Analisis Dimensional y Semejanza

UCC – Facultad de Ingeniería Asignatura: Mecánica de los Fluidos Carreras: Ingeniería Mecánica e Industrial 2012

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Notas auxiliares de clase: ANÁLISIS DIMENSIONAL Y SEMEJANZA 1) Introducción

Consideremos un problema físico en el cuál una variable física dependiente es función de otras variables físicas. Por ejemplo: la fuerza de arrastre hidrodinámica sobre una esfera de diámetro d generada por un flujo a velocidad V de un fluido de propiedades ρ y µ.

( ), , ,F f V d ρ µ= (1)

El análisis dimensional es una técnica de origen teórico y aplicación práctica que permite condensar el estudio del problema con una menor cantidad de variables, a través de una especie de cambio de variables: se trabaja con una menor cantidad de nuevas variables, constituidas cada una por una combinación adimensional de potencias de las variables físicas. Sea en nuestro ejemplo:

1 22 2

F V d

V d

ρπ πρ µ

= = 1 2( )gπ π= (2)

Puede verificarse realizando el análisis de unidades que ambos parámetros son efectivamente adimensionales. ¿Cuál sería una utilidad de esta situación? Supongamos que debiera estudiarse experimentalmente la relación (1). Para conocer la dependencia de F con las cuatro variables se deberían realizar mediciones de F barriendo valores de cada una de las cuatro variables mientras se mantienen fijas las tres restantes. Por ejemplo, para estudiar con una mínimo grado de precisión la función (1), se deberían barrer mediciones dando 5 valores a cada una de las 4 variables. Esto daría como resultado la necesidad de realizar 54 = 625 mediciones de F Si utilizáramos el análisis dimensional, la relación (1) se estudiaría a través de determinar la relación (2) la cual involucra una sola variable. La (2) podría aproximarse con sólo 5 mediciones y mediante interpolación podría elaborarse la siguiente curva: Con ésta información podría obtenerse el valor de F para cualquier caso: V

d

ρµ

Se calcula 2

V dρπµ

= 1 2 2

F

V dπ

ρ= Se calcula: 2 2

1F V dπ ρ=

V F

π1

π2

Gráfico π1 – π2


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Una segunda y enorme utilidad de plantear la relación física en términos de parámetros adimensionales es que pueden relacionarse dos situaciones de un mismo problema físico, que constituye lo que se verá como semejanza (o similitud):

Si se tiene que 1 2 1 2 1 2 1 2V V d d ρ ρ µ µ≠ ≠ ≠ ≠ pero 1 1 1 2 2 2

1 2

V d V dρ ρµ µ

= , entonces por la

relación (2) se tendrá que: 1 22 2 2 2

1 1 1 2 2 2

F F

V d V dρ ρ=

Conocido F1 por ejemplo se puede determinar F2 Esto constituye la denominada semejanza entre la situación física 1 y la situación física 2, la cual se emplea para realizar experimentación de modelos a escala y luego extrapolar lo medido a la situación real. Previamente a plantear más detalladamente las relaciones de semejanza, debe conocerse la forma de obtener los parámetros adimensionales en un determinado problema. 2) Análisis Dimensional y Teorema Pi de Buckingham

Dado un problema físico en el cuál la variable física dependiente es función de otras n-1 variables físicas independientes se puede expresar esa relación como una función:

( )npppfp …321 ,= En forma equivalente puede expresarse como:

( ) 0,, 321 =nppppg … El teorema Pi de Buckingham establece: � Dado un problema físico que vincula a n variables físicas, pueden obtenerse m parámetros

adimensionales correspondientes a dichas variables, independientes entre sí. Los parámetros adimensionales, también llamados grupos adimensionales, son combinación de potencias de variables físicas cuyo agrupamiento es adimensional.

� La cantidad m de parámetros adimensionales está dada por: m = n – r , dónde r es el rango de la

matriz dimensional y generalmente suele ser la cantidad de dimensiones fundamentales independientes requeridas para expresar las dimensiones de todas las variables físicas intervinientes.

De manera que el problema físico dado puede estudiarse en la forma de:

( ) 0,, 321 =mG ππππ … O

( )mF ππππ …321 ,= Los parámetros adimensionales suelen denominarse números Pi (sin tener vinculación con el número π = 3,1416.) en razón del símbolo de producto o “productoria”, ya que siempre se expresan como producto de potencias de las variables físicas. En la mayoría de los problemas de ingeniería del área de la mecánica, r = 3 pues las dimensiones fundamentales masa, longitud y tiempo bastan para expresar las dimensiones todas las variables.


