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1._ El sistema mostrado a continuación opera con agua a 40ºC bajo una presión
atmosférica de 14 Psia. Los tanques (0,2,3) son considerados como fuentes ideales y sus
cotas son Z0=-3.5 m; Z2=7 m; Z3=4 m. Las tuberías son de acero comercial (Schedule
40). Los caudales volumétricos, diámetros nominales y las longitudes de cada tramo se
muestran en la siguiente tabla
Tramo Caudal (ft3/s) Longitud (m) Φ (in)
0-S 7 6
D-1 10 4
1-2 0,2 20 3
1-3 0,15 25 3
La presión medida por un manómetro en el tanque 3 es de 10 Psi. Considerar las
pérdidas de carga por accesorios (Método de longitud equivalente).
La bomba que se va a instalar en el sistema girará a 1750 rpm, el diámetro del impulsor
es de 81/16 pulg. Su curva característica se muestra a continuación.
Determine:
a. Magnitud y ubicación de las resistencias hidráulicas para balancear el sistema.
b. Punto de trabajo.
c. Condiciones de operación de la bomba.
Para comenzar hallaremos el caudal que circula por estos tramos.
121301 QQQ &&& +=
sftQ /35.02.015.0 301 =+=&
1001 DS QQQ &&& ==
el peso especifico del fluido.
( ) ( )
1804401000
18041000
22 −−=
−−=
Tρ
33 /926.1/8.992 ftSlugmKg ==ρ
3/028.62926.12.32 ftLbg =×=×= ργ
Planteando la ec. de la energía entre 1-2 tenemos
122)21(1 hfHH +=→
Las pérdidas las hallaremos utilizando la ec. de Darcy
52
2
128
DgQLfhf
×××××
=π
Para calcular el factor de fricción debemos primero obtener el número de Reynolds, que
nos permitirá identificar el régimen de flujo que pasa por este tramo. Para los accesorios
se debe obtener el factor de fricción de completamente turbulento, ya que la longitud
equivalente que se obtiene de tablas está ensayada para un régimen de flujo
completamente turbulento.
μπ
ρ××××
=D
Q4Re
ftD 2557.0=
sftLbsmKg ⋅×=⋅×= −− /10461.1/107.0 53μ
000587.0/ =Dε
104.13128510461.12557.0
2.0926.14Re 5 =×××
××=
−π
Ahora con la rugosidad relativa y el diagrama de Moody hallamos el CTRe
6.. 105.2Re/ ×=⎯⎯ →⎯ CTMDDε
Como el número de Reynolds calculado es menor que el obtenido del diagrama de
Moody el flujo se encuentra en un régimen turbulento. Y para hallar el factor de fricción
utilizaremos la siguiente ecuación.
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
×+×−=
fD
f Re51.2
7.3/log21 ε
210003.2104.13128551.2
7.3000587.0log21 −×=→⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
×+×−= f
ff
El factor de fricción de completamente turbulento se obtiene por medio de la siguiente
ecuación
017.07.3
000587.0log27.3
/log222
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛×−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛×−=
−−Df ε
Accesorios del tramo 1-2
• 1 T en ramal.
• 1 codo 90º
ftLTEq 5.17=
ftLEqCodo 8=
Estas longitudes se sumaran a la longitud del tramo para obtener un valor de pérdida
total.
( ) ( )( )( )
...621.12557.02.32
85.17017.0616.6510003.22.0852
22
12 acfthf =××
+×+××××=
−
π
...965.222 2
22
2 acftZg
VPH =+
×+=
γ
El termino de presión y velocidad se hacen cero por ser el tanque 2 una fuente ideal y
abierta a la atmósfera. Estos dos valores se sustituyen en la ec de energía antes
planteada para obtener )21(1 →H
( ) ...586.24621.1965.22211 acftH =+=−
Se plantea la ec de energía de 1-3
133)31(1 hfHH +=→
Los cálculos de pérdidas se realizan de forma igual al tramo anterior, lo mismo para el
factor de fricción.
ftD 2557.0=
828.9846310461.12557.0
15.0926.14Re 5 =×××
××=
−π
6.. 105.2Re000587.0/ ×=⎯⎯ →⎯= CTMDDε
El flujo esta en régimen turbulento. Para f utilizaremos la misma ec. del tramo anterior
210071.2828.9846351.2
7.3000587.0log21 −×=→⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
×+×−= f
ff
017.07.3
000587.0log22
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛×−=
−
f
Accesorios del tramo 1-3
• 1 T en ramal.
