Planeacion de_matematicas_tema_en_comun_5â°_y_6â°_multigrado_2010-america-jromo05.com

JOSE MARIA MORELOS Y PAVON CLAVE 21DPR3592F PLAN DE TRABAJO DE MATEMATICAS 5° 6°TEMA EN COMUN: Lectura y escritura de números

ACTIVIDADES DIFERENCIADAS, PAGINAS DEL LIBRO EJE TEMA Y SUBTEMA, CONOCIMIENTOS Y HABILIDADES

Eje: 5°Sentido numérico y pensamiento algebraicoTEMA. Significado y uso de los números SUBTEMA. números naturales Conocimientos y habilidades 1.1. Resolver problemas que impliquen el análisis del valor posicional a partir de la descomposición de números.4.1. Investigar sobre las reglas de funcionamiento de sistemas de numeración antiguos no posicionales como el egipcio o chino-japonés

Eje.6° Sentido numérico y pensamiento algebraicoTEMA. Significado y uso de los númerosSUBTEMA Números naturalesCONOCIMIENTOS Y HABILIDADES: 1.1. Lectura, escritura y comparación de números de diferente cantidad de cifras

APRENDIZAJES ESPERADOS 5ªResuelve problemas de conteo usando procedimientos informales

APRENDIZAJES ESPERADOS 6°Utiliza el cálculo mental, los algoritmos y la calculadora para realizar operaciones con números naturales.

SECUENCIAS DIDACTICAS Consideraciones previasSolicitar a los alumnos billetes y monedas de diferentes denominaciones.Formen una tabla como la siguiente.

Unidad de millar de millón

Centenas de millón

Decenas de millón

Unidad de millón

Centena de millar

Decena de millar

Unidad de millar

Centena Decena Unidad

1 000 000 000 100 000 000 10 000 000 1 000 000 100 000 10 000 1000 100 10 1

Jueguen al cajero utilizando los billetes.Soliciten al cajero el numero de la suma que a continuación se presenta, lo cuente y elabore

40 centenas de millar + 130 decenas+ 25 centenas + 2 millares=1 centena de millar+ 234 centenas+ 1 decena de millar+ 3 millares+ 5=

1

5º= 11,12,13 6º= 8,9,10,11

4 unidades de millón + 3 centenas de millar+ 300 centenas + 250 decenas + 501=1 millón+ 3 centenas de millar + 409 centenas+ 2349 decenas + 7 =

Investigar sobre las reglas de funcionamiento de sistemas de numeración antiguos no posicionales como el egipcio o chino-japonés(observar video en enciclomedia de numeración, egipcia, china y de Japón ) entregar por equipos la siguiente información para que todos la lean y la analicenCuando los hombres empezaron a contar usaron los dedos, guijarros, marcas en bastones, nudos en una cuerda y algunas otras formas para ir pasando de un número al siguiente. A medida que la cantidad crece se hace necesario un sistema de representación más práctico. En diferentes partes del mundo y en distintas épocas se llegó a la misma solución, cuando se alcanza un determinado número se hace una marca distinta que los representa a todos ellos. Este número es la base. Se sigue añadiendo unidades hasta que se vuelve a alcanzar por segunda vez el número anterior y se añade otra marca de la segunda clase. Cuando se alcanza un número determinado (que puede ser diferente del anterior constituyendo la base auxiliar) de estas unidades de segundo orden, las decenas en caso de base 10, se añade una de tercer orden y así sucesivamente. La base que más se ha utilizado a lo largo de la Historia es 10 según todas las apariencias por ser ese el número de dedos con los que contamos. Hay alguna excepción notable como son la numeración babilónica que usaba 10 y 60 como bases y la numeración maya que usaba 20 y 5 aunque con alguna irregularidad. Desde hace 5000 años la gran mayoría de las civilizaciones han contado en unidades, decenas, centenas, millares etc. es decir de la misma forma que seguimos haciéndolo hoy. Sin embargo la forma de escribir los números ha sido muy diversa y muchos pueblos han visto impedido su avance científico por no disponer de un sistema eficaz que permitiese el cálculo. Casi todos los sistemas utilizados representan con exactitud los números enteros, aunque en algunos pueden confundirse unos números con otros, pero muchos de ellos no son capaces de representar grandes cantidades, y otros requieren tal cantidad de símbolos que los hace poco prácticos. Pero sobre todo no permiten en general efectuar operaciones tan sencillas como la multiplicación, requiriendo procedimientos muy complicados que sólo estaban al alcance de unos pocos iniciados. De hecho cuando se empezó a utilizar en Europa el sistema de numeración actual, los abaquistas, los profesionales del cálculo se opusieron con las más peregrinas razones, entre ellas la de que siendo el cálculo algo complicado en sí mismo, tendría que ser un metodo diabólico aquel que permitiese efectuar las operaciones de forma tan sencilla. El sistema actual fue inventado por los indios y transmitido a Europa por los árabes;. Del origen indio del sistema hay pruebas documentales más que suficientes, entre ellas la opinión de Leonardo de Pisa (Fibonacci) que fue uno de los indroductores del nuevo sistema en la Europa de 1200. El gran mérito fue la introducción del concepto y símbolo del cero, lo que permite un sistema en el que sólo diez símbolos puedan representar cualquier número por grande que sea y simplificar la forma de efectuar las operaciones.

Sistemas de Numeración Aditivos

Para ver cómo es la forma de representación aditiva consideremos el sistema jeroglífico egipcio. Por cada unidad se escribe un trazo vertical, por cada decena un símbolo en forma de arco y por cada centena, millar, decena y centena de millar y millón un

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jeroglífico específico. Así para escribir 754 usaban 7 jeroglíficos de centenas 5 de decenas y 4 trazos. De alguna forma todas las unidades están físicamente presentes. Los sistemas aditivos son aquellos que acumulan los símbolos de todas las unidades, decenas... como sean necesarios hasta completar el número. Una de sus características es por tanto que se pueden poner los símbolos en cualquier orden, aunque en general se ha preferido una determinada disposición. Han sido de este tipo las numeraciones egipcia, sumeria (de base 60), hitita, cretense, azteca (de base 20), romana y las alfabéticas de los griegos, armenios, judios y árabes.

El Sistema de Numeración Egipcio

Desde el tercer milenio A.C. los egipcios usaron un sistema de escribir los números en base diez utilizando los jeroglíficos de la figura para representar los distintos órdenes de unidades.

Se usaban tantos de cada uno cómo fuera necesario y se podían escribir indistintamente de izquierda a derecha, al revés o de arriba abajo, cambiando la orientación de las figuras según el caso.

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Al ser indiferente el orden se escribían a veces según criterios estéticos, y solían ir acompañados de los jeroglíficos correspondientes al tipo de objeto (animales, prisioneros, vasijas etc.) cuyo número indicaban. En la figura aparece el 276 tal y como figura en una estela en Karnak. Estos signos fueron utilizados hasta la incorporación de Egipto al imperio romano. Pero su uso quedó reservado a las inscripciones monumentales, en el uso diario fue sustituido por la escritura hierática y demótica, formas más simples que permitían mayor rapidez y comodidad a los escribas

En estos sistemas de escritura los grupos de signos adquirieron una forma propia, y asi se introdujeron símbolos particulares para 20, 30....90....200, 300.....900, 2000, 3000...... con lo que disminuye el número de signos necesarios para escribir una cifra.

El Sistema de Numeración Griego El primer sistema de numeración griego se desarrolló hacia el 600 A.C. Era un sistema de base decimal que usaba los símbolos de la figura siguiente para representar esas cantidades. Se utilizaban tantas de ellas como fuera necesario según el principio de las numeraciones aditivas.

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Para representar la unidad y los números hasta el 4 se usaban trazos verticales. Para el 5, 10 y 100 las letras correspondientes a la inicial de la palabra cinco (pente), diez (deka) y mil (khiloi). Por este motivo se llama a este sistema acrofónico.

Los símbolos de 50, 500 y 5000 se obtienen añadiendo el signo de 10, 100 y 1000 al de 5, usando un principio multiplicativo. Progresivamente este sistema ático fue reemplazado por el jónico, que empleaba las 24 letras del alfabeto griego junto con algunos otros símbolos según la tabla siguiente

De esta forma los números parecen palabras, ya que están compuestos por letras, y a su vez las palabras tienen un valor numérico, basta sumar las cifras que corresponden a las letras que las componen. Esta circunstancia hizo aparecer una nueva suerte de disciplina mágica que estudiaba la relación entre los números y las palabras. En algunas sociedades como la judía y la árabe, que utilizaban un sistema similar, el estudio de esta relación ha tenido una gran importancia y ha constituido una disciplina aparte: la kábala, que persigue fines místicos y adivinatorios.

Sistemas de Numeracion Híbridos En estos sistemas se combina el principio aditivo con el multiplicativo. Si para representar 500 los sistemas aditivos recurren a cinco representaciones de 100, los híbridos utilizan la combinación del 5 y el 100. Pero siguen acumulando estas combinaciones de signos para los números más complejos. Por lo tanto sigue siendo innecesario un símbolo para el 0. Para representar el 703 se usa la combinación del 7 y el 100 seguida del 3. El orden en la escritura de las cifras es ahora fundamental para evitar confusiones, se dan así los pasos para llegar al sistema posicional, ya que si los signos del 10, 100 etc se repiten siempre en los mismos lugares, pronto alguien piensa en suprimirlos, dándolos por supuestos y se escriben sólo las cifras correspondientes a las decenas, centenas etc. .Pero para ello es necesario un cero, algo que indique que algún orden de magnitud está vacío y no se confundan el 307 con 370, 3070 .Además del chino clásico han sido sistemas de este tipo el asirio, arameo, etíope y algunos del subcontinente indio cómo el tamil, el malayalam y el cingalés.

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El Sistema de Numeración Chino

La forma clásica de escritura de los números en China se empezó a usar desde el 1500 A.C. aproximadamente. Es un sistema decimal estricto que usa las unidades y los distintas potencias de 10. Utiliza los ideogramas de la figura

y usa la combinación de los números hasta el diez con la decena, centena, millar y decena de millar para según el principio multiplicativo representar 50, 700 ó 3000. El orden de escritura se hace fundamental, ya que 5 10 7 igual podría representar 57 que 75.

Tradicionalmente se ha escrito de arriba abajo aunque también se hace de izquierda a derecha como en el ejemplo de la figura. No es necesario un símbolo para el cero siempre y cuando se pongan todos los ideogramas, pero aún así a veces se

Suprimían los correspondientes a las potencias de 10.

Aparte de esta forma que podríamos llamar canónica se usaron otras. Para los documentos importantes se usaba una grafía más complicada con objeto de evitar falsificaciones y errores. En los sellos se escribía de forma más estilizada y lineal y aún se usaban

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hasta dos grafías diferentes en usos domésticos y comerciales, aparte de las variantes regionales. Los eruditos chinos por su parte desarrollaron un sistema posicional muy parecido al actual que desde que incorporó el cero por influencia india en s. VIII en nada se diferencia de este.

Sistemas de Numeración Posicionales

Mucho más efectivos que los sistemas anteriores son los posicionales. En ellos la posición de una cifra nos dice si son decenas, centenas o en general la potencia de la base correspondiente. Sólo tres culturas además de la india lograron desarrollar un sistema de este tipo. Babilonios, chinos y mayas en distintas épocas llegaron al mismo principio. La ausencia del cero impidió a los chinos un desarrollo completo hasta la introducción del mismo. Los sistemas babilónico y maya no eran prácticos para operar porque no disponían de símbolos particulares para los dígitos, usando para representarlos una acumulación del signo de la unidad y la decena. El hecho que sus bases fuese 60 y 20 respectivamente no hubiese representado en principio ningún obstáculo. Los mayas por su parte cometían una irregularidad a partir de las unidades de tercer orden, ya que detrás de las veintenas no usaban 20x20=400 sino 20x18=360 para adecuar los números al calendario, una de sus mayores preocupaciones culturales. Fueron los indios antes del siglo VII los que idearon el sistema tal y como hoy lo conocemos, sin mas que un cambio en la forma en la que escribimos los nueve dígitos y el cero. Aunque con frecuencia nos referimos a nuestro sistema de numeración cómo árabe, las pruebas arqueológicas y documentales demuestran el uso del cero tanto en posiciones intermedias como finales en la India desde el sss. Los árabes transmitieron esta forma de representar los números y sobre todo el cálculo asociado a ellas, aunque tardaron siglos en ser usadas y aceptadas. Una vez más se produjo una gran resistencia a algo por el mero hecho de ser nuevo o ajeno, aunque sus ventajas eran evidentes. Sin esta forma eficaz de numerar y efectuar cálculos difícilmente la ciencia hubiese podido avanzar.

El Sistema de Numeración Babilónico Entre la muchas civilizaciones que florecieron en la antigua Mesopotamia se desarrollaron distintos sistemas de numeración. En el ssss A.C. se inventó un sistema de base 10, aditivo hasta el 60 y posicional para números superiores.

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Para la unidad se usaba la marca vertical que se hacía con el punzón en forma de cuña. Se ponían tantos como fuera preciso hasta llegar a 10, que tenía su propio signo.

De este se usaban los que fuera necesario completando con las unidades hasta llegar a 60.

A partir de ahí se usaba un sistema posicional en el que los grupos de signos iban representando sucesivamente el número de unidades, 60, 60x60, 60x60x60 y así sucesivamente como en los ejemplos que se acompañan.

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El Sistema de Numeración MayaLos mayas idearon un sistema de base 20 con el 5 cómo base auxiliar. La unidad se representaba por un punto. Dos, tres, y cuatro puntos servían para 2, 3 y 4. El 5 era una raya horizontal, a la que se añadían los puntos necesarios para representar 6, 7, 8 y 9. Para el 10 se usaban dos rayas, y de la misma forma se continúa hasta el 20, con cuatro rayas.

Hasta aquí parece ser un sistema de base 5 aditivo, pero en realidad, considerados cada uno un solo signo, estos símbolos constituyen las cifras de un sistema de base 20, en el que hay que multiplicar el valor de cada cifra por 1, 20, 20x20, 20x20x20 ... según el lugar que ocupe, y sumar el resultado. Es por tanto un sistema posicional que se escribe a arriba abajo, empezando por el orden de magnitud mayor.

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Al tener cada cifra un valor relativo según el lugar que ocupa, la presencia de un signo para el cero, con el que indicar la ausencia de unidades de algún orden, se hace imprescindible y los mayas lo usaron, aunque no parece haberles interesado el concepto de cantidad nula. Cómo los babilonios lo usaron simplemente para indicar la ausencia de otro número. Pero los científicos mayas eran a la vez sacerdotes ocupados en la observación astronómica y para expresar los número correspondientes a las fechas usaron unas unidades de tercer orden irregulares para la base 20. Así la cifra que ocupaba el tercer lugar desde abajo se multiplicaba por 20x18=360 para completar una cifra muy próxima a la duración de un año.

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El año lo consideraban dividido en 18 uinal que constaba cada uno de 20 días. Se añadían algunos festivos (uayeb) y de esta forma se conseguía que durara justo lo que una de las unidades de tercer orden del sistema numérico. Además de éste calendario solar, usaron otro de carácter religioso en el que el año se divide en 20 ciclos de 13 días. Al romperse la unidad del sistema éste se hace poco práctico para el cálculo y aunque los conocimiento astronómicos y de otro tipo fueron notables los mayas no desarrollaron una matemática más allá del calendario. ( Se analizarán los sistemas a partir de sus características: número de símbolos necesarios para escribir todos los números, descomposiciones aritméticas, existencia o no del cero, criterios de comparación, y se compararán con las del sistema decimal.

¡A JUGAR!Se organiza al grupo en equipos, juntan sus tarjetas, las mezclan y las ponen en el centro de una mesa con las palabras hacia abajo. Es importante que, mientras los alumnos juegan, haga un seguimiento al trabajo observando si comprendieron las instrucciones. Sobre todo, es importante que vea cómo forman los números y cómo los escriben con cifras en su cuaderno; si usted detecta errores puede preguntar a otros compañeros del mismo equipo: ¿qué opinas de cómo escribió el número tu compañero?, ¿consideras que escribió correctamente el número? Luego de haber tomado dos tarjetas de cada color y la tarjeta con la palabra mil, los alumnos podrán formar números como el siguiente:

quinientos setenta y ocho mil trescientos cuarenta y cuarenta y

Y en su cuaderno: 578 346Con las mismas tarjetas se pueden formar otros números: 548 376, 378 546, etc. Vale la pena que el maestro diga a los alumnos

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que se trata de formar el número mayor para ganar la ronda. Para cerrar la actividad puede pedir que se resuelvan algunos ejemplos frente al grupo, haciendo notar que la palabra mil divide al número en dos grupos de tres cifras, lo que facilita la lectura y escritura del número. En las tarjetas no se han incluido las palabras cuya escritura se modifica en la numeración oral, como el diez y el veinte, porque para formar números con una decena es inusual decir “diez y cinco”, “veinte y cuatro”, etcétera. Mientras los equipos trabajan en la combinación de números, el maestro puede supervisar el trabajo cuidando que los nombres que se formen sean correctos; en total se pueden formar ocho números, siendo el mayor: ocho cientos dos mil y el menor: mil dos cientos ocho Si los alumnos forman nombres incorrectos, como ocho mil cientos dos, puede preguntarles: ¿cómo se escribe de manera correcta ese número?, también puede recomendarles dividir los números de más de cuatro cifras en grupos de tres dígitos para facilitar su lectura y escritura. Una dificultad extra a la que se enfrentarán los alumnos es el uso de ceros intermedios, ya que los ocho números que se forman contienen ceros intermedios. Si detecta errores puede esperar a la confrontación grupal para que los alumnos revisen todos los números y validen los que hayan escrito de manera correcta. Se sugiere hacer énfasis en que el agrupamiento de tres cifras facilitará el proceso de revisión de los números propuestos.5ºPlantear Situaciones en las que se trate de ordenar y contar una colección de objetos que cumplan ciertas condiciones. Cuando sea posible, se representará la colección en diagramas de árbol para facilitar la búsqueda sistemática de posibilidades y el control del conteo. Por ejemplo, ¿cuántos números de cuatro cifras distintas se pueden escribir con las cifras 2, 1, 3 y 4? La representación gráfica en forma de árbol o tabla puede ayudar a los alumnos a descubrir la estructura multiplicativa de algunas de estas situaciones. En el ejemplo anterior se puede considerar que para la primera cifra se tienen cuatro posibilidades, una por cada cifra, lo cual puede ser representado por 4 ramas de un árbol. Para la segunda cifra, una vez fijada la primera, sólo quedarán 3 posibilidades; por lo tanto del extremo de cada una de las 4 ramas, saldrán 3 ramas. A su vez, quedarán dos posibilidades para elegir la tercera cifra, y finalmente una sola opción para la última cifra. Por lo tanto, el árbol tendrá inicialmente 4 ramas, de cada una de las cuales saldrán 3, luego 2 y finalmente 1. El número total de posibilidades resultará del producto: 4 x 3 x 2 x 1. Los procedimientos personales de los alumnos suelen consistir en buscar formas de enlistar todos los números posibles para obtenerel total. El docente insistirá en buscar métodos más eficaces ya que aunque el sistema que usen los estudiantes para hacer la lista puede ser adecuado, es imposible ejecutarlo en poco tiempo, sobre todo cuando los elementos del problema crecen. El docente podría organizar un análisis de los procedimientos y de la relación que se puede establecer con las ramas del árbol y la multiplicación. Posteriormente podrá plantear: ¿y si se pueden repetir las cifras?

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¿Cuál de las siguientes opciones muestra la descomposición correcta del número 985 467 en notación desarrollada?

A) 9 x 100 000 + 8 x 1 000 + 5 x 100 + 4 x 10 + 67 x 1B) 9 x 100 000 + 8 x 10 000 + 5 x 1 000 + 4 x 100 + 6 x 10 + 7 x 1C) 9 x 1 000 000 + 8 x 100 000 + 5 x 10 000 + 4 x 1 000 + 6 x 100 + 7 x 10D) 900 000 + 80 000 + 5 000 + 4 x 1 000 + 6 x 100 + 7 x 10

En un estadio hay 16 cajas de pelotas con una docena cada una, y además una caja con 8 pelotas. Para saber cuantas pelotas son en total, ¿cuál de las siguientes expresiones utilizarías?

A) 16+ (12 x 8) B) 16x (12 +8)C) 8 + (16 x 12) D) (8 + 16) x 12

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RESOLVER LOS SIGUIENTES PROBLEMASEl 30 de diciembre de 2009 se llevo a cabo el 63º sorteo “De la Amistad”, donde se sortearon una residencia amueblada para el primer premio y del 2º al 16º un automóvil último modelo, los boletosagraciados se muestran en la tabla siguiente:

Boleto PremioGanador

1º 356,871 Residencia amueblada2º 250,276 Automóvil último modelo3º 45,271 Automóvil último modelo4º 378,972 Automóvil último modelo5º 300,003 Automóvil último modelo6º 272,345 Automóvil último modelo7º 76,456 Automóvil último modelo8º 265,897 Automóvil último modelo9º 290,675 Automóvil último modelo10º 345,670 Automóvil último modelo11º 220,350 Automóvil último modelo12º 2,874 Automóvil último modelo13º 234,652 Automóvil último modelo14º 209,675 Automóvil último modelo15º 376,892 Automóvil último modelo16º 79,456 Automóvil último modelo

¿Entre qué números no salieron números sorteados?A) 0 y 99,999B) 100,000 y 199,999C) 200,000 y 299,999D) 300,000 y 399,999

¿Entre qué números salieron más números sorteados?A) 0 y 99,999B) 100,000 y 199,999C) 200,000 y 299,999D) 300,000 y 399,999

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¿Entre qué rango de números salió el boleto ganador de la residencia?A) 0 y 99,999B) 100,000 y 199,999C) 200,000 y 299,999D) 300,000 y 399,999

Fernando se ganó un automóvil con el número 265,897, ¿cómo es la descomposición correcta de este número en notación desarrollada?A) 2 x 100,000 + 6 x 10,000 + 5 x 10,000 + 8 x 1,000 +97 x 1B) 2 x 100,000 + 6 x 10,000 + 5 x 10,000 + 8 x 1,000 +9 x 100 + 7 x 10C) 2 x 100,000 + 6 x 10,000 + 5 x 1,000 + 8 x 100 +9 x 100 + 7 x 1D) 2 x 100,000 + 6 x 10,000 + 5 x 1,000 + 8 x 100 +9 x 10 + 7 x 1

¿Cuál es el número del boleto ganador que se encuentra en el 4to. lugar de la lista?A) 378, 972B) 376, 892C) 367, 796D) 378, 902Don Paulino Torres en su granja, tiene un gallinero con 80 gallinas que producen 8 kg de huevo al día. Si don Paulino vende cada huevo a $ 0.60 y cada kilo tiene 15 huevos,¿cuánto dinero obtiene en 5 días con la venta de huevo?A) $ 670.00B) $ 600.00C) $ 400.00D) $ 360.00

En la tumba de un hombre pusieron el siguiente letrero: ¿En qué año murió Pedro Pérez?

A) 1512B) 1823C) 1908

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D) 1912

DESCOMPONER NUMEROSLa descomposición de números podrá basarse en la organización decimal del sistema, la explicitación de las relaciones aditivas y multiplicativas que subyacen a un número o en la interpretación y utilización de la información contenida en la escritura decimal.Por ejemplo, 98 puede ser descompuesto de distintas maneras: como 90 + 8; 45 + 45 + 8 o 48 + 48 + 2. Sin embargo, para dividir mentalmente 98 : 12 se podría buscar una descomposición en múltiplos de 12 , por ejemplo 48 + 48 + 2.Una vez encontrada la descomposición se podrá dividir cada sumando entre 12, y encontrar 4 + 4 = 8 como cociente y un residuo de 2.Se trata de que los alumnos aprendan no sólo a descomponer números de distintas maneras sino a seleccionar la descomposición más adecuada para la situación planteada, para esto el docente organizará discusiones sobre los procedimientos que elaboren los alumnos o propuestos por él mismo. Otra situación posible es la siguiente: si en el visor de la calculadora aparece el número 7356, ¿cómo lograr que en el visor de la calculadora aparezca el número 7056 sin borrar el número original y haciendo una operación? Si aparece el número 32 574, ¿cómo lograr que aparezca, sin borrar, el 30 074? En estos ejercicios es necesario utilizar la informacióncontenida en la escritura decimal, por ejemplo que en 7 356, el 3 es equivalente a 300 unidades, por lo tanto para lograr que aparezca el número 7056 será suficiente restar 300 al número original.

ACTIVIDADES ENCICLOMEDIA

Matemáticas 5° Ejercicios complementarios: Lección 01-01 Matemáticas 5° Ejercicios complementarios: Lección 01-02 Matemáticas 5° Ejercicios complementarios: Lección 01-04

Matemáticas 5° Ejercicios complementarios: Lección 01-05-01Matemáticas 5° Ejercicios complementarios: Lección 01-05-02

Matemáticas 5° Hoja de cálculo: Lección 01-03Matemáticas Interactivo: Arma el número

Matemáticas Interactivo: El ahorcadoMatemáticas Interactivo: Arma el número

GLOSARIO ENCICLOMEDIACentena

Centena de millar Cifra DecenaDecena de millar

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UnidadUnidad de millarValor absolutoValor relativo

PUESTA EN COMUN A NIVEL GRUPAL, EVALUACIÓN Y CIERRE DE LA ACTIVIDADObservaciones posteriores

1. ¿Cuáles fueron los aspectos con mayor éxito de la sesión? 2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar la sesión? 3. Por favor, califique la sesión con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted

2.

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Muy útil Útil limitado Pobre

JOSE MARIA MORELOS Y PAVON CLAVE 21DPR3592F PLAN DE TRABAJO DE MATEMATICAS 5° 6°ASIGNATURA: MATEMATICASTEMA EN COMUN: la fracción PAGINAS DEL LIBRO

EJE Y COMPETENCIA TEMA Y SUBTEMA, CONOCIMIENTOS Y HABILIDADES

Eje: 5°Sentido numérico y pensamiento algebraicoTema. Significado y uso de las operacionesSubtema. Problemas aditivosConocimientos y habilidades 1.2. Resolver problemas en distintos contextos de manera que abarquen diferentes significados de las fracciones: repartos, medidas y particiones.

6° Sentido numérico y pensamiento algebraicoTEMA Significado y uso de los númerosSUBTEMA Números fraccionariosCONOCIMIENTOS Y HABILIDADES: 1.2. Utilizar fracciones para expresar el cociente de la división de una medida entera entre un número natural (2 pasteles entre 3; 5 metros entre 4, etc).

APRENDIZAJES ESPERADOS 5ºResuelva problemas en diversos contextos que implican

diferentes significados de las fracciones: reparto y medida

APRENDIZAJES ESPERADOS 6°Usa fracciones para expresar cocientes.

ACTIVIDADES INICIALES

Consideraciones previasOBSERVAR LOS VIDEOS QUE IMPLICAN FRACCION, (suma, resta, multiplicación, equivalencia, representación, reparto concepto etc.)En grados anteriores los alumnos resolvieron problemas de reparto utilizando diversos procedimientos; podrán seguir usando estos procedimientos y se espera que evolucionen hasta determinar que al repartir m unidades entre n personas, el resultado es la fracción m/n o una equivalente. Es muy probable que en la confrontación de resultados los alumnos expongan varios procedimientos incluyendo el que se desea que usen (la anticipación de la fracción mn ). La pregunta del inciso c) pretende que los alumnos se den cuenta de este hecho; de no ser así, usted puede introducirlo y cerrar la actividad con esta conclusión. Se sugiere

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5º= 14,15,16 6º= 12,13

plantear problemas similares para que los alumnos contesten de modo oral, por ejemplo: se reparten ocho pasteles entre cinco niños, ¿cuánto le toca a cada uno? Respuesta: 8 5. Se sugiere plantear otros problemas similares para que los alumnos contesten oralmente, por ejemplo: el robot X avanza 9 unidades al dar 7 pasos, ¿cuánto avanza al dar un paso? Respuesta: 9 7se plantean problemas con el tipo de fracciones que han trabajando previamente, a fin de continuar desarrollando distintos procedimientos como estimaciones, representaciones gráficas, uso de descomposiciones aditivas y equivalencias numéricas. Por ejemplo: Hallar la medida de un segmento AB considerando una fracción (por ejemplo, 1/5) como unidad.Determinar qué parte del área de un rectángulo representa la región sombreada.

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Para reflexionar y analizar

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Matemáticas 5° Ejercicios complementarios: Lección 58-01 Matemáticas 5° Ejercicios complementarios: Lección 58-02 Matemáticas Descartes Fracciones: Representación Matemáticas 5° Ejercicios complementarios: Lección 64-01 Matemáticas 5° Ejercicios complementarios: Lección 64-02 Matemáticas 5° Ejercicios complementarios: Lección 64-03 Matemáticas Animación: Razones y proporciones Matemáticas Descartes Fracciones: Equivalencia



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JOSE MARIA MORELOS Y PAVON CLAVE 21DPR3592F PLAN DE TRABAJO DE MATEMATICAS 5° 6°ASIGNATURA: MATEMATICASTEMA EN COMUN: NUMEROS DECIMALESPAGINAS DEL LIBRO

EJE Y COMPETENCIA TEMA Y SUBTEMA, CONOCIMIENTOS Y HABILIDADESEje: 5°Sentido numérico y pensamiento algebraico

TEMA. Significado y uso de los númerosSUBTEMA. números decimalesCONOCIMIENTOS Y HABILIDADES 1.3. Resolver problemas de conteo mediante procedimientos informales.4.2. Resolver problemas que involucren al valor posicional en la notación decimal.

6° Sentido numérico y pensamiento algebraicoTEMA Significado y uso de los númerosSUBTEMA Números decimalesConocimientos y habilidades 1.3. Comparar, ordenar y encuadrar números decimales

APRENDIZAJES ESPERADOS 5°

Resuelva problemas de conteo usando procedimientos informalesResuelvan problemas aditivos con números fraccionarios y decimales que impliquen el uso de recursos de cálculo mental.


Utiliza el cálculo mental, los algoritmos y la calculadora para realizar operaciones con números naturales.

ACTIVIDADES INICIALESAntes de iniciar que cada equipo marque en un metro los milímetros, centímetros y decímetros, repase las partes de metro En el pizarrón la maestra realizara algunas preguntas sobre que es mas grande los decímetros, o milímetros etc y realice equivalencias de cuanto es 3200 milímetros convertidos en decímetros, 345 cm convertirlos a metros etc.Tener el material de décimos centésimos y milésimos (acrílico, papel cascaron, o cualquier otro que pueda ser manipulado) nuevamente la maestra en el pizarrón la maestra realizara algunas preguntas sobre que es mas grande los decimos, o milésimos etc y realice equivalencias de cuanto es 3200 milésimos convertidos en decimos Los alumnos han trabajado con números decimales en grados anteriores, por lo que se espera que concluyan que si el cuadrado grande vale uno, entonces cada tira vale un décimo; cada cuadradito vale un centésimo, y cada rectangulito vale un milésimo. Los alumnos que puedan deducir esto podrán escribir mensajes numéricos, como 0.523 para colorear cinco tiras, dos cuadraditos y tres

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5º= ,17,18,19,122,123,124 6º= 14,15,16,17

rectangulitos. Aunque también pueden proponer expresiones como 5/10 , 2 /100 y 3/ 1000 , lo cual le dará más riqueza a la confrontación de los resultados. Es importante enfatizar que en los mensajes no se pueden utilizar palabras ni dibujos. Si a nadie se le ocurre usar números con punto decimal o fracciones decimales para elaborar su mensaje, usted puede apoyarlos con intervenciones como: si el cuadrado grande vale uno, ¿cuánto vale una tira?, ¿cómo escribes esa cantidad?, ¿cuánto vale un cuadradito?, ¿cómo escribes esa cantidad?, ¿cuánto vale un rectangulito?, ¿cómo escribes esa cantidad?, ¿cómo escriben la cantidad total que colorearon? En la confrontación de resultados el docente puede comentar la eficacia del punto decimal para la elaboración de los mensajes y la importancia que tiene interpretarlos de la misma manera, tanto por parte de quien elaboró el mensaje como por parte de quien lo recibió. Para cerrar la actividad es conveniente que escriban con punto decimal y con fracciones decimales todas las cantidades que representan los cuadrados-unidad coloreadas, y que lean los números y los ordenen del menor al mayor.Lo primero que deben hacer los alumnos es determinar a qué números corresponden las marcas en cada una de las rectas. Sólo se pide de manera aproximada porque el propósito es que los alumnos sepan encuadrar los decimales; por ejemplo, el 4.56 está entre el 4 y el 5, pero como está marcado el 4.5 se espera que los alumnos lo coloquen entre el 4.5 y el 5.En la segunda recta numérica se tiene que encuadrar con un mayor grado de precisión, ya que todos los números están entre 2 y 3; pero los alumnos tendrán que determinar si están entre 2.1 y 2.2, o entre 2.25 y 2.40. Por ejemplo, para el caso de 2.752, los alumnos tendrán que ubicar el número entre el 2.7 y 2.8, pero como hay un punto entre éstos, tendrán que precisar que se ubica entre 2.75 y 2.8.Juegue por equipo, el maestro escribirá algunos decimales en el salón y les indicara que equipo que determine cual es mayor o cual es menor va ganando (el Gpo determina si diez minutos antes que todos a receso, no hace aseo etc. Se espera que en las jugadas haya casos en los que un número de tres cifras decimales sea menor que uno de una o dos cifras decimales, por ejemplo, que un alumno forme el 0.431 y otro el 0.6. La idea es que ellos mismos se den cuenta de que el número de cifras no es determinante para comparar los números que están a la derecha del punto decimal. Si no se diera el caso, en el cierre de la actividad el maestro puede suponer algunos casos, por ejemplo, decirles que si a un alumno le salió 3, 2 y 1 y a otro le salió 5, ¿puede el alumno que le salió 5 formar un decimal mayor que el que forme el otro alumno? Si nota que algunos alumnos tienen dificultad en determinar quién ganó la jugada porque creen que 0.321 es mayor que 0.5, puede recurrir a los cuadrados unidad en donde los alumnos verán que 5 tiras (décimos) son mayores que 0.321 porque en este número sólo hay 3 tiras completas. Es posible que a algunos alumnos se les dificulte la lectura de los números por la forma en que están acomodados; si ése es el caso, puede sugerirles que los escriban y los ordenen por separado, ya sea en columna o en fila. También puede introducir, si es que en las confrontaciones grupales no ha surgido, una nueva manera de comparar decimales. Apoyándose en el cuadrado-unidad, haga notar a los alumnos que 0.5 = 0.50 = 0.500, etc., es decir, que podemos agregar ceros a la derecha de un número escrito con punto decimal y esto no altera el valor. Esta propiedad de los decimales está basada en la equivalencia de fracciones: 5/10 = 50/100 = 500/1000 , lo cual permite comparar más fácilmente los decimales; por ejemplo, 0.5 es mayor que 0.125 porque 0.500 es mayor que 0.125 (500 milésimos es mayor que 125 milésimos). En esencia, lo que se hace es convertir ambas fracciones al mismo denominador para poder compararlas más fácilmente.

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Hoja de ejercicios de medición 3Convertir las unidades de medición como indicado.

1a. 42382 m = ____ km ____ m

1b. 174 cm 8 mm = ______ mm

2a. 4519 cm = ____ m ____ cm

2b. 493 cm = ____ m ____ cm

3a. 172 cm 0 mm = ______ mm

3b. 59 km 651 m = ______ m

4a. 131 cm 9 mm = ______ mm

4b. 23 km 824 m = ______ m

5a. 4043 cm = ____ m ____ cm

5b. 74443 m = ____ km ____ m

6a. 619 mm = ____ cm ____ mm

6b. 189 cm 0 mm = ______ mm

7a. 140 cm 6 mm = ______ mm

7b. 12 km 658 m = ______ m

8a. 16688 m = ____ km ____ m

8b. 16447 m = ____ km ____ m

9a. 77 cm 1 mm = ______ mm

9b. 8 m 80 cm = ______ cm

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Soluciones para hoja de ejercicio de medición 3

1a. 42 km 382 m 1b. 1748 mm

2a. 45 m 19 cm 2b. 4 m 93 cm

3a. 1720 mm 3b. 59651 m

4a. 1319 mm 4b. 23824 m

5a. 40 m 43 cm 5b. 74 km 443 m

6a. 61 cm 9 mm 6b. 1890 mm

7a. 1406 mm 7b. 12658 m

8a. 16 km 688 m 8b. 16 km 447 m

9a. 771 mm 9b. 880 cm

10a. 451 mm 10b. 81 km 655 m

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Hoja de ejercicios de medición 5Convertir las unidades de medición como indicado.

1a. 4714 m = _____ km

1b. 3 cm = _____ m

2a. 0.911 km = ______ m

2b. 7.729 km = ______ m

3a. 1.171 km = ______ m

3b. 353 cm = _____ m

4a. 983 cm = _____ m

4b. 81.1 cm = ______ mm

5a. 6079 m = _____ km

5b. 6.871 km = ______ m

6a. 7.73 m = ______ cm

6b. 27.6 cm = ______ mm

7a. 9.67 m = ______ cm

7b. 570 cm = _____ m

8a. 9.29 m = ______ cm

8b. 3.67 m = ______ cm

9a. 5.65 m = ______ cm

9b. 8.01 m = ______ cm

10a. 70.8 cm = ______ mm 10b. 1.329 km = ______ m

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Soluciones para hoja de ejercicio de medición 5

1a. 4.714 km 1b. 0.03 m

2a. 911 m 2b. 7729 m

3a. 1171 m 3b. 3.53 m

4a. 9.83 m 4b. 811 mm

5a. 6.079 km 5b. 6871 m

6a. 773 cm 6b. 276 mm

7a. 967 cm 7b. 5.7 m

8a. 929 cm 8b. 367 cm

9a. 565 cm 9b. 801 cm

10a. 708 mm 10b. 1329 m

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Ejercicios de fracciones / decimales 6Convierte los decimales a fracciones.

