TCNICAS DE RECOLECCIN DE DATOSMatemtica Primero Bsico III BIM

La recoleccin dedatosse refiere al uso de una gran diversidad detcnicasyherramientasque pueden ser utilizadas por el analista para desarrollar lossistemasdeinformacin, los cuales pueden ser laentrevistas, laencuesta, elcuestionario, laobservacin, eldiagrama de flujoy eldiccionariode datos. Todos estos instrumentos se aplicar en un momento en particular, con la finalidad de buscar informacin que ser til a unainvestigacinen comn. En la presente investigacin trata con detalle los pasos que se debe seguir en elprocesoderecoleccin de datos, con las tcnicas ya antes nombradas.

ORGANIZACIN DE DATOS Y TABLAS DE FRECUENCIASDefinicin de EstadsticaLaEstadsticatrata del recuento, ordenacin y clasificacin de los datos obtenidos por las observaciones, para poder hacer comparaciones y sacar conclusiones.Unestudio estadsticoconsta de las siguientes fases:1. Recogida de datos.2. Organizacin y representacin de datos.3. Anlisis de datos.4. Obtencin de conclusiones.5. Conceptos de EstadsticaPoblacinUnapoblacines el conjunto de todos los elementos a los que se somete a un estudio estadstico.IndividuoUnindividuoounidad estadsticaes cada uno de los elementos que componen la poblacin.MuestraUnamuestraes un conjunto representativo de la poblacin de referencia, el nmero de individuos de una muestra es menor que el de la poblacin.MuestreoElmuestreoes la reunin de datos que se desea estudiar, obtenidos de una proporcin reducida y representativa de la poblacin.ValorUnvalores cada uno de los distintos resultados que se pueden obtener en un estudio estadstico. Si lanzamos una moneda al aire 5 veces obtenemos dos valores: cara y cruz.DatoUndatoes cada uno de los valores que se ha obtenido al realizar un estudio estadstico. Si lanzamos una moneda al aire 5 veces obtenemos 5 datos: cara, cara, cruz, cara, cruz.Definicin de variableUnavariable estadsticaes cada una de lascaractersticas o cualidadesque poseen los individuos de una poblacin.Tipos de variable estadsticas

Variable cualitativaLasvariables cualitativasse refieren acaractersticas o cualidadesquenopueden ser medidas connmeros. Podemos distinguir dos tipos:

Variable cualitativa nominalUnavariable cualitativa nominalpresentamodalidades no numricasquenoadmiten uncriterio de orden. Por ejemplo:El estado civil, con las siguientes modalidades: soltero, casado, separado, divorciado y viudo.

Variable cualitativa ordinal o variable cuasicuantitativaUnavariable cualitativa ordinalpresentamodalidades no nmericas, en las que existe unorden. Por ejemplo:La nota en un examen: suspenso, aprobado, notable, sobresaliente.Puesto conseguido en una prueba deportiva: 1, 2, 3, ...Medallas de una prueba deportiva: oro, plata, bronce.

Variable cuantitativaUnavariable cuantitativaes la que se expresa mediante unnmero, por tanto se pueden realizar operaciones aritmticascon ella. Podemos distinguir dos tipos:

Variable discretaUnavariable discretaes aquella que tomavalores aislados, es decirnoadmitevalores intermediosentre dos valores especficos. Por ejemplo:El nmero de hermanos de 5 amigos: 2, 1, 0, 1, 3.

Variable continuaUnavariable continuaes aquella que puede tomarvalores comprendidos entre dos nmeros. Por ejemplo:La altura de los 5 amigos: 1.73, 1.82, 1.77, 1.69, 1.75.En la prctica medimos la altura con dos decimales, pero tambin se podra dar con tres decimales.

Distribucin de frecuenciasLadistribucin de frecuenciasotabla de frecuenciases unaordenacinen forma detablade losdatos estadsticos, asignando a cadadatosufrecuencia correspondiente.Tipos de frecuenciasFrecuencia absolutaLafrecuencia absolutaes elnmero de vecesque aparece un determinadovaloren un estudio estadstico.Se representa porfi.Lasuma de las frecuencias absolutases igual al nmero total de datos, que se representa porN.

Para indicar resumidamente estas sumas se utiliza la letra griega(sigma mayscula) que se lee suma o sumatoria.

Frecuencia relativaLafrecuencia relativaes elcocienteentre la frecuencia absolutade un determinado valor y elnmero total de datos.Se puede expresar en tantos por ciento y se representa porni.

La suma de las frecuencias relativas es igual a 1.

Frecuencia acumuladaLafrecuencia acumuladaes lasuma de las frecuencias absolutasde todos losvalores inferiores o igualesalvalorconsiderado.Se representa porFi.

