TEORIA de ERRORESTEORIA de ERRORES

Generalidades:Generalidades:

Una “discrepancia" es la diferencia entre dos valores medidos de la misma cantidad.-

La “precisión” se refiere al grado de consistencia de un grupo de mediciones y se evalúa tomando como base la magnitud de las discrepancias,.

La “ exactitud” indica una absoluta aproximación al verdadero valor de la cantidad medida.-

La exactitud se ve influenciada por : * La precisión de los instrumentos.- * La precisión de los métodos.- * Un adecuado proyecto de mediciones.- Faltas: Son inexactitudes groseras, generadas en gran parte por la

imprudencia del observador.-

La precisión de un instrumento o un método de medición esta relacionada a la sensibilidad o menor variación de la magnitud que pueda detectar.

Por otra parte, la exactitud de un instrumento o método de medición se relaciona a la concordancia contra la referencia patrón del mismo. Cuando un instrumento es fabricado se calibra a una medida de referencia, que varia con el funcionamiento del mismo, por lo que periódicamente debe ser restablecida su exactitud exacto.

La exactitud es una medida de la calidad de la calibración

Tipos de ErroresTipos de Errores

Errores Sistemáticos: Resultan de factores que comprenden el “ sistema de medición” e incluyen el medio ambiente, los instrumentos y el observador.- Si las condiciones se mantienen constantes, los errores también lo serán.-

Errores Accidentales o Aleatorios: Son ocasionados por factores que están fuera del control observador y obedecen a las leyes de la probabilidad. Estos errores están presentes en todas las mediciones topográficas.-

UN ERROR

valor verdadero

es una

con respecto a

imperfección de los sentidos de una

persona

imperfección de los instrumentos

utilizados

por efectos climáticos

ocasionado por la

diferencia

Tipo de ObservacionesTipo de Observaciones

Directas: Son aquellas que se realizan directamente sobre la magnitud que queremos conocer.-

Indirectas: Son aquellas que se hacen sobre una o varias cantidades de las que depende la magnitud que deseamos conocer.-

Condicionales: Son aquellas que bien siendo directas o indirectas deben cumplir con ciertos teoremas geométricos o bien de un análisis matemático.-

ERROR

Diferencia entre el valor medido o calculado y el real.

Se clasifican de acuerdo a las fuentes que los producen

Personales

Instrumentales

Naturales

En la topografía se consideran distintas clases de errores

Error real Equivocación

DiscrepanciaError

sistemático

Error accidental

Se aplica la teoría de errores o de probabilidades

Para calcular el valor más probable o la precisión más probable en la que se hayan

eliminado los errores sistemáticos.

Residuo de Observaciones

Curva de Distribución Normal

Probabilidades

El valor más probableEl valor más probable

Ninguna medición es exacta y nunca se conoce el valor verdadero de la cantidad que se está midiendo.

Para remediar los errores aleatorios se pueden tomar repetidas observaciones de la misma medida (observaciones redundantes) y valerse de la ley de probabilidades. Siendo n el número de observaciones y Xi el resultado de cada una de ellas, se puede calcular un valor medio, cercano a la medida exacta:

Este valor contiene un error que se expresa en función de la desviación estándar de las observaciones. Para conocer la desviación estándar (sigma) es necesario averiguar la diferencia entre cada observación y la media, lo que se conoce como residuo o error residual (Vi = Xi - Media); de manera que la desviación estándar de la media es:

Cuando se realizan varias observaciones los resultados tienden a acumularse alrededor de la media y a distribuirse de una forma particular, denominada curva de distribución normal. Esta curva tiene una típica forma de campana y sirve para determinar un intervalo dentro del que, con determinada probabilidad, se encuentra el valor exacto (o mejor, más probable) de la medición. La amplitud de la curva también permite conocer la precisión de la observación en conjunto.

Las anteriores son curvas de distribución normal en las que el eje de las abscisas marca los intervalos de clase, o el tamaño del residuo escogido para la distribución, y el eje de las ordenadas (el vertical) indica la frecuencia de ocurrencia, o el número de observaciones que caen dentro de cada intervalo

La desviación estándar señala el punto de inflexión de cada curva y, la amplitud indica la precisión, de manera que las mediciones que se hicieron para obtener la curva roja fueron más precisas que las de la gráfica azul -nótese que la desviación estándar es menor en el primer caso que en el segundo-.