1a. 0.94 = 1b. 0.4 = 1c. 0.79 =

2a. 0.65 = 2b. 0.8 = 2c. 0.18 =

3a. 0.93 = 3b. 0.41 = 3c. 0.1 =

4a. 0.14 = 4b. 0.51 = 4c. 0.22 =

5a. 0.99 = 5b. 0.71 = 5c. 0.3 =

6a. 0.11 = 6b. 0.17 = 6c. 0.6 =

106

7a. 0.89 = 7b. 0.91 = 7c. 0.95 =

Soluciones para ejercicios de decimales / fracciones 7Decimales a fracciones Las respuestas son simplificadas sólo si el denominador es menos de o igual a 1000.

1a. 0.3

= 3

10 1b.

0.1

= 1

10 1c.

0.86

= 43

50

2a. 0.48

= 12

25 2b.

0.8

= 4

5 2c.

0.7

= 7

10

3a. 0.96

= 24

25 3b.

0.47

= 47

100 3c.

0.24

= 6

25

4a. 0.92

= 23

25 4b.

0.93

= 93

100 4c.

0.94

= 47

50

5a. 0.75

= 3

4 5b.

0.36

= 9

25 5c.

0.88

= 22

25

6a. 0.37

= 37

100 6b.

0.13

= 13

100 6c.

0.2

= 1

5

107

7a. 0.27

= 27

100 7b.

0.79

= 79

100 7c.

0.85

= 17

20

8a. 0.42

= 21

50 8b.

0.83

= 83

100 8c.

0.18

= 9

50

Convierte los decimales a fracciones.

1a. 3.37 = 1b. 2.33 = 1c. 1.1 =

2a. 1.9 = 2b. 7.37 = 2c. 9.94 =

3a. 6.82 = 3b. 0.68 = 3c. 0.42 =

4a. 10.58 = 4b. 0.3 = 4c. 0.48 =

5a. 7.1 = 5b. 0.8 = 5c. 0.52 =

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6a. 1.81 = 6b. 0.75 = 6c. 7.8 =

7a. 0.45 = 7b. 5.1 = 7c. 0.86 =

Soluciones para ejercicios de decimales / fracciones 9Decimales a fraccionesLas respuestas son simplificadas sólo si el denominador es menos de o igual a 1000.

1a. 1.64

= 1 16

25 1b.

1.59

= 1 59

100 1c.

3.48

= 3 12

25

2a. 0.1

= 1

10 2b.

8.71

= 8 71

100 2c.

3.37

= 3 37

100

3a. 1.4

= 1 2

5 3b.

7.7

= 7 7

10 3c.

0.65

= 13

20

4a. 0.67

= 67

100 4b.

0.79

= 79

100 4c.

6.94

= 6 47

50

5a. 0.98

= 49

50 5b.

7.92

= 7 23

25 5c.

0.7

= 7

10

109

6a. 2.98

= 2 49

50 6b.

9.87

= 9 87

100 6c.

2.38

= 2 19

50

7a. 0.36

= 9

25 7b.

2.8

= 2 4

5 7c.

8.3

= 8 3

10

8a. 0.3

= 3

10 8b.

6.6

= 6 3

5 8c.

0.6

= 3

5


Matemáticas 5° Ejercicios complementarios: Lección 17-01-01 Matemáticas 5° Ejercicios complementarios: Lección 17-01-02 Matemáticas 5° Ejercicios complementarios: Lección 17-01-03 Matemáticas 5° Ejercicios complementarios: Lección 17-02-01 Matemáticas 5° Ejercicios complementarios: Lección 17-02-02 Matemáticas 5° Hoja de cálculo: Lección 17-01 Matemáticas 5° Hoja de cálculo: Lección 17-03 Matemáticas Interactivo: Números decimales Matemáticas Interactivo: Recta numérica Matemáticas 5° Ejercicios complementarios: Lección 64-01 Matemáticas 5° Ejercicios complementarios: Lección 64-02 Matemáticas 5° Ejercicios complementarios: Lección 64-03 Matemáticas Animación: Razones y proporciones Matemáticas Descartes Fracciones: Equivalencia Matemáticas Interactivo: Números decimales Matemáticas Interactivo: Recta numérica

GLOSARIONúmero decimal Centésimo Décimo

110

Fracción decimal Milésimo Número decimal


3. ¿Cuáles fueron los aspectos con mayor éxito de la sesión? 2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar la sesión? . Por favor, califique la sesión con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted

.

JOSE MARIA MORELOS Y PAVON CLAVE 21DPR3592F PLAN DE TRABAJO DE MATEMATICAS 5° 6°ASIGNATURA: MATEMATICASTEMA EN COMUN: uso de la calculadora NUMEROS NATURALESPAGINAS DEL LIBRO

EJE TEMA, SUBTEMA Y COMPETENCIA5° Sentido numérico y pensamiento algebraico

Competencia Resolver problemas de manera autónomaTema: Estimación, cálculo mental Y Significado y uso de los númerosSubtema: Números naturales

6° Sentido numérico y pensamiento algebraicoCompetencia Resolver problemas de manera autónoma.Tema: Estimación, cálculo mentalSubtema: Números naturales

Conocimientos y habilidades1.4. Elaborar recursos de cálculo mental para resolver operaciones y estimar o controlar resultados.3.1. Establecer relaciones entre las reglas de funcionamiento del sistema de numeración oral y las de otros sistemas no decimales.

1.4. Realizar las operaciones con números naturales con diferentes recursos: mental, con algoritmo o con calculadora.

APRENDIZAJES ESPERADOS 5ºResuelva problemas de conteo usando procedimientos informalesReconozcan relaciones entre las reglas de funcionamiento del sistema de numeración decimal oral y de otros sistemas.

APRENDIZAJES ESPERADOS 6°Utiliza el cálculo mental, los algoritmos y la calculadora para realizar operaciones con números naturales.

ACTIVIDADES INICIALES 111


5º= 20,21,81,82,83,84 6º= 18,19,20,21

Se sugiere que proponga a sus alumnos cotidianamente ejercicios de cálculo mental. Es importante mencionar que en el cálculo mental se espera que los alumnos encuentren el resultado exacto, a diferencia de la estimación en la que el resultado es aproximado. También es importante aclarar a los alumnos que el cálculo mental no se refiere a realizar mentalmente el algoritmo convencional, sino que se debe hacer uso de otras estrategias. Por ejemplo, para sumar 319 + 181, se puede proceder de las siguiente manera: 100 + 300 = 400; 81 + 19 son 100; 400 y 100 dan 500. Cuando los alumnos estén resolviendo los problemas observará si algunos están empleando el cálculo mental, de no ser así, podrá invitarlos a que lo hagan pues la consigna dice que lo deben hacer con al menos tres de los problemas. Recuérdeles que el cálculo no implica hacer mentalmente la operación siguiendo el mismo algoritmo escrito, sino que se trata de hallar otros procedimientos. Por ejemplo, para obtener la mitad de 48 630 000 no se hace la división de este número entre 2, sino que obtenemos la mitad de 48 que son 24 y de 630 que son 315, así el resultado es 24 315 000. Dado que el cálculo mental es limitado, el alumno podrá usar algoritmos con lápiz y papel en aquellos problemas en que lo considere necesario. En esta actividad, la calculadora es útil para verificar los resultados. Se sugiere hacer una confrontación grupal de resultados y procedimientos en donde hagan énfasis en la identificación de aquellos problemas que pudieran resolverse con cálculo mental. Es importante que se percate de que los equipos de trabajo usen las estrategias propuestas. Al finalizar, se sugiere que oriente la reflexión sobre qué estrategia fue la más adecuada para la solución de cada problema. Se espera que los alumnos valoren que en algunos casos el cálculo mental es más adecuado que el escrito, incluso que es más apropiado que el uso de la calculadora.

RESUELVAN LOS SIGUIENTES PROBLEMASLaura y sus papás fueron a visitar a sus familiares que viven en Estados Unidos. Durante su gastaron $ 1,257 dólares. De regreso, Laura quiso saber cuánto dinero habían gastado en el viaje. Observa el cartel de la Casa de Cambio en donde compraron los dólares y encuentra la cantidad de dinero que gastaron en pesos mexicanos.

DOLARES

COMPRA12.10

VENTA12.85

A) $ 15,209.97B) $ 97.82C) $ 155.48D) $ 16,152.45Para trabajar con calculo mental sin papel ni lápiz

Dime cuál es el resultado de multiplicar 0,25 por 101. Se reparten 6 cerezas entre 3 niños. ¿Cuántas cerezas le corresponden a cada niño? a) 9 cerezas. b) 2 cerezas. c) 1 cereza.

2. Una caja tiene 5 lápices. ¿Cuántos lápices habrá en 6 cajas?

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a) 11 lápices. b) 1 lápiz. c) 30 lápices.

3. Juan reparte 99 canicas entre sus 11 amigos. ¿Cuántas canicas tiene que dar a cada uno? a) 88 canicas. b) 9 canicas. c) 19 canicas

En una caja hay 9 rotuladores de colores. ¿Cuántos rotuladores habrá en 10 cajas? a) 19 rotuladores. b) 1 rotulador. c) 90 rotuladores.

En mi pueblo había 6 conejos metidos en 2 jaulas. Si en la última jaula metemos 5 conejos más. ¿Cuántos conejos habrá en

esta jaula? a) 11 conejos. b) 8 conejos. c) 17 conejos.

Un grupo de 6 compañeros compramos 5 papeletas de una rifa cada uno y perdimos 2 papeletas. ¿Cuántas papeletas

tenemos ahora? a) 14 papeletas. b) 28 papeletas. c) 32 papeletas.

7. Guadalupe tiene 18 caramelos y los reparte entre sus 3 compañeras. Si una de ellas tenía antes 6 caramelos. Cuántos

tendrá ahora esta última? a) 12 caramelos. b) 17 caramelos. c) 21 caramelos.

8. Un domingo compré 11 bolsas de pipas a 11 céntimos de euro cada una y un tebeo de 7 céntimos. ¿Cuánto dinero me

gasté? a) 29 céntimos. b) 128 céntimos. c) 121 céntimos

113

Una niña tiene 10 sacos de canicas con 8 en cada saco. Si en otro saco aparte tiene 8 canicas, ¿cuántas tiene tiene en

total? a) 26 canicas. b) 88 canicas. c) 10 canicas.

10. Metemos 77 caramelos en 11 bolsas. Si de la última bolsa me como 7. ¿Cuántos caramelos quedan en esta bolsa? a) 0 caramelos. b) 95 caramelos. c) 18 caramelos.

11. Ana Victoria tiene 6 caramelos y su hermana Montse 8 veces más. ¿Cuántos caramelos tiene Montse? a) 14 caramelos. b) 2 caramelos. c) 48 caramelos.

12. En un cumpleaños nos sacaron 54 galletas para un grupo de 9 amigos. Si todos comimos igual, ¿cuánto nos tocó a cada

uno? a) 63 galletas. b) 6 galletas. c) 54 galletas.

El estudio de la numeración oral se inició en cuarto grado, en este grado se tratará de analizar sus reglas, así como las de otros sistemas de numeración, como el sistema romano. Una profundización en el conocimiento del sistema de numeración oral puede realizarse analizando la descomposición aritmética que corresponde a los distintos nombres de los números. Por ejemplo, el nombre “mil ciento tres” corresponde al cálculo 1000 + 100 + 3, mientras que “seis mil” corresponde al cálculo 6 x 1 000. Puede observarse que en un caso se trata de una descomposición aditiva y en el otro, multiplicativa. Se puede plantear la siguiente actividad: armar todos los números posibles con cifras, a partir de las palabras: tres, cien (o cientos), seis, mil, con la condición de utilizar cada una de las palabras solamente una vez, y utilizar las cuatro en cada número. Por ejemplo, se puede escribir: tres mil seiscientos (3 600) o seis cientos tres mil (603 000). La ubicación de los ceros es una dificultad para los alumnos, incluso para algunos alumnos mayores. Con frecuencia recurren a una traducción literal del nombre del número, por ejemplo para tres mil seis cientos escriben 3000600 (ya que escriben lo que escuchan: tres mil (3000) seiscientos (600). La lectura

ACTIVIDADES ENCICLOMEDIAMatemáticas 5° Ejercicios complementarios: Lección 42-01 Matemáticas 5° Ejercicios complementarios: Lección 42-02 Matemáticas 5° Ejercicios complementarios: Lección 42-03-05 Matemáticas 5° Hoja de cálculo: Lección 42-01

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Matemáticas Interactivo: El ahorcado Matemáticas Interactivo: Escribe el número Matemáticas Interactivo: Números consecutivos Matemáticas Interactivo: Números decimales

GLOSARIOCentena , Centésimo , Decena , Décimo , División , Milésimo , Sucesión , Unidad

PUESTA EN COMUN A NIVEL GRUPAL, EVALUACIÓN Y CIERRE DE LA ACTIVIDAD

Observaciones posteriores4. ¿Cuáles fueron los aspectos con mayor éxito de la sesión? 2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para

mejorar la sesión? 3. Por favor, califique la sesión con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted

.

JOSE MARIA MORELOS Y PAVON CLAVE 21DPR3592F PLAN DE TRABAJO DE MATEMATICAS 5° 6°ASIGNATURA: MATEMATICASTEMA EN COMUN: FIGURAS PLANAS

PAGINAS DEL LIBRO

EJE Y COMPETENCIA5° Forma, espacio y medida

TEMA. FigurasSUBTEMA: Figuras planas

6° Forma, espacio y medida. TEMA. FigurasSUBTEMA: Figuras planas

CONOCIMIENTOS Y HABILIDADES

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5º= 22,23,24,25,96,97 6º= 23,24

1.5. Trazar triángulos y cuadriláteros mediante recursos diversos.

1.6. Trazar triángulos con regla y compás3.6. Localizar y trazar las alturas de un triángulo cualquiera.

1.5. Clasificar cuadriláteros.

APRENDIZAJES ESPERADOS 5°Trazar triángulos y cuadriláteros utilizando regla y compásIdentifiquen y tracen las alturas de triángulos.

APRENDIZAJES ESPERADOS 6°Conoce las características de los cuadriláteros.

ACTIVIDADES INICIALES En esta actividad se pueden trabajar los siguientes conceptos observen los videos de trazo de un triangulo y cuadriláteros• Ángulos rectos• Rectas perpendiculares• Trazo de rectas perpendiculares con regla y compás• Clasificación de triángulos• Triángulos rectángulos• Área del cuadrado

Material:• Hojas de papel• Lápiz• Regla graduada• Compás• Tijeras

¡Vamos a ponerle nombre a los triángulos!

Existen muchos tipos de triángulos y todos ellos se pueden clasificar de dos formas distintas:Por el tamaño de sus ladosPor la medida de sus ángulos

Por el tamaño de sus lados:Triángulo equilátero: tiene sus tres lados iguales, o sea, sus tres lados miden los mismo.Triángulo isósceles: tiene dos lados iguales, o sea, tiene dos lados que miden lo mismo.Triángulo escaleno: tiene sus tres lados distintos, o sea, sus tres lados tienen medidas distintas.

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Por la medida de sus ángulos:

Triángulo rectángulo: tiene un ángulo de 90º, o sea uno de sus ángulos interiores es un ángulo recto.Triángulo acutángulo: tiene los tres ángulos agudos, o sea, sus tres ángulos interiores son menores de 90°.Triángulo obtusángulo: tiene un ángulo obtuso, o sea, uno de sus ángulos interiores es mayor que 90°.

Los triángulos que nos interesan en esta actividad son justamente los Triángulos rectángulos

¿Cómo es un triángulo rectángulo escaleno?¿Cómo es un triángulo rectángulo isósceles?¿Podrá existir un triángulo rectángulo equilátero? ¿por qué?

Actividad 1

Entre todos estos triángulos encuentra los que son rectángulos:

Entre todos estos triángulos encuentra los que son rectángulos:

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¿Qué tal si aprendemos a trazar triángulos rectángulos sin usar el transportador?

¡SALE!

Un ángulo de 90º se forma por dos rectas PERPENDICULARES, así que en todo triángulo rectángulo forzosamente dos de sus lados tendrán que ser PERPENDICULARES.

Para trazar dos rectas perpendiculares:

Con la regla dibuja una línea recta

Coloca la punta del compás en uno de los extremos de la recta y ábrelo hasta llegar al otro extremo de la recta.

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· Con el compás así colocado, traza un pedazo de circunferencia por encima de la recta y otro por debajo.

Ahora coloca la punta del compás en el otro extremo de la recta y con la misma abertura haz los mismos trazos que en el paso anterior.

Marca con un punto el lugar donde se cortan los dos pedazos de circunferencia de arriba y con otro el lugar donde se cortan los dos pedazos de circunferencia de abajo.

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Une los dos puntos que acabas de dibujar con una recta.

Las dos rectas que quedaron son PERPENDICULARES, es decir, forman un ángulo de 90º!Con este procedimiento la recta perpendicular pasa justo por la mitad de la recta que teníamos al principio.¿Qué tendríamos que hacer si quisiéramos que la recta perpendicular cayera sobre uno de los extremos de la recta original? ¡Claro!, tendríamos que prolongar la recta así, con otra recta de la misma longitud.

Para que al trazar la perpendicular, cayera en uno de los extremos.

Ahora sí, ya sabemos trazar triángulos rectángulos, basta con trazar dos rectas perpendiculares y después trazar el tercer lado.

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Actividad 2Sobre cada una de estas rectas, traza un triángulo rectángulo. la recta deberá ser uno de los lados.

Que de las siguientes figuras explique cuales son cuadriláteros y por que

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Previamente entregue la siguiente hoja semejante al del material recortable de los alumnos, de tamaño suficiente para que todo el grupo lo trabaje. Es importante aclarar que cuando los alumnos hayan registrado las figuras, este pliego se ocupará en la sesión siguiente. Cuando los alumnos hayan terminado de trabajar en su hoja, pasarán al frente del grupo para registrar en el pliego de papel los cuadriláteros que encontraron. Cuando estén completos, pida a algunos alumnos que digan lo que saben de cada figura, incluyendo el nombre, por ejemplo:• Es un cuadrado.• Sus cuatro lados son iguales.• Tiene dos pares de lados paralelos.• Tiene lados perpendiculares.• Es simétrico.• Tiene cuatro ejes de simetría.• Sus ángulos son iguales.• Sus ángulos miden 90°.De algunas figuras no podrán enumerar muchas características, incluso tal vez no sepan su nombre. Si el maestro lo considera conveniente puede decirles los nombres de las figuras y alguna característica que los alumnos no identifiqueConsideraciones previasPreviamente numere los cuadriláteros de la sesión anterior y pegue el pliego de papel al frente, por ejemplo:Para la consigna 1: las colecciones que puede proponer son:a) 1, 2 y 13 (lo que tienen en común es que son cuadrados).b) 1, 2, 4, 5, 12 y 13 (tienen dos pares de lados opuestos paralelos).c) 3, 7 y 8 (tienen sólo un par de lados paralelos).d) 1, 2, 3, 4, 9, 11, 13 y 16 (tienen al menos un eje de simetría).e) 6, 11, 15 y 16 (tienen un ángulo mayor de 180°).f) 9, 10 y 14 (no tienen lados paralelos).Con instrumentos de geometría (regla, escuadra, compás y transportador) sobre papel blanco. TRAZAR triángulos mediante un juego de comunicación –lo cual favorece el uso de vocabulario preciso- o de autocomunicación, en los cuales se incluya cualquier tipo de triángulos y cuadriláteros, conocidos o no por los niños. Es importante que la figura esté bien determinada y se verifique el resultado de la construcción por superposición con un modelo. La idea es plantearlo como problema de construcción (datos, relaciones entre ellos, incógnita), cada equipo escribirá características de la figura e ingresara sus instrucciones en un cajita de la cual cada equipo pasara a tomar uno y dibujar la figura cuyas características aparecen en las instrucciones. En vinculación con “Sentido numérico y pensamiento algebraico”, se sugiere expresar los datos en números decimales, por ejemplo: 3.5 cm.

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CUADRILATEROS

La forma más habitual de clasificar cuadriláteros es por el paralelismo de sus lados. Según este criterio los cuadriláteros pueden ser1.- PARALELOGRAMOUn paralelogramo es un cuadrilátero que tiene los lados paralelos dos a dos.

Propiedades: Los lados opuestos son iguales. Los ángulos opuestos son iguales y los consecutivos suplementarios.Las diagonales se cortan en el punto medioUn paralelogramo puede ser:

a.- Rectángulo. Tiene los ángulos rectos. b.- Rombo. Tiene los lados iguales.

Las diagonales del rectángulo son iguales Las diagonales del rombo son perpendiculares.

Cuadrado es el paralelogramo que es rectángulo y rombo a la vez.

Un cuadrado tiene los lados iguales y además sus ángulos son rectos. El cuadrado tiene las diagonales iguales (por ser rectángulo) y perpendiculares (por ser rombo)

Suele llamarse romboide al paralelogramo que no es ni rectángulo ni rombo, esto es, un paralelogramo sin ninguna propiedad más.

En algunos libros con la palabra romboide se refieren a cuadriláteros que tienen dos pares de lados consecutivos iguales. Estos cuadriláteros también son conocidos como cometas y deltoides.

2.- TRAPECIO El trapecio es un cuadrilátero que tiene dos lados paralelos, y los otros dos no son paralelos.

Los lados paralelos se denominan Base mayor y base menor. La distancia entre los lados paralelos se llama altura. a.-Trapecio Isósceles, si los lados no paralelos son iguales. Los ángulos que se forman sobre cada uno de los lados paralelos son iguales. 3.- TRAPEZOIDE. Se denomina trapezoide a un cuadrilátero que no tiene lados paralelos. Por tanto es un cuadrilátero sin más propiedades adicionales. Existe un tipo de trapezoide especialmente interesante.Se llama cometa al cuadrilátero con dos pares de lados consecutivos iguales. Las diagonales son perpendiculares. Un par de ángulos opuestos son iguales. Mueve los vértices y puedes conseguir que el ángulo D sea mayor de 180º, en este caso suele llamarse deltoide al cuadrilátero que se forma b.-Trapecio rectángulo si tiene dos ángulos rectos.

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ACTIVIDADES ENCICLOMEDIAMatemáticas GeoLab: Ejes de simetría de polígonos Matemáticas Interactivo: Simetría

GLOSARIO

Cuadrado , Cuadrilátero ,Decágono ,Dodecágono ,Eje de simetría ,Eneágono ,Heptágono ,Octágono ,Paralelo ,Paralelogramo Pentágono ,Polígono ,Polígono irregular ,Polígono regular ,Rectángulo ,Rombo, Romboide, Trapecio ,Trapezoide, Triángulo

VIDEO

Matemáticas Video: Orígenes de la Geometría



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JOSE MARIA MORELOS Y PAVON CLAVE 21DPR3592F PLAN DE TRABAJO DE MATEMATICAS 5° 6°

ASIGNATURA: MATEMATICASTEMA EN COMUN: CALCULO DE AREAS Y PERIMETROSPAGINAS DEL LIBRO


TEMA. FigurasSUBTEMA: Figuras planas

6° Forma, espacio y medidaTEMA. FigurasSUBTEMA: Figuras planas

CONOCIMIENTOS Y HABILIDADES1.7. Componer y descomponer figuras. Analizar el área y

el perímetro de una figura.3.7. Construir una fórmula para calcular el área del paralelogramo.3.8. Deducir la fórmula para calcular el área del triángulo y trapecio. Calcular perímetros o áreas de figuras que resultan de la combinación (por yuxtaposición o sustracción) de otras.

1.6. Trazar polígonos regulares inscritos en una circunferencia, mediante el ángulo central.4.5. Trazar e identificar circunferencias y sus elementos: radio,diámetro y centro. Distinguir puntos interiores a la circunferencia:definir círculo.4.6. Calcular, mediante diversos procedimientos, la longitud de una circunferencia

APRENDIZAJES ESPERADOS 5°Analiza la relación entre perímetro y área e identifica las medidas para expresar cada uno

APRENDIZAJES ESPERADOS 6°Traza circunferencias y algunos de sus elementos (radio, diámetro, centro) y resuelve problemas que implican calcular su longitud.

ACTIVIDADES INICIALESIntenciones didácticasQue los alumnos construyan polígonos regulares en círculos de papel con dobleces.Consideraciones previasSe trata de que los alumnos vinculen la idea de dividir un círculo en partes iguales para trazar polígonos regulares inscritos en él. Enesta sesión lo harán doblando el círculo en las partes que sean necesarias, si a alguno de los alumnos se le ocurre usar el transportador para trazar los ángulos centrales esto es correcto. Analice este procedimiento con los alumnos en la confrontación, pues será el antecedente para la siguiente sesión.

ENTREGAR A LOS ALUMNOS LA SIGUIENTE INFORMACIÒN Y OBSERVAR EL VIDEO DE CALCULO DE AREAS Y PERIMETROS DE PARALELOGRAMOS, CIRCULOS ETC. ANTES DE INICIAR LA ACTIVIDAD INVESTIGAR QUE ES UN PARALELOGRAMO ASI COMO LAS PARTES DEL CIRCULO.

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5º=26,27,,98,99,100,101,102 6º= 24,25,26,27,28,29,30

Área del trapecio

El área del trapecio es igual a la suma de las bases por la altura , y dividido por

dos .

Calcular el área del siguiente trapecio :

Área y perímetro de los polígonos Definic ión de perímetro

El perímetro de un polígono es igual a la suma de las longitudes de sus lados .

Def in ic ión de área

El área de un polígono es la medida de la región o superficie encerrada por un polígono .

Perímetro del triangulo

Triángulo Equilátero Triángulo Isósceles Triángulo Escaleno

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Área del tr iángulo

Ha l la r e l área y e l per ímetro d e l s i g u i e n t e t r iángu lo :

Cuadrado

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Ca lcu lar e l área y e l per ímetro d e u n cuadrado d e 5 c m d e l a d o .

Rectángulo

Ca lcu lar e l área y e l per ímetro d e u n rectángu lo d e 1 0 c m d e b a s e y 6 c m d e a l t u r a .

Rombo

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E jemplo

Ca lcu lar e l área y e l per ímetro d e u n rombo c u y a s d iagona les m i d e n 3 0 y 1 6 c m , y s u l ado m i d e 1 7 c m .

Área del romboide

P = 2 · (a + b) A = b · h

Ca lcu lar e l área y e l per ímetro d e u n romboide d e 4 y 4 . 5 c m d e l ados y 4 c m d e a l tura .

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Área del trapecio

Ca lcu lar e l área y e l per ímetro d e l s i g u i e n t e t rapec io :

Área de un pol ígono regular

n e s e l n ú m e r o d e l a d o s

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M I D E Y C A L C U L A E L A R E A Y P E R I M E T R O D E L A S S I G U I E N T E S F I G U R A S

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CON TU REGLA MIDE Y CALCULA EL AREA Y PERIMETRO DE LA SIGUIENTE FIGURA

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Un círculo, en geometría, es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia a otro punto fijo, llamado centro, es menor o igual que la longitud del radio. Es el conjunto de los puntos de un plano que se encuentran contenidos en una circunferencia.

En castellano, la palabra círculo tiene varias acepciones, la primera:[1] una superficie geométrica plana contenida dentro de una circunferencia con área definida; mientras que se denomina circunferencia[2] a la curva geométrica plana, cerrada, cuyos puntos son equidistantes del centro, y sólo posee longitud. "Aunque ambos conceptos están relacionados, no debe confundirse la circunferencia (línea curva) con el círculo (superficie)."[3]

A= Π·R2

La palabra círculo proviene del latín circulus, que es el diminutivo de circus y significa "redondez".[4] Según otros autores, "cerco".

Usos del término círculo

En lenguaje coloquial, a veces, se utiliza la palabra círculo como sinónimo de circunferencia.[5]

En castellano, en la gran mayoría de los textos de matemática círculo significa superficie plana limitada por una circunferencia.

En cartografía se utiliza el término círculo como sinónimo de circunferencia, en expresiones tales como círculo polar ártico.

Se suele utilizar el término geométrico disco, asociado al concepto círculo, en textos de topología, una rama de las matemáticas. En algunos textos de topología que, normalmente, son traducciones del inglés, se utiliza círculo como sinónimo de circunferencia.

En inglés, la palabra circle[6] expresa el concepto de circunferencia (curva cerrada plana equidistante del centro), mientras que circumference[7] significa perímetro del círculo (la longitud de la circunferencia). Sin embargo, disk[8] se asocia al concepto de círculo

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(superficie plana limitada por una circunferencia).

Elementos del círculo

El círculo, la circunferencia, y sus elementos principales: el centro, el radio, el diámetro, el arco, etc.

El círculo comparte con la circunferencia que lo delimita los siguientes elementos:

Puntos

Centro del círculo, que se corresponde con el centro de la circunferencia, del cual equidistan todos los puntos de esta.

Segmentos

Radio: es el segmento que une el centro con un punto de la circunferencia perimetral.

Diámetro: es el mayor segmento inscrito; pasa por el centro y divide al círculo dos semicírculos; es la mayor de las cuerdas.

Cuerda: es el segmento que une los extremos de un arco.

Rectas características

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Recta secante: es la recta que «corta» al círculo en dos partes.

Recta tangente: es la recta que «toca» al círculo en un solo punto; es perpendicular al radio cuyo extremo es el punto de tangencia.

Recta exterior: es aquella recta que no «toca» ningún punto del círculo.

Curvas

Un círculo contiene infinitas circunferencias, siendo la más característica aquella que lo delimita, la circunferencia de radio máximo. Comparte con dicha circunferencia el arco, el segmento curvilíneo de puntos pertenecientes a la circunferencia de radio máximo.

Superficies

El círculo también puede compartir con la circunferencia exterior los siguientes elementos:

Sector circular: es la superficie delimitada por un arco y los dos radios que contienen sus extremos.

Segmento circular: es la superficie limitada por un arco y su cuerda.

Semicírculo: es la superficie delimitada por un diámetro y media circunferencia exterior.

Corona circular: es la superficie delimitada entre dos circunferencias concéntricas.

Trapecio circular: es la superficie limitada por dos circunferencias y dos radios.

Ángulos

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Ángulos en el círculo.

Arco capaz: los cuatro ángulos inscritos determinan el mismo arco y por tanto son iguales.

Existen diversos tipos de ángulos singulares en un círculo. Cuando un ángulo tiene su vértice en el centro del círculo, recibe el nombre de ángulo central, mientras que cuando los extremos y el vértice están sobre el círculo el ángulo se denomina inscrito. Un ángulo formado por una cuerda y una recta tangente se denomina semi-inscrito.

En un círculo de radio unidad, la amplitud de un ángulo central coincide con la longitud del arco que subtiende, medido en radianes. Así, un ángulo central recto mide π/2 radianes, y la longitud del arco es π/2 si el radio es la unidad; si el radio mide r, el arco medirá r x π/2.

La longitud de un arco de ángulo central α, dado en grados sexagesimales, medirá 2π x r x α / 360.

Un ángulo inscrito mide la mitad del arco que subtiende, sin importar la posición del vértice. Un ángulo semi-inscrito mide la mitad

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del arco que se encuentra entre la cuerda y la tangente (véase arco capaz).

Un arco: una línea curva que es un parte de la circunferencia de un círculo.Una cuerda: un segmento de línea que está en contacto con dos puntos del círculo.La circunferencia: la distancia alrededor de un círculo.El diámetro: la distancia más larga desde un cabo de un círculo hacía el otro.El origin: el centro del círculo.Pi ( ): Un número, 3.141592..., igual a (la circunferencia) / (el diámetro) de un círculo.El radio: la distancia desde el centro de un círculo hacía cualquier punto en él.Un sector: es como una rebanada de pastel (una cuña de círculo).La tangente de un círculo: una línea, perpendicular al radio, que toca en solamente un punto al círculo. diámetro = 2 x radio del círculo

La Circunferencia del Círculo = PI x diámetro = 2 PI x radio cuando PI = = 3.141592...

El Área del Círculo:

el área = PI r2

El Largo de un Arco Circular: (con ángulo central )

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Elementos de la circunferencia y del círculo

Circunferencia es el conjunto de todos los puntos del plano que equidistan de un mismo punto llamado centro de la circunferencia. El punto

centro no pertenece a la circunferencia. La circunferencia se nombra con la letra del centro y un radio.

Círculo es la figura plana formada por una circunferencia más toda su región o área interior

Ejemplos prácticos de una circunferencia: Aro, anillo, hula-hula, borde de vaso, la orilla de un plato, etc.

Perímetro de la circunferencia: 2 · r · d

Elementos de la circunferencia

Rectas en la circunferencia

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Radio: Es un segmento que une el centro de la circunferencia con cualquier punto de ella.

El radio se nombra con la letra “r” o bien con sus puntos extremos.

La medida del radio es constante.

Cuerda: es el segmento que une dos puntos de la circunferencia. Las cuerdas tienen distintas medidas.

Diámetro: Es la cuerda que pasa por el centro de la circunferencia.

El diámetro es la cuerda de mayor medida.

El diámetro se nombra con la letra “d”.

El diámetro siempre es el doble del radio: d = 2r r = d/2 .

Círculo y circunferenciaSe usa la palabra círculo para denotar la figura completa (el borde y el interior) mientras que se reserva la palabra circunferencia para designar únicamente a la curva.PARTES DE UN CIRCULOCentro – punto desde el cual equidistan todos los demás puntos del círculo.Radio – segmento que une el centro con un punto del círculo.Diámetro – cualquier segmento que pasa por el centro del círculo y une dos puntos del círculo.

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Actividad 1: Descubriendo relaciones entre diámetro y radioIdentifica las partes y características particulares del círculo.Aprendizaje esperado:

1) Descubrir la relación que existe entre el diámetro y el radio de un circuloMateriales:- hoja de papel con círculos de diferentes tamaños, que el alumno elabore- tijeras- regla Desarrollo de la actividad:1) Recorta cada circulo de la hoja2) Identifícalos como circulo 1, 2, etc3) Toma el círculo #1 y dóblalo por la mitad.4) El doblez es el diámetro.5) Vuelve a doblar el círculo por la mitad. Marca el punto donde se intersecan los dos diámetros. Ese punto es el centro del círculo.6) La línea del doblez que va desde el centro del círculo hasta la orilla del círculo es un radio.7) Usa una regla para medir el radio y el diámetro del círculo # 1. Anota los resultados en la siguiente tabla:Circulo radio diámetro1234

8) Repite los pasos anteriores con cada uno de los círculos.9) Compara la longitud de los radios y diámetros de los círculos. Describe cual es la relación entre el radio y el diámetro de un circulo.10) Escribe una oración numérica que describa la relación entre la longitud del radio (r) y el diámetro (d) de un circuloEn resumen…El diámetro es dos veces el radiod = 2rEl radio es la mitad del diámetror = . dActividad 2: La circunferencia en término del diámetro Nivel: Cuarto a SextoInterpreta los conceptos perímetro, área, longitud, volumen, peso , circunferencia y medida de un ángulo para seleccionar la unidad de medida mas apropiada.Aprendizaje esperado

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Descubrir la relación que existe entre la circunferencia y el diámetro.Materiales:1) latas2) tiras de cartulinas de 1 pulg. de ancho (que investigue cuento mide una pulgada)3) regla4) tijera5) hoja de trabajo6) calculadoraDesarrollo de la actividad:1) Recorta dos tiras de cartulina de 1 pulgada de ancho.2) Usa una de las tiras para medir el diámetro de la lata. Corta la tira de manera que sea exactamente de la longitud del diámetro.3) Usa la otra tira para medir la circunferencia de la lata. Corta esta tira de manera que rodee la lata una sola vez.4) Usa la “tira del diámetro” para medir la “tira de la circunferencia”. En términos de la tira del diámetro, .que longitud tiene la tira de la circunferencia?LATA TIRA DE

DIAMETROTIRA DECIRCUNFERENCIA

1 12 13 14 15 1

Después de realizar este ejercicio entregar la siguiente hoja

En resumen…La relacion entre la circunferencia y el diámetro siempre será 3.14 (π) C = 3.14 d

2. Completa la siguiente tabla:

radio perímetro área

1 cm

2 cm

16

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4 cm

9

6 cm

10 cm

24

3. Si el radio en una circunferencia se aumenta, cómo aumenta el perímetro correspondiente? ¿Es posible afirmar que la relación entre el radio y el perímetro correspondiente es proporcional? ¿Por qué? ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

5. Si el radio en una circunferencia se aumenta, cómo aumenta el área correspondiente? ¿Cómo se puede caracterizar el aumento del área del círculo? ¿Es posible afirmar que la relación entre el radio y el área correspondiente es proporcional? ¿Por qué?

______________________________________________________________________________________________________

5. La tierra está a una distancia del sol de 155 millones de km. aproximadamente. La trayectoria de la Tierra alrededor del Sol es casi circular.

