Analisis Dimensional Presentacion 5

GERARDO MECANICA DE FLUIDOS - TEORIA

Anlisis Dimensional ppt 5 Pgina 1

INTRODUCCIN

En fsica I y II se present un formalismo para expresar una dimensin dependiente en funcin de

un conjunto seleccionado de dimensiones bsicas independientes.

De esta forma, por ejemplo, la velocidad est dada dimensionalmente por la relacin V = L / T.

Se pueden obtener relaciones entre variables de forma tal que el resultado sea adimensional. Por

ejemplo:

NATURALEZA DEL ANLISIS DIMENSIONAL

De cursos anteriores se puede recordar que las ecuaciones, deducidas analticamente, son

correctas para cualquier sistema de unidades.

En consecuencia, cada grupo de trminos en una ecuacin debe tener la misma representacin

dimensional.

Esta es la ley de homogeneidad dimensional

Otra aplicacin muy importante se presenta en las situaciones donde se conocen las variables que

intervienen en un fenmeno fsico, pero la relacin entre estas variables se desconoce.

Mediante un anlisis dimensional, el fenmeno puede formularse como una relacin entre un

conjunto de grupos adimensionales.

Siendo el nmero de grupos menor que el de variables.

La ventaja inmediata es que se requiere menos ensayos experimentales para establecer una relacin

entre las variables (en un rango dado).

La naturaleza de la experiencia se simplifica en forma considerable.

Para ilustrar lo anterior:

* Consideremos que el problema es determinar la fuerza de arrastre F sobre una esfera lisa de

dimetro D que se mueve lentamente con velocidad V travs de un fluido viscoso.

Adems de estas variables hay que considerar:

presin (p) viscosidad ( ) densidad ( )



Entonces se puede establecer en general que la fuerza de arrastre es:

Si se realizan experiencias se pueden obtener resultados como:

Lo anterior significa realizar muchas experiencias

Adems, un mtodo como ste implicara el uso, por ejemplo, de muchas esferas con diferentes

dimetros y de muchos fluidos con diferentes viscosidades, densidades considerando todas las

combinaciones posibles

TODO LO ANTERIOR CONDUCE A PENSAR EN MODIFICAR LA FORMA DE TRABAJO

Por ejemplo redefinir algunas variables

Agruparlas y formar otras que por ejemplo, no tengan dimensiones (variables

adimensionales)

Del anlisis de las diferentes dimensiones de cada variable puede determinarse que:

g es una funcin que no se conoce, pero relaciona cantidades que son adimensionales.



Luego experimentalmente puede determinarse una curva que ajuste los valores adimensionales

como:

De estas curvas puede establecerse el valor de:

Que puede ajustarse continuamente con slo variar la velocidad V de la corriente libre.

El ajuste de la corriente libre se puede realizar, por ejemplo, en un tnel de viento o un tnel de

agua.

Si el dimetro de la esfera (D) es fijo, cambiando V, cambia el grupo adimensional.

La fuerza sobre una esfera dada se mide para cada valor de V (velocidad)de manera que los valores

de:

pueden calcularse con facilidad.



conclusiones

Con tiempo y costos mucho menores, se puede establecer una curva entre grupos

adimensionales.

Los resultados de un anlisis dimensional como el realizado son vlidos para cualquier fluido o

para cualquier esfera.

La pregunta ahora es: cuntos grupos adimensionales pueden formarse a partir de un nmero fijo

de variables?

El teorema plantea que el nmero de grupos adimensionales (independientes) que pueden

emplearse para describir un fenmeno en el que intervienen n variables es igual al nmero n r

donde: r usualmente es el nmero de dimensiones bsicas necesarias para expresar las dimensiones

de las variables (rango de la matriz adimensional).

GRUPOS ADIMENSIONALES IMPORTANTES EN MECNICA DE FLUIDOS

En fenmenos que pueden considerarse isotrmicos, las siguientes variables pueden ser

importantes:



Utilizando estas variables pueden formarse los siguientes grupos adimensionales:

CALCULO DE LOS GRUPOS ADIMENSIONALES

Se considera un fluido que circula en el interior de un conducto.

