P1,Teoria de Errores

Instituto Universitario Politécnico“Santiago Mariño”“Extensión Mérida”

Laboratorio de Física

UNIDAD 1

PRINCIPIOS BÁSICOS SOBRE LA TEORÍA DE ERRORES

1. CIFRAS SIGNIFICATIVAS.

Se llama cifra significativa a todo dígito que tenga significado físico. El concepto de cifras significativas está asociado a un acto de medición. Es así como podemos decir que cifras significativas de una medida son todos los dígitos conocidos con certeza incluyendo el primer dígito del que se tenga incertidumbre.

El número de cifras significativas de una medida depende de la apreciación del instrumento utilizado para realizar dicha medida. Por ejemplo, sea que tenemos una cinta métrica cuya mínima medida es un milímetro, entonces medimos un objeto como muestra la figura 1.1. La flecha indica la medida del objeto.

Varios observadores miden y expresan sus lecturas de la siguiente manera:

Tabla 1.1

L1 L2 L3 L4 L5 L6 L7 L8

5,33cm 5,31cm 5,345cm 5,30cm 5,325cm 5,32cm 5,3cm 5,38cm

¿Cuál o cuáles observadores .hicieron una medida correcta de acuerdo con el concepto de cifras significativas? ¿‘Cuál o cuáles no lo hicieron y por qué?En el instrumento se puede observar que la menor medida que puede hacerse con él es de un milímetro, sin embargo, se puede estimar fracciones de milímetros, por tanto las medidas que pueden considerarse correctas son: 5,33cm; 5,31cm; 5,30cm; 5.32cm y 5,38cm, ya que el último dígito es el que presenta la incertidumbre y es la estimada por cada observador.

La lectura de 5,3cm, es incorrecta puesto que no se considera ningún valor estimado cuando puede hacerse, en este caso se tiene un déficit de cifras significativas, lo correcto es decir 5,30cm. Las lecturas de 5,345cm y 5,325cm son incorrectas pues no puede estimarse una

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fracción de fracción, en este caso hay exceso de cifras y el último dígito no tiene significado físico pues no es posible medirlo con este instrumento, lo correcto es decir 5,34cm y 5,32cm.En resumen, llamaremos cifras significativas al número de cifras que estamos razonablemente seguros de acuerdo con el instrumento de medida que se usó para hacer la medición. Es decir, la precisión de la medida queda directamente relacionada con el número de cifras con que se escribe el resultado de una medida.

La importancia de las cifras significativas reside en que indican la confiabilidad de las mediciones. Se puede decir que cifras significativas son los dígitos necesarios para representar la precisión de la medida, al expresarla en forma de un valor numérico.

No se consideran cifras significativas los ceros a la izquierda del primer dígito real.

1.1. Reglas para la lectura de cifras significativas con sus ejemplos.

1. Todas las cifras distintas de cero son significativas.

29,48 (4c.s.) 971 (3c.s.) 2,5 (2c.s.)

2. Los ceros situados entre dos cifras diferentes de cero son cifras significativas.12,5003 (6c.s.) 2005 (4c.s.) 100,45 (5c.s.)

3. Los ceros situados a la derecha del punto decimal son cifras significativas.6,5000 (5c.s.) 24,80 (4c.s.) 8,0 (2c.s.)

4. Los ceros situados a la izquierda de la primera cifra diferente de cero, no son cifras significativas.

0,005 (1c.s.) 0,590 (3c.s.) 0,0075 (2c.s.)

5. El número de cifras significativas es independiente de la unidad de medida.

58,2mm (3c.s.) 5,82cm (3c.s.) 0,0582m (3c.s.)

6. Cuando aparecen ceros antes del punto decimal, pero después de otros dígitos, resulta difícil decidir si son o no cifras significativas. Dependerá de la apreciación del instrumento de medición.

2900 (4c.s.) 2,9 x103 (2c.s.) 2,90x103 (3c.s.)