¿Qué distancia recorremos "en órbita" alrededor del Sol cada año? ______________________________________________ Para realizar los cálculos ¿Qué valor es conveniente usar para p ? ¿Por qué? _____________________________________

¿Cuál sería una buena aproximación de la velocidad de la Tierra en su órbita? _____________________________________

PERÍMETRO Y ÁREA DE UNA CIRCUNFERENCIA

1. Se están confeccionando manteles y centros de mesa en forma de círculo. Cada uno lleva cinta en el borde.

Se desea saber en la forma más precisa posible ¿Cuántos metros de cinta y género se requieren para cada uno?

Los diámetros son: centro de mesa 40 cm y mantel 1,20 m.

2. Traza modelos de vasos de forma circular que tengan de diámetro 10 cm, y 11 cm Busca formas de calcular la circunferencia de cada uno..

Presentar algunos procedimientos usados en esta medición y comparar las medidas. Comenten la dificultad para obtenerla, las 147

diferencias entre las medidas presentadas y reflexionen sobre las posibles causas. Ubicar el valor de la medida entre ciertos rangos

4. Investiga sobre el significado de los números referidos a las medidas de los cuellos de las camisas de hombres, los anillos para los dedos, las llantas y neumáticos. Conversan sobre su relación con lo que saben de la circunferencia.

Polígonos regulares inscritos en una circunferencia:

Comenzaremos trazando dos diámetros perpendiculares entre sí, que nos determinarán, sobre la circunferencia dada, los puntos A-B y 1-4 respectivamente.

A continuación, con centro en 1 y 4 trazaremos dos arcos, de radio igual al de la circunferencia dada, que nos determinarán, sobre ella, los puntos 2, 6, 3 y 5. Por último con centro en B trazaremos un arco del mismo radio, que nos determinará el punto C sobre la circunferencia dada. Uniendo los puntos 2, 4 y 6, obtendremos el triángulo inscrito. Uniendo los punto 1, 2, 3, 4, 5 y 6, obtendremos el hexágono inscrito. Y uniendo los puntos 3 y C, obtendremos el lado del dodecágono inscrito; para su total construcción solo tendríamos que llevar este lado, 12 veces sobre la circunferencia. De los tres polígonos, solo el dodecágono admite la construcción de estrellados, concretamente del estrellado de 5. El hexágono admite la construcción de un falso estrellado, formado por dos triángulos girados entre sí 60º.

NOTA: Todas las construcciones de este ejercicio se realizan con una misma abertura del compás, igual al radio de la circunferencia dada.

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Comenzaremos trazando dos diámetros perpendiculares entre sí, que nos determinarán, sobre la circunferencia dada, los puntos 1-5 y 3-7 respectivamente. A continuación, trazaremos las bisectrices de los cuatro ángulos de 90º, formados por la diagonales trazadas, dichas bisectrices nos determinarán sobre la circunferencia los puntos 2, 4, 6 y 8.Uniendo los puntos 1, 3, 5 y 7, obtendremos el cuadrado inscrito. Y uniendo los puntos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 8, obtendremos el octógono inscrito. El cuadrado no admite estrellados. El octógono sí, concretamente el estrellado de 3. El octógono también admite la construcción de un falso estrellado, compuesto por dos cuadrados girados entre sí 45º.NOTA: De esta construcción podemos deducir, la forma de construir un polígono de doble número de lados que uno dado. Solo tendremos que trazar las bisectrices de los ángulos centrales del polígono dado, y estas nos determinarán, sobre la circunferencia circunscrita, los vértices necesarios para la construcción.

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MÉTODO para trazar

Hagámoslo primeramente sin preocuparnos el tamaño de los lados del polígono a trazar cuidando que sus lados sean iguales.1) Tracemos primeramente una circunferencia.2) Identifiquemos el centro de ésta y un punto de la circunferencia. 3) Tracemos un radio a este punto d e la circunferencia, el cual nos servirá como referencia para apoyar un transportador.4) Partiendo de esta línea, tracemos un radio a un ángulo igual a: θ= 360º / 120º 35) Encontraremos un segundo punto sobre la circunferencia.6) Repetimos la acción del punto cuatro pero partiendo de esta7) Encontraremos así el tercer punto.8) Estos tres puntos son los tres vértices del triangulo buscado nuestro polígono regular de tres lados llamado triangulo equilatero

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Describe con la siguiente figura el procedimiento que empleaste en la construcción de la figura

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Intenciones didácticasQue los alumnos obtengan la medida de una circunferencia de una manera directa, utilizando una cuerda; que calculen de maneraexperimental el valor aproximado de pi () y que reconozcan al producto de por la longitud del diámetro como un procedimiento más para calcular la longitud de la circunferencia.Consideraciones previasPara realizar la actividad de la consigna es necesario que cada equipo cuente con 5 objetos circulares que tengan un diámetro mayor que 15 cm; pueden pedirse con anticipación a los alumnos o buscarlos en la escuela.Completando la tabla se pretende que los alumnos obtengan de manera directa la medida de la circunferencia, con la ayuda de unhilo o una cuerda; pero además, habrán de calcular el valor de pi para que lo reconozcan como una constante que resulta del cociente de la circunferencia entre el diámetro. Con la última pregunta se pretende que conozcan una manera diferente para calcular la circunferencia (multiplicando la medida del diámetro por el valor de pi), ya que en cualquier círculo, la circunferencia es un poco más de tres veces la medida del diámetro. Se sugiere utilizar dos cifras decimales para pi,es decir, 3.14. Intenciones didácticasQue los alumnos resuelvan problemas que impliquen encontrar el valor de alguna de las variables de la relación Circunferencia = ×diámetro.

Consideraciones previasEn la sesión anterior ya advirtieron que multiplicando el valor aproximado de por la longitud del diámetro, se puede obtener la medida de la circunferencia; ahora se trata de utilizar esta relación para obtener el valor del diámetro o la longitud de la circunferencia.Para el primer caso, se trata de calcular el valor de la circunferencia, utilizando el producto de por la medida del diámetro. Se sugiere usar dos cifras decimales para el valor de , es decir, 3.14En el segundo caso, a diferencia del primero, se pide calcular el valor del diámetro, dado el valor de la circunferencia. Para obtenerel resultado se parte de la misma relación (C = × d); una vez sustituidos los valores conocidos se tiene: 70 = 3.14 × dEs probable que aún teniendo la expresión anterior, los alumnos no sepan cómo obtener el valor del diámetro; si es así, puede plantearse la siguiente situación.Dado que la circunferencia es 3.14 veces la medida del diámetro, en consecuencia, para obtener su valor, se multiplica la longituddel diámetro por 3.14; entonces, ¿qué parte representa el diámetro respecto a la circunferencia?¿Qué operación debe hacerse para obtener el valor del diámetro, dado el valor de la circunferencia? La intención es que reflexioneny deduzcan que el diámetro es aproximadamente la tercera parte de la circunferencia; por consecuencia, el diámetro puede obtenerse dividiendo la medida de la circunferencia entre 3.14.Otra sugerencia es plantear una operación sencilla como 4 × 3 = 12 y preguntar, si se desconociera cualquiera de los dos factores, ¿qué operación permitiría calcular su valor? Los alumnos deben verificar sus respuestas y después aplicar la misma relación en 70 = 3.14 × d. La idea es que deduzcan que 4 = 12 3 y que 3 = 12 4 .

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Para el tercer problema, además de calcular la longitud de la circunferencia de las llantas, hay que averiguar cuántas veces cabe esta longitud en 450 metros, distancia que separa las casas de Pancho y José.Es importante reconocer y analizar expresiones usuales en las que se utiliza la longitud del diámetro de un objeto, por ejemplo:• Para conectar el drenaje se necesita un tubo de PVC de 4 pulgadas.• Debo perforar con una broca de 3 4 de pulgada.• En mi jardín hay una manguera de 1 2 de pulgada.• El grosor del tubo del pozo es de 12 pulgadas.Tema. FigurasEje. Forma, espacio y medidaSubtema. Figuras planas

Observaciones posteriores1. ¿Cuáles fueron los aspectos con mayor éxito de la sesión?2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar la sesión?3. Por favor, califique la sesión con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted.Muy útil Útil Uso limitado Pobre Intenciones didácticasQue los alumnos usen el trazo de ángulos centrales en una circunferencia para dividirla en partes iguales y a partir de esta división,tracen polígonos regulares.Consideraciones previasPara calcular el valor del ángulo central se espera que los alumnos dividan 360° entre el número de lados del polígono por construir. El número de lados del polígono que se trazará determina el número de ángulos centrales necesarios. Si nota que a los alumnos no se les ocurre esto, puede apoyarlos invitándolos a que vean los polígonos que hicieron usando el papel doblado y recordándoles que una vuelta completa son 360°.Tema. FigurasEje. Forma, espacio y medidaSubtema. Figuras planas

Observaciones posteriores1. ¿Cuáles fueron los aspectos con mayor éxito de la sesión?2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar la sesión?

Intenciones didácticas PARA 6º

Que los alumnos conciban a la circunferencia como un conjunto de puntos que están a la misma distancia de otro punto al que se

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llama centro y que identifiquen esa distancia como el radio de la circunferencia.Consideraciones previasLas tres actividades tienen el propósito de motivar en los alumnos la construcción del concepto de circunferencia, como el conjunto de puntos que están a la misma distancia de otro punto al que se le llama centro. En el caso de la primera actividad, el centro es el compañero voluntario, mientras que en las otras dos actividades el centro es el punto rojo que marcaron en la hoja. Si la primera actividad no se puede realizar en el salón de clases, podrán hacerlo en el patio. Hay que llevar un metro o un listón que mida un metro y prestarlo a los alumnos que lo requieran; pronto, los estudiantes notarán que están formando una circunferencia, aunque es muy probable que le llamen círculo. Aclarar que forman una circunferencia y que el espacio que está dentro es el círculo.La segunda actividad requiere que los alumnos tengan una regla o escuadra graduada. A partir de esta actividad, algunos alumnos se darán cuenta de que lo solicitado es una circunferencia de 5 cm de radio con el centro en el punto rojo, por lo que, quizá, usen el compás. Cuando se indique el ALTO, se deberá pedir a los alumnos que digan cuántos puntos encontraron. Aquellos alumnos que usaron el compás podrán responder “muchos”, “muchísimos”, “no los puedo contar” e, incluso, “un número infinito”. La tercera actividad tiene el propósito de que los alumnos usen la cuerda como compás. Se recomienda que sea de hilo grueso y que no se estire; pueden utilizar el hilo cáñamo o algún estambre parecido. Es probable que algunos alumnos aún marquen de punto en punto; la estrategia óptima es que uno de los integrantes de la pareja sujete un extremo en el punto rojo y el otro, con el lápiz en el extremo opuesto, marque la circunferencia. La circunferencia contiene todos los puntos que es posible marcar. Al terminar las tres actividades, puede preguntar a los alumnos aspectos como los siguientes: ¿Qué se formaba en todos los casos? Si tuvieran que explicarle a alguien qué es una circunferencia, ¿cómo lo harían sin usar dibujos? Para finalizar, es conveniente que se formalice lo trabajado. Los alumnos identificarán la circunferencia, el centro y el radio en cada una de las actividades propuestas. Se les puede pedir que hagan un resumen en su cuaderno y que lo ilustren. Que los alumnos conciban al círculo como lasuperficie que queda limitada por una circunferencia.Consideraciones previasMientras los alumnos trabajan, el profesor puede recorrer los diferentes equipos y apoyarlos en caso de que note que no han entendido lo que se tiene que hacer. Se espera que las experiencias de la sesión anterior sirvan de base para resolver este problema, ya que, en esencia, es un problema similar: encontrar todos los puntos que están a 3 cm del punto rojo (circunferencia) y después colorear de azul todos los puntos que quedan dentro (círculo). En el momento de la confrontación debe centrar la atención en la distinción entre circunferencia y círculo.• La circunferencia es el conjunto de puntos que están a la misma distancia de otro que se llama centro.• El círculo es la superficie interior de una circunferencia.Para reafirmar este conocimiento puede pedir que tracen circunferencias con las siguientes medidas y que después se remarquen de un color las circunferencias y coloreen de un tono diferente los círculos.a) Radio 5 cmb) Radio 3.5 cmc) Radio 4 1 2 cmIntenciones didácticasQue los alumnos identifiquen la relación entre las medidas del radio y el diámetro, así como la existente entre la medida del radio y

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la de cualquier segmento que une el centro con un punto interior del círculo.Consideraciones previasEn muchas ocasiones, dibujar las figuras en papel puede provocar que los alumnos tengan ideas erróneas de un concepto. Por ejemplo, cuando se traza una circunferencia se confunde con un círculo. El uso de figuras de papel dará al alumno otra idea de lo que es círculo y lo que es circunferencia. La primera actividad introduce el término diámetro como un eje de simetría de un círculo (o de la circunferencia), al mismo tiempo que se identifica como el segmento que divide al círculo en dos partes iguales. Se espera, además, que el alumno llegue a la conclusión de que un círculo tiene un número infinito de diámetros y que todos midan lo mismo. La segunda actividad pretende que el alumno explore la manera de encontrar el centro en un círculo de papel; esto es relativamente sencillo pues lo único que tiene que hacer es doblar el círculo por dos de sus diámetros; el punto donde se cortan dos diámetros es el centro del círculo. En esta actividad, el alumno también concluirá que la medida del radio es siempre la mitad de la del diámetro. En la sesión anterior, el alumno exploró el concepto de círculo como la superficie que queda limitada por la circunferencia. En la actividad tres de la presente sesión, se espera que el alumno profundice en su conocimiento del círculo al concluir que se puede concebir como el conjunto de puntos que están a una distancia del centro menor que la medida del radio de la circunferencia.Intenciones didácticasQue los alumnos resuelvan problemas que estén relacionados con el trazo de circunferencias.Consideraciones PreviasEn todos los casos se pretende que el alumno explore las propiedades de la circunferencia. Los últimos cuatro problemas están muy relacionados entre sí. En el problema 2, los alumnos hallarán el punto medio del segmento, siendo ese el centro de la circunferencia que se pide. En el problema 3 podrán trazar las dos diagonales del cuadrado y el punto donde se cortan es el centro de la circunferencia pedida. Este último problema tiene múltiples soluciones porque existe una infinidad de rectángulos cuyos vértices están sobre la circunferencia. Un posible procedimiento es el siguiente: El primer segmento es cualquiera que toque dos, puntos de la circunferencia (que no sea diámetro). Los segmentos que se trazan en la segunda figura deben ser perpendiculares al segmentoque ya estaba trazado. Para el quinto problema pueden seguir diferentes procedimientos:• Como en la clase anterior concluyeron que el punto donde se cortan dos diámetros es el centro, es probable que algunos tracen dos diámetros y encuentren el centro. Este procedimiento es erróneo porque para trazar los diámetros necesitamos identificar el centro y ese es precisamente el problema que se desea resolver. Por tanto, no es válido.• Otro posible procedimiento es que calquen la circunferencia, la recorten y, con dobleces, encuentren dos diámetros y su punto de intersección; después podrán colocar encima el círculo recortado y marcar de alguna manera el centro en la circunferencia dibujada.• Si los alumnos son observadores, podrán darse cuenta de que para trazar un rectángulo no necesitan saber dónde está el centro pero, cuando ya lo tienen, pueden trazar sus diagonales donde el punto de intersección será el centro de la circunferencia. Esto lo pueden hacer porque en el ejercicio 3 trazaron un rectángulo.• Una estrategia muy común, pero difícil para los alumnos de sexto grado, es trazar dos segmentos que toquen dos puntos de la circunferencia (que no sean diámetros) y que, además, no sean paralelos. Después, a cada uno trazarle la mediatriz (perpendicular en el punto medio). Si nota que algún equipo no puede resolver este problema, apóyelos con intervenciones como: en el ejercicio 2, ¿dónde colocaste el compás para trazar la circunferencia?; en el ejercicio 3, teniendo el rectángulo, ¿puedes hallar el centro de la circunferencia?, ¿cómo?, ¿te servirá esto para resolver el ejercicio 4?

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Matemáticas Animación: Área del paralelogramo Matemáticas Animación: Área del rombo Matemáticas GeoLab: Construcción de triángulos Matemáticas Interactivo: Construcciones con regla y compás Matemáticas Animación: Círculo y circunferencia Matemáticas GeoLab: Área de polígonos regulares Matemáticas GeoLab: Construcción de polígonos regulares Matemáticas GeoLab: Ejes de simetría de polígonosMatemáticas GeoLab: Polígonos de área máxima Matemáticas Interactivo: Construcciones con regla y compás

GLOSARIO

Ángulo Círculo Cuadrado Cuadrilátero Diagonal Líneas paralelas Líneas perpendiculares Paralelogramo Rectángulo Rombo Triángulo Triángulo equilátero Triángulo escaleno Triángulo isósceles Ángulo Círculo Circunferencia Diámetro Eje de Simetría Perpendicular Polígono Polígono irregular

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Polígono regular Radio Vértice


Observaciones posteriores


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JOSE MARIA MORELOS Y PAVON CLAVE 21DPR3592F PLAN DE TRABAJO DE MATEMATICAS 5° 6°

ASIGNATURA: MATEMATICASTEMA EN COMUN: RECTAS Y ANGULOS

PAGINAS DEL LIBRO

EJE Y COMPETENCIA6° Forma, espacio y medidaTEMA FigurasSUBTEMA rectas y ángulos

CONOCIMIENTOS Y HABILIDADES1.7. Identificar, definir y trazar rectas paralelas, rectas secantes y perpendiculares en el plano. Identificar ángulos rectos, agudos y obtusos.

APRENDIZAJES ESPERADOS 6°Definan y tracen rectas paralelas, rectas secantes, rectas perpendiculares. Tracen polígonos regulares inscritos en circunferencias.

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5º 6º= 31,32,33

Geometría

Rectas perpendiculares

Dos rectas son perpendiculares cuando al cortarse forman cuatro ángulos iguales.

Dado un punto perteneciente a una recta o exterior a ella, por él pasa una y sólo una perpendicular a dicha recta.

El trazado de perpendiculares puede efectuarse de las siguientes formas: Con escuadra, por un punto perteneciente a la recta o exterior a la misma. Con compás, por un punto perteneciente a la recta o exterior a la misma.

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Rectas paralelasDos rectas son paralelas cuando no tienen ningún punto en común, o cuando son coincidentes.

Dado un punto perteneciente a una recta o exterior a ella, por él pasa una y sólo una paralela a dicha recta.

El trazado de paralelas puede efectuarse de las siguientes formas: Con regla y escuadra Con regla y compás

RECUERDA:

Una recta es la unión de infinitos puntos alineados en la misma dirección. Se nombra usando una letra minúscula.

Según su dirección una recta puede ser HORIZONTAL, VERTICAL o INCLINADA.

Según su posición relativa, dos rectas pueden ser PARALELAS si no se cortan o SECANTES si se cortan. Un caso especial de las rectas secantes son las rectas PERPENDICULARES que se cortan formando ángulos de 90º.

G) ACTIVIDADES INICIALES Intenciones didácticas

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Nombres de los ángulosSegún aumenta el ángulo, el nombre va cambiandoTipos de ángulos Descripción

1. Ángulo agudo un ángulo de menos de 90° 2. Ángulo recto un ángulo de 90° 3. Ángulo obtuso un ángulo de más de 90° pero menos de 180° 4. Ángulo llano un ángulo de 180° 5. Ángulo reflejo o cóncavo un ángulo de más de 180°

Cuidado con las medidas Este ángulo es obtuso. Este ángulo es reflejo. Pero las líneas son las mismas... así que cuando midas y marques ángulos, ¡asegúrate de que sabes cuál de los ángulos necesitas!

Partes de un ángulo

La esquina de un ángulo se llama vértice

Y los lados rectos son rayos El ángulo es la cantidad de giro entre los dos rayos.

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Marcar ángulos Hay dos maneras comunes de marcar un ángulo:

1. dándole nombre, normalmente una letra minúscula como a o b, o a veces una letra griega como α (alfa) o θ (theta)

2. o con las tres letras que definen el ángulo, poniendo en medio la letra donde se encuentra (su vértice).

Ejemplo: el ángulo "a" es "BAC", y el ángulo "θ" es "BCD"

Dibuja los ángulos que quieras y colócales su nombre

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Mide los ángulos a cada figura y escribe su nombre____________________________________________________________

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¿Cuál figura tiene dos ángulos rectos, uno agudo, uno obtuso, y no tiene eje de simetría?A) Triángulo escaleno.B) Trapecio rectángulo.C) Triángulo isósceles.D) Romboide.

¿Cuál de los siguientes ángulos es mayor de 90°?

Indica si las rectas se cortan o no cuando se prolongan y escríbeles su nombtre

De estos pares de rectas indica cuales son perpendiculares

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De las siguientes ¿Cuales son paralelas y cuales son secantes?

Pinta un reloj y traza 5 líneas paralelas sobre la esfera del reloj, de forma que queden de dos números en cada una de las 6 partes que forman y que estos números siempre sumen lo mismo

Busca rectas perpendiculares en objetos que tengas a tu alrededor y haz una lista

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Que los alumnos identifiquen y definan rectas paralelas y secantes; dentro de las secantes que identifiquen y definan el caso particular de las rectas perpendiculares.Consideraciones previasLos alumnos han trabajado en grados anteriores con rectas paralelas y perpendiculares. Se trata ahora de que escriban sus definiciones. Es importante que los alumnos enuncien sus definiciones y en caso de ser incompletas, erróneas o que sobren datos, se les guíe con ejemplos o contraejemplos para que planteen definiciones correctas. Por ejemplo, para las rectas paralelas los alumnos pueden decir: Son rectas que no se cortan. Entonces, puede trazar las siguientes líneas y preguntar: ¿se cortan?, ¿son paralelas? Es conveniente que se maneje con los alumnos la idea de que las rectas pueden prolongarse hacia ambos lados, en este caso, ¿al prolongar las rectas anteriores se cortarán? Para las rectas perpendiculares, los alumnos pueden decir: son rectas que se cortan y forman ángulos iguales de 90°. En este caso hay información de más; por tanto, se puede plantear: ¿será necesario decir que son iguales, si se dice que se cortan formando ángulos de 90°? Si es necesario, habrá que orientarlos para que aprendan a dar la información necesaria y suficiente que permita definir un concepto. Intenciones didácticasQue los alumnos tracen figuras en donde haya rectas paralelas, perpendiculares y oblicuas a partir de las instrucciones redactadas por otros compañeros.Consideraciones previasSe sugiere preparar al menos dos tipos de tarjetas en donde haya rectas paralelas, secantes no perpendiculares y perpendiculares, por ejemplo: Se espera que los alumnos del equipo emisor, al redactar las instrucciones, usen expresiones como “rectas paralelas”, “perpendiculares” y “secantes”. Los alumnos del equipo receptor, al recibir las instrucciones, usarán sus instrumentos geométricos para hacer los trazos que se indiquen. Mientras los alumnos trabajan en la elaboración de mensajes o en el trazo de las figuras, puede vigilar el trabajo y apoyarlos en caso necesario. Si observa que son muchos los alumnos que no pueden trazar rectas paralelas o perpendiculares puede hacer un alto en la actividad y recordarle el trazo al grupo en el pizarrón. Intenciones didácticas Que los alumnos identifiquen que las rectas secantes forman ángulos rectos o bien ángulos agudos y obtusos.Consideraciones previasEs probable que los alumnos puedan identificar si los ángulos son mayores o menores que 90° o si son rectos sin necesidad de medir; no obstante, si observa que algunos alumnos no logran identificarlos invítelos a que usen el transportador para medirlos, e incluso si nota que no saben usarlo bien, puede hacer un alto en la actividad y, de manera grupal, recordar cómo se usa. Es importante que los alumnos se queden con la idea de que el ángulo obtuso mide más de 90° pero menos de 180°, algunos alumnos definen al ángulo obtuso como aquel que mide más de 90° pero se les debe aclarar que, por ejemplo, un ángulo de 200° no es obtuso. Para reafirmar la actividad se puede poner una malla de líneas, como la siguiente, y pedir a los alumnos que identifiquen ángulos agudos, obtusos y rectos y los marquen con color.

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ACTIVIDADES ENCICLOMEDIAMismas que el plan anterior



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JOSE MARIA MORELOS Y PAVON CLAVE 21DPR3592F

PLAN DE TRABAJO DE MATEMATICAS 5° 6°ASIGNATURA: MATEMATICASTEMA EN COMUN: PLANOS, CROUIS Y MAPASPAGINAS DEL LIBRO

EJE , TEMA, SUBTEMA Y COMPETENCIA5°FORMA ESPACIO Y MEDIDA

TEMA; UBICACIÓN ESPACIALSUBTEMA: REPRESENTACIONCONOCIMIENTOS Y HABILIDADES 1.8. Trazar planos de casas o edificios conocidos.

6° FORMA, ESPACIO Y MEDIDATEMA; UBICACIÓN ESPACIALSUBTEMA: REPRESENTACIONCONOCIMIENTOS Y HABILIDADES 1.8. Calcular, de manera aproximada, la distancia de un punto a otro, con ayuda de un mapa. 1.9. Describir rutas, la más corta, la más larga, equivalentes, para ir de un lugar a otro, con ayuda de un mapa.

APRENDIZAJES ESPERADOSAPRENDIZAJES ESPERADOS 5°Construye planos de casas o edificios conocidos

APRENDIZAJES ESPERADOS 6º Resuelvan problemas que impliquen describir rutas y/o calcular la distancia de un punto a otro en mapas.

G) ACTIVIDADES INICIALES Intenciones didácticasQue los alumnos describan diferentes rutas en un mapa para ir de un lugar a otro e identifiquen la más corta.Consideraciones previasAquí se persiguen dos propósitos: que los alumnos desarrollen su habilidad para comunicar por escrito una ruta para ir de un lado a otro y además decidan cuál es la más corta. Si se cuenta con la escala a la que está hecho el mapa, el trabajo puede enriquecerse pidiéndoles que calculen la distancia real aproximada, siguiendo la ruta más corta y la más larga. Como ejercicio de tarea se puede dar un mapa de la localidad y elegir otros lugares para que describan rutas. Otros mapas de las ciudades de México pueden hallarse en la siguiente página Intenciones didácticas Que los alumnos describan diferentes rutas en un mapa para ir de un lugar a otro e identifiquen aquellas en las que la distancia recorrida es la misma.Consideraciones previasSe persiguen dos propósitos: que los alumnos desarrollen su habilidad para comunicar por escrito una ruta para ir de un lado a otro y, además, identifiquen rutas equivalentes en cuanto a la distancia que se recorre. Si se cuenta con la escala a la que está hecho el mapa, puede enriquecerse el trabajo pidiendo que calculen la distancia real aproximada de la ruta más corta y la más larga. En las

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5º= 28 Y 29 6º= 34,35,3637,38,39

descripciones de los alumnos es importante que se consideren detalles como las vueltas a la derecha, a la izquierda, calles por las que hay que caminar, el número de cuadras, etcétera.

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Intenciones didácticasQue los alumnos interpreten la escala gráfica de un mapa para calcular distancias reales.Consideraciones previasPara calcular las distancias pedidas, los alumnos tendrán que identificar la escala, que en este caso es gráfica, y aprender a interpretarla. Si a varios alumnos se les dificulta interpretar la escala se puede hacer un alto en la actividad y, de manera grupal, preguntar cómo se debe interpretar la escala para que se comente que el tamaño del segmento mayor en el mapa equivale a 20 kilómetros de distancia real, la mitad a 10 km y la cuarta parte a 5 km. Los procedimientos para calcular la distancia pueden ser variados. Es probable que los alumnos marquen el tamaño del segmento y lo superpongan varias veces en la distancia pedida para dar un resultado aproximado. Habrá quienes midan el segmento que equivale a 20 km (o a 10 km o a 5 km), luego midan la distancia pedida y calculen el doble, el triple, etc., o bien, se basen en el valor unitario: ¿cuántos kilómetros equivalen a un centímetrodel mapa? Los resultados podrán tener un margen aceptable de error debido a la imprecisión de los instrumentos de medición o a la determinación de los puntos entre los que se calculará la distancia. Se puede usar el mapa de su estado y cambiar las distancias a calcular como un ejercicio de tarea. Hay mapas similares de todos los estados de la República en la página del inegi: http://cuentame.inegi.gob.mx/default.aspx Ahí aparecen varios mapas de cada uno de los estados. Si usted decide cambiar de mapa debe cuidar que traiga indicada la escala de manera gráfica.Intenciones didácticasQue los alumnos interpreten y usen la escala expresada como m:n en un mapa para calcular distancias reales.Consideraciones previasPara calcular las distancias pedidas, los alumnos tendrán que identificar la escala, que en este caso es numérica, y aprender a interpretarla. Si a varios alumnos se les dificulta interpretar la escala, usted puede preguntar al grupo cómo interpretar la escala 1:1 000 000. Se espera que alguno de los alumnos sepa que esta escala indica que cada unidad del mapa en realidad son 1 000 000 unidades, por ejemplo, cada centímetro del mapa equivale a 1 000 000 centímetros (10 000 metros o 10 kilómetros). Es probable que para los alumnos sea difícil hacer esta conversión por lo que se les puede apoyar con preguntas como: ¿a cuántos centímetros equivale un metro?, ¿y 10 metros?, ¿1 000 metros?, ¿un kilómetro?, ¿10 kilómetros? Los procedimientos para calcular la distancia pueden ser variados. Es probable que los alumnos midan en centímetros las distancias pedidas y multipliquen por 1 000 000; de esta manera hallarán las distancias en centímetros, las cuales después tendrán que convertirlas a kilómetros. También es probable que antes de hacer cálculos, los alumnos determinen que un centímetro en el mapa equivale a 10 km de distancia real, después de medir las distancias a determinar podrán multiplicar esta medida por 10 y encontrar el resultado directamente en kilómetros. Se puede aprovechar que los resultados varían para comentar acerca de la imprecisión de los instrumentos de medición y a lo indeterminado de la exactitud de los lugares donde se ubican los cerros.


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http://cuentame.inegi.gob.mx/default.aspx

Matemáticas Descartes Plano Cartesiano: ExplorarGLOSARIO

Abscisa Coordenada Ejes coordenados Ordenada Plano cartesiano




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PLAN DE TRABAJO DE MATEMATICAS 5° 6°ASIGNATURA: MATEMATICASTEMA EN COMUN: AREA Y PERIMETRO DE POLIGONOS

PAGINAS DEL LIBRO

EJE Y COMPETENCIA6° Forma, espacio y medidaTEMA medidaSUBTEMA Conceptualización. Estimación y cálculo

6° Forma, espacio y medida.TEMA medidasSUBTEMA unidades

CONOCIMIENTOS Y HABILIDADES1.9. Identificar las medidas que son necesarias para calcular el perímetro o el área de una figura. 1.10. Obtener una fórmula para calcular el perímetro de polígonos.

1.10. Analizar cómo varía el perímetro y el área de los polígonos, en función de la medida de los lados.

ASPRENDIZAJES ESPERADOS 5º

Calcula perímetros de diversos polígonosAPRENDIZAJES ESPERADOS 6°

Utilicen el cálculo mental, los algoritmos y la calculadora, para realizar operaciones con números naturales.

G) ACTIVIDADES INICIALES Intenciones didácticasPARA 5ºPor ejemplo, ¿qué medir para averiguar cuántos árboles frutales pueden ser plantados en un terreno cuadrado, si se quiere que la distancia entre ellos sea de 4 metros? ¿Qué medir para averiguar cuántas losetas son necesarias para cubrir las

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5º= 30,31,32,33,34,35,36

6º= 40,41,42

paredes de la cocina? ¿Qué medir para averiguar la cantidad de pintura que se necesita para pintar una habitación?

RESUELVAN LOS SIGUIENTES PROBLEMAS 1.- En una escuela los niños cubrieron la pared del corredor con sus dibujos hechos en hojas cuadradas de papel. En la pared había 72 dibujos a lo largo y 12 dibujos a lo ancho. ¿Cuántos dibujos pegaron en total?A) 864B) 794C) 704D) 084

2- Bety midió la longitud de una jardinera de 2 metros de altura con una regla de 25 centímetros, ¿cuántas veces utilizó la regla?A) 8B) 12C) 50D) 80

3.-En un terreno de forma cuadrada sembrarán una planta por metro cuadrado. Si caben 50 plantas en cada uno de los lados del terreno, ¿cuántas plantas se sembrarán en total?A) 100B) 200C) 250D) 2 500

Construye la operación que has de realizar para saber el total de cuadros que tiene el rectángulo.

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Las escalas se escriben en forma de razón donde el antecedente indica el valor del plano y el consecuente el valor de la realidad. Por ejemplo la escala 1:500, significa que 1 cm del plano equivale a 5 m en la realidad.

Ejemplos: 1:1, 1:10, 1:500, 5:1, 50:1, 75:1Si lo que se desea medir del dibujo es una superficie, habrá que tener en cuenta la relación de áreas de figuras semejantes, por ejemplo un cuadrado de 1cm de lado en el dibujo ó el papel.

Tipos de escalas

Existen tres tipos de escalas llamadas: Escala natural. Es cuando el tamaño físico del objeto representado en el plano coincide con la realidad. Existen varios

formatos normalizados de planos para procurar que la mayoría de piezas que se mecanizan, estén dibujadas a escala natural, o sea, escala 1:1

Escala de reducción. Se utiliza cuando el tamaño físico del plano es menor que la real. Esta escala se utiliza mucho para representar piecerío (E.1:2 o E.1:5), planos de viviendas (E:1:50), o mapas físicos de territorios donde la reducción es mucho mayor y pueden ser escalas del orden de E.1:50.000 o E.1:100.000. Para conocer el valor real de una dimensión hay que multiplicar la medida del plano por el valor del denominador.

Escala de ampliación. Cuando hay que hacer el plano de piezas muy pequeñas o de detalles de un plano se utilizan la escala de ampliación. En este caso el valor del numerador es más alto que el valor del denominador o sea que se deberá dividir por el numerador para conocer el valor real de la pieza. Ejemplos de escalas de ampliación son: E.2:1 o E.10:1

Según la norma UNE EN ISO 5455:1996. "Dibujos técnicos. Escalas" se recomienda utilizar las siguientes escalas normalizadas:Escalas de ampliación: 100:1, 50:1, 20:1, 10:1, 5:1, 2:1Escala natural: 1:1Escalas de reducción: 1:2, 1:5, 1:10, 1:20, 1:50, 1:100, 1:200, 1:500, 1:1000, 1:2000, 1:5000, 1:20000

Escala gráfica, numérica y unidad por unidad La escala numérica representa la relación entre el valor de la representación (el número a la izquierda del símbolo ":") y el

valor de la realidad (el número a la derecha del símbolo ":") y un ejemplo de ello sería 1:100.000, lo que indica que una unidad cualquiera en el plano representa 100.000 de esas mismas unidades en la realidad, dicho de otro modo, dos puntos que en el plano se encuentren a 1 cm estarán en la realidad a 100.000 cm, si están en el plano a 1 metro en la realidad estarán a 100.000 metros, y así con cualquier unidad que tomemos.

La escala unidad por unidad es la igualdad expresa de dos longitudes: la del mapa (a la izquierda del signo "=") y la de la realidad (a la derecha del signo "="). Un ejemplo de ello sería 1 cm = 4 km; 2 cm = 500 m, etc.

La escala gráfica es la representación dibujada de la escala unidad por unidad, donde cada segmento muestra la relación

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entre la longitud de la representación y el de la realidad. Un ejemplo de ello sería:0_________10 km

Que los alumnos analicen que en los cuadrados y rectángulos trazados a escala el perímetro varía de manera proporcional respecto a la medida de los lados, pero el área no cambia de esa manera.Consideraciones previasSi la escuela no cuenta con geoplanos, los alumnos pueden construir uno con una tabla cuadriculada de madera, de 10 cm por 10 cm, en la que en cada intersección de la cuadrícula se coloque un clavo; las figuras se forman con ligas. Si esto no fuera posible, puede hacerse uso del papel punteado del material recortable de la página 167 del Cuaderno de Trabajo para el Alumno. Es importante observar si los alumnos saben cómo hallar el perímetro y el área de cuadrados y rectángulos. Si a la mayoría de los alumnos se le dificulta obtener estas medidas, será necesario iniciar una discusión colectiva para que entre todos recuerden cómo encontrarlas. En la confrontación de resultados los alumnos discutirán la manera en que cambian el perímetro y el área cuando se modifica la medida de los lados. En este caso en particular, se espera que los alumnos se den cuenta de que en los cuadrados o en los rectángulos a escala el perímetro varía proporcionalmente a los lados, pero el área no. Es decir, si los lados aumentan 5 veces su medida, el perímetro también aumenta 5 veces pero el área aumenta ¡25 veces! Intenciones didácticas Que los alumnos, con el apoyo de una tabla de valores, analicen la variación del perímetro y el área de rectángulos que no están a escala, a partir de la medida de sus lados.Consideraciones previasEs probable que entre los alumnos haya confusión para distinguir entre largo y ancho, según la posición en que se encuentre el rectángulo, por lo que es necesario aclarar que el largo se refiere al lado mayor, sin importar la posición. En esta actividad se pretende que los alumnos se den cuenta de la relación que existe entre la variación de las medidas del perímetro y el área en los rectángulos cuando uno de los lados se mantiene igual y el otro disminuye a la mitad. Será interesante analizar con ellos algunos casos de estas variaciones durante la confrontación de resultados. Por ejemplo, entre el rectángulo inicial y el rectángulo 1 hubo disminución de lados, sin embargo:• El perímetro no disminuye proporcionalmente porque un lado mide lo mismo y el otro se redujo a la mitad.• El área disminuye a la mitad porque una de las medidas se conserva igual y la otra se reduce a la mitad. Se puede pedir a los alumnos que analicen otros rectángulos en los que un lado permanezca igual y el otro disminuya a la mitad, tercera o cuarta parte y examinar lo que sucede con el área.