• 1 codo 90º
ftLTEq 5.17=
ftLEqCodo 8=
Sumando estas longitudes a la del tramo obtenemos un valor de pérdida total.
( ) ( )( )( )
...111.12557.02.32
85.17017.002.8210071.215.0852
22
13 acfthf =××
+×+××××=
−
π
...338.36123.13028.62
14402 3
233
3 acftZg
VPH =+=+
×+=
γ
En este caso no tenemos energía cinética ya que el tanque 3 se encuentra presurizado.
Sustituyendo en la ec de energía tenemos
...449.37111.1338.36)31(1 acftH =+=−
En estos casos donde podemos calcular la disponibilidad de un punto por distintos
caminos debemos tomar solo uno que pueda satisfacer los requerimientos del sistema.
Para el caso que se nos presenta debemos tomar el valor de H1 hallado de (1-3) y
colocar una resistencia hidráulica en el tramo 1-2 para equilibrar el sistema.
...449.371 acftH =
La magnitud de la resistencia hidráulica en el tramo 1-2 es
...863.12586.24449.37 acfthfAdic =−=
Planteando la ec de energía de D-1
11 DD hfHH +=
Para hallar las pérdidas seguimos el procedimiento hecho en casos anteriores.
ftD 3355.0=
6:: 104Re000447.0/ ×=⎯⎯ →⎯= CTMDDε
241.17510210461.13355.0
35.0926.14Re 5 =×××
××=
−π
Al comparar los valores de Re verificamos que el flujo esta en régimen turbulento.
210879.1241.17510251.2
7.3000447.0log21 −×=→⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
×+×−= f
ff
016.07.3
000447.0log22
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛×−=
−
f
Accesorios del tramo D-1
• 1 válvula de globo.
• 1 reducción.
ftLEqVal 80=
43
=Dd Donde d es el diámetro menor y D el diámetro mayor en la reducción
ftL dEq 7.1Re =
Con estas longitudes podemos calcular la pérdida total del tramo.
( ) ( )( )( )
...425.13355.02.32
7.180016.0808.3210879.135.0852
22
1 acfthfD =××
+×+××××=
−
π
Este valor de pérdidas nos permite el cálculo de HD.
...847.38425.1449.37 acftHD =+=
Ahora escribimos la ec. de energía de 0-S
SS hfHH 00 −=
ftD 5054.0=
6.. 105Re000293.0/ ×=⎯⎯ →⎯= CTMDDε
Seguimos el mismo procedimiento para las pérdidas.
287.11641910461.15054.0
35.0926.14Re 5 =×××
××=
−π
El flujo se encuentra en régimen turbulento.
210899.1287.11641951.2
7.3000293.0log21 −×=→⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
×+×−= f
ff
014.07.3
000293.0log22
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛×−=
−
f
Accesorios del tramo 0-S
• 1 codo 90º.
ftLEqCodo 5.16=
Ahora podemos hallar la pérdida total del tramo.
( ) ( )( )
...10362.65054.02.32
5.16014.0965.2210899.135.08 252
22
0 acfthf S−
−
×=××
×+××××=
π
...646.112 0
200
0 acftZg
VPH −=+×
+=γ
La disponibilidad en el tanque 0 solo tiene energía potencial ya que se trata de una
fuente ideal que se encuentra abierta a la atmósfera.
( ) ...709.1110362.6646.11 2 acftHS −=×−−= −
El HB será igual a la energía en la descarga menos la energía en la succión.
( )709.11847.38 −−=−= SDB HHH
...556.50 acftHB =
De esta forma tenemos que el punto de trabajo es
...556.50 acftHT =
gpmQT 09.157=
Pto. Trabajo
Como el punto de trabajo no cae sobre la curva; entonces, se puede recortar el impulsor
o estrangular en la descarga de la máquina. Para este caso se decide lo último.