Frecuencia relativa acumuladaLafrecuencia relativa acumuladaes elcocienteentre lafrecuencia acumuladade un determinadovalory elnmero total de datos. Se puede expresar en tantos por ciento.EjemploDurante el mes de julio, en una ciudad se han registrado las siguientes temperaturas mximas:32, 31, 28, 29, 33, 32, 31, 30, 31, 31, 27, 28, 29, 30, 32, 31, 31, 30, 30, 29, 29, 30, 30, 31, 30, 31, 34, 33, 33, 29, 29.En la primera columna de la tabla colocamos la variable ordenada de menor a mayor, en la segunda hacemos el recuento y en la tercera anotamos la frecuencia absoluta.xiRecuentofiFiniNi

27I113,23,2

28II236,59,7

296919,429,0

3071622,651,6

3182425,877,4

32III3279,787,1

33III3309,796,8

34I1313,2100

31100

Este tipo detablas de frecuenciasse utiliza convariables discretas.

Distribucin de frecuencias agrupadasLadistribucin de frecuencias agrupadasotabla con datos agrupadosse emplea si lasvariablestoman unnmero grande de valoreso lavariable es continua.Seagrupanlosvaloresenintervalosque tengan lamisma amplituddenominadosclases. A cadaclasese le asigna sufrecuencia correspondiente.

Lmites de la claseCadaclaseestdelimitadapor ellmite inferior de la clasey ellmite superior de la clase.

Amplitud de la claseLaamplitud de la clasees ladiferenciaentre ellmite superior e inferiorde laclase.

Marca de claseLamarca de clasees elpunto mediode cadaintervaloy es elvalorque representa a todo elintervalopara elclculode algunosparmetros.Construccin de una tabla de datos agrupados3, 15, 24, 28, 33, 35, 38, 42, 43, 38, 36, 34, 29, 25, 17, 7, 34, 36, 39, 44, 31, 26, 20, 11, 13, 22, 27, 47, 39, 37, 34, 32, 35, 28, 38, 41, 48, 15, 32, 13.1 Se localizan los valores menor y mayor de la distribucin. En este caso son 3 y 48.

2 Se restan y se busca un nmero entero un poco mayor que la diferencia y que sea divisible por el nmero de intervalos queramos establecer.

Es conveniente que el nmero de intervalos oscile entre 6 y 15.En este caso, 48 - 3 = 45, incrementamos el nmero hasta 50 : 5 = 10 intervalos.Se forman los intervalos teniendo presente que el lmite inferior de una clase pertenece al intervalo, pero el lmite superior no pertenece intervalo, se cuenta en el siguiente intervalo.cifiFiniNi

[0, 5)2.5110.0250.025

[5, 10)7.5120.0250.050

[10, 15)12.5350.0750.125

[15, 20)17.5380.0750.200

[20, 25)22.53110.0750.2775

[25, 30)27.56170.1500.425

[30, 35)32.57240.1750.600

[35, 40)37.510340.2500.850

[40, 45)42.54380.1000.950

[45, 50)47.52400.0501

401

Para qu nos sirven los grficos y las tablas de datos?Losgrficosy lastablasrepresentan e interpretan informacin procedente de diferentes fuentes, de forma clara, precisa y ordenada. Casi todo tipos de informacin puede organizarse en unatabla de datosy ser representada en algn tipo degrfico.Segn las caractersticas y la cantidad de datos, conviene utilizar uno u otro grfico.

Grficos de barrasSon aquellos que emplean rectngulos (barras) que se colocan paralelamente. La altura indica la frecuencia de ese dato. Los grficos de barras, permiten representar informacin numrica en forma clara y ordenada, para comunicarla a otras personas. Con la informacin representada en los grficos puedes interpretar rpidamente y de manera visual la informacin, facilitando su posterior anlisis.Para construir un grfico de barras, debes dibujar un eje vertical y otro horizontal. En el espacio libre se ubican las barra. Los datos numricos van en el eje vertical (determinando la altura de las barras) y las categoras en el eje horizontal.

Ejemplo prcticoPara que comprendas mejor, revisaremos paso por paso un ejercicio:A- Los nios de un curso, elaboraron una encuesta para saber cual pelcula era la preferida por el curso, los resultados que obtuvieron fueron los siguientes:-12 alumnos dijeron: Los pitufos-16 alumnos dijeron:Thor-10 alumnos dijeron: Linterna verde-6 alumnos dijeron:CrepsculoPaso 1-Ahora esta encuesta la graficaremos en una tabla de frecuencia, para ello realizaremos una tabla con 4 casillas, que son las pelculas escogidas por los alumnos:

Paso 2-Ahora debemos agregar un ttulo a la columna con el listado de las pelculas al que llamaremosPelculasy la columna de la derecha donde aparecen los datos con la cantidad de alumnos a quin le hicimos la encuesta, la llamaremosAlumnos del curso, adems colocaremos los resultados:

Con estos datos podemos observar de manera clara que la pelcula que prefieren los alumnos esThor.Paso 3-Con los datos de la tabla podemos realizar un grfico.Para realizar el grfico, lo primero que debemos hacer es dibujar los ejes de coordenadas, uno vertical y el otro horizontal, como se ve a continuacin:

En eleje vertical, vamos a representar el nmero de veces que han elegido los alumnos sus pelculas preferidas y en eleje horizontal, vamos a representar las pelculas.Hora solo tenemos que marcar en el grfico los datos que hemos recogido en la tabla.Lamodaes el dato que tienemayor frecuencia, en este caso es lapelcula Thor.

Grfica CircularEl grfico circular es til para representar proporciones de distintas clases dentro de una muestra. La muestra es representada por un crculo y cada una de las clases que la componen, por un sector de ste. El ngulo de cada sector mantiene la misma proporcin de 360 que la de la clase representada respecto del tamao total de la muestra.

Calcula las proporciones del grfico circular.1. Rene tu informacin numrica y etiqueta la informacin escribindola en un solo lugar.2. Suma toda la informacin. Este nmero ser tu denominador.3. Calcula el porcentaje para cada seccin. Divide cada etiqueta por el denominador calculado anteriormente.4. Calcula el ngulo entre los dos lados de la pieza. Para hacerlo, multiplica el porcentaje (que todava est en forma decimal) por 360.5. La lgica detrs de esto es que hay 360 grados en un crculo. Si sabes que 14,400 es el 30 por ciento de un entero (o 0,30), entonces slo tienes que averiguar cunto es el 30% de 360.6. Suma todos los grados para calcular desde este paso. Deberan sumar 360. Si no lo hacen, entonces te equivocaste en algo o te falt alguna informacin.

7. Usa un comps para dibujar el crculo. Para dibujar el grfico circular de forma precisa, necesitars un crculo perfecto. Esto puede usarse usando un comps (y un transportador para medir los ngulos). Si no tienes un comps, prueba trazar alrededor de la plantilla del crculo, cuando algo como una tapa redonda o un CD.8. Dibuja el radio. Empieza en el centro exacto del crculo y dibuja una lnea recta hacia afuera del crculo. (Consejo: haz un punto con el comps para encontrar el centro del centro.)9. La lnea recta puede ser vertical u horizontal. Los segmentos que crees debern seguir esa lnea ya sea a favor de las manecillas del reloj o en contra de ellas.

10. Coloca el transportador en el crculo. Colcalo en el crculo para que el punto de mira de los 90 est situado directamente encima del centro del crculo. El punto del cero debe estar alineado verticalmente a lo largo de la lnea del radio.

11. Dibuja la divisin de cada seccin. Dibuja las secciones marcando la primera divisin contra el eje del transportador usando el ngulo correcto de acuerdo a tus clculos anteriores. Cada vez que agregues una seccin, el radio cambia a la lnea vertical que acabas de dibujar.12. Cuando ests marcando las lneas de los ngulos. Asegrate de marcarlas bien y se puedan ver.

13. Colorea cada segmento. Usa colores, patrones o palabras, dependiendo de que vaya mejor con tu propsito. Agrega un nombre a cada seccin y el porcentaje que representan en tu grfico. Colorea cada seccin de un color o patrn diferente para poder distinguirlas fcilmente.Medidas de Tendencia CentralLas medidas de tendencia central son valores que se ubican al centro de un conjunto de datos ordenados segn su magnitud. Generalmente se utilizan 4 de estos valores tambin conocidos como estadgrafos, la media aritmtica, la mediana, la moda y al rango medio.

La media aritmtica es la medida de posicin utilizada con ms frecuencia. Si se tienen n valores de observaciones, la media aritmtica es la suma de todos y caca uno de los valores dividida entre el total de valores: Lo que indica que puede ser afectada por los valores extremos, por lo que puede dar una imagen distorcionada de la informacin de los datos.

La Mediana, es el valor que ocupa la posicin central en un conjunto de datos, que deben estar ordenados, de esta manera la mitad de las observaciones es menor que la mediana y la otra mitad es mayor que la mediana, resulta muy apropiada cuando se poseen observaciones extremas.

La Moda es el valor de un conjunto de datos que aparece con mayor frecuencia. No depende de valores extremos, pero es ms variables que la media y la mediana.

Rango Medio es la media de las observaciones menor y mayor. como intervienen solamente estas observaciones, si hay valores extremos, se distorsiona como medida de posicin, pero ofrece un valor adecuado, rpido y sencillo para resumir al conjunto de datos.La mediaLamediade una muestra se define como la suma de todos los valores observados en la muestra dividida por el nmero total de observaciones.Calculemos la media de la siguiente muestra: un curso de geologa de 20 alumnos.

