03 Teoria de Errores

UNAM

Por: Juan Ccamapaza 1

Desarrollado Por:

M.Sc. JUAN L. CCAMAPAZA AGUILAR.

Ilo, Enero del 2013

CURSO: TOPOGRAFA I

III CICLO

UNIVERSIDAD JOS CARLOS MARIATEGUI

CARRERA PROFESIONAL DE:

INGENIERA CIVIL

TEMA:

Teora de ErroresTopografa

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Introduccin

En la vida cotidiana la mayora de las personas estn acostumbradas a contar, pero no as a realizar mediciones.

La cantidad de personas presentes en este saln son p. e. 23, 33, 36 y no 32.9

La topografa se encarga de medir cantidades cuyo valor exacto o verdadero no se puede determinar, como el caso de distancias, elevaciones, volumenes.

Principio fundamental de la

topografa

Ninguna medicin es exacta y nunca se conoce el valor verdadero de la cantidad que se mide.

Aunque nunca se conocer el valor exacto de una cantidad que se mide, podemos saber de forma exacta cual debe ser la suma de un grupo de mediciones, p. e. la suma de los 3 ngulos internos de un

tringulo debe ser igual a 180, y la suma de los 4 ngulos internos de un rectngulo debe ser 360 y as sucesivamente.

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Sin embargo, se debe tener habilidad para ejecutar mediciones precisas, esto resulta obvio cuando pensamos en largos puentes, tneles, edificios altos, etc.; pero tambin es necesario la precisin

en los levantamientos topogrficos.

Exactitud y Precisin

Exactitud, se refiere al grado de perfeccin que se obtiene en las mediciones. Representa que tan cerca se encuentra una medicin determinada del valor verdadero.

Precisin, es el grado de refinamiento con el que se mide una determinada cantidad, es la cercana de una medida a otra, si se mide una cantidad y los valores son muy cercanos entre s, la precisin es alta.

Errores y Equivocaciones

No existe persona que tenga los sentidos tan desarrollados para medir cantidades de forma exacta y tampoco instrumentos con los cuales lograrlo, en consecuencia, todas las mediciones son imperfectas.

De esta forma, las diferencias entre las cantidades medidas y sus magnitudes verdaderas se conocen como errores o equivocaciones.

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Equivocaciones, es una diferencia con respecto al valor verdadero, causada por la falta de atencin, pero puede eliminarse haciendo una revisin cuidadosa.

Error, es una diferencia respecto al valor verdadero, ocasionado por la imperfeccin de los sentidos de las personas, de los instrumentos usados o por efectos climticos.

Fuentes de error

Las personas

Los sentidos no son perfectos

Instrumentos

Los instrumentos no son perfectos

Naturales

Ocasionados por cambios de temperatura, viento y humedad

Clasificacin de los errores

Errores groseros

Producto de la falta de concentracin del operador del equipo.

Errores sistemticos

Producto de la presencia de errores fsicos o matemticos, siempre se conoce su influencia, por lo general son pequeos.

Errores aleatorios o accidentales

Obedecen a la falta de perfeccin de los elementos que conforman los instrumentos.

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Tipos de errores accidentales

Error verdadero (Ei)

Representa la diferencia entre el valor verdadero y el error medido.

Ei = x li

X = Valor verdadero

li = Medicin

Valor ms probable ( )

Se define como la medida entre varias mediciones

n

i

i

n

n

lx

n

lllllx

1

4321

x

Error aparente (i)

Representa la diferencia entre el valor ms

probable de un grupo de mediciones y la medida en s.

i= - li

Si se tiene l1, l2, l3, l4, l5

El valor ms probable

1= - l1 Error aparente de la primera medicin

2= - l2 Error aparente de la segunda medicin

3= - l3 Error aparente de la tercera medicin

4= - l4 Error aparente de la cuarta medicin

x

5

54321 lllllx

x

x

x

x

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Ejercicio

Calcular el error aparente de las siguientes mediciones .

05,030,1025,10

05.020,1025,10

25,102

30,1020,10

2

1

x

l1=10,20m l2=10,30m

Error estndar () y varianza (2)

Son trminos estadsticos que se emplean para expresar la precisin de grupos de medidas. La ecuacin de la desviacin estndar es:

1

2

n

es la desviacin estndar

es el residuo de una observacin

individual (grado en que se desva

o aparta del promedio la cantidad)

es la suma de los cuadrados de

los residuos individuales

n es el nmero de observaciones

2

La varianza es igual a 2, el cuadrado de la desviacin estndar.