El área bajo la curva indica a su vez la probabilidad de error para un determinado valor. Así que, si se quiere tener una certeza del 50% respecto a una medida, se debe calcular el error probable como:

Relación entre Error y % de Área bajo la Curva de Distribución Relación entre Error y % de Área bajo la Curva de Distribución NormalNormal

En general, se puede calcular Ep como:

En donde Cp es un factor que sale de la gráfica anterior, que relaciona el porcentaje del área bajo la curva de probabilidad y el error.

En topografía se utilizan comúnmente los errores del 50%, 90%, 95% (o 2·sigma) y 99,7% (o 3·sigma), los cuales tienen su correspondiente factor:

Finalmente se obtiene el valor más probable de la medición como:

El error unitario de la medición se puede calcular con la siguiente expresión:

que indica la error que se produjo al medir una unidad, por ejemplo 0,0003 m por cada metro que se mide, y se expresa generalmente como:

y se lee “uno a ‘inverso del error unitario’” y consiste en el grado de precisión de la medición.

También se puede evaluar cada observación por separado, calculando su desviación estándar:

Este estadígrafo tiene varias propiedades interesantes para la determinación del valor promedio.

1. Para las distribuciones normales (n≥30), en el intervalo aparecerán aproximadamente el 68,27% (0,6827) de los valores medidos, es decir una desviación estándar a cada lado de la media.

2. El 95,45 % (0,9545) de los datos probablemente estará incluido en el intervalo (dos desviaciones a cada lado).

3. Alrededor del 99.95 % (0.9995) de las observaciones se encuentran en el intervalo

EJEMPLOEJEMPLOSe mide una misma distancia cinco veces Se mide una misma distancia cinco veces

con la misma cinta métrica y en iguales con la misma cinta métrica y en iguales condiciones climáticas obteniendo los condiciones climáticas obteniendo los

siguientes resultados: 19,23 m ; 19,19 m ; siguientes resultados: 19,23 m ; 19,19 m ; 19,27 m ; 19,24 m ; 19,21 m . ¿Cuál fue 19,27 m ; 19,24 m ; 19,21 m . ¿Cuál fue

la distancia medida?la distancia medida?

SOLUCIONSOLUCION Hay que tabular los datos de la siguiente manera y

aplicar lo explicado :

Xi (m) V (m) V2 (m2)

19,23 + 0,002 0,000 004

19,19 - 0,038 0,001 444

19,27 + 0,042 0,001 764

19,24 + 0,012 0,000 144

19,21 - 0,018 0,000 324

∑ = 96,14 ∑ = 0,000 ∑ = 0,003 68

Como el número de mediciones es igual a 5, entonces n=5; por lo tanto, la media es:

X media = 96,14 m / 5 = 19,228 m La desviación estándar se calcula conociendo la

sumatoria de los residuos al cuadrado (0,003 68) y la cantidad de observaciones:

= [(0,003 68)/(5-1)]½ = 0,03033 m Aplicando la fórmula para un error probable del

50% (Cp = 0,674 5) se tiene: Ep = 0,674 5 *(0,03033 m) = 0,020 m Entonces se puede afirmar que existe un 50% de

probabilidad de que la distancia sea: X = 19,228 m ± 0,020 m

Con estos resultados se puede calcular la precisión con la que se efectuó la medida:

E = 0,020 m / 19,228 m = 0,001064

Que significa que por cada metro que se midió se cometió un error de 0,0010 m , que expresado como grado de precisión queda:

Precisión = 1 : (19,228 / 0,020) = 1 : 961

lo cual quiere decir que, si se midiera con la misma precisión una distancia de 961 m , se cometería un error de 1 m .

Leyes Generales de la ProbabilidadLeyes Generales de la Probabilidad

1.- Los residuos ( errores) pequeños ocurren con mayor frecuencia que los grandes.-

2.- Los errores grandes ocurren con poca frecuencia y son por lo tanto menos probables. Los excepcionalmente grandes suelen ser equivocaciones.-

3.- Los errores (+) y (-) de la misma magnitud ocurren con igual frecuencia, es decir son igualmente probables.-

Criterio para el Rechazo de Observaciones.

A diferencia de aquellas observaciones que resultan evidentemente anormales, y que se apartan con facilidad del grupo de mediciones, existen otras que no pueden despreciarse con tanta facilidad por el efecto que pueden provocar en la precisión del resultado final, y deben hacerse uso de razones consistentes para su análisis.-

Una manera de tratar el asunto es haciendo uso de las propiedades de la desviación Standard, como se dijo anteriormente si podemos esperar que alrededor del 99.95 % (0.9995) de las observaciones se encuentran en el intervalo [x-3s ; x+3s ] , entonces al construir este intervalo, los valores externos a el no pertenecen con seguridad a la distribución y pueden eliminarse.