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PLAN DE TRABAJO DE MATEMATICAS 5° 6°ASIGNATURA: MATEMATICASTEMA EN COMUN: PORCENTAJE APLICANDO UNA FRACCIONPAGINAS DEL LIBRO

EJE Y COMPETENCIA5° Manejo de la información Y Sentido numérico y pensamiento algebraicoTEMAS Análisis de la información ,Representación De la informaciónSignificado y uso de las operaciones, Estimación y cálculo mentalSUBTEMAS Relaciones de proporcionalidad , Diagramas y tablasProblemas aditivos, problemas multiplicativos Números decimales y fraccionarios

6° Manejo de la informaciónTEMA Análisis de la informaciónSUBTEMA Relaciones de proporcionalidad

CONOCIMIENTOS Y HABILIDADES2.12. Buscar y organizar información sobre magnitudes continuas.3.2 Identificar y generar fracciones equivalentes, usarlas paracomparar fracciones con distinto denominador.3.4. Resolver problemas que implican sumar o restar fracciones(denominadores diferentes) y números decimales3.10. Establecer el porcentaje como regla de correspondencia n de cada 100; aplicarlo en contextos diversos como constante de proporcionalidad y como forma de representar información. Interpretar los porcentajes 50%, 25%, 20%, 10% como fracciones 1/2, 1/4, 1/5, 1/10.4.4. Resolver problemas que impliquen multiplicar números

1.11. Calcular el porcentaje de cantidades mediante diversos procedimientos (aplicando la correspondencia “por cada 100, n”, aplicando una fracción, usando como base el 10%).

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5º= 74,75,76,77,78,79,85,86,87,88,92,93, 106,107,108,128,129,130,131,132,133,155,156,157,158,159

6º= 43,44,45

fraccionarios y decimales por números naturales.4.5. Elaborar recursos de cálculo mental con números fraccionarios y decimales.5.1. Expresar la razón que guardan dos cantidades (a de cada b) por medio de fracciones, en casos sencillos.5.2. Ubicar números decimales en la recta numérica.APRENDIZAJES ESPERADOS 5ºUtilicen intervalos para organizar información sobre magnitudes continuasResuelvan problemas que impliquen multiplicar números fraccionarios y decimales por números naturales.Resuelvan problemas aditivos con números fraccionarios y decimales que impliquen el uso de recursos de cálculo mental.Ubiquen fracciones propias e impropias en la recta numérica a partir de distinta información.Resuelvan problemas de comparación y orden entre números decimales.Resuelvan problemas que impliquen sumar o restar fracciones (con denominadores diferentes) y decimales.Resuelvan problemas que impliquen expresar por medio de fracciones la razón que guardan dos cantidades.Ubiquen números decimales en la recta numérica a partir de distinta información


G) ACTIVIDADES INICIALES Intenciones didácticasEn las actividades de búsqueda de información y relacionado con un mayor dominio de los números decimales por parte de los alumnos se incluirán contextos con medidas, por ejemplo, longitud, peso. Esto permitirá el trabajo con variables continuas y obligará a la definición de intervalos para representar los datos en una tabla de frecuencias. Por ejemplo, un problema que se ha estudiado últimamente es el efecto del peso que cargan los niños en sus mochilas. Se ha descubierto que si cargan más de 10% de su peso corporal pueden tener problemas de salud, por ejemplo de la columna. ¿Qué tantos niños del salón cargan más de 10% de su peso corporal? ¿Todos cargan un peso en sus mochilas proporcional a su peso corporal? Para averiguarlo el maestro llevó una báscula a la clase. Cada alumno se pesó y pesó su mochila; luego encontraron los porcentajes. Diez de los porcentajes encontrados se escriben a continuación:11.3 7.5 9.3 9.1, 7.110.2 7.8 6.4 11.3 14.2Hacer una tabla de frecuencias agrupando los valores que van de 6 a 7, luego de 7 a 8, luego de 8 a 9, etcétera.Las situaciones en que tiene más sentido considerar la razón entre cantidades son aquellas en las que las cantidades varían mientras que su razón es constante, es decir, son situaciones de proporcionalidad.

187

Los alumnos pueden haber trabajado en grados anteriores con razones expresadas mediante números enteros, por ejemplo: “5 de cada 20 alumnos usan lentes”; “por cada 5 pesos se descuentan 2”, etcétera. Ahora se trata de que establezcan que toda razón del tipo “a de cada b” puede expresarse con la fracción “a/b de”. Los casos más sencillos son aquellos en los que la relación es entre un todo y una parte, la fracción en juego es simple (medios, cuartos) y las cantidades que se generan son enteras, como en el ejemplo siguiente: una tienda ofrece la siguiente promoción: Por cada 10 pesos de compra, se descuentan 2 pesos. Los alumnos pueden calcular primero lo que se descuenta por distintas cantidades (que sean múltiplos de 10) y registrar los resultados en una tabla. Posteriormente, puede preguntarse: ¿siempre se descuenta la misma fracción del precio? Puede plantearse también la tarea de comparar descuentos expresados de distinta forma, por ejemplo: una tienda ofrece descontar 2/5 del precio, otra ofrece descontar 3 pesos de cada 10 y otra más ofrece “3 productos pagando 2”. En el tema de proporcionalidad del eje “Manejo de la información” sedesarrolla más este contenido.Análogamente al trabajo de ubicación de fracciones en la recta numérica se plantean situaciones con números decimales, atendiendo a relacionarlos con fracciones y con números enteros. Por ejemplo:1. Dados en la recta los números 4.3 y 4.4 ubicar: 4.34 y 4.2. Dados en la recta los números 1.5 y 3 ubicar: 1.7, 2.5 y 3.01.

LA RECTA NUMÉRICA

Aquí representamos a los números decimales en la recta numérica.

Para representar el número decimal 0,7 observamos que es un número comprendido entre 0 y 1. Dividimos el segmento unidad entre los números 0 y 1 en 10 partes iguales y tomamos 7 de esas partes contando a la derecha (pues 0,7 es un número positivo) desde el 0.

Para representar el número -0,3 que está comprendido entre 0 y -1 dividimos el segmento entre los números -1 y 0 en diez partes iguales y tomamos 3 de esas partes contando a la izquierda desde el 0, por ser un numero decimal negativo.

Para representar el número 2,5 que es un número comprendido entre 2 y 3, dividimos el segmento entre los números 2 y 3 en 10 partes iguales. Tomamos 5 de esas partes contando a la derecha desde el 2.

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Para representar el número -3,4 que está comprendido entre -3 y -4 dividimos el segmento entre los números -4 y -3 en diez partes iguales y tomamos 4 de esas partes contando a la izquierda desde el -3.

Números decimales

Los números decimales forman parte del conjunto de números racionales y los utilizamos en variadas ocasiones de nuestra vida diaria. Algunas veces estos se asocian a índices económicos, como cuando decimos que el dólar se encuentra a 521,1 centavos o que el IPC subió en un 1,1%, pero también los utilizamos al referimos a números que no son exactos, como cuando hablamos de que en el supermercado compramos 2,5 kilos de carne o decimos que estamos pesando 59 kilos y medio. Como podemos ver en el siguiente cuadro, los números decimales se encuentran formados por una parte entera, una coma y una parte decimal.

Cuando leemos números decimales, a la parte entera le llamamos unidad, luego mencionamos la coma (que separa a la parte entera de la parte decimal) y finalmente decimos el número que sigue a la coma. En el caso anterior, diríamos que el número al cual nos referimos es el tres coma ocho, sin embargo, también podemos hablar de tres coma ocho décimos, ya que dependiendo de la

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posición en que se encuentre el número que sigue a la coma, el lugar en que éste se encuentre.

Según el cuadro anterior, podemos ver que si el número se encuentra una posición al lado de la coma, lo llamaremos décimo; si se encuentra a dos posiciones hablaremos de centésimo; si se encuentra a tres posiciones, hablaremos de milésimo, y así sucesivamente. Esto, ya que si la unidad es dividida en 10, 100 ó 1000, respectivamente, la posición en que quedará el número corresponderá al lugar mencionado anteriormente, tal como muestra el cuadro anterior. Veamos algunos ejemplos

La lectura del número 324,7894 será 324 enteros, 7894 diez milésimos.

La lectura de 0,5 será 5 décimos La lectura de 0,000008 será 8 millonésimos

Para clarificar más aún la lectura de los números decimales, haremos un nexo con la representación de éstos en fracciones, en donde lo que hacemos es dividir la unidad por múltiplos de 10.

Decimales en la recta numérica

190

Si observas una regla, puedes notar que la unidad se encuentra dividida en 10 partes iguales, tal como lo vemos en la siguiente recta:

Si consideramos (desde ahora escribiremos las fracciones así: 4/10), nos ubicaremos en la división: 0,4 Si consideramos 8/10 (ocho décimos), nos ubicaremos en la 8º división: 0,8

Ahora bien, cuando una fracción considera una parte entera nosotros debemos situarnos desde ahí y después ubicar los décimos. Por ejemplo, si tenemos 1 entero y 2/10 (dos décimos), sabemos que hay 1 entero, situándonos por lo mismo entre el 1 y el 2, para luego ubicar la parte decimal en la recta numérica. Y así sucesivamente…

FRACCIONES DE DENOMINADOR 100 Y PORCENTAJE

Otra manera de representar la relación existente entre dos cantidades son los porcentajes, los cuales pueden tener una representación decimal o fraccionaria.

Los porcentajes son fracciones con denominador 100, por lo mismo trabajar con ellos se hace muy fácil. Así por ejemplo, vemos que si queremos pasar un número expresado como porcentaje a fracción, tenemos que escribir una fracción con denominador 100 y el numerador que corresponda según el número expresado. Así por ejemplo, la fracción correspondiente a 14% es 14/100.

Siguiendo con el ejemplo anterior, realizaremos el paso de fracción a número decimal. Por lo tanto, es lo mismo que decir 14 de 100 o 14:100 = 0,14. Lo que hacemos en este caso, es correr la coma tantas veces como ceros tenga el denominador. Vemos que el 100 tiene 2 ceros, por lo que desplazaremos la coma dos espacios a la izquierda y obtendremos 0,14. Ahora bien, en el caso de que la fracción considerada no tenga como denominador a un múltiplo de 10, basta con dividir el numerador entre el denominador. Por ejemplo, en la fracción 3/6 (tres sextos), tenemos que el resultado de su división es 0,5 (ó 3:6). El uso que se le da a los porcentajes generalmente responde a los resultados obtenidos de una muestra, y se aplica a investigaciones o encuestas. Por ejemplo, si tenemos que en las últimas elecciones del centro de alumnos de tu colegio, que el 56% votó por la lista 2, eso significa que de cada 100 alumnos, 56 votaron por dicha lista, lo cual también podemos expresarlo como fracción en 56/100. Equivalencia de decimales y fracciones Es indudable la relación existente entre los números decimales y las fracciones, esto, ya que es posible expresar una misma cantidad como número decimal o fracción. Ahora bien, al hecho de que podamos expresar una misma cantidad de dos

191

maneras diferentes le llamamos equivalencia, debido a que las dos maneras que tenemos de expresar dicha fracción corresponden a la misma cantidad de elementos. Algunos ejemplos de decimales equivalentes a fracciones pueden ser representados tanto en la recta numérica como en figuras achuradas. Así, si tenemos el decimal 0,5 vemos que su representación fraccionaria es 5/10, o bien 1/2 al ser simplificado. Por lo que ubicamos al decimal 0,5 en el medio, entre el 0 y el 1, tal como muestra la recta.

Decimales periódicos y semiperiódicos

Anteriormente mencionamos que para encontrar la expresión decimal de una fracción basta con dividir el numerador por el denominador de ésta, y dimos como ejemplo a la fracción 3/6, cuya división da como resultado 0,5 (ó 3:6). Ahora bien, vemos que no siempre el resultado que nos da la división de una fracción resulta ser un número exacto, cuando esto ocurre, hablamos de decimales periódicos o semiperiódicos.

Los decimales periódicos, son aquellos en donde se repiten sucesivamente los mismos números de un decimal. Así por ejemplo, vemos que el cociente de la fracción 2/11 (dos onceavos), es 0,18181818… , donde al grupo de cifras que se repiten se les llama período (en este caso 18) y la manera en que se escribe es y la barra abarca el bloque de cifras que se repite sucesivamente

Por otro lado, vemos que también existen los decimales semiperiódicos, los cuales tienen una parte decimal no periódica y otra que si lo es. Así por ejemplo, vemos que el decimal 1,34555555… sólo tiene al 5 repetido indefinidamente (el cual vendría a ser su parte periódica), mientras que el 34 no forma parte de ese período. La manera en que escribimos dicho decimal es , donde la barra sólo abarca al bloque de cifras que se repite indefinidamente.

Adición y sustracción de números decimales

La adición y sustracción de decimales es muy similar a la que hacemos con los números naturales, sin embargo, ahora debemos ser más ordenados y colocar en columna la parte entera y la decimal, de modo que siempre se encuentre una coma bajo la otra.

Ejemplo: 3,7 + 5,84

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3,7+ 5,84 9,54 o bien, 9 enteros 54 centésimos.

Ejemplo: 5,15 – 1,12

5,15 - 1,12 4,03 o bien, 4 enteros 3 centésimos.

COMPARA ½ Y 3/4

Se ubican ambas fracciones en rectas numéricas de la misma longitud

Se observa que el segmento que representa es más largo que el de por consiguiente:

193

b) Comparar y

Ambas fracciones se localizan en rectas numéricas de la misma longitud, como las de la siguiente página.

Los segmentos que determinan ambas fracciones son de igual tamaño; Entonces son equivalentes:

De los ejemplos anteriores se obtienen las conclusiones siguientes:

1. Al comparar dos fracciones utilizando la recta numérica, ser mayor la que se encuentre a la derecha.

2. Si dos fracciones se ubican en el mismo punto sobre la recta numérica, se denominan fracciones equivalentes.

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195

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QUE LOS ALUMNOS RESUELVAN EL SIGUIENTE PROBLEMA

Juan va a iniciar un negocio de renta de computadoras y solicita en dos tiendas los costos de los aparatos. En ambos lugares le dieron un precio de $ 7,000 por computadora, pero por comprar 10 equipos en la primer tienda le ofrecen un 10%, mientras que en la segunda le descuentan 20% por cada una. Ayúdale a completar la siguiente tabla con los datos faltantes.

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COMPUTADORAS PAGO TOTAL DESCUENTO 10% DESCUENTO 20 %

1 7000 1 400

2 14000

3 21000

4 28000 2800

5 35000

6 42000 4200

7 49000

8 56009 6300010 70000

EN LA TIENDA DE DOÑA LOLA TIENEN LOS SIGUIENTES DESCUENTOS:

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¿En cuál de los siguientes productos con descuento se ahorra más dinero? escribe a cada producto cuanto es la cantidad con el descuentoA) VestidoB) TelevisiónC) RefrigeradorD) Zapatos

Que los alumnos calculen porcentajes aplicando la correspondencia “por cada 100, n”.Consideraciones previasSe espera que los alumnos concluyan que 4% indica que “por cada 100, 4” y calculen el interés sin recurrir, de ninguna manera, a algoritmos de multiplicar la cantidad por 0.04. Para los primeros casos basta con calcular cuántas veces está contenido el 100 en esa cantidad para saber el interés por pagar. En el caso de $150 se espera que los alumnos noten que si por $100 se cobran $4, por $50 son $2 y por $150, $6. Un razonamiento similar se espera para $125. Mientras que para $2 650 y $1 625 los alumnos podrán hacer combinaciones entre otras cantidades cuyos intereses ya han calculado. Se debe recordar que se trata de que los alumnos empleen procedimientos diversos en el cálculo de porcentajes y no algoritmos convencionales, aunque si algún alumno desea usarlos, no se le impedirá hacerlo; al contrario, será interesante preguntarle acerca de dicha equivalencia y saber cómo la obtuvo. Para enriquecer y reafirmar el trabajo se puede señalar que otras casas de préstamos cobran intereses del 6%, 8%, etc., y hacer tablas similares que el profesor o los mismos alumnos propongan, ya sea en clase o como tarea. Intenciones didácticasQue los alumnos calculen porcentajes tomando como base el cálculo del 10%.Consideraciones previas

199

Es importante resaltar que en la presentación de resultados se dé el tiempo suficiente a los equipos para que expliquen sus procedimientos, de esta manera se estará en posibilidades de analizar la diversidad de procedimientos. Cada vez que existan desacuerdos en algún procedimiento y resultado, puede fomentar la discusión para que sean los propios alumnos quienes descubran el error. Uno de los errores posibles consiste en anotar directamente el porcentaje en vez de la diferencia de éste y el precio original, por lo que es importante estar atentos al proceso que realicen los alumnos. En la primera consigna se espera que los alumnos noten que el 10% es la décima parte de la cantidad y, por lo tanto, para calcular el 10% sólo hay que dividir entre 10; mientras que si se da el descuento, la cantidad inicial se calcula multiplicando por 10 dicho descuento. Para los casos en los que se dan los precios ya con descuento, los alumnos tendrán que comprender que esta cantidad representa el 90% de la cantidad inicial por lo que la novena parte es el 10%. En la segunda consigna, puesto que ya se da el 10%, se espera que los alumnos puedan calcular el 5% (la mitad), el 20% (el doble), etc.; también se espera que porcentajes como el 15% se calculen sumando el 10% y el 5%. Es importante mencionar que en estos momentos no se pretende, de ninguna manera, que los alumnos apliquen procedimientos estandarizados para el cálculo del porcentaje, por ejemplo, que para calcular el 15% multipliquen por 0.15. El propósito es que ellos construyan diversos procedimientos para el cálculo de porcentajes, basados en una comprensión de lo que significa tanto por ciento. El siguiente problema se puede dejar como ejercicio de tarea:

En un mercado de artesanías se están vendiendo algunos artículos con atractivos descuentos. Con las cantidades que en ella se muestran, completa la siguiente tabla:Artículo Precio Descuento Cantidad por pagarCollar $80.00 10%Rebozo $100.00 $75.00Pulsera $30.00 5%Camisa de manta $90.00 $18.00Florero $140.00 40%Mantel $120.00 $60.00

PORCENTAJE, DECIMALES Y FRACCIONES

200

1. Lee la siguiente afirmación y completa una tabla:

De acuerdo al último censo, se estimó que la población en zonas urbanas para el año 1999 sería de 5.737.137 habitantes. (INE. Censo de 1990).

En la siguiente tabla se registran diferentes maneras de expresar los porcentajes y que ayudan a calcularlos. Completa los datos que faltan.

�

Compara los procedimientos, desarróllalos y, en caso de ser diferentes, comprueba que son equivalentes.

Comenta la utilidad de las diferentes maneras de expresar porcentajes.�

2. Lee las siguientes informaciones y elige el procedimiento más adecuado para responder la pregunta en cada caso, usando alguno de los procedimientos antes analizado. Explica el fundamento de tu elección

Según información de la Conama, cerca del 50% del territorio de nuestro país es desierto o está en proceso de desertificación.

Investiga qué significa proceso de desertificación y tratan de cuantificar la superficie de nuestro país que está afectada por este problema.

201

Un trabajador o trabajadora destina por ley un 7% de su sueldo para la salud, este dinero lo recibe mensualmente el sistema que ofrece el Estado o bien una Isapre.

Si la señora María gana habitualmente el sueldo mínimo de aproximadamente 75.000 pesos ¿cuánto dinero le descuentan por concepto de salud en un mes?

Investiga qué otros descuentos se realizan mensualmente por ley a un trabajador o trabajadora, los porcentajes correspondientes y el destino que se da al dinero.

3. Juega a calcular porcentajes con la calculadora suponiendo que la tecla de porcentaje no está disponible.



202

Observaciones posteriores1. ¿Cuáles fueron los aspectos con mayor éxito de la sesión? 2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar la

sesión? 3. Por favor, califique la sesión con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted

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PLAN DE TRABAJO DE MATEMATICAS 5° 6°ASIGNATURA: MATEMATICASTEMA EN COMUN: TABLAS Y GRAFICOSPAGINAS DEL LIBRO

EJE TEMA SUBTEMA Y COMPETENCIA

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5º= 37,38,39,40,146,147,148,149,150,151,152 6º= 46.47,48,101,102

Manejo de la información 5°TEMA Representación de la información SUBTEMA Búsqueda y organización de la información diagramas y tablas, Gráficos

6° Manejo de la informaciónTEMA Representación de la informaciónSUBTEMA Diagramas y tablas

CONOCIMIENTOS Y HABILIDADES1.11. Elaborar, leer e interpretar tablas de frecuencias.

1.12. Elaborar, leer e interpretar diagramas rectangulares.4.9. Conocer las convenciones de una representación en gráfico de barras y utilizarlo para la lectura u organización de Información.

1.12. Resolver problemas con información dada en tablas o gráficas.5.6. Organizar información seleccionando un modo de presentación adecuado.3.9. Analizar los efectos causados en los gráficos por un cambio de escala


Elabora lee e interpreta tablas de frecuenciasAPRENDIZAJES ESPERADOS 6°

Interpreten información en distintos portadores como tablas y gráficos y la usen para resolver problemas.Seleccionen el modo adecuado de presentar información mediante diagramas y tablas.

G) ACTIVIDADES INICIALES Intenciones didácticasLa organización de la información y su presentación posterior en un cuadro o en una tabla es en general una actividad más compleja que la de extraer e interpretar datos ya presentes en ellos. En este grado se centrará el trabajo de este eje especialmente en la tarea de organización y presentación de la información: elección de las categorías o entradas para las tablas apropiadas, agrupamiento de datos, etc. Por ejemplo, dada una serie de datos como en el siguiente caso:En el Club Regatas todos los años se organiza un torneo deportivo. En cada deporte se forman distintos equipos que compiten durante un fin de semana. En la tabla están escritos algunos puntajes de dos de los deportes. Completar los datos que faltan:En futbol y natación se formaron tres equipos distintos. Ampliar la tabla anterior para poder anotar los puntajes de los equipos en cada día de competencia y los totales. Posteriormente se podrán plantear problemas en los cuales sea responsabilidad de los alumnos diagramar una tabla en su totalidad. La siguiente gráfica muestra la cantidad de botones de cada color que produce diariamente una fábrica:

204

Qué color de botones, al duplicar su producción, igualaría a los de color blanco?A) ROJO B) AZUL C) VERDE D) AMARILLO

Observa la siguiente tabla y después contesta las preguntas 6 y 7.

EDAD DE HABITANTESPAÍS 0 A 9 AÑOS 10 A 19

AÑOS20 EN ADELANTE

TOTAL

MEXICO 26´456,890 19´692,173 173 29´762 75´911,111FRANCIA 10´628,947 17´528,185 34´254,397 62´411,529

ITALIA 7´839,993 25´438,198 16´385,450 49´663,641ARGENTINA 15´934,730 22´765,329 10´382,574 49´082,633

6. De acuerdo a la información que se presenta en la tabla, ¿Qué país cuenta con una cantidad mayor de habitantes en el rango de 10 a 19 años de edad?A) MéxicoB) Francia

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C) ItaliaD) Argentina

7. ¿Cuál es la diferencia en el total de habitantes entre los dos países con menos población?A) 581,008B) 681,008C) 521, 008D) 621,008

Observa con mucha atención las gráficas de las encuestas que se realizaron en Monterrey, Guadalupe, San Nicolás y Apodaca para saber a qué equipo le van: Tigres o Monterrey. ¿En cuál de los municipios hay más aficionados de los tigres?

A) MonterreyB) San NicolásC) GuadalupeD) Apodaca

Se puede formular preguntas que den origen a listas de datos que lleven a una organización en tabla de frecuencias absolutas. Por ejemplo, se puede hacer la pregunta: ¿cuántos hijos suelen tener las familias mexicanas en la actualidad?. La pregunta original se puede transformar en la siguiente: ¿cuántos hijos tienen las familias de los miembros del grupo? Pedir a los alumnos que escriban en una lista el número de hijos que tiene su familia; por ejemplo: 2, 2, 1, 5, 3, 2, 2,7, 1, 1, 3, 4, 2, 4, 5, 4, 3, 3.Con esos datos hacer una tabla de frecuencia preguntando:¿Cuántas familias tienen solo un hijo?, ¿cuántas tienen 2 hijos?, etcétera.Obteniéndose la siguiente tabla de frecuencias: ejemplo

Hijos # de familias1 3

206

¿Cuál es el número de hijos más frecuente en las familias de los alumnos del grupo?¿Ocurrirá eso en general?Una vez que hayan trabajado con porcentaje, los alumnos podrán considerar además las frecuencias relativas, es decir, la relación entre la frecuencia absoluta y el total.

Algunas investigaciones tratan de establecer relaciones entre dos variables. Por ejemplo, si se trata de investigar si “tomar café influye en las enfermedades de la piel” una investigación simple consistiría en preguntar a las personas de una población: “¿toman café?” y “¿ha tenido padecimientos de la piel?” Los datos obtenidos son parejas de respuestas con “sí” y “no” que se pueden organizar en una tabla de doble entrada. Por ejemplo, si se entrevista a 10 personas haciendo las anteriores preguntas y se obtienen las respuestas: (sí, sí), (sí, no), (sí, sí), (no, sí), (no, no), (sí, sí), (sí, no), (no, no), (sí, no), (sí, sí).

Padecimientos de la piel

Sí No Total

TO

MA

R C

AF

É

SI

4 3 7

NO 1 2 3

TOTAL

5 5 10

Hacer una encuesta con dos preguntas cuyas respuestas sean “sí” o “no”. Por ejemplo: Estudiaste en el último examen? ¿Obtuviste una calificación mayor a 8? ¿Tu madre tiene un trabajo fuera de casa? ¿Te traen a la escuela? ¿Tomas más de un refresco diario? ¿Tienes sobrepeso de acuerdo con tu edad? ¿Haces deporte? ¿Comes frutas y verduras? Organizar una tabla de doble entrada con los datos obtenidos.

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Consideraciones previasEs posible que inicialmente los alumnos ignoren la relación entre minutos y segundos, el profesor puede plantear preguntas de reflexión que les recuerden las equivalencias en el sistema sexagesimal, tal vez con preguntas como: ¿cuántos segundos tiene un minuto?, ¿medio minuto?, ¿un cuarto de minuto? Las preguntas sobre la velocidad de nado exigen establecer una relación entre la distancia y el tiempo. Para hacer las comparaciones que se indican, los alumnos tendrán que buscar un punto de referencia, por ejemplo: ¿cuánto nadó cada quien en 30 segundos? Intenciones didácticas Que los alumnos respondan preguntas relacionadas con la información contenida en una tabla.Consideraciones previasLa idea es que los alumnos interpreten la información contenida en la tabla y realicen cálculos sencillos derivados de ella. Si nota que tienen problemas, puede hacer preguntas que los hagan fijarse en los datos: ¿en qué columna está marcado el tiempo?, ¿en qué columna está marcada la distancia?, ¿qué distancia recorre en una hora?, ¿en dos horas?, ¿en cuánto tiempo recorre 210 km? Consideraciones previas Para interpretar la información contenida en una gráfica es importante que los alumnos aprendan a leer y fijarse en diferentes detalles, por ejemplo: ¿en dónde está marcado el tiempo?, ¿qué unidades se utilizaron para el tiempo?, ¿en dónde está marcada la distancia?, ¿qué unidades se emplean para señalar la distancia?, ¿qué distancia recorrió Alejandro en los primeros 30 minutos?, ¿cómo lo sabes?, ¿en cuánto tiempo recorrió 40 kilómetros?, ¿cómo lo sabes?Es común que los alumnos confundan la gráfica con la trayectoria que sigue un móvil, si nota que los alumnos creen que la línea de la gráfica es el camino que siguió Alejandro se les pedirá que respondan y reflexionen sobre la pregunta 5




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208



PLAN DE TRABAJO DE MATEMATICAS 5° 6°ASIGNATURA: MATEMATICAS TEMA EN COMUN: FRACCIONES Y DECIMALES

PAGINAS DEL LIBRO

EJE TEMA SUBTEMA 5° Sentido numérico y pensamiento algebraico

TEMA Significado y uso de los números Y Estimación y cálculo mentalSUBTEMA Números decimales, Números fraccionarios

6° Sentido numérico y pensamiento algebraicoTEMA Significado y uso de los númerosSUBTEMA Números naturales y decimales

CONOCIMIENTOS Y HABILIDADES2.2. Utilizar fracciones decimales (denominador 10, 100, 1000) para expresar medidas. Identificar equivalencias entre fracciones decimales. Utilizar escrituras con punto decimal hasta centésimos en contextos de dinero y medición.2.5. Elaboración de recursos de cálculo mental en relación con fracciones.3.2 Identificar y generar fracciones equivalentes, usarlas paracomparar fracciones con distinto denominador.

2.1. Conocer y utilizar el valor de las cifras en función de sus posiciones en la escritura de un número natural o de un decimal.

APRENDIZAJES ESPERADOS 5°Resuelvan problemas que impliquen el uso de múltiplos de números naturales.Ubiquen fracciones propias e impropias en la recta numérica a partir de distinta información.Resuelvan problemas de comparación y orden entre números

APRENDIZAJES ESPERADOS 6°Lean, escriban y comparen números naturales y decimales. Usen el valor de sus cifras en función de su posición.

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5º= 48,49,50, 58, 59,85,86,87,88 6º= 48,49

decimales.Resuelvan problemas que impliquen sumar o restar fracciones (con denominadores diferentes) y decimales.

G) ACTIVIDADES INICIALES Intenciones didácticasQue los alumnos usen el valor posicional de las cifras para identificar, de entre varios números, aquellos que representan el mismo valor.Consideraciones previasLa frase “expresiones numéricas” abarca tanto a las que están formadas por varios números (8 + 9/10 + 1/ 100 ), como a las que constan de un solo número, como 2.05 Es muy importante que los alumnos expliquen por qué consideran correcto o incorrecto su resultado o el de algún compañero, sobre todo en los casos en que los resultados son diferentes. Una posible forma de convencer a los demás consiste en escribir todas las expresiones en notación decimal. Por ejemplo, en 2.05, 2.05, 2.05 y 20.5, que son expresiones de la primera tira, el último número no es equivalente a los tres anteriores. Es importante que los alumnos se acostumbren a nombrar la parte decimal con la denominación correcta, por ejemplo, para 0.125, tendrán que decir 125 milésimos, en vez de cero punto ciento veinticinco. Si los alumnos no logran dar argumentos que convenzan a los demás, el maestro puede guiarlos para que tengan éxito en expresar sus ideas, incluso puede dar algunos ejemplos de cómo argumentar que dos números son iguales. Intenciones didácticas Que los alumnos identifiquen diferentes maneras de escribir un número natural o decimal.Consideraciones previasEl maestro debe preparar con anticipación un juego de tarjetas, puede ser como el que se presenta u otro que se adapte a los conocimientos previos de su grupo. La intención es que los alumnos enriquezcan y consoliden sus conocimientos del valor posicional de las cifras naturales y decimales. Aunque cada alumno debe tomar sólo dos tarjetas por turno, se sugiere que haya 4, 6 u 8 tarjetas que representen al mismo número, esto dará lugar a que el juego pueda desarrollarse varias veces. Así, cuando los equipos compartan resultados, el trabajo se enriquecerá con diferentes representaciones del mismo número; además, los números escritos en las tarjetas deben contener las mismas cifras para evitar que los alumnos elijan dos tarjetas sólo porque en ellas aparecen ciertas cifras. Mientras los alumnos juegan, el maestro puede supervisar el trabajo para cerciorarse de que entendieron las instrucciones a fin de aclarar las dudas. Las intervenciones del profesor deben ser de apoyo, pero no para solucionar el problema. Por ejemplo, si un alumno toma las tarjetas de 25/100 y 2.50 porque erróneamente considera que 2.50 ocupa hasta el lugar de los centésimos, y piensa que su equivalente es 25/ 100, el docente puede intervenir con preguntas como las siguientes: ¿están de acuerdo todos?, ¿tú qué opinas?, ¿ 25/100 es menor o mayor que uno?, ¿2.50 es mayor o menor que uno?, ¿podrán representar el mismo número?, etcétera. Al término del juego se puede realizar una puesta en común. En esta actividad los alumnos que ganaron platicarán a sus compañeros cuáles parejas eligieron y cómo se dieron cuenta de que representaban el mismo número.

PARA QUINTO GRADO Y SEXTO

Ampliando el cálculo mental que se ha planteado en grados anteriores, se trata ahora de elaborar recursos para calcular mentalmente fracciones de un entero. Por ejemplo, 1/8 de 248 como la mitad de la mitad de la mitad, es decir: 248 - 124 - 62 - 31. O bien, 1/3 de 3 015 como 1/3 de 3000 más 1/3 de 15, es decir 1 005.

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También se incluyen ejercicios para reconstruir mentalmente una fracción o un entero usando fracciones de una o varias clases. Por ejemplo, formar 5/4 usando sólo medios y octavos; 7/6 como suma de tercios, sextos y doceavos, 12/5 como suma de décimos.

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Realice los siguientes ejercicios de decimales

1. Completa las siguientes tablas:

+ 0,9 2,94 37,756

0,6

1,13

156,46

- 0,7 0,467 3,9

34,8

9,32

5,054

2. Resuelve:

a) En una adición uno de los sumandos es 26,4 y la suma es 84,8. ¿Cuál es el otro sumando?

b) En una adición uno de los sumandos es 0,74 y la suma es 3,9. ¿Cuál es el otro sumando?

c) En una sustracción el minuendo es 46,8 y la diferencia es 13,5. ¿Cuál es el sustraendo?

d) En una sustracción la diferencia es 14,73. Si el sustraendo es 49,61, ¿cuál es el minuendo?

3. RESUELVE LOS SIGUIENTES PROBLEMAS.

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a) En Punta Arenas, un día de verano, la temperatura máxima fue de 12,7º y la mínima de 4,9º. ¿Cuál fue la diferencia de temperatura ese día?

b) Roberto mide 1,57 m. y Paula 1,43 m. ¿Qué diferencia de estatura hay entre ambos?

c) Una botella contiene 26,5 centímetros cúbicos de agua y se le agregan 9,67 centímetros cúbicos. ¿Cuánta cantidad de agua tiene ahora la botella?

d) Un excursionista quiere recorrer un trayecto de 47 kilómetros en cuatro días. Si el primer día recorre 8,6 km., el segundo 14,3 km. y el tercero 17,4 km., ¿cuántos km. le quedan por recorrer para completar elñ trayecto deseado.

Multiplicando decimales menores que 1

1. Organizados en parejas realicen las siguientes actividades.

a) Con la calculadora, sigan la secuencia y completen las siguientes tablas:

0,3 x 4 0,5x25 7,3x1000 2,7x1000

0,3x2 0,5x5 7,3x250 2,7x100

0,3x1 0,5x1 7,3x1 2,7x10

0,3x0,5 0,5x0,2 7,3x0,250 2,7x1

0,3x0,25 0,5x0,04 7,3x0,125 2,7x0,1

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¿Por qué el valor de los productos de cada tabla van disminuyendo? Explica tu conjetura.

Comparan el producto obtenido con uno de los dos factores y también con ambos factores, establece conclusiones y constata su validez resolviendo con la calculadora.

Compartan las conclusiones con sus compañeros.

2. En las tablas siguientes, y apoyándose en los análisis anteriores, anticipa el rango entre los que se encuentran los productos. Usan expresiones como: "más que y menos que" ó "entre" ó "menor que pero mayor que cero."

0,01 x 0,5 0,8 x 0,250

2 x 0,6 0,250 x 24

0,6 x 4,4 16 x 0,125

9,8 x 0,6 1,6 x 0,125

0,1 x 0,45 0,2 x 10

200 x 0,9 2,5 x 0,2

5,01 x 1,1 0,3 x 20

0,4 x 1,2 0,1 x 30

Comprueba con la calculadora si tus anticipaciones fueron correctas.

Comparte las estrategias usadas para ubicar los rangos entre los cuales ubicaron el producto.

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PLAN DE TRABAJO DE MATEMATICAS 5° 6°ASIGNATURA: MATEMATICASTEMA EN COMUN: FRACCIONES Y DECIMALES EN LA RECTA NUMÉRICA

PAGINAS DEL LIBRO

EJE TEMA SUBTEMA5° Sentido numérico y pensamiento

TEMA Significado y uso de los númerosSUBTEMA Números fraccionarios

6° Sentido numérico y pensamiento algebraicoTEMA Significado y uso de los númerosSUBTEMA Números fraccionarios

CONOCIMIENTOS Y HABILIDADES2.1. Ubicar fracciones en la recta numérica. 2.2. Representar fracciones y decimales en la recta numérica.

APRENDIZAJES ESPERADOS

Resuelvan problemas que impliquen el uso de múltiplos de números naturales.


Lean, escriban y comparen números naturales y decimales. Usen el valor de sus cifras en función de su posición.

G) ACTIVIDADES INICIALES

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5º= 48,49,50 6º= 50,51,52,53

¿Qué fracciones equivalentes están indicadas en las siguientes rectas numéricas?

2 = 4 1 2

1 = 33 4

1 = 22 4

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ESCRIBE LO QUE OBSERVAS DEL DIBUJO_________________________________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________________________________

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QUE OBSERVAS EN EL SIGUIENTE DIBUJO

Sugerir a los alumnos que, por equipos, reproduzcan el modelo de la lección usando listón y bolas de unicel. ¿En cuántas partes iguales quedó dividido el listón? ¿Qué fracción del listón es cada parte?

