S matematica i

1

Pregunta N.º 1En una biblioteca municipal existen en total 72

libros de matemática y literatura, los que están

en relación de 5 a 3 respectivamente. El número

de libros de literatura que deben agregarse para

que la relación sea de 9 a 10 es:

A) 21 B) 22 C) 23

D) 24 E) 25

Resolución

TemaRazones

Análisis y procedimiento

N.º de libros de

matemática

N.º de libros de literatura

Total de libros

Lo que se tiene

5×(9) 3×(9) 8×(9)=72(Dato)

Se observa que hay lo siguiente:

• 45librosdematemáticay

• 27librosdeliteratura

Luego, si agregamos x libros de literatura, ten-

dríamos:

• 45librosdematemática

• 27+x libros de literatura

Tema P

Matemática

Por condición del problema, tenemos

459

2710

= + x

→ x=23

RespuestaEl número de libros de literatura que deben agregarse es 23.

AlternAtivA C

Pregunta N.º 2Un libro se ofrece en venta recargándose el r por ciento del precio del costo, pero a un estudiante al comprarlo le rebajaron el p por ciento. Si el vendedor no ganó ni perdió, ¿cuánto le rebajaron al estudiante?

A) 100

100 +( )r

B) rr

+100100

C) 100 +( )r

r

D) 1

0 011

, +

r

E) 1

0 011

, −

r

Examen de Admisión UNI 2010-I

2

MAteMátiCA

Resolución

TemaTanto por ciento

Análisis y procedimientoSea

PC: Precio de costo

PF: Precio fijado

Según el enunciado tenemos

Si el vendedor no ganó ni perdió, entonces

(Precio de costo) = (Precio de venta)

Reemplazando, tenemos:

P p r PC C= − +( )%( )%·100 100

1

100100

100100

= − +( ) ( )p r

p

rr

=+

100100

Equivale a

p

r

=+

1

0 011

,

Observación

En el problema piden cuánto le rebajaron al estudiante,

es decir, el p por ciento del precio fijado, para lo cual

se necesita conocer el precio de costo, y no habría

alternativa. Sin embargo, el problema sólo debe pedir

el valor de p. Considerando eso, habría clave.

RespuestaEl valor de p es

1

0 011

, +r

.

AlternAtivA D

Pregunta N.º 3Un deudor tiene que pagar al banco tres letras. La primera de S/.80 000 pagadera dentro de 30 días; la segunda de S/.200 000 pagadera en 60 días y la tercera de S/.400 000 con un plazo de 90 días. ¿Dentro de qué tiempo (en días) debe ser pagada una letra única cuyo valor nominal sea la suma de los valores nominales de las tres letras? Suponga que la tasa de interés es constante.

A) 70 días B) 71 días C) 72 díasD) 73 días E) 74 días

Resolución

TemaRegla de descuento

Análisis y procedimientoDe los datos se tiene

Como el valor nominal de la única letra es igual a la suma de los valores nominales de las tres letras anteriores y todas son descontadas a la misma tasa, aplicamos tiempo de vencimiento común y obtenemos

x =

( )+ ( )+ ( )30 80000 60 200000 90 400000680000

∴ x=74,11...

Observación

Como el problema pide el tiempo en días se considerará 74 días.

3

MAteMátiCA

RespuestaLa única letra que debe pagarse es dentro de

74 días.

AlternAtivA e

Pregunta N.º 4¿En cuántos sistemas de numeración el número 1234 se escribe con tres cifras?

A) 23 B) 24 C) 25D) 26 E) 27

Resolución

TemaNumeración

Análisis y procedimientoSi el número 1234 se escribe con tres cifras en el sistema de numeración de base n, entonces, tenemos

100(n) ≤ 1234 < 1000(n)

→ n2 ≤ 1234 < n3

→ 10 1234 1234 353,... ,...= < ≤ =n

Luego, los valores de n son

11 12 13 35

35 10 25

; ; ; ...;− = números� ��

RespuestaHay 25 sistemas de numeración, en los cuales el número 1234 se escribe con tres cifras.