1.2. Reglas de aproximación o redondeo de cifras significativas con sus ejemplos

1. Si el dígito de la derecha de la última cifra significativa es menor que 5., se suprime y la cifra significativa queda igual.

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Cifra inicial Redondear a Cifra redondeada3,1416 3c.s 3,142,136 2c.s 2,17,864 3c.s 7,86

2. Si el dígito de la derecha de la última cifra significativa es mayor que 5, se suprime, pero se aumenta en una unidad la última cifra significativa.

Cifra inicial Redondear a Cifra redondeada3,1416 4c.s 3,1422,136 3c.s 2,147,864 2c.s 7,9

3. Si el dígito de la derecha de la última cifra significativa es exactamente 5, se suprime y se aumenta en una unidad la última cifra significativa si ésta es impar, si es par no se aumenta nada.

Cifra inicial Redondear a Cifra redondeada96,95 3c.s 97,055,85 3c.s 55,81,65 2c.s 1,67,75 2c.s. 7,8

4. Si el primer dígito que sigue a la última cifra significativa es 5 seguida de cero, se suprimen y la última cifra significativa queda igual si es par o se le aumenta una unidad si es impar.

Cifra inicial Redondear a Cifra redondeada16,450 3c.s 16,481,50 2c.s 821,550 2c.s 1,61,250 2c.s. 1,2

5. Si el dígito 5 es seguido de uno o más dígitos diferentes de cero, el 5 se suprime y la última cifra significativa aumenta en una unidad.

Cifra inicial Redondear a Cifra redondeada2,853 2c.s 2.931,756 3c.s 31,8

1.3. Operaciones con cifras significativas.

Las operaciones de adición, sustracción, multiplicación y división de cantidades con diferente precisión (o de cifras significativas) se realizan de acuerdo a las siguientes reglas:

1. En adiciones o sustracciones el grado de precisión o número de cifras significativas del resultado, será igual al grado de precisión del término de menor precisión.

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Ejemplo:

En el caso a) uno de los sumandos posee sólo dos cifras significativas después de la coma y por ende el resultado debe ser entregado con dos cifras significativas después de la coma. Como el resultado aritmético fue de 22,7364 de acuerdo con las reglas se redondea en consecuencia a 22,74.

En el caso b) el sustraendo tiene tres cifras significativas después de la coma, mientras que el minuendo tiene sólo dos, por tanto, el resultado debe ser entregado con sólo dos cifras significativas después de la coma. Como el resultado aritmético fue de 11.705 de acuerdo con las reglas se redondea en consecuencia a 11,70 y/o 11,71.

2. En multiplicaciones, divisiones, potencias y/o raíces, el número de cifras significativas del resultado será igual al número de cifras significativas del término que tenga menos cifras significativas.

Ejemplo:

a) Al multiplicar 7,103 por 0,91 se obtiene como resultado en la calculadora6,46373.

7,103 x 0,91 = 6,46373

El resultado de esta operación debe tener dos cifras significativas ya que el factor que tiene menos cifras significativas es 0,91, que tiene sólo dos. En consecuencia el resultado usando el concepto de cifras significativas será 6,5.

b) Al dividir 6,46373 entre 8,98 se obtiene en la calculadora 0,719791759.

6,46373 ÷ 8,98 = 0,719791759

El resultado debe expresarse con tres cifras significativas, es decir, 0,720.

3. Si en una operación uno de los factores es un número entero, llamado número puro, se mantiene el criterio de aproximación de la suma.

Ejemplo:

a) Al multiplicar 2x 3,23 = 6,46. Si 2 es un número puro (una constante de una fórmula), entonces el resultado de esta operación debe tener tres cifras significativas, es decir, 6,46.

b) Si se desea calcular el área de un triángulo de base 8,5 y altura 2,75, al aplicar la

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Fórmula , se obtendrá .

Como 2 es un número puro, y en la expresión la cantidad con menos cifras significativas es 8,5, el resultado será expresado con sólo dos cifras significativas, es decir, 12.