2. En los mismos grupos pedir a los alumnos que construyan modelos diferentes al que se ilustra en la lección. En cada caso las esferas de unicel deben colocarse a igual distancia entre sí. Pedir a los alumnos que nombren las fracciones en las que se encuentra cada bola de unicel. 3. Jugar con el grupo el juego A romper globos en el nivel 1. Primero pedir a los alumnos que escriban en sus cuadernos las fracciones que corresponden a cada uno de los globos que se observan en la pantalla. Después pedir que comparen sus respuestas en parejas o grupos. Por último, usar el interactivo para verificar las respuestas. Comentar con los alumnos la posibilidad de proporcionar más de una fracción correcta para cada globo.

4. Contestar, en equipos, las preguntas del ejercicio 1 de la lección 14 del libro de texto. Revisar las respuestas con todo el grupo.

5. Pedir a los alumnos que realicen la actividad 2 del la lección en forma individual, usando el material recortable. Comentar, con todo el grupo, las respuestas a las preguntas del ejercicio. (Para ver cómo se usa la hoja rayada para dividir un segmento consultar la ficha 9 del Fichero de Actividades Didácticas, Matemáticas, Quinto Grado).

6. Resolver los ejercicios 3 y 4 de la lección en forma individual. Revisar las respuestas con el grupo. 7. Conclusiones: Repasar las estrategias que se pueden utilizar para ubicar una fracción en la recta numérica. ¿Qué indica el

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numerador de la fracción? ¿Y el denominador? ¿Cómo se puede dividir la recta en partes iguales?

8. Retos: Jugar con los alumnos el juego A romper globos en los niveles 2 y 3. En éstos se ubican en la recta tanto fracciones propias como impropias. Las últimas no aparecen en la lección pero puede trabajarse con ellas al final si el nivel del grupo así lo permite.

Observar el video de las fracciones en la recta numérica

Intenciones didácticasQue los alumnos reflexionen sobre la equivalencia y el orden entre expresiones fraccionarias y decimales.

Consideraciones previas

La representación de fracciones y decimales en la recta numérica no es una tarea sencilla, sin embargo, una vez que los alumnos han comprendido cómo hacerlo, la recta numérica se convierte en un recurso eficaz para resolver problemas sobre el orden y la equivalencia de números. Los alumnos pueden usar procedimientos diferentes al tratar de ubicar los números, pero tendrán que considerar el segmento de 5 km como unidad. Por ejemplo, quizá algunos alumnos decidan ubicar primero los kilómetros 1, 2, 3 y 4 para tomarlos como referencia. Después, para ubicar los lugares en los que van algunos competidores, se darán cuenta de que esas marcas facilitan la ubicación de algunos pero dificulta la de otros, como en el caso siguiente: Pedro, Don Manuel y Luis van en el kilómetro 4, pero para Don Joaquín 1/3 de cinco kilómetros no es lo mismo que 1/3 de un kilómetro. Si el docente nota que algún alumno usa la hoja rayada para dividir un segmento en partes iguales, conviene detener la actividad y pedir al alumno que comparta con el grupo lo que está haciendo. Las fracciones serán fácilmente ubicadas cuando esto se haya comprendido. Es probable que los alumnos expresen como fracciones comunes los casos que presentan números decimales. De este modo, para ubicar en la recta numérica los casos de Mariano y Pedro, 0.8 se representará como 8/10 o 4/ 5 y 0.25 como 1/4Es necesario subrayar que los números se pueden representar de diferentes maneras y que la recta numérica es un recurso para ordenarlos.

Intenciones didácticasQue los alumnos usen adecuadamente la información que hay en una recta numérica para poder ubicar números fraccionarios o decimales.

Consideraciones previasEn los ejercicios más comunes sobre ubicación de fracciones y decimales en la recta numérica generalmente se conoce la posición del cero (0) y de la unidad (1) o de varias unidades (1, 2, 3, etc.). Las actividades propuestas en este plan de clase son cognitivamente más exigentes porque, además de entender las convenciones para representar números en la recta, se requiere que los alumnos tengan un buen sentido numérico de las fracciones y los decimales. En las rectas donde se han ubicado dos números, los demás quedan determinados de manera única. En el inciso a), en cuya recta se señaló el cero y ¾ , es probable que los

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alumnos dividan el segmento de cero a ¾ en tres partes iguales. Posteriormente trasladen a la derecha de ¾ la longitud correspondiente a ¼ , encontrándose de esta forma la unidad. Solamente hay una respuesta. En cambio, en aquellas rectas donde se ubicó sólo un número, como en los incisos d) y e), los alumnos se darán cuenta de que las soluciones son múltiples; no obstante, una vez que se decidió dónde colocar otro número, por ejemplo el cero, los demás quedan determinados..

ACTIVIDADES ENCICLOMEDIAANTES DE CLASE

Consultar las instrucciones de los interactivo: A romper globos Revisar las sugerencias de organización y actividades del Libro para el Maestro

Pedir a los alumnos bolas de unicel, de 2 ó 3 cm. de diámetro y varios metros de algún listón. Pintar las bolas de unicel de diferentes colores, ya sea en casa o en el salón de clase (en cuyo caso la lección llevará más tiempo).

A romper globosIntención didáctica: Utilizar el recurso de las rectas paralelas equidistantes para dividir segmentos de recta en partes iguales y ubicar números fraccionarios en la recta numéricaOTRAS ACTIVIDADES ENCICLOMEDIAMatemáticas Interactivo: Números mixtos Matemáticas Interactivo: Recta numérica



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PLAN DE TRABAJO DE MATEMATICAS 5° 6°ASIGNATURA: MATEMATICAS

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TEMA EN COMUN: PROBLEMAS UE IMPLIQUEN EL USO DE LA DIVISION Y DE SU OPERACIÓN INVERSA UTILIZANDO MULTIPLOS DE UN NUMERO

PAGINAS DEL LIBRO

EJE Y COMPETENCIA5° Sentido numérico y pensamiento algebraicoTEMA Significado y uso de las operacionesSUBTEMA Problemas multiplicativos. Multiplicación y división

6° Sentido numérico y pensamiento algebraicoTEMA Significado y uso de las operacionesSUBTEMA Multiplicación y división

CONOCIMIENTOS Y HABILIDADES2.3. Resolver problemas que impliquen el uso de múltiplos de números naturales.2.4. Encontrar las relaciones: D = c x d + r y r <d y utilizarlas para resolver problemas.5.3. Dividir números naturales para obtener un cociente decimal.5.4. Utilizar las propiedades de las operaciones inversas para encontrar resultados.

2.3. Establecer propiedades de la división de naturales

APRENDIZAJE ESPERADOS 5°Resuelvan problemas que impliquen establecer las relaciones entre dividendo, divisor, cociente y residuo.Resuelvan problemas que impliquen dividir números naturales para obtener un cociente decimal

APRENDIZAJES ESPERADOS 6°. Utilicen propiedades de la división de números naturales al resolver problemas.


REALIZAR LOS SIGUIENTES EJERCICIOS

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5º= 51,52,53,54,55,56,57,160,161,162,163,164

6º= 54,55

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intenciones didácticasQue los alumnos identifiquen la manera en que varía el cociente cuando el dividendo o el divisor varían.Consideraciones previasAntes de llenar la tabla es conveniente asegurarse de que todos resolvieron correctamente la primera pregunta. Si después de llenar la tabla se encuentran errores, es recomendable aprovechar el momento de la confrontación para que se hagan las correcciones necesarias. Lo anterior es indispensable para continuar con la secuencia. También se debe subrayar que las respuestas se busquen mentalmente, “sin hacer divisiones” escritas. Es importante analizar casos que presenten las siguientes propiedades: si el dividendo aumenta y no se modifica el divisor, el cociente también aumenta, y si el dividendo queda fijo y se aumenta el divisor, el cociente disminuye. Con la participación de los alumnos se analiza cada renglón de la tabla, explicando cómo determinaron el cociente a partir de la modificación que sufrió el dividendo, el divisor o ambos. Se debe insistir en que no se vale hacer operaciones escritas ni con calculadora. Hay que hacer notar que en los tres primeros casos (después del primer renglón) sólo se modifica el dividendo, mientras que en los dos siguientes se modifica el divisor y en los dos últimos se modifican ambos. Se debe poner especial interés en el caso en que cambia el divisor mientras el dividendo no se altera, porque es el más complejo, ya que mientras el divisor aumenta el cociente disminuye en la misma proporción. En este último caso se trata una relación inversa que puede resultar complicada para los alumnos. Con el resultado del análisis se espera que los alumnos obtengan las siguientes conclusiones:• Si el dividendo se multiplica o divide por un número y el divisor no cambia, el cociente queda multiplicado o dividido por el mismo número.• Si el divisor se multiplica o divide por un número y el dividendo no cambia, el cociente queda dividido en el primer caso y multiplicado en el segundo caso, por el mismo número.• Si el dividendo y el divisor se multiplican o dividen por el mismo número, el cociente no cambia. Es importante que los alumnos comparen las respuestas de las preguntas finales. Intenciones didácticasQue los alumnos encuentren la relación D = c x d + r (dividendo es igual al cociente por el divisor más el residuo)Consideraciones previasEs posible que el uso de literales para representar los elementos de la división constituya una dificultad excesiva para el grupo. Queda a criterio del profesor si omite esta parte y deja que los alumnos escriban la relación entre estos elementos usando los nombres y no las letras. En los primeros dos ejercicios los alumnos harán las divisiones siguiendo el procedimiento que han trabajado: se hace la división entre el dividendo y divisor, poniendo el resultado en la columna del cociente y lo que sobra en la del residuo. Los ejercicios tres y cuatro contienen la relación que los alumnos deben aplicar: al multiplicar el divisor por el cociente y sumar el residuo encuentran el dividendo. Los siguientes dos ejercicios (renglones 5 y 6) ponen en juego una relación interesante: el cociente puede fungir como divisor, de manera que para resolverlos hay que dividir el dividendo entre el cociente y con ello se encuentra el divisor, lo cual sirve para encontrar el residuo. Estos primeros seis ejercicios tienen una respuesta única. Los últimos cuatro ejercicios dan lugar a varias respuestas, por ello es importante mencionar que la tabla se completa correctamente con diferentes números. El maestro puede invitar a los alumnos a comprobar sus resultados cuando hayan calculado los cuatro números

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de un renglón. Así, harán la división y comprobarán que el cociente y el residuo son correctos. Recuerde, todo esto se hace mentalmente, no se permiten divisiones escritas ni utilizar la calculadora.




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PLAN DE TRABAJO DE MATEMATICAS 5° 6°ASIGNATURA: MATEMATICASTEMA EN COMUN: PATRONES DE PRISMAS Y PIRAMIDES

PAGINAS DEL LIBRO

EJE TEMA SUBTEMA5° Forma, espacio y medida

TEMA FIGURASSUBTEMA CUERPOS

6° Forma, espacio y medidaTEMA FIGURASSUBTEMA CUERPOS

CONOCIMIENTOS Y HABILIDADES2.6. Construir, armar y representar cuerpos para analizar sus propiedades: número de caras, número de vértices, número de aristas.

2.4. Construir y armar patrones de prismas y pirámides

APRENDIZAJES ESPERADOS 5°Representen, construyan y analicen cuerpos geométricos.

APRENDIZAJES ESPERADOS 6°Tracen desarrollos planos, construyan y calculen la superficie lateral y total de prismas y pirámides.


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5º= 60,61 6º= 57,58

Desarrollos planos

Una forma de construir un cubo o hexaedro regular consiste en dibujar en cartulina el desarrollo plano, es decir, seis cuadrados adosados de forma que cada dos tienen un lado común, añadir las lengüetas, recortar, plegar y pegar las aristas. El diseño típico es el de la derecha

Aquí tienes otras composiciones con seis cuadrados. Estudia si se podrá formar con ellos un cubo

mediante plegado.

Una investigación más avanzada será obtener todos los posibles desarrollos planos de un cubo. Para conseguirlo es necesario ser muy sistemático.

Primero debes conseguir todas las formas de colocar seis cuadrados adosados por el lado y ver con cuáles de ellas se puede plegar para conseguir el cubo. Las siguientes ideas te pueden servir como ayuda:

·Sólo hay una forma de colocar dos cuadrados adosados por un lado: recibe el nombre de dominó.·Consigue todas las formas posibles de colocar tres cuadrados adosados por un lado (triminós).·Consigue todos los tetraminós y pentaminós e intenta que no se te olvide ninguno.·Cuando tengas todos los hexaminós, estudia cuáles de ellos se pueden plegar formando un cubo.

Aquí tienes un desarrollo del tetraedro y otro del octaedro, Investiga otros.

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Dibuja el desarrollo plano de una caja de zapatos y el del tetraedro truncado:

Con cuál de los siguientes desarrollos planos se puede armar un prisma hexagonal?

Observa los siguientes desarrollos planos y elige el que usarías para armar una caja con todas sus caras rectangulares.

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TACHA EL QUE NO TE SIRVE COMO PATRON PARA NINGUN CUERPO GEOMETRICO

Intenciones didácticasQue los alumnos reflexionen sobre las características de una pirámide o un prisma, ante la necesidad de trazar el desarrollo plano, recortarlo y armarlo.Consideraciones previasPara realizar esta actividad es importante que los equipos tengan juegos de geometría, cartulina, tijeras y pegamento, por lo que se sugiere pedirlo con anticipación. Se recomienda organizar al grupo en equipos de tres personas. El maestro armará o conseguirá cajas de diferentes tamaños en forma de prismas y pirámides (pueden ser cajas de medicinas, de regalos, de chocolates, etc.) en cantidad suficiente para entregar una a cada equipo. Resulta conveniente incluir un cubo. Los alumnos analizarán el cuerpo geométrico para observar cuántas caras lo forman, qué forma tienen y cuáles son las medidas que considerarán para armar un cuerpo igual. Es posible que algunos equipos decidan hacer las caras por separado y luego unirlas una por una para armar el cuerpo. También pueden tratar de identificar la disposición en la que deben trazar las caras para armar el cuerpo con una sola pieza. Al indicar a los alumnos que no desarmen el cuerpo geométrico se pretende realizar un análisis más profundo sobre la forma de las caras, sus medidas y la disposición de las mismas en un prisma o una pirámide. Es importante que los equipos muestren el cuerpo geométrico que sirvió como modelo y el que construyeron. En la confrontación grupal pueden platicar cómo lo hicieron, y si lograron o no el propósito. En el segundo caso conviene analizar cuál fue el error. Si el docente nota que los alumnos tienen dificultad para usar el juego de geometría y para trazar determinada figura, puede apoyarlos en este aspecto. Quizá convenga un repaso grupal de algunos trazos básicos, por ejemplo: líneas paralelas, líneas perpendiculares, rectángulos, etcétera. También es importante subrayar la eficacia de construir el cuerpo con una sola pieza de cartulina (patrón o desarrollo plano), así como analizar dónde deben ir las “pestañas”, para lo cual conviene realizar algún ejercicio de imaginación espacial a partir de un desarrollo plano propuesto. Esta actividad debe propiciar que los alumnos imaginen cuáles caras se pegan para formar una arista. Hay que

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considerar que las pestañas se van colocando alternadamente, de manera que en un lado sí se coloquen y en otro no, como se muestra abajo. Ya que los equipos tienen diferentes cuerpos geométricos, quizás no surjan diferentes desarrollos planos o patrones para armar el mismo cuerpo, por lo tanto, se sugiere que el maestro muestre a los alumnos varias opciones. El cubo es un ejemplo, ya que existen 11 patrones. Dos de ellos son:

Intenciones didácticasQue los alumnos analicen cuál es la información necesaria para poder construir un cuerpo geométrico, sin tenerlo a la vista.Consideraciones previasSe sugiere organizar al grupo en equipos. El maestro armará o conseguirá cajas en forma de prismas y pirámides diferentes (pueden ser cajas de medicinas, de regalos, de chocolates, etc.) en cantidad suficiente para entregar una a cada equipo. Pueden ser los cuerpos utilizados en la sesión anterior, incluyendo un cubo. También es importante que los equipos cuenten con juegos de geometría, cartulina, tijeras y pegamento, por lo que se sugiere pedirlo con anticipación.Los alumnos elaborarán sus mensajes con lo que consideren necesario para que otro equipo pueda armar un cuerpo idéntico al que tienen. Es muy probable que en los primeros mensajes no se incluya la información necesaria para armar el cuerpo geométrico idéntico, por ello se sugiere que la actividad se repita al menos otra ocasión. Es importante que los equipos muestren y analicen cómo escribieron sus mensajes, qué características de los cuerpos consideraron y los datos que incluyeron. Asimismo, se sugiere que se analicen algunos de los mensajes que no permitieron armar los cuerpos, para que se identifique si el error estuvo en la falta de información, en información errónea, en la interpretación del mensaje, en el trazado de las figuras, etcétera. Es probable que los alumnos dibujen la representación plana del cuerpo geométrico indicando las medidas; también es probable que algunos se animen a hacer el desarrollo plano (patrón), que redacten textos en los que describan la forma y número de caras con sus medidas o escriban el nombre del cuerpo con las dimensiones necesarias. El trabajo geométrico radica no sólo en la identificación de la información necesaria para que otro equipo pueda construir el cuerpo, sino también en la habilidad del equipo receptor para interpretar el mensaje y en la destreza que tenga para usar el juego de geometría. Si el docente nota problemas en esto último, es importante que apoye a los alumnos recordándoles cómo trazar un cuadrado, un triángulo, un hexágono con ciertas medidas, etc. Incluso, si lo considera necesario, puede detener la actividad y explicar a todo el grupo algunos trazos básicos. Se recomienda consultar los interactivos de Enciclomedia sobre el desarrollo plano de cuerpos geométricos.




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PLAN DE TRABAJO DE MATEMATICAS 5° 6°ASIGNATURA: MATEMATICASTEMA EN COMUN: CARACTERISTICAS Y SUPERFICIES DE PRISMAS

PAGINAS DEL LIBRO

EJE TEMA SUBTEMA5° Forma, espacio y medida

TEMA figuras, SUBTEMA cuerpos

6° Forma, espacio y medidaTEMA MEDIDASUBTEMA ESTIMACION Y CALCULO

Conocimientos y habilidades.4.6. Clasificar prismas según el número de caras, aristas y vértices;Polígonos que forman sus caras; congruencia de caras o aristas, etcétera. Definir prismas y pirámides y sus alturas.

2.5. Calcular superficies laterales y totales de prismas y pirámides.

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5º= 134,135,136,137,138,139,140

6º= 59,60,61

APRENDIZAJES ESPERADOS 5° APRENDIZAJES ESPERADOS 6°Tracen desarrollos planos, construyan y calculen la superficie lateral y total de prismas y pirámides.

ACTIVIDADES INICIALES Poliedro: Es un cuerpo geométrico limitado por polígonos, que se llaman caras del poliedro PRISMAS Prisma: Poliedro limitado por 2 polígonos iguales y paralelos (llamados bases) y varios paralelogramos ( llamados caras laterales ). Características · La altura de un prisma es la distancia entre las bases. Si todas las caras laterales son rectángulos, serán perpendiculares a las bases y entonces se llama prisma recto. · · Si la caras laterales no son perpendiculares a las bases, se llama prisma oblicuo. Las aristas laterales de un prisma son segmentos iguales y paralelos entre si. En los prismas rectos son perpendiculares a las bases. · Clasificación Dependiendo de que las bases sean triángulos, cuadriláteros, pentágonos, etc; el prisma será triangular, cuadrangular, pentagonal, etc… Área Área Lateral: P de la base x altura Área total: Área Lateral + 2 x área de la base Volumen: Área de la base x Altura

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Paralelepípedos. Ortoedros Paralelepípedos: Un paralelepípedo es un prisma cuyas bases son paralelogramos. Ortoedro: Es un paralelepípedos en el que la totalidad de sus caras son rectángulos. Área del ortoedro: 2 ( ab + ac + bc ) Volumen de un ortoedro: V= a x b x c Cubo: Es un Ortoedro en el que las tres dimensiones son iguales Área del cubo: A= 6ª Volumen de un cubo: V= a3 PIRÁMIDES Pirámide: Es un poliedro que tiene por base un polígono cualquiera y por caras laterales triángulos con un vértice común, llamado vértice de la pirámide. Características · La altura de la pirámide es la distancia del vértice al plano de la base. Una pirámide es regular cuando la base es un polígono regular y el vértice se proyecta sobre el centro de este polígono. · En una pirámide regular todas las aristas laterales son iguales y las caras laterales son triángulos isósceles iguales. Las alturas de los triángulos se llaman apotemas de la pirámide. · Clasificación Las pirámides se llaman triangulares, cuadrangulares, pentagonales,… según si su base es un triangulo, un cuadrilátero, un pentágono. Área Área Lateral: Perímetro de la base x a2 Área total: Perímetro de la base x a + perímetro de la base x a2 Volumen: 1 área de la base x altura3 Área y volumen del pr isma

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Área y volumen de la pirámide

DIBUJA UNA PIRAMIDE Y 2 PRISMAS

Intenciones didácticasQue los alumnos determinen cuáles son las medidas pertinentes para calcular el área total de un prisma o una pirámide a partir de su desarrollo plano.Consideraciones previasSe sugiere organizar al grupo en equipos. El maestro armará o conseguirá cajas en forma de prismas y pirámides diferentes (cuyas bases sean cuadrados, rectángulos o triángulos) en cantidad suficiente para entregar una a cada equipo. Conviene incluir un cubo. También es importante que los equipos cuenten con juegos de geometría, cartulina, tijeras y pegamento, por lo que se recomienda pedirlo con anticipación. Es importante que a los equipos no les toque el mismo cuerpo geométrico con el que trabajaron en sesiones anteriores. No obstante que en el apartado 2.4 los alumnos se enfrentaron al problema de trazar desarrollos planos, es posible que aún sigan teniendo dificultades para hacerlo; si es así, el docente podrá guiarlos recordando lo visto en clases

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anteriores. En esta ocasión no se pretende armar el cuerpo geométrico, sino calcular la cantidad de cartulina que se utiliza para construirlo a partir del desarrollo plano. Si algunos alumnos incluyen las pestañas en este cálculo, conviene analizar cómo lo hicieron y determinar si el resultado es aceptable. En esta actividad cada equipo recibirá cuerpos geométricos diferentes (prismas y pirámides), por lo que no podrán comparar los resultados; sin embargo, podrán explicar los procedimientos que siguieron y los posibles errores cometidos. Quizá los alumnos ya no tengan problemas en el cálculo del área de cuadrados y rectángulos. El caso de los triángulos que forman las caras laterales de las pirámides puede ser distinto, ya que la altura de los triángulos no coincide con la altura de la pirámide. Si el docente nota que los alumnos están midiendo mal la altura de los triángulos, puede auxiliarlos recordándoles que es la perpendicular desde un vértice al lado opuesto. Intenciones didácticasQue los alumnos determinen cuáles son las medidas pertinentes para calcular el área total de un prisma o una pirámide, sin trazar su desarrollo plano.Consideraciones previasSe sugiere organizar al grupo en equipos. El maestro armará o conseguirá cajas en forma de prismas y pirámides iguales (cuyas bases sean cuadrados, rectángulos o triángulos) en cantidad suficiente para entregar una a cada equipo. En esta sesión no se pretende trazar un desarrollo plano, más bien se intenta que los alumnos calculen la cantidad de cartulina que se utilizó para construir un cuerpo geométrico. La sugerencia de que todos los equipos trabajen con el mismo cuerpo geométrico facilita la comparación de resultados para descubrir errores. Es importante tener presente que los resultados no necesariamente serán iguales, pero el tamaño de las diferencias puede indicar posibles errores. En la sesión anterior los alumnos calcularon áreas de prismas y pirámides a partir del patrón de estos cuerpos, de tal manera que este cálculo se reduce a obtener el área de figuras geométricas en un plano. La intención de esta sesión es diferente, porque calcularán el área de las figuras sin tenerlas en el plano, sino como caras de un cuerpo geométrico de tres dimensiones. Es probable que los alumnos ya no tengan problemas en el cálculo del área de cuadrados y rectángulos. El caso de los triángulos que forman las caras laterales de las pirámides puede ser distinto, ya que la altura de los triángulos no coincide con la altura de la pirámide. Si el docente nota que los alumnos están midiendo mal la altura de los triángulos, puede auxiliarlos recordándoles que es la perpendicular desde un vértice al lado opuesto. Además, en una pirámide puede mostrar cuál es la altura de los triángulos que forman las caras laterales y su diferencia con la altura del cuerpo geométrico.

Altura de la pirámide DIBUJAR UNA PIRAMIDEAltura de unode los triángulos delas caras laterales

Intenciones didácticasQue los alumnos resuelvan problemas que impliquen el cálculo de áreas laterales o totales de prismas y pirámides cuyas bases sean cuadrados, rectángulos o triángulos.

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Consideraciones previasSe sugiere que en un primer momento los alumnos resuelvan individualmente los problemas, para que los comprendan y encuentren una solución a su ritmo. Cuando el profesor note que la mayoría de los alumnos ha terminado, puede organizarlos en grupos para comparar sus resultados. La intención es que se pongan de acuerdo en caso de haber distintos resultados. La diferencia con las actividades de las sesiones anteriores radica en que ya no se cuenta con un modelo concreto del cuerpo para calcular el área. No obstante, los alumnos que así lo deseen, podrán dibujar los desarrollos planos o trazar por separado las caras que forman al cuerpo.




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PLAN DE TRABAJO DE MATEMATICAS 5° 6°ASIGNATURA: MATEMATICASTEMA EN COMUN: VOLUMEN DE PRISMAS

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PAGINAS DEL LIBRO

EJE Y COMPETENCIA5° Forma, espacio y medida Figuras

TEMAS figurasSUBTEMA cuerpos

6° Forma, espacio y medida FigurasTEMAS figurasSUBTEMA cuerpos

D) CONTENIDOS POR CICLO4.6. Clasificar prismas según el número de caras, aristas y vértices;polígonos que forman sus caras; congruencia de caras o aristas, etcétera. Definir prismas y pirámides y sus alturas.

2.6. Calcular el volumen de prismas rectos construidos con cubos.4.7 Calcular el volumen de prismas mediante el conteo de las unidades que lo forman.

Aprendizajes esperados 5°Comuniquen las características, definan y clasifiquen prismas y pirámides.

APRENDIZAJES ESPERADOS 6°Tracen desarrollos planos, construyan y calculen la superficie lateral y total de prismas y pirámides.Resuelvan problemas que impliquen calcular el volumen de prismas mediante el conteo de unidades cúbicas.


INVESTIGUEN QUE ES VOLUMEN Y COPIENLO EN SU CUADERNOEXPLIQUEN LO QUE ENTENDIO CADA UNO

BUSQUE OBJETOS Y LOS ENLISTE A TODOS AQUELLOS QUE SE LES PUEDA CALCULAR EL VOLUMEN

EXPLICAR POR QUE A LAS FIGURAS PLANAS NO SE LES PUEDE CALCULAR VOLUMEN

ANALICE QUE IMPORTANCIA TIENE QUE ELLOS CONOZCAN COMO CALCULAR EL AREA DE LAS FIGURAS GEOMETRICAS

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5º= 134,135,136,137,138,139,140 6º= 62,63,64, 122,123

OBSERVE EL VIDEO DE CÓMO OBTENER EL VOLUMEN EN DIVERSAS FIGURAS.

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252

ELABORAR DE TAREA CADA ALUMNO 7 CUBOS CON 3CM DE ARISTA Y TRABAJEN EN LA SIGUIENTE TABLAPrisma Número Número Número volumen numero total de cubos de cubos de cubos de cubos largo ancho altura que forman el prisma

A B CD

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RECORTA LAS SIGUIENTES FIGURAS, PEGALAS EN TU LÑIBRETA Y ESCRIBE EL NOMBRE CON SUS CARACTERISTICAS Y CALCULA EL VOLUMEN A 6 DE ELLAS

254

Intenciones didácticasEn esta actividad pueden usarse cubos de plástico o madera. Cada equipo deberá tener alrededor de 40 piezas. Si no se cuenta con cubos se sugiere formar equipos de cinco alumnos y con anticipación pedir a cada uno que arme con cartulina 8 cubos. Una medida adecuada para la construcción de los cubos y para su manejo es 3 cm de arista. La intención de esta actividad es que los alumnos relacionen la idea de volumen de un prisma con el número de cubos que lo forman. No importa el tamaño de estos cubos pues, por el momento, se tomarán como unidad arbitraria de medida. No obstante, se pide que los alumnos cuenten los cubos que tienen sus prismas en sus tres dimensiones (largo, ancho y altura). Tampoco es propósito de esta clase que lleguen a la fórmula largo x ancho x altura, aunque es probable que algunos alumnos lo noten y no tengan que contar el total de cubos para completar la última columna. El docente podrá hacer una tabla en el pizarrón y anotar los resultados de diferentes equipos. Una de las cuestiones a resaltar en la puesta en común es la equivalencia de prismas: Se espera que los alumnos noten que se trata del mismo prisma, por ello es importante preguntarles si son iguales o diferentes. Otra actividad interesante, una vez que se ha completado la tabla en el pizarrón con las medidas de varios prismas, es cubrir (o borrar) alguno de los números y que los alumnos calculen el número borrado. En esta actividad también pueden omitirse dos números, situación que invitará a explorar las diferentes posibilidades para completarlos.Se espera que los alumnos noten que se trata del mismo prisma, por ello es importante preguntarles si son iguales o diferentes. Otra actividad interesante, una vez que se ha completado la tabla en el pizarrón con las medidas de varios prismas, es cubrir (o borrar) alguno de los números y que los alumnos calculen el número borrado. En esta actividad también pueden omitirse dos

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números, situación que invitará aexplorar las diferentes posibilidades para completarlos. Intenciones didácticasQue los alumnos usen la relación entre el largo, el ancho y la altura de un prisma con el volumen del mismo.Consideraciones previasEn la sesión anterior los alumnos tuvieron la oportunidad de calcular volúmenes contando cubos; en esta clase se avanza porque hay obstáculos para que puedan contar todos los cubos. También se predice lo que ocurre al variar alguna o algunas de las medidas de los prismas, siempre en el contexto de calcular los volúmenes mediante el conteo de cubos. Mientras las parejas trabajan, el docente puede observar lo que hacen y si nota que alguna pareja tiene problemas para contestar las preguntas, puede proporcionar algunos cubos para que los alumnos exploren lo que se les indica. Intenciones didácticasQue los alumnos resuelvan problemas que impliquen la idea de volumen de un prisma como la cantidad de cubos que lo forman.Consideraciones previasEl primer problema representa un avance conceptual del alumno con referencia al volumen. Las razones son las siguientes:• En las primeras dos sesiones se calculó el volumen de cuerpos contando cubos. “Las medidas” de los prismas se determinaron según el número de cubos (largo, ancho y altura).• En el inciso a) ya no se pide cuántos cubos se pondrán en cada dimensión. Se pregunta directamente las medidas de la caja.• El problema pretende que el alumno encuentre medidas lineales (centímetros), que al multiplicarlas den como resultado otra medida que él aún no ha trabajado (centímetros cúbicos).Lo anterior pudiera parecer trivial, debido a que estamos acostumbrados a calcular volúmenes de prismas rectangulares multiplicando el largo, el ancho y la altura, sin embargo no es sencillo entender por qué tres medidas lineales forman una medida cúbica. La cuestión, dicha de otra forma, es entender por qué la medida de tres segmentos, al multiplicarlas, da una medida de volumen. Por lo anterior, el docente debe permitir que los alumnos que así lo requieran, sigan dando las dimensiones de la caja en “número de chocolates o cubos”. Es probable que algunos imaginen los cubos de un centímetro acomodados de cierta forma y den la medida de la caja en centímetros lineales. Esto enriquecerá el momento de compartir los cálculos, ya que el maestro podrá comentar con los alumnos que ambos resultados son correctos. El segundo problema implica otro avance: las unidades cúbicas no tienen por qué estar completas y los alumnos podrán compensar las mitades de cubos para formar unidades. Se trata de una analogía que hace referencia al cálculo de áreas formadas por cuadrados y partes de cuadrados. El papel que juega la imaginación espacial es básico, ya que deben interpretar la representación plana del prisma triangular, por no contar con mitades de cubos.


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PLAN DE TRABAJO DE MATEMATICAS 5° 6°ASIGNATURA: MATEMATICASTEMA EN COMUN: PROPORCIONALIDAD

PAGINAS DEL LIBRO

EJE TEMA SUBTEMA5°

TEMA Análisis de la informaciónSUBTEMA Relaciones de proporcionalidad

6° Manejo de la información TEMA Análisis de la información SUBTEMA Búsqueda y organización de la informaciónRelaciones de proporcionalidad

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5º= 69,70 6º= 65,66,67

CONOCIMIENTOS Y HABILIDADES2.10. Aplicar e identificar (en casos sencillos) un factor constante de proporcionalidad

2.7. Interpretar información contenida en distintos portadores5.3. Resolver problemas que involucren constantes de proporcionalidad particulares; resolver problemas en que se requiera tener en cuenta unidades de medida diferentes.5.4. Identificar las situaciones de proporcionalidad, mediante las propiedades de este tipo de relación.

APRENDIZAJES ESPERADOS 5°Resuelvan problemas que impliquen la identificación, en casos sencillos, de un factor constante de proporcionalidad.

APRENDIZAJES ESPERADOS 6°Apliquen el factor constante de proporcionalidad para resolver problemas de valor faltante.Utilicen las propiedades de la proporcionalidad para resolver problemas con diferentes unidades de medida.

G) ACTIVIDADES INICIALES Algunas constantes de proporcionalidad poseen nombres que las identifican, como escala, densidad, velocidad. Se les presentarán problemas a los alumnos en los que se pongan en juego distintas situaciones relativas a estos conceptos.Por ejemplo, representar a escala el edificio de la escuela, después de haber tomado las medidas necesarias. La relación de proporcionalidad subyacente es la que se establece entre las medidas del edificio y el croquis que se quiere trazar. Si bien se puede partir de trabajar con una relación establecida entre dos medidas expresadas como unidades diferentes, por ejemplo, 1 cm - 2 m, posteriormente se considerará la constante de proporcionalidad, denominada factor de escala, que exigirá convertir a una unidad común, se tratará de la constante 1/200. Una vez hallada, esta constante permite calcular cualquier distancia en el croquis si se conoce la correspondiente en el edificio o a la inversa.Este conocimiento se tratará en relación con los del eje Medición y espacio.

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RESUELVEDos ruedas están un idas por una correa t ransmisora . La pr imera t iene un rad io de 25 cm y la segunda de 75 cm. Cuando la pr imera ha dado 300 vue l tas , ¿cuántas vue l tas habrá dado la segunda?

Seis personas pueden v iv i r en un hote l durante 12 d ías por 7920$. ¿Cuánto costará e l hote l de 15 personas durante ocho d ías?

261

Si 12 perros comen 36 kg de alimento en 6 días. ¿Cuántos kg comen 15 perros en 8 días?.Respuesta:

Este problema corresponde a un ejercicio de Proporcionalidad Compuesta, pues intervienen tres o más variables.

En el ejercicio aparecen tres variables: perros, kilos de comida, días. Para resolverlo, cada variable se relaciona por separado con la incógnita. El valor encontrado en la primera relación se aplica en la segunda y así sucesivamente.

1) Se hace una tabla con los datos

Perros Kg alimento Días

12 36 6

15 x 8

Si se relacionan los perros con los Kg de comida se puede deducir que mientras más perros más comida necesitan, o al revés, mientras menos perros menos Kg de comida necesitan, por lo tanto, esta relación es una proporción directa.

La proporción se escribe tal cual:

12 perros_ =

36 Kg_

15 perros x

x = 15 · 36_

12x = 45

Ahora se reemplaza este valor en lugar de 36 y se plantea la nueva proporción:

45_Kg alimento _ =

6 días_

x 8 díasLa relación Kg de alimento es directamente proporcional con los días, pues mientras más alimento, para más días alcanza.

x = 45 · 8_

6 x = 60

Respuesta: Si hay 15 perros y la comida debe alcanzar para 8 días, entonces se necesitarán 60 Kg.

