UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE

EXTENSION - LATACUNGADEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS

Integrantes: Roberto Guamán, Daniel Terán

Curso: 3° nivel AutomotrizFecha: 19/08/2015

Tema: Informe Sistema de Ecuaciones Diferenciales Lineales

NRC: 4195Profesor: Dra. Jackeline PozoAbril 2015 - Agosto 2015

1. Tema: Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales

2. Objetivos

Objetivos General:

Aplicar los conocimientos adquiridos en clase sobre sistemas de ecuaciones

diferenciales lineales para resolver el ejercicio planteado, realizando una

simulación en geogebra para la comprobación y verificación de los datos

obtenidos en el cálculo.

Objetivos Específicos:

Reconocer el sistema de ecuaciones diferenciales lineales y su aplicación en el

campo de la mecánica automotriz.

Plantear el método de solución adecuado.

Resolver las ecuaciones aplicando los conocimientos adquiridos en clase.

Realizar la simulación en el software para comprobar los datos obtenidos.

Establecer las conclusiones que se generaran en el desarrollo del mismo.

3. Marco Teórico

Recuerde que en las unidades pasadas se ilustró cómo resolver sistemas de n

ecuaciones diferenciales lineales con n incógnitas de la forma

Donde las eran polinomios de diferentes grados en el operador diferencial D. Este

capítulo se dedica al estudio de sistemas de ED de primer orden que son casos

especiales de sistemas que tienen la forma normal

Un sistema tal como (2) de n ecuaciones diferenciales de primer orden se llama

sistema de primer orden.

SISTEMAS LINEALES

Cuando cada una de las funciones en (2) es lineal en las variables

dependientes se obtiene la forma normal de un sistema de ecuaciones

lineales de primer orden.

Nos referimos a un sistema de la forma dada en (3) simplemente como un sistema

lineal. Se supone que los coeficientes así como las funciones son continuas en un

intervalo común I. Cuando se dice que el sistema lineal (3) es

homogéneo; de otro modo es no homogéneo.

FORMA MATRICIAL DE UN SISTEMA LINEAL

Si denotan matrices respectivas

Entonces el sistema de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden (3) se pueden

escribir como

Si el sistema es homogéneo, su forma matricial es entonces

EJEMPLO 1 Sistema escrito en notación matricial

Entonces la forma matricial del sistema homogéneo

Entonces la forma matricial del sistema homogéneo

SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES HOMOGÉNEOS

Comenzaremos estudiando el sistema homogéneo La

linealidad del operador garantiza el principio de superposición, que asegura que toda

combinación lineal con coeficientes constantes de soluciones del sistema homogéneo

es también solución del mismo:

Por consiguiente, el conjunto de soluciones del sistema lineal homogéneo es un sub

espacio vectorial del espacio de funciones vectoriales regulares x(t) definidas en el

intervalo considerado I, donde la independencia lineal de un sistema de vectores xi se

define, en la forma habitual, como la imposibilidad de hallar más combinación lineal

que se anule en todo el intervalo que la que tiene coeficientes nulos. Si el sistema

es linealmente dependiente, existe solución no trivial del sistema lineal

homogéneo

Siendo la fila número i del vector columna En consecuencia, el determinante

del sistema, que es el wronskiano del conjunto de vectores,

Se anula en todo el intervalo I. En general, el recíproco de este resultado no es cierto,

pero si los vectores son solución del sistema homogéneo, y el wronskiano se

anula en un cierto punto del intervalo, W (t 0)=0, el sistema lineal homogéneo

Tiene una solución no trivial para los con la que podemos construir para todo

el vector Por el principio de superposición este vector es

solución del sistema diferencial homogéneo y satisface condiciones iniciales nulas en

t=t 0 por la forma en que se han elegido los El teorema de existencia y unicidad

asegura entonces que el vector x tiene que ser el elemento nulo, que satisface las

mismas ecuaciones y condiciones, por lo que

Y los vectores son linealmente dependientes, lo que a su vez implica que el wronskiano

se anula en todos los puntos del intervalo. Vemos, por tanto, que para un conjunto de

n soluciones del sistema de orden n las condiciones de dependencia lineal, anulación

del wronskiano en un punto y anulación del mismo en todo el intervalo son

completamente equivalentes, como ya sucediera con la ecuación lineal homogénea de

orden n.

SOLUCIÓN GENERAL Y SOLUCIÓN PARTICULAR DE SISTEMAS DE E.D.L.