4. Cuando en una operación uno de los factores es un número irracional, éste se aproxima a la precisión del factor de menor número de cifras significativas.

Ejemplo:

a) Al determinar el área de un círculo de diámetro d = 2,61cm, se aplica la fórmula

correspondiente

Luego el resultado se aproxima al número de cifras significativas del diámetro, es decir, A = 5,35 cm2.

b) Si se quiere determinar la longitud de una circunferencia de radio R=5,345cm, se aplica la fórmula correspondiente,

L=2*Ω*R=2*3,142*5,345cm=33,58798cm.Luego el resultado se aproxima al número de cifras significativas del radio, es decir, L=33,59cm.

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2. MEDICIONES.

Medir una magnitud física es una operación mediante la cual se asocian: un número, que da el valor de la magnitud referido a una magnitud de la misma especie elegida como unidad de medida, y una indicación del intervalo de incertidumbre.

El resultado de todo proceso, de medición debe constar de tres elementos:

1. Un número2. Una indicación de la incertidumbre con la que se ha realizado la medida.3. Una unidad de medida o patrón.

En el proceso de medición intervienen tres sistemas:

1. Sistema objeto: lo que queremos medir.2. Sistema de medición: el instrumento utilizado.3. Sistema de comparación: la unidad de medida, la cual en general está incluida en el instrumento de medición.

Las mediciones pueden clasificarse en dos tipos:

Medidas directas: son el resultado de la comparación directa, con ayuda de los instrumentos de la magnitud a ser medida, con una magnitud de la misma especie elegida como patrón. Ejemplo: longitud, tiempo, temperatura, etc.

Medidas indirectas: son el resultado de cálculos que envuelven una o más medidas directas, usando ecuaciones teóricas o empíricas, que relacionen la magnitud buscada con aquellas magnitudes que pueden ser medidas directamente. Ejemplo: volumen, densidad, velocidad, etc.

Los instrumentos de medición deberán ser fieles, exactos, accesibles, sensibles y rápidos.

3. PRECISIÓN Y EXACTITUD.

Al .hablar de cantidades medidas, frecuentemente se usan los términos de precisión y exactitud. En teoría, todas las medidas deberían ser precisas y exactas al mismo tiempo.

Precisión: es el grado de concordancia entre las medidas individuales de la misma cantidad. En general, mientras mayor sea el número de cifras significativas que haya en una cantidad mayor será la precisión de ésta.

Exactitud: es el grado de concordancia entre un valor medido y el valor correcto.Las medidas pueden ser muy precisas pero muy inexactas, debido a un error sistemático.

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Las medidas de gran exactitud rara vez son imprecisas. Un ejemplo esquemático que puede aclarar estos conceptos se detalla a continuación. Supongamos el tiro al blanco:

El caso(A) es preciso pero inexacto, el caso (B) es impreciso e inexacto, el caso (C) es preciso y exacto.

4. ERRORES DE MEDICIÓN.

Todas las medidas están afectadas en algún grado por un error experimental debido a las imperfecciones inevitables del instrumento de medida, a las limitaciones impuestas por nuestros sentidos que deben registrar la información o hasta debido a los efectos ambientales que pudieran intervenir en un momento dado.

Las alteraciones que se producen al efectuar cualquier medición, es decir, la divergencia en el resultado de la medición respecto al valor verdadero de la magnitud medida determina el error en la medición.

4.1. Clasificación de los errores.

1. Crasos: producto de la inexperiencia2. Sistemáticos: originados por las imperfecciones de los métodos de medición, pueden dividirse en:

—Teóricos: aparecen generalmente en medidas indirectas.

— Instrumentales: producto del desajuste del instrumento.

— Ambientales: debido a la influencia del medio ambiente

— Observación: producto de quien lee la medida.

