el comportamiento futuro del yacimiento y así alcanzar los objetivos trazados por el estudio.

La calidad de las predicciones dependerá de las características del modelo y la exactitud de la descripción del yacimiento.

F.- REPORTE.- El paso final de un estudio de simulación es plasmar los resultados y conclusiones en un reporte claro y conciso. El reporte puede ser un breve memorando para un pequeño estudio o un informe completo de gran volumen para un estudio a nivel yacimiento.

En el reporte se debe incluir los objetivos del estudio, descripción del modelo usado y presentar los resultados y conclusiones referentes al estudio específico.

Dada la importancia del ajuste histórico a continuación se presentan algunos aspectos a tener en cuenta.

AJUSTE HISTÓRICO (History Matching)

El principal objetivo de un estudio de simulación es predecir el comportamiento futuro del yacimiento con mayor exactitud que alguna otra técnica simple de predicción.

Es evidente que el comportamiento del modelo numérico debe ser similar al del yacimiento para que los resultados sean aceptables. Debido a la incertidumbre inherente a los datos requeridos para construir el modelo, se debe probar el comportamiento del modelo antes de ser usado para predecir el comportamiento futuro.

La única forma de probar el modelo es simular el comportamiento pasado del yacimiento y comparar los resultados con los datos históricos. El proceso de probar el modelo a través de comparar el comportamiento pasado es usado también para identificar las inconsistencias del modelo y corregirlo.

El ajuste de historia es, por lo tanto, el proceso de refinar el modelo a través del ajuste de parámetros de geología, roca y fluido, para producir la mínima diferencia entre los datos de campo y los resultados del simulador.

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PARAMETROS PARA EL AJUSTE DE HISTORIA.

a.- Presión

b.- Tasas de flujo.

c.- GOR

d.- WOR

e.- Tiempo de irrupción del frente.

El objetivo es minimizar la diferencia entre estos parámetros y los obtenidos por el simulador.

PARAMETROS QUE PUEDEN SER MODIFICADOS

Existen varios parámetros que pueden ser modificados ya sea solo o en conjunto para lograr un buen ajuste de historia :

a.- Permeabilidad y espesor del yacimiento.

b.- Permeabilidad y espesor del acuífero.

c.- Almacenamiento del acuífero.

d.- Datos de permeabilidad relativa.

e.- Datos de presión capilar.

f.- Datos del pozo (factor skin, ect).

Parámetros adicionales que son conocidos con mayor certeza pero que a veces pueden ser variados :

g.- Porosidad y espesor del yacimiento.

h.- Definición geológica del yacimiento.

i.- Compresibilidad de la roca.

j.- Propiedades de los fluidos.

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k.- Contactos agua/petróleo y gas/petróleo.

l.- Presión fluyente de fondo.

MECANICA DEL AJUSTE DE HISTORIA

a.- Reunir los datos de historia de producción.

b.- Evaluar su calidad

c.- Definir los objetivos para el ajuste de historia.

d.- Desarrollar un modelo preliminar basado en los mejores datos disponibles.

e.- Comparar los resultados del simulador con el comportamiento del yacimiento.

f.- Decidir si los resultados del ajuste están dentro de una tolerancia aceptable.

g.- Decidir si es necesario un ajuste de historia automático.

h.- Efectuar ajustes al modelo y simular otra vez para mejorar el ajuste.

ANALISIS DATOS DE CAMPO

Los datos de producción deben ser analizados pozo a pozo para identificar y eliminar inconsistencias. Se puede incluir :

a.- Producción de petróleo.

b.- Producción e inyección de gas.

c.- Producción e inyección de agua.

d.- Presiones fluyentes o de cierre corregidas al datum.

Resultados inexactos de producción de un pozo o zona productiva deben también ser evaluados. Se debe tener especial cuidado para refinar estos datos, ya que estos pueden representar características anormales si es que no se eliminan. Cabe mencionar que datos de producción e inyección de agua no son medidos tan exactamente como la producción de petróleo.

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El petróleo in-situ, así como los contactos agua/petróleo y gas/agua deben ser comparados con estimados perfectamente conocidos, y si hubiera diferencia, proceder a revisar a fin de continuar con la predicción.

AJUSTE DE LA HISTORIA DE PRESION

Se recomiendan los pasos siguientes para un exitoso ajuste de presión :

a.- Identificar los parámetros a ser ajustados. Normalmente la permeabilidad de la roca es la variable menos definida, y es usada para producir un ajuste de presión. La porosidad no debe ser ajustada, a menos que exista incertidumbre en la data. Si la porosidad es obtenida del análisis de perfiles eléctricos o núcleos, no debe ser cambiada. La porosidad, espesor y extensión areal del acuífero son menos conocidos que en el yacimiento de petróleo, y pueden ser ajustados para obtener una buena reproducción de la presión.

b.- Estimar el nivel de incertidumbre para las variables mencionadas anteriormente.

c.- Efectuar una primera corrida de prueba y decidir si la presión volumétrica promedia del yacimiento (entero) es satisfactoriamente reproducida por el modelo. Si no lo es, usar alguna técnica simple, junto con la información geológica disponible para efectuar algunos cambios. En este paso, se deben analizar los diferentes mecanismos de depletación a fin de evaluarlo y ajustarlos para producir un ajuste de presión de todo el yacimiento.

d.- Después que se logra un ajuste del yacimiento total, se debe llevar a cabo un ajuste de las mayores regiones del yacimiento. En esta etapa se refinan los parámetros de heterogeneidad del yacimiento, barreras al flujo y acuífero.

e.- Dependiendo de los objetivos del estudio, se pueden obtener ajustes de presión para cada pozo.

AJUSTE DE GOR Y WOR

La mejor indicación de validez del modelo en la representación del yacimiento, es el ajuste de GOR y WOR. El procedimiento usado para el ajuste puede variar de un yacimiento a otro, sin embargo se puede seguir el siguiente procedimiento:

a.- Identificar los parámetros que influyen en el movimiento del agua y gas dentro del yacimiento y acuífero.

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b.- Estimar los límites superior e inferior para cada parámetro basado en su incertidumbre.

c.- Decidir, si es necesario, el uso de función de pozo, para simular ciertas condiciones tales como penetración parcial o conificación. El ajuste del comportamiento de un pozo en el cual el agua o gas rodea la zona de completamiento requerirá el uso de un modelo de conificación. El modelo se ajusta variando la permeabilidad en capas donde la incertidumbre es grande. La permeabilidad vertical es un factor de ajuste muy crítico en el modelo.

d.- Examinar las corridas efectuadas en el ajuste de presión. Estas corridas pueden ser usadas para identificar la severidad de la estratificación, la cual requerirá ajuste de la permeabilidad vertical. La permeabilidad vertical no puede ser determinada en forma confiable de medidas de campo o núcleos. Se debe probar la sensibilidad del modelo a la permeabilidad vertical.

e.- La distribución areal de la permeabilidad es otro factor importante y puede ser ajustado.

f.- Decidir si se efectúa ajuste en los datos de permeabilidad relativa.

g.- Determine el efecto de la dimensión del gridblock sobre el comportamiento de un grupo de pozos. Gridblocks grandes generan diferencias aparentes entre el modelo y el comportamiento del campo debido a los errores en el cálculo de las eficiencias de desplazamiento.

h.- Cuando lleve a cabo estos cambios, continúe comparando el comportamiento de presión actual y calculada. El comportamiento de presión debe mantenerse mientras se ajusta el GOR y WOR.

AJUSTE DE LA PRESION DE LOS POZOS

La dimensión de un bloque que contiene a un pozo productor o inyector en un simulador es normalmente mucho mayor que el radio del pozo. La presión de fondo medida, representa la presión a r = rw y al tiempo de la prueba. Por otro lado, la presión calculada representa la presión promedia dentro del bloque donde se encuentra el pozo al final de cualquier time step. Por lo tanto, la presión de fondo medida en un pozo activo, no puede ser comparada directamente con la presión estimada para el bloque.

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VENTAJAS Y DESVENTAJAS DE LA SIMULACIÓN NUMÉRICA DE YACIMIENTOS Algunas de las principales ventajas y/o aplicaciones de los modelos de simulación numérica son:

• A cada bloque se le pueden asignar valores únicos de propiedades de la roca, lo que permite tener en cuenta heterogeneidades y anisotropías del yacimiento.

• A cada bloque o zona se les puede asignar valores de datos PVT, lo cual permite modelar la variación de las propiedades del fluido en el yacimiento.

• Se tiene en cuenta el flujo de fluidos entre bloques adyacentes, lo que permite simular el movimiento de los frentes de fluidos en poryectos de inyección, los cambios en la posición del contacto gas-aceite en yacimientos con empuje hidráulico y los cambios en las distribuciones de presión y saturación del fluidos en ambos casos.

• Se puede tener en cuenta la existencia de pozos inyectores o productores mediante la adición de los términos apropiados a las ecuaciones de flujo.

• Permite determinar los mejores intervalos y tasas de producción en yacimientos con problemas de conificación.

• Permite el estudio de variables involucradas en los procesos de recuperación, tales como arreglos y espaciamiento de pozos, intervalos de completamiento, tasas de producción, entre otros.

• Permite modelar el comportamiento de sistemas pozo-arena productora cuando se produce de varias zonas aisladas.

• Permite ubicar los pozos y las tasas de producción en lugares donde se explota un yacimiento por parte de varios operadores.

Algunas desventajas son:

• Distorsión numérica como consecuencia de la división en bloques del yacimiento y asignación de nodos, dado que a cada nodo le corresponde un volumen de control de tamaño considerable, dentro del cual a las variables dependientes como presión y saturación se les asigna un valor único, lo cual no es consistente con lo que ocurre realmente en el yacimiento. Esta suposición puede conducir a errores considerables en los resultados obtenidos. Igualmente los simuladores consideran cambios abruptos de presión y saturación entre volúmenes de control consecutivos, lo cual tampoco ocurre en la realidad. Esta distorsión puede reducirse incrementado el número de nodos (es decir disminuyendo las dimensiones de los volúmenes de control). Sin embargo esta solución no es práctica, en muchas ocasiones, debido a que se incrementan los costos y los tiempos de ejecución del simulador.

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• Errores de truncamiento debido a que las ecuaciones diferenciales empleadas son aproximadas por una serie de ecuaciones discretizadas, con lo que la solución del conjunto de ecuaciones numéricas difiere, en cierto grado, de la solución de la ecuación diferencial original

• Error de redondeo acumulado debido a la gran cantidad de cálculos que se requieren para dar solución al sistema de ecuaciones discretizadas.

• Falta de Infomación. Probablemente esta sea la principal limitación para correr el simulador. Por ejemplo, se necesita tener pleno conocimiento de la distribución de permeabilidad y porosidad en el yacimiento, con la finalidad de asignar a cada bloque valores representativos de la variación de estas propiedades a través del yacimiento. Los análisis de núcleos de formación, las pruebas de presión y los estudios geológicos del yacimiento son fundamentales en la obtención de esta información, pero no siempre se dispone de esta información en suficiente cuantía. Al seleccionar y asignar datos de entrada, se debe recordar que la veracidad de los resultados obtenidos depende de la veracidad de la información de entrada.

Las ventajas y aplicaciones que ofrecen los modelos de simulación numérica conducen a pensar que los modelos convencionales, tales como la ecuación de balance de materiales y los modelos electrolíticos, han sido totalmente desplazados. Ciertamente, algunos modelos, como por ejemplo los modelos electrolíticos, han entrado en desuso debido a que son más costosos, de menor aplicabilidad y menos confiables que los modelos de simulación numérica. Sin embargo, es importante tener presente que no siempre la simulación numérica representa la mejor alternativa. Algunas veces es recomendable ó necesario aplicar modelos analíticos mas simples. Esto es particularmente cierto cuando no se tiene certeza acerca de la veracidad de los datos de entrada requeridos para correr el simulador o cuando los costos de correr el simulador no justifica la mejoría de los resultados obtenidos comparados con los resultados de un modelo más simple. Al respecto, Coats anota: "seleccione el modelo más simple que le permita obtener el cálculo deseado acerca del comportamiento del yacimiento". Mattax y Dalton señalan: "Los problemas deben ser resueltos por los métodos menos costosos y más simples, siempre y cuando conlleven a la respuesta adecuada. Por lo tanto, el ingeniero de yacimientos siempre debe determinar el nivel de simplificación primero y luego seleccionar el método de análisis apropiado con la finalidad de evitar 'sobre-trabajo' técnico." Adicionalmente, los modelos de laboratorio son de gran utilidad para investigar los procesos físicos que ocurren en el yacimiento. En este sentido, la

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experimentación con modelos físicos y el desarrollo de modelos de simulación numérica son complementarios, no excluyentes. Finalmente, es importante anotar que la simulación de yacimientos es una valiosa herramienta de trabajo en el análisis del comportamiento de un yacimiento. Sin embargo, los simuladores numéricos no deben ser considerados como panaceas o "cajas negras" que producen resultados infalibles. El más sofisticado de los simuladores numéricos puede producir resultados totalmente erróneos si se aplica a un yacimiento cuyas características difieren de las suposiciones para las cuales se desarrolló el modelo, o si los datos de entrada no corresponden a la caracterización real del yacimiento, o si simplemente no se posee la destreza suficiente para interpretar los resultados obtenidos. Un simulador puede ser aplicable para describir adecuadamente el comportamiento de un yacimiento, en tanto que puede ser totalmente inapropiado para otro yacimiento, así los dos yacimientos presenten, aparentemente, similitud entre sí. El criterio de ingeniería es imprescindible en este caso. Al respecto, Crichlow señala: "En los procesos de simulación de un yacimiento el ingeniero está al tope de la situación". Nada de lo que el simulador haga puede mejorar la calidad de su trabajo, solamente le ayuda a adquirir un mejor entendimiento de los procesos que ocurren en su proyecto."

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BIBLIOGRAFIA

1.- "Fundamentals of Numerical Reservoir Simulation" - Donald Peaceman - Elsevier Scientific Publishing Company - 1977; 173 pag.

2.- "Reservoir Simulation" - Calvin C. Mattax and Robert L. Dalton - SPE Monograph Volume 13 - 1990; 161 pag.

3.- "Modern Reservoir Engineering - A Simulation Approach" - Henry B. Crichlow - Prentice Hall Inc. - 1977 - 354 pag.

4.- “Petroleum Reservoir Simulation”. K. Azis and A. Setari. Elsevier

5.- “Principles of Aplied Reservoir Simularion”. J. Fanchi. Gulf Publishing Company, 1997.

6.- “Principles of Hydrocarbon Reservoir Simulation”. G. W. Thomas. International Human Resources Development Corporation, 1982.

7.- “Notas sobre simulación numérica de yacimientos”. Gildardo Osorio Gallego, Ph D. Universidad Nacional, Sede Medellín. Febrero de 2002.

1

2. ECUACIONES FUNDAMENTALES DE FLUJO EN MEDIOS POROSOS En su forma más simple, una ecuación fundamental de flujo en un medio poroso es una expresión analítica, diferencial, que expresa la variación de la presión o el potencial en función del espacio y el tiempo. Existen algunas condiciones que deben ser fijadas antes de definir completamente la forma de una ecuación fundamental de flujo. Estas condiciones, denominadas condiciones de flujo, son las siguientes:

a. La geometría de flujo (lineal, radial, etc.)

b. La naturaleza del fluido en movimiento (fluido incompresible, levemente compresible o compresible).

c. Tipo de flujo (continuo, semi-continuo o no continuo).

d. El número de fases en movimiento (flujo monofásico, bifásico o trifásico).

Cada posible combinación de estas condiciones conlleva a una ecuación fundamental de flujo diferente. A continuación se discuten los principales casos que se pueden presentar dentro de cada una de estas categorías de condiciones de flujo. 2.1 GEOMETRIAS DE FLUJO La geometría de flujo en un medio poroso está determinada por la orientación de las líneas de flujo con respecto a un sistema de referencia. Las clases de geometría de flujo mas comúnmente utilizadas son: lineal, vertical, radial, bidimensional, tridimensional y esférico. 2.1.1 Flujo Lineal. Ocurre cuando las líneas de flujo son paralelas. Por ejemplo, la Figura 2.1 presenta un sistema acuífero lateral - yacimiento. La intrusión de agua desde el acuífero al yacimiento ocurre siguiendo líneas de flujo paralelas al eje x.

Fig. 2.1 – Sistema Acuífero Lateral – Yacimiento (Ejemplo de Flujo Lineal).

Agua

Acuífero

We

Yacimiento

Petróleo

2

2.1.2 Flujo Vertical. Es un caso particular del flujo lineal. Ocurre cuando las líneas de flujo son paralelas entre sí y verticales. Por ejemplo, la Figura 2.2 ilustra la trayectoria de las líneas de flujo que gobiernan la intrusión de agua desde un acuífero de fondo a un yacimiento.

Fig. 2.2 – Sistema Yacimiento – Acuífero de Fondo (Ejemplo de Flujo Vertical) 2.1.3 Flujo Radial. Se presenta cuando las líneas de flujo tienen forma de rectas localizadas en un plano horizontal, convergiendo hacia un punto central. Por ejemplo, considérese el flujo en las cercanías de un pozo que produce a través de todo el espesor de la formación (Figura 2.3).

Fig. 2.3 – Esquema que Indica el Flujo Radial de Fluidos hacia un Pozo. 2.1.4 Flujo Bidimensional. Se caracteriza por que las líneas de flujo se encuentran localizadas en un plano sin existir paralelismo entre ellas. Este tipo de flujo se puede representar en un sistema de ejes cartesianos ( )y,x . Por ejemplo, la Figura 2.4 ilustra la discretización areal de un yacimiento, tal como se hace en un simulador areal. Se simula que el flujo de bloque a bloque ocurre siguiendo líneas de flujo perpendiculares entre sí y paralelas a un par de ejes cartesianos ( )y,x .

We

Yacimiento

Acuífero

3

Fig. 2.4 – Discretización Areal de un Yacimiento 2.1.5 Flujo Tridimesional. Ocurre en tres dimensiones. Las líneas de flujo se pueden representar en un sistema de ejes cartesianos ( )z,y,x . Por ejemplo, la Figura 2.5 presenta la discretización de un yacimiento en tres dimensiones. El flujo ocurre siguiendo líneas paralelas a los ejes del sistema ortogonal cartesiano ( )z,y,x . Fig. 2.5 – Ejemplo de Discretización de un Yacimiento en Tres Dimensiones 2.1.6 Flujo Esférico. Ocurre cuando las lineas de flujo son rectas localizadas en el espacio tridimensional y convergiendo hacia un punto central. Por ejemplo, considérese el flujo en las cercanías de un pozo en una formación de espesor considerable y el cual produce a través de perforaciones centradas en la formación (Figura 2.6) Fig. 2.6 – Ejemplo de Flujo Esférico en las Cercanías de un Pozo Productor

y

x

Pozoy

x

Pozo

z

x

Pozoyz

x

Pozoy

h

Pozo

h

Pozo

4

2.2 TIPOS DE FLUIDOS EN UN YACIMIENTO Los fluidos en un yacimiento se suelen clasificar en una de las siguientes tres categorías: fluido incompresible, fluido levemente compresible y fluido incompresible). 2.2.1 Fluido Incompresible. Un fluido es incompresible cuando la variación en su volumen, debido a la variación en la presión, es insignificante, si se compara con la variación en el volumen de los otros fluidos presentes en la formación. Analíticamente,

0dpdV

= ......................................................................................................... (2.1)

Luego,

0dPdV

V1c =−= ............................................................................................ (2.2)

En las Ecuaciones 2.1 y 2.2, c es compresibilidad del fluido, V es volumen y p es presión. La compresibilidad del agua sin gas en solución es muy pequeña si se compara con las compresibilidades del petróleo y el gas natural a condiciones de yacimiento. Por esta razón, en simulación de yacimientos, el agua se suele considerar como un fluido incompresible. 2.2.2 Fluido Levemente Compresible. Se dice que un fluido es levemente compresible cuando el cambio en su volumen, debido a la variación de la presión, es constante. Analíticamente,

tetanconsdPdV

V1c =−= ............................................................................. (2.3)

La compresibilidad del petróleo a condiciones de yacimiento suele variar muy poco. Por lo anterior, en simulación de yacimientos, el petróleo a condiciones de yacimiento se suele tratar como un fluido levemente compresible. 2.2.3 Fluido Compresible. Un fluido se comporta como compresible cuando la variación de su volumen, ante un cambio de presión, es función de la presión. Analíticamente,

( )pfdP

VdV1c =−= ......................................................................................... (2.4)

El gas natural se comporta como un fluido altamente compresible.

5

2.3 TIPOS DE FLUJO Los tipos de flujo se definen de acuerdo a la forma como varía la presión con el tiempo en cada punto del yacimiento. En simulación de yacimientos se suelen considerar tres tipos de flujo: flujo no-continuo, flujo semi-continuo o pseudo-continuo y flujo continuo. 2.3.1 Flujo no - Continuo. Ocurre cuando la variación de la presión con respecto al tiempo, en cada punto del yacimiento, es función del tiempo. Analíticamente,

( )tftp

r

=

∂∂ .................................................................................................. (2.5)

En la Ecuación 2.5, t y r denotan tiempo y radio, respectivamente. Físicamente, un yacimiento produce bajo condiciones de flujo no-continuo cuando el yacimiento presenta comportamiento infinito. Es decir, desde que el pozo se abre a producción hasta el momento en el cual el radio de investigación llega a los límites externos del yacimiento. Nótese que durante este intervalo de tiempo, siempre existe una parte del sistema donde el radio de investigación no ha llegado y, en consecuencia, la presión del sistema se conserva uniforme e igual a la presión inicial. Las Figuras 2.7, 2.8 y 2.9 ilustran la posición del radio de investigación, la distribución de presión y la distribución de la rata de flujo, respectivamente, típicas de condiciones de flujo no-continuo.

Fig. 2.7 – Posición del radio de investigación en función del tiempo (flujo no-continuo)

r

Pi

t1 t2 t3

P

ri1

ri2 ri3

6

Fig. 2.8 – Forma típica de la distribución de presión en función del tiempo (flujo no – continuo)

Fig. 2.9 – Forma tipica de la distribución de la tasa de flujo en función del tiempo (flujo no – continuo)

2.3.2 Flujo pseudo-continuo o semi-continuo. Ocurre flujo semi-continuo cuando la variación de presión en cada punto del sistema es una función lineal del tiempo. Analíticamente,

r

t1

t2

t3

Q

rw re

Q = 0

r

Pi

t1 t2 t3

P

ri1

ri2 ri3

7

tetanconstp

r

=

∂∂ ......................................................................................... (2.6)

La Ecuación 2.6 se satisface a partir del momento en el cual el radio de investigación llega a los límites externos de un yacimiento cerrado. Por esta razón, se dice que ocurre flujo semi-continuo en sistemas de comportamiento finito, cerrado. La Figuras 2.10 presenta la forma típica de distribución de presión en función del tiempo en un yacimiento bajo condiciones de flujo semi-continuo.

Fig. 2.10 – Forma típica de la distribución de presión en función del tiempo (flujo semi-continuo)

2.3.3 Flujo Continuo. Se dice que un yacimiento presenta comportamiento de flujo continuo cuando la presión, y por ende todas las propiedades que dependen de la presión, no varían con el tiempo. Este comportamiento es típico en yacimientos que presentan algún mecanismo de mantenimiento de presión; por ejemplo, en yacimientos con empuje hidráulico activo o con inyección de agua. Analíticamente,

0tp

r

=

∂∂ ...................................................................................................... (2.7)

Cuando se presentan condiciones de flujo continuo, la rata de flujo es constante con la distancia.

r

Pi

t1

t2t3

P

rw re

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Físicamente, para que ocurra flujo continuo se requiere que no se presente agotamiento de fluidos en el yacimiento, así que la presión se conserve constante con el tiempo. La cantidad de fluido producido y que tiende a bajar la presión debe ser sustituido con otro fluido que evite la disminución de presión. Esta es la razón por la cual se alcanzan condiciones de flujo continuo en yacimientos con empuje hidráulico o que producen por inyección de agua. En el caso de un yacimiento que produce por empuje hidráulico activo, el petróleo que se produce del yacimiento es reemplazado por la intrusión de agua proveniente del acuífero. En el caso de un sistema que produce por inyección de agua, al extraer determinada cantidad de crudo del yacimiento, se inyecta la misma cantidad de agua desde superficie. Este proceso de desplazamiento asume que los fluidos son incompresibles; sin embargo, desde el punto de vista de aplicación de un modelo, la condición primordial para que existan condiciones de flujo continuo es que la presión permanezca constante con el tiempo en cada punto del sistema. 2.4 FLUJO MONOFASICO Y MULTIFASICO Ocurre flujo monofásico cuando existe flujo de un sólo fluido en el medio poroso (petróleo, agua o gas). En caso de que el medio poroso esté ocupado por varios fluidos, pero solamente uno de ellos sea móvil, se considera que el flujo es monofásico. Ocurre flujo multifásico cuando dos o más fluidos fluyen en el medio poroso. 2.5 ECUACIONES DE ESTADO PARA DIFERENTES TIPOS DE FLUIDOS Una ecuación de estado es una expresión algebraica que describe la relación entre la presión, el volumen y la temperatura (PVT) de una sustancia. Esta relación es diferente dependiendo de la naturaleza del fluido. En esta sección se discute brevemente la forma que toman las ecuaciones de estado para fluidos incompresibles, levemente compresibles y compresibles, en la forma como éstas suelen ser empleadas en simulación de yacimientos. 2.5.1 Ecuación de Estado para un Fluido Incompresible. Tal como se expresa en la Ecuación 2.1, para un fluido incompresible se cumple que 0dpdV = , por consiguiente: ( ) ( ) 0

dpd1

dp1d

dpmVd

2 =−==ρ

ρρ

Lo que se cumple solamente si

tetancons=ρ .............................................................................................. (2.8) En la Ecuación 2.8, ρ es densidad.

9

En este libro se hará uso de la Ecuación 2.8 cada vez que se requiere utilizar la ecuación de estado para un fluido incompresible. 2.5.2 Ecuación de Estado para un Fluido Levemente Compresible. De la Ecuación 2.3, para un fluido levemente compresible se tiene:

tetanconsdPdV

V1c =−=

de donde

( ) ( ) ( ) 0dpd1

dp1d

dpmVd

Vm

mm

dpVd

V1c 2 =

−−=−=−=−=

ρρ

ρρρ

tetanconsdpd1c ==ρ

ρ ................................................................................... (2.9)

Separando variables e integrando se obtiene:

( )oppcoe −= ρρ ............................................................................................ (2.10)

En la Ecuación 2.10, 0ρ y 0p son la densidad y presión de referencia, respectivamente. En este libro se utilizará la Ecuación 2.10 cada vez que se requiera aplicar la ecuación de estado de un fluido levemente compresible. Algunas veces, la Ecuación 2.10 suele simplificarse como se indica a continuación. Una función )x(f puede expandirse mediante una serie de Maclaurin así:

( )( ) ( )∑

∞

=

=0n

nn

x!n

0fxf ................................................................................... (2.11)

En la Ecuación 2.11, ( ) ( )0f n representa la ésiman − derivada de f con respecto a x evaluada en el punto 0x = . Si se hace la variable px = y ρ=f , la Ecuación 2.11 puede ser escrita como:

( )( ) ( )∑

∞

=

=0n

nn

p!n0p ρρ ................................................................................... (2.12)

( )( ) ( ) ( )∑∑

∞

=

−∞

=

===0n

ncp

00n

nn

!ncpep

!n0p 0ρρρ

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

++++++= −

!ncp

!4cp

!3cp

!2cpcp1ep

n432cp

00 Kρρ

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Dado a que se trata de un fluido levemente compresible, la compresibilidad es muy pequeña. Por esta razón, las componentes ( ) !2/cp 2 , ( ) !3/cp 3 , …, ( ) !n/cp n tienden a cero, lo que simplifica la ecuación anteior: ( ) ( )cp1ep ocp

o += −ρρ ................................................................................. (2.13) En particular, cuando 0p0 = se tiene: ( ) ( )cp1p o += ρρ ......................................................................................... (2.14)

La Ecuación 2.14 es una simplificación de la Ecuación 2.10 y en algunas ocasiones se suele tomar como la ecuación de estado para fluidos levemente compresibles. 2.5.3 Ecuación de Estado para un Fluido Compresible. Para un fluido compresible, el volumen depende fuertemente de la presión. La ecuación de estado para fluidos compresibles se suele expresar en términos de la ecuación de estado para gases reales:

RTMmzznRTpV ==

MRTz

MRT

Vmzp ρ==

zRTpM

=ρ .................................................................................................... (2.15)

En la Ecuación 2.15, z es el factor de compresibilidad del gas, M es peso molecular, R es la constante universal de los gases, y T es temperatura. 2.6 LA LEY DE DARCY La ley de Darcy permite modelar el flujo laminar a través de un medio poroso relacionando la tasa de flujo con el gradiente de presión. Esta relación establece que la velocidad aparente de flujo (rata de flujo por unidad de área total) es proporcional al gradiente de presión e inversamente proporcional a la viscosidad de fluido. En general, la ley de Darcy puede ser escrita de la siguiente forma:

dldku Φ

µ−= ................................................................................................ (2.16)

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En la Ecuación 2.16, u es rata volumétrica de flujo (volumen por unidad de área perpendicular al flujo por unidad de tiempo), k es permeabilidad, µ es viscosidad del fluido y lddΦ es gradiente del potencial de flujo. El potencial Φ está dado por la siguiente expresión:

gzp ρΦ += ............................................................................................... (2.17) En la Ecuación 2.17, g es la constante gravitacional y z es elevación. En simulación de yacimientos, la Ecuación 2.16 suele aplicarse en dos sistemas de coordenadas: cartesianas y radiales. 2.6.1 Forma de la Ley de Darcy en Coordenadas Cartesianas. La Ecuación 2.16 puede ser aplicada para expresar la velocidad volumétrica de un fluido monofásico, coordenadas cartesianas, de la siguiente forma: En dirección x :

xpk

u xx ∂

∂−=µ

.............................................................................................. (2.18)

En dirección y :

ypk

u yy ∂

∂−=µ

............................................................................................... (2.19)

En dirección z :

+∂∂

−= gzpk

u zz ρ

µ .................................................................................... (2.20)

En las Ecuaciones 2.18 a 2.20, las variables x , y y z hacen referencia a las direcciones x , y y z , respectivamente. Si ocurre flujo multifásico, la ley de Darcy puede ser aplicada para expresar la velocidad volumétrica de flujo de cada una de las fases. Por ejemplo, para el petróleo se tiene: En dirección x :

xpk

u o

o

xoxo ∂

∂−=µ

.......................................................................................... (2.21)

En dirección y :

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ypk

u o

o

yooy ∂

∂−=µ

........................................................................................... (2.22)

En dirección z :

+∂∂

−= gz

pku o

o

o

ozoz ρ

µ ............................................................................... (2.23)

En las Ecuaciones 2.21 a 2.23, el subíndice " o " hace referencia a la variable evaluada para la fase del petróleo. Las permeabilidades presentes en las Ecuaciones 2.21 a 2.23 hacen referencia a permeabilidades efectivas. En términos de permeabilidades relativas, las Ecuaciones 2.21 a 2.23 pueden ser escritas de la siguiente forma: En dirección x :

xpkk

u o

o

roxox ∂

∂−=

µ ......................................................................................... (2.24)

En dirección y :

ypkk

u o

o

royoy ∂

∂−=

µ ....................................................................................... (2.25)

En dirección z :

+∂∂

−= gz

pkku o

o

o

rozoz ρ

µ ............................................................................. (2.26)

En las Ecuaciones 2.24 a 2.26, el subíndice " r " indica que la permeabilidad en cuestión es relativa. Expresiones análogas a las Ecuaciones 2.18 a 2.26 pueden ser obtenidas para el agua y el gas. 2.6.2 Forma de la Ley de Darcy para Flujo Radial. La Ecuación 2.16 puede ser aplicada al flujo radial de un fluido monofásico. En este caso, la Ecuación 2.16 toma la siguiente forma:

rpk

u rr ∂

∂−=µ

............................................................................................... (2.27)

En forma análoga al caso de coordenadas cartesianas, la Ecuación 2.16 puede ser aplicada a flujo radial, mutifásico. Por ejemplo, para el petróleo se tiene:

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rpkk

u o

o

roro ∂

∂−=µ

.......................................................................................... (2.28)

Se pueden obtener expresiones análogas para flujo radial de gas y agua. 2.7 FORMA NO-LINEAL DE LAS ECUACIONES FUNDAMENTALES DE FLUJO MONOFASICO Una ecuación fundamental de flujo es una forma diferencial de expresar la ley de la conservación de la masa. La forma que toma la ecuación depende de la geometría de flujo, la naturaleza del fluido en movimiento, el número de fases en el fluido y el tipo de flujo. Esta sección discute la forma no-lineal de la ecuación fundamental de flujo monofásico en coordenadas cartesianas y coordenadas radiales. 2.7.1 Ecuación Fundamental de Flujo Monofásico en Coordenadas Cartesianas. Supóngase un elemento infinitesimal de volumen en un medio poroso continuo a través del cual ocurre flujo monofásico en la dirección x , tal como se ilustra en la Figura 2.11.