La media sera:

La media de nuestro curso nos da 20,3, esto significa que el promedio de edad del curso es de 20,3 aos.

Cmo calculamos la media de una tabla de frecuencias con datos agrupados en intervalos?

Supongamos la siguiente tabla de frecuencias en la que se muestran las notas de un exmen de matemtica de un curso de 35 alumnos:

Lo primero que debemos hacer es calcular lamarca de clase, es decir, el punto medio de cada intervalo:

Nuestra nueva tabla de frecuencias quedara as:

Ahora calculamos la media como aprendimos, con un tabla de frecuencia sin intervalos:

Obtuvimos una media de 5,4, es decir, el promedio del curso en el exmen de matemtica fue de un 5,4.

La media es muy sensible a las variaciones de la variable, por lo que no es recomendable cuando hay valores muy extremos.La medianaLamedianaes el valor central de todos nuestros datos, es decir, si ordenamos todos nuestros datos en forma creciente o decreciente, la mediana es aquel valor que deja sobre s el 50% (la mitad) de los datos y bajo s el otro 50% (la otra mitad de los datos).

Tomemos la siguiente tabla de frecuencias:

Ordenamos primero los datos de menor a mayor o de mayor a menor:

La mediana sera la siguiente:

Cul es la mediana si el nmero de observaciones o datos de nuestra muestra es par?

En ese caso debemos tomar los dos valores centrales y obtener la media entre ellos.

Veamos el siguiente ejemplo de una muestra de 12 nios:

Partiremos ordenando los datos en forma creciente o decreciente y luego calcularemos la mediana como se muestra a continuacin:

La mediana en nuestro ejemplo sera 7,5.

Cmo se calcula la mediana para una tabla de frecuencia con datos agrupados en intervalos?Primero debemos obtener los siguientes datos:

1)Determinar el intervalo en donde se encuentra la mediana2)Obtener el lmite inferior del intervalo donde se encuentra la mediana (L)3)Obtener el nmero total de observaciones de la muestra (n)4)Calcular la frecuencia absoluta acumulada hasta el intervalo anterior a la mediana (FAc)5)Obtener la frecuencia absoluta del intervalo de la mediana (FMe)6)Obtener el tamao del intervalo de la mediana (C)

Luego, para obtener el valor de la mediana debemos realizar el siguiente clculo:

Calculemos la mediana de la siguiente muestra:

1) 30/2 = 15, por lo tanto, la mediana se encuentra en el intervalo 4,1 - 5,02) L = 4,13) n = 304) FAc = 75) FMe = 96) C = 0,9Ahora traspasemos los datos a la frmula:

La mediana de nuestro ejemplo es 4,9.La mediana es menos sensible a las variaciones de la variable y es ms representativa cuando la variable tiene valores extremos.La modaLamodade una muestra es aquel valor de la variable que se presenta con mayor frecuencia, es decir, el que ms se repite.Veamos cul es la moda de la siguiente muestra:

La moda es 1, ya que, la variable "nmero de hermanos" presenta mayor frecuencia en aquel valor.Cmo se calcula la moda para una tabla de frecuencia de datos agrupados en intervalos?

En esos casos, la moda ser la marca de clase del intervalo con mayor frecuencia. Recuerda que la marca de clase es el punto medio de un intervalo, es decir, su media.

Veamos el siguiente ejemplo:

El intervalo que presenta mayor frecuencia es el 5,1 - 6,0 y la marca de clase de ste es la siguiente:

La moda de nuestra muestra es 5,55, ya que, es el valor que ms se repite de la variable.

La moda es muy sencilla de obtener pero es poco representativa.Cmo calcular, la media, la moda y la medianaEjercicios Media aritmticao promedioEs aquella medida que se obtiene aldividir la suma de todos los valores de una variable por la frecuencia total. En palabras ms simples, corresponde a la suma de un conjunto de datos dividida por el nmero total de dichos datos.