3. Accidentales: producto de cualquier factor interventor, pero que no ocurre consistentemente como el sistemático.

4.2. Error absoluto

El error absoluto de una medida es la diferencia entre el valor verdadero qué se pretende y el valor que se consigue. Tiene las mismas dimensiones que la magnitud medida y es conveniente expresarla con las mismas unidades de ésta.

4.3. Error relativo.

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El error relativo indica la magnitud relativa del error con respecto al valor medio de la medida. Es un valor adimensional.4.4. Error relativo porcentual.

Es el error relativo expresado en forma de porcentaje. Se determina multiplicando el error relativo por 100. Permite comparar los errores cometidos en la determinación de diferentes magnitudes físicas.

5. CÁLCULO DE ERRORES.

5.1. Error de una magnitud que se mide una-única vez.

En este caso el mejor valor será simplemente el valor medido y el error vendrá dado por el error nominal del instrumento, también conocido como error instrumental.

5.2. Error de una magnitud que se mide directamente n veces.

Un modo de minimizar la incidencia de los errores es realizando varias mediciones. Dado el carácter al azar de los errores es claro que al promediar los resultados, el promedio estará menos afectado de las desviaciones estadísticas que los valores individuales.

El método que se utilizará es el método de los mínimos cuadráticos, esta teoría no es aplicable para reducir los errores de carácter sistemático.El buen criterio del experimentador despreciará aquellos valores obtenidos que se alejen de la moda de la serie. La moda de un conjunto de medidas es aquella que se repite con más frecuencia.

Medida 1 2 3 4 … … nValor X1 X2 X3 X4 … … xn

Valor probable:Es la medida promedio de todas las efectuadas, que sean de la misma moda.

Error absoluto:

Donde di =xi – xp ; i=1, 2,3,…n

Error relativo:

Error relativo porcentual.

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La medida se escribe finalmente:

Ejemp1o:

La siguiente tabla de valores se obtuvo en un experimento realizado en el laboratorio. Determine el error absoluto, el error relativo y el- error relativo porcentual de la medida y exprésela de acuerdo a las normas estableci1as.

h(mm) 12,45 12,50 12,40 12,75 12,55 13,85 12,45

Solución:

La medida 13,85mm se considera fuera de la moda, por tanto no se toma en consideración para los cálculos, es decir, se desprecia.Cálculo del valor probable:

Cálculo del error absoluto:

Cálculo del error relativo:

Cálculo del error relativo porcentual:

Luego:

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x= xp ± x = xp ±Er (%)



5.3. Error de una magnitud medida indirectamente.

Sea z una medida indirecta donde z= f(x, y, u,...) y donde x, y, u;... son medidas directas.Para calcular el error asociado a esta medida se usa nuevamente el método de los mínimos cuadráticos aplicado a medidas indirectas.

El valor probable de la medida indirecta será una función de los valores probables de las medidas directas involucradas en la medida, así:

El error absoluto se calcula a partir de la expresión:

Donde x, y, u, son los errores absolutos de las medidas directas involucradas. El error relativo estará dado por la expresión:

El error relativo porcentual se calcula utilizando la expresión:

Finalmente, la lectura de la medida se expresa:

Ejemplo:

El volumen de un cono viene dado por la expresión

La lectura del radio viene dada por r = 12,52 mm ± 0,05 mm.La lectura de la altura viene dada por h= 23,80 mm ± 2%.Determinar el volumen del cono y expresarlo de acuerdo a las reglas de cifras significativas.

Solución:

Se trata de una medida indirecta cuyas variables independientes son (r, h) y la variable dependiente es v

.