Fig. 2.11 – Elemento infinitesimal de volumen, flujo lineal, coordenadas Cartesianas Sea xu la velocidad volumétrica de flujo en la dirección x , definida así:

AreaTiempoVolumenux ⋅

= ..................................................................................... (2.29)

El flujo másico, definido como el flujo de masa por unidad de tiempo por unidad de área, está dado por:

X∆

X XX ∆+

( )xx uu ρρ ∆+

xuρ

( )XA

14

xumásicoFlujo ρ= ..................................................................................... (2.30) Si se efectúa un balance de la masa dentro del elemento infinitesimal durante un intervalo de tiempo t∆ , se tiene:

( )

( )tttt

oAgotamiento

nAcumulació

sumiderosofuentesporsaleoentraque

masadeCantidad

salequemasade

Cantidad

entraquemasade

Cantidad

∆∆∆∆

+=

±

−

-

................................................................................................................... (2.31) La cantidad de masa que entra al elemento durante el tiempo de observación

t∆ será:

( ) txAuentraque

masadeCantidad

x

t

∆ρ

∆

=

......................................................................... (2.32)

La cantidad de masa que sale del elemento durante el mismo intervalo de tiempo de observación está dada por:

( ) ( )( )[ ] txAuxAusaleque

masadeCantidad

xx

t

∆ρ∆ρ

∆

+=

.................................................... (2.33)

Notando como q~ a la cantidad de masa que entra o sale por fuentes o sumideros, por unidad de volumen del yacimiento por unidad de tiempo, se tiene que:

( ) txxAq~tVq~

sumiderosofuentesporsaleoentraque

masadeCantidad

t

∆∆∆∆

∆

±=±=

......................................... (2.34)

De otro lado, la cantidad de masa existente en el elemento infinitesimal a un tiempo t está dada por: ( )[ ] txxA φρ∆ ............................................................................................... (2.35)

Similarmente, la cantidad de masa existente en el elemento infinitesimal a un tiempo tt ∆+ , será: ( )[ ] ttxxA ∆φρ∆ + ............................................................................................ (2.36)

La acumulación o agotamiento de masa durante el intervalo de tiempo t∆ será:

15

( )

( )( )[ ] ( )[ ] ttt xxAxxA

oAgotamiento

nAcumulació

∆∆ φρ∆φρ∆ −=

+

+

-

........................................ (2.37)

Sustituyendo las Ecuaciones 2.32 a 2.34 y 2.37 en la Ecuación 2.31, asumiendo que el volumen del elemento infinitesimal, ( ) xxA ∆⋅ , no es función del tiempo, y dividiendo ambos lados de la ecuación resultante por tx ∆∆ ⋅ , se obtiene:

( )( ) ( ) ( ) ( )t

xAxAq~x

xAux

∆ρφ∆

∆ρ∆

=±−

Simplificando y tomando límites cuando los incrementos infinitesimales tienden a cero se obtiene:

( )( ) ( ) ( ) ( )t

xAxAq~x

xAux

∂∂

=±∂

∂−

ρφρ ............................................................... (2.38)

En forma general, la Ecuación 2.38 suele escribirse como:

( ) ( ) q~

txux αρφα

αρ+

∂∂

=∂

∂− ........................................................................... (2.39)

En la Ecuación 2.39, ( )xA=α . En la Ecuación 2.39, la variable q~ es positiva para sumideros (por ejemplo, pozos productores) y negativa para fuentes (por ejemplo, pozos inyectores). La Ecuación 2.39 es válida para flujo en una dimensión. Si se considera un elemento infinitesimal a través del cual ocurre flujo monofásico en dos direcciones, tal como se ilustra en la Figura 2.12, y se sigue un procedimiento similar al anterior, se encuentra que la ecuación fundamental de flujo en dos dimensiones puede ser escrita como:

16

Fig. 2.12 – Elemento infinitesimal de volumen, flujo bidimensional, coordenadas Cartesianas

( ) ( ) ( ) q~ty

uxu yx αρφα

αραρ+

∂∂

=

∂

∂+

∂∂

− ......................................................... (2.40)

En la Ecuación 2.39, ( )y,xH=α , espesor en el punto ( )y,x . Si se considera un elemento infinitesimal a través del cual ocurre flujo monofásico en tres direcciones, tal como se ilustra en la Figura 2.13, se encuentra que la correspondiente ecuación fundamental de flujo tiene la siguiente forma:

( ) ( ) ( ) ( ) q~tz

uyu

xu zyx +

∂∂

=

∂

∂+

∂

∂+

∂∂

−ρφρρρ ................................................... (2.41)

x∆

y∆

( )yxH ,

yuρ

( )yy uu ρρ ∆+

( )xx uu ρρ ∆+xuρ

17

Fig. 2.13 – Elemento infinitesimal de volumen, flujo tridimensional, coordenadas Cartesianas Obsérvese que la ecuación fundamental de flujo monofásico en coordenadas cartesianas puede ser escrita, en forma general, como:

( ) ( ) ( ) ( ) q~tz

uyu

xu zyx αρφααραραρ

+∂

∂=

∂

∂+

∂

∂+

∂∂

− .......................................... (2.42)

En la Ecuación 2.42, ( )xA=α y ,0uu zy == para flujo en una dirección;

( )y,xH=α y ,0uz = para flujo en dos direcciones; 0.1=α para flujo en tres direcciones. En términos de divergencia y gradiente, la ecuación fundamental de flujo monofásico en coordenadas cartesianas puede ser escrita, en forma general, como:

( ) ( ) q~t

αρφααρ +∂

∂=⋅∇− u ........................................................................... (2.43)

En la Ecuación 2.43 ⋅∇ es la divergencia en coordenadas cilíndricas y u es el vector de velocidad volumétrica los cuales se definen, respectivamente, de la siguiente forma:

kjixxx ∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇⋅ .................................................................................. (2.44)

x∆

y∆

z∆

yuρ

( )yy uu ρρ ∆+

( )xx uu ρρ ∆+xuρ

zuρ

( )zz uu ρρ ∆+

18

kjiu zyx uuu ++= ....................................................................................... (2.45) En las Ecuaciones 2.44 y 2.45, i , j y k son los vectores unitarios en las direcciones x , y y z , respectivamente. Sustituyendo la Ley de Darcy en coordenadas cartesianas, Ecuaciones 2.18 a 2.20, en la Ecuación 2.45 y la Ecuación resultante en la Ecuación 2.43, se obtiene:

( ) q~t

p αρφαµ

αρ +∂

∂=

∇⋅∇−

k ................................................................... (2.46)

En la Ecuación 2.46, ∇ representa el gradiente, definido como:

kjixp

xp

xpp

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇ ............................................................................... (2.47)

k representa el tensor de permeabilidades. Obsérvese que la Ecuación 2.46 puede ser escrita como:

( ) q~tz

pkzy

pkyx

pkx

zyx αρφαµ

αρµ

αρµ

αρ +∂

∂=

∂∂

∂∂

+

∂∂

∂∂

+

∂∂

∂∂ ...................... (2.48)

La Ecuación 2.48 se conoce como la ecuación fundamental de flujo monofásico en coordenadas cartesianas. 2.7.2 Ecuación Fundamental de Flujo Monofásico en Coordenadas Radiales. Considérese un elemento infinitesimal de volumen de un medio poroso continuo a través del cual ocurre flujo monofásico, radial, tal como se ilustra en la Figura 2.14.

19

Fig. 2.14 – Elemento infinitesimal de volumen en coordenadas radiales La cantidad de masa que ingresa al elemento durante un intervalo de tiempo

t∆ , a un radio r , está dada por:

( ) ( ) t,rrHut,rAuentraque

masadeCantidad

rr

t

∆θθρ∆θρ

∆

==

............................................. (2.49)

Similarmente, la cantidad de masa que sale del elemento durante el mismo intervalo de tiempo t∆ , a un radio rr ∆+ , está dada por:

( ) ( )( )[ ]( ) trr,rHu,rHusaleque

masadeCantidad

rr

t

∆θ∆θρ∆θρ

∆

++=

................................ (2.50)

Notando como q~ a la cantidad de masa que entra o sale por fuentes o sumideros, por unidad de volumen del yacimiento por unidad de tiempo, se tiene que:

tVq~

sumiderosofuentesporsaleoentraque

masadeCantidad

t

∆∆

∆

±=

............................................................. (2.51)

En la Ecuación 2.51, el volumen infinitesimal V∆ será:

( )θ,rH

θ r

r∆

ruρ

( )rr uu ρρ ∆+

20

( ) ( ) ( )πθθπ

πθθ∆π∆

2,rHr

2,rHrrV 22 −+=

( ) ( ) ( )2

,rHr2

,rrHr2V 2 θθ∆πθθ∆∆ −=

Debido a que r∆ es un cantidad infinitesimal, ( )2r∆ es aproximadamente igual a cero comparado con r∆ . En consecuencia:

( )θθ∆∆ ,rrHrV = ....................................................................................... (2.52) Sustituyendo la Ecuación 2.52 en la Ecuación 2.51, se obtiene:

( ) t,rrHrq~

sumiderosofuentesporsaleoentraque

masadeCantidad

t

∆θθ∆

∆

±=

............................................... (2.53)

El acumulamiento o agotamiento en el elemento infinitesimal durante el intervalo t∆ , será:

[ ] [ ]ttt

t

VVoAgotamient

onAcumulació

φρ∆φρ∆ ∆

∆

−=

+

.................................................... (2.54)

Llevando la Ecuación 2.53 a la Ecuación 2.54, se obtiene:

( ) ( ) ( )[ ]ttt

t

,rrHroAgotamient

onAcumulació

ρφρφθθ∆ ∆

∆

−=

+

.......................................... (2.55)

Sustituyendo las Ecuaciones 2.49, 2.50, 2.53 y 2.55 en la Ecuación 2.31, se obtiene:

( ) ( ) ( )( )[ ]( )( ) ( ) ( ) ( )[ ]ttt

rrr

,rrHrt,rrHrq~trr,rHu,rHut,rrHu

ρφρφθθ∆∆θθ∆∆θ∆θρ∆θρ∆θθρ

∆ −=±++−

+

o bien,

( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )[ ]ttt

rrr

,rrHrt,rrHrq~tru,rHtru,rHtr,rHu

ρφρφθθ∆∆θθ∆∆θ∆ρθ∆∆θρθ∆∆θ∆θρ

∆ −=±−−−

+

Debido a que cada diferencia finita hace referencia a una cantidad infinitesimal, las diferencias de tercer orden son despreciables en comparación con las diferencias de segundo orden. Por consiguiente, la ecuación anterior se simplifica a:

21

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )[ ]ttt

rr

,rrHrt,rrHrq~tru,rHtr,rHu

ρφρφθθ∆∆θθ∆∆θρθ∆∆θ∆θρ

∆ −=±−−

+

Dividiendo ambos lados entre θ∆∆ ⋅⋅⋅ trr , se obtiene:

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]t

,rHq~,rHr

u,rHr,rHur1 tttr

r ∆ρφρφ

θθ∆

ρθ∆θρ ∆ −

=±

+− +

Tomando límites cuando los incrementos infinitesimales tienden a cero, se obtiene:

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )ρφθθρθρθt

,rHq~,rHu,rHr

ru,rHr1

rr ∂∂

=±

∂∂

+−

o bien,

( )[ ] ( ) ( ) ( )ρφθθρθt

,rHq~,rHru,rHrr

1r ∂

∂+=

∂∂

− .............................................. (2.56)

Donde q~ es la cantidad de masa que entra o sale, a través de fuentes o sumideros, por unidad de volumen del yacimiento, por unidad de tiempo. q~ es positivo para sumideros (por ejemplo, pozos productores) y negativo para fuentes (por ejemplo, pozos inyectores). La Ecuación 2.56 puede ser escrita como:

[ ] ( )ρφαααρt

q~rurr

1r ∂

∂+=

∂∂

− ................................................................... (2.57)

En la Ecuación 2.57 ( )θα ,rH= . La Ecuación 2.57 se conoce como la ecuación fundamental de flujo monofásico en coordenadas radiales. 2.7.3 Ecuación Fundamental de Flujo Monofásico en Coordenadas Cilíndricas. Siguiendo una metodología análoga a la seguida en los numerales 2.7.1 y 2.7.2, es posible obtener la siguiente ecuación fundamental de flujo monofásico en coordenadas cilíndricas:

( ) q~t

p αρφαµ

αρ +∂

∂=

∇⋅∇−

k ................................................................... (2.58)

En la Ecuación 2.58, W⋅∇ y V∇ representan la divergencia y el gradiente en coordenadas cilíndricas de W y V , respectivamente, definidos de acuerdo a las siguientes expresiones:

22

( )

zWW

r1

rrW

r1 zr

∂∂

+∂∂

+∂

∂=⋅∇

θθW .................................................................. (2.59)

y

kjizVV

r1

rVV

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇θ

.......................................................................... (2.60)

En las Ecuaciones 2.59 y 2.60 r , θ y z indican dirección radial, tangencial y vertical, respectivamente; rW , θW y zW son las componentes radial, tangencial y vertical, respectivamente, del vector W ; α es igual a 1.0. Obsérvese que la Ecuación 2.58 puede ser escrita como:

( ) q~tz

pkz

pkr1

rpkr

rr1 zr αρφα

µρ

θµρ

θµρ θ +

∂∂

=

∂∂

∂∂

+

∂∂

∂∂

+

∂∂

∂∂ ................. (2.61)

Simulación de Yacimientos I 1

3. APROXIMACIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES A DIFERENCIAS FINITAS

Las ecuaciones que gobiernan el flujo de fluidos en medios porosos fueron

derivadas en los capítulos anteriores. Estas ecuaciones son ecuaciones

diferenciales parciales no lineales, las cuales relacionan los cambios de presión y

de saturación con el tiempo a lo largo del medio poroso. Estas ecuaciones son

extremadamente complejas, y sus aplicaciones son complicadas por la presencia

de condiciones límite especializadas.

La solución de estas ecuaciones por medios analíticos es, generalmente,

imposible. Las soluciones, cuando existen, proporcionan una distribución continua

de los parámetros dependientes (presión o saturación).

En la mayoría de las aplicaciones la única manera de obtener solución de estas

ecuaciones es mediante la solución numérica. Esta solución numérica produce

resultados en puntos discretos dentro del sistema. La transformación de la

ecuación diferencial continua a una forma discreta se logra mediante el uso de

diferencias finitas. En este proceso tanto el espacio como el tiempo, son

discretizados.

Este capítulo se dedica a la discusión de los conceptos básicos que rigen la

aproximación de una ecuación diferencial parcial a diferencias finitas.

Inicialmente, se discuten algunas nociones sobre variables discretas y diferencias

finitas. Luego, se consideran las aproximaciones para la primera y segunda

derivada, así como los esquemas de aproximación implícita y explícita.

Posteriormente, se discuten los conceptos de error de truncamiento, estabilidad,

convergencia y consistencia. En la parte final del capítulo, se habla de sistemas

de malla y condiciones de límite. A través de todo el capítulo se trabaja con una

ecuación de flujo simple con la finalidad de introducir los conceptos básicos

referentes a los temas antes mencionados. Esto facilita considerablemente la

Simulación de Yacimientos I 2

aplicación y extensión de conceptos básicos a ecuaciones de flujo más complejas

las cuales gobiernan el comportamiento real de un yacimiento.

3.1 DISCRETIZACION, VARIABLES DISCRETAS Y DIFERENCIAS FINITAS

La solución a los sistemas de ecuaciones de flujo comúnmente encontrados en el

trabajo de ingeniería de yacimientos involucra la determinación de algunos

parámetros dependientes del espacio y del tiempo. Como se mencionó

anteriormente, la solución se obtiene en puntos discretos en el espacio y en el

tiempo. El dominio espacial se divide en un número de celdas, grids o bloques

superponiendo algún tipo de malla. Este enmallado, generalmente, es rectangular

pero no necesariamente. El tiempo también se discretiza en un número de pasos

de tiempo, durante cada uno de los cuales se resuelve el problema para obtener

nuevos valores de los parámetros dependientes. El tamaño de estos pasos

depende del problema particular que se está resolviendo, y generalmente, entre

más pequeño sea este paso, más exacta es la solución.

Para aclarar este proceso considérese un medio poroso lineal a través del cual

fluye un fluido compresible o levemente compresible que se encuentra a una

presión inicial ip (Figura 3.1). Si el sistema se abre a producción en el punto x= L,

la presión disminuye a medida que se incrementa el volumen de fluido extraído del

sistema. Supóngase que para este sistema, la variación de la presión p, en

función de la posición x y el tiempo t, se puede representar por la siguiente

ecuación diferencial:

tp

xp2

2

∂∂

=∂∂ (3.1)

Simulación de Yacimientos I 3

Fig. 3.1 – Forma típica de la distribución de presión en un sistema lineal

La solución analítica a la Ecuación 3.1 conlleva una función continua ( )t,xpp =

que permite calcular la presión en cada punto a un tiempo determinado. Un

gráfico de p en función de x y t se muestra en la Figura 3.1.

Para la solución numérica de una ecuación diferencial de flujo, tal como la

Ecuación 3.1, se requiere tratar el yacimiento como un conjunto de bloques. Esta

solución permite calcular la presión en cada bloque a diferentes intervalos de

tiempo. A diferencia de la solución analítica, en lugar de obtenerse una expresión

que relacione la presión como una función continua de la posición y el tiempo, se

obtienen una serie de valores discretos de presión, cada uno de los cuales

corresponde a un bloque determinado del yacimiento. La acción de dividir el

yacimiento en un número determinado de bloques e intervalos de tiempo se

denomina discretización.

La Figura 3.2 presenta el ejemplo hipotético de un yacimiento real y su

correspondiente discretización. A las longitudes de cada bloque, 1x∆ , 2x∆ , ... , y

a cada intervalo de tiempo, 1t∆ , 2t∆ , ... , se les denomina diferencias finitas.

X X = L

X = 0 X = LX

t1t2t3t4P

X = 0

Simulación de Yacimientos I 4

Fig. 3.2 – Esquema de un sistema real y su respectiva discretización

Fig. 3.3 – Forma típica de la distribución de presión en un sistema lineal (solución numérica)

Barrera permeable

∆x1 ∆x2 ∆x3∆x4

k1P1 k2

P2 k3P3 k4

P4

Bloque 1 Bloque 3 Bloque 4Bloque 2

φ1 φ2 φ3φ4

t4t4

t4t4

t4t4

t4

t3t3

t3t3

t3t3

t3t3

t2 t2t2 t2

t2t2

t1t1 t1

X = 0 X = LX

X = 0 X = LX

P

t1

t4

Simulación de Yacimientos I 5

La Figura 3.3 presenta la forma típica de la distribución de presión en un sistema

lineal a diferentes tiempos, obtenida mediante la solución numérica de una

ecuación fundamental de flujo. A manera de ejemplo, se pudiera considerar que

las Figuras 3.1 y 3.3 corresponden a las soluciones analítica y numérica,

respectivamente, de una misma ecuación de flujo (por ejemplo de la Ecuación 3.1)

para un mismo sistema.

Los siguientes comentarios, concernientes a la discretización de un yacimiento,

son importantes:

a. Los lados de cada bloque, perpendiculares a la dirección de flujo, actúan como

barreras de espesor infinitesimal (véase Figura 3.2).

b. La rata de entrada y salida de fluidos en cada bloque está determinada por la

permeabilidad de las barreras adyacentes a cada bloque y la diferencia de

presión entre ellos.

c. Las propiedades dentro de cada bloque son las mismas en todos los puntos

del bloque. Por ejemplo: a un tiempo determinado, a cada bloque le

corresponde un único valor de presión y de permeabilidad relativa.

d. La variación de las propiedades en el yacimiento se representa mediante la

variación de las propiedades en cada bloque. Por ejemplo: a cada bloque se

le puede asignar un valor diferente de porosidad. Esto implica que pueden

existir variaciones fuertes en las propiedades de bloques adyacentes.

e. La precisión con la cual el comportamiento real del yacimiento puede ser

descrito por el modelo depende del número de bloques utilizados. Sin

embargo, el número de bloques está limitado por factores tales como el costo

del simulador y la disponibilidad de datos de entrada.

f. La vida del yacimiento se discretiza en intervalos de tiempo. Las condiciones

del yacimiento se definen únicamente al principio y al final de cada intervalo de

Simulación de Yacimientos I 6

tiempo, razón por la cual las condiciones en cada bloque pueden cambiar

considerablemente de un intervalo de tiempo a otro. Intervalos de corta

duración (es decir, alto número de intervalos), hacen que estos cambios sean

menos fuertes y aumentan la precisión de los resultados.

g. La discretización del yacimiento hace que el comportamiento continuo de las

condiciones en él sea distorsionado. Por ejemplo: la Figura 3.4 presenta un

esquema de la distorsión ocasionada en la saturación de agua en un punto fijo

de un sistema lineal debido a su discretización.

Fig. 3.4 – Distorsión ocasionada en la saturación de agua en un punto del yacimiento

3.2 APROXIMACIONES PARA LA PRIMERA DERIVADA

El método más comúnmente utilizado para dar solución numérica a la Ecuación

3.1 es expresar la función ( )t,xp mediante una serie de Taylor.

Considérese una función ( )xf continua. La función puede ser expandida alrededor

de un punto “a”, localizado a una distancia x-a del punto “x” (véase la Figura

3.5), mediante una serie de Taylor:

: Yacimiento

: Simulador

0

1

Sw

Simulación de Yacimientos I 7

Fig. 3.5 – Bloques tenidos en cuenta en la aproximación progresiva de la primera

derivada

( )∑∞

=

−=

0n

n)n(

!nax)a(f)x(f (3.2)

En la Ecuación 3.2, ( )nf es la n-ésima derivada de f evaluada en el punto x=a. Es

decir, la Ecuación 3.2 puede ser escrita como:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )LL +

−⋅

∂∂

++−

⋅

∂∂

+

−⋅

∂∂

+−

⋅

∂∂

+−

⋅=

==

==

!nax

xf

!3ax

xf

!2ax

xf

!1ax

xf

!0axafxf

n

axn

n3

ax3

3

2

ax2

2

ax

0

(3.3)

3.2.1 La aproximación progresiva y su error de truncamiento

Supóngase un sistema lineal de bloques de igual longitud, tal como se ilustra en la

Figura 3.5. A cada bloque le corresponde una variable discreta 1x , 2x , ... , 1ix − ,

ix , 1ix + , ..., nx , de acuerdo a su posición dentro del sistema. El incremento entre

dos puntos sucesivos, ix y 1ix + , está dado por la diferencia finita x∆ . Si se

define:

x – a

X = 0 X = LX i X i + 1

a x

x

Simulación de Yacimientos I 8

ixa = y 1ixx +=

Entonces,

i1i xxax −=− +

xax ∆=− (por ser bloques de igual longitud)

y si además se tiene en cuenta que la función, ( )xf , que se pretende expandir

mediante la serie de Taylor es la presión en el sistema, P, entonces, de la

Ecuación 3.3 se tiene:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )!n

xxP

!3x

xP

!2x

xPx

xPxPxP

n

Xin

n3

Xi3

32

Xi2

2

Xii1i

∆⋅

∂∂

++∆

⋅

∂∂

+∆

⋅

∂∂

+∆⋅

∂∂

+=+ L (3.5)

donde:

( )1ixP + : Presión en el bloque 1i + .

( )ixP : Presión en el bloque i .

Para simplificar la notación, se hace uso de las siguientes expresiones

( ) 1i1i PxP ++ =

( ) ii PxP =

iXi xP

xP

∂∂

=

∂∂

Simulación de Yacimientos I 9

Luego, la Ecuación 3.5 se convierte en:

( ) ( ) ( ) ( )!n

xxP

!3x

xP

!2x

xP

!1x

xPPP

n

in

n3

i3

32

i2

2

ii1i

∆⋅

∂∂

++∆

⋅

∂∂

+∆

⋅

∂∂

+∆

⋅

∂∂

+=+

L (3.6)

despejando ix

P

∂∂ de la ecuación (3.6) se llega a:

( ) ( ) ( )LL +

∆⋅

∂∂

−−∆

⋅

∂∂

−∆

⋅

∂∂

−∆

−=

∂∂ −

+

!nx

xP

!3x

xP

!2x

xP

xPP

xP 1n

in

n2

i3

3

i2

2i

i

1i (3.7)

la cual puede ser agrupada de la siguiente manera:

fi

i1i

i

Rx

PPxP

+∆

−=

∂∂ + (3.8)

donde:

( ) ( )

+

∆⋅

∂∂

+∆

⋅

∂∂

−= L!3

xxP

!2x

xPR

2

i3

3

i2

2fi (3.9)

El valor de fiR tiende a cero cuando x∆ tiende a cero, por lo tanto a partir de la

Ecuación 3.8, se puede afirmar que

x

PPxP i1i

i ∆

−≅

∂∂ + (3.10)

A la Ecuación 3.10 se le conoce como la APROXIMACIÓN PROGRESIVA; esta

expresión permite evaluar la primera derivada en el bloque "i" en términos de las

presiones en los bloques "i" e "i+1".

Simulación de Yacimientos I 10

A la parte truncada, fiR , se le conoce como ERROR DE TRUNCAMIENTO de la

aproximación progresiva. En este caso, se dice que el ERROR DE

TRUNCAMIENTO es de PRIMER ORDEN debido a que la menor potencia a la

cual se encuentra elevada la diferencia finita x∆ es uno (Ecuación 3.9). En

general, se dice que la aproximación numérica de una ecuación diferencial tiene

un error de truncamiento de orden "n" (se denota como O ( )[ ]nx∆ ) cuando la

mínima potencia de la diferencia finita, x∆ , en la parte truncada es "n".