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En problemas térmicos puede ser r = 4 pues debe agregarse la temperatura como dimensión fundamental o primaria. En problemas eléctricos se adiciona la carga eléctrica como dimensión fundamental. Aunque es bastante inusual, en un caso genérico debe aplicarse la definición rigurosa de rango de la matriz dimensional. La matriz dimensional se forma disponiendo en la filas las unidades fundamentales que se emplean para definir las dimensionas de todas las variables físicas y en columnas las diferentes variables físicas del problema dado. Un elemento en fila i y columna j es el exponente que posee la dimensión fundamental i en las dimensiones de la variable física j. El rango de una matriz está definido como el orden de su determinante más grande diferente de cero. Ejemplo 1 : Fuerza de resistencia F de una esfera lisa de diámetro d en una corriente de velocidad V

de un fluido de densidad ρ y viscosidad absoluta µ. Problema dado: ( )µρ ,,, dVfF = Dimensiones fundamentales: masa M , longitud L , tiempo T (no aparecen ni carga eléctrica ni temperatura) Análisis de dimensiones:

[ ]2T

LMF = [ ]

3L

M=ρ [ ]TL

V = [ ] Ld = [ ]TL

M=µ

Matriz dimensional:

F ρρρρ V d µµµµ M 1 1 0 0 1 L 1 -3 1 1 -1 T -2 0 -1 0 -1

En éste problema, calculando el rango de la matriz se llega al resultado r = 3 Ejemplo 2 : Ascenso capilar h de un fluido de tensión superficial σ y peso específico γ en un tubo de

diámetro d. Problema dado: ( )dfh ,, γσ= Dimensiones fundamentales: masa M , longitud L , tiempo T . Análisis de dimensiones:

[ ] Lh = [ ]2T

M=σ [ ]22 TL

M=γ [ ] Ld =

Matriz dimensional:

h σσσσ γγγγ d M 0 1 1 0 L 1 0 -2 1 T 0 -2 -2 0

En éste problema, calculando el rango de la matriz se llega al resultado r = 2.


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Método de determinación de un conjunto de parámetro s adimensionales Se definen parámetros adimensionales independientes entre sí a aquellos en los que uno de ellos no puede obtenerse combinando potencias de los restantes: Ejemplo: Sean P : potencia de una bomba

p∆ : incremento de presión que produce

Q : caudal volumétrico ω : velocidad angular ρ : densidad del fluido µ : viscosidad dinámica del fluido

D : diámetro Los siguientes cuatro parámetros adimensionales son independientes entre sí:

3 5 2 2 3 2; ; ;

P p Q

D D D D

µρ ω ρ ω ω ρ ω

∆

En cambio, estos cinco parámetros adimensionales no los son:

3 5 2 2 3 2; ; ; ;

P P p Q

D p Q D D D

µρ ω ρ ω ω ρ ω

∆∆

Pues el segundo puede obtenerse combinando el primero, el tercero y el cuarto:

1 1 3 2 2

3 5 3 2 2 3 5

P P Q p P D D

p Q D D D D Q p

ω ρ ωρ ω ω ρ ω ρ ω

− − ∆= = ∆ ∆

Existen infinitos conjuntos de parámetros adimensionales independientes que rigen un problema físico dado. El procedimiento sistemático presentado a continuación sirve para generar un juego determinado de números Pi. Pueden ser obtenidos otros parámetros que no serán independientes de los primeros, pues se podrán obtener por combinación. Lo único fijado en forma absoluta es la cantidad de parámetros Pi independientes entre sí , es decir que ninguno de ellos puede ser obtenido como combinación de potencias de los parámetros restantes. Pueden obtenerse entonces nuevos parámetros adimensionales combinando algebraicamente otros obtenidos previamente. La forma final de los parámetros adimensionales adoptados surge de una convención adoptada. Dado el problema físico dónde intervienen n variables físicas (donde una de ellas es variable dependiente, función del resto):

1. Elija un sistema de dimensiones fundamentales: usualmente masa M, longitud L, tiempo T, temperatura θ , carga eléctrica q . Otra alternativa: fuerza F, longitud L, tiempo T, temperatura θ, carga eléctrica q .