262

Intenciones didácticas

Que los alumnos analicen la información puesta en unas tablas a fin de obtener nueva información mediante algunos cálculos.Consideraciones previasLas dos primeras preguntas propician que los alumnos exploren las tablas, por esta razón es muy probable que no tengan dificultad para contestarlas. Si así sucede y todos los resultados coinciden, no es necesario que expliquen cómo los obtuvieron. Sólo si los alumnos preguntan, hay que decirles que un microgramo es la milésima parte de un miligramo. En la tercera pregunta sí es muy probable que haya resultados diferentes y que algunos sean incorrectos. Por tanto, se recomienda dedicar tiempo suficiente para analizar lo que obtuvieron los equipos y cómo lo obtuvieron. En primer lugar, es necesario que quede claro el significado de los porcentajes que aparecen en las tablas. Algunos alumnos pensarán que, por ejemplo, en una porción de 250 ml de leche el 10.30% de los nutrientes son proteínas. Si así fuera, la suma de todos los porcentajes tendría que ser 100, pero en la otra tabla rápidamente se puede ver que la suma es más de 200%. La pregunta tres implica pensar que los 150 microgramos de vitamina A, que hay en 250 ml de leche, apenas representan el 15% de la cantidad que se recomienda consumir en un día. Dicho de otra manera, si la vitamina A que se requiere consumir en un día solamente se obtuviera de la leche, habría que consumir casi siete porciones de 250 ml. El análisis de la tercera pregunta servirá para entender mejor la cuarta. En ésta la respuesta implica un sí o un no, pero hay que argumentarla. Además de comparar los resultados y procedimientos de las cuatro primeras interrogantes, es importante que los alumnos planteen a sus compañeros la pregunta que inventaron. Los equipos que la propongan validarán si sus compañeros la respondieron bien. Cuando haya error, entre todos analizarán cuál es la falla. Intenciones didácticas Que los alumnos interpreten información matemática impresa en envases de diversos productos.Consideraciones previasCon anticipación, el maestro solicitará a los alumnos un envase, caja o empaque que contenga algún tipo de información numérica. Además, hay que solicitar que inventen una pregunta con la información que contenga el objeto que encuentren. El maestro pedirá a los alumnos que pasen al frente y muestren a sus compañeros el envase que trajeron, que platiquen sobre la información numérica que contiene y que planteen la pregunta que inventaron. Se dará tiempo para que el resto del grupo conteste cada pregunta y si es necesario, se escribirá en el pizarrón la información. Algunos alumnos darán su respuestay entre todos se validará. Es muy probable que el nivel de las preguntas planteadas por los alumnos varíe mucho, desde preguntas que sólo requieran identificar la información hasta aquellas que exijan hacer algún tipo de cálculo o inferencia. El trabajo puede enriquecerse si el docente propicia que el grupo invente otras preguntas con la información del envase del compañero en turno, o bien, si él mismo plantea preguntas interesantes. Este proceso se repetirá con varios alumnos, según lo permita el tiempo de clase.Al comparar relaciones de proporcionalidad con relaciones que no lo son, identificar las siguientes propiedades de una relación deproporcionalidad: Los factores internos se conservan (a doble le corresponde el doble, etcétera).

263

Se verifica la propiedad de la aditividad (a la suma de dos cantidades cualesquiera en un columna les corresponde la suma de suscorrespondientes en la otra columna).El valor unitario que se desprende de cualquier par de valores en correspondencia es siempre el mismo (valores unitarios enteros o no enteros). Existe un número entero o fraccionario que al multiplicarse por cualquier valor del primer conjunto, arroja el valor correspondiente del segundo conjunto. Estos números (entero o fracción) son “factores de proporcionalidad”. Los “productos cruzados” entre dos pares de cantidades correspondientes son iguales.Estas mismas propiedades permiten determinar si una situación es o no de proporcionalidad.





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264



PLAN DE TRABAJO DE MATEMATICAS 5° 6°ASIGNATURA: MATEMATICASTEMA EN COMUN: RAZON Y PROPORCION

PAGINAS DEL LIBRO

EJE TEMA Y SUBTEMAManejo de la información 5°

TEMA análisis de la informaciónSUBTEMA Relaciones de proporcionalidad

6° Manejo de la informaciónTEMA Análisis de la informaciónSUBTEMA Relaciones de proporcionalidad

CONOCIMIENTOS Y HABILIDADES2.11. Comparar razones en casos simples.5.7. Distinguir situaciones de variación proporcional de las que no varían proporcionalmente y establecer una definición de la proporcionalidad

2.8. Resolver problemas de valor faltante que requieran aplicar dos o más factores constantes de proporcionalidad enteros o un factor no entero (fracción o porcentaje).

APRENDIZAJES ESPERADOS 5°Resuelvan problemas que impliquen la identificación, en

casos sencillos, de un factor constante de proporcionalidad

APRENDIZAJES ESPERADOS 6°3. Apliquen el factor constante de proporcionalidad para resolver problemas de valor faltante.

G) ACTIVIDADES INICIALES TRABAJAR CON LAS SIGUIENTES ACTIVIDADES

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5º= 71,72,73 6º= 68,69,

¿Qué es una relación de proporcionalidad?''

Una relación de proporcionalidad es una relación entre dos variables en las que el cociente entre las cantidades que se corresponden es siempre el mismo

y se denomina cociente de proporcionalidad

¿Qué significa que el cociente entre las cantidades que se corresponden es siempre el mismo?.

Ejemplo: Sabiendo que los paquetes de caramelos cuestan lo mismo. 2 paquetes de caramelos cuestan $6 5 paquetes de caramelos cuestan $15 4

paquetes de caramelos cuestan $12 6 dividido 2 ,; 15 dividido 5 ,12 dividido 4, siempre es igual a 3 que, este ejemplo, es el costo de 1 paquete de

caramelo.

¿Qué es la regla de tres?.

Problemas en los cuáles se conocen tres datos y se busca un cuarto.

Ejemplo 1 Si en 2 paquetes de caramelos hay 20 caramelos, ¿cuántos caramelos habrá en 4 paquetes.?

Es tentador decir que habrá 40 caramelos. Pero, ¿en algún momento se aclara que todos los paquetes tienen la misma cantidad de caramelos?.

Para reconocer las relación de proporcionalidad, muchas veces, se dice “a más, más”, “ a menos , menos” Luego es directa

“Regla” no verdadera, pues esto hará que todas las relaciones crecientes sean relaciones e proporcionalidad directa. Ejemplo 2 Si un niño a los 8 (ocho)

meses tiene 4 dientes. ¿Cuántos dientes tendrá a los 10 años?. Según la regla anterior tendrá 60 dientes. ¿Es cierto?.Acaso a más meses de edad , ¿no

tendrá más dientes?.

Conclusiones.

Es importante analizar la condición del problema o se cuál es la constante.

Habrá que hacer una lectura comprensiva y atenta del enunciado.

Si la condición no esta dada, nada podremos decir de la relación.

Analizando la condición en varios ejemplos

266

1.Si en 2 paquete de figuritas hay 10 figuritas cuántas figuritas habrá en 7 paquetes, sabiendo que en todos los paquetes hay la misma cantidad?.

2.Si un planta crece en tres días 4 cm. ¿cuánto crecerá en 6 días?:

3.Un auto recorre 120 km y tarda 2 horas. ¿cuánto tardará en recorrer 270 km, si mantiene la misma velocidad?.

4.El lado de un cuadrado mide 3 cm, ¿cuánto mide su perímetro?.¿Y si el lado mide 5 cm?. ¿Y si mide 7,5 cm?.

En el problema 2. podemos observar que no existe relación de proporcionalidad, ¿ es posible que las plantas crezcan lo mismo todos los días?.

En el problema 3, está aclarado que el auto mantiene la misma velocidad, de lo contrario no sería posible responder. En las situaciones cotidianas, no

existe ninguna relación de proporcionalidad, ya que están sujetas a sucesos imprevistos. Nosotros le imponemos condiciones para que funcionen como

relaciones de proporcionalidad.

El problema 4. Es un problema que indica una relación de proporcionalidad directa, pues el cuadrado siempre tendrá cuatro lados y su perímetro

dependerá de él.

¿Cómo resolvemos problemas de “regla de tres”?.

El siguiente problema: Si dos paquetes de caramelos tienen 20 caramelos, cuántos caramelos habrá en 4 paquetes, sabiendo que todos los paquetes tiene

la misma cantidad de caramelos.

2 p ............ 20 c

4 p.............. ?

Es común escuchar a los alumnos decir: “tenés que hacer 4 por 20 dividido 2”. La famosa “regla de tres” .

Para poder entender esto veamos la propiedades de las magnitudes directamente proporcionales.

1era. Propiedad Si un elemento de la primera magnitud es multiplicado o dividido por un número, el elemento correspondiente quedará multiplicado o

dividido por ese mismo número.

En el ejemplo podemos observar que 4 paquetes es el doble de 2 paquetes., luego contendrá el doble de caramelos. Si quisiéramos saber cuantos

267

caramelos habrá en 6 paquetes. 6 paquetes es el triple de 2 paquetes, luego contendrá el triple de caramelos.

Si la cantidad de paquetes fuera 7. Como en cada paquete. Hay 10 caramelos., en 7 paquetes habrá 70 caramelos.

Veamos otro problema:

Cantidad de pescado en kg. .....3/4 ..............1/4........... ½..........

Precio en $ ..........................2,70 ....... .............31,60

¿Cuál es la forma más sencilla de resolverlo?. Pensamos a ¾ como3 veces ¼, luego el precio será 3 x 2,70 = 8,10

½ puede ser pensado como el doble de ¼ , luego 2 x 2,70 = 5,40

Para calcular ¿cuántos kg de pescado se puede comprar con $21,60.- se puede pensar que 4 veces $2,70 equivale a $10,80 (costo de 1 kg) , luego 21,60

es el doble de 10,80. se pueden comprar 2 kg de pescado.

O también que 21,60 es 8 veces 2,70, luego 8 veces ¼ equivalen a 2 kg.

Conclusión:

Existen distintas formas de resolver un problema.

Cada problema permite poner en juego alguna estrategia diferente.

Cada problema permite emplear alguna propiedad de las relaciones de proporcionalidad.

Cada persona, que resuelve un problema, puede emplear la estrategia que le resulte más accesible y más comprensible.

¿Por qué limitar el trabajo a una sola forma?.

2da. Propiedad a la suma de los elementos de una de las variables, le corresponde la suma de los correspondientes de los elementos considerados.

Para hacer un postre para 4 personas se necesitan 300 g de harina, 150 g de azúcar, 2 huevos y 200 g de manteca. ¿Qué cantidad de ingredientes se

necesitan para preparar el postre para 6 personas, considerando que comerán aproximadamente la misma cantidad ?.

268

...........................................4 personas 2 personas 6 personas

harina (g) ........................300.........................150...................450

azúcar (g).......................150.......................... 75...................225

huevos ............................ 2............................. 1.................... 3

manteca(g) ...................200 ........................... 100................300

Podemos pensar el problema para 2 personas, la mitad de cada ingrediente. Luego sumar las cantidades correspondientes y obtener las cantidades

necesarias para 6 personas.

Aquí ponemos en juego otra propiedad de la proporcionalidad directa. La suma de dos o más cantidades de la primera magnitud se corresponde con la

suma de las cantidades correspondiente en la segunda magnitud.

Esta propiedad es reconocida en forma intuitiva, por los niños, en 2do y 3er año de la EGB1. Al completar la tabla pitagórica, indican: “si sumas la tabla del

2 y la tabla del 3, tenes la tabla del 5”.

Ejemplo:

1 x 2 = 2.....1 x 3 = 3.....1 x 5 = 5

2 x 2 = 4.... 2 x 3 = 6..... 2 x 5 = 10

3 x 2 = 6..... 3 x 3 = 9..... 3 x 5 = 15

Estas y otras conclusiones nos permitirán avanzar en la comprensión, no sólo de las relaciones multiplicativas, sino también en las de la proporcionaldiad.

Por supuesto, no pueden visualizarlo desde la forma simbólica anterior. Pero, si pueden emplearlo en distintas situaciones.

3era. Propiedad. La razón entre dos cantidades de una de las magnitudes es igual a la razón entre las cantidades correspondientes en la otra magnitud.

Retomemos el problema de los caramelos.

2 p ............ 20 c 4 p.............. ?

269

“tenés que hacer 4 por 20 dividido 2”. ¿Por qué?. Lo que estamos diciendo es que: la razón entre 2 y 4 es igual a la razón entre 20 y la cantidad a calcular.

De otra forma: la relación que existe entre 2 y 4 paquetes, es la misma que la que existe entre la 20 y “x” cantidad de caramelos.

2/ 4 = 20/ x

Por lo tanto 2 x X = 20 x 4, el valor de X = 40

Las cuatro cantidades forman proporción. Y en toda proporción el producto de los medios es igual al producto de los extremos.

Errores de enseñanza 2

Volvemos a esa idea de que “ si una aumenta” , la otra “también aumenta”. Haciendo referencia a las magnitudes en juego. Esto no es cierto pues las

funciones lineales cumplen con esta condición y no todas son funciones de proporcionalidad.

Ejemplos:

El costo de la corriente eléctrica. Si bien es cierto que a mayor consumo, mayor es el costo del mismo, si no consumimos nada, igualmente pagamos el

abono. Y si un bimestre, consumimos 50 kw y pagamos $90, no significa que al consumir el doble paguemos el doble.

Por otra parte, si tenemos en cuenta la siguiente función, dada por la fórmula y = - 2

Función de proporcionalidad directa, al ser la constante negativa, provocará que al aumentar una magnitud la otra disminuya.

Proporcionalidad inversa

Una relación de proporcionalidad inversa es una relación entre dos variables en las que el producto entre las cantidades que se corresponden es siempre el

mismo.

Veamos algún problema que se resuelven en la escuela:

1- Para una misma pieza de cinta. Si se cortan 5 trozos de igual longitud, cada trozo mide 24 cm ¿cuál será la longitud de cada trozo si se cortan 10 ?. Y si

se cortan 12 ¿. Y si cada trozo mide 6 cm, ¿cuántos trozos se podrán cortar?.

270

Para resolverlo, ¿cuál es la condición (constante) que permite el cálculo?. Que indique que es para la misma pieza de cinta., es decir la longitud es iguala a

120 cm. Luego si se cortan 10 trozos, cada uno medirá 12 cm. Calcule Usted los restantes.

2. Para preparar el decorado para la feria de ciencias de la escuela, se ha designado a 6 alumnos. Se estima que tardarán 4 días en terminarla. Pero, por

distintos cambos en las actividades escolares, se necesita que esté lista en 4 días. ¿cuántos alumnos más se necesitarán?.

Es indudable que se necesitarán más, pero resolverlo como un problema de proporcionalidad inversa, habrá que suponer que todos los alumnos trabajan

de la misma forma y al mismo tiempo.,de lo contrario no habrá condición que permita el cálculo.. ¿Tiene sentido este tipo de problema?.

Otros contextos de trabajo mejoran la comprensión.

1era. Propiedad Si un elemento de la primera magnitud es multiplicado o dividido por un número, el elemento correspondiente quedará dividido o

multiplicado por ese mismo número.

Un contexto de trabajo puede ser el cálculo de la base o la altura de distintos rectángulos de igual área. Ejemplo: completa con la base o la altura,

sabiendo que él área del rectángulo es iguala 36 cm2

Base altura 3 cm 12 cm 9 cm 4 cm 18 cm 13 cm

Podemos observar que al triple de la longitud de la base, le corresponde la tercera parte de la longitud de la altura. ¿Cuál será la medida de la longitud de

la altura si la base mide 18 cm?. ¿Y si la altura midiera 6 cm?:

Expresa en dm la longitud de un pieza de tela que mide 4 m.

4 m = ......dm

Si se emplea una unidad de medida , dm, que es la décima parte del metro., entonces la medida (el número), será diez veces mayor que 4.

Luego 4 m = 40 dm

Esta relación entre la medida (el número) y la unidad , no es tenida en cuenta , en general, en las aulas. La enseñanza se limita a ir “ hacia la derecha o

izquierda” , “correr la coma”, dejando de lado aspectos tan importantes como el indicado.

3era. Propiedad. La razón entre dos cantidades de una de las magnitudes es igual a la inversa de la razón entre las cantidades correspondientes en la

otra magnitud.

Resolvamos el problema de la base y altura del rectángulo empleando esta propiedad.

271

3/ 13 = x/ 12

Luego: 3 x 12= 13 x X , el valor de X = 2,76 aproximadamente.

VARIACIÓN PROPORCIONAL DIRECTA

1. Una receta para preparar mermelada de ciruelas:

Lave bien la fruta, viértala en una cacerola y agregue tres cuartos de kg de azúcar por cada kilo de ciruelas. Deje cocer hasta que tenga una consistencia más bien espesa, mezclando permanentemente.

Considerando que en un grupo no todas las personas prepararán la misma cantidad de mermelada,� elabora una tabla en la que registran la cantidad de azúcar necesaria para diferentes cantidades de ciruelas.

Comparte los procedimientos usados para realizar los cálculos.�

¿Cómo se hace para calcular, por ejemplo, el azúcar necesaria para 7 kg de ciruelas?

Redacta conclusiones referidas a la variación proporcional directa orientadas por preguntas como:�

¿Qué pasa con la cantidad de azúcar si se duplica la cantidad de fruta?

¿Y si se triplica? ¿O si se ocupa la mitad (medio kilo)?

2. Un viaje en taxi:

Una niña sube con su papá a un taxi y le pregunta al conductor cómo funciona el taxímetro. El

272

conductor le entregó esta explicación:

Cuando se sube un pasajero enciendo el taxímetro, el cual marca $ 150, que es la bajada de bandera por los primeros 200 metros. Después de eso, cada 200 metros el taxímetro va marcando $ 70.

Al llegar a su casa la niña elaboró la siguiente tabla para saber cuánto habían recorrido en el taxi,� considerando que habían pagado $1.690 por el recorrido. Llegó a la conclusión de que habían recorrido más de 4.600 metros pero menos de 5.000.

Analiza la tabla y discute:�

¿Cómo fue haciendo los cálculos la niña?

¿Por qué crees que de 1.000 metros pasa directamente a 2.000 m?

¿Y de 2.000 a 4.000?

¿Es correcto su cálculo?

Ella piensa mirando la tabla:

"4000 metros más los 200 iniciales son $1.400 más $150. O sea, $1.550."

¿Cómo puede haber razonado para determinar que recorrieron menos de 5.000 metros?

3. Analiza las dos situaciones propuestas y establece conclusiones en relación con las características de las variaciones proporcionales directas.

4. Agrega otros valores a la tabla calculando el valor de algunos viajes en el taxi. Por ejemplo, el precio de recorrer 3.800 metros (sin olvidar que los primeros 200 metros cuestan $150).

273

En un segundo ¿se avanza mucho o poco?

Un segundo de tiempo tiene una duración determinada que es la misma en distintas partes del planeta y en diversas circunstancias. Sin embargo puede representar variadas distancias, de acuerdo con la situación de que se trate.

¿Qué significa un segundo en la carrera de 100 m planos para el campeón mundial? ¿Qué implica en términos de distancia, es decir, cuántos metros puede avanzar en 1 segundo? ¿Qué implica en términos de ganar o perder una competencia?

¿Qué significa un segundo en el viaje de un avión? ¿Qué implica en términos de distancia?

¿Qué significa un segundo en la distancia recorrida por un auto fórmula 1, si se compara con el caso de una persona que va caminando?

Para el análisis de las distancias recorridas se puede tener como referencia la siguiente información:

Un avión que realiza vuelos interoceánicos alcanza una velocidad promedio de 960 km/h.

Un auto de carrera de fórmula 1 puede alcanzar una velocidad en tramos rectos de 360 km/h.

El campeón mundial de 100 metros planos recorre esa distancia aproximadamente en 10 segundos.

Una persona camina a 5 km/h.

VARIACIONES PORCENTUALES

1. Una persona deposita en una institución financiera una cantidad de dinero por la cual se gana, acumulativamente, un interés de 2% cada tres meses. Ella desea calcular los intereses y los montos que irá acumulando en cada uno de esos periodos de tiempo y cuánto tendrá al cabo de un año.

Formula hipótesis referidas a la información que desea conocer la persona de la situación:

¿cómo se calcula el interés y el monto total que tendría al cabo de 3 meses?

¿A los seis meses habrá que sumarle el 4% a la cantidad inicial?

274

¿Entonces a los 12 meses tendrá un 8% más que al comienzo?

Si no es así, ¿cómo habría que hacer el cálculo?

Analiza los siguiente procedimiento para calcular el monto total que tendría al cabo de tres meses, es decir, 10.000 más el 2% de 10.000:

10.000 + (10.000 x 2/100) 10.000 x (1 + (2/100)

10.000 x 102/100

10.000 x 1,02

¿Cuál de ellos les parece correcto? ¿por qué?

Elabora una tabla como la siguiente para registrar los cálculos de los intereses y montos sucesivos que se obtendrían con un depósito de, por ejemplo, $150.000.

Monto inicial: $ 150.000

Cálculo del interés Total trimestre

3 meses 2% de 150.000

150.000 x 0.02

150.000 más el 2%

ó

150.000 x 1.02

(u otro procedimiento)

6 meses

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Analiza la siguiente tabla en la que se muestra una manera de calcular la variación del depósito cada tres meses:

Monto inicial 3 meses 6 meses 9 meses 12 meses

150.000 153.000

Comprueba que al mes 12 (o sea, al final del cuarto trimestral) el interés acumulado será igual a

150.000 x 1,02 x 1,02 x 1,02 x 1,02

150.000 x (1,02)4

y que el monto acumulado será igual a 150.000 x 1.0824 = 162364 (aproximadamente)

Justifica el procedimiento utilizado para hacer la comprobación.

Concluye sobre el cálculo sucesivo de un porcentaje y cómo va variando, cada vez que se aplica el porcentaje, el referente.

276

En las actividades de búsqueda de información y relacionado con un mayor dominio de los números decimales por parte de los alumnos se incluirán contextos con medidas, por ejemplo, longitud, peso. Esto permitirá el trabajo con variables continuas y obligará a la definición de intervalos para representar los datos en una tabla de frecuencias. Por ejemplo, un problema que se ha estudiado últimamente es el efecto del peso que cargan los niños en sus mochilas. Se ha descubierto que si cargan más de 10% de su peso corporal pueden tener problemas de salud, por ejemplo de la columna. ¿Qué tantos niños del salón cargan más de 10% de su peso corporal? ¿Todos cargan un peso en sus mochilas proporcional a su peso corporal? Para averiguarlo el maestro llevó una báscula a la clase. Cada alumno se pesó y pesó su mochila; luego encontraron los porcentajes. Diez de los porcentajes encontrados se escriben a continuación: 11.3 7.5 9.3 9.1, 7.1 10.2 7.8 6.4 11.3 14.2Hacer una tabla de frecuencias agrupando los valores que van de 6 a 7, luego de 7 a 8, luego de 8 a 9, etcétera.Hacer una práctica en el salón de clases para saber cuántos alumnos están cargando mochilas que pueden poner en riesgo su salud.Intenciones didácticasQue los alumnos encuentren las relaciones multiplicativas entre las medidas de tres o más figuras hechas a escala.Consideraciones previasEs probable que los alumnos obtengan las medidas de la figura B multiplicando por dos las medidas de la figura A. Para las medidas de la figura C, es probable que consideren el triple de las medidas de la figura B. Hasta esta parte el trabajo es similar a lo que se ha hecho anteriormente. Al dar respuesta a los incisos d), e), f) y g) el maestro debe decir a los alumnos que ese número recibe el nombre de constante de proporcionalidad. Los incisos f) y g), propician que los alumnos pasen de las medidas de la figura A, a las medidas de la figuras C y D. Al contestar estos incisos se espera que los alumnos noten que multiplicar por 2 y luego por 3, equivale a multiplicar por 6. Y que multiplicar por 2, por 3 y luego por 2, equivale a multiplicar por 12. Es importante que al socializar los resultados se subraye lo anterior. Si el docente lo considera conveniente, puede añadir una columna en la tabla para la figura D o agregar otras columnas más (E, F, G, etc.) que el maestro o los alumnos propongan a partir de una figura de referencia. La

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intención es que los alumnos pregunten cuál es la relación de esta nueva figura con las medidas de otras a las que sirvió de referencia. El uso de papel cuadriculado tiene la intención de facilitar los trazos. Intenciones didácticasCompletar tablas de proporcionalidad que impliquen el uso de una constante fraccionaria.Consideraciones previasSe espera que los alumnos resuelvan sin dificultad las dos primeras preguntas. El problema pretende que los alumnos trabajen constantes de proporcionalidad fraccionaria de una manera implícita, debido a que aún no saben multiplicar por una fracción. De esta manera, al dar repuesta a la primera pregunta, se espera que contesten “dividir entre cinco” o “sacar la quinta parte”. Los alumnos han trabajado con números decimales y pueden usar la calculadora, por esta razón es probable que surja la respuesta “multiplicar por 0.2”. Una respuesta poco probable es “multiplicar por 1/5 ”, aunque obviamente, si surge, será interesante trabajar con los alumnos la equivalencia de dividir entre cinco y multiplicar por un quinto o por 0.2. En la segunda pregunta, los alumnos pondrán en juego la idea de constante de proporcionalidad entera; la respuesta más probable es “multiplicar por cuatro”. En la pregunta del inciso c), que tiene mayor complejidad, de ninguna manera se espera que los alumnos respondan “multiplicar por 4/ 5 ”, debido a que aún no saben multiplicar por una fracción. No obstante, es muy probable que los alumnos contesten que deben “dividir entre cinco y el resultado multiplicarlo por 4”. Este tipo de respuesta prepara a los alumnos para que, más adelante, conciban a la multiplicación de fracciones como la aplicación de dos operaciones sucesivas: dividir y multiplicar. Por el momento, es conveniente que la multiplicación de fracciones se exprese como dos operaciones. La última pregunta se plantea para que los alumnos busquen un factor (fraccionario o decimal) que les permita pensar y resolver expresiones como 5 x ___ = 4. Si no determinan dicho factor no hay ningún problema, pues lo sabrán calcular más adelante.




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PLAN DE TRABAJO DE MATEMATICAS 5° 6°ASIGNATURA: MATEMATICASTEMA EN COMUN: PROPORCIONALIDAD ENTERO O FRACCIONARIO

PAGINAS DEL LIBRO

EJE TEMA Y SUBTEMA5°

MISMA ACTIVIDAD ANTERIOR

6° manejo de la informaciónTEMA Análisis de la informaciónSUBTEMA Relaciones de proporcionalidad

CONOCIMIENTOS Y HABILIDADES2.9. Resolver problemas de valor faltante con números enteros en los que se requiera determinar un factor constante de proporcionalidad entero o fraccionario

APRENDIZAJES ESPERADOS5° APRENDIZAJES ESPERADOS 6° Apliquen el factor constante de proporcionalidad para resolver problemas de valor faltante.

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5º= 73 6º= 72,73

G) ACTIVIDADES INICIALES RESUELVA LO SIGUIENTE

VARIACIÓN PROPORCIONAL DIRECTA

1. Una receta para preparar mermelada de ciruelas:

Lave bien la fruta, viértala en una cacerola y agregue tres cuartos de kg de azúcar por cada kilo de ciruelas. Deje cocer hasta que tenga una consistencia más bien espesa, mezclando permanentemente.

Considerando que en un grupo no todas las personas prepararán la misma cantidad de mermelada,� elabora una tabla en la que registran la cantidad de azúcar necesaria para diferentes cantidades de ciruelas.

Comparte los procedimientos usados para realizar los cálculos.�

¿Cómo se hace para calcular, por ejemplo, el azúcar necesaria para 7 kg de ciruelas?

Redacta conclusiones referidas a la variación proporcional directa orientadas por preguntas como:�

¿Qué pasa con la cantidad de azúcar si se duplica la cantidad de fruta?

¿Y si se triplica? ¿O si se ocupa la mitad (medio kilo)?

2. Un viaje en taxi:

Una niña sube con su papá a un taxi y le pregunta al conductor cómo funciona el taxímetro. El

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conductor le entregó esta explicación:

Cuando se sube un pasajero enciendo el taxímetro, el cual marca $ 150, que es la bajada de bandera por los primeros 200 metros. Después de eso, cada 200 metros el taxímetro va marcando $ 70.

Al llegar a su casa la niña elaboró la siguiente tabla para saber cuánto habían recorrido en el taxi,� considerando que habían pagado $1.690 por el recorrido. Llegó a la conclusión de que habían recorrido más de 4.600 metros pero menos de 5.000.

Analiza la tabla y discute:�

¿Cómo fue haciendo los cálculos la niña?

¿Por qué crees que de 1.000 metros pasa directamente a 2.000 m?

¿Y de 2.000 a 4.000?

¿Es correcto su cálculo?

Ella piensa mirando la tabla:

"4000 metros más los 200 iniciales son $1.400 más $150. O sea, $1.550."

¿Cómo puede haber razonado para determinar que recorrieron menos de 5.000 metros?

3. Analiza las dos situaciones propuestas y establece conclusiones en relación con las características de las variaciones proporcionales directas.

4. Agrega otros valores a la tabla calculando el valor de algunos viajes en el taxi. Por ejemplo, el precio de recorrer 3.800 metros

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(sin olvidar que los primeros 200 metros cuestan $150).

En un segundo ¿se avanza mucho o poco?

Un segundo de tiempo tiene una duración determinada que es la misma en distintas partes del planeta y en diversas circunstancias. Sin embargo puede representar variadas distancias, de acuerdo con la situación de que se trate.

¿Qué significa un segundo en la carrera de 100 m planos para el campeón mundial? ¿Qué implica en términos de distancia, es decir, cuántos metros puede avanzar en 1 segundo? ¿Qué implica en términos de ganar o perder una competencia?

¿Qué significa un segundo en el viaje de un avión? ¿Qué implica en términos de distancia?

¿Qué significa un segundo en la distancia recorrida por un auto fórmula 1, si se compara con el caso de una persona que va caminando?

Para el análisis de las distancias recorridas se puede tener como referencia la siguiente información:

Un avión que realiza vuelos interoceánicos alcanza una velocidad promedio de 960 km/h.

Un auto de carrera de fórmula 1 puede alcanzar una velocidad en tramos rectos de 360 km/h.

El campeón mundial de 100 metros planos recorre esa distancia aproximadamente en 10 segundos.

Una persona camina a 5 km/h.

Intenciones didácticasQue los alumnos usen diferentes recursos para encontrar valores faltantes en tablas de proporcionalidad, tales como el valor unitario o las razones internasConsideraciones previasAlgunas de las cantidades que faltan en la tabla son fáciles de calcular, siempre y cuando se parta del doble y triple de la cantidad de clavos para 3 sillas. Por ejemplo, el número de clavos para 6 sillas es el doble de clavos para 3 y el de 9 sillas es el triple. Otras cantidades forzarán al alumno a buscar otras estrategias, por ejemplo, para 7 sillas, los alumnos se verán obligados a calcular el valor unitario, es decir, el número de clavos que se necesitan para una silla. El valor unitario es útil para calcular cualquiera de los valores y, además, para responder la pregunta sobre la constante de proporcionalidad. Así, para obtener el número de clavos de cualquier valor basta con multiplicar la constante por el número de sillas. No obstante que los alumnos hayan calculado el valor

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unitario, es recomendable que al compartir sus resultados se trabajen otras estrategias, preferentemente surgidas en el grupo. Para enriquecer la actividad, el maestro puede plantear estrategias como la siguientes: el número de clavos para 16 sillas puede calcularse sumando el número de clavos para 7 y para 9 sillas; para 19 sillas se obtiene sumando el número de clavos para 3, 7 y 9 sillas. El número de clavos para 60 sillas es el doble del número de clavos para 30 sillas, 10 veces el de 6 sillas, o 20 veces el de 3 sillas. Estos procedimientos de resolución ponen en juego diferentes propiedades de las tablas de proporcionalidad. Es recomendable que, al finalizar la actividad, el maestro haga notar que al dividir el número de clavos entre el número de sillas siempre se obtiene el mismo valor. Este valor es la constante de proporcionalidad.

Intenciones didácticasQue los alumnos empiecen a relacionar la división entre un número natural (n) con la multiplicación por el inverso multiplicativo de ese número natural 1 n , al completar tablas de proporcionalidad directa en las que la constante es un número fraccionario.Consideraciones previasEn el caso de la casa de empeño A, que es el más sencillo, seguramente el procedimiento más generalizado será dividir entre 10 las cantidades prestadas, pero también puede ser que algunos multipliquen por 1 10 o por 0.1. Si alguno de los equipos propone la multiplicación por 0.1, es importante comentar que este número es la constante de proporcionalidad. Es poco probable que surja el procedimiento para multiplicar por 1 10 (escrito como fracción), no obstante, si esto sucede, el maestro puede aprovechar la ocasión para indicar que multiplicar por 1 10 equivale a multiplicar por 0.1 y también a dividir entre 10 (la décima parte). Es importante que los alumnos interpreten que 10% significa 10 por cada 100 pesos que prestan, es decir, por 100 pesos se pagan 10 pesos de interés, por 200 pesos se pagan 20 pesos, etc. De esta manera se reafirma lo que es el porcentaje y, además, se facilita el cálculo de los intereses que cobra la casa de empeño B. El factor de proporcionalidad de la casa de empeño B es una fracción (9 100), pero por el momento no se espera que los alumnos sepan multiplicar las cantidades prestadas por 9/100, porque esto implica la multiplicación por fracciones que aún no han estudiado. En el apartado 2.8 los alumnos iniciaron el estudio de este tipo de constantes, interpretándolas como la aplicación sucesiva de dos operaciones, en este caso, dividir entre 100 la cantidad prestada y multiplicar el resultado por 9. Realmente se esperan otro tipo de interpretaciones y procedimientos, por ejemplo, que 100 significa que se pagan 9 pesos por cada 100 pesos que se prestan. Como todas las cantidades son múltiplos de 100, los alumnos pueden calcularlas aún cuando no sepan multiplicar fracciones. También es probable que usen el doble y triple de algunas cantidades; por ejemplo: si por 100 pesos se pagan 9 pesos, por 200 pesos se pagará el doble ($18), por 400 pesos el doble de 200 pesos (36) y por 800 pesos se puede pensar como 8 veces el interés de 100 pesos, cuatro veces el de 200 pesos o el doble de lo que se paga por 400 pesos. También puede suceder que usen sumas; así, el interés que se paga por 1 000 pesos es la suma del interés que se paga por 800 pesos, más el interés que se paga por 200 pesos. Si algún equipo llegara a interpretar 9/100 como 0.09 y, si al usar su calculadora, se diera cuenta que el interés se puede calcular multiplicando la cantidad prestada por 0.09, éste es un buen momento para indicar que 0.09 o 9/100 es la constante de proporcionalidad, con lo cual se socializa este resultado.


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PLAN DE TRABAJO DE MATEMATICAS 5° 6°ASIGNATURA: MATEMATICASTEMA EN COMUN: MEDIA Y PRMEDIO Y MEDIANA

PAGINAS DEL LIBRO

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5º= 174,175,176,177,178,179,180

6º= 74.75,76,77,

EJE TEMA SUBTEMA5° Manejo de la información

TEMA Análisis de la informaciónSUBTEMA Medidas de tendencia central

6° Manejo de la informaciónTEMA Representación de la informaciónSUBTEMA Medidas de tendencia central

CONOCIMIENYTOS Y HABILIDADES5.8. Representar un conjunto de datos con la media (promedio).

2.10. Resolver problemas que involucren el uso de la media (promedio) y de la mediana.

APRENDIZAJES ESPERADOS 5°Resuelvan problemas que impliquen reconocer si el promedio es representativo en un conjunto de datos.

APRENDIZAJES ESPERADOS 6°Usen las medidas de tendencia central (media, mediana y moda) para resolver problemas..


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El grupo de 6º grado aplicará una encuesta a sus compañeros de 3º,4º 5º y 6º sobre.

A ¿En que mes es tu cumpleaños

B ¿Cuántos hermanos tienes?

¿Cuántas hermanas?

C ¿Qué música te gusta más?

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D ¿Cuál es tu color favorito?

E ¿Cuántos años tienes?

F ¿Qué día de la semana es tu favorito?

G ¿Cuál es tu deporte favorito?

H ¿Cuál es tu asignatura favorita?

De toda la entrevista realizar el promedio y la mediana.

Solicitar si alguien sabe sacar la mediana y el promedio, socializar la respuesta: si ésta no fluye correctamente introducir el concepto de lo lo

que es sacar el promedio y consecutivamente la mediana

MEDIANA es una cantidad que queda justo al centro de varias cantidades ordenadas en forma ascendente o descendente, pero es mas lógico

hacer el ordenamiento de menor a mayor

PROMEDIO para obtener el promedio se suman los elementos y se divide entre el número de sumandos

Los alumnos de 5º grado solicitaran sus calificaciones y realizarán una grafica de sus propias calificaciones, todos tendrán sus calificaciones,

ellos calcularan el promedio general de todo el grupo y de cada asignatura. También solicitarán si así lo aceptan los alumnos de 6º grado las

calificaciones de ellos para que realicen el mismo procedimiento y luego realice las graficas de los dos grupos estableciendo una comparación

entre ambos

Posteriormente resuelva las páginas señaladas de su libro de matemáticas

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Intenciones didácticasQue los alumnos distingan entre la representatividad de la media y la mediana de un conjunto de datos.Consideraciones previasEn el inciso a se pide el cálculo de la media, que de acuerdo con el programa ya ha sido estudiada con anterioridad. Es probable que los alumnos la identifiquen más como “promedio”. Si el maestro nota que algunos alumnos no identifican cuál es la media, puede recordarles que es igual a lo que ellos conocen como promedio (por ejemplo, el de sus calificaciones). El inciso b introduce la idea de mediana. Tanto la media como la mediana pueden ser valores representativos de un conjunto de datos; ambos valores se llaman medidas de tendencia central. La idea es que los alumnos no sólo sepan cómo hallar la media y la mediana, sino también que identifiquen cuál de estos valores es más adecuado para representar a un conjunto de datos. En este caso, se espera que los alumnos noten que la mediana (28 años) es más representativa de las edades que tienen las personas que están en la reunión. Esto se debe a que los datos 70 y 82 años afectan a la media, (37 años) porque en este caso el número total de años (334) se distribuye equitativamente, pero no sucede lo mismo con la mediana. En general, los valores extremos muy alejados de la mayoría de los otros datos afectan a la media, dándole un valor que no es muy representativo del conjunto; en estos casos la mediana puede ser más útil. Al comentar los resultados se sugiere que el maestro mencione a los alumnos que en el inciso b calcularon la mediana y que, al igual que la media, es un valor que se usa para representar un conjunto de datos. Es importante mencionar que en ocasiones conviene usar la media y en otras la mediana, ya que entre las dos hay diferencias. Se sugiere afirmar lo que se ha estudiado calculando medias y medianas de datos como: pesos de alumnos, estaturas, edades, número de hermanos, etcétera. Intenciones didácticas Que los alumnos analicen las características de la media y la mediana de un conjunto de datos.Consideraciones previasLos alumnos deben saber calcular la media y la mediana de un conjunto de datos, así como identificar cuál de las dos medidas es más representativa, o si son igualmente representativas. También es importante que reconozcan sus características. Con las últimas preguntas se pretende que los alumnos comprendan que el valor de la media no siempre forma parte del conjunto de datos. Además, esta medida puede ser un número decimal que, en el ejemplo analizado, no tiene sentido como dato (no puede haber 4.36 hijos) pero sí lo tiene como medida representativa del conjunto, por ejemplo: en promedio, las 11 familias encuestadas tienen más de cuatro hijos aunque no llegan a cinco. Por otro lado, la mediana de este conjunto de datos sí forma parte de ellos (aunque no siempre es así) y sabemos que hay el mismo número de datos antes que la mediana y después de ella.