AlternAtivA C

Pregunta N.º 5Indique la secuencia correcta después de determinar si la proposición es verdadera (V) o falsa (F).

I. La suma de un número natural y un número

entero es un número natural.II. Sean a y b dos números enteros, entonces

existe un número c entero tal que a=bc.III. La cantidad de elementos del conjunto de

los números enteros positivos múltiplos de siete, es igual a la cantidad de elementos del conjunto de los números naturales.

A) VVV B) VFF C) FVVD) FFV E) FFF

Resolución

TemaConjuntos

Análisis y procedimientoI. Falsa Porque no cumple en todos los casos. Ejemplo • 4:esunnúmeronatural. • –7:esunnúmeroentero. Entonces

4 7 3+ − = −( )suma�� (no es un número natural)

II. Falsa Porque no cumple en todos los casos. Ejemplo Si a=3 y b=6 entonces, reemplazamos en a=b × c. 3=6 × c ∴ c=0,5 (no es entero)

III. Verdadera Como los dos conjuntos son infinitos y

se puede establecer una relación de uno a uno (bionívoca) entre los elementos de ambos conjuntos; por lo tanto, tienen igual cantidad de elementos.

RespuestaLa secuencia correcta de las proposiciones es FFV.

AlternAtivA D

4

MAteMátiCA

Pregunta N.º 6Indique la secuencia correcta después de determi-

nar si la proposición es verdadera (V) o falsa (F).

I. Si m y n son números enteros no divisibles por

3, entonces la suma o la diferencia de ellos es un

múltiplo de tres.

II. Si m y n son múltiplos de 3 con m > n > 0

entonces el cociente m/n es un múltiplo de tres.

III. Si m y n son múltiplos de tres con m, n > 0

entonces MCD (m, n) es un múltiplo de tres.

A) VVV B) VFV C) VFF

D) FVF E) FFF

Resolución

TemaDivisibilidad


I. Como m y n no son divisibles por 3, entonces

(m= 3o +1óm=3

o +2)y(n=3o +1ón=3

o +2)

Analizamos dos casos

(*) Si los residuos son iguales

→ m+n ≠ 3o y m – n=3

o

(*) Si los residuos son diferentes

→ m+n = 3o y m – n≠3

o

Entonces, la suma o diferencia de m y n es un

múltiplo de 3; por lo tanto, la proposición (I)

es verdadera (V).

II. Como m y n son múltiplos de 3 y m > n >0,

tomaremos un ejemplo para analizar si la

proposición es verdadera (V) o falsa (F).

Sean m=42 y n=21 ambos múltiplos de 3

(m > n).

→ = ≠m

n2 3

o

Como se puede observar, el cociente no

resultó 3o.

Por lo tanto, la proposición (II) es falsa (F).

III. Como m y n son múltiplos de tres con m,

n > 0.

→ m=3k y n=3p; (k > p).

Luego, tenemos

MCD(m, n)=MCD(3k; 3p)=3×MCD(k, p)= 3o

por propiedad

→ MCD(m, n)= 3o

Por lo tanto, la proposición (III) es verda

dera (V).

Respuesta

La secuencia correcta de las proposiciones es VFV.

AlternAtivA B

Pregunta N.º 7

Sean los números

N1=63a+1×8a, N2=8a×33a+1

donde la cantidad de los divisores de N1 es igual

a la cantidad de los divisores de N2 aumentado

en 20. Entonces el valor de 2a–1es

A) 1. B) 3. C) 5.

D) 7. E) 9.

Resolución

TemaNúmeros primos y compuestos

5

MAteMátiCA

Análisis y procedimientoPor dato tenemos los números

N1=63a+1×8a y N2=8a×33a+1

Cuyas descomposiciones canónicas son

N1=26a+1×33a+1

N2=23a×33a+1

Además, por condición se tiene que

CD(N1)=CD(N2)+20

→ (6a+2)×(3a+2)=(3a+1)(3a+2)+20

→ 2(3a+1)(3a+2)=(3a+1)(3a+2)+20

→ (3a+1)(3a+2)=20=4×5

4 5

→ 3a+1=4

∴ a=1

Luego, 2a–1=2(1)–1=1.

