LÍNEAS PARALELAS Y PERPENDICULARES

Clase de Matemáticas ABRIL de 2016

MG: César Augusto Canal Mora

OBJETIVO: • Graficar ecuaciones lineales en su forma y= m x + b, para determinar si dos líneas son paralelas o perpendiculares

• Comparar como es la pendiente y la intersección con el eje “y”, de dos rectas paralelas y perpendiculares

• Comprobar los teoremas de paralelismo y perpendicularidad de dos líneas rectas

Si graficamos dos ecuaciones de la forma y= m x + b, en el plano cartesiano podemos observar tres posibilidades:

1. Que las ecuaciones representen la misma recta

2. Que las ecuaciones representen líneas que se intercepten en un punto en forma perpendicular u oblicua

3. Que las ecuaciones representen líneas que sean paralelas entre sí

En esta clase demostraremos los siguientes teoremas:Teorema 1: Dos líneas

son paralelas entre ellas, sí y sólo sí ellas tienen la misma pendiente y cruzan el eje “y” en diferente punto.

Teorema 2: Dos líneas son perpendiculares entre ellas, sí y sólo sí, el producto de las pendientes de ambas rectas es igual a -1.

L1 L2 m1 * m2 = -1

L1 y = m1 x + n

1 y = m 2x

+ n 2

x

y

L2 L1

y = m 1x

+ n 1

y = m 2x

+ n 2

x

y L2

L1 // L2 m1 = m2

Ejemplo 1 • Grafica las siguientes ecuaciones

utilizando el programa Desmos graphing calculator, para ello haz click en la siguiente liga:

y sigue las instrucciones de tu maestro. y= -3x + 5 4y=-12x + 20(Escribe ambas ecuaciones en la forma y= m x+ b)

Observa las gráficas que obtienes y contesta en tu libreta las siguientes preguntas:• ¿Cómo son las líneas de las gráficas?

– ¿son las líneas paralelas?– ¿son las líneas perpendiculares entre sí?– ¿son las líneas oblicuas?

• Al comparar las dos ecuaciones en su forma y=mx+b:– ¿Como son las pendientes (m)?– ¿cómo es la intercepción con el eje “y” (b)?

• Anota tus conclusiones:

Ejemplo 2

• En el mismo sitio: grafica las siguientes ecuaciones:

a) y - 3x =1b) -2y= 3x + 2(Escribe ambas ecuaciones en la forma y= m x+ b)

Observa y contesta en tu libreta:

• ¿Qué tipo de líneas obtienes ahora en el programa Desmos graphing calculator?– ¿son las líneas paralelas?– ¿son las líneas perpendiculares entre sí?– ¿son las líneas oblicuas?

• Al comparar las dos ecuaciones en su forma y=mx+b:– ¿Como son las pendientes (m)?– ¿cómo es la intercepción con el eje “y”

(b)?• Anota tus conclusiones:

Ejemplo 3• Nuevamente utilizando el

programa Desmos, grafica las siguientes ecuaciones:a) 3x –y = -5b) y – 3x = -2(Escribe ambas ecuaciones en la forma y= m x+ b)

Observa los resultados y contesta en tu libreta:• ¿Qué tipo de líneas obtuviste en esta

ocasión? – ¿son las líneas paralelas?– ¿son las líneas perpendiculares entre sí?– ¿son las líneas oblicuas?

• Al comparar las dos ecuaciones en su forma y= m x+ b:– ¿Como son sus pendientes (m)?– ¿cómo es la intercepción con el eje “y”

(b)?• Anota tus conclusiones:

Ejemplo 4• Finalmente, usando el mismo

programa grafica las líneas que representan a las siguientes ecuaciones, no olvides escribirlas en la forma y= m x+ba) 2y – x = 2b) y + 2x = 4

Observa y contesta lo siguiente:

• ¿Qué tipo de líneas obtuviste ahora? – ¿son las líneas paralelas?– ¿son las líneas perpendiculares entre sí?– ¿son las líneas oblicuas?

• Al comparar las dos ecuaciones en su forma y= m x + b:– ¿Como son sus pendientes (m)?– ¿cómo es la intercepción con el eje “y”

(b)?• Anota tus conclusiones:

Trabajo en parejas:• Reúnete ahora con un

compañero y discutan sus conclusiones

• Realicen la actividad siguiente y vuelvan a comparar sus resultados

Actividad #1 Completa la siguiente tabla utilizando el programa

Desmos Graphing Calculatator

Ecuaciones forma y=mx+b

Pen-dient

e m=

Inter-sección con “y” b=

En la gráfica las líneas se observan:

perpendiculares paralelas iguales

x + 6 = y y – x = -22x – 7= y y - 2x = 8y + 3 = 5x 3x – y = -2 y + 8 = -

6x-2x + y = 5y = 3x +9 2y = 6x -2

Actividad # 1 (Continuación)

Ecuaciones forma y=mx+b

Pen-dient

e m=

Inter-sección con “y” b=

En la gráfica las líneas se observan:

perpendiculares paralelas iguales

y = -7x – 9-3y =21x +

7y = 4x -54y = 8 - x

2x -5y = -32x +5y = 4x + 2y = 52x +4y = 8y = -x +7y = x +3

Conclusiones:• Compara con tus compañeros tus

resultados y explica si los Teoremas 1 y 2, que vimos al principio de la clase, son falsos o verdaderos, fundamenta tu respuesta.

Evaluación• Recibiste un e-mail de tu maestro,

entra a tu correo de gmail y da click en la liga que está en el correo y contesta la evaluación.

Tienes 20 minutos