Ejemplo 1:En matemticas, un alumno tiene las siguientes notas:4, 7, 7, 2, 5, 3n = 6(nmero total de datos)

Lamedia aritmticade las notas de esa asignatura es 4,8. Este nmero representa elpromedio.Ejemplo 2:Cuando se tienen muchos datos es ms conveniente agruparlos en una tabla de frecuencias y luego calcular la media aritmtica. El siguiente cuadro con las medidas de 63 varas de pino lo ilustra.Largo (en m)Frecuencia absolutaLargo por Frecuencia absoluta

5105 . 10 = 50

6156 . 15 = 90

7207 . 20 = 140

8128 . 12 = 96

969 . 6 = 54

Frecuencia total = 63430

Se debe recordar que lafrecuencia absolutaindica cuntas veces se repite cada valor, por lo tanto, la tabla es una manera ms corta de anotar los datos (si la frecuencia absoluta es 10, significa que el valor a que corresponde se repite 10 veces).Moda (Mo)Es la medida que indica cual dato tiene lamayor frecuenciaen un conjunto de datos; o sea, cual se repite ms.Ejemplo 1:Determinar la moda en el siguiente conjunto de datos que corresponden a las edades de nias de un Jardn Infantil. 5, 7,3, 3, 7, 8,3, 5, 9, 5,3, 4,3La edad que ms se repite es 3, por lo tanto, laModaes 3 (Mo = 3)Ejemplo 2: 20, 12, 14, 23, 78, 56, 96En este conjunto de datosnoexiste ningn valor que se repita, por lo tanto, este conjunto de valoresno tienemoda.Mediana (Med)Para reconocer la mediana, es necesario tener ordenados los valores sea de mayor a menor o lo contrario. Usted divide el total de casos (N) entre dos, y el valor resultante corresponde al nmero del caso que representa la mediana de la distribucin.Es elvalor centralde un conjunto de valoresordenadosen forma creciente o decreciente. Dicho en otras palabras, la Mediana corresponde al valor que deja igual nmero de valores antes y despus de l en un conjunto de datos agrupados.Segn el nmero de valores que se tengan se pueden presentar dos casos:Si el nmero de valores es impar, la Mediana corresponder alvalor centralde dicho conjunto de datos.Si el nmero de valores es par, la Mediana corresponder al promedio de los dos valores centrales (los valores centrales se suman y se dividen por 2).Ejemplo 1:Se tienen los siguientes datos: 5, 4, 8, 10, 9, 1, 2Al ordenarlos en forma creciente, es decir de menor a mayor, se tiene: 1, 2, 4, 5, 8, 9, 10El 5 corresponde a la Med, porque es el valor central en este conjunto de datos impares.Ejemplo 2:El siguiente conjunto de datos est ordenado en forma decreciente, de mayor a menor, y corresponde a un conjunto de valores pares, por lo tanto, la Med ser el promedio de los valores centrales. 21, 19, 18, 15, 13, 11, 10, 9, 5, 3Ejemplo 3:Interpretando el grfico de barras podemos deducir que:5 alumnos obtienen puntaje de 625 alumnos obtienen puntaje de 678 alumnos obtienen puntaje de 7212 alumnos obtienen puntaje de 7716 alumnos obtienen puntaje de 824 alumnos obtienen puntaje de 87lo que hace un total de 50 alumnosSabemos que la mediana se obtiene haciendo

Lo cual significa que la mediana se ubica en la posicin intermedia entre los alumnos 25 y 26 (cuyo promedio es 25,5), lo cual vemos en el siguiente cuadro:

puntajealumnos

621

622

623

624

625

676

677

678

679

6710

7211

7212

7213

7214

7215

7216

7217

7218

7719

7720

7721

7722

7723

7724

7725

7726

7727

7728

7729

7730

8231

8232

8233

8234

8235

8236

8237

8238

8239

8240

8241

8242

8243

8244

8245

8246

8747

8748

8749

8750

El alumno 25 obtuvo puntaje de 77El alumno 26 obtuvo puntaje de 77Entonces, como el total de alumnos es par debemos promediar esos puntajes:

La mediana es 77, lo cual significa que 25 alumnos obtuvieron puntaje desde 77 hacia abajo (alumnos 25 hasta el 1 en el cuadro) y 25 alumnos obtuvieron puntaje de 77 hacia arriba (alumnos 26 hasta el 50 en el cuadro).

ProbabilidadLa probabilidad es un mtodo por el cual se obtiene la frecuencia de un acontecimiento determinado mediante la realizacin de un experimento aleatorio, del que se conocen todos los resultados posibles, bajo condiciones suficientemente estables. Los casos favorables de ocurrencia de un evento sern los que cumplan con la condicin que estamos buscando.

La probabilidad toma valores entre 0 y 1 (o expresados en tanto por ciento, entre 0% y 100%):

El valor cero corresponde al suceso imposible; ejemplo: lanzamos un dado al aire y la probabilidad de que salga el nmero 7 es cero.

El valor uno corresponde al suceso seguro, ejemplo: lanzamos un dado al aire y la probabilidad de que salga cualquier nmero del 1 al 6 es igual a uno (100%).

El resto de sucesos tendr probabilidades entre cero y uno: que ser tanto mayor cuanto ms probable sea que dicho suceso tenga lugar.Mtodos de medicin de ProbabilidadUno de los mtodos ms utilizados es aplicando la Regla de Laplace: define la probabilidad de un suceso como el cociente entre casos favorables y casos posibles.