En topografa se considera a toda desviacin como un error, y por ello normalmente se usa la expresin error estndar en vez de

desviacin estndar

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Interpretacin del error estndar

El error estndar establece los lmites dentro de los cuales debe esperarse que caigan las mediciones 68.27% de las veces. En otras palabras, si se repiti 10 veces una medicin, debera esperarse que aproximadamente 7 de los resultados queden dentro de los lmites establecidos por el error estndar y 3 de ellos caeran fuera de dichos lmites. Otra interpretacin es que una medicin adicional tendra 68.27% de probabilidad de caer dentro de los lmites establecidos por el error estndar. Una tercera deduccin es que el valor real o verdadero tiene 68.27% de probabilidades de caer dentro de los lmites del error estndar.

Errores de 50, 90 y 95%

Se puede determinar la probabilidad de un error de cualquier porcentaje de probabilidad mediante la siguiente ecuacin general.

Ep=Cp

En la cual Ep es el porcentaje de error y Cp es un factor numrico.

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E50 = 0,6745

E90 = 1,6449

E95 = 1,9599

El error de 50% (E50) es el llamado error probable. Este valor establece los lmites dentro de los cuales han de caer las mediciones 50% de las veces. En otras palabras, una medida tendr la misma probabilidad de quedar dentro de estos lmites que de caer fuera de ellos.

Ejemplo

Supngase que se ha medido 10 veces una lnea, conlos resultados a continuacin. Se supone que estasmediciones ya se han corregido por todos los errores

sistemticos.

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Pueden deducirse las siguientes conclusiones:

1. La longitud ms probable es 1000,45 m.

2. El error estndar de una sola medida es 0,08 m.

3. La expectativa normal es que 68% de las veces,

una longitud registrada estara comprendida entre 1000,37 y 1000,53 m; es decir, que

aproximadamente siete de los valores estaran comprendidos dentro de estos lmites. (Realmente

siete lo estn.)

4. El error probable (E50) es 0,05 m. Por tanto, puede anticiparse que la mitad, o sea cinco, de las

medidas caern dentro del intervalo 1000,40 a 1000,50. (Cuatro valores quedan ah).

5. 90% de las veces una longitud medida no

contendr un error mayor de 0,13 m, y su valor estara dentro del intervalo de 1000,32 y 1000,58

6. El error de 95% sera 0,15, y la longitud estara comprendida entre 1000,30 y 1000,60 en el 95% de las veces. (Ntese que todas las medidas estn, por cierto, dentro de los lmites de ambos errores, el de 90% y el de 95%.

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Error de una suma

La expresin para determinar el error de una suma de cantidades observadas independientemente es:

En la cual E representa cualquier error especfico; a, b y c son las medidas independiente.

222 cbasuma EEEE

EjemploSe mide una lnea en tres partes, siendo los errores de stas iguales a:

0,012; 0,028; y 0,020

El error de la longitud total es:

Se aplica un clculo similar al error de cualquier producto, y en

consecuencia, al error de un rea.

mEsuma 036,0020,0028,0012,0222

El error en direccin del lado A es Ea y en la direccin B es Eb. Por tanto el error ocasionado en el rea por Ea es BEa, y el debido a Eb es AEb. Entonces, la ecuacin para el error que tiene el rea

(producto AB) es:

2222

abprod EBEAE

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Ejemplo

Para un lote rectangular de 50,00 0,01 x 100,00 0,02 metros, el error que hay en el rea es

22222 41,1)01,0(100)02,0(50 m

Error de una serieA veces se lee una serie de cantidades similares,

como los ngulos de una poligonal, resultando cada medida con un error de aproximadamente la

misma magnitud en todos los casos. Al error total de la suma de todas las cantidades medidas de

una serie de esta naturaleza se le llama error de la

serie, y se le designa por Eserie.

En donde E representa al error en cada medida y n es

el nmero de mediciones.

nEEEEEserie ....222

Ejemplo

Supngase que se mide con cinta de 50 m., una distancia igual a 1 km, aplicando ciertas tcnicas, se efecta cada medicin de 50 m con un error de 0,005 m. Se desea conocer el error que se comete

en la medicin de 1 km.

mnEEserie 022,020005,0

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Error medio (m)

Ei = Error verdadero

n = Nmero de errores verdaderos

n

EEE nm

21

Error relativo

Es una manera de expresar el error, con el fin de

hacerlo ms notable, se expresa en forma de fracciones.

Por ejemplo, un error de diez (10) medidas cada cincuenta (50) significa que nos hemos

equivocado 10 veces en 50 medidas realizadas.