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PLAN DE TRABAJO DE MATEMATICAS 5° 6°ASIGNATURA: MATEMATICAS TEMA EN COMUN: MULTIPLOS Y SUBMULTIPLOSTema. Significado y uso de los números

PAGINAS DEL LIBRO

EJE TEMA Y SUBTEMA5° Sentido numérico y pensamiento algebraico

Forma, espacio y medidaTEMA M,edidas SUBTEMA unidadesTEMA Significado y uso de las operacionesSUBTEMA Problemas multiplicativos

6° Sentido numérico y pensamiento algebraicoTEMA Significado y uso de los númerosSUBTEMA Números naturales

CONOCIMIENTOS Y HABILIDADES2.9. Realizar conversiones entre los múltiplos y submúltiplos del metro, del litro y del kilogramo.

3.1. Determinar múltiplos de números naturales

5°Resuelvan problemas que impliquen el uso de múltiplos de números naturales.Resuelvan problemas que impliquen conversiones entre múltiplos y submúltiplos del metro, litro y kilogramo.

APRENDIZAJES ESPERADOS 6°Determinen por estimación, el orden de magnitud de un cociente.

G) ACTIVIDADES INICIALES MÚLTIPLOS

INDICAR A LOS ALUMNOS QUE LEAN EL TITULO, BUSQUEN EN EL DICCIONARIO LA PALABRA MÚLTIPLO Y TRATEN DE ADIVINAR EL CONTENIDO DE ESTA LECCIÓN.

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5º= 66,67,68 6º= 80,82,83

EL CERO ES MÚLTIPLO DE CUALQUIER NÚMERO NATURAL.

Solicitare los alumnos que observen la información y expliquen qué es un número natural.

Formular preguntas como las siguientes: ¿El 4 es múltiplo de 2? ¿Por qué? ¿El 3 es múltiplo de 2?

Indicarles que mencionen múltiplos de 2 diferentes de los que se muestran en la tabla. Pedirles que, en sus cuadernos, elaboren tablas similares de los primeros 10 múltiplos de 3 4 y 5.

Pedir a los estudiantes que lean la instrucción y observen el ejemplo resuelto. Preguntarles cómo encontrarán los múltiplos de 8. Resolver la actividad con ellos en el pizarrón. Después, permitir que los alumnos resuelvan solos los demás ejercidos.

Rodea los números correspondientes.

Al finalizar la actividad, dirigir a los niños para que, mediante las rectas, observen algunas propiedades de los números. Para ello, formularles preguntas como éstas: ¿El cero es múltiplo de 2,8, 6 y 10? ¿Será el cero múltiplo de cualquier número? ¿Por qué? ¿El 2 es múltiplo de 2? ¿El 8 es múltiplo de 8? ¿El 6 es múltiplo de 6? ¿Un número será siempre múltiplo de si mismo?

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MÚLTIPLOS DE:

Guiar a los alumnos para que concluyan que la recta numérica es un modelo geométrico para propiciar el conocimiento de algunas propiedades de los números

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Comentar a los niños que se pueden construir rectángulos que cumplan el siguiente requisito: la longitud de la base es 2 y la del área igual que un múltiplo de 2. Realizar en el pizarrón los siguientes dibujos:

Solicitar a los educandos que elaboren rectángulos con una base de 3 cuadros y áreas de 3. 6. 9 y 12 cuadros: base de 4 cuadros y áreas de 4, 8, 12 y 16 cuadros, etc.

ANOTA LOS MÚLTIPLOS QUE SE PIDEN.

Al finalizar la actividad, solicitar a los discentes que representen en rectas numéricas los múltiplos que encontraron.

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COLOREA LAS REGIONES SEGÚN LA CLAVE.

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Organizar juegos como el siguiente: pedir a los niños que se numeren consecutivamente, pero en lugar de decir los múltiplos de 4 deberán dar una palmada. En otras palabras, el primer niño dice uno; el segundo, dos; el tercero, tres; el cuarto da una palmada: el quinto dice 5 etcétera.ÇÇ

Intenciones didácticasQue los alumnos determinen múltiplos de un número natural al multiplicar ese número por cualquier otro número natural.Consideraciones previasLa noción de múltiplo se ha trabajado en años anteriores y se han determinado múltiplos por diversos procedimientos; ahora se trata de obtener múltiplos de un número cualquiera. Para lograr esto, se multiplica dicho número por cualquier otro número natural. Los

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problemas de la consigna pueden resolverse de diferentes maneras; los alumnos podrán escribir todos los números involucrados hasta encontrar la respuesta o bien contar oralmente de 3 en 3, de 5 en 5, etc., hasta poder contestar. Ante estas posibles estrategias, se sugiere cambiar los números que se dirán o los del intervalo de la trampa por otros más grandes, con la idea de que los estudiantes busquen otras alternativas. Algunas preguntas que pueden propiciar esta búsqueda para el problema 1 son: ¿Será indispensable escribir o decir toda la serie de números de 3 en 3?• ¿De qué manera se puede obtener cualquier elemento de la serie a partir del 3?La intención es que adviertan que los múltiplos de 3 se pueden obtener al multiplicar 3 por cualquier número natural y que utilicen este conocimiento para resolver el problema.El 28 no se dirá, porque no existe un número natural que al multiplicarlo por 3 se obtenga 28; el 28 no es múltiplo de 3. Intenciones didácticasQue los alumnos identifiquen las características de los múltiplos de 2, 3, 5 y 10, mediante el análisis de la tabla pitagórica.Consideraciones previasEs importante enfatizar en la puesta en común que para completar la tabla de manera directa se obtiene el producto correspondiente sin que se tenga que repetir la serie completa. También es conveniente interpretar la tabla como el registro de los 10 primeros múltiplos de los números que van del 1 al 10. La finalidad principal es que los estudiantes, a través del análisis de los 10 primeros múltiplos, .identifiquen las características de algunos números como los siguientes:Los múltiplos de 2 terminan en 0 o cifra par.La suma de las cifras de los múltiplos de 3, también es múltiplo de 3.Los múltiplos de 5 terminan en 0 o 5.Los múltiplos de 10 terminan en 0.Algunas preguntas para profundizar en el tema son las siguientes:¿Todos los números naturales son múltiplos de 1?¿Qué característica común tienen los múltiplos de 6 y 9?¿El 0 es múltiplo de todos los números naturales?¿La serie de los múltiplos de cualquier número es infinita? Intenciones didácticasQue los alumnos resuelvan problemas que impliquen determinar múltiplos de números naturales.Consideraciones previasLas actividades de la consigna están diseñadas para que los estudiantes apliquen sus conocimientos sobre la determinación de múltiplos de números naturales. Para la actividad 1 hay que tener presente que los números pueden colocarse de dos maneras, ambas correctas; por ejemplo, 28 es múltiplo de 4 porque 4 x 7 = 28 y 28 es múltiplo de 7 porque 7 x 4 = 28. Es importante insistir en que para la obtención de los múltiplos de un número a se debe privilegiar la multiplicación de a por cualquier número natural, lo cual es de interés fundamental en este apartado.

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Plan de clase (3




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PLAN DE TRABAJO DE MATEMATICAS 5° 6°ASIGNATURA: MATEMATICASTEMA EN COMUN: FRACCIONES Y DECIMALES

PAGINAS DEL LIBRO

EJE Y COMPETENCIA5°

TEMA Significado y uso de los númerosSUBTEMA Números fraccionarios Y NUMEROS DECIMALES

6° Sentido numérico y pensamiento algebraicoTEMA Significado y uso de los númerosSUBTEMA números naturales

CONOCIMIENTOS Y HABILIDADES3.3. Usar escrituras con punto decimal hasta milésimos para expresar medidas. Comparación y orden.3.4. Resolver problemas que implican sumar o restar fracciones (denominadores diferentes) y números decimales.

5.2. Comparar fracciones y decimales, identificar diferencias entre el orden de los decimales y el orden de los números naturales al analizar la propiedad de densidad.

3.7. Resolver, mediante diferentes procedimientos, problemas que impliquen a la noción de porcentaje: aplicar porcentajes,determinar el porcentaje que una cantidad representa en casos sencillos, (10%, 20%, 50%, 75%); aplicar porcentajes mayores que 100%.3.8. Establecer equivalencias entre distintas expresiones de un porcentaje: n de cada 100, como una fracción, como decimal.4.1. Determinar los divisores de un número4.2. Convertir fracciones decimales a escritura decimal y viceversa. Aproximar algunas fracciones no decimales usandola notación decimal.4.3. Resolver problemas de conteo que involucren permutaciones sin repetición.4.10. Resolver problemas que impliquen comparar razones del tipo “por cada n, m” mediante diversos procedimientos y en casos sencillos, expresando el valor de la razón mediante un número de veces, una fracción o un porcentaje.

APRENDIZAJES ESPERADOS 5° APRENDIZAJES ESPERADOS 6°301

5º= 89,90,91,92,93 6º= 84,85,96,97,98, 99,100,106,107,108110,111,112, 113,114

Resuelvan problemas que impliquen sumar o restar fracciones (con denominadores diferentes) y decimales.Resuelvan problemas de comparación y orden entre números decimales.

Determinen por estimación, el orden de magnitud de un cocienteCalculen el porcentaje, lo identifiquen en distintas expresiones (n de cada 100, fracción, decimal) y resuelvan problemasOrdenen, encuadren, comparen y conviertan números fraccionarios y decimales.Ordenen, encuadren, comparen y conviertan números Ordenen, encuadren, comparen y conviertan números fraccionarios y decimales fraccionarios y decimalesResuelvan problemas que impliquen comparar razones

G) ACTIVIDADES INICIALES Así como la división sucesiva en mitades genera un sistema de medidas, la división sucesiva en 10 partes genera otro sistema, el de las fracciones decimales, importante por la gran facilidad que ofrece para manipular las fracciones y por ser el que se usa comúnmente. Un contexto adecuado para introducir estas fracciones es el de la medición de longitudes. Pueden hacerse las siguientes actividades: a) dado un sistema de tiras (la unidad, el décimo, el centésimo) se midan longitudes, se registren, se comparen; b) dadas dos medidas, se anticipe cuál es mayor y después se verifique. Las mismas actividades pueden aprovecharse para que los alumnos identifiquen algunas equivalencias entre fracciones decimales y expresiones aditivas con fracciones decimales, por ejemplo 10/100 = 1/10; 30/100 = 3/10; 23/100 = 2/10 + 3/100.

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AMPLIFICACIÓN Y SIMPLIFICACIÓN

1. Trabaja con papel lustre;

Doblando sucesivamente un papel lustre, obtener medios, cuartos y octavos. Doblando otro papel lustre, obtener tercios y sextos.

Doblando otro papel lustre, obtener tercios y novenos.

Con otro, obtener quintos y décimos.

Reflexiona y establece equivalencias respondiendo:

¿cuántos cuartos cubren un medio del entero?

¿cuántos octavos cubren un medio del entero?

¿cuántos octavos cubren un cuarto del entero?

¿cuántos sextos son equivalentes a dos tercios?

¿cuántos novenos son equivalentes a dos tercios?

Con cuatro décimos de un papel lustre ¿cuántos quintos puedes cubrir?

2. Trabaja con 6 cuerdas o tiras de papel de igual longitud

a) Utilizando 3 huinchas:

En una marcan 0; 1/2 ; 2/2 ;

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en otra 0; 1/4 ; 2/4 ; 3/4 ; 4/4 ; y

en otra 0; 1/8 ; 2/8 ; 3/8 ; 4/8 ; 5/8 ; 6/8 ; 7/8 ; 8/8.

Determina las fracciones equivalentes comparando las huinchas de papel y escribe las equivalencias.

Reflexiona:

¿con cuántos cuartos se cubre la mitad de la huincha?

¿con cuántos octavos se cubre la mitad de la huincha?

b) Utilizando los otros 3 cordeles o huinchas:

en una marcan los tercios ( 1/3 y 2/3 )

en otra los sextos ( 1/6 ; 2/6 ; etc.)

en la última marcan los novenos ( 1/9 ; 2/9 ; etc.)

Determina las fracciones equivalentes comparando las huinchas de papel y escriben las equivalencias.

Reflexiona:

¿con cuántos sextos se cubre un tercio de un entero? (huincha)

¿con cuántos novenos se cubre un tercio del entero?

c) Busca fracciones equivalentes comparando las huinchas con medios, cuartos y octavos con las que tienen marcados los tercios, sextos y novenos.

3. Utilizando las conclusiones de una actividad como la anterior, busca otras equivalencias entre fracciones (quintos y décimos)

Registra en tarjetas las familias de fracciones equivalentes que se encontraron. Por ejemplo, en una tarjeta escriben 1/2 y todas las equivalentes a ella.

La tarjetas son compartidas en el curso. Agregar a las tarjetas otras fracciones equivalentes a la elegida como representante.

304

ANALIZAR Y REPRESENTAR FRACCIONES POR UN ENTERO

1. Lee y comenta la siguiente situación:

"Durante un experimento, después de 15 minutos del inicio y luego cada 1/4 de hora sucesivamente, se deben poner gotas de agua a una mezcla".

a) Representa 1/4 de hora. Por ejemplo, en un reloj:

b) Representa el tiempo transcurrido desde la primera hasta la segunda aplicación. Por ejemplo,

c) RespondE:

¿Cuánto tiempo transcurre desde el inicio del experimento hasta la cuarta aplicación de agua?

¿Después de cuánto tiempo le corresponde la 10ª aplicación?

d) Completan una tabla con la información anterior.

305

e) Si las gotas se administraran después de 45 min y sucesivamente cada 3/4 de hora, ¿cuál sería el tiempo transcurrido desde la primera aplicación hasta la quinta?

Completan una tabla como la siguiente:

2. Representa en una recta numérica multiplicaciones como las siguientes:

4 x 1/2 como 4 veces 1/23 x 1/2 como 3 veces 1/22 x 1/2 como 2 veces 1/21 x 1/2 como 1 vez 1/2Por ejemplo,

306

Comparte y discute tus representaciones. Explica tus procedimientos.

Cuadrados Mágicos

Completa los siguientes cuadrados mágicos de modo que la suma de filas, columnas y diagonales de siempre el mismo número

307

Matemáticas: Sumar fracciones

Hay dos casos:

Fracciones que tienen el mismo denominador; Fracciones que tienen el distinto denominador

Primer caso: la suma de dos ó más fracciones que tienen el mismo denominador es muy sencilla, sólo hay que sumar los numeradores y se deja el denominador común. Ejemplo:

4 2 6

---- + ---- = ---

5 5 5

Segundo caso: la suma de dos o más fracciones con distinto denominador es un poco menos sencilla. Vamos paso a paso:

1º. Se haya el mínimo común múltiplo de los dos denominadores

2º Se calcula el numerador con la fórmula: numerador antiguo x denominador común y dividido por denominador antiguo

3º Se procede como en el primer caso (dado que las fracciones tienen el mimos denominador)

308

Ejemplo:

3 4

---- ----

4 2

1º Calculamos el mínimo común múltiplo (m. c. m.) el m.c.m. (4, 2) = 4.

2º Calculamos los numeradores.

Numerador de la primera fracción: 3 x 4 : 4 = 3Numerador de la segunda fracción: 4 x 4 : 2 = 8

3º Tenemos pues una fracción que es:

3 8

---- ----

4 4

como los denominadores son idénticos podemos sumarla como en el caso 1.

4º Suma:

3 8 11

---- + ---- = ---

4 4 4

309

RESOLVER LOS SIGUIENTES PROBLEMAS

El jefe de Cheo repartió los trabajos de contabilidad de urgencia entre algunos de los contables. A Cheo le tocó una cuarta parte (1/4) de los trabajos de urgencia más la tercera (1/3) parte del trabajo que le iba a tocar al empleado que faltó. En total , ¿que parte del trabajo tiene que realizar Cheo?

1 + 1 = 1(3) + 4(1) = 3 + 4 = 7

4 3 (4)(3) 12 12

Solución: Cheo tuvo que realizar 7/12 del trabajo.

Volviendo a Cheo, ¿7/12 es menor o mayor que 1/2 ?

7 ? 1 7(2) > 12(1), por lo tanto 7 > 1

12 2 12 2

De modo que Cheo realizó más de la mitad del trabajo.

Veamos otro ejemplo:

A María le tocaba una tercera parte de la herencia de su padre. Su madre le cedió a ella dos quintas partes adicionales que le tocaban a ella. ¿En total qué parte de la herencia la tocó a Maria?

Solución

1 + 2 = 1(5) + 3(2) = 5 + 6 = 11

3 5 15 15 15

A María le tocó 11/ 15 de la herencia de su padre.

310

Suma de Fracciones B

Para sumar dos fracciones, hay que tener en cuenta de que existen 2 tipos de fracciones:

1. Fracciones homogéneas ( 1, 3, 5 ) 4 4 4 2. Fracciones heterogeneas ( 1, 2, 3 ) 3 5 7

Las fracciones homogéneas son las fracciones que tienen el mismo denominador; y las fracciones heterogeneas son las fracciones que tienen diferentes denominadores.

Ejemplo de suma de fracciones homogéneas:

1 + 3 = 4 <Son fracciones homogéneas ya que 5 5 5 tienen el mismo denominador. Las fracciones homogéneas, en suma, se suman los numeradores y el denominador se queda igual.>

2 + 3 = 5 7 7 7

Ejemplo de suma de fracciones heterogéneas:

1 +1 4 2 <Aquí es diferente, las fracciones son heterogéneas; los denominadores son diferentes.>

311

Para sumar fracciones heterogéneas:

1. Se multiplican los denominadores. 2. Se multiplica cruzado y se coloca en el numerador. 3. Se suman los productos para obtener el numerador.

1 + 1 4 2 Paso 1 : 1 + 1 = ___ <Se multiplicaron los denominadores 4 · 2 = 8> 4 2 8

Paso 2 : 1 + 1 = (2 ·1) + (4 · 1) < Se multiplicó cruzado> 4 2 8

Paso 3: 2 + 4 = 6 < Se suman los productos para obtener el numerador.> 8 8

Paso 4: 6 ÷ 2 = 3 < Se simplifica la fracción si es posible.> 8 2 4

Resta de Fracciones

En la resta de fracciones, se utilizan las mismas reglas de la suma de fracciones; pero en este caso hay que restar.

Ejemplo 1:

5 - 1 = 4 Resta de Fracciones Homogéneas 9 9 9

Ejemplo 2:

2 - 1 = ( 2 · 2) - (3 · 1) = 4 - 3 = 1

312

3 2 6 6 6

Ejercicios de práctica suma y resta de fracciones

1, 2 y 3. Realiza estas restas:

5/6 - 1/4 =

5/9 - 1/6 =

4/5 - 2/7 =

4, 5 y 6. Realiza estas restas, haciéndolo antes en el papel y comprueba después:

3 y 5/6 - 2 y 2/6 =

3 y 3/7 - 2 y 1/7 =

4 y 2/3 - 2 y 1/2 =

7, 8, 9 y 10. Resuelve estos problemas:

Un trabajador gana diariamente 36 y 3/7 euros y gasta 22 y 2/7 euros ¿Cuánto ahorra diariamente?

313

De un conjunto de cromos, Isabel regala primero 2/5 y después 1/4. ¿Qué fracción de cromos le queda?

Me toca en herencia 2/5 de una finca y compro 1/4 de ella. ¿De qué fracción soy dueño?

María tiene 4 y 2/5 euros y José 7 y 3/5 euros. ¿Cuánto tienen entre los dos?

11, 12 y 13. Resuelve estos ejercicios:

1/7 de 28 =

2/5 de 500 =

5/8 de 160 =

14, 15 y 16. Multiplica estas fracciones: 314

2/3 x 3/7 =

3/4 x 2/5 =

3/8 x 4/9 =

17, 18, 19 y 20. Realiza estos problemas:

¿Cuánto valen 185 litros de vino a 2/7 euros el litro?

Un comerciante vende 2/5 de tonelada de carbón a 1/5 euros el kilogramo. ¿Cuántos euros cobrará?ç

¿Cuántos minutos son 1/3 de 1/2 hora?

Una persona pinta una habitación en 5 horas. ¿Qué parte de la habitación pinta en 1 hora?

315

21, 22 y 23. Resuelve estas divisiones:

2/3 : 1/5 =

4/3 : 1/7 =

5/8 : 2/5 =

24, 25 y 26. Realiza estos ejercicios:

3/11 : 4 =

8/17 : 3 =

6/19 : 5 =


316

Rufino recibió una herencia de 2/7 de una finca y luego compró los 3/8. ¿Qué fracción de la finca tiene ahora?

Un ciclista ha recorrido 1475 y 1/4 metros con una bicicleta en la que una rueda mide 2/3 metros de circunferencia. ¿Cuántas vueltas ha dado una rueda?

Un albañil hace al día 5 metros y 2/7 de tapia. ¿Cuántos metros hará en 4 y 1/2 días?

Un señor deja al morir 162 000 euros y ordena que los 5/6 de esa herencia se reparta en partes iguales entre sus tres hijos. ¿Cuántos euros les toca a cada uno?

1, 2 y 3. Realiza estas restas:

5/6 - 1/4 =

5/9 - 1/6 =

317

4/5 - 2/7 =

4, 5 y 6. Realiza estas restas, haciéndolo antes en el papel y comprueba después:

3 y 5/6 - 2 y 2/6 =

3 y 3/7 - 2 y 1/7 =

4 y 2/3 - 2 y 1/2 =

7, 8, 9 y 10. Resuelve estos problemas:

Un trabajador gana diariamente 36 y 3/7 euros y gasta 22 y 2/7 euros ¿Cuánto ahorra diariamente?

De un conjunto de cromos, Isabel regala primero 2/5 y después 1/4. ¿Qué fracción de cromos le queda?

Me toca en herencia 2/5 de una finca y compro 1/4 de ella. ¿De qué fracción soy dueño?

318

María tiene 4 y 2/5 euros y José 7 y 3/5 euros. ¿Cuánto tienen entre los dos?

11, 12 y 13. Resuelve estos ejercicios:

1/7 de 28 =

2/5 de 500 =

5/8 de 160 =

14, 15 y 16. Multiplica estas fracciones:

2/3 x 3/7 =

3/4 x 2/5 =

3/8 x 4/9 =

319


¿Cuánto valen 185 litros de vino a 2/7 euros el litro?

Un comerciante vende 2/5 de tonelada de carbón a 1/5 euros el kilogramo. ¿Cuántos euros cobrará?

¿Cuántos minutos son 1/3 de 1/2 hora?

Una persona pinta una habitación en 5 horas. ¿Qué parte de la habitación pinta en 1 hora?

21, 22 y 23. Resuelve estas divisiones:

2/3 : 1/5 =

320

4/3 : 1/7 =

5/8 : 2/5 =

24, 25 y 26. Realiza estos ejercicios:

3/11 : 4 =

8/17 : 3 =

6/19 : 5 =


Rufino recibió una herencia de 2/7 de una finca y luego compró los 3/8. ¿Qué fracción de la finca tiene ahora?

321

Un ciclista ha recorrido 1475 y 1/4 metros con una bicicleta en la que una rueda mide 2/3 metros de circunferencia. ¿Cuántas vueltas ha dado una rueda?

Un albañil hace al día 5 metros y 2/7 de tapia. ¿Cuántos metros hará en 4 y 1/2 días?

Un señor deja al morir 162 000 euros y ordena que los 5/6 de esa herencia se reparta en partes iguales entre sus tres hijos. ¿Cuántos euros les toca a cada uno?

Resta de fracciones

1.- Resta de fracciones con igual denominador.

Una madre de familia tiene 5/9 de una tableta de chocolate y le da a su hija Elizabeth 2/9. ¿Cuánto le queda?

5/9 - 2/9 = (5-2)/9 = 3/9. Si simplificamos la fracción dividiendo por 3 tendremos: 3/9 = 1/3.

Para restar fracciones que tienen el mismo denominador, se restan los numeradores, conservando el mismo denominador.

Ejemplos: 6/6 - 2/6 = 4/6 = 2/3; 15/11 - 10/11 = 5/11.

Resuelve estas restas:

322

Principio del formulario

5/6 - 1/6 =

6/7 - 2/7 =

7/9 - 1/9 =

8/13 - 4/13 =

2.- Restar fracciones con distinto denominador.

Para restar fracciones de distinto denominador se reducen previamente las fracciones a común denominador y después se restan.

Ejemplos: 1/5 - 1/7 = 7/35 - 5/35 = 2/35; 1/2 - 1/3 = 3/6 - 2/6 = 1/6.

Realiza estas restas:

2/3 -1/4 =

323

5/6 - 3/4 =

7/9 - 1/6 =

4/5 - 1/7 =

3.- Reducir los números mixtos a fracciones impropias.

En primer lugar se convierte el número entero en una fracción con el mismo denominador que la parte fraccionaria y luego se suman.

Ejemplos: 1 y 1/2 = 2/2 + 1/2 = 3/2; 3 y 1/4 = 12/4 + 1/4 = 13/4; 2 y 3/7 = 14/7 + 3/7 = 17/7.

Convierte estos números mixtos en fracciones impropias:

5 y 2/3 =

324

2 y 1/5 =

3 y 1/7 =

2 y 3/8 =

4.- Restar números mixtos.

Para números mixtos, se reducen a fracciones impropias y luego se restan.

Ejemplos: 5 y 1/3 - 3 y 2/3 = (15/3+1/3) - (9/3+2/3) = 16/3 - 11/3 = 5/3.

Realiza estas restas, haciéndolo antes en el papel y comprueba después:

2 y 5/6 - 1 y 2/6 =

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1y 3/7 - 1 y 1/7 =

3 y 1/3 - 2 y 1/2 =

2 y 1/5 - 1 y 3/7 =

5- Resuelve estos problemas:

1. Un empleado gana diariamente 35 y 2/7 euros y gasta 23 y 1/7 euros ¿Cuánto ahorra diariamente?

B)

2. De un conjunto de cromos, Ana regala primero 1/5 y después 1/4. ¿Qué fracción de cromos le queda?

3. Me toca en herencia 2/3 de una finca y compro 1/4 de ella. ¿De qué fracción soy dueño?

4. María tiene 3 y 2/5 euros y José 5 y 3/5 euros. ¿Cuánto tienen entre los dos?

Intenciones didácticasQue los alumnos resuelvan problemas que impliquen comparar fracciones y decimales.Consideraciones previas

326

Anteriormente se han comparado fracciones y decimales de manera separada; ahora se trata de comparar, además de decimales con decimales y de fracciones con fracciones, decimales con fracciones. Una forma de comparar decimales con fracciones es convertir las fracciones en decimales y comparar las dos escrituras en notación decimal; si los estudiantes no reconocen estas equivalencias usuales: 1/ 4 = 0.25 y 1/ 5 = 0.20 (dado que más adelante se estudia la conversión de decimales y fracciones, y viceversa), la comparación puede realizarse si se ubican los números en una recta numérica. Para obtener la estatura de Teresa, los estudiantes tienen que buscar un número mayor que 1./4 y menor que 1./5; ejercicios semejantes se han trabajado y se trabajarán en el siguiente plan donde se analiza la propiedad de densidad de los decimales. La respuesta de la pregunta c) puede ser 1.41, 1.42, o 1.43 cm, hasta 1.49 cm. Intenciones didácticasQue los alumnos identifiquen algunas diferencias entre el orden de los decimales y el orden de los números naturales a partir de la propiedad de densidad.Consideraciones previasLas actividades de este plan están diseñadas para que los estudiantes verifiquen que entre dos números decimales siempre es posible identificar otro número decimal, característica que no poseen los números naturales, ya que entre 4 y 5 no hay otro número natural. Es posible que los alumnos piensen que los números decimales de cada pareja son consecutivos y, por tanto, les cueste trabajo imaginarse que entre ellos haya otro número decimal. Ante esto, se les puede pedir que amplíen los segmentos de recta que los separa y que los subdividan en 10 partes iguales; se les puede preguntar lo siguiente: ¿cada división representa otro número decimal?, ¿cuál? La finalidad de tratar de ubicar un natural entre dos naturales consecutivos y un decimal entre dos decimales es que los estudiantes reflexionen sobre las diferencias en el orden de los naturales y en el orden de los números decimales; algunos aspectos que se sugiere discutir son las siguientes:• Todos los naturales tienen un sucesor.• Todos los naturales tienen un antecesor, a excepción del 1, si consideramos a los naturales como 1, 2, 3, …• Entre dos naturales consecutivos no es posible colocar otro número natural.• Los números decimales no tienen sucesor ni antecesor, por tanto, entre dos de ellos siempre es posible encontrar otro. G) ACTIVIDADES INICIALES Intenciones didácticasQue los alumnos resuelvan con distintos procedimientos problemas en los que se tiene que calcular el porcentaje de una cantidad.Consideraciones previasLa finalidad de este plan es que los alumnos calculen porcentajes menores que el 100% por medio de diferentes formas. Para calcular el 25% de 4 200, los estudiantes pueden realizar alguno de estos procedimientos:A partir de que el 10% es 420 y que el 5% es 210, el resultado de 420 + 420 + 210 representa el 25%.La mitad (2 100) es el 50% y la mitad de la mitad (1 050) es el 25%.Multiplicar por 25 100 o bien por 1 4 .Si los alumnos multiplican por 0.25 para realizar el cálculo, se debe considerar este procedimiento como uno más y no como el único y obligatorio.Es muy probable que para resolver el problema de la consigna, los estudiantes primero apliquen el descuento del 25% y después alresultado le incrementen el 15% de IVA. Una pregunta interesante para que los estudiantes reflexionen es la siguiente: si hay un

327

descuento de 25% y un aumento de 15%, ¿no se obtiene directamente el precio del refrigerador al descontar únicamente el 10%?También valdría la pena que pensaran si el orden del descuento y del incremento afecta el precio final. Intenciones didácticasQue los alumnos resuelvan a través de diferentes procedimientos problemas en los que se tiene que calcular el porcentaje que representa una cantidad con respecto a otra.Consideraciones previasPara este plan, y todos los que comprenda este apartado, son válidos los procedimientos comentados en el plan anterior, subrayando que la expresión decimal representa un primer acercamiento y no la única forma de realizar el cálculo.Ahora se trata de calcular qué porcentaje representa una cantidad respecto a otra. Para resolver el problema de la consigna hay que averiguar qué tanto por ciento representa $90.00 (descuento) respecto de $450.00 (precio de lista).El problema involucra un dato que pudiera confundir a los alumnos: el dinero ahorrado.Por tanto, es necesario que el texto se interprete adecuadamente. Algunas posibles confusiones son las siguientes:• El precio final del reloj ($360.00) se encuentra al restar $140.00 al ahorro total, es decir, a los $500.00, y no al precio de lista del reloj ($450.00).• El descuento ($90.00) se obtiene al restar el precio final ($360.00) al precio de lista ($450.00) y no al dinero ahorrado ($500.00).• El problema pide el tanto por ciento de descuento, es decir el tanto por ciento que representa $90.00 respecto de $450.00. Esmuy probable que los estudiantes calculenel tanto por ciento que representa el precio final ($360.00) respecto del precio de lista($450.00).Los porcentajes son de uso común, por tanto, se sugiere solicitar a los alumnos que investiguen algunas aplicaciones y que inventen algunos problemas para proponerlos a todo el grupo.

Con la finalidad de seguir calculando el porcentaje que representa una cantidad respecto a otra, se sugiere la siguiente actividad:

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En la tienda donde Pepe compró su reloj había otros artículos con descuento, pero la etiqueta sólo indica el precio de lista y el precio rebajado. Encuentra los porcentajes de cada descuento y regístralos en la tabla.

Artículo Descuento

De $300.00 A $120.00

60%

De $70.00 A $45.50

De $220.00 A $110.00

De $145.00 A $123.25

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Intenciones didácticasQue los alumnos resuelvan de distintas manerasproblemas en los que se apliquen porcentajesmayores que 100%.Consideraciones previasPara resolver el problema, es muy probable que los alumnos calculen primero el 15% de $240.00 y el resultado lo sumen a los $240.00; esto es correcto, sin embargo, se trata de obtener porcentajes mayores al 100%; por tanto, basta con obtener el 115% de $240.00. Si los estudiantes utilizan la primera forma, hay que invitarlos a pensar en otra en la que únicamente se realice un cálculo. En plenaria, analizar detalladamente la equivalencia de las dos formas y subrayar la rapidez del segundo.Con la finalidad de practicar el cálculo de porcentajes mayores al 100%, se puede solicitar a los estudiantes que investiguen los precios de hace 5 o 10 años de productos de uso común y que calculen el tanto por ciento que han aumentado hasta la fecha. Intenciones didácticasQue los alumnos reconozcan expresiones equivalentes para representar un porcentaje mediante una fracción o un decimal.Consideraciones previasLa intención de este plan es que los alumnos adviertan que existen expresiones equivalentes que permiten obtener el mismo porcentaje (algunas en forma de fracción y otras en forma de decimal). En este grado, es importante hacer énfasis en la notación de fracción común para darle sentido a la expresión decimal, la cual se trabajará ampliamente en la secundaria.Para verificar la equivalencia de las expresiones utilizadas, será necesario aplicar las transformaciones requeridas, de fracción a decimal, o viceversa. Otra herramienta útil para comprobar esta equivalencia es la calculadora.Es posible que en algunos cuadros se escriban operaciones diferentes y que éstas sean correctas; por ejemplo, en la segunda fila:890 x 210 o 890 x 15. Es importante señalar que, en este caso, se trata de fracciones equivalentes, por lo que utilizar la fracción irreducible, 15 , facilita el cálculo.Intenciones didácticasQue los alumnos representen adecuadamente con decimales porcentajes menores de 10% y mayores al 100%, y realicen los cálculos para resolver problemas.Consideraciones previasCuando utilizan la notación decimal, un error común de los alumnos para obtener porcentajes menores al 10% es la ubicación del punto decimal. Por ejemplo, para calcular el 5%, si se multiplica por 0.5, se está calculando en realidad el 50% en lugar del 5%. Se sugiere discutir detalladamente esta situación y diferenciar claramente las expresiones utilizadas.Si los alumnos desconocen el significado del Índice Nacional de Precios al Consumidor, se sugiere que el profesor intervenga para ampliar y clarificar dicha información.Es importante considerar que los resultados obtenidos en una fecha serán necesarios para obtener el de la siguiente fecha.Cuando se trata de obtener porcentajes mayores al 100%, es común que los alumnos agreguen únicamente un punto decimal tal ycomo lo hacen cuando son porcentajes menores que 100 y mayores que 10; por ejemplo, para calcular el 130%, pueden multiplicar por 0.130. Con la finalidad de contrarrestar este error común, se sugiere discutir ampliamente los procedimientos y resultados y

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plantear problemas como el siguiente:Si el litro de gasolina aumentara el 125% para el año 2020 con respecto al precio de 2008, ¿cuál sería el precio por litro?Intenciones didácticasQue los alumnos identifiquen la expresión con punto decimal de una fracción común sencilla (medios, cuartos y décimos).Consideraciones previasEn el bloque 2, los alumnos trabajaron números decimales escritos con punto decimal o como fracciones decimales cuyo denominador era 10, 100 o 1 000. Si se considera conveniente, antes de que resuelvan esta lección se les puede invitar a que Jueguen nuevamente con las tarjetas que usaron en el apartado 2.1, plan de clase 2/2.Esta actividad es una primera aproximación a la conversión de fracciones comunes a números con punto decimal; por el momento, sólo se trabajan fracciones sencillas como medios, cuartos y décimos. Permita que trabajen en parejas y, cuando terminen, haga una confrontación de resultados.En la propaganda, la cantidad de jugo está escrita con números con punto decimal, mientras que en la tabla aparece como una fracción decimal. Para determinar el precio, los alumnos tendrán que identificar cuál es la fracción decimal que corresponde a los números con punto. Muchos de los espacios de la tabla quedarán vacíos porque no hay las mismas presentaciones en todos los jugos. Los números se eligieron de tal manera que los estudiantes observen que hay varias maneras de representar una fracción decimal cuando se usa su notación con punto decimal. Por ejemplo, para 1/2 encontrarán 0.5, 0.50 y 0.500. Es importante que durante la confrontación de resultados se subraye este hecho; aunque parezca sencillo, las investigaciones reportan que para los alumnos no lo es.Los alumnos podrán seguir diferentes procedimientos para completar la tabla, dependiendo de la fracción o el número con punto decimal que estén involucrados; en algunos casos será más fácil partir de la fracción hasta llegar al número con punto decimal y en otros, será más fácil proceder a la inversa. A manera de ejemplo, se presentan los siguientes casos:• Para 0.25 es muy probable que los alumnos identifiquen que se trata de 1/4• Para 9/ 10 los alumnos podrán leer nueve décimos y buscar el número que use punto decimal y se lea igual, 0.9.• Para 0.75 los alumnos podrán leer setenta y cinco centésimos, que con fracción se expresa 75/100, y razonar: un cuarto de 100 es25, dos cuartos de 100 son 50, por tanto, tres cuartos de 100 son 75, la fracción equivalente es 3/4.Una estrategia experta para convertir una fracción a su expresión con punto decimal es dividir el numerador entre el denominador. Esta estrategia se trabajará en las próximas dos sesiones, pero si llega a surgir porque un alumno la sabe, se puede aprovechar para que se comente durante la confrontación de resultados.La pregunta 2 tiene el propósito de introducir al alumno a las fracciones que no son decimales.Se llaman fracciones decimales a aquellas que pueden ser escritas con denominadores 10, 100, 1 000, etc. Los cuartos, medios, quintos y décimos son ejemplos de fracciones decimales.Si una fracción no puede ser escrita de esta manera, se dice que no es una fracción decimal. Por ejemplo, no existe ninguna fracción equivalente a 1/3 cuyo denominador sea 10, 100, 1 000… entonces, 1/ 3 no es una fracción decimal. En este momento no se pretende que se dé a los alumnos la información anterior, sólo hay que confrontar los argumentos que den para comprobar que 1/3 no es 0.3. Algunos posibles argumentos son los siguientes:• Si sumo tres veces 1/3 obtengo 1 y si sumo tres veces 0.3, obtengo 0.9, que es menor que uno, así que no son iguales.