Ejemplos:a)Probabilidad de que al lanzar un dado salga el nmero 2: el caso favorable (f) es tan slo uno (que salga el dos), mientras que los casos posibles (n) son seis (puede salir cualquier nmero del uno al seis).Por lo tanto:(o lo que es lo mismo, 16,6%)b)Probabilidad de que al lanzar un dado salga un nmero par: en este caso los casos favorables (f) son tres (que salga el dos, el cuatro o el seis), mientras que los casos posibles (n) siguen siendo seis.Por lo tanto:(o lo que es lo mismo, 50%)c)Probabilidad de que al lanzar un dado salga un nmero menor que 5: en este caso tenemos cuatro casos favorables (f) (que salga el uno, el dos, el tres o el cuatro), frente a los seis casos posibles.Por lo tanto:(o lo que es lo mismo, 66,6%)d)Probabilidad de ganarse el premio mayor de una lotera en la que juegan 100.000 nmerosnos: tan slo un caso favorable (f), el nmero que jugamos, frente a los 100.000 casos posibles (n).Por lo tanto:(o lo que es lo mismo, 0,001%)d)Probabilidad al lanzar una moneda, con un guila en una cara y un sol en la otra. Hay dos casos posibles (n) de ocurrencia (o cae guila o cae sol) y slo un caso favorable (f) de que pueda caer guila (pues slo hay un guila en la moneda).Por lo tanto:(o, lo que es lo mismo, 50 %)Existe una probabilidad del 50% de obtener un guila al tirar una moneda.

e)Probabilidad de elegir tal o cual fruta. Si en una canasta hay 20 peras y 10 manzanas. Qu fruta es ms probable que saque al azar de la canasta?

Para este ejemplo tenemos que 30 es el total de frutas en la canasta; es decir los casos posibles (n). Para calcular la probabilidad de sacar una manzana los casos favorables (f) son 10 puesto que existen slo 10 manzanas.Por lo tanto:(o, lo que es lo mismo, 33,3 %)(o, lo que es lo mismo, 66,7 %)Fjate bien que 33,3% + 66,7% es igual al 100% porque siempre que saquemos algo de la canasta es seguro que ser una fruta.Condiciones importantesPara poder aplicar la Regla de Laplace el experimento aleatorio tiene que cumplir dos requisitos:a)El nmero de resultados posibles (sucesoso eventos) tiene que ser finito. Si hubiera infinitos resultados, al aplicar la regla "casos favorables dividido por casos posibles" el cociente siempre sera cero.b)Todos los sucesos o eventos tienen que tener la misma probabilidad. Si al lanzar un dado, algunas caras tuvieran mayor probabilidad de salir que otras, no podramos aplicar esta regla.A la regla de Laplace tambin se le denomina "probabilidad a priori", ya que para aplicarla hay que conocer antes de realizar el experimento cuales son los posibles resultados y saber que todos tienen las mismas probabilidades.Cuando se realiza un experimento aleatorio un nmero muy elevado de veces, las probabilidades de los diversos posibles sucesos empiezan a converger hacia valores determinados, que son sus respectivas probabilidades.Ejemplo:Si lanzo una vez una moneda al aire y sale "cara", quiere decir que el suceso "cara" ha aparecido el 100% de las veces y el suceso "cruz" el 0%.Si lanzo diez veces la moneda al aire, es posible que el suceso "cara" salga 7 veces y el suceso "cruz" las 3 restantes. En este caso, la probabilidad del suceso "cara" ya no sera del 100%, sino que se habra reducido al 70%.Si repito este experimento un nmero elevado de veces, lo normal es que las probabilidades de los sucesos "cara" y "cruz" se vayan aproximando al 50% cada una. Este 50% ser la probabilidad de estos sucesos segn el modelo frecuentista.

Ejemplo Veamos otro ejemplo: Si yo tengo una canasta llena de peras y manzanas, de las cuales hay 20 peras y 10 manzanas. Qu fruta es ms probable que saque al azar de la canasta?

Para este ejemplo tenemos que 30 es el total de frutas en la canasta; es decir los casos posibles. Para calcular la probabilidad de sacar una manzana mis casos favorables son 10 puesto que existen slo 10 manzanas. As, aplicando la frmula obtenemos que:

33.3% probableCalculando igual, la probabilidad de sacar pera es: 66.7% probableComo 66.7 es mayor que 33.3 es ms probable que saque una pera, pues hay ms peras que manzanas en la canasta.

Fjate bien que 33.3% + 66.7% es igual al 100% porque siempre que saques algo de la canasta es seguro que saques una fruta.