Respuesta

Por lo tanto, el valor de (2a–1)es1.

AlternAtivA A

Pregunta N.º 8

Determine el valor de a+b–c si se tiene que

(ab)3=1c8ab.

A)–1 B)–2 C)1

D) 2 E) 3

Resolución

TemaPotenciación


Por dato

1c8ab=ab 3

Luego, por terminación de cifra,

b ∈ {1; 4; 5; 6; 9} (I)

Tenga en cuenta que si b=0, el numeral termi-

naría en tres ceros.

Además

203 < 1c8ab < 303

→ a=2

Luego

1c82b=2b 3

1c800=2b 3–2b

1c800=(2b–1)×2b×(2b+1)=8

25

o

o

De (I): b=4 → c=3

∴ a+b–c=3

Respuesta

El valor de (a+b–c) es 3.

AlternAtivA e

6

MAteMátiCA

Pregunta N.º 9Dada la siguiente relación:

y–|y|=x–|x|;

diga cuál de las siguientes gráficas es la que le

corresponde:

A) B)

C)

D) E)

Resolución

TemaGráfica de relaciones

Análisis y procedimientoEn la resolución del problema, aplicamos la

definición de valor absoluto.

xx x

x x=

≥− <

;;sisi

00

En el problema nos piden la gráfica de

y–|y|=x–|x| (1)

Caso 1: y ≥ 0

Reemplazamos en 1

y–y=x–|x|→ x=|x|→ x ≥ 0

cuya gráfica será

Caso 2: y < 0

Reemplazamos en 1

y+y=x–|x|→ yx x= −

2

yx

x x=

≥<

0 00

;;sisi

pero como y < 0 → y=x; x < 0

Luego, la gráfica pedida es la unión del gráfico 1

con el gráfico 2.

Respuesta

La gráfica de la relación es

AlternAtivA D

7

MAteMátiCA

Pregunta N.º 10Si las raíces de la ecuación

x2–(a+d)x+ad–bc=0

son x1=3, x2=5; y las raíces de la ecuación

y2–(a3+d3+3abc+3bcd)y+(ad –bc)3=0

son y1, y2. Entonces el valor de y21 y2+y1y2

2 es:

A) 213 000

B) 313 000

C) 413 000

D) 513 000

E) 613 000

Resolución

Tema

Ecuación cuadrática


En la ecuación

x2–(a+d)x+ad –bc=0, de raíces x1=3 y x2=5

aplicamos el teorema de Cardano

x1+x2=8=a+d (α)

x1x2=15=ad –bc

En la ecuación

y2–(a3+d 3+3abc+3bcd)y+(ad –bc)3=0, de

raíces y1, y2

aplicamos el teorema de Cardano:

y1 · y2=(ad –bc)3=153=3375

y1+y2=a3+d 3+3abc+3bcd (b)

De (α):

a+d=8, elevamos al cubo

a3+d 3+3ad(a+d)=83

a3+d 3=83–3ad(a+d)

Reemplazamos en (b).

y1+y2=83–3ad(a+d)+3bc(a+d)

= − +( ) −[ ]8 33

8 15

a d ad bc��

y1+y2=83–3(8)(15)=152

Nos piden

y y y y y y y y12

2 1 22

1 2 1 2+ = +( )

y y y y12

2 1 22 3375 152 513 000+ = ( ) =

Respuesta

El valor de y y y y12

2 1 22+ es 513 000.

AlternAtivA D

Pregunta N.º 11Sean A, B conjuntos no-vacíos.

Señale la alternativa que presenta la secuencia

correcta, después de determinar si la proposición

es verdadera (V) o falsa (F).