...53 acftH B =
gpmQB 09.157=
...5.6Re acftNPSH q =
%60=η
Dado que la bomba tiene una altura de máquina de 53 m.c.a. para el caudal de
funcionamiento del sistema y este sólo requiere de 50.12 m.c.a., surge la necesidad de
estrangular en el tramo de descarga para generar una pérdida y poder mantener la
disponibilidad ya calculada en todos los puntos.
...444.2556.5053 acfthfExt =−=
Condiciones de
operación de la bomba
2._ El siguiente sistema trabaja con agua a 15ºC ( sPa ⋅×= −31005.1μ ) y con una
presión atmosférica de 13 Psi. Todos los tanques se consideran fuentes ideales. Se
conoce que mZ 50 −= , mZ 204 = , mZ 235 = . En la tabla siguiente se presentan otros
datos de importancia.
Tramo Q (gpm) hf (m.c.a.)
0-S 2.7
D-1 25
1-2 80 9.8
1-3 40 11.2
2-3 45 7.5
2-4 10
3-5 9.8
El tramo de succión tiene una longitud de 10 m. La rugosidad de las tuberías es de
ft00015.0=ε .
La bomba que se encuentra instalada en el sistema gira a 1750 rpm. Su curva
característica se muestra a continuación.
Determine:
a. Punto de trabajo.
b. Magnitud y ubicación de lasa resistencias hidráulicas necesarias para
equilibrar el sistema.
c. Condiciones de operación de la bomba.
0
1
45
2
3 S
D
Comenzaremos por hallar la distribución de flujo en la red planteando conservación de
masa en los nodos que sean convenientes.
En el punto 1
131201 QQQ &&& +=
gpmQ 120408001 =+=&
En el punto 2
242312 QQQ &&& +=
gpmQQ 354580 2424 =→+= &&
En el punto 3
132335 QQQ &&& +=
gpmQ 85404535 =+=&
Nuestro sistema con esta distribución de flujo queda de la siguiente forma
0
1
45
2
3S
D 85gpm
45gpm
80gpm120gpm
40gpm
35gpm
Si planteamos la ec. de la energía entre los puntos 3-5 tenemos
3553 hfHH +=
Como el tanque 5 es una fuente ideal y se encuentra abierta a la atmósfera solo tenemos
energía potencial.
...232 5
255
5 acmZg
VPH =+
×+=
γ
...8.328.9233 acmH =+=
Ahora escribimos la ec. de la energía de 2-3
233)32(2 hfHH +=→
...3.405.78.32)32(2 acmH =+=→
Lo mismo pero ahora de 2-4
244)42(2 hfHH +=→
...202 4
244
4 acmZg
VPH =+×
+=γ
En el punto 4 igual que el 5 solo tenemos energía potencial.
...301020)42(2 acmH =+=→
Dado que tenemos dos valores de H2 debemos tomar solo uno de ellos y será el que
cumpla con las condiciones de la red de flujo. En este caso el debemos tomar
...3.402 acmH = que fue el valor obtenido por el tramo 2-3, por lo que debemos colocar
una resistencia hidráulica en el tramo 2-4 para equilibrar el sistema. La magnitud de
dicha resistencia hidráulica ser igual a.
...3.10303.40 acmhf Adc =−=
...3.402 acmH =
Una vez fijo el valor de H2 puedo hallar H1 por la ec. de la energía de 1-2.
122)21(1 hfHH +=→
...1.508.93.40)21(1 acmH =+=→
También podemos hallar H1 de 1-3 de siguiente forma.
133)31(1 hfHH +=→
...442.118.32)31(1 acmH =+=→
Al igual que en H2 tenemos el mismo caso en H1. En este caso tomaremos
...1.501 acmH = calculado por el tramo 1-2, la resistencia hidráulica adicional de debe
colocar en el tramo 1-3 y su magnitud es de.
...1.6441.50 acmhf Adc =−=
...1.501 acmH =
Con la disponibilidad en el punto 1 ya definida podemos hallar el HB, planteando la ec.
de la energía desde 0-1.
