Escuela:UPIITA

Profesor:Horta Olivares Ricardo

Alumnos:Aguilera Vergara Aldo Germán

Cáceres Rojas Fernando AlonsoIslas Echeverría Cuauhtémoc A.

Negrete Flores Elisa LibertadPeñaloza Zamora Ricardo

Materia:Biónica III.

Grupo:9BM1

Practica I:Método π de Buckingham de análisis dimensional y principio de similitud

MODELOS MATEMATICOS DE SISTEMAS FISICOS

Para efectuar el análisis de un sistema, es necesario obtener un modelo matemático que lo represente. El modelo matemático equivale a una ecuación matemática o un conjunto de ellas en base a las cuales podemos conocer el comportamiento del sistema.Es necesario comentar que el modelo matemático que se desarrolla a partir de un sistema no es único, debido a lo cual se pueden lograr representaciones diferentes del mismo proceso. Estas diferentes representaciones no contradicen una a la otra. Ambas contienen información complementaria por lo que se debe encontrar aquella que proporcione la información de interés para cada problema en particular.Dentro de este contexto, por lo general se emplea la representación en "variables de estado" aunque no por ello el método de "relación entrada-salida" deja de ser interesante a pesar de proporcionar menor información de la planta.

En términos generales, en todo modelo matemático se puede determinar 3 fases:•Construcción del modelo. Transformación del objeto no-matemático en lenguaje matemático.•Análisis del modelo. Estudio del modelo matemático.•Interpretación del análisis matemático. Aplicación de los resultados del estudio matemático al objeto inicial no-matemático. El éxito o fracaso de estos modelos es un reflejo de la precisión con que dicho modelo matemático representa al objeto inicial y no de la exactitud con que las matemáticas analizan el modelo.

ANÁLISIS DIMENSIONAL

Es el estudio de las relaciones que guardan entre sí todas las magnitudes físicas.

MAGNITUD

Para la Física, una magnitud es aquella susceptible de ser medida.

MEDIR 

Medirescomparardosmagnitudesdelamismaespeciedondeunadeellassetomacomounidad de medida.

CLASIFICACIÓN DE LAS MAGNITUDES FÍSICASI. De acuerdo a su origen

Magnitudes Fundamentales:

Son aquellas magnitudes que se toman como patrones y se escogen convencionalmente para definir las demás magnitudes.

Magnitudes Derivadas:

Son aquellas magnitudes que se obtienen por combinación de las magnitudes fundamentales.

II. De acuerdo a su naturaleza :

Magnitudes Escalares:

Son aquellas magnitudes que para estar bien definidas basta conocer únicamente su valor numérico.

Magnitudes Vectoriales :

Son aquellas que para su definición se requiere a parte de su valor, una dirección. Según el Sistema Internacional de Unidades las magnitudes fundamentales son: MAGNITUDUNIDAD Longitud (L)metro (m)Masa (M)kilogramo (kg)Tiempo (T)segundo (s)Temperatura termodinámica(0)kelvin (K) Intesidad de corriente eléctrica (I)ampere (A)Intensidad luminosa (J)candela (cd)Cantidad de sustancia (N)mol (mol)

ECUACIÓN DIMENSIONAL

Es una igualdad que nos indica la dependencia de una magnitud cualquiera respecto de las magnitudes fundamentales. El símbolo empleado para representar una ecuación dimensional son corchetes que encierran  a una magnitud, por ejemplo:[velocidad], se lee ecuación dimensional de la velocidad.[área], se lee ecuación dimensional del área.

 Ejemplo:

Para determinar la ecuación dimensional del área; podemos utilizar la fórmula del área de un rectángulo:

Área = base × altura[Área] = [base][altura] = L x L → [Área] = L

Práctica 1

Problema 1.- Caída de una canica sobre una rampa con inclinación y fluido viscoso en su superficie.