Obsérvese que a mayor orden del error de truncamiento, mejor es la aproximación

numérica de la aproximación diferencial. Por ejemplo, considérense dos

esquemas de aproximación cuyos errores de truncamiento son, respectivamente,

] ( ) ( ) ( )

+

∆⋅

∂∂

+∆

⋅

∂∂

+∆

⋅

∂∂

−= L!4

xxP

!3x

xP

!2x

xPR

3

i4

42

i3

3

i2

2

1i

y

] ( ) ( )

+

∆⋅

∂∂

+∆

⋅

∂∂

−= L!4

xxP

!3x

xPR

3

i4

42

i3

3

2i

La aproximación correspondiente al error de truncamiento ]2iR , es de mayor

exactitud debido a que se está truncando únicamente desde el término de ( )2x∆ ,

en tanto que la aproximación correspondiente al error de truncamiento ]1iR se está

truncando desde el término de ( )x∆ . En general, se tiene que: O ( )[ ]x∆ >

O ( )[ ]2x∆ > O ( )[ ]3x∆

Simulación de Yacimientos I 11

3.2.2 La aproximación regresiva y su error de truncamiento

Fig. 3.6 – Bloques tenidos en cuenta en la aproximación regresiva de la primera derivada

Considérese el sistema lineal de bloques de la figura 3.6. Si se define ixa = y

1ixx −=

Entonces,

i1i xxax −=− − ( )1ii xx −−−= x∆−=

Si se hace ( ) Pxf = , entonces, de la Ecuación 3.3, se tiene:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )L

L

+∆−

⋅

∂∂

+

+∆−

⋅

∂∂

+∆−

⋅

∂∂

+∆−⋅

∂∂

+=−

!nx

xP

!3x

xP

!2x

xPx

xPxPxP

n

Xin

n

3

Xi3

32

Xi2

2

Xii1i

donde:

( )1ixP − : Presión en el bloque 1i − .

( )ixP : Presión en el bloque i .

a – x = - ( x –a)

X = 0 X = L X iX i - 1

x a

x

Simulación de Yacimientos I 12

Para simplificar la notación, se suele escribir 1iP − en lugar de ( )1ixP − ; luego, de la

ecuación anterior, se tiene:

( ) ( ) ( ) ( )LL +

∆−⋅

∂∂

++∆

⋅

∂∂

−∆

⋅

∂∂

+∆

⋅

∂∂

−=− !nx

xP

!3x

xP

!2x

xP

!1x

xPPP

n

in

n3

i3

32

i2

2

ii1i (3.12)

despejando de esta ecuación ix

P

∂∂ :

( ) ( ) ( )LL +

∆−⋅

∂∂

++∆

⋅

∂∂

−∆

⋅

∂∂

+∆

−=

∂∂ −

−

!nx

xP

!3x

xP

!2x

xP

xPP

xP 1n

in

n2

i3

3

i2

21ii

i

(3.13)

o bien:

bi

1ii

i

RxPP

xP

+∆

−=

∂∂ − (3.14)

donde:

( ) ( ) ( )LL +

∆−⋅

∂∂

++∆

⋅

∂∂

−∆

⋅

∂∂

=−

!nx

xP

!3x

xP

!2x

xPR

1n

in

n2

i3

3

i2

2bi (3.15)

biR tiende a cero cuando x∆ tiende a cero. En este caso, la Ecuación 3.14 toma

la forma:

xPP

xP 1ii

i ∆

−≅

∂∂ − (3.16)

A la Ecuación 3.16 se le conoce como la APROXIMACIÓN REGRESIVA para la

primera derivada; su error de truncamiento está dado por la Ecuación 3.15.

Obsérvese que el error de truncamiento de esta aproximación es de primer orden,

O ( )[ ]x∆ .

Simulación de Yacimientos I 13

3.2.3 La aproximación central y su error de truncamiento

Si se sustrae la Ecuación 3.12 de la Ecuación 3.6, se obtiene:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

+

∆⋅

∂∂

−∆

⋅

∂∂

+∆

⋅

∂∂

−

+

∆⋅

∂∂

+∆

⋅

∂∂

+∆

⋅

∂∂

+=− −+

L

L

!3x

xP

!2x

xP

!1x

xPP-

!3x

xP

!2x

xP

!1x

xPPPP

3

i3

32

i2

2

ii

3

i3

32

i2

2

ii1i1i

Agrupando términos semejantes,

( ) ( ) ( ) ( )L

!nx

xP

!nx

xP

!3x

xP2

!1x

xP2PP

n

in

nn

in

n3

i3

3

i1i1i

∆−⋅

∂∂

+∆

⋅

∂∂

+∆

⋅

∂∂⋅+

∆⋅

∂∂⋅=− −+

Despejando ix

P

∂∂ ,

( )( ) ( ) ( )

!nx

xP

!nx

xP

!3x

xP

x2PP

xP 1n

in

n1n

in

n2

i3

31i1i

i

−−−+ ∆−

⋅

∂∂

−∆

⋅

∂∂

−−∆

⋅

∂∂

−∆⋅

−=

∂∂

L (3.17)

o bien:

( )Ci

1i1i

i

Rx2PP

xP

+∆⋅

−=

∂∂ −+ (3.18)

donde:

( ) ( ) ( )LL −

∆−⋅

∂∂

−∆

⋅

∂∂

−+∆

⋅

∂∂

−=−−

!nx

xP

!nx

xP

!3x

xPR

1n

in

n1n

in

n2

i3

3Ci (3.19)

CiR tiende a cero cuando x∆ tiende a cero. En este caso, la Ecuación 3.18 se

puede aproximar a:

Simulación de Yacimientos I 14

( )x2PP

xP 1i1i

i ∆⋅

−≅

∂∂ −+ (3.20)

A la Ecuación 3.20 se le conoce como la APROXIMACIÓN CENTRAL de la

primera derivada; su error de truncamiento está dado por la Ecuación 3.19, de

donde se observa que éste es de SEGUNDO orden, O ( )[ ]2x∆ . Por lo tanto, el

error de truncamiento de la aproximación central es menor que el error de

truncamiento de las aproximaciones progresiva y regresiva.

Las Figuras 3.7, 3.8 y 3.9 presentan la interpretación geométrica de las

aproximaciones progresiva, regresiva y central, respectivamente. De estas

figuras, se observa que la aproximación progresiva estima la primera derivada de

la presión en el bloque " i " con base en los valores de presión en este bloque y en

el bloque posterior, la aproximación regresiva con base en los valores de presión

en este bloque y en el bloque anterior, y la aproximación central con base en los

valores de presión en los bloques anterior y posterior. Ésta es justamente la razón

por la cual el error de truncamiento de la aproximación central es menor que los

errores de truncamiento de las aproximaciones progresiva y regresiva.

Fig. 3.7 – Interpretación geométrica de la aproximación progresiva

∆X

Pi + 1

Pi

Pi + 1 – Pi

progresivaxp

∂∂:

verdaderaxp

∂∂:

Xi + 1

Simulación de Yacimientos I 15

Fig. 3.8 – Interpretación geométrica de la aproximación regresiva

Fig. 3.9 – Interpretación geométrica de la aproximación central

∆X

Pi – 1

Pi

Pi – Pi – 1

XiXi – 1

regresivaxp

∂∂:

verdaderaxp

∂∂:

Pi – 1

Pi

Pi + 1

XiXi – 1 Xi + 1

verdaderaxp

∂∂:

centradaxp

∂∂:

Simulación de Yacimientos I 16

3.3 APROXIMACIÓN NUMÉRICA PARA LA SEGUNDA DERIVADA

La aproximación numérica para la segunda derivada puede ser obtenida sumando

las Ecuaciones 3.6 y 3.12 definidas anteriormente para las aproximaciones

progresiva y regresiva, de esta operación se obtiene:

( ) ( ) ( )L+

∆⋅

∂∂⋅+

∆⋅

∂∂⋅+∆⋅

∂∂

+⋅=+ −+ !6x

xP2

!4x

xP2x

xPP2PP

6

i6

64

i4

42

i2

2

i1i1i

Despejando i

2

2

xP

∂∂ ,

( )

( ) ( )L+

∆⋅

∂∂⋅−

∆⋅

∂∂⋅−

∆

+⋅−=

∂∂ +−

!6x

xP2

!4x

xP2

xPP2P

xP 4

i6

62

i4

4

21ii1i

i2

2

(3.21)

o bien,

( )

2i2

1ii1i

i2

2

Rx

PP2PxP

+∆

+⋅−=

∂∂ +− (3.22)

donde:

( ) ( )

+

∆⋅

∂∂⋅+

∆⋅

∂∂⋅−= L

!6x

xP2

!4x

xP2R

4

i6

62

i4

42i (3.23)

2iR tiende a cero cuando x∆ tiende a cero. En este caso, de la Ecuación 3.22 se

tiene que

( )2

1ii1i

i2

2

xPP2P

xP

∆

+⋅−≅

∂∂ +− (3.24)

Simulación de Yacimientos I 17

A la Ecuación 3.24 se le conoce como la APROXIMACIÓN NUMÉRICA PARA LA

SEGUNDA DERIVADA. Esta expresión permite estimar el valor de 2

2

xP

∂∂ en el

bloque "i" en término de las presiones en los bloques "i-1", "i" e "i+1". El error de

truncamiento de esta ecuación está dado por la Ecuación 3.23 de donde se puede

observar que es de SEGUNDO ORDEN.

3.4 ESQUEMAS DE APROXIMACIÓN EXPLICITO E IMPLICITO

Considérese que la Ecuación 3.1 es válida en el intervalo Xx0 << y 0t > .

Para dar solución numérica a esta ecuación, se requiere dividir el intervalo [ ]X,0

en diferencias finitas de espacio, x∆ , el intervalo [ ]t,0 en diferencias finitas de

tiempo, t∆ , y expandir las derivadas 2

2

xP

∂∂ y

tP∂∂ , respectivamente, tal como se

ilustra en la Figura 3.10.

Fig. 3.10 – Discretización de una sistema lineal en función del espacio y el tiempo

∆X

∆t

i – 1X0

t

i i + 1

Simulación de Yacimientos I 18

APROXIMACIÓN DE LA DERIVADA tP∂∂ .

La derivada tP∂∂ puede ser expandida mediante una aproximación progresiva

(Ecuación 3.10), regresiva (Ecuación 3.16) ó central (Ecuación 3.20). En las

Ecuaciones 3.10, 3.16 y 3.20 se aproximó la variación de la presión con respecto a

la posición a un tiempo fijo, tx

P

∂∂ . En este caso se requiere evaluar la variación

de la presión con respecto al tiempo en una posición fija, xt

P

∂∂ ; por lo tanto, en

lugar de emplear la diferencia finita x∆ , tal como aparece en las Ecuaciones 3.10,

3.16 y 3.20, se debe emplear la diferencia finita t∆ . Así mismo, el subíndice "i" (el

cual indica posición) en este caso permanece fijo puesto que se desea aproximar

la derivada de la presión con respecto al tiempo y, en consecuencia, el índice que

varía debe ser aquel que indique el nivel de tiempo. Para este propósito, se

denotará por la letra "n" los índices que indiquen nivel de tiempo y serán

superíndices de la variable P . Los índices que indiquen posición se denotarán por

la letra "i", y serán subíndices de la variable P , de tal manera que

iP indica la presión en el bloque i .

nP indica la presión al tiempo n .

niP indica la presión en el bloque i , al tiempo n .

Teniendo en cuenta estos comentarios, las ecuaciones para las

APROXIMACIONES progresiva, regresiva y central detP∂∂ son:

Simulación de Yacimientos I 19

Aproximación progresiva:

( )[ ]tOt

PPtP n

i1n

i ∆+∆

−=

∂∂ +

(3.25)

Aproximación regresiva:

( )[ ]tOtPP

tP 1n

ini ∆+∆

−=

∂∂ −

(3.26)

Aproximación central:

( )[ ]21n

i1n

i tOt2PP

tP

∆+∆⋅

−=

∂∂ −+

(3.27)

donde los superíndices "n-1", "n" y "n+1" representan los tiempos 1nt − , nt y

1nt + , respectivamente.

No se hará uso de la aproximación regresiva (Ecuación 3.26), debido a que el

principal interés es calcular la presión en cada bloque "i" del sistema a tiempos

futuros (es decir, 1niP + ), partiendo de valores actuales (es decir, n

iP ) y, contrario a

esto, la aproximación regresiva relaciona la presión actual ( niP ) con presiones a

tiempos pasados ( 1niP − ). La aproximación central tampoco será utilizada debido a

problemas de estabilidad, concepto que será discutido más adelante. Por estas

razones, se empleará la aproximación progresiva, (Ecuación 3.25), para aproximar

el término tP∂∂ .

Simulación de Yacimientos I 20

APROXIMACIÓN DE LA SEGUNDA DERIVADA 2

2

xP

∂∂ .

De la aproximación (3.24) se tiene que la segunda derivada se puede expresar

como:

( )2

1ii1i

i2

2

xPP2P

xP

∆

+⋅−≅

∂∂ +− (3.24)

Esta ecuación, tal como está escrita, no incluye el nivel de tiempo. La pregunta

que surge sería: ¿A qué tiempo hace referencia las presiones en esta ecuación?

Dependiendo del nivel de tiempo asignado a cada término de presión en esta

ecuación, se suele hablar de diferentes esquemas de aproximación, de los cuales

los más comunes son: la aproximación explícita, la aproximación implícita y la

aproximación de Crank-Nicholson. Desde el punto de vista numérico, cada uno de

estos esquemas posee características diferentes.

3.4.1 Esquema de Aproximación Explícita

Supóngase que las presiones incluidas en la Ecuación 3.24 son evaluadas al

tiempo nt . En este caso, se tiene:

( )2

n1i

ni

n1i

2

2

xPP2P

xP

∆

+⋅−≅

∂∂ +− (3.28)

Si se lleva las Ecuaciones 3.25 y 3.28 a la Ecuación 3.1, se obtiene:

( ) t

PPx

PP2P ni

1ni

2

n1i

ni

n1i

∆

−=

∆

+⋅− +−+ (3.28.a)

De donde,

Simulación de Yacimientos I 21

( ) ( )2ni

21ni

n1i

ni

n1i xPxPtPtP2tP ∆⋅−∆⋅=∆⋅+∆⋅⋅−∆⋅ +

−+

o bien:

( ) ( ) ( )2n

1i2ni2

n1i

1ni x

tP1x

t2PxtPP

∆∆

⋅+

−

∆∆⋅

⋅−∆∆

⋅= −++

si se define:

( )2x

t∆∆

=λ (3.29)

entonces:

( ) n1i

ni

n1i

1ni PP12PP −+

+ ⋅λ+⋅−λ⋅−⋅λ= (3.30)

A la Ecuación 3.30 se le conoce como la APROXIMACIÓN EXPLÍCITA de la

Ecuación 3.1. La aplicación repetitiva de esta aproximación numérica permite

estimar la presión en cada bloque "i" del sistema al tiempo 1nt + , con base en los

valores de presión en los bloques " 1i − ", " i " e " 1i + " al tiempo nt . Para llevar a

cabo esta serie de cálculos, se requiere de una condición inicial para cada bloque

" i " y dos condiciones de frontera.

Ejemplo:

Supóngase un sistema lineal de siete bloques similar al presentado en la Figura

3.3 . Sea 1t el tiempo actual; obtener las expresiones de la aproximación explícita

para el cálculo de las presiones en cada bloque a un tiempo futuro ttt 12 ∆+= y a

un tiempo ttt 23 ∆+= , asumiendo que en cada caso las condiciones de límite

son:

Simulación de Yacimientos I 22

a. =0P constante CEROP=

b. 0P8 =

Solución:

Sea n1 tt = ; luego, 1n12 tttt +=∆+= . Puesto que 1t es el tiempo actual,

entonces la presiones a este tiempo, 1P , 2P , ..., son conocidas (Condición inicial

a Inicialtt = ). De la Ecuación 3.30, se puede obtener las expresiones para el cálculo

de las presiones en cada bloque al tiempo 1n2 tt += :

Para el bloque 1, 1i = :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )10

11

12

21 PP12PP ⋅λ+⋅−λ⋅−⋅λ=

=0P constante CEROP= (Condición de límite del ejemplo).

Para el bloque 2, 2i = :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )11

12

13

22 PP12PP ⋅λ+⋅−λ⋅−⋅λ=

Para el bloque 3, 3i = :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )12

13

14

23 PP12PP ⋅λ+⋅−λ⋅−⋅λ=

Simulación de Yacimientos I 23

M

Para el bloque 7, 7i = :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )16

17

18

27 PP12PP ⋅λ+⋅−λ⋅−⋅λ=

Pero 0P8 = (Condición de límite en este ejemplo), luego:

( ) ( ) ( ) ( )16

17

27 PP12P ⋅λ+⋅−λ⋅−=

Al tiempo ttt 23 ∆+= , se pueden re-definir la variables nt y 1nt + , así:

2n tt = y 31n tt =+

Teniendo en cuenta lo anterior, de la Ecuación 3.30, se puede escribir:

Para el bloque 1, 1i = :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )20

21

22

31 PP12PP ⋅λ+⋅−λ⋅−⋅λ=

De nuevo, =0P constante CEROP= .

Para el bloque 2, 2i = :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )21

22

23

32 PP12PP ⋅λ+⋅−λ⋅−⋅λ=

Simulación de Yacimientos I 24

Para el bloque 3, 3i = :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )22

23

24

33 PP12PP ⋅λ+⋅−λ⋅−⋅λ=

etc.

Obsérvese que las presiones incluidas en los miembros derechos de las tres

últimas ecuaciones ya han sido previamente calculadas en el paso anterior.

Fig. 3.11 – Forma de los esquemas explícito e implícito esta grafica comparativa

debiera aparecer después de explicarse el esquema implícito

En la Figura 3.11 se indica los puntos en el espacio y los niveles de tiempo tenidos

en cuenta en la aproximación explícita (Ecuación 3.30). El procedimiento general

para la aplicación de este esquema es el siguiente:

a. A cada uno de los bloques del sistema se le asigna un valor de presión al

tiempo inicial 0t = . De esta forma se obtienen valores para las variables 1iP + ,

iP y 1iP − de la Ecuación 3.30.

b. Se calcula los valores de iP para cada uno de los bloques de la malla.

t n + 1

t nXiXi – 1 Xi + 1

Esquema Explícito

t n + 1

t nXi

Xi – 1 Xi + 1

Esquema Implícito

Simulación de Yacimientos I 25

c. Una vez barrida toda la malla, se repite el procedimiento para el tiempo 2nt + ,

haciendo que los nuevos valores de 1iP − , iP , 1iP + , sean iguales a los

valores 1iP − , iP , 1iP + , apenas calculados.

Tal como se discutirá más adelante, para obtener estabilidad en este esquema de

solución, se requieren incrementos de tiempo, t∆ , muy pequeños, lo que limita su

aplicación en un gran número de problemas.

3.4.2 Esquema de Aproximación Implícita

Supóngase que las presiones 1iP − , iP y 1iP + presentes en la Ecuación 3.24

hacen referencia al tiempo 1nt + . En este caso, la Ecuación 3.24 puede ser escrita

como:

( )2

1n1i

1ni

1n1i

2

2

xPP2P

xP

∆

+⋅−≅

∂∂ +

+++

− (3.31)

Si se llevan las Ecuaciones 3.25 y 3.31 a la Ecuación 3.1, se obtiene:

( ) t

PPx

PP2P ni

1ni

2

1n1i

1ni

1n1i

∆

−=

∆

+⋅− ++−

+++ (3.32)

de donde:

( ) ( ) ( )ni

1ni2

1n1i2

1ni2

1n1i PP

xtP

xtP2

xtP −=−

∆∆

⋅+∆∆

⋅⋅−∆∆

⋅ ++−

+++

Teniendo en cuenta que:

( )2xt

∆∆

=λ

Simulación de Yacimientos I 26

entonces,

( ) ni

1n1i

1ni

1n1i PPP12P −=⋅λ+⋅+λ⋅−⋅λ +

−++

+ (3.33)

La Ecuación 3.33 representa la APROXIMACIÓN IMPLICITA de la Ecuación 3.1.

Si se aplica esta ecuación a cada uno de los bloques de la malla, se genera un

sistema de ecuaciones cuya solución simultánea permite obtener las distribución

de presiones en el sistema (presión en cada bloque) al tiempo 1nt + .

Ejemplo:

Obtener el sistema de ecuaciones generado por el esquema implícito, Ecuación

3.33, para el ejemplo anterior.

Solución:

Sea n1 tt = y 1n2 tt += . La Ecuación 3.33 genera una ecuación para cada bloque

del sistema, así:

Para el bloque 1, 1i = :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )11

22

21

20 PPP12P −=⋅λ+⋅+λ⋅−⋅λ

Para el bloque 2, 2i = :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )12

23

22

21 PPP12P −=⋅λ+⋅+λ⋅−⋅λ

Para el bloque 3, 3i = :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )13

24

23

22 PPP12P −=⋅λ+⋅+λ⋅−⋅λ

Simulación de Yacimientos I 27

etc.

Este sistema de ecuaciones puede ser escrito en forma más compacta de la

siguiente forma:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )17

27

26

13

24

23

22

12

23

22

21

11

22

21

PP12P

PPP12PPPP12PPPP12

−=⋅+λ⋅−⋅λ

−=⋅λ+⋅+λ⋅−⋅λ−=⋅λ+⋅+λ⋅−⋅λ−=⋅λ+⋅+λ⋅−

MOO

Las incógnitas en este sistema de ecuaciones son: 1P , 2P , ..., 7P . Su solución

permite obtener los valores de presión en cada bloque al tiempo 21n tt =+ .

La Figura 3.11 incluye los puntos en el espacio y los niveles de tiempo tenidos en

cuenta en el esquema implícito.

3.5 CRITERIOS TENIDOS EN CUENTA PARA LA SELECCION DE UN ESQUEMA DE APROXIMACIÓN NUMÉRICA.

Existen diferentes esquemas de aproximación numérica a las ecuaciones

diferenciales de flujo, dos de los cuales han sido discutidos en el numeral 3.4 (la

aproximación explícita y la aproximación implícita). La selección de uno u otro de

estos esquemas se debe realizar teniendo en cuenta los siguientes criterios:

- Error de truncamiento.

- Estabilidad.

- Convergencia.

- Consistencia.

Simulación de Yacimientos I 28

3.5.1 Error de Truncamiento

Tal como se mencionó anteriormente, el error de truncamiento hace referencia al

error en que se incurre al utilizar la aproximación en diferencias finitas luego de ser

truncada, en lugar de la ecuación diferencial misma. El error de truncamiento se

define como:

−

=ε

Finitas sDiferencia

en Ecuación

lDiferenciaEcuación

T (3.34)

Es importante resaltar que este error de truncamiento es diferente al error de

truncamiento que se comete debido a las operaciones repetitivas del computador.

Los computadores tienen una memoria de capacidad finita y, en consecuencia,

pueden retener únicamente números de "tamaño finito" (es decir, hasta cierto

número de cifras significativas). El error cometido por esta clase de truncamiento,

el cual se propaga a medida que se incrementa el número de operaciones, es

diferente al error de truncamiento numérico a que hace referencia la Ecuación

3.34.

Ejemplo: ERROR DE TRUNCAMIENTO DE LA APROXIMACIÓN EXPLÍCITA E

IMPLÍCITA.

Considérese la Ecuación 3.1, cuya aproximación explícita está dada por la

Ecuación 3.28.a:

( ) t

PPx

PP2P ni

1ni

2

n1i

ni

n1i

∆

−=

∆

+⋅− +−+ (3.28.a)

Aplicando la Ecuación 3.34, se tiene:

( )

∆

−−

∆

+⋅−−

∂∂

−∂∂

=ε+

−+

tPP

xPP2P

tp

xp n

i1n

i2

n1i

ni

n1i

2

2

T

Simulación de Yacimientos I 29

Llevando las Ecuaciones 3.22 y 3.25, en reemplazo de 2

2

xp

∂∂ y

tp∂∂ , se tiene:

( )( ) ( )

( )

∆

−−

∆

+⋅−−

−

∆⋅

∂∂

+

∆

−−+

∆⋅

∂∂⋅−

∆⋅

∂∂⋅−

∆

+⋅−=ε

+−+

+−+

tPP

xPP2P

2t

tP

tPP

!6x

xP2

!4x

xP2

xPP2P

ni

1ni

2

n1i

ni

n1i

i2

2

ni

1ni

4

i6

62

i4

4

2

n1i

ni

n1i

T

L

L

de donde,

( ) ( ) ( )[ ]txOtP

2t

xP

12x 2

i2

2

i4

42

T ∆+∆=+

∂∂⋅

∆−

∂∂⋅

∆−=ε L (3.35)

Si se procede en forma análoga, se encuentra que el error de truncamiento de la

aproximación implícita está dado por una expresión similar a la Ecuación 3.35.

Ejemplo: LA APROXIMACIÓN DE CRANK NICHOLSON Y SU ERROR DE

TRUNCAMIENTO.

La aproximación de Crank-Nicholson puede ser interpretada como un promedio de

la aproximación implícita y la aproximación explícita. Considérese la Ecuación 3.1

El esquema de Crank-Nicholson aproxima esta ecuación en el punto

+

21n ,i ,

tal como se ilustra en la Figura 3.12 . Es decir,

Simulación de Yacimientos I 30

Fig. 3.12 – Esquema del método de Crack-Nicholson

Central

i

n

i2

21n

i2

2

tP

xP

21

xP

21

∂∂

=

∂∂⋅+

∂∂⋅

+

(3.36)

de donde:

( ) ( )

∆⋅

−=

∆

+⋅−⋅+

∆

+⋅−⋅

+−+

+−

+++

2t2

PPx

PP2P21

xPP2P

21 n

i1n

i2

n1i

ni

n1i

2

1n1i

1ni

1n1i

o bien,

( ) ( ) t

PPx

PP2P21

xPP2P

21 n

i1n

i2

n1i

ni

n1i

2

1n1i

1ni

1n1i

∆

−=

∆

+⋅−⋅+

∆

+⋅−⋅

+−+

+−

+++ (3.37)

Obsérvese que la expansión numérica de la derivada de la presión con respecto al

tiempo, proviene de una aproximación central y, en consecuencia, puede ser

escrita como:

21

n

i3

3

2

1ni

1ni

tP

62

t

2t2

PPtP

+−+

∂∂⋅

∆

−

∆⋅

−=

∂∂ (3.38)

Llevando las Ecuaciones 3.1 y 3.37 a la definición de error de truncamiento,

Ecuación 3.34, se tiene:

t n + 1

t nXiXi – 1 Xi + 1

( Xi , t n + ½ )

Simulación de Yacimientos I 31

( ) ( )

∆

−−

∆

+⋅−⋅+

∆

+⋅−⋅−

∂∂

−∂∂

=ε+

−++

−++

+

tPP

xPP2P

21

xPP2P

21

tp

xp n

i1n

i2

n1i

ni

n1i

2

1n1i

1ni

1n1i

2

2

T (3.39)

Reemplazando las Ecuaciones 3.22 y 3.38 en la Ecuación 3.39, se tiene:

( )( )

( )

( )

( ) ( )

∆

−−

∆

+⋅−⋅+

∆

+⋅−⋅−

−

∂∂⋅

∆

+

∆⋅

−−−

∂∂⋅

∆⋅−

∆

+⋅−⋅+

−

∂∂⋅

∆⋅−

∆

+⋅−⋅=ε

+−+

+−

+++

++

−++

−++

+

tPP

x

PP2P21

xPP2P

21

tP

62

t

2t2

PPxP

12x

21

xPP2P

21

xP

12x

21

xPP2P

21

ni

1ni

2

n1i

ni

n1i

2

1n1i

1ni

1n1i

21

n

i3

3

2

ni

1ni

i4

42

2

n1i

ni

n1i

i4

42

2

1n1i

1ni

1n1i

T

LL

L

de donde:

( ) ( )L+

∂∂⋅

∆

+

∂∂⋅

∆−

∂∂⋅

∆−=ε

++21

n

i3

3

2n

i4

421n

i4

42

T tP

62

t

xP

24x

xP

24x

o bien:

( ) ( )[ ]22T txO ∆+∆=ε (3.40)

Al comparar las Ecuaciones 3.35 y 3.40, se infiere que el esquema de Crank-

Nicholson es más aproximado que los esquemas implícito y explícito.

Simulación de Yacimientos I 32

3.5.2 Estabilidad

El análisis de estabilidad es un procedimiento a través del cual es posible

determinar si el error obtenido en un punto (bloque) de la malla, en un momento

determinado, disminuye o aumenta al incrementar el tiempo. Si el error disminuye,

se dice que la aproximación es ESTABLE; si aumenta, se dice que es

INESTABLE. Si el error disminuye únicamente bajo ciertas circunstancias, se dice

que es CONDICIONALMENTE ESTABLE. Para que las presiones obtenidas de la

aplicación de un esquema numérico tengan aplicación real, se requiere que el

esquema sea estable. La Figura 3.13 ilustra la variación de presión en un punto

determinado del sistema en función del tiempo para un esquema estable y un

esquema inestable.

Fig. 3.13 – Cambio de presión en un punto del sistema en función del tiempo

A continuación se presentan dos criterios muy útiles para determinar estabilidad:

El criterio de Karplus y el Método de Von Neumann.

Nivel de tiempo, tn

n1n PPP −=∆ +

nP∆

EsquemaEstable Esquema

Inestable

Simulación de Yacimientos I 33

3.5.2.1 Criterio de Karplus

El método de Karplus no considera el efecto de condiciones de límite en el análisis

de estabilidad. El procedimiento del método puede ser resumido de la siguiente

forma:

a. La ecuación en diferencias finitas es reordenada de manera tal que tome la

siguiente forma:

( ) ( ) ( ) ( ) 0PPdPPcPPbPPa ni

1ni

ni

1ni

ni

n1i

ni

n1i =+−⋅++−⋅+−⋅+−⋅ −+

−+ LL (3.41)

b. Si todos los coeficientes a, b, c,..., d, ... son negativos, la aproximación es

estable.

c. Si algunos de los coeficientes son negativos, entonces para que la

aproximación sea estable la suma de los coeficientes debe ser menor o igual a

cero.