Usualmente se aplica una prueba mas restrictiva conocida como criterio de Chauvenet, que indica que una observación puede eliminarse, si la probabilidad de obtener una desviación particular en valor promedio es menor de 1/2n; los valores de esta razón de desviación aceptable se muestran en la Tabla siguiente.

Tabla1.0 Criterio de Chauvenet para rechazar una observacion

Número de lecturas Razón de desviación n máxima aceptable 3 1.38 4 1.54 5 1.65 6 1.73 7 1.80 8 1.86 9 1.92 10 1.96 12 2.03 14 2.10 15 2.13 20 2.24 25 2.33 50 2.57 100 2.81 300 3.14 500 3.29

Distribución de StudentDistribución de Student

EjemploEjemplo

Se ha medido por un mismo operador y en idénticas condiciones el largo de una parcela. Obteniéndose los resultados que aparecen en la tabla 1.

Considerando que el proceso se aproxima a un comportamiento normal, determine con un 95% de confianza el verdadero valor de la longitud.

Tabla 1 Resultados de la medición

Lectura l (metros) Di di/σ 1 40.300 0,313 0,50 2 40.730 0,117 0,19 3 41.770 1,157 1,85 4 40.260 0,353 0,56 5 39.330 1,283 2,05 6 40.450 0,163 0,26 7 41.090 0,477 0,76 8 40.640 0,027 0,04 9 40.810 0,197 0,31 10 40.750 0,137 0,22

1. Cálculo:

a. Media aritmética = 40.613 mts

b. Desviación Estándar = 0.627 mts.-

c. Rechazo de Observaciones :En la tabla 1 las dos últimas columnas indican la desviación de cada valor a la media y la razón obtenida al dividir con la desviación estándar (di/σ).- Estos valores se comparan con los de la tabla 1.0 que para 10 valores muestra una razón máxima aceptable de 1.96 notando que la quinta observación (39.330), tiene un cociente superior (di/σ=2.05), lo que justifica su eliminación.Nuevamente, con los nueve valores restantes recalculados , quedando: media =40.756 mts. y la desviación estándar= 0.462 mts.-

d. Intervalo de confianza: Distribución de Student n = 9, Pt = 0.95 de

donde t =2.26, utilizando la ecuación

Respuesta: El verdadero valor del lado medido, es de 40,756 mts, ± 0,348 mts. con un 95 % de confiabilidad.

Propagación del erroresPropagación del errores Hasta el momento hemos analizado como acotar los

errores en la medición directa de una magnitud física, que se mide, pero en muchos de los casos es necesario, medir indirectamente la cantidad en estudio, a partir de otros parámetros que se le relacionan físicamente y con estos determinar la medida deseada.-

Pero: ¿Cómo influye el error en la medición de cada variable, en el error total?

Cálculo del error en las mediciones indirectasCálculo del error en las mediciones indirectas

Medición indirecta: Es la medición en que la cantidad de la magnitud a medir se determina mediante la dependencia conocida entre esta y los valores de otras cantidades de magnitud, halladas directamente unas o a su vez indirectamente otras con o sin la ayuda de tablas [Coello, 2006]. Ejemplo de ello es el cálculo de los valores angulares empleando relaciones trigonométricas, etc.

Si definimos Et como el error total, y e1, e2,…, en , el error en cada una de las variables independientes, y si cada uno de ellos tiene la misma probabilidad de ocurrencia, entonces según estas probabilidades, el error total estará dado por [Delfino, 1985]:

Ejemplo Ejemplo Calcule el área de la sección transversal de un elemento

rectangular, si se determina por medición directa que sus lados miden a=100 ± 0.008 mts. y b=75 ± 0.003 mts.

Este ejemplo trata, de la determinación de forma indirecta del área del elemento empleando la relación A=a*b, las variables independientes que se miden directamente son los lados a y b del rectángulo y el error asociado a su medición directa son ea= ±0.008 y eb= ±0.003

Luego:

1. Área=a*b=100*75= 7500 m2

2.

sustituyendo en la ecuación anterior, tenemos: +/- 0.671 mts2

Finalmente el área es: 7500 +/- 0.671 mts2.

Propagación de ErroresSuma:

y si se trata de n sumandos

Producto entre variables:

Cuociente:

CONCLUSIONES:

El conocimiento de los posibles errores que se pueden cometer en el proceso de medición permite controlar la magnitud e influencia de estos en el resultado final, en el caso de los errores aleatorios aun cuando no pueden ser eliminados del resultado final es posible acotar el intervalo de incertidumbre , y con ello lograr la certeza de su valor.-