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Aproximaciones y errores de redondeoProf. Oscar Tinoco G.Mtodos NumricosIngeniera Textil y de Confecciones1Cifras significativasLas cifras significativas de un nmero son aquellas que pueden utilizarse en forma confiable. Se tratan del nmero de dgitos que se ofrecen con certeza ms uno estimado.Los mtodos numricos dan resultados aproximados.Los nmeros representados en las computadoras tienen un nmero finito de cifras significativas. A la omisin del resto de cifras significativas se le conoce como error de redondeo.2Exactitud y precisinLa exactitud se refiere a que tan cercano esta el valor calculado o medido del valor verdadero.La precisin se refiere a que tan cercanos se encuentran, unos de otros, diversos valores calculados o medidos.Aumenta la exactitudAumenta la precisin3Los mtodos numricos deben ser lo suficientemente exactos, o sin sesgo para satisfacer los requerimientos de un problema particular de ingeniera.

Tambin deben ser lo suficientemente precisos para ser adecuados en el diseo de ingeniera.

En este curso usaremos el trmino error para representar tanto la inexactitud como la imprecisin en las predicciones.4Los errores numricos se pueden clasificar comoErrores de truncamiento: resultan del empleo de aproximaciones con clculos exactos.Errores de redondeo: por utilizar nmeros que tienen un lmite de cifras significativas.Error verdadero = Et = valor verdadero valor aproximadoEsta definicin no toma en cuenta la magnitud de las cantidades involucradas.Error relativo fraccional verdadero = error verdadero / valor verdaderoEl error relativo porcentual verdadero se define comoe t = error verdadero / valor verdadero x 100%El error aproximado se utiliza cuando no se conoce el valor verdadero. Se define pore a = error aproximado / valor aproximado x 100%El error en los mtodos iterativos con las aproximaciones actual y anterior.e a = (aproximacin actual aproximacin anterior) / aproximacin actual x 100%

Definicin de error5Redondeo y TruncamientoEl redondeo reduce el nmero de dgitos significativos en un nmero. El resultado del redondeo es una cantidad de magnitud similar , que es un numero mas corto porque tiene menos dgitos diferentes de cero.Un numero x esta truncado a n dgitos cuando todos los dgitos que siguen al ensimo digito son descartados y ninguno de los n dgitos restantes se cambia.Ejemplo: 2.51486896321Redondeo: 2.51487Truncamiento: 2.51486

Ejemplo 1Se mide un puente y un remache, y se obtienen 9999 y 9 cm, respectivamente. Si los valores verdaderos son 10000 y 10 a) encontrar el error verdadero y b) el error relativo porcentual verdadero en cada caso.a) Puente:Et = 10000 9999 = 1 cmRemache:Et = 10 9 = 1 cmb)Puente:et = 1/10000 x 100% = 0.01 %Remache:et = 1/10 x 100% = 10 %

8Ejemplo 2

Aproximar los nmeros reales indicados a continuacin, empleando una aritmtica de cinco cifras significativas, mediante corte y redondeo9

Tareaa) Evale el polinomioy = x3 7x2 + 8x + 0.35En x = 1.37, utilizando aritmtica de 3 dgitos con truncamiento (corte). Evale el error relativo porcentual.b) Repita a) con y calculada cony = ((x 7)x + 8)x + 0.35Evale el error y comprelo con el de a)11TareaEscriba un programa en C que imprima una tabla con valores calculados de ex, para x = 0.5 utilizando la expansin siguienteImprima el nmero de trminos (comenzando en 1), el resultado de la suma y el error relativo porcentual. Termine el proceso cuando el error relativo porcentual sea menor a 0.004 %. El valor exacto determnelo con la funcin exp() de C.

12/* Programa para evaluar la funcin exponencial en 0.5 usando la serie de Taylor. */#include #include int main(){ float x = 0.5, suma = 1, pi = 3.1415926535,error,fact = 1,pot = 1; int iter = 1; cout