Debido a que los coeficientes a, b, c, ..., d, ... pueden cambiar de un nodo a otro,

el criterio debe ser aplicado a cada nodo. Un esquema determinado puede ser

estable en un nodo pero inestable en otros.

Ejemplo: Determinar si la aproximación explícita de la Ecuación 3.1 es estable.

La aproximación explícita tiene la siguiente forma, Ecuación 3.30:

( ) n1i

ni

n1i

1ni PP12PP −+

+ ⋅λ+⋅−λ⋅−⋅λ=

Paso 1:

La Ecuación 3.30, puede ser escrita como:

Simulación de Yacimientos I 34

( ) ( ) ( ) 0PPPPPP ni

1ni

ni

n1i

ni

n1i =−−−⋅λ+−⋅λ +

−+

Paso 2:

No todos los coeficientes son menores que cero.

Paso 3:

La condición requerida para estabilidad es:

( )( )

01xt2121 2 ≤−

∆∆

⋅=−λ⋅=−λ+λ

de donde:

( )( ) 2

1xt

2 ≤∆∆ (3.42)

Luego, LA APROXIMACIÓN EXPLÍCITA ES CONDICIONALMENTE ESTABLE; la

condición de estabilidad está dada por la Ecuación 3.42 .

Siguiendo un procedimiento completamente análogo es posible determinar que LA

APROXIMACIÓN IMPLICITA ES INCONDICIONALMENTE ESTABLE

3.5.2.2 Método de Von Neumman ó Análisis Armónico

La relación entre el valor exacto de presión en un punto ix , a un tiempo nt ,

( )ni t ,xp , y el valor calculado al aplicar un esquema numérico es:

Simulación de Yacimientos I 35

( ) ni

nini Pt ,xp ε+= (3.43)

Donde niε es la diferencia (error) entre el valor exacto ( )ni t ,xp y el valor

aproximado niP .

Si el error disminuye al incrementar el tiempo, los valores de presión obtenidos de

la solución exacta satisfacen el esquema numérico; por ejemplo, para el esquema

implícito se cumple:

( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

tt ,xpt ,xp

xt ,xpt ,xp2t ,xp ni1ni

21n1i1ni1n1i

∆

−=

∆

+⋅− ++−+++ (3.44)

Llevando la Ecuación 3.43 a la Ecuación 3.44, se tiene:

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )t

PPx

PP2P ni

ni

1ni

1ni

2

1n1i

1n1i

1ni

1ni

1n1i

1n1i

∆

ε+−ε+=

∆

ε++ε+⋅−ε+ +++−

+−

++++

++ (3.45)

de la misma manera para el esquema explícito se obtiene,

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )t

PPx

PP2P ni

ni

1ni

1ni

2

n1i

n1i

ni

ni

n1i

n1i

∆

ε+−ε+=

∆

ε++ε+⋅−ε+ ++−−++

restando la Ecuación 3.31 ojo, es la 3.32 de la Ecuación 3.45 se llega a:

( ) tx

2 ni

1ni

2

1n1i

1ni

1n1i

∆

ε−ε=

∆

ε+ε⋅−ε ++−

+++ (3.46)

Es decir, el error también satisface el esquema numérico de aproximación.

Una función ( )xf puede ser expandida en series de Fourier de la siguiente forma:

Simulación de Yacimientos I 36

( ) x1

kk exf ⋅β⋅−∑ ⋅γ= (3.47)

donde β es una constante.

En el punto xixx i ∆⋅== , se tiene:ojo, deberías decir qué es lambda

( ) xi1

kk exf ∆⋅⋅β⋅−∑ ⋅γ= (3.48)

Si la función expandida es la función error, ( ) nixf ε= , entonces, de la ecuación

(3.48), se tiene:

xi1

k

nk

ni e ∆⋅⋅β⋅−∑ ⋅γ=ε (3.49)

El n-‚ésimo término de esta sumatoria, al que le haremos corresponder el tiempo

nt , tiene la siguiente forma:

xi1nk

ni e ∆⋅⋅β⋅−⋅γ=ε (3.50)

El término 1n + de la sumatoria, al que haremos corresponder el tiempo 1nt + ,

tiene la siguiente forma:

xi11nk

1ni e ∆⋅⋅β⋅−++ ⋅γ=ε (3.51)

Si el error en el punto " i ", iε , disminuye al pasar de nt a 1nt + , entonces ni

1ni ε<ε + ,

de donde se tiene:

1ni

1ni ≤ε

ε +

(3.52)

Llevando las Ecuaciones 3.50 y 3.51 a la Ecuación 3.52, se tiene:

Simulación de Yacimientos I 37

1n

1n

≤γγ +

(3.53)

La relación n1n γγ + es conocida como el factor de amplificación, :

n

1n

γγ

=ν+

(3.54)

Para que un determinado esquema sea estable, se hace necesario que ν sea

menor o igual a la unidad.

Ejemplo: Aplicando el método de Von Neumman, determinar la estabilidad del

esquema explícito.

Solución:

Paso 1:

Se expresa la ecuación que representa la aproximación numérica bajo análisis en

términos del error iε en lugar de la presión P . Particularmente, para el esquema

explícito, de la Ecuación 3.46 se tiene:

( ) tx2 n

i1n

i2

n1i

ni

n1i

∆

ε−ε=

∆

ε+ε⋅−ε +−+

Paso 2:

Cada término de la ecuación anterior se sustituye por su equivalente de la

Ecuación 3.49 . En este caso, se tiene:

Simulación de Yacimientos I 38

( ) ( )

( ) tee

xee2e xi1nxi11n

2

x1i1nxi1nx1i1n

∆⋅γ−⋅γ

=∆

⋅γ+⋅γ⋅−⋅γ ∆⋅⋅β⋅−∆⋅⋅β⋅−+∆⋅−⋅β⋅−∆⋅⋅β⋅−∆⋅+⋅β⋅−

O bien:

( )[ ]

xi1nxi11n

x1xi1nxi1nx1xi1n2

ee

eee2eext

∆⋅⋅β⋅−∆⋅⋅β⋅−+

∆⋅β⋅−−∆⋅⋅β⋅−∆⋅⋅β⋅−∆⋅β⋅−∆⋅⋅β⋅−

⋅γ−⋅γ

=⋅⋅γ+⋅γ⋅−⋅⋅γ⋅∆∆

( )[ ] n1nx1nnx1n

2 e2ext

γ−γ=⋅γ+γ⋅−⋅γ⋅∆∆ +∆⋅β⋅−−∆⋅β⋅−

De donde,

( )[ ]x1x1

2n

1n

e2ext1 ∆⋅β⋅−−∆⋅β⋅−

+

+−⋅∆∆

+=γγ

De trigonometría:

θ⋅−−θ=

θ⋅−+θ=θ⋅−−

θ⋅−

sen1cose

sen1cose1

1

Luego, haciendo x∆⋅β=θ ,

( )[ ]θ⋅−−θ+−θ⋅−+θ⋅

∆∆

+=γγ +

sen1cos2sen1cosxt1 2n

1n

( )[ ]2cos21 2 −⋅⋅

∆∆

+= θxt

( )[ ]1cos21 2 −⋅

∆∆

⋅+= θxt

Simulación de Yacimientos I 39

De acuerdo al criterio de Von Neumman, para que el esquema sea estable, se

debe cumplir que:

1n

1n

≤γγ

=ν+

es decir,

( )[ ] 1cos1

xt21 2 ≤θ−⋅

∆∆

⋅−

Lo que se cumple solamente si:

( )[ ] 1cos1

xt211 2 ≤θ−⋅

∆∆

⋅−≤−

La solución a esta la desigualdad estará dada por aquellos valores de ( )2xt ∆∆

que cumplan ambos lados de la desigualdad. Debido a que 1cos1 ≤θ≤− el lado

derecho siempre se cumple. En cuanto al lado izquierdo, se tiene:

( )( )θ−⋅

∆∆

⋅−≤− cos1xt211 2

( )( )θ−⋅

∆∆

⋅−≤− cos1xt22 2

( )( )θ−⋅

∆∆

≥ cos1xt1 2

( ) θ−≤

∆∆

cos11

xt

2

Simulación de Yacimientos I 40

El valor mínimo de la expresión [ ]θ− cos11 se obtiene para 1cos −=θ , en

cuyo caso [ ] 21cos11 =θ− . Por tanto, el esquema será estable siempre y

cuando:

( ) 2

1xt

2 ≤∆∆ (3.55)

Este resultado corrobora el resultado del ejemplo anterior: LA APROXIMACIÓN

EXPLÍCITA ES CONDICIONALMENTE ESTABLE; la condición está dada por la

Ecuación 3.55.

Si se procede en forma análoga para el análisis de estabilidad del esquema

implícito, se obtendrá que‚ éste es incondicionalmente estable (se deja al lector

como ejercicio).

Debido a que el esquema implícito es incondicionalmente estable, éste suele ser

preferido en Simulación de Yacimientos.

3.5.3 Convergencia

Supóngase que la función ( )xp es la solución exacta de la Ecuación 3.1 y que niP

es la solución en diferencias finitas. Se dice que la aproximación numérica

utilizada para el cálculo de niP es CONVERGENTE si n

iP tiende a ( )ni t ,xp ,

cuando x∆ y t∆ tienden a cero.

Obsérvese que la convergencia concierne al error ( )nini t ,xpP − al tiempo nt , en

un punto determinado de la malla, mientras que la estabilidad tiene que ver con la

propagación (incremento) del error en un punto determinado al incrementar el

tiempo. La estabilidad es un criterio de mayor peso que la convergencia. En

general, estabilidad y consistencia implican convergencia.

Simulación de Yacimientos I 41

En Simulación de Yacimientos, no se suele conocer la solución exacta de la

ecuación diferencial de flujo. Por esta razón, la forma de analizar convergencia de

un esquema numérico, consiste en dar solución numérica a la ecuación para

varios valores de x∆ y t∆ . Si las soluciones para valores sucesivamente menores

de x∆ y t∆ tienden a un cierto valor constante, con cierta tolerancia, se puede

concluir convergencia del esquema numérico.

3.5.4 Consistencia o Compactibilidad

Se dice que un esquema numérico es consistente, si la ecuación en diferencias

finitas tiende a la ecuación diferencial cuando x∆ y t∆ tienden a cero.

Dada la definición de error de truncamiento, Ecuación 3.34, un esquema es

consistente si su error de truncamiento tiende a cero, cuando sus diferencias

finitas, x∆ y t∆ , por ejemplo, tienden a cero.

Ejemplo: Determinar si la aproximación explícita es consistente.

El error de truncamiento para la aproximación explícita está dado por la Ecuación

3.35,

( )L+

∂∂⋅

∆−

∂∂⋅

∆−=ε

i2

2

i4

42

T tP

2t

xP

12x

si x∆ y t∆ tienden a cero, Tε tiende a cero; luego este esquema es

consistente.

Simulación de Yacimientos I 42

BIBLIOGRAFIA

1. Osorio, Gildardo. “Conceptos básicos sobre aproximación de ecuaciones

diferenciales a diferencias finitas”. Notas de simulación de yacimientos,

Maestría en Hidrocarburos. Febrero de 2002

2. Azis, K and Settari A. “Petroleum Reservoir Simulation”. Elsevier Applied

Science Publishers

3. Peaceman, Donald. “Fundamentals of Numerical Reservoir Simulation”.

Elsevier Scientific Publishing Company.

4. Thomas, G. W. “Principles of Hydrocarbon Reservoir Simulation”. International

Human Resources Development Corporation.

Simulación de Yacimientos I 1

4. FLUJO LINEAL DE UN FLUIDO INCOMPRESIBLE

El capítulo 3 ha sido dedicado a la discusión de los fundamentos que permiten

aproximar una ecuación diferencial parcial a diferencias finitas. A través de todo el

capitulo, se trabajó con una ecuación diferencial de flujo sencilla con la finalidad de

ilustrar la aplicación de los conceptos básicos.

Este capítulo se dedica a la aplicación de los conceptos presentados en el capítulo

3 al flujo lineal de un fluido incompresible a través de un medio poroso. A

diferencia del capítulo anterior, las ecuaciones diferenciales utilizadas

corresponden a ecuaciones de flujo que describen en forma más real los procesos

que ocurren en el sistema.

4.1 PLANTEAMIENTO DEL MODELO NUMÉRICO BÁSICO

La ecuación de continuidad para flujo monofásico en una dirección está dada por

la siguiente ecuación:

( ) q~t

pkα+

∂ρφ∂

α=

∇

µαρ⋅∇

la cual , para flujo lineal toma la siguiente forma:

( ) ( ) ( ) ( )q~xAt

xAxpkxA

xx +

∂ρφ∂

=

∂∂

µρ

∂∂ (4.1)

La ecuación de estado para un fluido incompresible está dada por la Ecuación 2.8:

etantcons=ρ (2.8)

Sustituyendo la Ecuación 2.8 en la Ecuación 4.1 y considerando que la porosidad

del medio es constante con el tiempo, se obtiene:

Simulación de Yacimientos I 2

( ) ( )ρ

=

∂∂

µ∂∂ q~xA

xpkxA

xx (4.2)

Si se define a vq como el volumen de fluido que entra o sale por fuentes o

sumideros por unidad de volumen total de yacimiento por unidad de tiempo,

entonces la relación entre q~ y vq estará dada por la siguiente ecuación:

ρ=

q~qv (4.3)

Llevando la Ecuación 4.3 a la Ecuación 4.2, se obtiene:

vqAxpkA

x⋅=

∂∂⋅

µ∂∂ (4.4)

La Ecuación 4.4 es la ecuación fundamental de flujo que rige el flujo monofásico

de un fluido incompresible a través de un medio poroso lineal. Para dar solución

numérica a la Ecuación 4.4 es necesario dividir el sistema en n bloques, tal como

se ilustra en la Figura 4.1. Para fines prácticos, es necesario considerar que los

bloques son de diferente longitud y tanto el área como la permeabilidad y la

viscosidad en un bloque pueden diferir de los demás.

Debido a que el producto µkA no es el mismo para todos los bloques, no es

posible extraerlo del diferencial de la Ecuación 4.4, tal como se hace con una

constante. Debido a esta no linealidad, no se puede aplicar la aproximación para

la segunda derivada en la forma como se hace en la Ecuación 3.24.

Fig. 4.1 – Discretización lineal en bloques de diferente longitud

1 1i − i 1i + xn

1x∆ 1ix −∆ ix∆ 1ix +∆ nxx∆

Simulación de Yacimientos I 3

Considere la siguiente definición para el bloque i :

ii x

pkAU

∂∂⋅

µ= (4.5)

De esta forma, la Ecuación 4.4 puede ser escrita como:

vi qA

xU

⋅=∂∂ (4.6)

Considérese el i -ésimo bloque de un sistema lineal como el ilustrado en la Figura

4.2

Figura 2. Esquema del i-ésimo bloque de un sistema lineal.

Con ayuda de la serie de Taylor, la función ( )xU puede expandirse en torno a un

punto a mediante la siguiente expresión:

( )∑∞

=

−=

0n

n)n(

!nax)a(U)x(U (4.7)

Si el punto en torno al cual se expande la función ( )xU es ixa = y la función se

evalúa en el punto 2xxxx i

ii 21

∆−== − , entonces

2xax i∆

−=− y de la Ecuación

4.7 se obtiene:

Simulación de Yacimientos I 4

L+

∆−

′′′+

∆−

′′+

∆−

′+=−

3ii

2iiii

ii 2x

!3U

2x

!2U

2x

!1UUU

21

L+

∆′′′

−

∆′′

+

∆′

−=−

3ii

2iiii

ii 2x

!3U

2x

!2U

2x

!1UUU

21 ......................................... (4.8)

Si la función se evalúa en punto 2xxxx i

ii 21

∆+== + , en lugar de

21ixx −= ,

entonces 2xax i∆

=− y de la Ecuación 4.7 se obtiene:

L+

∆′′′

+

∆′′

+

∆′

+=+

3ii

2iiii

i2

1i 2x

!3U

2x

!2U

2x

!1UUU ..................................... (4.9)

Restando la Ecuación 4.8 de la Ecuación 4.9, se obtiene:

K+

∆′′′

+

∆′=− −+

3iii

i2

1i21i 2

x!3

U2

2xU2UU

Resolviendo para iU′ se tiene:

( ) ci

i

21i2

1i2ii

i

21i2

1ii R

x

UU

4x

!3U

x

UUU +

∆

−=−

∆′′′−

∆

−=′

−+−+K

Por consiguiente:

i

21i2

1ii x

UUU

∆

−≅′

−+ ..................................................................................... (4.10)

El error de truncamiento de la Ecuación 4.10 es de segundo orden:

( )K+

∆′′′−=

4x

!3UR

2iic

i

Sustituyendo la Ecuación 4.5 en la Ecuación 4.10, se obtiene:

Simulación de Yacimientos I 5

i

21i2

1i

i x

xpAk

xpAk

xpkA

x ∆

∂∂⋅

µ⋅

−

∂∂⋅

µ⋅

≅

∂∂⋅

µ∂∂ −+

Por conveniencia, la ecuación anterior suele ser escrita de la siguiente forma:

i

21i2

1i21i2

1i

i x

xpkA

xpkA

xpkA

x ∆

∂∂

µ

−

∂∂

µ

≅

∂∂⋅

µ∂∂ −−++

.............................. (4.11)

4.1.1 Evaluación del término 2

1ixp

+

∂∂ . Con ayuda de la serie de Taylor, la

función ( )xP puede ser expandida entorno al punto a mediante la siguiente serie

infinita:

( )( )∑

∞

=−

∂∂

=0n

n

n

ax!n

axp

)x(p ...................................................................... (4.12)

Si el punto a en torno al cual se expande la función ( )xp es 2xxxa i

i2

1i∆

+== + y

se evalúa la función en ixx = , entonces 2xax i∆

−=− y de la Ecuación 4.12 se

obtiene:

L+

∆

∂

∂−

∆

∂

∂+

∆

∂∂

−=+++

+

3i

i3

32i

i2

2i

iii 2

x!3

1xp

2x

!21

xp

2x

xpPP

21

212

121 (4.13)

Simulación de Yacimientos I 6

Si de nuevo se expande la función ( )xp en torno al punto 2xxxa i

ii 21

∆+== + y se

evalúa la función en 2x

2xxxx 1ii

i1i+

+∆

+∆

+== , entonces 2xax 1i+∆

=− y de la

Ecuación 4.12 se obtiene:

L+

∆

∂

∂+

∆

∂

∂+

∆

∂∂

+= +

+

+

+

+

+++

31i

i3

321i

i2

21i

ii1i 2

xxp

!31

2x

xp

!21

2x

xp

!11PP

21

212

121

(4.14)

Restando la Ecuación 4.13 de la Ecuación 4.14 se obtiene:

L+

∆−

∆

∂

∂+

∆

+∆

∂∂

=− +

+

+

++

2i

21i

i2

2i1i

ii1i 2

x2x

xp

21

2x

2x

xpPP

212

1

L+

∆

+∆

∆

−∆

∂

∂+

∆

+∆

∂∂

=− ++

+

+

++ 2

x2x

2x

2x

xp

21

2x

2x

xpPP i1ii1i

i2

2i1i

ii1i

212

1

Resolviendo para 2

1ixp

+

∂∂ se obtiene:

( ) ( ) 21i

i1i

i1ii1i

i2

2

i1i

i1i

iR

xx21

PP2

xxxp

21

xx21

PPxp

212

1+

+

++

++

+

++

∆+∆

−=+

∆−∆

∂

∂−

∆+∆

−=

∂∂

L

(4.15)

Donde el término 2

1iR + es el error de truncamiento de 2

1ixp

+

∂∂ definido de la

siguiente forma:

L+

∆−∆

∂

∂−= +

++ 2

xxxp

21R i1i

i2

2

21i

21

Simulación de Yacimientos I 7

La Ecuación 4.15 conlleva a la siguiente aproximación:

( )i1i

i1i

i xx21

PPxp

21 ∆+∆

−≅

∂∂

+

+

+..................................................................................(4.16)

4.1.2 Evaluación del término 2

1ixp

−

∂∂ . Si la serie de Taylor en la Ecuación 4.12

se expande en torno al punto 2xxxa i

ii 21

∆−== − y la función ( )xp se evalúa en el

punto 2x

2xxxx 1ii

i1i−

−∆

−∆

−== (Figura 4.3),

Figura 4.3 Esquema que indica los limites 2/1i ±

entonces 2xax 1i−∆

−=− y de la Ecuación 4.12 se puede escribir:

L+

∆−

∂

∂+

∆−

∂

∂+

∆−

∂∂

+= −

−

−

−

−

−−−

31i

i3

321i

i2

21i

ii1i 2

xxp

!31

2x

xp

!21

2x

xpPP

21

212

121

(4.17)

Si de nuevo se expande la función ( )xp en torno al punto 2xxxa i

ii 21

∆−== − y se

evalúa en el punto ixx = , entonces 2xax i∆

=− y de la Ecuación se obtiene:

21i − 2

1i +

1i − i 1i +

ix∆1ix −∆ 1ix +∆

21i − 2

1i +

1i − i 1i +

ix∆1ix −∆ 1ix +∆

Simulación de Yacimientos I 8

L+

∆

∂

∂+

∆

∂

∂+

∆

∂∂

+=−−−

−

3i

i3

32i

i2

2i

iii 2

xxp

!31

2x

xp

!21

2x

xpPP

21

212

121 (4.18)

Restando la Ecuación 4.17 de la Ecuación 4.18 se tiene:

L+

∆

∂

∂−

∆

∂

∂+

∆

∂∂

+

∆

∂∂

=− −

−−

−

−−−

21i

i2

22i

i2

21i

i

i

i1ii 2

xxp

21

2x

xp

21

2x

xp

2x

xpPP

21

212

12

1

L+

∆

−∆

∆

+∆

∂

∂+

∆

+∆

∂∂

=− −−

−

−

−− 2

x2x

2x

2x

xp

21

2x

2x

xpPP 1ii1ii

i2

21ii

i1ii

212

1

Resolviendo para 2

1ixp

−

∂∂ se obtiene:

( ) ( ) 21i

1ii

1ii1ii

i2

2

1ii

1ii

iR

xx21

PP2

xxxp

21

xx21

PPxp

212

1−

−

−−

−−

−

−+

∆+∆

−=+

∆−∆

∂

∂−

∆+∆

−=

∂∂

L

................................................................................................................... (4.19)

Donde el término 2

1iR − es el error de truncamiento para la aproximación de

21ix

p

−

∂∂ definido de la siguiente forma:

L+

∆−∆

∂

∂−= −

−+ 2

xxxp

21R 1ii

i2

2

21i

21

La Ecuación 4.19 conlleva la siguiente aproximación:

( )1ii

1ii

i xx21

PPxp

21

−

−

− ∆+∆

−≅

∂∂ ............................................................................ (4.20)

Llevando las Ecuaciones 4.16 y 4.20 a la Ecuación 4.11, se obtiene:

Simulación de Yacimientos I 9

( )( )

( )( )

i

1ii

1ii

ii1i

i1i

i

i x

xxPP2kA

xxPP2kA

xpkA

x2

12

1

∆

∆+∆−

µ

−∆+∆−

µ

≅

∂∂⋅

µ∂∂ −

−

−+

+

+ ..................... (4.21)

Existen varias formas para evaluar numéricamente los términos 2

1i

kA

+

µ

y

21i

kA

−

µ

en la Ecuación 4.21. El concepto de transmisibilidad es el método más

ampliamente aplicado.

4.1.3 El Concepto de Transmisibilidad. En general, se conoce como

transmisibilidad al término que multiplica la caída de presión en una ecuación de

flujo. Por consiguiente, la transmisibilidad da una idea acerca de la facilidad del

medio para permitir el flujo de fluidos a través de él y de la facilidad del fluido para

desplazarse a través del medio.

Considérese el esquema ilustrado en la Figura 4.4

Fig. 4.4 – Nomenclatura utilizada en la definición del concepto de transmisibilidad

De la ley de Darcy, la tasa de flujo desde el punto xi al punto x i+1/2 está dado por:

1i − i 1i +

21i − 2

1i +

1ix −∆ ix∆ 1ix +∆

2x 1i−∆

2x 1i−∆

2xi∆

2xi∆

2x 1i+∆

2x 1i+∆

Simulación de Yacimientos I 10

∆

−

µ

−=+

+ 2x

PPkAqi

ii

ii,i

21

21

Por lo anterior,

i

ii,iii kA2

xqPP 2

1

21

µ

∆⋅=−

++ .................................................................................. (4.22)

Similarmente, la tasa de flujo desde el punto 2

1ix + al punto 1ix + será:

∆

−

µ

−=+

++

+++ 2x

PPkAq1i

i1i

1i1i,i

21

21

Por tanto,

1i

1i1i,i1ii kA2

xqPP 2

1

21

+

+++++

µ

∆⋅=− ......................................................................... (4.23)

Sumando las Ecuaciones 4.22 y 4.23, se obtiene:

µ

∆+

µ

∆=−

+

++

1i

1i

i

i1ii kA2

xkA2

xqPP ............................................................. (4.24)

En la Ecuación 4.24 se asume que qqq 1i,ii,i 21

21 == +++ . La Ecuación 4.24 puede

ser escrita de la siguiente forma:

∆µ+∆µ=−

++

+++++

1i1iii

ii1i1i1i1iii1ii AkAk

AkxAkx2qPP

Solucionando para q , se obtiene:

Simulación de Yacimientos I 11

( )1iiii1i1i1i1iii

1i1iii PPAkxAkx

AkAk2q +++++

++ −⋅

∆µ+∆µ

= ................................................. (4.25)

De acuerdo a la definición de transmisibilidad, y notando a la transmisibilidad entre

el punto i y el punto 1+i como 2

1iT + , la rata de flujo del punto i al punto 1+i

estará dada por:

( )1iii PPTq2

1 ++ −⋅= ....................................................................................... (4.26)

De las Ecuaciones 4.25 y 4.26 se obtiene:

∆µ+∆µ

=++++

+++

ii1i1i1i1iii

1i1iiii AkxAkx

AkAk2T2

1 ........................................................... (4.27)

De otro lado, de la ley de Darcy, el flujo entre los puntos i e 1i + también puede

ser escrito como:

( )( ) 2xx

PPkAq1ii

1ii

i 21 +

+

+ ∆+∆−

⋅

µ

= ....................................................................... (4.28)

Comparando las Ecuaciones 4.26 y 4.28, se concluye que otra expresión para la

transmisibilidad entre los puntos i e 1i + es:

( )2

12

1

i1iii

kAxx

2T++

+

µ∆+∆

= ....................................................................... (4.29)

Siguiendo un procedimiento análogo al seguido en la deducción de las Ecuaciones

4.27 y 4.29, es posible obtener las siguientes dos expresiones para expresar la

transmisibilidad entre los puntos 1i − e i :

∆µ+∆µ

=−−−−

−−−

1i1iiiii1i1i

ii1i1ii AkxAkx

AkAk2T2

1 ........................................................... (4.30)

Simulación de Yacimientos I 12

( )2

12

1

ii1ii

kAxx

2T−−

−

µ∆+∆

= ...................................................................... (4.31)

Llevando las Ecuaciones 4.29 y 4.31 a la Ecuación 4.21, se obtiene:

( ) ( )i

1iiii1ii

i x

PPTPPT

xpkA

x2

12

1

∆

−−−≅

∂∂⋅

µ∂∂ −−++

.................... (4.32)

Finalmente, sustituyendo la Ecuación 4.32 en la Ecuación 4.4, se obtiene:

( ) ( )vii

i

1iiii1ii qAx

PPTPPT2

12

1⋅=

∆

−−− −−++

( ) ( ) iv1iiii1ii QPPTPPT2

12

1 =−−− −−++ ............................................................. (4.33)

En la Ecuación 4.33, iiviiv xAqQ ∆= es la tasa de producción (en cuyo caso viQ es

positivo) o inyección (en cuyo caso viQ es negativo) en el bloque i .

La Ecuación 4.33 puede ser reordenada de la siguiente forma:

( ) iv1iiiii1ii QPTPTTPT2

12

12

12

1 =++− −−−+++ .................................................... (4.34)

La Ecuación 4.34 constituye el modelo numérico utilizado para simular el flujo de

un fluido monofásico, incompresible, a través de un sistema poroso lineal. La

evaluación de esta ecuación en cada bloque i del modelo ( xn ... 1i = ), genera un

sistema de ecuaciones cuya solución simultánea permite estimar la distribución de

presiones del sistema para determinados valores de ratas de producción o

inyección, ivQ . Obsérvese que si en el bloque i no hay pozos, el término ivQ se

hace igual a cero en la ecuación correspondiente a dicho bloque.

Simulación de Yacimientos I 13

4.2 DISCRETIZACIÓN DE LAS CONDICIONES DE LÍMITE EXTERNO

Un yacimiento permanece en equilibrio a menos que se introduzca algún tipo de

disturbio en el sistema. Este disturbio se introduce a través de los límites del

yacimiento. En general, existen dos tipos de límites de yacimiento: internos y

externos.

Los límites internos hacen referencia a la interacción del yacimiento con los pozos

y dan origen a las condiciones de límite interno. Al tratamiento de las condiciones

de límite interno se le conoce como modelamiento de pozos en simulación

numérica de yacimientos.

Las condiciones de límite externo hacen referencia a la forma como el yacimiento

interactúa con sus alrededores. En general existen dos tipos de condiciones de

límite externo: Dirichlet y Neumann.