I. Si

(x, y); (x, z) ∈ f={(x, y) / x ∈ A, y ∈ B} ⊂ A×B

implica que y=z, entonces podemos decir

que f es un función de A en B.

II. Toda función sobreyectiva f: A → B es inyec-

tiva.

III. Toda función inyectiva f: A → B es sobreyec-

tiva.

A) VVV B) VFV C) VFF

D) FFV E) FFF

Resolución

TemaFunciones

8

MAteMátiCA


Referencia y/o contextoPara determinar el valor de verdad recordemos la definición de función.

f es una función de A en B ↔ ∀ x ∈ A, ∃! y ∈ B tal que (x; y) ∈ f

I. Verdadero Pues si (x; y) ∈ f ∧ (x; z) ∈ f implica y=z.

Significa que dos pares ordenados diferentes de f no tienen la misma primera componente. Por lo tanto, f es una función.

II. Falso Pues tenemos la siguiente función constante f : R → {k}, para f(x)=k f es sobreyectiva, pero no es inyectiva.

III. Falso Pues si tenemos la función lineal f : [0; 5] → [0; 6] tal que f(x)=x f es inyectiva, sin embargo, no es sobreyectiva,

pues el Ranf=[0; 5] es diferente al conjunto de llegada B=[0; 6].

RespuestaLa secuencia correcta es VFF.

AlternAtivA C

Pregunta N.º 12Dadas las siguientes proposiciones:I. Las raíces de ein–1=0, pertenecen a un

polígono regular de n lados, ∀ n ∈ N

II. Si eiθ =a+bi y θ ∈ π π4

34

; , entonces

a ∈ − 22

22

; y b ∈ 22

1; .

III. Dados α, b ∈ ⟨0; 2π⟩, tales que b > α, si cos(a)=cos(b), entonces ei(a+b)=1.

Indique cuáles son correctas.

A) solo IB) solo IIC) solo IIID) I y IIE) II y III

Resolución

TemaNúmeros complejos


Referencia y/o contextoEn el problema aplicaremos la definición de exponencial compleja.

Veamos cada una de las afirmaciones:I. Falso Resolvemos ein–1=0 (considerandoe=2,718281... ein=e2kπi y i = −1 ) → n=2kπ; k ∈ Z

Las soluciones de la ecuación no forman un polígono de n lados.

II. Falso Veamos un contraejemplo:

De θ ∈ π π4

34

; tomamos θ π=2

entonces, a=0 y b=1 ∉ 22

1;

9

MAteMátiCA

III. Verdadero

Como a, b ∈ ⟨0; 2π⟩; b > a además, cosa=cosb; entonces, a+b=2π de donde ei(a+b)=ei(2π)=1

RespuestaLa proposición verdadera es solo III.

AlternAtivA C

Pregunta N.º 13Sea S el conjunto solución de la ecuación, en R,

x x x

x

3 27 15 9135

− + − =

log.

Halle la cantidad de elementos de S.

A) 0 B) 1 C) 2D) 3 E) 4

Resolución

TemaEcuación logarítmica

Análisis y procedimientoPara determinar el número de soluciones reales usaremos gráficas de funciones. Para ello reduci-mos las expresiones; así:

x x x

x

3 27 15 9135

− + − =

log ∧ x > 0; x ≠ 1

→ −( ) −( ) =

x x x1 3 235

log

f(x) g(x)=

∧ x > 0; x ≠ 1

Graficamos

Se observa que las gráficas se cortan sólo en un punto; entonces, solo tiene una solución real.

RespuestaLa cantidad de elementos de S es 0.

AlternAtivA A

Pregunta N.º 14

Si A =− − −

1 1 10 0 00 0 1

. Calcule S=A42+A55.

A) A =

0 0 10 0 00 0 2

B) A =−

0 0 10 0 00 0 2

C) A =−

0 0 10 0 00 0 2

D) A =−

−

0 0 10 0 00 0 2

E) A =

0 0 10 0 00 0 3

10

MAteMátiCA

Resolución

TemaMatrices


Referencia y/o contextoPara determinar potencias de una matriz, una de las formas es mediante el polinomio característico:

P(x).