Planteamiento

La Fuerza de arrastre Fa en un cuerpo que se deja caer; una esfera (canica) a través de una superficie cubierta de un fluido de viscosidad (miel)µ [M/LT] y densidad Ƿ [M/L3], es una

función del diámetro D [L] y de la velocidad v [L/T] del objeto con relación al fluido. (a) Hallar la forma de la ecuación de esta fuerza, (b) y encontrar la fuerza de arrastre de una esfera del doble del tamaño, bajo las mismas condiciones.

Resolución por el Método Pi de Buckingham:

El número de variables n=5

El número de dimensiones k=3

Por lo tanto el número de grupos a dimensionales resulta: n-k=5-3=2.

Figura 1. Diagrama del Experimento 1.

Tenemos entonces que si deseamos hallar la fuerza de arrastre en términos de las otras cuatro variables: Fa=(D, v,Ƿ,µ)

Resolvemos para el primer producto a dimensional:

Π1= Π1(DavbµcǷd) = La * Lb T-b * Mc L-3c* Md L-dT-d = La+b-3c-d * T-b-d * Mc+d=>

a-b-3c-d=0 proponemos b=1:

-b-d=0 => d=-1, c=1, a=1.

c+d=0

Una vez obtenidos los coeficientes de las variables asignamos sus valores correspondientes:

Π1= Π1(D1 v1µ-1Ƿ-1) = Π1(D v Ƿ / µ)

Resolución método experimental:

F=m * a= m * v/t, Descomponemos la segunda ley de Newton para cuerpos en movimiento F*t = m*v, donde F*t es el impulso necesario para detener durante su desplazamiento, y m*v es el momentum, o cantidad de movimiento del cuerpo en un intervalo en un intervalo de tiempo.

Estos son los datos obtenidos experimentalmente:

Figura 2. Experimento del problema 1, realizados en el laboratorio.

D= 2.8 cm= 0.028 m. (diámetro de la canica)

M= 3 g= 0.003 Kg. (masa de la canica)

T= 23.5 s. (tiempo que demoró la canica en recorrer la rampa)

d= 61 cm= 0.61 m. (distancia recorrida por la canica, longitud de la rampa)

Ƿ= 1.402 g/cm3= 1402 Kg/ m3. (densidad del fluido, en este caso de la miel)

Para comprobar la ecuación obtenida por el método pi de Buckingham hace falta hallar un dato, la viscosidad del fluido, la miel.

Resolvemos para el segundo producto a dimensional:

Π2= Π2(DavbFacǷd)= La * Lb T-b * Mc Lc T-2c * Md T-3d =La+b+c-3d * Mc+d *

T-b-2c= >

a+b+c-3d=0 Proponemos b=1

c+d=0 => c=-1/2, d=1/2, a=1.

-b-2c=0

Asignamos los valores hallados de los coeficientes:

Π2= Π2 (D1 v1 Fa-1/2Ƿ1/2)= Π2 (D v [Ƿ/Fa]1/2)= Π2 (D2 v2Ƿ/Fa)

De acuerdo con Buckingham:

Π0= ƒ (Π1, Π2)= 1.

Π1(D v Ƿ / µ)* Π2 (D2 v2Ƿ/Fa)=1, despejando:

Fa= D2v2 Ƿ (D v Ƿ/ µ).

Resolución por análisis físico

Para comprobar las ecuaciones obtenidas previamente por el método pi de Buckingham, realizamos un análisis físico, donde requerimos ciertos datos específicos:

Ƿc=densidad del objeto (canica)= 2.6 g/cm3=2600 Kg/m3.

Ƿm= 1.402 g/cm3= 1402 Kg/ m3. (Densidad del fluido, en este caso de la miel)

R=1.4 cm=0.014 m (Radio de la canica).