4.2.1 Discretización de Condiciones de Límite Tipo Dirichlet. En una

condición tipo Dirichlet se especifica la variable dependiente en los límites

externos del sistema. En el caso de la Ecuación 4.4, las condiciones de límite tipo

Dirichlet consisten en especificar la presión de poro en los límites 0x = y Lx = ,

donde L representa la longitud del sistema. Analíticamente,

( ) ( )tP0P cero= ............................................................................................ (4.35)

( ) ( )tPLP L= ................................................................................................ (4.36)

Un caso particular de las Ecuaciones 4.35 y 4.36 ocurre cuando ( )tPcero y ( )tPL

son constantes e iguales a ceroP y LP , respectivamente. Sin pérdida de

generalidad, este será el caso asumido de aquí en adelante.

Simulación de Yacimientos I 14

Fig. 4.5 - Malla de bloque centrado en una dirección indicando los diferentes tipos de puntos o celdas.

La Figura 4.5 ilustra un sistema lineal discretizado el cual incluye tres tipos de

puntos o celdas: (i) puntos o celdas interiores (rotulados como 1 , … 1i − , i , 1i +

… xn ), (ii) puntos o celdas fantasmas (rotulados como 0 y 1nx + ), y (iii) puntos o

celdas ficticios (rotulados como 1− y 2nx + ). Los puntos interiores hacen

referencia a puntos localizados dentro del dominio físico real del sistema. Los

puntos fantasmas son puntos que identifican celdas adyacentes a los límites

externos del sistema y son utilizados para la discretización de las condiciones de

límite externo. Los puntos ficticios son puntos que identifican celdas que se

adicionan a los lados de las celdas fantasmas y son utilizadas por conveniencia en

programación y eficiencia computacional. Obsérvese que la condición de límite

externa izquierda se aplica en las interfase que une el bloque fantasma 0 y el

primer bloque interior. Así mismo, la condición de límite externa derecha se aplica

en las interfase que une el último bloque interior y el bloque fantasma 1nx + .

Por tratarse de una malla de bloque centrado, el punto de aplicación de las

condiciones de límite tipo Dirichlet no coincide con la ubicación de ninguno de los

nodos o puntos discretos. Por tal motivo, las condiciones de límite tipo Dirichlet se

suelen discretizar aplicando promedios de las variables discretas en los bloques

0 11− 1i − i 1i + xn 1nx + 2nx +

0x = Lx =

( ) ceroP0P = ( ) LPLP =

Celda interior

Celda fantasma

Celda ficticia

Simulación de Yacimientos I 15

adyacentes a la interfase que representa el límite externo. Por ejemplo, para el

sistema ilustrado en la Figura 4.5, la condición en 0x = se discretiza de la

siguiente forma:

cero10 P

2PP

=+

O bien,

cero10 P2PP =+ ......................................................................................... (4.37)

En forma análoga, la condición en Lx = se discretiza de la siguiente forma:

L1nxnx P2PP =+ + ....................................................................................... (4.38)

Obsérvese que la discretización de las condiciones de límite adiciona dos nuevas

incógnitas al sistema de ecuaciones representado por la Ecuación 4.34 ( oP y

1nxP + ) lo que hace necesario el planteamiento de dos ecuaciones adicionales

(Ecuaciones 4.37 y 4.38).

4.2.2 Discretización de Condiciones de Límite Tipo Neumann. En una

condición tipo Neumann se especifica la rata de flujo a través de la frontera del

yacimiento. En el caso de la Ecuación 4.4, una condición Neumann en el límite

0x = puede expresarse de la siguiente forma:

( ) cero0x

0x qxpkAq =

∂∂

µ=

== ...................................................................... (4.38)

En la Ecuación 4.38, ceroq es un valor conocido. La Ecuación 4.38 puede ser

escrita de la siguiente forma:

kAq

xp cero

0x

µ=

∂∂

= ...................................................................................... (4.39)

Simulación de Yacimientos I 16

En el caso de un sistema cerrado, no existe flujo a través de sus límites externos

y, en consecuencia, 0qcero = . En este caso la Ecuación 4.39 toma la siguiente

forma:

0xp

0x=

∂∂

= (4.40)

Análogamente, en el caso general, una condición Neumann en el límite Lx =

puede expresarse de la siguiente forma:

kAq

xp L

Lx

µ=

∂∂

= .......................................................................................... (4.41)

En la Ecuación 4.41, Lq es un valor conocido. En particular, para un sistema

cerrado, la Ecuación 4.41 toma la siguiente forma:

0xp

Lx=

∂∂

= .............................................................................................. (4.42)

Para una malla de bloque centrado, las condiciones de límite tipo Neumann se

suelen discretizar calculando el gradiente entre los puntos discretos adyacentes a

la interfase que representa el límite externo. Por ejemplo, para el sistema ilustrado

en la Figura 4.5, una condición tipo Neumann, Ecuación 4.41, en 0x = se

discretiza de la siguiente forma:

kAq

xxPP cero

01

01 µ=

−−

O bien,

( )01cero

01 xxkA

qPP −

µ=− .......................................................................... (4.43)

En particular, para un sistema cerrado, la Ecuación 4.43 toma la siguiente forma:

Simulación de Yacimientos I 17

0PP 01 =− ................................................................................................ (4.44)

En Lx = , la forma discretizada de las Ecuaciones 4.41 y 4.42 toma la siguiente

forma:

kAq

xxPP L

nx1nx

nx1nx µ=

−−

+

+

O bien,

( )nx1nxL

nx1nx xxkAq

PP −µ

=− ++ ................................................................. (4.45)

En particular, para un sistema cerrado, la Ecuación 4.45 toma la siguiente forma:

0PP nx1nx =−+ .......................................................................................... (4.46)

Al igual que el caso de las condiciones de límite tipo Dirichlet, la discretización de

las condiciones de límite tipo Neumann adiciona dos nuevas incógnitas al sistema

de ecuaciones representado por la Ecuación 4.34. Estas dos nuevas incógnitas

son 0P y 1nxP + . Este hecho hace necesario el planteamiento de dos ecuaciones

adicionales (Ecuación 4.43 o 4.44, para 0=x , y Ecuación 4.45 o 4.46, para

Lx = ).

4.3 EL CONCEPTO DE STENCILS

El concepto de stencil permite expresar los modelos numéricos en forma

generalizada. Con la finalidad de ilustrar el concepto de stencil, considérese un

sistema lineal, abierto, conformado por xn celdas, cada una de las cuales tiene sus

propias características (permeabilidad, área, longitud, etc.), tal como se ilustra en

Simulación de Yacimientos I 18

la Figura 4.5. Al aplicar la Ecuación 4.34 a cada celda se genera el siguiente

sistema de xn ecuaciones:

• Para 1i = :

( ) 1v210 QPTPTTPT2

32

32

12

1 =++− ............................................................. (4.47)

La Ecuación 4.47 conecta el nodo 1 con los nodos 0 y 2 a través de los lados

Oeste y Este, respectivamente. Esta conexión se suele expresar en forma general

expresando la Ecuación 4.47 de la siguiente forma:

1211101 FPEPCPW =++ .............................................................................. (4.48)

En la Ecuación 4.48, W , C y E representan las orientaciones Oeste, Central y

Este, respectivamente, F indica término independiente y el subíndice 1 de W , C

y E indica que se trata de la ecuación para el nodo o celda 1 . Al comparar las

Ecuaciones 4.47 y 4.48 es evidente que 2

11 TW = ,

+−=

23

211 TTC ,

231 TE =

y 1vQF = .

• Para 2i = :

( ) 2v321 QPTPTTPT2

52

52

32

3 =++− ............................................................. (4.49)

O bien,

2322212 FPEPCPW =++ ........................................................................... (4.50)

• Para 3i = :

( ) 3v432 QPTPTTPT2

72

72

52

5 =++− ........................................................... (4.51)

O bien,

3433323 FPEPCPW =++ .......................................................................... (4.52)

Simulación de Yacimientos I 19

• En general, para ii = :

( ) iv1iiiii1ii QPTPTTPT2

12

12

12

1 =++− +++−−− .................................................. (4.53)

O bien,

i1iiii1ii FPEPCPW =++ +− ............................................................................. (4.54)

• Finalmente, para xni = :

( ) nv1nnnnn1nn QPTPTTPT2

12

12

12

1 =++− +++−−− .......................................... (4.55)

O bien,

nx1nxnxnxnx1nxnx FPEPCPW =++ +− ........................................................... (4.56)

Las Ecuaciones 4.47 a 4.56 representan un sistema de xn ecuaciones con 2nx +

incógnitas. Por consiguiente, se requiere de dos ecuaciones adicionales para que

el sistema esté matemáticamente bien planteado. Estas dos ecuaciones

adicionales se obtienen de las condiciones de límite en 0=x y Lx = . La

condición en 0=x puede ser escrita, en forma de stencil, de la siguiente forma:

0100010 FPEPCPW =++− .......................................................................... (4.57)

La Ecuación 4.57 toma la forma general de los stencils de las ecuaciones en las

celdas interiores. Obsérvese, sin embargo, que en la Ecuación 4.57 siempre se

cumple que 0W0 = . Adicionalmente, 1P− hace referencia a la presión en el

bloque ficticio de la izquierda. Los valores que toman las componentes 0C , 0E y

0F dependen de las condiciones de límite en 0=x . Para condiciones tipo

Dirichlet, Ecuación 4.37, 1C0 = , 1E0 = y cero0 P2F = . Para condiciones de tipo

Neumann, Ecuación 4.43, 1C0 −= , 1E0 = y ( )01cero

0 xxkA

qF −

µ= .

Simulación de Yacimientos I 20

La condición en Lx = puede ser escrita de la siguiente forma:

|1nx2nx1nx1nx1nxnx1nx FPEPCPW ++++++ =++ ................................................ (4.58)

En la Ecuación 4.58 siempre se cumple que 0E 1nx =+ . Adicionalmente, 2nxP +

hace referencia a la presión en el bloque ficticio de la derecha. Los valores que

toman las componentes 1nxW + , 1nxC + y 1nxF + dependen de las condiciones de

límite en Lx = . Para condiciones tipo Dirichlet, Ecuación 4.38, 1W 1nx =+ ,

1C 1nx =+ y L1nx P2F =+ . Para condiciones de tipo Neumann, Ecuación 4.45,

1W 1nx −=+ , 1C 1nx =+ , y ( )nx1nxL

1nx xxkAq

F −µ

= ++ .

El sistema de Ecuaciones 4.47 a 4.58 puede ser escrito en forma matricial como

se ilustra en la Figura 4.6, donde la matriz de coeficientes está compuesta por las

transmisibilidades, 2

1iT− y 2

1iT + , el vector de incógnitas está formado por las

presiones, iP , y el vector de términos independientes por las tasas de producción

o inyección en cada bloque, ivQ .

Fig. 4.6 – Matriz de coeficientes de un sistema de ecuaciones tridiagonal. (Simulador de un sistema lineal). Los coeficientes son escritos en términos de las componentes del stencil.

=

++++ 1nx

nx

2

1

0

1nx

nx

2

1

0

1nx1nx

nxnxnx

333

222

111

00

FF

FFF

PP

PPP

CWECW

ECWECW

ECWEC

M

M

M

M

OOO

Simulación de Yacimientos I 21

Con lo cual se puede concluir que la matriz generada por el modelo numérico de

un sistema lineal (1D) es una matriz tridiagonal.

Un sistema tridiagonal de n ecuaciones con n incógnitas admite algoritmos

especiales que conllevan a una solución más rápida que un sistema no tridiagonal

de ecuaciones, como es el caso del Algoritmo de Thomas.

Simulación de Yacimientos I 1

5. FLUJO BIDIMENSIONAL DE UN FLUIDO INCOMPRESIBLE

Este capítulo se dedica a discutir los conceptos relacionados con la simulación del

flujo en dos direcciones de un fluido incompresible.

Inicialmente se presenta el modelo matemático, partiendo de las ecuaciones de

flujo. Luego, se plantean las aproximaciones numéricas a estas ecuaciones de

flujo. Posteriormente, se presentan algunos esquemas de ordenamiento que

facilitan su solución. Por último, se discuten los principales métodos directos e

indirectos de solución a las ecuaciones planteadas.

5.1 ECUACIÓN BÁSICA

La ecuación de continuidad para flujo en dos direcciones, en coordenadas

cartesianas, está dada por la Ecuación 2.56:

( ) ( ) ( ) q~ty

UxU yx α+

∂φρ∂

α=

∂

αρ∂+

∂αρ∂

− ..............................................................(2.56)

donde:

α = Espesor del sistema, ( )y,xH .

q~= Cantidad de masa que entra o sale (fuentes o sumideros) por unidad de

volumen del yacimiento por unidad de tiempo.

Para un fluido incompresible, se cumple que:

etantcons=ρ

Simulación de Yacimientos I 2

luego, de la Ecuación 2.56,

( ) ( )ρ

α+∂φ∂

α=

∂

α∂+

∂α∂

−q~

tyU

xU yx

Si se considera que la porosidad es constante:

( ) ( )0q~

yU

xU yx =

ρα−

∂

α∂+

∂α∂

− ............................................................................(5.1)

De la ley de Darcy (Ecuaciones 2.31 y 2.32),

xpkU x

x ∂∂

⋅µ

−= ..................................................................................................(2.31)

ypk

U yy ∂

∂⋅

µ−= ...................................................................................................(2.32)

Además, si vq se define como el volumen de fluido que entra o sale (fuentes o

sumideros) por unidad de volumen del yacimiento por unidad de tiempo, entonces:

ρ=

q~qv ................................................................................................................(5.2)

Llevando las Ecuaciones 2.31, 2.32 y 5.2 a la Ecuación 5.1, se obtiene:

0Hqypk

Hyx

pkHx v

yx =−

∂∂

⋅µ∂

∂+

∂∂

⋅µ∂

∂ ............................................................(5.3)

La Figura 5.1 presenta un sistema bidimensional de J filas por I columnas.

Supóngase que se extrae la fila j , tal como se ilustra en la figura 5.2.

Simulación de Yacimientos I 3

Figura 5.2 Fila “j” de una malla bidimensional

En este caso, de la Ecuación 4.21 se puede escribir:

( ) ( )

i

1ii

j,1ij,i

j,i

x

i1i

j,ij,1i

j,i

x

i

xx

xxPP2Hk

xxPP2Hk

xpHk

x2

12

1

∆

∆+∆

−

µ

−

∆+∆

−

µ

≅

∂∂

⋅µ∂

∂ −

−

−+

+

+............(5.4)

Fig. – 5.1 – Sistema bidimensional (J filas x I columnas)

1j1,i +− 1ji, + 1j1,i ++

j1,i − ji, j1,i +

1j1,i −− 1ji, − 1j1,i −+

Jj =

jj =

1j =

1i = ii = Ii =

L L

LL

L L

MM M

M MM

j1, j1,i − ji, j1,i + jI,

1iX −∆ iX∆ 1iX +∆

jj =

Simulación de Yacimientos I 4

Análogamente, si se fija una columna “ i ”, Figura 5.3, de la Ecuación 4.18 se tiene:

Figura 5.3 Columna “i” de una malla bidimensional

( ) ( )

j

1jj

1j,ij,i

j,i

y

j1j

j,i1j,i

j,i

y

i

y

y

yyPP2Hk

yyPP2Hk

ypHk

y2

12

1

∆

∆+∆

−

µ−

∆+∆

−

µ≅

∂∂

⋅µ∂

∂ −

−

−+

+

+.............(5.5)

EL CONCEPTO DE TRANSMISIBILIDAD EN FLUJO BIDIMENSIONAL

Al igual que en el caso de flujo lineal, en flujo bidimensional la transmisibilidad está

representada por el término que multiplica la caída de presión.

1jY +∆

jY∆

1jY −∆

j

1j −

1j +

J

2

1

ii =

1j =

Jj =

2j =

1jY +∆

jY∆

1jY −∆

j

1j −

1j +

J

2

1

ii =

1j =

Jj =

2j =

Simulación de Yacimientos I 5

Considérese el sistema bidimensional ilustrado en la Figura 5.4.

Figura 5.4 Nomenclatura utilizada en el concepto de transmisibilidad (Flujo bidimensional)

La tasa de flujo desde el punto ( )j,i al punto ( )j,i 21+ está dado por la ley de

Darcy:

∆

−

µ

=+

+ 2x

PPkAqi

j,ij,i

j,ij,i a j,i

21

21

de donde:

2x

kA

qPP i

j,i

j,i a j,ij,ij,i

21

21

∆⋅

µ

=−+

+ ...............................................................................(5.6)

Análogamente, la tasa de flujo desde punto ( )j,i 21+ al punto ( )j,1i + será :

1iX −∆ iX∆ 1iX +∆

1iX −∆ iX∆ 1iX +∆

1iX −∆ iX∆ 1iX +∆

1jY +∆

jY∆

1jY −∆

1jY +∆

jY∆

1jY −∆

1j1,i +− 1ji, + 1j1,i ++

j1,i − ji, j1,i +

1j1,i −− 1ji, − 1j1,i −+

1i − i 1i +

1j+

j

1j−

1iX −∆ iX∆ 1iX +∆

1iX −∆ iX∆ 1iX +∆

1iX −∆ iX∆ 1iX +∆

1jY +∆

jY∆

1jY −∆

1jY +∆

jY∆

1jY −∆

1j1,i +− 1ji, + 1j1,i ++

j1,i − ji, j1,i +

1j1,i −− 1ji, − 1j1,i −+

1i − i 1i +

1j+

j

1j−

Simulación de Yacimientos I 6

∆

−

µ

=+

++

+++ 2x

PPkAq1i

j,1ij,i

j,1ij,1i a j,i

21

21

o bien:

2x

kA

qPP 1i

j,1i

j,1i a j,ij,1ij,i

21

21

+

+

++++

∆⋅

µ

=−− ....................................................................(5.7)

Sumando las Ecuaciones 5.6 y 5.7, se tiene:

µ

∆+

µ

∆=−

+

++

j,1i

1i

j,i

ij,1ij,i kA2

xkA2

xqPP

µ

∆+

µ

∆=−

+

++

++

j,1i

j,1ij,1i

1i

j,i

j,ij,i

ij,1ij,i Ak

xAkx

2qPP

∆µ+∆µ=−

++

+++++

j,1ij,1ij,ij,i

1ij,1ij,ij,iij,ij,1ij,1ij,1ij,i AkAk

xAkxAk2qPP

( ) ( )j,1ij,ij,ij,i1ij,1ij,1ij,1iij,i

j,1ij,1ij,ij,i PPAkxAkx

AkAk2q +

++++

++ −⋅

∆µ+∆µ

⋅=

( )j,1ij,ij,i PPTq2

1 ++ −⋅= ........................................................................................(5.8)

donde:

Simulación de Yacimientos I 7

( )

∆µ+∆µ

⋅=

++++

+++

j,ij,i1ij,1ij,1ij,1iij,i

j,1ij,1ij,ij,ij,i AkxAkx

AkAk2T

21

( )

∆∆µ+∆∆µ

∆∆⋅=

++++

+++

jj,ij,i1ij,1ijj,1ij,1iij,i

jj,1ij,1ijj,ij,ij,i yHkxyHkx

yHkyHk2T

21

( )

∆µ+∆µ

∆⋅=

++++

+++

j,ij,i1ij,1ij,1ij,1iij,i

j,1ij,1ijj,ij,ij,i HkxHkx

HkyHk2T

21 .....................................................(5.9)

Siguiendo un procedimiento análogo, se puede obtener:

( )

∆µ+∆µ

∆⋅=

−−−−

−−−

j,ij,i1ij,1iij,ij,1ij,1i

j,1ij,1ijj,ij,ij,i HkxxHk

HkyHk2T

21 ...................................................(5.10)

( )

∆µ+∆µ

∆⋅=

++++

+++

j,ij,i1j1j,ijj,i1j,i1j,i

1j,i1j,iij,ij,ij,i HkyyHk

HkxHk2T

21 ..................................................(5.11)

( )

∆µ+∆µ

∆⋅=

−−−−

−−−

j,ij,i1j1j,ijj,i1j,i1j,i

1j,i1j,iij,ij,ij,i HkyyHk

HkxHk2T

21 ...................................................(5.12)

La tasa de flujo desde el punto ( )j,i al punto ( )j,1i + será:

( )( )1ii2

1j,1ij,i

j,i xx

PPkAq2

1 +

+

+ ∆+∆

−

µ

= .............................................................................(5.13)

Si se compara las Ecuaciones 5.8 y 5.13, se obtiene:

Simulación de Yacimientos I 8

( )1iij,ij,i xx

2kAT2

12

1++

+ ∆+∆

µ

= .........................................................................(5.14)

o bien:

( )1iij,i

jj,i xx

2ykHT

21

21

+++ ∆+∆

µ

∆=

( )1iij,ij

j,i

xx2kH

y

T

21

21

++

+

∆+∆

µ

=∆

.........................................................................(5.15)

Análogamente,

( )i1ij,ij

j,i

xx2kH

y

T

21

21

∆+∆

µ

=∆ −−

−.........................................................................(5.16)

( )1jjj,ii

j,i

yy2kH

x

T

21

21

++

+

∆+∆

µ

=∆

........................................................................(5.17)

( )j1jj,ii

j,i

yy2kH

x

T

21

21

∆+∆

µ

=∆ −−

−........................................................................(5.18)

Sustituyendo las Ecuaciones 5.15 y 5.16 en la Ecuación 5.4, se obtiene:

( ) ( )ij

j,1ij,ij,ij,ij,1ij,ixxy

PPTPPT

xpHk

x2

12

1

∆∆

−−−≅

∂∂

⋅µ∂

∂ −−++..........................................(5.19)

Sustituyendo las Ecuaciones 5.17 y 5.18 en la Ecuación 5.5, se obtiene:

( ) ( )ij

1j,ij,ij,ij,i1j,ij,ixxy

PPTPPT

ypHk

y2

12

1

∆∆

−−−≅

∂∂

⋅µ∂

∂ −−++..........................................(5.20)

Simulación de Yacimientos I 9

Finalmente, llevando las Ecuaciones 5.19 y 5.20 a la Ecuación 5.3, se obtiene:

( ) ( ) ( ) ( )0qH

xy

PPTPPT

xy

PPTPPTj,ivj,i

ij

1j,ij,ij,ij,i1j,ij,i

ij

j,1ij,ij,ij,ij,1ij,i 21

21

21

21

=−∆∆

−−−+

∆∆

−−− −−++−−++

o bien:

( ) ( ) ( ) ( )0qHxy

PPTPPTPPTPPT

j,ivj,iij

1j,ij,ij,ij,i1j,ij,ij,1ij,ij,ij,ij,1ij,i 21

21

21

21

=∆∆−

−−−+−−− −−++−−++

Reordenando términos:

( )0Q

PTPTPTTTTPTPT

j,i

j,1ij,i1j,ij,ij,ij,ij,ij,ij,i1j,ij,ij,1ij,i 21

21

21

21

21

21

21

21

=−

+++++−+ ++++++−−−−−−

.........................................................................................................................(5.21)

La Ecuación 5.21 representa el modelo numérico para el flujo de un fluido

incompresible en dos dimensiones. Al evaluar esta ecuación en cada punto ( )j,i

de la malla, se genera un sistema de ecuaciones cuya solución permite estimar la

distribución de presiones en el sistema en función de la rata de producción o

inyección de cada bloque j,iQ .

5.2 ESQUEMAS DE ORDENAMIENTO

Para simplificar un poco, la Ecuación 5.21 puede ser escrita de la siguiente forma:

j,ij,1ij,i1j,ij,ij,ij,i1j,ij,ij,1ij,i fPePdPcPbPa =++++ ++−− ...........................................(5.22)

donde:

Simulación de Yacimientos I 10

j,ij,i 21Ta −= ........................................................................................................(5.23)

21j,ij,i Tb −= ........................................................................................................(5.24)

( )j,ij,ij,ij,ij,i 21

21

21

21 TTTTc ++−− +++= .................................................................(5.25)

21j,ij,i Td += .......................................................................................................(5.26)

j,ij,i 21Te += ........................................................................................................(5.27)

j,ij,i Qf = ............................................................................................................(5.28)

La Ecuación 5.22 genera una ecuación por cada bloque en la malla. Dicha

ecuación incluye la presión del bloque en cuestión y las de sus cuatro bloques

adyacentes en cruz, tal como se ilustra en la Figura 5.5.

Fig 5.5. Bloques cuyas presiones se tienen en cuenta en la aplicación de la ecuación básica para el bloque (i,j)

1ji, +

ji,

1ji, −

j1,i +j1,i −

1j +

j

1j − 1ji, +

ji,

1ji, −

j1,i +j1,i −

1j +

j

1j −

Simulación de Yacimientos I 11

El conjunto de todas las ecuaciones forman un sistema de ecuaciones cuyas

incógnitas son las presiones. La forma de la matriz de coeficientes de este

sistema de ecuaciones depende del orden seguido para escribir las ecuaciones

(es decir, la forma como se recorra la malla). A este orden se le denomina

ESQUEMA DE ORDENAMIENTO. El trabajo de computador y el número de

operaciones requerido para solucionar el sistema de ecuaciones es función, en

cierto grado, del esquema de ordenamiento. A continuación se presentan los

esquemas de ordenamiento más comúnmente utilizados.

5.2.1 ORDENAMIENTO NORMAL POR FILAS ( O ÍNDICE i ).

Como su nombre lo indica, en el ordenamiento normal por filas, el sistema de

ecuaciones se genera recorriendo la malla por filas.

Considérese el ejemplo del ordenamiento normal por filas ilustrado en la Figura

5.6.

Figura 5.6 Ordenamiento normal por filas

Partiendo de la ecuación básica, Ecuación 5.22, escribir el conjunto de ecuaciones

y la matriz de coeficientes generadas al efectuar el recorrido de la malla.

321

654

987

1211104=j

3=j

2=j

1=j

1=i 2=i 3=i

321

654

987

1211104=j

3=j

2=j

1=j

1=i 2=i 3=i

Simulación de Yacimientos I 12

Ecuación 1: 1i = , 1j = (bloque 1 de la Figura 5.6).

De la Ecuación 5.22:

0TTa 1,1,11,1 21

21 === −

0Tb2

1,11,1 ==

( )2

32

12

32

1 ,1,11,1,1,1 TTTTc +++−=

23,11,1 Td =

1,1,1 23Te =

Luego:

1,11,21,12,11,11,11,1 fPePdPc =++ ...........................................................................(5.29)

Ecuación 2: 2i = , 1j = (bloque 2 en la Figura 5.6 ).

En este caso:

0TT2

12

1 j,i1,2 == −−

Luego:

0b 1,2 =

Por tanto, de la Ecuación 5.22:

1,21,31,22,21,21,21,21,11,2 fPePdPcPa =+++ ..........................................................(5.30)

Simulación de Yacimientos I 13

Ecuación 3: 3i = , 1j = (bloque 3 en la Figura 5.6).

En este caso:

0TT j,ij,i 21

21 == +−

luego:

0eb j,ij,i ==

Entonces, de la Ecuación 5.22:

1,32,31,31,31,31,21,3 fPdPcPa =++ ........................................................................(5.31)

Ecuación 4: 1i = , 2j = (bloque 4 en la Figura 5.6).

En este caso:

0aT j,ij,i 21 ==−

Luego, de la Ecuación 5.22:

2,12,22,13,12,12,12,11,12,1 fPePdPcPb =+++ ..........................................................(5.32)

Ecuación 5: 2i = , 2j = (bloque 5 en la Figura 5.6).

De la Ecuación (5.22):

2,22,32,23,22,22,22,21,22,22,12,2 fPePdPcPbPa =++++ ......................................(5.33)

Simulación de Yacimientos I 14

Las anteriores ecuaciones conllevan a un sistema matricial como el indicado en la

Figura 5.7.

Figura 5.7 Sistema matricial obtenido del ordenamiento por filas de una malla 4*3

Observaciones:

a. Una matriz como la presentada en la Figura 5.7 se define como una MATRIZ

DE BANDA PENTADIAGONAL, pues contiene 5 bandas.

b. En una matriz de banda, se define el ANCHO DE BANDA como el número

máximo de elementos en una fila abarcados entre dos elementos diferentes de

cero. Como se observa de la Figura 5.7, en este ejemplo, el ancho de banda

es: 7132 =+× . En general, en el ordenamiento por filas, el ancho de banda

está dado por:

( ) 1 Columnas de Numero2 +× .....................................................................(5.34)

343434

24242424

141414

33333333

2323232323

13131313

32323232

2222222222

12111221

313131

21212121

111111

cabecab

ecbdcab

decabdecb

dcabdecab

decbdca

decadec

34

24

14

33

23

13

32

22

12

31

21

11

PPPPPPPPPPPP

=

34

24

14

33

23

13

32

22

12

31

21

11

ffffffffffff

342414332313322212312111 PPPPPPPPPPPP

343434

24242424

141414

33333333

2323232323

13131313

32323232

2222222222

12111221

313131

21212121

111111

cabecab

ecbdcab

decabdecb

dcabdecab

decbdca

decadec

34

24

14

33

23

13

32

22

12

31

21

11

PPPPPPPPPPPP

=

34

24

14

33

23

13

32

22

12

31

21

11

ffffffffffff

343434

24242424

141414

33333333

2323232323

13131313

32323232

2222222222

12111221

313131

21212121

111111

cabecab

ecbdcab

decabdecb

dcabdecab

decbdca

decadec

34

24

14

33

23

13

32

22

12

31

21

11

PPPPPPPPPPPP

=

34

24

14

33

23

13

32

22

12

31

21

11

ffffffffffff

342414332313322212312111 PPPPPPPPPPPP

Simulación de Yacimientos I 15

Es importante anotar que el ancho de banda depende del esquema de

ordenamiento. En general, a mayor ancho de banda, mayor es el almacenaje y

tiempo de computador requerido para solucionar el sistema de ecuaciones por

métodos directos.