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h = 12,52 mm ± 0,05 mm = 12,52 mm ± 0,4%

z= zp ± z = zp ±Er (%)



Cálculo del valor probable del volumen:

Cálculo del error absoluto de la altura:

Cálculo del error absoluto del volumen:

Cálculo del error relativo porcentual del volumen:

Así:

6. REGIAS PARA EXPRESAR UNA MEDIDA Y SU ERROR

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V= 3907 mm3 ± 90 mm3 = 3907 mm3 ± 2%



1. Todo resultado experimental o medida hecha en el laboratorio debe ir acompañada del valor estimado del error de la medida y a continuación, las unidades empleadas.Por ejemplo, al medir una cierta distancia se ha obtenido 297mm ± 2mm. De este modo se entiende que la medida de dicha magnitud está entre 295mm y 299mm. En realidad, la expresión anterior no significa que se está seguro de que el verdadero valor de la medida esté entre los límites indicados, sino que hay cierta probabilidad de que esté ahí.

2 Al realizar una sola medición de tina magnitud con un instrumento con escala, el error asociado será el error de apreciación o error instrumental.

Por ejemplo, si al hacer una medida de la intensidad con un amperímetro cuya apreciación o cifra significativa más pequeña es 0.01A, la lectura es 0,64A, y esta lectura es constante (no se observan variaciones al medir en diferentes instantes), se toma 0,64A como el valor de la medida y 0,0lA como su error. La medida se expresará así: 0,64A ± 0,01A.

3. En caso de trabajar con tabulaciones de datos y entregar la medición con el error asociado, se tiene que:

El promedio debe quedar con el mismo número de decimales que los datos obtenidos, situación que concuerda con el criterio de aproximación.

En el cálculo de la desviación estándar, que es la que representa el error cometido, debe ser expresada con una cifra significativa.

Por ejemplo, supóngase que se ha medido un determinado tiempo, t, obteniendo los valores: 5,5, 5,7, 6,2 y 6,5 s. Se encuentra que el valor medio es 5,975, y el error cuadrático es 0,2286737. El error cuadrático es mayor que el error instrumental, por lo que se debe tomar como el error de la medida. Aplicando las reglas anteriores la medida finalmente se expresa corno t = 6,0 s ± 0,2s

4. Los errores se deben dar sólo con una cifra significativa. Únicamente, en casos excepcionales, se pueden dar una cifra y media (la segunda cifra 5 ó 0).

Expresiones incorrectas por la regla Expresiones correctas

24567 m ± 2928 m 25000 m ± 3000 rn23,463 m ± 0,165 m 23,5 ni ± 0,2 m345,20 cm ± 3,10 cm 345 cm ± 3 cm43,00 mm ± 0067 mm 43,00 mm ± 0,07 mm

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5. La última cifra significativa en el valor de una magnitud física y en su error, expresados en las mismas unidades, deben de corresponder al mismo orden de magnitud (centenas, decenas, unidades, décimas, centésimas).

Expresiones incorrectas por la regla - Expresiones correctas

22,49m ± 0,2m 22,5m ± 0,2m345,2 cm ± 3 cm 345 cm ± 3 cm43,0 mm ± 0,06 mm 43,00 mm ± 0,06 mm

6. La identificación del error de un valor experimental con el error cuadrático obtenido de n medidas directas consecutivas, solamente es válido en el caso de que el error cuadrático sea mayor que el error instrumental, es decir, que aquel que viene dado por la resolución del aparato de medida.

Es evidente, por ejemplo, tomando el caso más extremo, que si el resultado de las n medidas ha sido el mismo, el error cuadrático, de acuerdo con la fórmula será cero, pero eso no quiere decir que el error de la medida sea nulo, sino que el error instrumental es tan grande que no permite observar diferencias entre las diferentes medidas, y por tanto, el error instrumental será el error de la medida.

Por ejemplo, supóngase que se ha medido un determinado tiempo, t, cuatro veces, y se dispone de un cronómetro que permite conocer hasta las décimas de segundo. Los resultados han sido: 6,3, 6,2, 6,4 y 6,2 s. De acuerdo con lo explicado anteriormente, el valor medio será:

El error cuadrático será:

El error cuadrático, t= 0,05 s, es menor que el error instrumental, que es 0,1s, por lo que se debe usar este último como el error de la medida. El resultado final de la medida es t = 6,3 s ± 0,1s

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