Si A ∈ Rn×n: P(x)=det(A–xI)

Hallemos el polinomio característico de A.

P(x)=det(A–xI)

Px

xx

x( ) =− − −

−

1 1 10 0 00 0 1

0 00 00 0

Px

xx

x( ) =− −( ) − −

−−( )

1 1 10 00 0 1

P(x)=x–x3

Entonces, P(A)=A–A3=f(f:matriz nula)

↔ A3=A ↔ A3k=A; ∀ k ∈ Z+

Reemplazamos en A42+A55=(A3)14+(A3)18A

=A+(A)A=A+A2

Determinamos

A21 1 10 0 00 0 1

1 1 10 0 00 0 1

1 1 00 0 00 0 1

=− − −

− − −

=

→ A A21 1 10 0 00 0 1

1 1 10 0 00 0 1

+ =

+− − −

=−

0 0 10 0 00 0 2

Respuesta

La matriz A42+A55 es

0 0 10 0 00 0 2

−

AlternAtivA B

Pregunta N.º 15Dado el sistema 2x –y+z=1x+4y+2z=–1¿Cuál de las siguientes ecuacionesI. x–5y –z=2,II. 3x+3y+3z=2,III. 5x+2y+4z=1,puede agregarse al sistema anterior de modo que el conjunto solución no varíe?

A) solo I B) I y II C) I y IIID) solo II E) solo III

Resolución

TemaSistema de ecuaciones lineales


Referencia y/o contextoUna característica de los sistemas es que si sumamos o restamos las ecuaciones en una cantidad finita no se altera el conjunto solución.

11

MAteMátiCA

Del dato: 2x –y+z=1 x+4y+2z=–1

• Alrestarlasecuaciones

2x –y +z=1 x+4y+2z=–1

–

se obtiene x –5y –z = 2. (*)

• Alsumarlasecuaciones

2x –y +z=1 x+4y+2z=–1

+

se obtiene 3x+3y+3z=0. (**)

• Multiplicamospor2alaprimeraecuaciónysumamos con la segunda ecuación.

4x –2y +2z=2 x +4y +2z=–1

+

Se obtiene 5x +2y+4z=1. (***)

Las ecuaciones que se obtienen (*), (**) y (***) son equivalentes a las primeras.

Entonces, podemos indicar que las proposiciones I y III del problema coinciden con (*) y (***); en cambio, II no coincide con (**); entonces, no podemos agregarlo al sistema.

RespuestaPodemos agregar las ecuaciones I y III.

AlternAtivA C

Pregunta N.º 16En relación a un programa lineal, indique la secuencia correcta, después de determinar si la proposición es verdadera (V) o falsa (F):

I. Las condiciones de no negatividad significan que todas las variables de decisión deben ser positivas.

II. El número de puntos extremos de la región admisible es finito.

III. En un programa lineal pueden variarse los coeficientes de la función objetiva y aún mantenerse la solución óptima.

A) VFV B) FFF C) FFVD) FVV E) VFF

Resolución

TemaProgramación lineal

Análisis y procedimientoEn el problema debemos recordar las definiciones

básicas de programación lineal.

I. Falso

Si x, y son variables de decisión, entonces por

la condición de no negatividad se cumple que

x ≥ 0; y ≥ 0

II. Verdadero

Pues el número de vértices de toda región

factible es finito.

III. Verdadero

Pues dada la región factible S y la función

objetivo f(x; y)=ax+by+c. Supongamos

que (x1; y1) ∈ S es la solución óptima del

problema, entonces puede ser también

solución óptima de g(x; y)=cx+dy+k.

12

MAteMátiCA

Respuesta

La secuencia correcta es FVV.