0110 hfHHH B +=+
...12 0
200
0 acmZg
VPH −=+
×+=
γ
En el punto 0 solo tenemos energía potencial, por explicado con anterioridad.
1001 DS hfhfhf +=
...7.27257.201 acmhf =+=
Entonces HB será igual a.
...8.827.271.505 acmHH BB =→+=+−
...8.82 acmH B =
gpmQT 120=
Ahora debemos entrar con el caudal de trabajo ya calculado (120gpm) a la curva
característica de la bomba y cortar con la curva de altura de maquina, eficiencia y
NPSHR. Dichos puntos de corte con las curvas antes mencionadas serán los parámetros
de operación de la bomba para ese caudal.
...86 acmHB =
gpmQB 120=
...4.1Re acmNPSH q =
%70=η
Pto. Trabajo
Condiciones de
operación de la bomba
120gpm
86m
70%
1.4m
Dado que la bomba tiene una altura de maquina de 86 m.c.a. para el caudal de
funcionamiento del sistema y este solo requiere de 82.8 m.c.a. surge la necesidad de
estrangular en el tramo de descarga para generar una perdida y poder mantener la
disponibilidad ya calculada en todos los puntos.
...2.38.8286 acmhfExt =−=
3._ La red de flujo que se muestra a continuación maneja agua a 20 ºC a una presión de
14.5 Psi. Se sabe que las tuberías son de acero comercial (Schedule 40, Φ=2½”), la
longitud de los tramos es de 150ft. Se conocen las cotas de Z0=-2ft, Z2=25ft, Z4=50ft,
Z5=30ft. El Q12=20 gpm, Q35=90 gpm, Q43=40 gpm. Las pérdida de carga de 0-S es un
medio de la pérdida total del tramo 0-1.
Considerar las pérdidas de carga por accesorios (por el Manual del instituto hidráulico).
En el sistema se encuentra instalada una bomba ETANORM 32-125 con un Di=115mm
y una velocidad de giro de 3500RPM.
Determine:
a. Punto de trabajo.
b. Magnitud y ubicación de lasa resistencias hidráulicas necesarias para
equilibrar el sistema.
c. Condiciones de operación de la bomba.
2
4
1
3
5
0
DS
Comenzamos hallando la distribución de flujo del sistema, aplicando conservación de
masa en los nodos apropiados.
En el punto 3
433513 QQQ &&& +=
sftgpmQ /111.0504090 313 ==−=&
En el punto 1
131201 QQQ &&& +=
sftgpmQ /155.0705020 301 ==+=&
Para facilitar el procedimiento hallaremos las propiedades y características de los
elementos empleados en el sistema.
Del fluido
( ) ( ) 3322
/937.1/577.998180
4201000180
41000 ftSlugmKgT==
−−=
−−=ρ
3/389.62937.12.32 ftLbg =×=×= ργ
253 /10088.21011 ftsLbsPacP ⋅×=⋅×== −−μ
De la tubería
ftD 2058.0=
000729.0/ =Dε
Para resolver el sistema comenzamos planteando la ec. de la energía de 3-5.
355)53(3 hfHH +=→
...302 5
255
5 acftZg
VPH =+
×+=
γ
En el punto 5 al igual que en el 4,2 y 0, solo hay energía potencial dado que los tanques
son fuentes ideales y se encuentran abiertos a la atmósfera.
Para el cálculo de las perdidas por superficie utilizaremos la siguiente ecuación.
( )
100ftL
Xhf TramoSup ×=
El valor de X se toma del Manual del instituto hidráulico, con el diámetro nominal y el
material de la tubería.
82.5=X
Sustituyendo tenemos
...73.810015082.535 acfthf Sup =×=
Para las pérdidas por forma utilizaremos la siguiente formula.
g
VKhf Acc ××=
2
2
El termino K se obtiene del Manual del instituto hidráulico, para los diferentes
accesorios según el diámetro. El segundo término representa la energía cinética y se
encuentra tabulado en el Manual del instituto hidráulico.