Para hallar la viscosidad del fluido, requerimos una ecuación; la velocidad límite que se obtiene cuando las fuerzas resultante que actúan sobre la esfera es cero.

v t=2 g (ρc−ρm) R2

9 μ

0.6123.5

=2 (9.81 ) (2600−1402 )(1.94 x10−4)

9 μ

Donde v t=distancia recorrida

tiempolimite=0.61

23.5 despejamos la viscosidad de esta ecuación y

obtenemos:

μ=19.52 Kg /ms

Con este valor ya podemos obtener el dato numérico que nos arroja la ecuación obtenida por el método de Buckingham:

Fa= D2v2 Ƿ (D v Ƿ/ µ)=3.07x10-5--------*

Previamente por el método experimental obtuvimos la siguiente ecuación:

F=md

t2=masa∗distancia

tiempo2

Masa=0.02 Kg . Obtenida despejando la densidad dada, y el volumen de la canica.

Distancia=0.61 m, tiempo= 23.5 s.

F=2.209 x10−5------*

Resultados y Conclusiones

Los valores resultantes de ambos análisis tienen una variación del orden de las micras(*-*), esto comprueba que para este experimento la ecuación obtenida por el método pi de Buckingham resultó adecuada, en el sentido, de que se puede proponer un modelo matemático sin tomar mucho en cuenta los valores numéricos del problema, y analizar de acuerdo a la cantidad de variables deseadas.

Problema 2. Principio del Pistón Neumático.

Dos recipientes sellados conectados por una manguera, se mantienen transmitiendo aire entre ellos, el recipiente 1, es una jeringa, transmite un volumen V1 de aire conocido 5 ml [L3], el recipiente 2 es un vaso de unisel de volumen V2. De acuerdo a una presión ejercida sobre el émbolo de la jeringa Fe, fuerza de empuje conocida [M/L2], se necesita saber cuántas veces es necesario aplicar una fuerza de igual magnitud que genere la presión Pi

[M/LT2] suficiente para empujar una bolita de papel colocada en el extremo de un popote, que representa la salida de aire del pistón y la presión que se genera dentro de las paredes del recipiente de unicel Ƿ [M/L3].

Resolución por el método Pi de Buckingham:

El numero de variables a analizar es: k=5

Número total de Dimisiones: n=3

Grupos a dimensionales: k-n=2.

Tenemos entonces las variables a encontrar:

V2= (V1, Pi, Fe, Ƿ)

Figura 3. Esquema del experimento 2.

Resolvemos entonces para el primer producto a dimensional:

Π1= Π1 (V1, Pi, Fe, Ƿ)= Π1 (V1a, Pi

b, Fec, Ƿd)= L3a Mb L-b T-2b Mc Lc T-2c

Me L-3e = L3a-b+c-3e * Mb+c+e * T-2b-2c = >

3a-b+c-3d=0 Sea b=1, c= -1,

b+c+e=0 => d=0, a=2/3.

-2b-2c=0

Asignando los valores de los coeficientes obtenidos:

Π1= Π1 (V12/3, Pi

1, Fe-1, Ƿ0)= Π1 (

Pi

Fe

( 3√V 1

2))

Resolviendo para el siguiente producto a dimensional:

Fe =Π2= Π2 (V1, Pi, V2, Ƿ) = Π2 (V1a, Pi

b, V2c, Ƿd) = L3a * Mb L-b T-2b *

L3c * Md L-3d = L3a-b+3c-3d * Mb+d * T-2b =>

3a-b+3c-3d=0 b=0, d=0.

b+d=0 => Sea d=1, a= -1.

-2b=0

Asignando los valores de los coeficientes a las variables:

Π2= Π2 (V1-1, Pi

0, V20, Ƿ1)= Π2 (

V 1

ρ)

Resolución Experimental del Problema:

En un estado inicial despreciando la fricción entre el émbolo y la jeringa, existe una cantidad de aire en ambos recipientes, esta cantidad es correspondiente al volumen geométrico del recipiente. Por otra parte, la fuerza aplicada al émbolo de 2.5 cm 2 de área de presión, se supone la misma a la que la mano debe aplicar al inyectar alguna sustancia intravenosa.