2. Realice el análisis dimensional de cada variable y obtenga la composición dimensional de cada

una.


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3. Determine el valor r y determine entonces la cantidad m de parámetros adimensionales que dominan el problema.

4. Elija de la lista: r variables físicas que se repetirán en los m parámetros adimensionales.

(Quedan de esta forma m variables físicas restantes que aparecerán de una por vez en cada parámetro adimensional). Éste paso es relativamente arbitrario y pueden realizarse diversas elecciones posibles.

Por ejemplo, si se eligió que p1 no se repita, entonces se propone: 1 1 1

1 1 3 4 5a b cp p p pπ =

Existen algunas condiciones que deben cumplirse en la selección de las variables que se repetirán: • No pueden elegirse variables cuyas dimensiones sean una potencia de la otra (por ejemplo,

no pueden elegirse un diámetro y un volumen, o una longitud y un momento de segundo orden, o una velocidad y una energía específica)

• No pueden elegirse variables cuya combinación de potencias resulte adimensional (por

ejemplo, una densidad, una velocidad y una presión) • En la forma propuesta de un parámetro adimensional no puede aparecer una dimensión

fundamental una única vez, pues de esa manera será imposible que la combinación de variables sea adimensional.

5. Para cada uno de los m parámetros adimensionales: propóngalos como el producto de las variables físicas que se repetirán, elevadas cada una a un exponente a determinar, con cada una de las variables físicas restantes.

6. Para cada uno de los m parámetros adimensionales: determine los exponentes a1 , a2 ... ar

imponiendo la condición que el número Pi no tiene dimensiones. Procedimiento : realice el análisis dimensional del parámetro Pi y luego de operar matemáticamente imponga que los exponentes a los que quedan elevadas cada una de las dimensiones fundamentales sea nulo, a fin de que el parámetro Pi no posea dimensiones. Esto plantea un sistema de ecuaciones r X r cuya solución son los exponentes a1 , a2 ... ar .

Observaciones

- Existen infinitos parámetros adimensionales para un problema físico dado. Lo que está determinado es el número de parámetros adimensionales independientes entre sí (entendido esto como que ninguno de ellos puede obtenerse combinando potencias de los restantes).

- El procedimiento detallado previamente de determinación de un conjunto de parámetros

adimensionales permite la obtención de un determinado conjunto de ellos entre la infinidad de otras combinaciones posibles.

- Dado que la elección de variables físicas en el punto 4 es arbitraria es normal que se pueda

llegar a conjuntos diferentes de parámetros adimensionales y que todos ellos sean correctos.


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- Lo que determina que en un problema físico dado, se trabaje con un conjunto determinado de parámetros adimensionales y no con otro, es simplemente cuestión de convención.

Ejemplo Potencia P absorbida por una bomba e incremento de presión a través de la bomba ∆p en función del caudal volumétrico Q, velocidad angular de rotación ω, , diámetro del rotor D, densidad ρ y viscosidad absoluta µ del fluido.

( )µρω ,,,,; DQfpP =∆

Paso 1 : Se adopta el sistema masa – longitud – tiempo (temperatura ni carga eléctrica aparecen) Paso 2 :

[ ]3

2

2

tan*

T

LMTL

T

LMtiempo

ciadisfuerzaP ===

[ ]TL

tiempovolumen

Q3

==

[ ]Ttiempo

ángulo 1==ω

[ ] 2 2 2

1fuerza M L Mp

área T L T L∆ = = =

[ ] LD =

[ ]3L

Mvolumen

masa ==ρ

[ ]TL

M

L

T

T

LMárea

tiempofuerza ===22

*µ

Paso 3 : Cantidad de variables físicas m = 7 . Matriz dimensional:

P Q ωωωω p D ρρρρ µµµµ M 1 0 0 1 0 1 1 L 2 3 0 -2 1 -3 -1 T -3 -1 -1 -1 0 0 -1


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Puede verificarse que r = 3 . Por lo tanto el problema físico está regido por m = 4 parámetros adimensionales independientes. Paso 4 : Se adoptan las variables velocidad angular ω , diámetro D y densidad ρ para que se repitan interviniendo en la definición de todos los números Pi. Quedan entonces las variables potencia P ,caudal volumétrico Q, incremento de presión ∆p y viscosidad µ para que aparezcan de una por vez en cada número Pi a determinar. Paso 5 : Se proponen:

3211

aaa DP ρωπ =

3212

bbb Dp ρωπ ∆= 321

3ccc DQ ρωπ =

3214

ddd D ρωµπ = Paso 6 : Parámetro ππππ1 :

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 1323

3

2

1

321 332133

2

11 aaaa

aa

aaaa TLM

LM

LTT

LMDP −−−++=

== ρωπ

1 + a3 = 0 2 + a2 - 3 a3 = 0 - 3 - a1 = 0 Se despejan : a3 = -1 ; a1 = -3 ; a2 = -5

Resulta: 531 D

P

ωρπ = (denominado “coeficiente de potencia”)

Parámetro ππππ2 :

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]1 3

1 2 3 3 2 32 11 1 3 23 2 3

1c c

c c c c c cc cM Mp D L M L T

L T T Lπ ω ρ + − + − − − = ∆ = =

1 + c3 = 0 -1 + c2 - 3 c3 = 0 -2 - c1 = 0 Se despejan : c3 = -1 ; c1 = -2 ; c2 = -2

Resulta: 222 D

p

ωρπ ∆= (denominado “coeficiente de carga”)


[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 1323

3

2

1

321 1333

3

21 bbbb

bb

bbbb TLM

LM

LTT

LDQ −−−+=

== ρωπ

b3 = 0 3 + b2 - 3 b3 = 0 -1 - b1 = 0 Se despejan : b3 = 0 ; b1 = -1 ; b2 = -3


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Resulta: 33 D

Q

ωπ = (denominado “coeficiente de caudal”)


[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 1323

3

2

1

321 131134

1 ddddd

dd

ddd TLMLM

LTTL

MD −−−+−+=

== ρωµπ

1 + d3 = 0 -1 + d2 - 3 d3 = 0 -1 - d1 = 0 Se despejan : d3 = -1 ; d1 = -1 ; b2 = -2

Resulta: 24 Dωρ

µπ =

Se tiene entonces que el problema original puede se estudiado en la forma :

=∆

232253,;

DD

QF

D

p

D

P

ωρµ

ωωρωρ

En la práctica, la convención establecida es, por un lado, trabajar con la inversa de π4 , que se denomina “número de Reynolds” y por otro, trabajar con la frecuencia de rotación n en lugar de la velocidad angular de rotación, sabiendo que 2 nω π= :

2

3 5 2 2 3; ,

P p Q n DF

n D n D n D

ρρ ρ µ

∆ =

(El factor 2π no se tiene en cuenta) En la realidad de la ingeniería, lo usual es que el método de obtener un conjunto de parámetros adimensionales no es de importancia relevante. Esto es debido a que, normalmente, el ingeniero está involucrado en problemas en los que previamente ya se conocen cuáles son los parámetros que se emplean prácticamente en dicha situación. Por dicha razón, es mucho más importante el empleo de los parámetros adimensionales ya conocidos en una situación práctica, lo que conduce a la semejanza y a la llamada teoría de modelos


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3) Semejanza (o similitud) Definiciones: Semejanza Geométrica : dos geometrías una a escala de la otra, es decir que poseen la la misma forma y difieren en el tamaño. Semejanza Cinemática : cuando entre puntos homólogos de dos situaciones con semejanza geométrica, existe proporcionalidad, con un factor fijo para todo el campo de movimiento, de los vectores velocidad y aceleración de la partícula fluida (los vectores en puntos homólogos deben poseer idénticas direcciones y sus magnitudes se relacionan en un factor de escala constante). Semejanza de Masas : cuando entre puntos homólogos de dos situaciones con semejanza geométrica, existe proporcionalidad, con un factor fijo para todo el campo de movimiento, de las densidades del fluido. Semejanza Dinámica : cuando entre puntos homólogos de dos situaciones con semejanza geométrica, existe proporcionalidad, con un factor fijo para todo el campo de movimiento, de los vectores fuerza de superficie (fuerza de presión y fuerza viscosa) sobre la partícula fluida.. La semejanza dinámica, o completa, implica todos los niveles de semejanza anteriores. La forma práctica de lograr la semejanza dinámica es a través de la semejanza geométrica y de los parámetros adimensionales del problema. Como concepto aplicado, entre dos situaciones físicas en la que existe semejanza geométrica se plantea la semejanza dinámica, o semejanza completa, cuando es posible “trasladar” los resultados obtenidos en una situación a la otra: una magnitud física en una situación puede ser obtenida en base a la magnitud medida o calculada en la otra situación. Esto se conoce también como “teoría de modelos”: una situación determinada denominada “prototipo” (lo que sería el caso real de interés) es estudiada a través de obtener resultados en otra situación denominada “modelo” con la condición necesaria (pero no suficiente) de la semejanza geomérica, es decir que ambas geometrías estén a escala una de otra. La semejanza surge como consecuencia de llevar el problema planteado en términos de variables físicas: ( )npppfp …321 ,= a la situación de ser planteado en términos de los parámetros