AlternAtivA D

Pregunta N.º 17Sea la sucesión a1=0, a2=1, a a a3 4 5

12

34

58

= = =, , ;

a a a6 7 81116

2132

4364

= = =; ; ;..., entonces la

sucesión {an} converge a:

A) 712

B) 58 C)

23

D) 1 E) ∞

Resolución

TemaSucesiones reales

Análisis y procedimientoPor dato se tiene a1; a2; a3; a4; a5; a6

0 ; 1; 12

34

58

1116

; ...

Múltipliquemos por 3 y dividimos entre 3 a cada término.v

130 3

32

94

158

3316

; ; ; ; ; ; ...

1302 1

2

2 1

2

2 1

2

2 1

2

2 1

2

1 2

1

3

2

4

3

5

6; ; ; ; ; ; ...

º+ − + − +

Entonces, tenemos la regla de formación

a nn

n

= + −

≥−1

32

12

22

;

Tomando límite:021

32

12

23

lím límn

nn

N

a→+∞ →+∞

−= + −

=

Es decir, {an} converge a 0

23

.

Respuesta

[an] converge a 0

23

AlternAtivA C

Pregunta N.º 18En un colegio el 60% aprobó aritmética, el 32% aprobó álgebra y los que aprobaron aritmética y álgebra representan el 60% de los que no aprobaron ninguno de los dos cursos. Si 42 aprobaron aritmética y álgebra, calcule el número de alumnos del colegio.

A) 340 B) 350 C) 360D) 370 E) 380

Resolución

TemaConjuntos

Análisis y procedimientoLos datos del problema representaremos gráfica-mente mediante los conjuntos.

Por dato 42=60%(8%N+42)∴ N=350

13

MAteMátiCA

RespuestaLa cantidad de alumnos del colegio es 350.

AlternAtivA B

Pregunta N.º 19Dadas las funcionesf={(3;1),(2;–3),(5;0),(4;–4),(1;1)},g={(–4;3),(–2;7),(0;0),(1;5),(2;1)}yh={(1;–4),(3;–2),(5;0),(7;2)}.Determine la función compuesta f o g o h.

A) {(1; 0), (5; 1)}

B){(3;–3),(5;–4)}

C) {(1; 1), (7; 1)}

D){(1;1),(2;–3)}

E){(3;–1),(7;1)}

Resolución

TemaComposición de funciones

Análisis y procedimientoPara la resolución del problema haremos uso del diagrama sagital.

De la figura se deduce que la función

f g ho o = ( ) ( ){ }1 1 7 1; , ;

RespuestaLa función compuesta f o g o h es 1 1 7 1; , ; .( ) ( ){ }

AlternAtivA C

Pregunta N.º 20Considere la ecuación matricial

X1 32 7

4 01 2

=

−

, donde X es una matriz.

Calcule det(X).

A) 6 B) 7 C) 8D) 11 E) 19

Resolución

TemaDeterminantes


Referencia y/o contextoPara la resolución del problema aplicamos la siguiente propiedad:Si A y B son matrices cuadradas del mismo orden, entonces |AB|=|A| · |B|.

Por dato se tiene que

X

1 32 7

4 01 2

=

−

→

=

−

X

1 32 7

4 01 2

X1 32 7

4 01 2

=−

|X|·1=8

\ |X|=8

RespuestaEl determinante de la matriz X es 8.

AlternAtivA C

14

MAteMátiCA

Pregunta N.º 21Halle la medida del ángulo b indicado en la figura

mostrada, donde las rectas L1 y L2 son paralelas.

A) 51º B) 53º C) 55º

D) 57º E) 59º

Resolución

Tema

Ángulos determinados entre rectas paralelas


Referencia y/o contexto

Para calcular la medida del ángulo determinado

entre rectas paralelas, podemos citar los siguientes

teoremas:

L L��

1 2// → = +x α β

L L��

1 2 180// º→ + + + =α β θ γ

Dato:

L L��

1 2//

Indicando las medidas de los ángulos en A y B,

aplicamos el teorema:

70º+b+35º+22º=180º

\ b=53º

Respuesta

La medida b es 53º.

AlternAtivA B

Education

S matematica i