5.2.2 ORDENAMIENTO NORMAL POR COLUMNAS ( O ÍNDICE j )

En el ordenamiento normal por columnas, el sistema de ecuaciones se genera

recorriendo la malla por columnas, tal como se indica en la Figura 5.8.

Figura 5.8 Ordenamiento normal por columnas

Para este ordenamiento, el ancho de banda está dado por:

( ) 1 Filas de Numero2 +× ...................................................................................(5.35)

La matriz de coeficientes tiene la forma indicada en la Figura 5.9 (las x indican

posiciones diferentes de cero).

951

1062

1173

12844=j

3=j

2=j

1=j

1=i 2=i 3=i

951

1062

1173

12844=j

3=j

2=j

1=j

1=i 2=i 3=i

Simulación de Yacimientos I 16

Figura 5.9 Forma de la matriz de coeficientes para un ordenamiento normal por columnas.

5.2.3 ORDENAMIENTO 2D

En el ordenamiento 2D la secuencia de las ecuaciones se determina recorriendo

la malla diagonalmente en forma continua, como se indica en la Figura 5.10.

Figura 5.10 Ordenamiento D2

La matriz de coeficientes resultante de este ordenamiento tiene la forma indicada

en la Figura 5.11

xxxxxxx

xxxxxxx

xxxxxxxxx

xxxxxxxxx

xxxxxxx

xxxxxxx

631

952

1184

121074=j

3=j

2=j

1=j

1=i 2=i 3=i

631

952

1184

121074=j

3=j

2=j

1=j

1=i 2=i 3=i

Simulación de Yacimientos I 17

Figura 5.11 Esquema de la matriz de coeficientes del ordenamiento D2

5.2.4 ORDENAMIENTO 4D O BLANCO - NEGRO

En el ordenamiento 4D se recorre la malla diagonalmente en forma alternada. La

Figura 5.12 presenta un ejemplo del recorrido de malla seguido en este tipo de

ordenamiento. Se conoce tambien como blanco y negro ya que el ordenamiento

se lleva a cabo como si la malla fuera un tablero de ajedrez.

Figura 5.12 Ordenamiento D4

La matriz de coeficientes presenta la forma indicada en la Figura 5.13.

481

1137

6102

12594=j

3=j

2=j

1=j

1=i 2=i 3=i

481

1137

6102

12594=j

3=j

2=j

1=j

1=i 2=i 3=i

Simulación de Yacimientos I 18

Figura 5.13 Esquema de la matriz de coeficientes del ordenamiento D4

5.3 MÉTODOS DIRECTOS DE SOLUCIÓN DE ECUACIONES.

Tal como se indicó antes, al aplicar la Ecuación 5.21 a cada bloque de la malla se

genera un sistema de ecuaciones cuyas incógnitas son las presiones en los

bloques. La forma general de este sistema de ecuaciones es la siguiente:

nnnn33n22n11n

3nn3333232131

2nn2323222121

1nn1313212111

cxaxaxaxa

cxaxaxaxacxaxaxaxacxaxaxaxa

=++++

=++++=++++=++++

K

MMM

K

K

K

(5.36)

donde 11a , 12a , K , n1a , 21a , 22a , K , n2a , K , nna son los coeficientes de las

incógnitas (en nuestro caso transmisibilidades o combinación de ellas) 1x , 2x , 3x ,

K , nx representan las incógnitas (en nuestro caso presiones).

Simulación de Yacimientos I 19

La solución de este tipo de sistemas de ecuaciones se puede realizar aplicando

métodos directos o métodos iterativos. Dos de los métodos directos más

comúnmente aplicados son el de eliminación Gaussiana y el método de Gauss-

Jordan. Otros métodos también utilizados son: inversión matricial, la regla de

Cramer y el método de descomposición matricial. A continuación se discuten los

métodos de eliminación Gaussiana y de Gauss-Jordan.

5.3.1 Eliminación Gaussiana

La solución de un sistema de ecuaciones, tal como el representado por la

expresión (5.36), mediante el método de eliminación Gaussiana consiste en

transformar el sistema inicial de ecuaciones a un sistema equivalente que tenga la

siguiente forma:

nn

1n1nn,1nn

3nn33

2nn23232

1nn13132121

cxcxax

cxaxcxaxaxcxaxaxax

′=

′=′+

′=′++

′=′++′+

′=′++′+′+

−−−

MMO

K

K

K

(5.37)

cuya solución es igual a la solución del sistema original.

Considérese el siguiente sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas:

4444343242141

3434333232131

2424323222121

1414313212111

cxaxaxaxacxaxaxaxacxaxaxaxacxaxaxaxa

=+++=+++=+++=+++

Simulación de Yacimientos I 20

La matriz aumentada de este sistema de ecuaciones tiene la siguiente forma:

4

3

2

1

44434241

34333231

24232221

14131211

cccc

aaaaaaaaaaaaaaaa

(5.38)

Supóngase que se efectúan las siguientes operaciones elementales sobre esta

matriz:

a. Se divide la fila 1 por 11a .

b. Se multiplica la fila 1 resultante de la operación anterior por ( )21a− y se

suma a la segunda fila.

c. Se multiplica la fila 1 resultante de la operación indicada en el literal “a” por

( )31a− y se suma a la tercera fila.

d. Se multiplica la fila 1 resultante de la operación indicada en el literal “a” por

( )41a− y se suma a la cuarta fila.

La matriz aumentada resultante tendrá la siguiente forma:

( )

( )

( )

( )

14

13

12

11

)1(44

)1(43

)1(42

)1(34

)1(33

)1(32

)1(24

)1(23

)1(22

)1(14

)1(13

)1(12

cccc

aaa0aaa0aaa0aaa1

Considérese que sobre esta matriz se realizan las siguientes operaciones

elementales:

Simulación de Yacimientos I 21

a. Se divide la segunda fila por ( )122a .

b. Se multiplica la fila 2 resultante del paso anterior por ( )( )132a− y se suma a

la fila 3.

c. Se multiplica la fila resultante del paso 1 por ( )( )142a− y se suma a la fila 4.

La nueva matriz aumentada tendrá la siguiente forma:

( )

( )

( )

( )

24

23

22

11

)2(44

)2(43

)2(34

)2(33

)2(24

)2(23

)1(14

)1(13

)1(12

cccc

aa00aa00aa10aaa1

Sobre la matriz anterior se pueden realizar las siguientes dos operaciones:

a. Se divide la fila 3 por ( )233a

b. La nueva fila 3 se multiplica por ( )( )243a− y se suma a la fila 4.

La nueva matriz aumentada tendrá la siguiente forma:

( )

( )

( )

( )

34

33

22

11

)3(44

)3(34

)2(24

)2(23

)1(14

)1(13

)1(12

cccc

a000a100aa10aaa1

Dividiendo la fila 4 por ( )344a , se obtiene la siguiente matriz aumentada:

Simulación de Yacimientos I 22

( )

( )

( )

( )

44

33

22

11

)3(34

)2(24

)2(23

)1(14

)1(13

)1(12

cccc

1000a100aa10aaa1

la cual corresponde al siguiente sistema de ecuaciones equivalente al sistema

inicial:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )444

334

3343

224

2243

2232

114

1143

1132

1121

cxcxaxcxaxaxcxaxaxax

=

=+

=++

=+++

(5.39)

El valor de las incógnitas puede ser estimado mediante un sustitución de atrás

hacia adelante:

( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )2

1123

1134

114

111

32

2342

242

22

43

343

33

444

xaxaxacxxaxacx

xacxcx

−−−=

−−=

−=

=

Este proceso se puede generalizar mediante el siguiente algoritmo, fácilmente

ejecutable mediante un programa de computador:

a. Se inicializa la variable k , 1k =

b. Se normaliza la fila k :

n , ,2k ,1k ,kj ,aa

ak,k

j,kj,k K++==

Simulación de Yacimientos I 23

donde n es el número total de filas de la matriz aumentada (e.d., el número

de ecuaciones).

c. Se reduce la matriz, así:

K

K

,3k ,2k ,1k i

, ,2k ,1k j ,aaaa j,kk,ij,ij,i

+++=

++=⋅−=

d. Se incrementa k en una unidad: 1kk +=

e. Se repite el procedimiento anterior hasta que k sea igual a n .

Al finalizar el anterior ciclo, se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones en forma

triangular:

n1n

3

2

1

n

nn,1n1n

nn,31n1n,33

nn,21n1n,23232

nn,11n1n,13132121

cc

ccc

xxax

xaxaxxaxaxaxxaxaxaxax

′=′=

′=

′=

′=

′+

′′++

′′++′+

′′++′+′+

−−−

−−

−−

−−

MMO

K

K

K

de donde:

MMn1n,2n1n1n,2n2n2n

nn,1n1n1n

nn

xaxacxxacx

cx

−−−−−−−

−−−

′−′−′=

′−′=

′=

Generalizando:

∑+=

−′=n

1ijjj,iii xacx ..............................................................................................(5.40)

Simulación de Yacimientos I 24

5.3.2 Método de Gauss-Jordan

Considérese el sistema de ecuaciones presentado en (5.37). La solución de este

sistema por eliminación de Gauss-Jordan consiste en reducirlo a un sistema

equivalente que tenga la siguiente forma:

n1n

3

2

1

n1n

3

2

1

cc

ccc

xx

xx

x

′=′=

′=

′=

′=

−−

MO

Es decir, transformar la matriz aumentada:

−

−

−

−

n

32

1

n,n

n,3

n,2

n,1

1n,n3n2n1n

1n,3333231

1n,2232221

1n,1131211

c

ccc

a

aaa

aaaa

aaaaaaaaaaaa

ML

M

L

M

L

L

en una matriz aumentada que tenga la siguiente forma:

n

3

2

1

c1

c1c1c1

MO

Para lograr este objetivo se debe proceder en forma análoga al caso anterior. La

diferencia radica en que en este caso no se trata de obtener una matriz triangular

superior, sino una matriz diagonal unitaria. El procedimiento o algoritmo de

solución es igual al anterior, excepto que en el paso “c” (reducción), la ecuación

se aplica para ki ≠ en lugar de 1ki += , 2k + , 3k + , K

Simulación de Yacimientos I 25

5.4 METODOS ITERATIVOS DE SOLUCIÓN DE ECUACIONES.

Los métodos iterativos de solución de un sistema de ecuaciones no requieren de

una memoria de computador de tan alta capacidad como los métodos directos; sin

embargo, requieren de un alto número de cálculos. En general, en los métodos

iterativos se parte de una serie de valores (presiones) asumidos y mediante una

serie de iteraciones se obtienen los valores verdaderos. Algunos de los métodos

iterativos mas comúnmente aplicados en la solución de un sistema de ecuaciones

son: Método de Jacobi, Método de Gauss-Seidel, Método PSOR, Método LSOR y

el Método LSORC.

5.4.1 El Método de Jacobi

Considérese el siguiente sistema de ecuaciones:

1nn1313212111 bxaxaxaxa =++++ K ............................................................(5.41)

2nn2323222121 bxaxaxaxa =++++ K ..........................................................(5.42)

3nn3333232131 bxaxaxaxa =++++ K ..........................................................(5.43)

MM

nnnn33n22n11n bxaxaxaxa =++++ K ...........................................................(5.44)

De la Ecuación 5.41:

11

nn131321211 a

xaxaxabx

−−−−=

K................................................................(5.45)

Simulación de Yacimientos I 26

De la Ecuación 5.42:

22

nn232312122 a

xaxaxabx

−−−−=

K...............................................................(5.46)

De la Ecuación 5.43:

33

nn323213133 a

xaxaxabx

−−−−=

K...............................................................(5.47)

M

De la Ecuación 5.44:

nn

1n1n,n33n22n11nnn a

xaxaxaxabx −−−−−−−

=K

............................................(5.48)

Las Ecuaciones 5.45 a 5.48 pueden ser escritas en forma generalizada de la

siguiente forma:

i,i

n

ij1i

jj,ii

i a

xab

x

∑≠=

−

= ..............................................................................................(5.49)

La Ecuación 5.49 constituye la ecuación básica del método de Jacobi. El

procedimiento de aplicación es el siguiente:

a. Se asumen valores iniciales de 1x , 2x , K , nx .

b. Se evalúa 1x , 2x , K , nx de las Ecuaciones 5.45 a 5.48 y teniendo en cuenta

los datos asumidos en el literal anterior.

c. Si los valores encontrados en el paso “b” coinciden con los valores asumidos

en el paso “a”, entonces los valores de 1x , 2x , K , nx son los correctos. Si

Simulación de Yacimientos I 27

no coinciden, entonces se asumen valores de 1x , 2x , K , nx iguales a los

últimos calculados y se repite el proceso iterativo.

El método de Jacobi puede ser aplicado a la solución del sistema de ecuaciones

generado por la Ecuación 5.22, reorganizándola de la siguiente forma:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]kj,1ij,i

k1j,ij,i

k1j,ij,i

kj,1ij,ij,i

j,i

1kj,i PePdPbPaf

c1P ++−−

+ −−−−= .....................................(5.50)

donde el índice k y 1k + corresponde a las iteraciones k y 1k + ,

respectivamente.

5.4.2 El Método de Gauss-Seidel

El método de Gauss-Seidel difiere del método de Jacobi en que los valores

asignados a cada incógnita corresponde a los últimos valores disponibles y no a

los valores de la última iteración.

El procedimiento del método puede resumirse de la siguiente forma:

a. Inicialmente, se asumen valores para las incógnitas 1x , 2x , 3x , K , nx .

b. Se evalúa 1x de la Ecuación 5.45.

c. Se evalúa 2x de la Ecuación 5.46, pero el valor de 1x utilizado será el

estimado en el paso anterior.

Simulación de Yacimientos I 28

d. Se evalúa 3x de la Ecuación 5.47. Los valores de 1x y 2x tenidos en cuenta

en este cálculo corresponden a los valores calculados en los dos pasos

anteriores.

e. Se repiten los tres últimos pasos hasta evaluar nx de la Ecuación 5.48.

f. Si los valores de 1x , 2x , 3x , K , nx calculados en esta iteración coinciden

con los calculados en la iteración anterior, entonces estos serán los verdaderos

valores; de lo contrario, se repite el anterior procedimiento hasta encontrar

convergencia.

El método de Gauss-Seidel puede ser aplicado a la solución del sistema de

ecuaciones generado por la Ecuación 5.22. Para ello, esta ecuación debe ser re-

organizada de la siguiente forma:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]kj,1ij,i

k1j,ij,i

1k1j,ij,i

1kj,1ij,ij,i

j,i

1kj,i PePdPbPaf

c1P ++

+−

+−

+ −−−−= ..................................(5.51)

donde k y 1k + hacen referencia a las iteraciones k y 1k + , respectivamente.

Obsérvese que la Ecuación 5.51 asume que el ordenamiento es normal.

5.4.3 Método PSOR

El método de Gauss-Seidel no hace uso del valor de ( )kj,iP para el cálculo de ( )1k

j,iP +

(veáse Ecuación 5.51). El método PSOR ("Point Successive Over Relaxation")

ofrece una forma de tener en cuenta el valor de ( )kj,iP en el cálculo de ( )1k

j,iP + .

Simulación de Yacimientos I 29

Supóngase que el valor de ( )1kj,iP + en la Ecuación 5.51 se nota como ( )1k*

j,iP + , de tal

forma que:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]kj,1ij,i

k1j,ij,i

1k1j,ij,i

1kj,1ij,ij,i

j,i

1k*j,i PePdPbPaf

c1P ++

+−

+−

+ −−−−= ................................(5.52)

El método PSOR se fundamenta en calcular un valor ponderado de ( )1kj,iP +

promediando el valor de ( )1k*j,iP + y el valor de ( )k

j,iP , de la siguiente forma:

( ) ( ) ( ) ( )1k*j,i

kj,i

1kj,i PP1P ++ ω+ω−= ..............................................................................(5.53)

donde el factor ω se denomina parámetro de relajación. Este método se

denomina, en general, SOBRE-RELAJACION; con su aplicación se busca utilizar

un valor óptimo de ω de tal forma que el proceso de convergencia sea acelerado.

Obsérvese que este método es igual al anterior en el caso particular en que 1=ω .

Para que exista convergencia del método PSOR (como de otros métodos SOR),

se debe cumplir las siguientes condiciones:

a. Que la matriz de coeficientes sea diagonalmente dominante.

b. Que el valor de ω sea menor que 2.

Se dice que una matriz es diagonalmente dominante cuando el valor absoluto de

la diagonal principal es mayor o igual que la suma de los valores absolutos de los

demás coeficientes en la misma fila. En simulación de yacimientos este caso se

cumple, siempre y cuando las ecuaciones sean bien planteadas.

Simulación de Yacimientos I 30

Concepto de Factor de Reducción, ρ .

Se define el residuo de una iteración k , ( )kj,ir , como la diferencia entre el valor

exacto, j,iP , y el valor calculado en la iteración k , ( )kj,iP . Es decir:

( ) ( )kj,ij,i

kj,i PPr −= ..................................................................................................(5.54)

Si se grafica el logaritmo del máximo valor de ( )kj,ir , obtenido en un iteración k ,

como función del número de iteraciones, k , se obtendrá un gráfico de

comportamiento similar al ilustrado en la Figura 5.14.

En un principio, los residuos se reducen muy rápidamente. Posteriormente, la rata

de reducción es lenta, tal como se presenta en la región recta de la Figura 5.14.

Esta región se denomina "región de convergencia asintótica". Para esta región se

define el FACTOR DE REDUCCION como:

( )

( )kj,i

1kj,i

r

r +

=ρ ..........................................................................................................(5.55)

Si 1<ρ , el proceso converge.

ω = Valor fijo

Convergencia asintótica

K (No de Iteraciones)

( )máx

kj,irLog

ω = Valor fijo

Convergencia asintótica

K (No de Iteraciones)

( )máx

kj,irLog

Simulación de Yacimientos I 31

El valor de ρ depende del valor de ω ; en consecuencia, la velocidad de

convergencia depende del valor de “ ω” utilizado. Para la región de convergencia

asintótica, se ha encontrado que la variación de ρ en función de ω es como se

ilustra en la Figura 5.15.

Figura 5.15 Factor de reducción en función del parámetro de relajación

El valor de optω es el valor de “ω” al cual el factor de reducción, ρ , es mínimo.

El valor de optω está dado por:

1opt 11

2ρ−+

=ω ..............................................................................................(5.56)

donde 1ρ es el valor de ρ cuando 1ω=ω y se puede obtener graficando

maxj,irlog en función de k , tal como se ilustra en la Figura 5.14.

Si opt1 ω≤ω≤ , ρ puede ser calculado de la siguiente ecuación:

2

1

11

ω−ω+ρ

ρ=ρ ...........................................................................................(5.57)

ω1 20

ρ

ρ1

ω1 20

ρ

ρ1

Simulación de Yacimientos I 32

Para optω≥ω ,

1−ω=ρ ...........................................................................................................(5.58)

Supóngase que el valor exacto de j,iP en el bloque ( )j,i es ( )Exactoj,iP y que el valor

calculado en la iteración k es ( )kj,iP . Una curva de en función de k presenta un

comportamiento como el que se ilustra en la Figura 5.16 Si optω<ω , la curva es

monotónica. Si optω>ω , la curva es oscilatoria en torno al eje ( ) ( )Exactoj,i

kj,i PP = .

Este comportamiento es útil para encontrar el valor de optω mediante un proceso

de ensayo y error.

Figura 5.16 Presión calculada en el bloque (i,j) en función del número de

iteraciones k.

Si como criterio de convergencia se fija un valor de convj,ij,i rr = , el mejor valor de

ω es aquel para el cual el valor de convj,ir se alcanza con el menor número de

iteraciones. Este valor puede ser menor, igual o mayor que optω , tal como, por

ejemplo, se ilustra en la Figura 5.17.

ω < ωopt

k

( )kj,iP

Valor exacto

ω < ωopt

k

( )kj,iP

Valor exacto

ω > ωopt

k

( )kj,iP

Valor exacto

ω > ωopt

k

( )kj,iP

Valor exacto

Simulación de Yacimientos I 33

Figura 5.17 Logaritmo del residuo máximo en una iteración en función del número de iteraciones.

El siguiente procedimiento indica como obtener el mejor valor de ω :

a. Se fija un valor de ω .

b. Se mide el tiempo requerido para resolver el sistema de ecuaciones hasta

alcanzar convergencia.

c. Se repiten los pasos “a” y “b” para otros valores de ω .

d. Se grafica t en función de ω (Figura 5.18).

e. Se selecciona el mejor valor de ω como aquel en el cual el tiempo al que se

hace referencia en el literal “b” es mínimo.

Figura 5.18 Selección del mejor valor de ω de acuerdo al criterio de convergencia

optww <optww =

optww >

( )max

kijrLog

Criterio de Convergencia

k (No. de Iteraciones)

optww <optww =

optww >

( )max

kijrLog

Criterio de Convergencia

k (No. de Iteraciones)

optwmejorw

Tiem

poR

eque

rido

para

Con

verg

enci

a

Factor de Relajacion, w

optwmejorw

Tiem

poR

eque

rido

para

Con

verg

enci

a

Factor de Relajacion, w

Simulación de Yacimientos I 34

5.4.4 El Método LSOR

El método LSOR ("Line Successive Over Relaxation"), o de sobre-relajación por

líneas, consiste en determinar simultáneamente los valores, en la iteración 1k + ,

para todas las incógnitas de una misma línea.

Si se lleva el valor de ( )1k*j,iP + de la Ecuación 5.52 a la Ecuación 5.53, se obtiene:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]kj,1ij,i

k1j,ij,i

1k1j,ij,i

1kj,1ij,ij,i

j,i

kj,i

1kj,i PePdPbPaf

c1P1P ++

+−

+−

+ −−−−⋅ω+ω−=

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )kj,1i

j,i

j,ik1j,i

j,i

j,i1k1j,i

j,i

j,i1kj,1i

j,i

j,i

j,i

j,ikj,i

1kj,i P

ce

Pcd

Pcb

Pca

cf

P1P +++

−+

−+ ⋅ω−⋅ω−⋅ω−⋅ω−⋅ω+ω−=

.........................................................................................................................(5.59)

Considérese una malla de un sistema bidimensional la cual se recorre por filas, tal

como se ilustra en la Figura 5.19. En el momento de realizar los cálculos para la

fila j , las presiones de los bloques ubicados en las filas 1 a 1j − , corresponden a

los valores obtenidos en la iteración 1k + . Así mismo, las presiones asignadas a

las filas 1j + , K , n , corresponden a los valores de presión obtenidos en la

iteración k .

Figura 5.19 Esquema del método LSOR

j,1iP− j,iP j,1iP+

Iteración K+1

Iteración K

n

j + 1

j

j - 1

1

1 i - 1 i + 1i

j,1iP− j,iP j,1iP+

Iteración K+1

Iteración K

n

j + 1

j

j - 1

1

1 i - 1 i + 1i

Simulación de Yacimientos I 35

La Ecuación 5.59 puede ser reorganizada de la siguiente forma:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )k1j,i

j,i

j,i1k1j,i

j,i

j,i

j,i

j,ikj,i

kj,1i

j,i

j,i1kj,i

1kj,1i

j,i

j,i Pcd

Pcb

cf

P1Pce

PPca

++

−+++

− ⋅ω−⋅ω−⋅ω+ω−=⋅ω++⋅ω

.........................................................................................................................(5.60)

Como se mencionó, el método LSOR consiste en resolver simultáneamente los

valores de el sistema de ecuaciones para todas las incógnitas de una misma fila

en la iteración ( )1k + . Por esta razón, ( )kj,1iP + puede ser sustituido por ( )1k

j,1iP ++ , en la

Ecuación 5.60:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )k1j,i

j,i

j,i1k1j,i

j,i

j,i

j,i

j,ikj,i

1kj,1i

j,i

j,i1kj,i

1kj,1i

j,i

j,i Pcd

Pcb

cf

P1Pce

PPca

++

−+

+++

− ⋅ω−⋅ω−⋅ω+ω−=⋅ω++⋅ω

.........................................................................................................................(5.61)

Los términos del lado derecho en la Ecuación 5.61 son conocidos de las filas ya

recorridas en la iteración ( )1k + o de las filas que aún faltan por recorrer en la

iteración ( )1k + y que, por tanto, almacenan valores obtenidos en la iteración

anterior, k . Las presiones del lado izquierdo de la Ecuación 5.61 corresponden a

los bloques de la fila j , y representan las incógnitas cuyos valores deben ser

estimados.

Si la Ecuación 4.61 se aplica a cada uno de los bloques de la fila j , j fijo, resulta

un sistema tridiagonal de ecuaciones. Su solución se lleva a cabo mediante la

aplicación del algoritmo de Thomas. Una vez se resuelve este sistema de

ecuaciones para la línea j , se continúa con la línea 1j + , y se repite el

procedimiento. El proceso se repite hasta barrer toda la malla. El método LSOR

puede ser aplicado recorriendo la malla por columnas, en lugar de filas. En este

caso, la ecuación resultante toma la siguiente forma:

Simulación de Yacimientos I 36

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )kj,1i

j,i

j,i1kj,1i

j,i

j,i

j,i

j,ikj,i

1k1j,i

j,i

j,i1kj,i

1k1j,i

j,i

j,i Pce

Pca

cf

P1Pcd

PPcb

++

−+

+++

− ⋅ω−⋅ω−⋅ω+ω−=⋅ω++⋅ω

.........................................................................................................................(5.62)

El parámetro de sobre-relajación, ω , se determina de igual manera que en el

método PSOR. La convergencia del método se logra cuando se cumple que:

( ) ( )convergj,i

kj,i

1kj,i rPP <−+ ...................................................................................(5.63)

para todos los puntos de la malla.

5.4.5 Método LSORC o WATTS LSOR

Este método representa una versión mejorada del método LSOR. De la Ecuación

5.22 se tiene:

j,ij,1ij,i1j,ij,ij,ij,i1j,ij,ij,1ij,i fPePdPcPbPa =++++ ++−− ...........................................(5.22)

Supóngase que la malla será recorrida por columnas, aplicando el algoritmo del

método LSOR. De esta forma, cada línea i se resuelve simultáneamente (Figura

5.18).

Figura 5.20 Esquema del recorrido por columnas en los métodos LSOR y LSORC

J →

→

→

→

→I

J →

→

→

→

→I

Simulación de Yacimientos I 37

Después de la iteración k , la Ecuación 5.22 puede ser escrita como:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )kj,ij,i

kj,1ij,i

k1j,ij,i

kj,ij,i

k1j,ij,i

kj,1ij,i rfPePdPcPbPa =−++++ ++−− .................................(5.64)

donde el vector j,ir es el residuo obtenido al final de la iteración k . Si la solución

alcanzada es la exacta; ( ) 0r kj,i = en particular, para cada línea se tiene:

( ) 0rJ

1j

kj,i =∑

= (si la solución es exacta) .........................................................(5.65)

El método LSORC consiste en sumar, después de la iteración k , a las presiones

de cada columna de la malla un valor de corrección de tal forma que se cumpla la

Ecuación 5.65. De esta forma, una vez introducida la corrección, se obtendrá la

siguiente ecuación:

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 0fPPePPdPPcPPbPPa j,i*

1ik

j,1ij,i*i

k1j,ij,i

*i

kj,ij,i

*i

k1j,ij,i

*1i

kj,1ij,i =−+++++++++ +++−−−

........................................................................................................................(5.66)

Si se escribe la Ecuación 5.64 para cada uno de los bloques de la columna i y

luego se suman las ecuaciones resultantes, se tiene:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑∑∑∑∑∑∑===

+=

+==

−=

− =−++++J

1j

kj,i

J

1jj,i

J

1j

kj,1ij,i

J

1j

k1j,ij,i

J

1j

kj,ij,i

J

1j

k1j,ij,i

J

1j

kj,1ij,i rfPePdPcPbPa ....(5.67)

Si se hace algo análogo con la Ecuación 5.66, se tiene:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) 0fPePe

PdPdPcPcPbPbPaPa

J

1jj,i

J

1j

J

1j

*1ij,i

kj,1ij,i

J

1j

*ij,i

J

1j

k1j,ij,i

J

1j

J

1j

*ij,i

kj,ij,i

J

1j

*ij,i

J

1j

k1j,ij,i

J

1j

*1ij,i

J

1j

kj,1ij,i

=−++

+++++++

∑∑ ∑

∑∑∑ ∑∑∑∑∑

== =++

==+

= ===−

=−

=−

.........................................................................................................................(5.68)

Simulación de Yacimientos I 38

Restando la Ecuación 5.67 de la Ecuación 5.68, se tiene:

( )∑∑∑∑∑∑==

+====

− −=++++J

1j

kj,i

J

1j

*1ij,i

J

1j

*ij,i

J

1j

*ij,i

J

1j

*ij,i

J

1j

*1ij,i rPePdPcPbPa

o bien:

( )∑∑∑∑∑∑=

+====

−=

−=

+

+++

J

1j

kj,i

*1i

J

1jj,i

*i

J

1jj,i

J

1jj,i

J

1jj,i

*1i

J

1jj,i rPePdcbPa .....................(5.69)

La Ecuación 5.69 genera un sistema tridiagonal de ecuaciones que permite

evaluar la corrección *P para cada fila i , Ii1 ≤≤ .

El procedimiento para aplicar el método es el siguiente:

a. Se aplica el método LSOR para barrer la malla, tal como se discutió en el

numeral 5.4.4.

b. Se calcula *iP , Ii1 ≤≤ , resolviendo el sistema tridiagonal de ecuaciones

generado por la Ecuación 5.69.

c. Se obtienen nuevos valores para ( )kj,iP (es decir, los valores corregidos), así:

( ) ( ) *i

kj,i

kj,i PPP += ...........................................................................................(5.70)

Obsérvese que para cada columna i , *iP es constante.

d. Si se cumple el criterio de convergencia para todos los puntos de la malla, se

para el proceso. Si no se cumple, se repiten los pasos a, b y c.