As, el valor de la probabilidad de un evento imposible es 0 mientras que la probabilidad de un evento seguro es 1; porque:

PermutacinSon eventos de tipo multiplicativo, donde el nmero de posibilidades va disminuyendo y si importa el orden una permutacin es un arreglo de un conjunto deobjetos en un orden definido. El nmero de permutaciones diferentes de estosobjetos es; esto se v fcilmente si pensamos que para la primera alternativa disponemos de loselementos del conjunto, cada uno de los cuales puede complementarse con losrestantes como segunda opcin, y as hasta llegar a la ltima eleccin, conformando el producto.El nmero de permutaciones posibles al tomarobjetos del conjunto deelementos ser, siguiendo el mismo razonamiento.En matemticas, una permutacin es la variacin del orden o de la disposicin de los elementos de un conjunto.Por ejemplo, en el conjunto {1,2,3}, cada ordenacin posible de sus elementos, sin repetirlos, es una permutacin. Existe un total de 6 permutaciones para estos elementos: "1,2,3", "1,3,2", "2,1,3", "2,3,1", "3,1,2" y "3,2,1".

Hay dos tipos de permutaciones:Se permite repetir: como la cerradura de arriba, podra ser "333".Sin repeticin: por ejemplo los tres primeros en una carrera. No puedes quedar primero y segundo a la vez.Permutaciones con repeticinSon las ms fciles de calcular. Si tienesncosas para elegir y eligesrde ellas, las permutaciones posibles son:n n ... (r veces) = nr(Porque haynposibilidades para la primera eleccin, DESPUS haynposibilidades para la segunda eleccin, y as.)Por ejemplo en la cerradura de arriba, hay 10 nmeros para elegir (0,1,...,9) y eliges 3 de ellos:10 10 ... (3 veces) = 103= 1000 permutacionesAs que la frmula es simplemente:nr

Permutaciones sin repeticinEn este caso, sereduceel nmero de opciones en cada paso.Por ejemplo, cmo podras ordenar 16 bolas de billar?Despus de elegir por ejemplo la "14" no puedes elegirla otra vez.

As que tu primera eleccin tiene 16 posibilidades, y tu siguiente eleccin tiene 15 posibilidades, despus 14, 13, etc. Y el total de permutaciones sera:16 15 14 13 ... = 20,922,789,888,000Pero a lo mejor no quieres elegirlas todas, slo 3 de ellas, as que sera solamente:16 15 14 = 3360Es decir, hay 3,360 maneras diferentes de elegir 3 bolas de billar de entre 16.Pero cmo lo escribimos matemticamente? Respuesta: usamos la "funcin factorial"Lafuncin factorial(smbolo:!) significa que se multiplican nmeros descendentes. Ejemplos: 4! = 4 3 2 1 = 24 7! = 7 6 5 4 3 2 1 = 5040 1! = 1

Nota: en general se est de acuerdo en que0! = 1. Puede que parezca curioso que no multiplicar ningn nmero d 1, pero ayuda a simplificar muchas ecuaciones.

As que si quieres elegirtodaslas bolas de billar las permutaciones seran:16! = 20,922,789,888,000Pero si slo quieres elegir 3, tienes que dejar de multiplicar despus de 14. Cmo lo escribimos? Hay un buen truco... dividimos entre 13!...16 15 14 13 12 ...= 16 15 14 = 3360

13 12 ...

Lo ves?16! / 13! = 16 15 14La frmula se escribe:

dondenes el nmero de cosas que puedes elegir, y eligesrde ellas(No se puede repetir, el orden importa)

Para calcular el nmero de permutaciones se aplica la siguiente frmula:

La expresin"Pm"representa las permutaciones de "m" elementos, tomando todos los elementos. Los subgrupos se diferenciaran nicamente por el orden de los elementos.Ejemplo: P10 son las permutaciones de 10 elementos:

Es decir, tendramos 3.628.800 formas diferentes de agrupar 10 elementos.CombinacinSon eventos similares a las permutaciones. Pero el orden ya no importa y es necesario eliminar de las permutaciones aquellas donde los elementos se repiten aunque con distinto ordenUna combinacines una seleccin deobjetos sin importar el orden en que se escojan: Para calcular el nmero de combinaciones se aplica la siguiente frmula:

El termino" n ! "se denomina "factorial de n" y es la multiplicacin de todos los nmeros que van desde "n" hasta 1.Por ejemplo: 4 ! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24La expresin"Cm,n"representa las combinaciones de "m" elementos, formando subgrupos de "n" elementos.Ejemplo: C10,4 son las combinaciones de 10 elementos agrupndolos en subgrupos de 4 elementos:

Es decir, podramos formar 210 subgrupos diferentes de 4 elementos, a partir de los 10 elementos.EJERCICIOS DE PERMUTACIONES1Cuntos nmeros de 5 cifras diferentes se puede formar con los dgitos: 1, 2, 3, 4, 5.?m = 5 n = 5Sentran todos los elementos. De 5 dgitos entran slo 3.Simporta el orden. Son nmeros distintos el 123, 231, 321.Nose repiten los elementos. El enunciado nos pide que las cifras sean diferentes.