Que el espacio de soluciones tiene al menos dimensión n se sigue del teorema de

existencia y unicidad que garantiza la existencia de la n soluciones linealmente

independientes correspondientes a las condiciones iniciales

O cualesquiera otras que hagan que el wronskiano en t 0 no sea nulo. Existen, por

tanto, sistemas fundamentales de soluciones, que están formados por definición por n

soluciones linealmente independientes. Que un sistema fundamental

es una base del espacio de soluciones, que tiene, por tanto, dimensión n, se sigue del

hecho de que toda solución x de la homogénea, Lx = 0, puede expresarse como

combinación lineal de las del sistema fundamental con coeficientes constantes que

pueden calcularse resolviendo en un punto t 0 el sistema.

Que tiene solución única porque su determinante, que es el wronskiano del sistema

fundamental en t 0 es distinto de cero. La unicidad de la solución correspondiente a

condiciones iniciales ent 0 garantiza que

Con los coeficientes elegidos en t 0 Por tanto, la solución general del sistema

homogéneo que incluye todas las soluciones es una combinación con coeficientes

constantes arbitrarios de vectores de un conjunto fundamental X=

MÉTODOS DE SOLUCIÓN PARA SISTEMAS DE EDL

Un sistema de diferenciales lineales puede resolver las ecuaciones. Al igual que existen

varias técnicas para resolver una ecuación diferencial lineal, también las hay para un

sistema de ecuaciones diferenciales lineales. Como el método de eliminación de Gauss,

método separable y reducible etc. Sea un sistema de ecuaciones diferenciales lineales

representado como,

Entonces, la representación de la matriz equivalente de este sistema de ecuaciones

diferenciales lineales será,

MÉTODO DE LOS OPERADORES

Las ecuaciones diferenciales ordinarias simultáneas tienen que ver con dos o más

ecuaciones que contienen derivadas de dos o más variables dependientes (las

funciones desconocidas) respecto a una sola variable independiente. El método de

eliminación sistemática para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales con

coeficientes constantes se basa en el principio algebraico de eliminación de variables.

Veremos que la operación análoga de multiplicar una ecuación algebraica por una

constante es operar en una EDO con cierta combinación de derivadas.

ELIMINACIÓN SISTEMÁTICA

La eliminación de una incógnita en un sistema de ecuaciones diferenciales lineales se

facilita al rescribir cada ecuación del sistema en notación de operador diferencial.

Donde las son constantes, puede escribirse como

Se factoriza en operadores diferenciales de menor orden, entonces los factores

conmutan. Ahora, por ejemplo, para rescribir el sistema

En términos del operador D, primero se escriben los términos con variables

dependientes en un miembro y se agrupan las mismas variables.

SOLUCIÓN DE UN SISTEMA

Una solución de un sistema de ecuaciones diferenciales es un conjunto de funciones

suficientemente derivables etcétera, que satisface cada

ecuación del sistema en algún intervalo común I.

MÉTODO DE SOLUCIÓN

Considere el sistema simple de ecuaciones lineales de primer orden

Operando con D la primera ecuación de (1) en tanto que la segunda se multiplica por –

3 y después se suma para eliminar y del sistema, se obtiene raíces de la

ecuación auxiliar de la última ED son se obtiene

Multiplicando la primera ecuación en (1) por 2 mientras que se opera la segunda con D

y después restando, se obtiene la ecuación diferencial para

Inmediatamente se tiene que:

Ahora (2) y (3) no satisfacen el sistema (1) para toda elección de porque

el sistema en sí pone una restricción al número de parámetros en una solución que se

puede elegir en forma arbitraria. Para ver esto, observe que sustituyendo x(t) y y(t) en

la primera ecuación del sistema original (1), después de simplificar, se obtiene

Puesto que la última expresión es cero para todos los valores de t, debemos tener

Estas dos ecuaciones nos permiten escribirc3

como un múltiplo de c1 y c4 como un múltiplo de c2:

Por tanto se concluye que una solución del sistema debe ser

Se recomienda sustituir (2) y (3) en la segunda ecuación de (1) y comprobar que se

cumple la misma relación (4) entre las constantes.

UTILIZANDO TRANSFORMADA DE LAPLACE

Supongamos que tenemos un sistema de ecuaciones lineales de la forma:

Donde A es una matriz cuadrada de n filas por n columnas con coeficientes reales

donde son funciones dadas e es la

función vectorial incógnita. Supongamos Además las condiciones iniciales

Donde números reales para sea

Entonces, tomando la Transformada de Laplace en (2.15) y teniendo en cuenta (2.16)

obtenemos que

De donde, si denota la matriz identidad,

Y de aquí

Una vez calculada de este modo obtendremos y tomando la Transformada

inversa. Por ejemplo consideremos el sistema

Junto con las condiciones iniciales

Entonces la solución del problema viene dada por

APLICACIONES

Circuitos eléctricos con varias ramas

Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales también aparecen cuando consideramos

circuitos eléctricos con varias ramas, como muestra la siguiente figura:

En este caso debemos aplicar las leyes de Kirchhoff para obtener las ecuaciones. La

primera de ellas afirma que en cada nudo o punto de ramificación del circuito, la suma

de las intensidades entrantes es igual a la suma de las intensidades salientes. En el

circuito de la figura esto nos proporciona la ecuación

En segundo lugar, consideramos los dos sub circuitos que hay y fijamos un sentido de

la corriente, como muestra la siguiente figura

Tomamos el primer sub circuito por separado, que es

Para este sub circuito tenemos la ecuación

Donde

Donde q1 es la carga que da lugar a la intensidad I1,

Teniendo en cuenta que las intensidades I1 e I2 llevan el sentido que nosotros hemos

prefijado, y tomando la derivada primera, tenemos la ecuación

Tomamos ahora el segundo sub circuito que muestra la figura

Cuya ecuación será

Teniendo en cuenta que ahora I2 va en sentido contrario a prefijado por nosotros al

principio y de ahí el signo negativo. Procediendo como antes obtenemos la ecuación

Y combinando las tres ecuaciones tenemos el sistema

Eliminando I1 tenemos las dos ecuaciones

E introduciendo la variable , el sistema queda

Despejamos y tenemos el sistema en la forma

Que en forma matricial es

Donde

Otros circuitos similares serán estudiados en los problemas de este tema.

4. Materiales

Cantidad Material Gráfico

1 Software

5. Gráfico o esquema

7. Problema Propuesto

Determine la solución del sistema de ecuaciones diferenciales siguientes:

(1 ) dxdt

=x+2 y

(2 ) dydt

=4 x+3 y

Solución:

A=(1 24 3)

Aplicamosla formula siguiente :

|A−λI|=0

|(1 24 3)− λ(1 0

0 1)|=0

|(1−λ 24 3−λ)|=0

Encontramos los valores de lamda

(3−λ ) (1−λ )−8=0

3−3 λ− λ+λ2=8

λ2−4 λ−3=0

( λ−5 ) ( λ+1 )=0

λ=5 y λ=−1autovalores

Seresuelve el siguiente sistema

|A−λI|∗X=0

para λ=5

|(−4 24 −2)|∗(k 1k 2)=(00)(1)−4 k 1+2k2=0

(2)4k 1−2k 2=0

k 2=2k 1

k 1=( n2n)k 1=(12)para λ=−1

|(2 24 4)|∗(k1k2)=(00)(1)2k 1+2k 2=0

(2 )4 k1+4k 2=0

k 1=−k 2

k 2=( m−m)k 2=( 1−1)x ´=(1 2

4 3)Xλ=5 λ=−1

k 1=(12)k2=( 1−1)k 1eλ1 k 2eλ2

x1=(12)e5 t

x2=( 1−1)e−t

x=C1(12)e5 t+C2( 1−1)e−t

x (t)=C1 e5 t+C2 e

−t

y ( t )=2C1 e5 t−C2 e

−t

8. Conclusiones

Las ecuaciones diferenciales se las puede aplicar en varios ámbitos de físicos relacionadas con la mecánica automotriz aplicando estas fórmulas podemos deducir varias problemas que se presentan en un vehículo.

Los circuitos LRC tiene mucha aplicación en los vehículos especialmente en los vehículos de competición, estos son utilizados para controlar la bomba de aceite y el sangrado electrónico de los frenos.

Las condiciones iniciales en un circuito LRC son de gran importancia ya que estas son las encargas de modelar la carga máxima que puede soportar el mismo y relacionar las condiciones de exigencia del vehículo.

9. Recomendaciones

Al realizar la deducción de la ecuación diferencial se tomó muy en cuenta el enunciado ya que este nos indica las consideraciones claves para la demostración

Al realizar la simulación en el software se tomó en cuenta que cada detalle en cuanto a los datos como la inductancia, resistencia, capacitancia y la fuente de voltaje.

Se debe tener en cuenta el método de resolución de las ecuaciones diferenciales, apreciar el caso en el que cae el sistema.

10. Bibliografía

https://www.youtube.com/watch?v=qVdK4AwX8Fg http://sistemasdeecuacionesdiferenciales.blogspot.com/ http://es.slideshare.net/KikePrieto1/sistema-de-ecuaciones-diferenciales http://www3.uah.es/josemsalazar/material_docente_quimicas/alg/

algteor/t4/t4.pdf http://www.ehu.eus/izaballa/Ecu_Dif/Apuntes/lec8.pdf http://es.slideshare.net/santosuriel/unidad-4-ecuaciones-diferenciales

11. Anexos

Anexo 1. Programación en Matlab