adimensionales: ( )mF ππππ …321 ,= :

Si entre las situaciones “prototipo” (subíndice m) y “modelo” (subíndice p) se impone que haya semejanza geométrica y que además: ( ) ( )( ) ( ).......

33

22

pm

pm

ππππ

=

=

(1)

Entonces se cumplirá que ( ) ( )mp 11 ππ =

De ésta última relación se despeja la magnitud física (fuerza, potencia, caudal, el que se trate) correspondiente al “prototipo” en función de la misma magnitud correspondiente al “modelo”. Por ejemplo si se construye un modelo de una bomba a una escala determinada en base al diseño de la bomba real (prototipo) y se ensaya, las condiciones de ensayo del modelo se obtienen de plantear:


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pmD

Q

D

Q

=

33 ωω

pm

DD

=

µωρ

µωρ 22

Se ensaya entonces el modelo y, por ejemplo, se mide el incremento de presión en el modelo. El valor que correspondería a la bomba real (no ensayada y quizá ni siquiera construida) se obtiene de:

mpD

p

D

p

∆=

∆2222 ωρωρ

Semejanza incompleta (o semejanza aproximada ) Se denomina cuando por razones técnicas, razones de origen teórico o de otra naturaleza es imposible asegurar la igualdad de todos los parámetros adimensionales. En esta situación pudiera ser que ( ) ( )mp 11 ππ ≈ pero no exactamente igual. El error cometido cuando

se plantea una semejanza incompleta depende de la situación. Dependiendo del caso, se realizan correcciones que dependen de cada situación física. Un primer ejemplo de la imposibilidad de la semejanza completa se da en la hidrodinámica de barcos, caso tratado en un problema de la guía práctica: la fuerza de resistencia hidrodinámica se estudia mediante un coeficiente adimensional de resistencia función del número de Froude y del número de Reynolds. La semejanza estricta establece que siendo el coeficiente de fuerza ( )Re,FC f Fr=

Si Re Rem p= y m pFr Fr= entonces: F p F mC C=

Si se asume la situación realista en que el fluido es el mismo en ambas situaciones y el modelo es a menor escala, la igualdad de Reynolds entre modelo y prototipo exige que el modelo sea ensayado a mayor velocidad que el prototipo, mientras que la igualdad de Froude requiere que el modelo sea ensayado a menor velocidad que el prototipo. Evidentemente es imposible cumplir la semejanza completa. La experiencia ha mostrado que se puede plantear semejanza incompleta útil del punto de vista práctico siempre que se respete la igualdad de Froude. Las discrepancias de Reynolds entre ambas situaciones se tienen en cuenta mediante correcciones. Si m pFr Fr= a pesar de que Re Rem p≠ entonces: F p F mC C≈ o F p F mC C correcciones= +

Un segundo ejemplo de imposibilidad de la semejanza completa se da en el estudio aerodinámico en túnel de viento no presurizado en régimen incompresible (Mach < 0.3), caso también tratado en la guía práctica. Las condiciones a cumplir para la semejanza completa son la igualdad de Reynolds entre modelo y prototipo y además cumplir Mach < 0.3 en el modelo. Si el túnel no es presurizado, las densidades del aire entre modelo y prototipo son del mismo orden de magnitud. Si se asume la situación realista en que el modelo es a menor escala, la igualdad de Reynolds exige entonces que la velocidad en el modelo sea mayor que en el prototipo, en un factor del orden de la escala geométrica. Esto lleva a que Mach >> 0.3 y no se respete la condición de flujo incompresible. En esta situación, la experiencia ha mostrado que se puede plantear semejanza incompleta útil del punto de vista práctico y en la cual las discrepancias de Reynolds entre ambas situaciones se tienen en cuenta mediante correcciones.