2De cuntas formas distintas pueden sentarse ocho personas en una fila de butacas?Sentran todos los elementos. Tienen que sentarse las 8 personas.Simporta el orden.Nose repiten los elementos. Una persona no se puede repetir.

3De cuntas formas distintas pueden sentarse ocho personas alrededor de una mesa redonda?

4Con las cifras 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4; cuntos nmeros de nueve cifras se pueden formar?m = 9 a = 3 b = 4 c = 2 a + b + c = 9Sentran todos los elementos.Simporta el orden.Sse repiten los elementos.

5Con las letras de la palabralibro, cuntas ordenaciones distintas se pueden hacer que empiecen por vocal?a palabra empieza poriuoseguida de las 4 letras restantes tomadas de 4 en 4.Sentran todos los elementos.Simporta el orden.Nose repiten los elementos.

6Cuntos nmeros de cinco cifras distintas se pueden formar con las cifras impares? Cuntos de ellos son mayores de 70.000?Sentran todos los elementos.Simporta el orden.Nose repiten los elementos.

Si es impar slo puede empezar por 7 u 8

7En el palo de seales de un barco se pueden izar tres banderas rojas, dos azules y cuatro verdes. Cuntas seales distintas pueden indicarse con la colocacin de las nueve banderas?Sentran todos los elementos.Simporta el orden.Sse repiten los elementos.

8De cuntas formas pueden colocarse los 11 jugadores de un equipo de ftbol teniendo en cuenta que el portero no puede ocupar otra posicin distinta que la portera?Disponemos de 10 jugadores que pueden ocupar 10 posiciones distintas.Sentran todos los elementos.Simporta el orden.Nose repiten los elementos.

9>Una mesa presidencial est formada por ocho personas, de cuntas formas distintas se pueden sentar, si el presidente y el secretario siempre van juntos?Se forman dos grupos el primero de 2 personas y el segundo de 7 personas, en los dos se cumple que:Sentran todos los elementos.Simporta el orden.Nose repiten los elementos.

10Cuatro libros distintos de matemticas, seis diferentes de fsica y dos diferentes de qumica se colocan en un estante. De cuntas formas distintas es posible ordenarlos si:1Los libros de cada asignatura deben estar todos juntos.2Solamente los libros de matemticas deben estar juntos.Soluciones:1Los libros de cada asignatura deben estar todos juntos.

2Solamente los libros de matemticas deben estar juntos.

11Se ordenan en una fila 5 bolas rojas, 2 bolas blancas y 3 bolas azules. Si las bolas de igual color no se distinguen entre s, de cuntas formas posibles pueden ordenarse?

EJERCICIOS DE COMBINACIONES1. En una clase de 35 alumnos se quiere elegir un comit formado por tres alumnos. Cuntos comits diferentes se pueden formar?Noentran todos los elementos.Noimporta el orden: Juan, Ana.Nose repiten los elementos.

2. De cuntas formas pueden mezclarse los siete colores del arco iris tomndolos de tres en tres?Noentran todos los elementos.Noimporta el orden.Nose repiten los elementos.

3. A una reunin asisten 10 personas y se intercambian saludos entre todos. Cuntos saludos se han intercambiado?Noentran todos los elementos.Noimporta el orden.Nose repiten los elementos.

4. En una bodega hay en un cinco tipos diferentes de botellas. De cuntas formas se pueden elegir cuatro botellas?Noentran todos los elementos. Slo elije 4..Noimporta el orden. Da igual que elija 2 botellas de ans y 2 de ron, que 2 de ron y 2 de ans.Sse repiten los elementos. Puede elegir ms de una botella del mismo tipo.

5. Cuntas apuestas de Lotera Primitiva de una columna han de rellenarse para asegurarse el acierto de los seis resultados, de 49?Noentran todos los elementos.Noimporta el orden.Nose repiten los elementos.

6. Un grupo, compuesto por cinco hombres y siete mujeres, forma un comit de 5 hombres y 3 mujeres. De cuntas formas puede formarse, si:Soluciones:1Puede pertenecer a l cualquier hombre o mujer.

2Una mujer determinada debe pertenecer al comit.

3Dos hombres determinados no pueden estar en el comit.

7. Una persona tiene cinco monedas de distintos valores. Cuntas sumas diferentes de dinero puede formar con las cinco monedas?

MATEMATICA SEGUNDO BSICO III BIMESTRE