6

1

1859

334

5

1

50

10

Cifras significativas

Al registrar medidas, una indicacin de la exactitud lograda es el nmero de dgitos (cifras significativas) que se registran. Por definicin, el nmero de cifras significativas en cualquier valor incluye

los dgitos positivos ms uno que es un dgito estimado, y por tanto, cuestionable.

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Por ejemplo.

Una distancia registrada como 873,52 se dice que

tiene cinco cifras significativas; en este caso, los cuatro primeros dgitos son seguros y el ltimo es

cuestionable.

Para ser congruentes con la teora de errores, es

esencial que los datos se registren con el nmero correcto de cifras significativas, si se descarta una

cifra significativa al registrar un valor, se ha desperdiciado el tiempo empleado en lograr

exactitud.

A menudo, se confunde el nmero de cifras significativas con el nmero de cifras decimales.

Puede tener que usarse cifras decimales para conservar el nmero correcto de cifras significativas, pero aqullas no indican por s mismas las cifras significativas.

Ejemplo

Dos cifras significativas:

24; 2,4; 0,24, 0,0024, 0,020

Tres cifras significativas:

364; 36,4; 0,000364; 0,0240

Cuatro cifras significativas:

7621; 76,21; 0,0007621; 2.400

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Para hacer una adicin o sustraccin debe redondearse la respuesta, reteniendo como ltima cifra significativa al dgito que se encuentra en la columna completa de cifras significativas que

est ms a la derecha.

46,4012 57,301

1,02 1,48

375,0 629

422,4 688

Redondeo de nmeros

Es el proceso de suprimir uno o ms dgitos para que

la respuesta slo contenga aqullos que seansignificativos o necesarios en clculos subsecuentes.

Para tal efecto puede seguirse el procedimiento acontinuacin.

1. Cuando el dgito a despreciar sea menor a 5, se

escribir el nmero sin ese dgito. As, 78,374 setransforma en 78,37.

2. Cuando el dgito a despreciar sea exactamente 5,se usar el siguiente nmero par para el dgito

precedente. As, 78,375 se transforma en 78,38 y

78,385 se redondear tambin a 78,38.

3. Cuando el dgito a despreciar sea mayor que 5, se

escribir el nmero con el dgito precedente

aumentado en una cantidad. As 78,376 seconvierte en 78,38.

Aparicin de errores aleatorios

Supngase que se realiza una medida de distancia

de 10,46 pulgadas con una escala en la quepuede estimarse una lectura al centsimo, y que es

correcta a 0,05. en este caso, el valor real de lamedida est comprendido entre 10,41 y 10,51;

pudiendo ser:

10,41; 10,42; 10,43, 10,44; 10,45; 10,46; 10,47; 10,48;10,49; 10,50; 10,51.

En consecuencia hay 11 posibles valores para larespuesta correcta. Este anlisis puede suponer

que todas las lecturas tienen la misma posibilidad

de ser correctas. La probabilidad de que cualquierrespuesta sea correcta es, por tanto, de 1/11

0,0909.

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Considrese una lnea que requiere que se hagan

dos medidas adyacentes con esta escala, teniendocada una el mismo error posible. La respuesta, que

es la suma de dos medidas, puede ser el total decualquier par de 11 posibilidades para cada

medicin separada, teniendo todas igual

probabilidad de ser correctas. Segn los principiosmatemticos, si un evento puede ocurrir de n

maneras y otro de r modos, los dos eventos juntospueden ocurrir de nr maneras. En las condiciones

supuestas hay (11x11)=121 posibilidades. Al sumar las

dos medidas el valor real estar comprendido entre-0,10 y +0,10.

Slo un par de posibles valores puede dar unadiferencia de -0,10, y ese es el par para el cual la

diferencia en cada medida es -0,05.

Puede obtenerse un error de -0,09 en dos formas, y es posible que haya una diferencia de -0,05 en la primera lectura y una diferencia de -0,04 en la segunda lectura, o bien, una diferencia de -0,04 en la

primera y una diferencia de -0,05 en la segunda. Este anlisis puede continuarse hasta obtener los siguientes resultados.

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Si se toman tres medidas adyacentes de la misma

manera, con una diferencia mxima de -0,05 y+0,05; las tres tendran que estar fuera de realidad

en -0,05 +0,05 para obtener una amplitud de errorde -0,15 a +0,15 y por los principios matemticos, el

nmero total de probabilidades es 11x11x11=1331.

Histograma y curva de probabilidad

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POR SU ATENCION PRESTADA

ING. JUAN CCAMAPAZA A.

[email protected]

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