Accesorios del tramo 3-5
• 1 codo regular.
35.0=K
...565.02
2
acftg
V=
×
Al sustituir se obtiene
...197.0565.035.035 acfthf Acc =×=
La pérdida total del tramo será igual a la suma de la pérdida tanto por superficie como
por forma.
AccSup hfhfhf +=
...927.8197.073.835 acfthf =+=
Entonces la disponibilidad en 3 es igual a
...927.38927.830)53(3 acftH =+=→
Si planteamos la ec. de energía de 4-3 obtenemos
434)34(3 hfHH −=→
En el punto 4 solo tenemos energía potencial por lo explicado anteriormente.
...5044 acftZH ==
Siguiendo el mismo procedimiento para el cálculo de las perdidas tenemos
28.1=X
...92.110015028.143 acfthf Sup =×=
Accesorios del tramo 4-3
• 1 T en ramal.
8.0=K
...112.02
2
acftg
V=
×
...0896.0112.08.043 acfthf Acc =×=
Sumando ambas pérdidas
...009.20896.092.143 acfthf =+=
Sustituyendo en la ec. de energía para 4-3
...991.47009.250)34(3 acftH =−=→
Dado que obtuvimos dos valores de disponibilidad para un mismo punto debemos tomar
solo una que nos permita cumplir con los requerimientos del sistema. En este caso
debemos tomar ...927.383 acftH = hallado por el tramo 3-5 y colocar una resistencia
hidráulica en el tramo 4-3 que permita equilibrar el sistema. La magnitud de la
resistencia hidráulica es
...064.9927.38991.47 acfthf Adc =−=
...927.383 acftH =
Ahora debemos ir al punto 1 a través de la ec. de energía
133)31(1 hfHH +=→
Las perdidas las obtendremos como en casos anteriores
94.1=X
...91.210015094.113 acfthf Sup =×=
Accesorios del tramo 1-3
• 2 T en ramal.
8.0=K
...174.02
2
acftg
V=
×
( ) ...278.0174.08.0213 acfthf Acc =××=
Las pérdidas totales son
...188.3278.091.213 acfthf =+=
Sustituyendo se obtiene
...115.42188.3927.38)31(1 acftH =+=→
De igual forma aplica para el tramo 1-2
122)21(1 hfHH +=→
El cálculo de perdidas sigue siendo el mismo
362.0=X
...543.0100150362.012 acfthf Sup =×=
Accesorios del tramo 1-2
• 1 codo regular.
35.0=K
• 1 T en línea.
18.0=K
...0279.02
2
acftg
V=
×
( ) ...014.00279.018.035.012 acfthf Acc =×+=
La pérdida total es igual a
...557.0014.0543.012 acfthf =+=
Con este valor podemos hallar
...557.25557.025)21(1 acftH =+=→
De igual forma que en el punto 3 tenemos dos valores de H1, para este caso tomaremos
el calculado por el tramo 1-3 y colocaremos una resistencia hidráulica en el tramo 1-2.
Y su magnitud será de
...558.16557.25115.42 acfthf Adc =−=
...115.421 acftH =
Debemos plantear la ec. de energía de 0-1 para despejar HB
0110 hfHHH B +=+
La disponibilidad en 0 solo tiene energía potencial
...200 acftZH −==
Para las perdidas tenemos
63.3=X
...445.510015063.301 acfthf Sup =×=
Accesorios del tramo 0-1
• 1 codo regular.
35.0=K
...342.02
2
acftg
V=
×
...119.0342.035.001 acfthf Acc =×=
Entonces la pérdida del tramo será
...564.5119.0445.501 acfthf =+=
Despejando HB tenemos
( ) ...679.492564.5115.42 acftH B =−−+=
...679.49 acftHT =
gpmQT 70=
Para un caudal de 70gpm la bomba opera bajo las siguientes condiciones
...58 acftH B =
gpmQB 70=
...9Re acftNPSH q =
%60=η
HpP 8.1=
En la descarga de la bomba se debe estrangular
...321.8679.4958 acfthf Adc =−=
Pto. Trabajo
1.8Hp
9ft
58ft
70gpm