El método LSORC puede ser aplicado barriendo la malla por filas, en lugar de

columnas. El análisis es similar.

Simulación de Yacimientos I 1

1

6. FLUJO LINEAL DE UN FLUIDO LEVEMENTE COMPRESIBLE

La ecuación de continuidad para flujo lineal de un fluido levemente compresible

puede ser escrita como:

( )( ) ( ) ( ) ( )q~xAt

xAUxAx x +

∂φρ∂

=ρ∂∂

−

o bien,

( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )q~xAt

xAx

UxAUxAx xx +

∂φρ∂

=

∂ρ∂

+∂∂

ρ− ........................................ (6.1)

Donde:

q~ : Cantidad de masa que entra o sale, por fuentes o sumideros, por unidad de

volumen de yacimiento por unidad de tiempo.

De la ley de Darcy,

xpkU x

x ∂∂⋅

µ−= .................................................................................................. (6.2)

La ecuación de estado para un fluido levemente compresible está dada por la

siguiente expresión:

( )oppcoe −ρ=ρ

donde c es la compresibilidad del fluido y su densidad a una presión op .

De esta última ecuación, se puede escribir:

Simulación de Yacimientos I 2

2

( )xpc

xpce

xoPPc

o ∂∂⋅⋅ρ=

∂∂⋅⋅ρ=

∂ρ∂ − ..................................................................... (6.3)

( )tpc

tpce

toPPc

o ∂∂⋅⋅ρ=

∂∂⋅⋅ρ=

∂ρ∂ − ..................................................................... (6.4)

Sustituyendo las Ecuaciones 6.2 a 6.4 en la Ecuación 6.1 y asumiendo que la

porosidad es constante con el tiempo, se obtiene:

( ) ( ) ( ) ( ) q~xAtpcxAc

xpkxA

xpkxA

x

2xx +

∂∂

⋅ρ⋅φ⋅=⋅ρ

∂∂

⋅µ

+

∂∂⋅

µ∂∂

ρ

Debido a que el valor de compresiblidad para un fluido levemente compresible es

pequeño (del orden de 15 lpc 10 −− ), el segundo término del lado izquierdo se

puede considerar despreciable si se compara con el primer término, lo que

simplifica la ecuación de la siguiente forma:

( ) ( ) ( )q~xAtpcxA

xpkxA

xx +

∂∂

⋅ρ⋅φ⋅=

∂∂⋅

µ∂∂

ρ

Dividiendo por ρ :

( ) ( ) ( )ρ

+∂∂

⋅φ⋅=

∂∂⋅

µ∂∂ q~xA

tpcxA

xpkxA

xx ........................................................ (6.5)

Si se define vq como:

ρ=

q~qv

Simulación de Yacimientos I 3

3

se obtiene:

( ) ( ) ( ) vx qxA

tpcxA

xpkxA

x+

∂∂

⋅φ⋅=

∂∂⋅

µ∂∂ ........................................................ (6.6)

De la aproximación numérica para flujo lineal de un fluido incompresible se tiene:

( ) ( )i

1iiii1ii

i x

PPTPPT

xpkA

x2

12

1

∆

−−−≅

∂∂⋅

µ∂∂ −−++ .................................................. (6.7)

La derivada tp∂∂ puede aproximarse a un esquema progresivo:

tPP

tp n

i1n

i∆−

=∂∂ +

................................................................................................ (6.8)

Llevando las Ecuaciones 6.7 y 6.8 a la Ecuación 6.6, se obtiene:

( ) ( )ivi

ni

1ni

iiii

1iiii1ii qAt

PPcAx

PPTPPT2

12

1⋅+

∆−

⋅φ⋅=∆

−−− +−−++ .......................... (6.9)

En el lado izquierdo de la Ecuación 6.9 no se especifica el nivel de tiempo al que

hacen referencia los términos de presión. Dependiendo de este nivel de tiempo,

se suele hablar de diferentes esquemas de aproximación tales como la

aproximación explícita y la aproximación implícita.

6.1 LA APROXIMACION EXPLÍCITA

Si las presiones del lado izquierdo de la Ecuación 6.9 se evalúan al tiempo nt se

habla de un esquema de aproximación explícita. En este caso:

Simulación de Yacimientos I 4

4

( ) ( )ivi

ni

1ni

iiii

n1i

nii

ni

n1ii qA

tPPcA

x

PPTPPT2

12

1⋅+

∆−

⋅φ⋅=∆

−−− +−−++

o bien:

( ) iv

ni

1ni

iiin

1iiniii

n1ii Q

tPPcVPTPTTPT

21

21

21

21 +

∆−

⋅φ⋅=++−+

−−+−++ ................... (6.10)

donde ivQ es la tasa de producción o inyección asignada al bloque i .

Si se define iT como:

iiii cVT ⋅φ⋅= ................................................................................................... (6.11)

Entonces:

( ) [ ] ivni

1ni

in1ii

niii

n1ii QPP

tTPTPTTPT

21

21

21

21 +−

∆=++− +

−−+−++ ............................. (6.12)

La Ecuación 6.12 puede ser resuelta explícitamente para 1niP + ,

( )[ ]ivn

1iiniii

n1ii

i

ni

1ni QPTPTTPT

TtPP

21

21

21

21 −++−

∆+= −−+−++

+ ............................. (6.13)

Es decir, este esquema permite el cálculo de las presiones al tiempo 1nt +

conocidas las presiones al tiempo nt .

Simulación de Yacimientos I 5

5

El análisis de error de truncamiento, estabilidad, convergencia y consistencia de

este esquema puede ser llevado a cabo teniendo en cuenta los criterios discutidos

anteriormente. Por ejemplo, la estabilidad puede ser analizada de acuerdo al

criterio de Karplus; la Ecuación 6.8 puede ser escrita como:

( ) ( ) [ ] 0PPt

TPPTPPT ni

1ni

ini

n1ii

ni

n1ii 2

12

1 =−∆

−−+− +−−++

La condición de estabilidad será:

0t

TTT iii 2

12

1 ≤∆

−+ −+

o bien:

21

21 ii

i TTt

T−+ +≥

∆........................................................................................... (6.14)

De donde se infiere que el ESQUEMA EXPLÍCITO es CONDICIONALMENTE

ESTABLE y la condición de estabilidad está dada por la Ecuación 6.14.

6.2 APROXIMACION IMPLÍCITA

Si las presiones del lado izquierdo de la Ecuación 6.9 son evaluadas al tiempo

1nt + , se habla de que el esquema es IMPLÍCITO. En este caso se tiene:

( ) ( ) [ ] ivni

1ni

iii1n1i

1nii

1ni

1n1ii QPP

tcVPPTPPT

21

21 +−

∆⋅φ⋅

=−−− ++−

+−

++++

de donde:

Simulación de Yacimientos I 6

6

ivni

i1n1ii

1ni

iii

1n1ii QP

tTPTP

tTTTPT

21

21

21

21 +

∆−=+

∆++− +

−−+

+−+++ ......................... (6.15)

La Ecuación 6.15 genera un sistema tridiagonal de ecuaciones, en el cual las

incógnitas son: 1n1iP ++ , 1n

iP + , y 1n1iP +− .

El análisis de error de truncamiento. estabilidad, convergencia y consistencia de la

Ecuación 6.11 puede ser realizado siguiendo los criterios presentados

previamente. Por ejemplo, aplicando el criterio de Karplus para analizar

estabilidad, de la Ecuación 6.15 se obtiene:

( ) ( ) ( ) ( ) [ ] 0PPt

TPPTPPTPPTPPT ni

1ni

ini

1n1ii

ni

1nii

ni

1nii

ni

1n1ii 2

12

12

12

1 =−∆

−−+−−−−− ++−−

+−

++

+++

La condición de estabilidad es:

0t

TTTTT iiiii 2

12

12

12

1 ≤∆

−+−− −−++

o bien:

0t

Ti ≤∆

−

Lo que siempre se cumple; luego, el esquema IMPLÍCITO presentado en la

Ecuación 6.15 es INCONDICIONALMENTE ESTABLE

Simulación de Yacimientos I 1

7. FLUJO BIDIMENSIONAL DE UN FLUIDO LEVEMENTE COMPRESIBLE

La ecuación de continuidad para flujo bidimensional, coordenadas cartesianas,

está dada por la siguiente expresión:

( ) q~ty

pkyx

pkx

yx α+∂ρφ∂

α=

∂∂

µαρ

∂∂

+

∂∂

µαρ

∂∂ ............................................. (7.1)

donde:

α : Al espesor del sistema, ( )y,xH .

~q : Masa de fluido que entra o sale por fuentes o sumideros por unidad de

volumen del yacimiento por unidad de tiempo.

La densidad, ρ , para un fluido levemente compresible está dada por la siguiente

expresión:

( )oppcoe −ρ=ρ ............................................................................................. (7.2)

Llevando la Ecuación 7.2 a la Ecuación 7.1, considerando la porosidad constante,

se obtiene:

~qH

tH

yPkH

yxPkH

x+

∂ρ∂

φ=

∂∂

µρ

∂∂

+

∂∂

µρ

∂∂

de donde:

~qH

tH

yyPkH

yPkH

yxxPkH

xPkH

x+

∂ρ∂

φ=∂ρ∂

∂∂

µ+

∂∂

µ∂∂

ρ+∂ρ∂

∂∂

µ+

∂∂

µ∂∂

ρ ............ (7.3)

Simulación de Yacimientos I 2

Aplicando la regla de la cadena:

( )xpc

xpce

xp

px0PPc

0 ∂∂

ρ=∂∂

ρ=∂∂

∂ρ∂

=∂ρ∂ − ........................................................... (7.4)

Análogamente:

yPc

y ∂∂

ρ=∂ρ∂ ................................................................................................... (7.5)

tPc

t ∂∂

ρ=∂ρ∂ ................................................................................................... (7.6)

Llevando las Ecuaciones 7.4 a 7.6 a la Ecuación 7.3, se tiene:

~22qH

tPcH

yPckH

yPkH

yxPckH

xPkH

x+

∂∂

φρ=

∂∂

ρµ

+

∂∂

µ∂∂

ρ+

∂∂

ρµ

+

∂∂

µ∂∂

ρ

Al igual que para el caso lineal, debido a que para un fluido levemente compresible

la compresibilidad es muy pequeña, se puede considerar que los términos que

involucran gradientes al cuadrado tienden a cero, en cuyo caso se tiene:

~qH

tPcH

yPkH

yxPkH

x+

∂∂

φρ=

∂∂

µ∂∂

ρ+

∂∂

µ∂∂

ρ

o bien:

vHqtPcH

yPkH

yxPkH

x+

∂∂

φ=

∂∂

µ∂∂

+

∂∂

µ∂∂ .................................................... (7.7)

Simulación de Yacimientos I 3

Donde Vq representa el volumen de fluido que entra o sale por fuentes o

sumideros por unidad de volumen del yacimiento por unidad de tiempo.

De la Ecuaciones 5.18 y 5.19 se tiene que:

( ) ( )ij

j,1ij,ij,ij,ij,1ij,ixxy

PPTPPT

xpHk

x2

12

1

∆∆

−−−≅

∂∂⋅

µ∂∂ −−++ ........................................ (7.8)

( ) ( )ij

1j,ij,ij,ij,i1j,ij,ixxy

PPTPPT

ypHk

y2

12

1

∆∆

−−−≅

∂∂⋅

µ∂∂ −−++ ........................................ (7.9)

La derivada tP∂

∂ puede ser expresada en forma progresiva, asi:

tPP

tP

ni

1ni

∆

−=

∂∂

+

...................................................................................... (7.10)

Llevando las Ecuaciones 7.8 a 7.10 Ecuación 7.7 se obtiene:

( ) ( ) ( ) ( )=

∆∆

−−−+

∆∆

−−− −−++−−++

ij

1j,ij,ij,ij,i1j,ij,i

ij

j,1ij,ij,ij,ij,1ij,i

xy

PPTPPT

xy

PPTPPT2

12

12

12

1

j,ivj,i

nj,i

1nj,i

j,ij,ij,i qHt

PPcH +

∆

−φ

+

Si se define:

j,iiibij HyxV ∆∆= ............................................................................................ (7.11)

j,iijbijij cV φ=γ ................................................................................................ (7.12)

vijj,iiivij qHyxQ ∆∆= ...................................................................................... (7.13)

Simulación de Yacimientos I 4

se obtiene:

( ) =+++++−+ ++++++−−−−−− 1j,ij,ij,1ij,ij,ij,ij,ij,ij,ij,1ij,i1j,ij,i PTPTPTTTTPTPT2

12

12

12

12

12

12

12

1

( ) Vijnij

1nij

ij QPPt

+−∆

γ + (7.14)

7.1 APROXIMACIÓN EXPLÍCITA

La Ecuación 7.14 puede ser escrita en forma de aproximación explícita evaluando

las presiones del lado izquierdo de la ecuación al tiempo nt :

( ) =+++++−+ ++++++−−−−−−n

1j,ij,in

j,1ij,inj,ij,ij,ij,ij,i

nj,1ij,i

n1j,ij,i PTPTPTTTTPTPT

21

21

21

21

21

21

21

21

( ) j,Vinj,i

1nj,i

ij QPPt

+−∆

γ +

o bien:

+=+ nj,i

1nj,i PP

( )[ ]QvijPTPTPTTTTPTPTt n1j,ij,i

nj,1ij,i

nj,ij,ij,ij,ij,i

nj,1ij,i

n1j,ij,i

j,i 21

21

21

21

21

21

21

21 −+++++−+

γ∆

++++++−−−−−−

................................................................................................................... (7.15)

La Euación (7.15 puede ser resuelta para 1nj,iP + , conociendo las presiones al

tiempo nt .

El análisis de estabilidad, convergencia, consistencia y error de truncamiento para

la Ecuación 7.15 puede efectuarse siguiendo los criterios discutidos en el capítulo

3. Por ejemplo, para aplicar el criterio de Karplus, de la Ecuación 7.15, se tiene:

Simulación de Yacimientos I 5

( ) ( ) ( ) ( )nj,i

n1j,ij,i

nj,i

nj,1ij,i

nj,i

nj,1ij,i

nj,i

n1j,ij,i PPTPPTPPTPPT

21

21

21

21 −+−+−+− ++++−−−−

( ) 0QPPt j,Vi

nj,i

1nj,i

ij =−−∆

γ− +

La condición de estabilidad requiere que:

0t

TTTT ijj,ij,ij,ij,i 2

12

12

12

1 ≤∆

γ−+++ ++−− ........................................................ (7.16)

De donde se infiere que la aproximación EXPLICITA de la Ecuación 7.1 es

CONDICIONALMENTE ESTABLE y la condición de estabilidad está dada por la

Ecuación 7.16.

7.2 APROXIMACIÓN IMPLICITA

La aproximación implícita a la Ecuación 7.1 puede ser obtenida evaluando las

presiones de la Ecuación 7.14 al tiempo 1nt + :

( ) =+++++−+ +++

+++

+++−−

+−−

+−−

1n1j,ij,i

1nj,1ij,i

1nj,ij,ij,ij,ij,i

1nj,1ij,i

1n1j,ij,i PTPTPTTTTPTPT

21

21

21

21

21

21

21

21

( ) j,Vinj,i

1nj,i

ij QPPt

+−∆

γ + (7.17)

Si se define:

21j,iij TS −= ................................................................................................. (7.18)

j,21iij TW −= ................................................................................................ (7.19)

∆

γ++++−= +−−+ t

TTTTC ij21j,i21j,ij,21ij,21iij ............................................... (7.20)

Simulación de Yacimientos I 6

j,21iij TE += .................................................................................................. (7.21)

21j,iij TN += ................................................................................................. (7.22)

Vijnij

ijij QP

tF +

∆

γ−= ..................................................................................... (7.23)

La Ecuación 7.17 puede ser escrita como:

j,i1n1j,ij,i

1nj,1ij,i

1nj,ij,i

1nj,1ij,i

1n1j,ij,i FPNPEPCPWPS =++++ +

+++

++−

+− .................................... (7.24)

La Ecuación 7.24 genera un sistema pentadiagonal de ecuaciones que permiten el

cálculo de las presiones al tiempo 1nt + , conocidas las presiones al tiempo nt . La

solución de este sistema de ecuaciones se puede llevar a cabo mediante métodos

directos o iterativos, tales como los discutidos en el cap¡tulo 5.

Al igual que en el caso anterior, el análisis de estabilidad, convergencia,

consistencia y error de truncamiento de la Ecuación 7.24 puede realizarse

aplicando los criterios presentados en el capítulo 4. Se deja como ejercicio al

lector demostrar que este esquema es INCONDICIONALMENTE ESTABLE.

7.3 APROXIMACIÓN DE CRANK-NICOLSON

La aproximación de Crank-Nicolson, flujo bidimensional, puede ser escrita como:

v

central

ijijij

1nn

hqtPch

yPkh

yxPkh

x21

yPkh

yxPkh

x21

+

∂∂

φ=

∂∂

µ∂∂

+

∂∂

µ∂∂

+

∂∂

µ∂∂

+

∂∂

µ∂∂

+

Simulación de Yacimientos I 7

En diferencias finitas se tiene:

( )[ ]++++++−+ ++++++−−−−−−n

1j,ij,in

j,1ij,inj,ij,ij,ij,ij,i

nj,1ij,i

n1j,ij,i PTPTPTTTTPTPT

21

21

21

21

21

21

21

21

21

( )[ ]=+++++−+ +++

+++

+++−−

+−−

+−−

1n1j,ij,i

1nj,1ij,i

1nj,ij,ij,ij,ij,i

1nj,1ij,i

1n1j,ij,i PTPTPTTTTPTPT

21

21

21

21

21

21

21

21

21

( ) j,Vinj,i

1nj,i

ij QPPt

+−∆

γ + (7.25)

De donde:

++

∆

γ++++−+ +

+++

++−−+−−

+−−

1nj,1ij,i

1nj,i

j,ij,ij,ij,ij,i

1nj,1ij,i

1n1j,ij,i PTP

t2TTTTPTPT

21

21

21

21

21

21

21

−

∆

γ−++++−−= ++−−−−−−

+++

nj,i

j,ij,ij,ij,ij,i

nj,1ij,i

n1j,ij,ij,vi

1n1j,ij,i P

t2TTTTPTPTQ2PT

21

21

21

21

21

21

21

n1j,ij,i

nj,1ij,i PTPT

21

21 ++++ − (7.26)

Redefiniendo los términos j,iC y j,iF del stencil:

t2TTTTC j,i

j,ij,ij,ij,ij,i 21

21

21

21

∆

γ++++= ++−−

−

∆

γ−++++−−= ++−−−−−−

nj,i

j,ij,ij,ij,ij,i

nj,1ij,i

n1j,ij,ij,vij,i P

t2TTTTPTPTQ2F

21

21

21

21

21

21

n1j,ij,i

nj,1ij,i PTPT

21

21 ++++ −−

Entonces la Ecuación 7.26 toma la forma de la Ecuación 7.24.

La Ecuación 7.26 genera un sistema pentadiagonal de ecuaciones cuya solución

permite el cálculo de las presiones en todos los bloques de la malla al tiempo 1nt + ,

conocidas las presiones al tiempo nt .

Simulación de Yacimientos I 8

7.4 EL METODO ADIP

El método ADIP ("Altenating Direction Implicit Pressure") soluciona la Ecuación 7.1

en dos pasos, con la finalidad de obtener la distribución de presiones en la malla al

tiempo 1nt + :

PASO 1:

En el primer paso se barre la malla en la dirección x, tal como se ilustra en la

Figura 7.1,

Figura 7.1 Esquema que ilustra la dirección de barrido en el paso 1 del método

ADIP.

de esta forma, se obtiene la distribución de presiones al tiempo 21nt + . Para lograr

este objetivo, se evalúa la componente

∂∂

µ∂∂

xPkh

x al tiempo

21nt +

y la

1=j

2=j .......

yNj =

1=i 2=i 1Ni x −= Nxi = ..........

x

Simulación de Yacimientos I 9

componente

∂∂

µ∂∂

yPkh

y al tiempo nt . Es decir, la Ecuación 7.1 se expande de

acuerdo al siguiente esquema:

v

progresivan21n

QtpHc

yPkh

yxPkh

x+

∂∂

φ=

∂∂

µ∂∂

+

∂∂

µ∂∂

+

Numéricamente se tiene:

( ) ( ) n1j,ij,i

nj,ij,ij,i

n1j,ij,i

21nj,1ij,i

21n

j,ij,ij,i2

1nj,1ij,i PTPTTPTPTPTTPT

21

21

21

21

21

21

21

21 +++−−−

+++

++−

+−− ++−+++−

( ) j,Vinj,i

2/1nj,i

ij QPP2t

+−∆

γ= +

Reagrupando términos:

=+

∆

φ++−

+++

++−

+−−

21nj,1ij,i

21n

j,ij,ij,ij,bi

j,ij,i2

1nj,1ij,i PTP

tcV2

TTPT2

12

12

12

1

j,vin

j,1i2

1j,inj,i

j,ij,ij,bi

21j,i2

1j,in

1j,i2

1j,i QPTPt

cV2TTPT +−

∆

φ−++− ++−−−−

............ (7.27)

La Ecuación 7.27 genera un sistema tridiagonal de ecuaciones que permite hallar

21n

j,iP+ , conocido n

j,iP , barriendo la malla por filas.

PASO 2:

En el segundo paso, se barre la malla por columnas (véase la Figura 7.2)

Simulación de Yacimientos I 10

Figura 7.2 - Esquema que

ilustra la dirección de barrido en el paso 2 del método ADIP.

con el propósito de obtener 1nj,iP+ , partiendo de los valores de 2

1nj,iP+ obtenidos

en el paso anterior. Para ello, se aproxima la Ecuación 7.5 de la siguiente forma:

v2

1n,Centrak1n21n

QtpHc

yPkh

yxPkh

x+

∂∂

φ=

∂∂

µ∂∂

+

∂∂

µ∂∂ +++

Numéricamente:

( ) ( ) ++−+++− ++−

+−−

+++

++−

+−−

1nj,ij,ij,i

1n1j,ij,i

21nj,1ij,i

21n

j,ij,ij,i2

1nj,1ij,i PTTPTPTPTTPT

21

21

21

21

21

21

21

j,Vi2

1nj,i

1nj,i

ij1n1j,ij,i QPP

2tPT

21 +

−

∆

γ=

+++++

(Obsérvese que la derivada

∂∂

tp se ha aproximado utilizando un esquema

progresivo desde 2

1nt + a 1nt + ). Reagrupando términos:

1=j

2=j .......

yNj =

1=i 2=i yNi =..........

y

Simulación de Yacimientos I 11

=+

∆

φ++− +

+++

+−+−−

1n1j,ij,i

1nj,i

j,ij,ij,bij,i

21j,i

1n1j,ij,i PTP

tcV2

TTPT2

12

12

1

j,vi2

1n1j,ij,2

1i2

1nj,i

j,ij,ij,bij,2

1ij,21i

21nj,1ij,2

1i QPTPt

cV2TTPT +−

∆

φ−++−

+++

+

−+

+−−

(7.28)

La ecuación (7.28) genera un sistema tridiagonal de ecuaciones que permite el

cálculo de las presiones al tiempo 1nt + , de los datos de presión al tiempo 2

1nt +

calculados en el paso anterior.

Si se define:

*ij

21n

ij PP =+

*j,1i

21nj,1i PP +

++ =

*j,1i

21nj,1i PP −

+− =

Entonces, los pasos 1 y 2 pueden ser escritos así:

PASO 1:

Simulación de Yacimientos I 12

=+

∆

φ++− ∗

++∗

+−∗−− j,1ij,ij,i

j,ij,ij,bij,ij,ij,1ij,i PTP

tcV2

TTPT2

12

12

12

1

j,vin

j,1i2

1j,inj,i

j,ij,ij,bi

21j,i2

1j,in

1j,i2

1j,i QPTPt

cV2TTPT +−

∆

φ−++− ++−−−−

.............. (7.29)

PASO 2:

=+

∆

φ++− +

+++

+−+−−

1n1j,ij,i

1nj,i

j,ij,ij,bij,i

21j,i

1n1j,ij,i PTP

tcV2

TTPT2

12

12

1

j,vi1j,ij,21ij,i

j,ij,ij,bij,2

1ij,21ij,1ij,2

1i QPTPt

cV2TTPT +−

∆

φ−++− ∗

++∗

−+∗−−

.............. (7.30)

Procedimiento de Solución:

PASO 1:

a. Se fija la primera fila, 1j = , y se aplica la Ecuación 7.29 a cada bloque,

generando un sistema tridiagonal de ecuaciones. Se soluciona este sistema

de ecuaciones con la finalidad de estimar los valores de *ijP .

b. Se repite el paso anterior para otras filas, yN,...,4,3,2j = . Para cada valor

fijo de j , se resuelve el sistema tridiagonal resultante y se obtiene *ijP para

los bloques de dicha fila. La figura 7.3 presenta un esquema donde se

indica los bloques en los cuales se ha calculado *ijP un instante después de

barrer la fila j y un instante antes de barrer la fila 1j + .

Simulación de Yacimientos I 13

Figura 7.3 Esquema que indica los bloques barridos (*) en un instante

determinado del PASO 1 del método ADIP.

PASO 2:

Una vez barridas todas las filas de la malla, se dispone de todos los valores de *ijP ,

tal como se ilustra en el esquema de la Figura 7.4. Con esta información, se

continúa el procedimiento:

c. Se fija la primera columna, 1i = , y se aplica la Ecuación 7.30 a cada bloque,

con la finalidad de obtener un sistema tridiagonal de ecuaciones que

permita estimar los valores de *ijP para esta columna.

d. Se repite el procedimiento para cada una de las demás columnas hasta

obtener los valores de 1nijP + para toda la malla.

1j =

2j =...... yNj =

1i = 2i = xNi =.........

n n n n n n n

n n n n n n n

n n n n n n n

*n *n *n *n *n *n *n

*n *n *n *n *n *n *n

Simulación de Yacimientos I 14

Figura 7.4 Esquema que ilustra la información disponible (calculada) una vez

ejecutado el paso 1 del método ADIP.

7.5 EL METODO ADEP

Siguiendo una metodología similar al método ADIP, el método ADEP ("Alternating

Direction Explicit Pressure") soluciona la Ecuación 7.1 en dos pasos, así:

PASO 1:

El paso 1 consiste en aproximar la Ecuación 7.1 de la siguiente forma:

V

,*n,*nn

HqtPHc

yPkh

yxPkh

x+

∂∂

φ=

∂∂

µ∂∂

+

∂∂

µ∂∂ ....................................... (7.31)

Donde:

1j =

yN .......

yN

1i = 2i = 1Ii −= xNi =..........

* * * * * * *

* * * * * * *

* * * * * * *

* * * * * * *

* * * * * * *

Simulación de Yacimientos I 15

ji

nj,1ij,2

1inj,ij,2

1ij,21i

nj,1ij,2

1in

yx

PTPTTPT

xPkh

x ∆∆

+

+−

=

∂∂

µ∂∂ ++−+−−

....................... (7.32)

y

n1j,ij,2

1inj,i

21j,ij,i

21j,i1j,i

21j,i

,n

PTPTPTPTxPkh

y +++∗

−∗−−

∗

+−−=

∂∂

µ∂∂ .................. (7.33)

Además:

( )tPP2

tP j,ij,i

,n

∆

−=

∂∂

∗∗................................................................................... (7.34)

Llevando las Ecuaciones 7.32, 7.33 y 7.34 a la Ecuación 7.31, se obtiene:

( ) +−−+++− −∗

+∗−−+++−−−

nj,ij,ij,ij,i1j,ij,i

nj,1ij,i

nj,ij,ij,i

nj,1ij,i PTPTPTPTPTTPT

21

21

21

21

21

21

21

( )ij2

1 Vnj,ij,i

ijn1j,ij,i QPP

2tPT +−

∆

γ= ∗

++

De donde:

−+++

∆

φ−++− ++

∗−−++−+−−−

n1j,ij,i1j,ij,i

nj,1ij,i

nj,i

ijbijj,ij,ij,i

nj,1ij,i PTPTPTP

tcV2

TTTPT2

12

12

12

12

12

12

1

∗+

+

∆

φ= j,i

21j,i

ijbijj,Vi PT

tcV2

Q

o bien:

+

+

∆

φ

++

∆

φ−++−

=

+

∗−−++−+−−−

∗

21j,i

ijbij

1j,ij,in

j,1ij,inj,i

ijbijj,ij,ij,i

nj,1ij,i

j,i

Tt

cV2

PTPTPt

cV2TTTPT

P2

12

12

12

12

12

1

Simulación de Yacimientos I 16

+

∆

φ

−

+

++

21j,i

ijbij

j,Vin

1j,ij,i

Tt

cV2

QPT2

1..................................................................................... (7.35)

PASO 2:

EL paso 2 consiste en aproximar la Ecuación (7.1) de la siguiente forma:

Vij

,*1n,*1n,*1n

QtPhc

yPkh

yxPkh

x+

∂∂

φ=

∂∂

µ∂∂

+

∂∂

µ∂∂ +++

............................... (7.36)

Donde:

ji

1nj,1ij,2

1i1n

j,ij,21ij,ij,2

1ij,1ij,21i,1n

yx

PTPTPTPT

xPkh

x ∆∆

+−−=

∂∂

µ∂∂

+++

++

∗−

∗−−

∗+

................ (7.37)

y

ji

1n1j,i

21j,i

1nj,i

21j,ij,i

21j,i1j,i

21j,i,1n

yx

PTPTPTPT

yPkh

y ∆∆

+−−=

∂∂

µ∂∂

+++

++

∗−

∗−−

∗+

................ (7.38)

Además:

( )t

PP2tP j,i

1nj,i

,1n

∆

−=

∂∂

∗+∗+.............................................................................. (7.39)

Llevando las Ecuaciones 7.37, 7.38 y 7.39 a la Ecuación 7.36, se tiene:

Simulación de Yacimientos I 17

+−−++−− ++

∗−

∗−−

+++

++

∗−

∗−−

1nj,ij,ij,ij,i1j,ij,i

1nj,1ij,i

1nj,ij,ij,ij,ij,1ij,i PTPTPTPTPTPTPT

21

21

21

21

21

21

21

( ) j,Vi*j,i

1nj,i

ijbij1n1j,ij,i QPP

tcV2

PT2

1 +−∆

φ= ++

++

De donde:

−

+

∆

φ−=+

∆

φ++− ∗

−−+++

+++

+++ j,ij,i

ijbijj,i

1n1j,i

21j,i

1nj,i

ijbijj,ij,i

1nj,1ij,i PT

tcV2

TPTPt

cV2TTPT

21

21

21

21

21

j,Vi1j,i2

1j,ij,1ij,21i QPTPT +− ∗

−−∗−−

...................................................................... (7.40)

El procedimiento para aplicar el método consiste en ejecutar el paso 1, Ecuación

7.35, para estimar los valores de ∗j,iP ; luego, ejecutar el paso 2, Ecuación 7.40, el

cual conduce a un sistema tridiagonal de ecuaciones cuya solución permite

estimar los valores de presión al tiempo 1nt + .