Esta presión fue calculada de la siguiente forma1:

1.-Fuente: http://neuro.qi.fcen.uba.ar/ricuti/No_me_salen/FLUIDOS/flu_010.html, Sobre Problemas de biofísica, fluidos.

Ahora, la fuerza exterior la realizan en conjunto la mano que empuja el émbolo y la atmósfera. Si sólo queremos conocer la fuerza que debe realizar la mano, entonces, nos conviene tomar las presiones relativas. Dicho en otras palabras: la fuerza que debe hacer la mano debe añadir una presión en el émbolo igual a 1 cmHg.

Y antes de ponernos a hacer cuentas habrá que hacer unos pasajes de unidades. Si 76cmHg equivalen a 101.300 Pa, la regla del almacenero garantizará que 1 cmHg valga lo mismo que 1.333 Pa. Por otro lado 2,5 cm² lo vamos a expresar como 2,5 x 10-4m².

Fext = pint . Aext

Fext = 1.333 Pa . 2,5 x 10-4m²

Fext = 0,333 N

Se contaron las veces que fueron necesarias aplicar la fuerza sobre el émbolo con una fuerza constante en cada una de las presiones, hasta ver salir la bolita de papel por el borde del popote, fueron= 22 veces (aproximadamente, ya que es difícil saber si la fuerza de presión ejercida en cada ocasión fue la misma).

Figura 4. Conteo de pulsaciones sobre el émbolo de la jeringa

Problema 3. Caída de una esfera sobre diferentes fluidos.

En tres vasos que contienen cada uno un fluido de viscosidad µ1, µ2,µ3 [M/LT], a una altura h [L], se dejan caer tres esferas (canicas) de mismo peso w [ML/T-2] se cuenta el tiempo s [T] en que el cuerpo toca el fondo del vaso para cada caso, calcular la fuerza de inercia con que caen Fi.

Resolución por el método pi de Buckingham:

Número de variables: 5

Número de dimensiones: 3

Número de grupos a dimensionales:

2.

Fi= (µ, h, w, s)

Figura 6. Esquema del Experimento 3, vasos con los diferentes fluidos

Fi =Π1 (µ, h, w, s)= Ma L-a T-a Lb Mc Lc T-2c Td = L-a+b+c * Ma+c * T-a-2c+d

=>

-a+b+c=0 Sea a=1,

a+c=0 =>

-a-2c+d=0

Experimento 4

En un recipiente se colocó agua y se observó cómo se desplazaba una pelota de 30g de un lado al otro con la fuerza del viento como se muestra en la imagen los resultados del análisis dimensional fueron los siguientes:

Datos

Distancia= 30cm

Tiempo=3s

Masa=30g

Análisis dimensional.

π1=π1 ( Dat b V c M d ) = Da t b Dc t−c md=Da+c t b−c md

a+c=0

b−c=0

d=0

∴b=−1 ;c=−1 ;d=0 ;a=1

Dtv

∴V =Dt

V= .30 m3 s

=0.1ms

π1=π1 ( Da M b vc pd )=La M b Lc t−c M d Ld t−d=La+c+d t d+c M b+d+

MvP

∴ p=Mv

p= (.03 kg ) .10 m /s¿=0.003 kgm /s

π1=π1 ( Dat b Pc Fd )=Lat b M c Lc t−c M d Ld t−2d=La+c+d t b−c−2 d M c +d

a+c+d=0

b−c−2d=0

c+d=0

∴a=0 ;b=−1 ;c=1 ;d=−1

ptF

∴F= pt

F=md

t 2=ma

a=vt=

.10 ms

3 s=

0.03 m

s2

F= 0.03 m

s2 ( .030 kg )=9 x10−4 N