Se desea obtener la cada de presin a lo largo de la caera.



Por lo tanto la presin ser funcin de las siguientes variables:

Esta ltima ecuacin puede ser expresada como una serie infinita de trminos de la forma:

Los Ki son coeficientes adimensionados

Los ai, bi, ci, di, fi, gi son nmeros

Cada grupo de la ecuacin anterior debe tener la misma dimensin (homogeneidad dimensional).

Por lo tanto se puede considerar un solo trmino.

Las dimensiones de cada variable son:

Igualando los exponentes de las dimensiones bsicas se obtiene:



Por lo tanto se cuenta con 3 ecuaciones y 6 incgnitas (sistema irresoluble) Habr que hacer

algunas suposiciones para obtener una resolucin.

Si se supone que la densidad la velocidad (V) y el dimetro (D)estn en un mismo grupo,

tendremos:

Despejamos a, c, f, exponentes de la densidad, velocidad y dimetro.

Se despeja de cada ecuacin la variables a, c, f

Estos valores reemplazados en la ecuacin para la diferencia de presin, se obtiene:

Operando

Agrupando trminos con los mismos exponentes se obtiene:



Se obtuvieron los siguientes nmeros adimensionales:

Que partir del teorema , pueden ser expresados funcionalmente como:

Datos experimentales muestran que:

La prdida principal es directamente proporcional a la relacin L / D



TEORIA DE MODELOS

En ciertos casos no es posible ensayar experimentalmente un determinado prototipo

Puede ser por su tamao o por la dificultad de reproducir las condiciones reales del flujo. La

solucin es realizar ensayos con modelos a escala geomtricamente semejantes

SEMEJANZA

Los ensayos experimentales de prototipo y modelo estn relacionados entre si por tres tipos de

semejanzas:

SEMEJANZA GEOMETRICA

Geometrica Cinematica Dinamica



Se definen coeficientes que mantienen una relacin entre modelo y prototipo

SEMEJANZA CINEMTICA

Se define un factor de escala entre el campo de velocidades entre modelo y prototipo.

La relacin entre los factores de escala de longitudes y velocidades, define el factor de escala de

tiempo

SEMEJANZA DINMICA

Los campos de las distintas fuerzas que pueden intervenir en el flujo, se relacionan con un factor de

escala que debe ser constante, entre modelo y prototipo:

Este factor de escala permite establecer las condiciones del flujo en el ensayo del modelo a partir de

las condiciones del flujo en el prototipo.



Permite obtener fuerzas, potencias y rendimientos del prototipo a partir del ensayo del modelo.

Los distintos tipos de fuerzas que aparecen en un fluido interaccionando con un slido son:

Fuerzas de inercia, determinadas por el cambio en el tiempo de la cantidad de movimiento:

Fuerzas de rozamiento por viscosidad, determinadas por el campo de tensiones, que a su vez viene

determinado por la viscosidad y el campo de velocidades, y podemos expresarlas cualitativamente

por:

Fuerzas gravitatorias, determinadas por la posicin en el campo gravitatorio, expresadas por:

Fuerzas de presin, determinadas por el campo de presiones:



Fuerzas de elasticidad, determinadas por la compresibilidad del fluido, o bien por la velocidad de

pequeas perturbaciones en el seno del fluido:

Fuerzas de tensin superficial, determinadas por:

Para la semejanza dinmica total, el factor de escala de fuerzas debe ser constante,

independientemente del campo de fuerzas considerado, matemticamente es:

De la relacin anterior se obtiene

Relacin entre fuerzas de inercia y fuerzas gravitatorias:

Relacin entre fuerzas de inercia y fuerzas elsticas:



Relacin entre fuerzas de inercia y fuerzas de tensin superficial:

Relacin entre fuerzas de inercia y fuerzas de presin:

Para la semejanza dinmica total entre modelo y prototipo, el factor de escala de fuerzas debe ser

constante, esto significa considerar las siguientes igualdades entre parmetros adimensionales de

modelo y prototipo:

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