7.6 EL CRITERIO DE BALANCE DE MATERIALES

Las ecuaciones de flujo han sido deducidas partiendo del principio de

conservación de la masa. Por esta razón, la aproximación numérica de estas

ecuaciones también debe satisfacer este principio.

Por definición, la compresibilidad es

PV

V1c∆∆

−= .................................................................................................. (7.41)

Si el incremento de tiempo es:

Simulación de Yacimientos I 18

n1n ttt −=∆ + (7.42)

Entonces el volumen de fluido removido a través del bloque ( )j,i durante este

intervalo de tiempo será:

tQV ij∆=∆ ................................................................................................... (7.43)

El volumen inicial de fluido en el bloque ( )j,i es:

ijbijVV φ= .................................................................................................... (7.44)

La caída de presión requerida en el bloque ( )j,i para producir un volumen de fluido

V∆ durante el intervalo de tiempo t∆ , será:

nj,i

1nj,i PP −+ .................................................................................................... (7.45)

Llevando las Ecuaciones 7.45 y 7.44 a la Ecuación 7.41 se tiene:

nj,i

1nj,i

ij

ijbij PP

VV

1C−

∆

φ−=

+

o bien:

( )1nj,i

nj,iijbijij PPCVV +−φ=∆ ........................................................................... (7.46)

Sustituyendo la Ecuación 7.12 en la Ecuación 7.46:

)PP(V 1nj,i

nj,ij,ij

+−γ=∆

Luego, el volumen total será:

∑∑∑∑=

+

===−γ=∆

ny

1j

1nj,i

nj,ij,i

nx

1i

ny

1jij

nx

1i)PP(V ............................................................. (7.47)

Simulación de Yacimientos I 19

Llevando la Ecuación 7.43 a la Ecuación 7.47:

∑∑∑∑=

+

===−γ=∆

ny

1j

1nj,i

nj,ij,i

nx

1i

ny

1jj,i

nx

1i)PP(tQ

o bien:

∑∑

∑∑

==

=

+

=

∆

−γ

= ny

1jj,i

nx

1i

ny

1j

1nj,i

nj,ij,i

nx

1i

Qt

)PP(

1 ............................................................................. (7.48)

La Ecuación 7.48 es muy útil como un criterio de chequeo. Después de realizar los

cálculos para los tiempos nt y 1nt + , en todos los bloques de la malla, la Ecuación

7.48 debe cumplirse. Es decir, este criterio se aplica una vez se han cumplido los

criterios de convergencia:

∑∑

∑∑

==

=

+

=

∆

−γ

= ny

1jj,i

nx

1i

ny

1j

1nj,i

nj,ij,i

nx

1i

Qt

)PP(

MB .......................................................................... (7.49)

MB debe ser tan cercano a la unidad como la tolerancia previamente definida lo

permita.

1

8. FLUJO LINEAL DE UN FLUIDO COMPRESIBLE

Considérese la ecuación de continuidad para el flujo de un fluido en una sola

dirección:

( )q~A

tA

xPkA

xg +

∂

ρ∂φ=

∂∂

ρµ∂

∂ ........................................................................ (8.1)

Por definición

( )( )

( )( )

CYg

CNg

CNg

CYgg V

VB

ρ

ρ==

De donde:

( ) ( )g

CNg

CYg Bρ

=ρ .............................................................................................. (8.2)

De otro lado

( )( )

( )( ) PT

zTP

zRTPM

zRTPM

BCN

CN

CY

CN

CYg

CNgg ==

ρ

ρ= ............................................................... (8.3)

Llevando la Ecuación 8.3 a la Ecuación 8.2

( ) ( ) ( )zP

TPT

PTzTP CN

CNgCN

CN

CN

CNg

CYg

ρ=

ρ=ρ

es decir,

( ) ( )

∂∂

⋅ρ

=∂

ρ∂

zP

tTPT

t CN

CNgCNCYg ......................................................................... (8.4)

Sustituyendo las Ecuaciones 8.2 y 8.4 en la Ecuación 8.1 se tiene:

2

( ) ( )q~A

zP

tTPT

AxP

BkA

x CN

CNgCN

g

CNg +

∂∂

⋅ρ

φ=

∂∂ρ

⋅µ∂

∂

Dividiendo por ( )CNgρ y teniendo en cuenta que ( ) ( )

CNgCNv

q~q ρ= , se tiene:

( )CNvCN

CN

g

qAzP

tTPTA

xP

BkA

x+

∂∂

⋅φ

=

∂∂⋅

µ∂∂ ..................................................... (8.5)

Si se define la función:

igi x

PB

kAu

∂∂

µ= .............................................................................................. (8.6)

Siguiendo un procedimiento completamente análogo al seguido para discretizar la

ecuación para flujo lineal de un fluido incompresible se obtiene:

i

21i

21ig2

1i2

1ig

g x

xP

BkA

xP

BkA

xP

BkA

x ∆

∂∂

µ−

∂∂

µ≅

∂∂

µ∂∂ −−++

............................... (8.7)

O bien:

( ) ( )

i

i1i

1ii

21igi1i

i1i

21ig

g x

xxPP2

BkA

xxPP2

BkA

xP

BkA

x ∆

∆+∆

−

µ−

∆+∆−

µ≅

∂∂

µ∂∂ +

−

−+

+

+ ................. (8.8)

[ ]2

1ig1ii21i B

kAxx

2T++

+

µ∆+∆= ........................................................................ (8.9)

3

[ ]2

1igi1i21i B

kAxx

2T−−

−

µ∆+∆= ...................................................................... (8.10)

Así mismo, las transmisibilidades estarán dadas por las siguientes expresiones:

[ ]1ig1i1iiiigii1i1i

1i1iii

21i BxAkBxAk

AkAk2T

+++++

+++ µ∆+µ∆

= ................................................. (8.11)

[ ]1ig1i1iiiigii1i1i

1i1iii

21i BxAkBxAk

AkAk2T−−+−−

−−− µ∆+µ∆

= ................................................... (8.12)

Las transmisibilades en las ecuaciones numéricas que describen el flujo de un

fluido incompresible o levemente compresible se suelen tomar

independientemente del tiempo, pues en estos casos la viscosidad se considera

independiente o poco dependiente del tiempo. Sin embargo, tal como se observa

en las Ecuaciones 8.9 a 8.12, para el caso de un fluido compresible, la

transmisibilidad depende de la viscosidad y el factor volumétrico, los cuales a su

vez dependen de la presión y, por ende, del tiempo. Por esta razón, las

ecuaciones (8.9) a (8.12) se suelen escribir y aproximar de la siguiente forma:

[ ] 21i

*

g1ii21i B

kAxx

2T +

+

∗+

µ∆+∆= ...................................................................... (8.13)

[ ] 21i

*

gi1i21i B

kAxx

2T −

−

∗−

µ∆+∆= ...................................................................... (8.14)

[ ] ∗+

∗++++

+++

µ∆+∆=

21ig2

1i1iiii1i1i

1i1iii2

1i*

B1

xAkxAkAkAk2T .................................................... (8.15)

4

[ ] ∗−

∗−−−−

−−−

µ∆+∆=

21ig2

1i1iiii1i1i

1i1iii2

1i*

B1

xAkxAkAkAk2T ................................................... (8.16)

Donde el asterisco, ∗ , indica el nivel de tiempo al cual se evalúa la viscosidad y el

factor volumétrico del gas. Si n=∗ , n

21i2

1iTT

++=∗ y n

21i2

1iTT

−−=∗ , se habla de

transmisibilidad explícita. Si 1n +=∗ , 1n

21i2

1iTT +∗

++= y 1n

21i2

1iTT +∗

−−= , se habla de

transmisibilidad implícita.

Una vez definido el nivel del tiempo, n=∗ o 1n +=∗ , los valores de ∗

+µ

21ig y ∗

+ 21igB

son evaluados a una presión promedia; por ejemplo a ∗

+ 21i

P , donde:

1ii

1i1iii

21i VV

PVPVP

+

∗++

∗∗+ +

+= ................................................................................... (8.17)

Llevando las Ecuaciones 8.13 y 8.14 a la Ecuación 8.8, se tiene:

( ) ( )

i

1ii2

1ii1i2

1i

g x

PPTPPT

xP

BkA

x ∆

−−−≅

∂∂

µ∂∂ −

∗−+

∗+

............................................. (8.18)

Y llevando la Ecuación 8.18 a la Ecuación 8.5:

( ) ( )( )

CNvijCN

CN

i

1ii2

1ii1i2

1iqA

zP

tTPTA

x

PPTPPT+

∂∂φ

=∆

−−− −∗−+

∗+

( ) ( ) ( )CNvij

CN

CNijp1ii

21ii1i

21i

QzP

tTPT

VPPTPPT +

∂∂

=−−− −∗−+

∗+

De donde:

5

vijCN

CNijp1i

21ii

21i2

1i1i2

1iQ

zP

tTPT

VPTPTTPT +

∂∂

=+

+− −

∗−

∗−

∗++

∗+

......................... (8.19)

Si se aproxima:

−

∆≅

∂∂

+ n1n

zP

zP

t1

zP

t......................................................................... (8.20)

Se obtiene:

( )CNvij

n

i

i1n

i

i

CN

CNijp1i

21ii

21i2

1i1i2

1iQ

zP

zP

tTPTV

PTPTTPT +

−

∆

=+

+−

+

−∗−

∗−

∗++

∗+

... (8.21)

Sea

TPTV

CN

CNijpij =γ ................................................................................................. (8.22)

Luego:

( )CNvij

n

i

i1n

i

iij1i

21ii

21i2

1i1i2

1iQ

zP

zP

tPTPTTPT +

−

∆

γ=+

+−

+

−∗−

∗−

∗++

∗+

............ (8.23)

Las Ecuaciones 8.21 y 8.23 pueden ser aplicadas para generar un esquema de

presión implícita y transmisibilidad explícita, haciendo n=∗ y evaluando las

presiones del lado izquierdo al tiempo 1ntt += :

( )CNvij

n

i

iij1n

i

iij1n1i

n

21i

1ni

n

21i

n

21i

1n1i

n

21i

QzP

tzP

tPTPTTPT +

∆

γ−

∆

γ=+

+−

+

+−−

+−+

+++

De donde:

6

( )CNvij

n

i

iij1n1i

n

21i

1ni1n

i

ijn

21i

n

21i

1n1i

n

21i

QzP

tPTP

tzTTPT +

∆

γ−=+

∆

γ++− +

−−+

+−++

++......... (8.24)

La ecuación (8.24) representa el modelo numérico a resolver. En esta ecuación

se tienen cuatro incógnitas: 1n1i

P +−

, 1ni

P + , 1n1i

P ++

y 1ni

Z + . El hecho de que la variable

1ni

Z + sea una incógnita más hace que la solución del sistema de ecuaciones

generado por la ecuación (8.24) sea un proceso de ensayo y error. A continuación

se presentan algunos algoritmos basados en los métodos de solución de

ecuaciones discutidas en los capítulos 4 y 5.

8.1. SOLUCIÓN MEDIANTE EL ALGORITMO DE LA TRIDIAGONAL

El procedimiento de solución incluye los siguientes pasos:

a. Se asume un valor para 1ni

z + en la iteración cero:

( )ni

01n

i zz =+

( )0

1niz + representa el factor de compresibilidad z correspondiente al bloque i ,

evaluado al tiempo 1nt + , iteración 0 (cero).

b. Se resuelve el sistema tridiagonal generado por la ecuación (8.24). De esta

forma se obtiene:

1n)0(

iP + , 1n

)0(

1iP +

+ y 1n

)0(

1iP +

−

7

c. Con los valores de 1n)0(

iP + , 1n

)0(

1iP +

+ y 1n

)0(

1iP +

− obtenidos en el paso anterior, se estima

( )11n

iz + de datos PVT.

d. Una vez conocido el valor de ( )1

1niz + , se resuelve de nuevo el sistema el

sistema tridiagonal , ecuación (8.24), con la finalidad de obtener nuevos

valores de presión:

1n)1(

iP + , 1n

)1(

1iP +

+ y 1n

)1(

1iP +

−

e. Se repite los pasos b, c y d hasta que las presiones o los factores de

compresibilidad, de cada bloque, en dos iteraciones consecutivas sean

iguales dentro de cierto grado de tolerancia.

8.2. SOLUCIÓN POR EL MÉTODO DE GAUSS - SEIDEL

La Ecuación 8.24 puede ser escrita como:

( )

1ni

in

21i

n

21i

CNvijni

nii1n

1in

21i

1n1i

n

21i

1ni

tzTT

QzP

tPTPT

P

+−+

+−−

+++

+

∆γ

++

−⋅∆γ

++= ............................................... (8.25)

Para resolver esta ecuación por el método de Gauss – Seidel, se hace necesario

escribirla de la siguiente forma:

8

( )

( ) ( )( )

( )k1n

i

in

21i

1n

21i

CNvijni

nii

1k1n

1in

21i

k1n

1in

21i1k

1ni

ztTT

QzP

tPTPT

P

+−

++

++

−−+

++++

∆

γ++

−⋅∆γ

++= ................................................ (8.26)

El procedimiento de solución puede ser resumido así:

a. Para el tiempo nt , se conocen los valores de niP y n

iz , para cada uno de los

bloques de la malla.

b. Para la primera iteración, 0k = , se asume:

( )

ni

01n

i PP =+ ( )

ni

01n

i zz =+

c. Se calcula ( )1

1niP + de la ecuación (8.26), para cada una de los bloques de la

malla.

d. Se calcula ( )1

1niz + para cada bloque de la malla.

e. Se repite el anterior procedimiento hasta que se cumplan los criterios de

convergencia:

I.

( ) ( )

( ) 11k1n

i

k1n

i

1k1n

i

P

PPε<

−++

+++

9

II. 21ki

ki

1ki

zzz

ε<−+

+

III. 31MB ε<−

8.3. SOLUCIÓN POR EL MÉTODO DE PSOR

Supóngase que la presión ( )1k

1niP++ en la ecuación (8.26) se nota como

( )1k1n

iP+∗+ . Es decir:

( )

( ) ( )( )

( )k1n

i

in

21i

n

21i

CNvijni

nii

1k1n

1in

21i

k1n

1in

21i1k

1ni

ztTT

QzP

tPTPT

P

+−+

++

−−+

+++∗+

∆

γ++

−⋅∆γ

++= ............................................... (8.27)

El método PSOR se puede aplicar a este caso calculando el valor de ( )1k

1niP++ de la

siguiente forma:

( )

( )( ) ( )1k

1ni

k1n

i

1k1n

i PP1P+∗++

++ ω+ω−= .............................................................................. (8.28)

El valor de ( )1k

1niP+∗+ está dado por la ecuación (8.27). El procedimiento es el

siguiente:

a. En el momento de calcular ( )1k

1niP++ se conoce la siguiente información: n

iP y niz .

b. Para la iteración cero, 0k = , se asume:

10

( )ni

01n

i PP =+ ( )

ni

01n

i zz =+

c. Se calcula ( )1

1n1iP ++ , para todos los bloques de la malla.

d. Se calcula ( )1

1niz + de datos PVT para cada uno de los bloques de la malla.

e. Se repite el anterior procedimiento hasta que se cumplan los criterios de

convergencia (véase numeral 8.2).

1

9. FLUJO DE UN FLUIDO COMPRESIBLE (2D)

Considérese la ecuación de flujo, 2D, coordenadas cartesianas:

( )q~H

tH

yPkH

yxPkH

xg

gg +∂

ρ∂φ=

∂∂

ρµ∂

∂+

∂∂

ρµ∂

∂ ............................(9.1)

Siguiendo un procedimiento similar al seguido para flujo lineal de un fluido

compresible (capitulo 8), la Ecuación 9.1 puede ser escrita como:

( )CNVCN

CN

gg

qHZP

tTPTH

yPkH

yxPkH

x+

∂∂

φ=

∂∂

µβ∂∂

+

∂∂

µβ∂∂ ...............(9.2)

Siguiendo un procedimiento análogo al seguido para obtener la ecuación para el

caso lineal, se puede obtener:

( ) ( )

i

1ii

j,1ij,i

j,21igi1i

j,ij,1i

j,21ig

g x

xxPP2kH

xxPP2kH

xPkH

x ∆

∆+∆

−

µβ−

∆+∆

−

µβ=

∂∂

µβ∂∂ −

−

−+

+

+ (9.3)

( ) ( )

j

1ii

j,1ij,i

21j,igi1i

j,i1j,i

21j,ig

g y

yyPP2kH

yyPP2kH

yPkH

y ∆

∆+∆

−

µβ−

∆+∆

−

µβ=

∂∂

µβ∂∂ −

−

−+

+

+ (9.4)

Adicionalmente,

[ ]1ii

*

j,21igj

*j,2

1i

xx2kH

y

T

++

+

∆+∆

µβ=

∆.....................................................(9.5)

2

[ ]1ii

*

j,21igj

*j,2

1i

xx2kH

y

T

−−

−

∆+∆

µβ=

∆.....................................................(9.6)

[ ]1jj

*

21j,igi

*

21j,i

yy2kH

x

T

−−

−

∆+∆

µβ=

∆.....................................................(9.7)

[ ]1jj

*

21j,igi

*

21j,i

yy2kH

x

T

++

+

∆+∆

µβ=

∆.....................................................(9.8)

De esta forma las ecuaciones (9.3) y (9.4) pueden ser escritas como:

( ) ( )ij

j,1ij,i*

j,21ij,ij,1i

*j,2

1i

g xy

PPTPPT

xPkH

x ∆∆

−−−=

∂∂

µβ∂∂ −−++

..........................(9.9)

( ) ( )ij

1j,ij,i*

21j,ij,i1j,i

*

21j,i

g xy

PPTPPT

yPkH

y ∆∆

−−−=

∂∂

µβ∂∂ −−++

..........................(9.10)

Llevando las ecuaciones (9.9) y (9.10) a (9.2), se obtiene:

( ) ( ) ( ) ( )=

∆∆

−−−+−−− −−++−−++

ij

1j,ij,i*

21j,ij,i1j,i

*

21j,ij,1ij,i

*j,2

1ij,ij,1i*

j,21i

xy

PPTPPTPPTPPT

( )CNV

nj,i

1nj,i

CN

CN qHZ

PZ

Pt

1TP

TH +

−

∆

φ+

.......................................(9.11)

Si se define:

φ∆∆= HyxV iipij ............................................................................ (9.12)

3

TPTVCN

CNpijij =γ ............................................................................... (9.13)

Reorganizando términos la ecuación (9.23) puede ser escrita como:

++

+++−+ −−−+−+−−++ 1j,i

*

21j,ij,i

*

21j,i

*

21j,i

*j,2

1i*

j,21ij,1i

*j,2

1ij,1i*

j,21i

PTPTTTTPTPT

( )CNvij

n

ij

1n

ijij1j,i

*

21j,i

QZ

PZ

Pt

PT +

−

∆

γ=

+

++.................................... (9.14)

Donde:

j,21gij,2

1gi1ij,ij,iij,1ij,1i

j,1ij,1iij,ij,i*j,2

1i B1

xHkxHkHkyHk2

T+++++

++

+ µ∆+∆

∆= ................................. (9.15)

Expresiones análogas se pueden obtener para *j,2

1iT

−, *

21j,i

T+

y *

21j,i

T−

.

La ecuación (9.14) genera el sistema de ecuaciones cuya solución conlleva al

cálculo de distribución de presiones en el sistema. Para transmisibilidades

explícitas y presiones implícitas, se tiene:

++

+++−+ +

+++

−+−++

−−+

++1n1j.i

n

21j,i

1nj,i

n

21j,i

n

21j,i

nj,2

1in

j,21i

1nj,1i

nj,2

1i1nj,1i

nj,2

1iPTPTTTTPTPT

( )CNvij

n

ij

ij

1n

ij

ijij1n1j,i

n

21j,i

QZP

ZP

tPT +

−

∆

γ=

+

+−−

De donde:

+

∆

γ++++−+ +

+−+−++

−−+

++1n

j,i1nj,i

ijn

21j,i

n

21j,i

nj,2

1in

j,21i

1nj,1i

nj,2

1i1nj,1i

nj,2

1iP

tzTTTTPTPT

( )n

ij

ijijCNvij

1n1j,i

n

21j,i

1n1j.i

n

21j,i Z

Pt

QPTPT

∆

γ−=+ +

−−+++

.................................... (9.16)

4

La ecuación (9.16) puede ser escrita como:

ij1n1j.iij

1nj,1iij

1nj,iij

1nj,1iij

1n1j.iij FPNPEPCPWPS =+++++ +

++

+++

−+− ........................... (9.17)

Donde:

n

21j,iij TS

−= .................................................................................... (9.18)

nj,2

1iij TW−

= ................................................................................... (9.19)

( )

∆

γ+−=

∆

γ++++−=

++−+−+ k

1nij

ijij1n

j,i

ijn

21j,i

n

21j,i

nj,2

1in

j,21iij

Ztc

tZTTTTC .... (9.20)

nj,2

1iij TE+

= .................................................................................... (9.21)

n

21j,iij TN

+= .................................................................................... (9.22)

( )n

ij

ijijCNvijij Z

Pt

QF

∆

γ−= ................................................................ (9.23)

La ecuación (9.17) genera un sistema penta-diagonal de ecuaciones el cual puede

ser resuelto por algún método directo o iterativo. Tal como se discutió en el

capítulo 5.

A continuación se discute la aplicación de algunos de estos métodos.

SOLUCIÓN POR MÉTODOS DIRECTOS

El procedimiento de solución mediante la aplicación de métodos directos puede

ser resumido de la siguiente forma:

5

1. Se conoce nijZ .

2. Se asume nij

1nij ZZ =+ .

3. Se resuelve el sistema se ecuaciones generado por la Ecuación 9.17

mediante algún método directo (eliminación Gaussiana, Gauss – Jordan,

etc.).

4. Se evalúa 1nijZ + conociendo 1n

ijP + calculado en el paso 3 y de datos PVT, ij∀ .

5. Si el valor 1nijZ + obtenido del paso 4 es igual al valor asumido en el paso 2,

se ha obtenido el verdadero valor; de lo contrario se asume un nuevo 1nijZ + y

se repiten lo cálculos.

SOLUCIÓN POR MÉTODOS ITERATIVOS

Esta sección discute algunos de los métodos iterativos discutidos en capítulos

anteriores.

Solución Mediante Aplicación del Método de Gauss-Seidel

La ecuación (9.17) puede ser escrita como:

[ ]

∆

γ+−=

+++−=

++

++

+−

+−+

ij

ijijj,i

1n1j,iij

1nj,1iij

1nj,1iij

1n1j,iijij1n

ij

ZtcC

PNPEPWPSFP ............................... (9.24)

Para los cálculos de la iteración k, se puede escribir:

6

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

∆

γ+−=

+++−

=

+

++−

++

++

−+

+++

k1n

ij

ijij

)k(j,i

1k1n1j,iij

k1n1j,iij

1k1nj,1iij

k1nj,1iijij1k

1nij

ZtcC

PePdPbPaFP ............................... (9.25)

El procedimiento puede ser resumido de la siguiente forma:

1. Se conoce nijP , n

ijZ , j,i∀ .

2. Para 0k = , se asume: ( )

nj,1i

01nj,1i PP +

++ = ,

( )n

1j,i

01n1j,i PP +++ = y

( )nij

01n

ij ZZ =+ .

3. Se calcula ( )1

1nijP + , j,i∀ .

4. Se calcula ( )1

1nijZ + de datos PVT.

5. Se repite el procedimiento hasta que:

a.

( ) ( )

( ) 11k1n

ij

k1n

ij

1k1n

ij

P

PPε≤

−++

+++

.

b.

( ) ( )

( ) 21k

ij

k

ij

1k

ij

Z

ZZε≤

−+

+

c. 30.1MB ε≤−

Solución Mediante Aplicación del Método PSOR

Supóngase que la presión ( )1k

1nijP++ de la ecuación (9.25) se nota como:

( )1k*1n

ijP++ ; luego, se

tiene:

7

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

∆

γ+−=

+++−

=

+

++

++

++

−

++−+

+

k1n

ij

ijij

)k(j,i

k1n1j,iij

k1nj,1iij

1k1nj,1iij

1k1n1j,iijij1k*

1nij

ZtcC

PNPEPWPSFP ............................ (9.26)

El método PSOR en este caso consiste en calcular un valor ponderado de ( )1k

1nijP++

utilizando el valor de ( )1k*

1nijP++ y el valor de

( )k1n

ijP + en la siguiente forma:

( ) ( )

( )( )k

1nij

1k*1n

ij

1k1n

ij Pw1PwP +++

++ −+= ............................................................. (9.27)

El valor de ( )1k*

1nijP++ está dado por la ecuación (9.25). El procedimiento de solución es

como se describe a continuación:

1. Se conoce ( )k

1nijP + ,

( )1k1nj,1iP

++

− , ( )k

1n1j,iP ++ ,

( )1k1n1j,iP

++− ,

( )k1n

ijZ + , nijZ y n

ijP j,i∀ . Para 0k = se asume:

( )nij

01n

ij PP =+ y ( )

nij

01n

ij ZZ =+

2. Se calcula ( )1

1nijP + j,i∀ .

3. Se calcula ( )1

1nijZ + j,i∀ , en base a datos PVT.

4. Se verifican los criterios de convergencia j,i∀ .

8

Solución Mediante Aplicación del Método LSOR

Si se lleva la ecuación (9.26) a la ecuación (9.27), se obtiene:

( )( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

∆

γ+−=

++++−

+−=

+

++

++

++

−

++−

+++

k1n

ij

ijij

)k(j,i

k1n1j,iij

k1nj,1iij

1k1nj,1iij

1k1n1j,iijijk

1nij

1k1n

ij

ZtcC

PNPEPWPSFwPw1P . (9.28)

Supóngase que la malla se recorre por filas tal como se ilustra en la Figura 9.1:

Figura 9.1 – Recorrido de Malla por Filas.

( )1k1nj,1iP

++

−

( )1k1n

j,iP++

( )1k1nj,1iP

++

+

}}

Iteración k

Iteración k+1

1 1i− i 1i+ N..........

1

1j −

j

1j +

M

.

.

.

.

.

.

9

El método consiste en resolver el sistema tridiagonal de ecuaciones generado

al reorganizar la ecuación (9.28) de tal forma que las incógnitas sean las

presiones de la fila j en la iteración 1k + : ( )1k

1nj,1iP

++

− , ( )1k

1nijP++ y

( )1k1nj,1iP

++

+ . De la ecuación

(9.28):

( )( )

( )( )

( )

( )

( )

( ) ( )

( )

∆

γ+

−−+

∆

γ+

−

∆

γ+

−−=

+

++

++−

+

++

+

++

−+++

k1n

ij

ijij

k1n1j,iij

1k1n1j,iijij

k1n

ij

ijij

k1nj,1iij

k1n

ij

ijij

1k1nj,1iij

k1n

ij

1k1n

ij

Ztc

PNPSFw

Ztc

PwE

Ztc

PwWPw1P

De donde:

( )

( )

( )( )

( )

( )( )

( ) ( )

( )

∆

γ+

−−+−=

∆

γ+

++

∆

γ+

+

++

++−+

+

++

++

+

++

−

k1n

ij

ijij

k1n1j,iij

1k1n1j,iijij

k1n

ij

k1n

ij

ijij

k1nj,1iij

1k1n

ij

k1n

ij

ijij

1k1nj,1iij

Ztc

PNPSFwPw1

Ztc

PwEP

Ztc

PwW (9.29)

Las presiones del lado derecho de la ecuación (9.29) son conocidas, ó bien de

iteración anterior o bien de la iteración actual, de filas ya barridas. El

procedimiento de solución puede ser resumido de la siguiente forma:

1. Se conoce nijP , n

ijZ j,i∀ .

2. Para 0k = , se asume: ( )

nij

01n

ij PP =+ , ( )

nij

01n

ij ZZ =+ .

3. Se resuelve la malla barriéndola por filas. En cada fila se resuelve el

sistema de ecuaciones generado por (9.29).

4. Se obtiene ( )1

1nijZ + j,i∀ .

5. Se prueban criterios de convergencia. Si se cumplen se continua con el

siguiente nivel de tiempo; si no se cumplen se repite el proceso.