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La semejanza estricta para flujo incompresible establece que: ( )ReFC f= siempre que M < 0.3

Del punto de vista de la semejanza incompleta se tendrá que D p D mC C≈ a pesar de que Re Rem p≠

Por experiencia práctica se realizan correcciones para obtener: D p D mC C correcciones= +

Un tercer ejemplo Parámetros adimensionales relevantes En las numerosas situaciones físicas corrientes en el campo de la Ingeniería, muchos parámetros adimensionales ya han sido obtenidos y escritos en su forma aceptada. Algunos de ellos son:

Parámetro adimensional Definición Significado cualitativo Importancia

Número de Reynolds µ

ρ lV=Re Relación inercia/viscosidad En general siempre

Número de Froude lg

VFr

2

= Relación inercia/gravedad Flujo con superficie libre

Número de Mach a

VMa = compresibilidad Flujo compresible

Número de Strouhal V

lSt

ω= Relación frecuencia/velocidad media

Flujos oscilatorios o cíclicos

Número de Grashof µ

ρβ 32 lgTGr

∆= Relación flotabilidad/viscosidad Convección natural

Número de Weber γ

ρ lVWe

2

= Relación inercia/tensión superficial

Flujo con superficie libre

Coeficiente de presiones (número

de Euler) 2

2

1V

ppCp amb

ρ

−= Relación presión

estática/presión dinámica (o presión manométrica

adimensional)

Aero e hidrodinámica

Coeficiente de fuerza: de

sustentación o de resistencia

212

F

ref

FC

V Sρ=

Fuerza adimensional Aero e hidrodinámica

También son parámetros adimensionales:

- Rendimiento de una máquina, sea cual sea su definición. - Coeficiente de fricción del diagrama de Moody, de flujo con fricción en tuberías. - Rugosidad relativa, de flujo con fricción en tuberías. - Toda relación de una misma magnitud física: relación de temperaturas, relación de

dimensiones geométricas, etc.


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Ejemplo de un caso práctico: ensayo de una bomba ce ntrífuga A modo de ejemplo de la utilidad que resulta de trabajar con parámetros adimensionales, se presenta el caso de las performances de una bomba hidráulica centrífuga, tal como son obtenidos en base a ensayos de la máquina en un laboratorio. Las convenciones y la práctica ingenieril en el área de maquinaria hidráulica lleva a que no se trabaja con los parámetros adimensionales como han sido obtenidos previamente. - Se trabaja con el “número de Reynolds”, que es la inversa del 4π obtenido antes.

- Se trabaja con la frecuencia de rotación n (en r.p.s. o Hz) en lugar de la velocidad angular de rotación: 2 nω π=

- Se trabaja con el incremento de presión de la bomba dividido el peso específico del fluido,

denominado “carga manométrica de la bomba” H (head en inglés) : p

Hgρ

∆=

Por lo tanto los parámetros adimensionales quedan:

Coeficiente de caudal: 3

Q

n D

Número de Reynolds: 2

Ren Dρµ

=

Coeficiente de carga: 2 2

H

g n D

La ley de semejanza de bombas establece que:

Si 3 3

2 1

Q Q

n D n D

=

y ( ) ( )2 1

Re Re= entonces: 2 2 2 2

2 1

H H

n D n D

=

(donde g no se hace intervenir pues se asume constante)

O en otra forma: 2

2 2 3,

H Q n DF

n D n D

ρµ

=

La figura siguiente presenta la carga H como función del caudal volumétrico y de la velocidad de rotación de la bomba. Se observan diferentes curvas, cada una para diferentes velocidades de rotación. Si esos mismos datos experimentales se expresan en términos de coeficiente de carga como función del coeficiente de caudal, se observa que el comportamiento de la bomba a diferentes r.p.m. se condensa prácticamente en una única curva, con muy baja dispersión. ¿Qué conclusión se obtiene de dicha observación?: que el número de Reynolds prácticamente no es influyente y que es suficiente aproximación trabajar en términos de semejanza incompleta:

Si 3 3

2 1

Q Q

n D n D

=

aunque ( ) ( )2 1

Re Re≠ entonces: 2 2 2 2

2 1

H H

n D n D

≈

O en otra forma: 2 2 3

H QF

n D n D

≃ independiente de Reynolds


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