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Tema. Significado y uso de los númerosPlan de clase (1/3)Eje. Sentido numérico y pensamiento algebraicoSubtema. Números fraccionario

• 1/3 es equivalente a 3/9 que es diferente a 3/10 (0.3).• 0.3 es 3/10 y no existe ninguna fracción equivalente a 13 que su denominador sea 10.• Si divido en la calculadora 1 entre 3 ( 13 ) se obtiene 0.33333… pero no 0.3, aunque son muy cercanos.Es muy difícil que los alumnos den el último argumento porque implica concebir a la fracción como una división; no obstante, es probable que alguno lo use; de ser así, se puede aprovechar la oportunidad para trabajar esta idea con los alumnos porque es el propósito de la siguiente sesión. Intenciones didácticasQue los alumnos identifiquen que al dividir el numerador entre el denominador es una manera de hallar la expresión con punto decimal de una fracción.Consideraciones previasExisten diferentes procedimientos para convertir una fracción común a su equivalente en decimal; una muy eficaz consiste en dividirel numerador entre el denominador de la fracción. A pesar de su sencillez, conceptualmente es muy difícil que los alumnos la comprendan.En esta lección se pretende que los alumnos construyan esta noción con la situación de los listones.Los números se eligieron de tal manera que en algunos casos no requieren hacer la división; por ejemplo, si se tiene un metro de listón y se corta en dos partes iguales, cada parte medirá 1/2 . Es muy probable que algunos alumnos lo expresen con fracción y otros con punto decimal; esto se aprovechará en la confrontación de resultados para afianzar lo visto en la sesión anterior.Hay casos que no son tan sencillos para los alumnos. Por ejemplo, cortar 6 metros de listón en 5 partes iguales, no resulta tan obvio.Los alumnos podrán seguir diferentes procedimientos, por ejemplo:• Si fueran cinco metros entre cinco partes, cada parte sería de un metro. Entonces, el metro extra lo corto en 5 partes y da 1/ 5 para cada parte. El resultado es 1 1/5 metros.• Si fuera un metro y lo dividiera en cinco partes iguales, cada parte sería 1 /5 . Como son 6 metros, tengo que considerar 6 vecesun quinto, esto da como resultado 6/5 .• Si coloco los seis metros juntos (uno al lado de otro) y lo corto en 5 partes iguales, esto equivale a dividir 6 entre 5, que da 1.2metros.Estos procedimientos surgen también cuando el alumno hace repartos de galletas o chocolates.Es muy importante que en la confrontación de resultados se pida a los alumnos que traten de mostrarpor qué 1 1 5 , 6 5 y 1.2 representan la misma cantidad de listón.Se espera que los alumnos noten que una manera de encontrar la medida de cada parte de listón es dividiendo la longitud de la pieza entre el número de partes y que esta división puede expresarse como fracción ( 6/5 ) o mediante una expresión decimal (1.2).

332

En el caso de que se expresen como fracción, los alumnos observarán que el numerador es la longitud de la pieza del listón y el denominador es el número de partes iguales en que se va a cortar la pieza.Es importante que al término de la confrontación se formalicen estas ideas y si se considera necesario, se pondrán más ejemplos en los que el número de partes sea 2, 4, 5, 8, 10, pues son algunos de los denominadores que generan fracciones decimales. Intenciónes didácticasQue los alumnos expresen fracciones no decimales usando una aproximación expresada con punto decimal.Consideraciones previasEn la sesión anterior los alumnos construyeron algunas ideas que podrán usar para completar la tabla:• El tamaño de cada parte es una fracción en la que el numerador es la longitud de la pieza y el denominador es el número de partes. Así, en el primer renglón, la respuesta con fracción es 10/3, o bien, 3 1/ 3• El tamaño de cada parte puede obtenerse dividiendo la longitud de la pieza entre el número de partes; 10 entre 3 da como resultado 3.33333…En todos los casos de esta tabla, los estudiantes obtendrán fracciones que no son decimales y por tanto, su expresión con punto decimal sólo puede aproximarse. No se trata de profundizar mucho en este sentido. Durante la confrontación de resultados, conviene que sólo se mencione que, al convertir una fracción en su expresión con punto decimal:• algunas fracciones tienen una parte decimal que se termina y se puede dar la expresión exacta, como las que se estudiaron en la sesión anterior.• Otras fracciones tienen una parte decimal que tiene muchos decimales y sólo se puede dar una expresión con punto decimal aproximada.Mientras los alumnos trabajan, se puede supervisar lo que están haciendo. En caso de que note que algunos alumnos no saben quéhacer, se les debe invitar a que recuerden lo que estudiaron en la sesión anterior. Se espera que los alumnos usen el procedimiento de dividir la longitud de la pieza entre el número de partes. Para abreviar el tiempo dedicado a las operaciones, se puede sugerir que usen la calculadora. Al utilizar este recurso, pensarán que el resultado es el que aparece en pantalla (un número decimal finito) y que está limitado al número de cifras que cabe en la pantalla de la calculadora; en estos momentos, los alumnos aún no saben que realmente el decimal es infinito, es decir, que no termina.Es muy probable que, por ejemplo, cuando dividan 1 entre 6, los niños escriban el resultado tal y como aparece en la calculadora: 0.1666666. Lo que sí notarán es que en todos estos casos la pantalla de la calculadora se llena, lo que no ocurrió en los casos de la tabla anterior. Aún así, no tienen por qué saber que este valor es sólo una aproximación al valor exacto.Para ayudar a los alumnos a descubrir que la notación con punto decimal que están escribiendo es sólo una aproximación, tal y como se hizo en la pregunta dos del plan de clase 1/3 de este mismo apartado, se puede pedir, por ejemplo, que si cada parte mide 0.1666666 metros y que son 6 partes, entonces al multiplicar en la calculadora estos dos números, debe dar el tamaño de la pieza, en este caso, un metro. Cuando los alumnos lo hagan, notarán que 0.166666 x 6 es igual a 0.999996, que es muy aproximado a 1,pero no es 1. Durante la confrontación de resultados, invite a los alumnos a que comprueben si la expresión con punto decimal, al multiplicarse por el número de partes, da como resultado el tamaño de la pieza. Al finalizar la confrontación de resultados, puede formalizar que, en algunos casos, sólo la respuesta con fracción es exacta, pero la expresión con punto decimal nada más es una aproximación.Tema. Significado y uso de los números

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Intenciones didácticasQue los alumnos usen las nociones de múltiplo y de divisor a fin de hallar la estrategia ganadora.Consideraciones previasEl material por equipo es:

1) Una tira numérica marcada del 0 al 60; entre cada número debe haber 3 o 4 cm.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

20 FICHAS

2) Tres piedras pequeñas

Se puede encargar a los alumnos que elaboren la tira numérica de tarea o, si se desea, que se pinte con un gis en el piso del patio de la escuela. Si se hace de cartoncillo, se sujetará en el piso con cinta adhesiva para evitar que se mueva o enrolle. Las fichas pueden ser frijoles, botones, habas, etc; conviene hacer equipos de 4 o 5 alumnos.Para asegurarse de que los niños hayan entendido las reglas del juego, el maestro mostrará el siguiente ejemplo.Supongamos que el cazador decide colocar las piedras en los números 14, 34 y 52.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

Y un alumno del equipo decide saltar de 4 en 4: PINTAR DE 4 EN 4

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

Este alumno logró esquivar las dos primeras trampas, pero cayó en la trampa del 52; por tanto, deberá entregar su ficha al cazador.334

Otro alumno del equipo decide saltar de 9 en 9:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

Este alumno no cayó en ninguna trampa, por tanto, se queda con su ficha.El juego iniciará cuando todos los alumnos hayan comprendido las reglas. El maestro podrá observar el trabajo y apoyar en caso de que haya dudas. Cuando el docente vea que algún alumno logra esquivar las trampas, puede preguntarle qué hizo para saber cuál estrategia le convenía. Si el maestro nota que algunos alumnos empiezan a usar la idea de múltiplo e intuitivamente la de divisor, elegirá a estos alumnos para que presenten sus estrategias en la puesta en común.Al finalizar, el maestro hará una puesta en común para que los alumnos expliquen que hicieron para poner las trampas (el cazador) o para evitarlas (las pulgas). Se espera que los alumnos hayan razonado que debían fijarse en que el tamaño de su brinco no fuera divisor de cualquiera de los números donde estaban las trampas.Durante esta puesta en común se sugiere hacer dos o tres juegos al frente del grupo en los que el maestro ponga las trampas y entre todos los alumnos traten de ganarle al maestro al elegir un tamaño del brinco adecuado.Si se considera conveniente, el juego puede repetirse en otras sesiones para que los alumnos poco a poco construyan estrategias ganadoras. Una posible estrategia ganadora para el que coloca las trampas es la siguiente: al cazador le conviene poner trampas en números que tengan varios divisores, por ejemplo, el 48, pues ahí caerán quienes elijan brincar de 2 en 2, de 3 en 3, de 4 en 4, de 6 en 6 y de 8 en 8; las otras dos trampas las puede colocar en el 35 para detener a los que brinquen de 5 en 5 y de 7 en 7; y la tercera trampa en algún múltiplo de 9.En el bloque 3, los alumnos trabajaron con múltiplos de un número, por lo que cuentan con elementos suficientes para hallar dónde conviene poner las trampas, o bien, de cuántos en cuántos conviene brincar.El maestro puede manejar el término múltiplo, ya que conviene poner trampas en números que sean múltiplos de varios números.También puede empezar a usar el término divisor en casos concretos. Por ejemplo, puede decir que conviene que el tamaño del brinco no sea un divisor de los números donde están las trampas y plantear a los alumnos: Si una trampa está en el número 20, ¿cuáles son los tamaños de brincos que no convienen? Cuando los alumnos respondan que 2, 4 y 5, el maestro puede decir que 2, 4 y 5 son divisores de 20 porque éste es múltiplo de esos números, y cuestionar: ¿Cómo sabemos que un número es múltiplo de otro? Lo anterior se puede hacer con otros ejemplos. No se espera que en esta clase todos los alumnos construyan la idea de divisor, ya que apenas es un primer acercamiento.Para jugar una versión electrónica de “La pulga y las trampas” se puede consultar la página: http://interactiva.matem.unam.mx/matechavos/ coco/html/pulga/html/pulgas.htmlIntenciones didácticasQue los alumnos encuentren todos los divisores de un número dado al resolver problemas.Consideraciones previas

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Es importante que los alumnos trabajen una misma idea o concepto en situaciones diferentes.En el juego de la sesión anterior, los alumnos manejaron intuitivamente la idea de divisor de un número conjuntamente con la idea de múltiplo. En esta sesión se plantean tres problemas en los que, dado un número, el alumno tiene que encontrar todos sus divisores.En estos problemas, la idea de divisor está presente porque se pide que las colecciones se separen en conjuntos iguales y que, además, no sobre nada (residuo cero).Durante la confrontación de resultados, los alumnos podrán discutir la pertinencia de incluir el número 1 y el número mayor de la colección (24, 36 y 60). Desde el punto de vista matemático, es necesario incluirlo ya que 1 es divisor de todos los números y todo número es divisor de sí mismo; meter una pelota en cada bolsa tiene algo de sentido pero, desde el punto de vista práctico, algunos alumnos pensarán que no tiene mucho sentido colocar todos los elementos de la colección en una sola bolsa; no obstante, el problema no dice que no pueda hacerse.Al término de la confrontación de resultados es importante que el docente formalice y dé nombre a lo que acaban de hacer. Por ejemplo, Mpuede mencionar que al hallar los resultados del primer problema, 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24, Intenciones didácticasQue los alumnos encuentren todos los divisores de un número dado al resolver problemas.Consideraciones previasEs importante que los alumnos trabajen una misma idea o concepto en situaciones diferentes.En el juego de la sesión anterior, los alumnos manejaron intuitivamente la idea de divisor de un número conjuntamente con la idea de múltiplo. En esta sesión se plantean tres problemas en los que, dado un número, el alumno tiene que encontrar todos sus divisores.En estos problemas, la idea de divisor está presente porque se pide que las colecciones se separen en conjuntos iguales y que, además, no sobre nada (residuo cero).Durante la confrontación de resultados, los alumnos podrán discutir la pertinencia de incluir El número 1 y el número mayor de la colección (24, 36 y 60). Desde el punto de vista matemático, es necesario incluirlo ya que 1 es divisor de todos los números y todo número es divisor de sí mismo; meter una pelota en cada bolsa tiene algo de sentido pero, desde el punto de vista práctico, algunos alumnos pensarán que no tiene mucho sentido colocar todos los elementos de la colección en una sola bolsa; no obstante, el problema no dice que no pueda hacerse.Al término de la confrontación de resultados es importante que el docente formalice y dé nombre a lo que acaban de hacer. Por ejemplo, puede mencionar que al hallar los resultados del primer problema, 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24,(1 En este nivel los alumnos acostumbran llamar entero a un número natural. La definición de divisor implica a los números naturales (1, 2, 3,…) no a los enteros que incluyen a los negativos (… -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3…). No obstante, en la primaria se acepta que los alumnos le llamen enteros a los números naturales.)Intenciones didácticasQue los alumnos encuentren recursos para verificar si un número es divisor de otro y para explicar por qué sí o por qué no lo es.Consideraciones previasEstas tres actividades se trabajarán de manera grupal por lo que conviene que el maestro esté muy atento a que todos los alumnosparticipen; si nota que algunos no están entendiendo o se quedan rezagados haga que participen.

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En todos los casos se espera que el alumno note que está trabajando con múltiplos de 6, 4 y 3, respectivamente. Dado que las ideas de múltiplo y divisor están íntimamente relacionadas, el divisor surgirá cuando los alumnos tengan que dar respuesta a las preguntas que el maestro planteará; por ejemplo, ¿cómo saber si el número 1 532 aparecerá en la pantalla?Para esto, es probable que los alumnos realicen alguno de estos procedimientos:• Tecleen el signo de = muchas veces hasta ver si aparece o no; esta estrategia es poco eficiente.• Busquen al tanteo un número natural que multiplicado por 3 sea igual a 1 532 (pueden usar su calculadora).• Dividan 1 532 entre 3 y vean si el residuo es cero, (aquí ya aplican la idea de divisor).• Dividan 1 532 con la calculadora y observen si el resultado es un número entero o tiene decimales. Si es entero, entonces 1 532 es múltiplo de 3 (aquí también aplican la idea de divisor).Es importante que el maestro, en la puesta en común, formalice lo que han trabajado en las sesiones anteriores y en ésta; además esto lo vinculará con el tema de múltiplos. Es decir, haga notar que si 18 es múltiplo de 3, entonces se dice que 3 es divisor de 18:3 18 es divisor de es múltiplo deLa idea de divisor es más compleja que la de múltiplo, debido al pensamiento de reversibilidad que implica. Conviene que se den ejemplos y se pida a los alumnos otros más, siempre procurando que argumenten su respuesta. Por ejemplo, ¿4 es divisor de 20?, ¿cómo lo sabes? Quizá surjan respuestas como:• 4 es divisor de 20 porque 20 es múltiplo de 4.• 4 es divisor de 20 porque, al hacer la división 20 entre 4, el resultado es un número entero y el residuo es cero.• 4 es divisor de 20 porque existe un número entero (el 5) que, al multiplicarse por 4, nos da 20.Para afianzar la idea de divisor, la cual se formaliza en esta sesión, se sugiere que los alumnos den respuesta a la hoja de trabajo del anexo 1 de su cuaderno (pág. 159).Plan de clase (3/3)Intenciones didácticasQue los alumnos identifiquen la expresión con punto decimal de una fracción común sencilla (medios, cuartos y décimos).Consideraciones previasEn el bloque 2, los alumnos trabajaron números decimales escritos con punto decimal o como fracciones decimales cuyo denominador era 10, 100 o 1 000. Si se considera conveniente, antes de que resuelvan esta lección se les puede invitar a que Jueguen nuevamente con las tarjetas que usaron en el apartado 2.1, plan de clase 2/2.Esta actividad es una primera aproximación a la conversión de fracciones comunes a números con punto decimal; por el momento, sólo se trabajan fracciones sencillas como medios, cuartos y décimos. Permita que trabajen en parejas y, cuando terminen, haga una confrontación de resultados.En la propaganda, la cantidad de jugo está escrita con números con punto decimal, mientras que en la tabla aparece como una fracción decimal. Para determinar el precio, los alumnos tendrán que identificar cuál es la fracción decimal que corresponde a los números con punto. Muchos de los espacios de la tabla quedarán vacíos porque no hay las mismas presentaciones en todos los jugos. Los números se eligieron de tal manera que los estudiantes observen que hay varias maneras de representar una fracción decimal cuando se usa su notación con punto decimal. Por ejemplo, para 1/2 encontrarán 0.5, 0.50 y 0.500. Es importante que durante la confrontación de resultados se subraye este hecho; aunque parezca sencillo, las investigaciones reportan que para los alumnos no lo es.

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Los alumnos podrán seguir diferentes procedimientos para completar la tabla, dependiendo de la fracción o el número con punto decimal que estén involucrados; en algunos casos será más fácil partir de la fracción hasta llegar al número con punto decimal y en otros, será más fácil proceder a la inversa. A manera de ejemplo, se presentan los siguientes casos:• Para 0.25 es muy probable que los alumnos identifiquen que se trata de 1/4• Para 9/ 10 los alumnos podrán leer nueve décimos y buscar el número que use punto decimal y se lea igual, 0.9.• Para 0.75 los alumnos podrán leer setenta y cinco centésimos, que con fracción se expresa 75/100, y razonar: un cuarto de 100 es25, dos cuartos de 100 son 50, por tanto, tres cuartos de 100 son 75, la fracción equivalente es 3/4.Una estrategia experta para convertir una fracción a su expresión con punto decimal es dividir el numerador entre el denominador. Esta estrategia se trabajará en las próximas dos sesiones, pero si llega a surgir porque un alumno la sabe, se puede aprovechar para que se comente durante la confrontación de resultados.La pregunta 2 tiene el propósito de introducir al alumno a las fracciones que no son decimales.Se llaman fracciones decimales a aquellas que pueden ser escritas con denominadores 10, 100, 1 000, etc. Los cuartos, medios, quintos y décimos son ejemplos de fracciones decimales.Si una fracción no puede ser escrita de esta manera, se dice que no es una fracción decimal. Por ejemplo, no existe ninguna fracción equivalente a 1/3 cuyo denominador sea 10, 100, 1 000… entonces, 1/ 3 no es una fracción decimal. En este momento no se pretende que se dé a los alumnos la información anterior, sólo hay que confrontar los argumentos que den para comprobar que 1/3 no es 0.3. Algunos posibles argumentos son los siguientes:• Si sumo tres veces 1/3 obtengo 1 y si sumo tres veces 0.3, obtengo 0.9, que es menor que uno, así que no son iguales.Tema. Significado y uso de los númerosPlan de clase (1/3)Eje. Sentido numérico y pensamiento algebraicoSubtema. Números fraccionario

• 1/3 es equivalente a 3/9 que es diferente a 3/10 (0.3).• 0.3 es 3/10 y no existe ninguna fracción equivalente a 13 que su denominador sea 10.• Si divido en la calculadora 1 entre 3 ( 13 ) se obtiene 0.33333… pero no 0.3, aunque son muy cercanos.Es muy difícil que los alumnos den el último argumento porque implica concebir a la fracción como una división; no obstante, es probable que alguno lo use; de ser así, se puede aprovechar la oportunidad para trabajar esta idea con los alumnos porque es el propósito de la siguiente sesión. Intenciones didácticasQue los alumnos identifiquen que al dividir el numerador entre el denominador es una manera de hallar la expresión con punto decimal de una fracción.Consideraciones previasExisten diferentes procedimientos para convertir una fracción común a su equivalente en decimal; una muy eficaz consiste en dividirel numerador entre el denominador de la fracción. A pesar de su sencillez, conceptualmente es muy difícil que los alumnos la

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comprendan.En esta lección se pretende que los alumnos construyan esta noción con la situación de los listones.Los números se eligieron de tal manera que en algunos casos no requieren hacer la división; por ejemplo, si se tiene un metro de listón y se corta en dos partes iguales, cada parte medirá 1/2 . Es muy probable que algunos alumnos lo expresen con fracción y otros con punto decimal; esto se aprovechará en la confrontación de resultados para afianzar lo visto en la sesión anterior.Hay casos que no son tan sencillos para los alumnos. Por ejemplo, cortar 6 metros de listón en 5 partes iguales, no resulta tan obvio.Los alumnos podrán seguir diferentes procedimientos, por ejemplo:• Si fueran cinco metros entre cinco partes, cada parte sería de un metro. Entonces, el metro extra lo corto en 5 partes y da 1/ 5 para cada parte. El resultado es 1 1/5 metros.• Si fuera un metro y lo dividiera en cinco partes iguales, cada parte sería 1 /5 . Como son 6 metros, tengo que considerar 6 vecesun quinto, esto da como resultado 6/5 .• Si coloco los seis metros juntos (uno al lado de otro) y lo corto en 5 partes iguales, esto equivale a dividir 6 entre 5, que da 1.2metros.Estos procedimientos surgen también cuando el alumno hace repartos de galletas o chocolates.Es muy importante que en la confrontación de resultados se pida a los alumnos que traten de mostrarpor qué 1 1 5 , 6 5 y 1.2 representan la misma cantidad de listón.Se espera que los alumnos noten que una manera de encontrar la medida de cada parte de listón es dividiendo la longitud de la pieza entre el número de partes y que esta división puede expresarse como fracción ( 6/5 ) o mediante una expresión decimal (1.2). En el caso de que se expresen como fracción, los alumnos observarán que el numerador es la longitud de la pieza del listón y el denominador es el número de partes iguales en que se va a cortar la pieza.Es importante que al término de la confrontación se formalicen estas ideas y si se considera necesario, se pondrán más ejemplos en los que el número de partes sea 2, 4, 5, 8, 10, pues son algunos de los denominadores que generan fracciones decimales. Intenciónes didácticasQue los alumnos expresen fracciones no decimales usando una aproximación expresada con punto decimal.Consideraciones previasEn la sesión anterior los alumnos construyeron algunas ideas que podrán usar para completarla tabla:• El tamaño de cada parte es una fracción en la que el numerador es la longitud de la pieza y el denominador es el número de partes. Así, en el primer renglón, la respuesta con fracción es 10/3, o bien, 3 1/ 3.• El tamaño de cada parte puede obtenerse dividiendo la longitud de la pieza entre el número de partes; 10 entre 3 da comoresultado 3.33333…En todos los casos de esta tabla, los estudiantes obtendrán fracciones que no son decimales y por tanto, su expresión con punto decimal sólo puede aproximarse. No se trata de profundizar mucho en este sentido. Durante la confrontación de resultados, conviene que sólo se mencione que, al convertir una fracción en su expresión con punto decimal:• algunas fracciones tienen una parte decimal que se termina y se puede dar la expresión exacta, como las que se estudiaron en la

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sesión anterior.• Otras fracciones tienen una parte decimal que tiene muchos decimales y sólo se puede dar una expresión con punto decimal aproximada.Mientras los alumnos trabajan, se puede supervisar lo que están haciendo. En caso de que note que algunos alumnos no saben quéhacer, se les debe invitar a que recuerden lo que estudiaron en la sesión anterior. Se espera que los alumnos usen el procedimiento de dividir la longitud de la pieza entre el número de partes. Para abreviar el tiempo dedicado a las operaciones, se puede sugerir que usen la calculadora.Al utilizar este recurso, pensarán que el resultado es el que aparece en pantalla (un número decimal finito) y que está limitado al número de cifras que cabe en la pantalla de la calculadora; en estos momentos, los alumnos aún no saben que realmente el decimal es infinito, es decir, que no termina.Es muy probable que, por ejemplo, cuando dividan 1 entre 6, los niños escriban el resultado tal y como aparece en la calculadora: 0.1666666.Lo que sí notarán es que en todos estos casos la pantalla de la calculadora se llena, lo que no ocurrió en los casos de la tabla anterior. Aún así, no tienen por qué saber que este valor es sólo una aproximación al valor exacto.Para ayudar a los alumnos a descubrir que la notación con punto decimal que están escribiendo es sólo una aproximación, tal y como se hizo en la pregunta dos del plan de clase 1/3 de este mismo apartado, se puede pedir, por ejemplo, que si cada parte mide 0.1666666 metros y que son 6 partes, entonces al multiplicar en la calculadora estos dos números, debe dar el tamaño de la pieza, en este caso, un metro. Cuando los alumnos lo hagan, notarán que 0.166666 x 6 es igual a 0.999996, que es muy aproximado a 1,pero no es 1.Durante la confrontación de resultados, invite a los alumnos a que comprueben si la expresión con punto decimal, al multiplicarse por el número de partes, da como resultado el tamaño de la pieza. Al finalizar la confrontación de resultados, puede formalizar que, en algunos casos, sólo la respuesta con fracción es exacta, pero la expresión con punto decimal nada más es una aproximación.Tema. Significado y uso de los númerosIntenciones didácticasQue los alumnos enumeren o determinen el número total de permutaciones, sin repetición, de un conjunto de 3 o 4 elementos.Consideraciones previasEn el bloque tres, los alumnos estudiaron problemas de conteo que involucran combinaciones.En este apartado también se estudian problemas de conteo, pero con arreglos que implican permutaciones . Las permutaciones son las distintas formas de ordenar los elementos de un conjunto.Por ejemplo, si se tienen las letras a, b y c podemos acomodarlas de diferentes maneras: abc acb bac bca cab cbaTodas estas maneras de acomodar las tres letras son sólo una combinación porque están las mismas tres letras, sin que importe suorden; pero son seis permutaciones porque, aunque estén las mismas letras, aparecen en diferente orden. No se trata de que los alumnos identifiquen cuándo es combinación y cuándo permutación, ni que se aprendan estos nombres. El propósito es que puedan resolver problemas de conteo en los que no importa el orden (combinación) y en los que sí importa (permutación).El inciso a) del problema planteado implica que los alumnos formen permutaciones porque, aunque siempre son las mismas tres personas, cada una podría ocupar diferente cargo. Por ejemplo, los siguientes arreglos son permutaciones diferentes:Presidente Secretario Tesorero

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1 Juan Hortensia Manuel2 Manuel Juan HortensiaEl problema implica que numeren todos los posibles casos. Entre los procedimientos que pueden surgir se tiene: • Numerar de forma no sistemática diferentes comités. En este caso, los alumnos empiezan a proponer un presidente, un secretario y un tesorero; luego, proponen otra persona para presidente, secretario y tesorero y, así, forman comités pero no llevan un orden en la manera en que acomodan a las personas. Si observa que algún equipo usó este procedimiento, puede plantearles la siguiente pregunta: ¿están seguros de que han formado todos los comités posibles?, ¿cómo pueden saberlo?• Numerar de forma sistemática diferentes comités.Este procedimiento es similar al anterior pero sigue un orden. Por ejemplo, pueden proponer a Juan para presidente y analizan lamanera en que pueden acomodarse las otras dos personas. Después hacen lo mismo con Hortensia, a quien proponen para presidente, y así sucesivamente.• Hacer un diagrama de árbol. Los alumnos han estudiado este recurso para representar y organizar información, por lo que es probable que lo usen. En el inciso b) no se pide que se numeren todos los posibles comités, sino que se diga, incluyendo a doña Margarita, el número total de comités que se pueden formar. No obstante, es probable quelos alumnos traten de numerar los casos; pronto notarán que son muchos más que en el inciso a). En el caso de que los alumnos tengan dificultad para resolver este inciso, puede orientar su reflexión con los siguientes planteamientos: ¿cuán-tas personas pueden ocupar el puesto de presidente?Si doña Margarita fuera la presidente, ¿cuántos podrían ocupar el cargo de secretario? Ocupados el puesto de presidente y de secretario, ¿cuántos podrían ocupar el cargo de tesorero?Si se tienen ya ocupados los cargos de presidente, secretario y tesorero, ¿cuántos podrían ocupar el de vocal?La respuesta a la primera pregunta son 4 personas, a la segunda 3, a la tercera 2 y a la cuarta 1, por lo que el razonamiento para contestar la pregunta planteada es multiplicar 4 3 2 1 y el resultado es 24 formas diferentes. De ninguna manera se trata de dar la fórmula, sino de que los alumnos razonen y puedan llegar a encontrar un procedimiento eficiente. La fórmula de la permutación se analizará en estudios posteriores.Nota: el maestro puede apoyarse para profundizar sus conocimientos en la siguiente página: http://www.itch.edu.mx/academic/industrial/sa baticoritaprivate/04permutaciones.htmIntenciones didácticasQue los alumnos determinen el número de permutaciones de un conjunto de 5 o más elementos.Consideraciones previasA diferencia de los problemas del plan de clase anterior, en estos resulta poco eficiente tratar de numerar todas las maneras de permutar 6 elementos. La respuesta a la pregunta del inciso a) es 720 formas diferentes. Se espera que los alumnos noten este hecho y traten de resolver por medio de la multiplicación 6 5 4 3 2 1 = 720. El propósito principal es, por tanto, que los alumnos evolucionen en sus procedimientos hacia formas más eficientes.En el caso del inciso b), al tener una restricción (que Mariana sea abanderada), el número de permutaciones se simplifica considerablemente, ya que sólo quedan cinco lugares por ocupar y el total es 5 4 3 2 1 = 120. Y en el caso del inciso c) el problema se reduce a acomodar cuatro elementos en cuatro lugares, es decir, 24.Los alumnos observarán en este problema que, si bien se puede resolver con un diagrama de árbol, en el caso de los dos primeros

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http://www.itch.edu.mx/academic/industrial/sa

incisos resultan diagramas muy grandes, uno con 720 ramas y el otro con 120. Por otro lado, el problema no pide numerar todas lasmaneras diferentes en que se pueden colocar los alumnos en la escolta, sino dar el total de estas maneras.Para seguir trabajando combinaciones y permutaciones, puede plantear a los alumnos los siguientes problemas. En algunos no importa el orden de los acomodos (combinaciones) y en otros sí (permutaciones); en algunos se pide que se numeren todos los acomodos y en otros más que se diga el total de ellos. 1. Anota todos los números diferentes de 3 cifras que puedes formar usando los números 2, 4, y 7.

1. ¿Cuántas banderas diferentes de 3 franjas puedes formar con los colores rojo, azul, verde y blanco?

3. ¿Cuántos helados diferentes de dos bolas se pueden formar con los sabores chocolate, vainilla y fresa?4. Paco va a acomodar sus canicas en cajas. Tiene canicas de color rojo, azul, amarillo, verde, blanco, negro, café y anaranjado.Como sólo tiene cuatro cajas ha decidido meter canicas de dos colores en cada caja.Numera todas las formas diferentes en que puede acomodar sus canicas en las cajas.En quinto grado se trabajaron problemas sencillos de proporcionalidad que implican comparar razones. Ahora se trata de comparar razones expresadas con fracciones o con porcentajes.Si bien el problema de la consigna puede resolverse transformando las razones en otras equivalentes, pero con un término común (10 de cada 20, 15 de cada 20 y 14 de cada 20), también pueden utilizarse fracciones para representar las razones: 1 de cada 2 con 1 /2 , 3 de cada 4 con 3 /4 y 7 de cada 10 con 7 /10. Posteriormente, se comparan las fracciones 1/2 ,3/4 y 7 /10. Para lograrlo, pueden transformarse en fracciones con el mismo denominador o en números decimales. 12 = 10 20 = 0.5 3 4 = 15 20 = 0.757/10 = 14 20 = 0.7Al comparar las fracciones con el mismo denominador o los números decimales, se concluye que 3 /4 es la fracción mayor y en consecuencia, el grupo B tiene mayor preferencia por la música de banda.Otra expresión que puede utilizarse para representar las razones es el porcentaje: 1 de cada 2 representa el 50%, 3 de cada 4 el 75% y 7 de cada 10 el 70%, por tanto, el grupo B tiene la mayor preferencia por la música de banda con el 75%. Intenciones

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didácticasResolver problemas que impliquen comparar razones expresadas con fracciones o en las que se transformen las razones en otras equivalentes pero con un término común.Consideraciones previasPara resolver el problema es necesario comparar las dos razones que se pueden establecer entre los datos: 250 g cuestan $25.00400 g cuestan $32.00Un posible procedimiento es comparar las fracciones que se forman al dividir el peso entre el precio, obteniéndose la cantidad degramos por cada peso. 250 25 = 10 cada 10 gramos tienen un precio de $1.00. 400 32 = 12.5 cada 12.5 gramos tienen un precio de $1.00.Otra forma de resolver el problema consiste en transformar las razones en otras equivalentes pero con un término común, el cual puede ser una cantidad común o una misma cantidad de dinero. Por los datos numéricos, se facilita obtener el precio de cantidades iguales, por ejemplo de 50 g o de 1 kg. 250 g cuestan $25.00 o bien 50 g cuestan $5.00 400 g cuestan $32.00 o bien 50 g cuestan $4.00Se confirma que el jamón que conviene comprar es el de la marca “El torito”. En el comercio a menudo es necesario comparar precios de un mismo producto en diferentes tiendas o con presentaciones diferentes.Otros problemas que se pueden proponer a los alumnos son los siguientes.1. En la paletería “San Agustín”, la cubeta de 4 litros de nieve cuesta $140.00, y en la paletería “Santa Mónica”, litro y medio de la misma nieve cuesta $54.00. ¿En cuál paletería es más barata este tipo de nieve?2. ¿En qué farmacia conviene comprar los medicamentos de las tablas siguientes? Medicamento PrecioFarmacia AAlcohol (500 ml) $12.00 Caja de 20 tabletas $8.00 Medicamento PrecioFarmacia BAlcohol (350 ml) $8.00 Caja de 24 tabletas $10.00




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PLAN DE TRABAJO DE MATEMATICAS 5° 6°ASIGNATURA: MATEMATICASTEMA EN COMUN: RESOLUCION DE PROBLEMAS QUE IMPLIQUEN DIVISION

PAGINAS DEL LIBRO

EJE TEMA SUBTEMA5° sentido numérico y pensamiento algebraicoTEMA Significado y uso de las operacionesSUBTEMA Multiplicación y división

6° sentido numérico y pensamiento algebraicoTEMASUBTEMA

CONOCIMIENTOS Y HABILIDADES3.5. Reconstruir el residuo de una división resuelta con calculadora..

5.3. Resolver problemas de conteo mediante procedimientos informales.

5.4. Establecer el orden de magnitud de un cociente de números naturales.

APRENDIZAJES ESPERADOS 5°Reconozcan relaciones entre las reglas de funcionamiento del sistema de numeración decimal oral y de otros sistemas.

APRENDIZAJES ESPERADOS 6°Determinen por estimación, el orden de magnitud de un cocienteDeterminen por estimación, el orden de magnitud de un

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5º= 94,95 6º= 85,86,87,88,89

cociente

Una c lase consta de se is n iñas y 10 n iños . S i se escoge un comité de t res a l azar , ha l lar la probabi l idad de:

1 Selecc ionar t res n iños .

345

2Selecc ionar exactamente dos n iños y una n iña .

3Selecc ionar exactamente dos n iñas y un n iño .

1 Selecc ionar t res n iñas .

Ca lcu lar la probabi l idad de que a l ar ro jar a l a i re t res monedas , sa lgan:

Tres caras .

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Los programas de televisión

— ( Intenciones didácticas ) —

Analizar diversos tipos de información y utilizar diagramas de árbol para organizar y cuantificar las combinaciones posibles.

Si bien en las tres actividades se plantean problemas de combinatoria, las variables (contexto, cantidad y tipo de datos) que se tomaron en cuenta en cada problema, enfrentan a los alumnos a situaciones con diferentes grados de dificultad.

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— ( Sugerencias de organización ) —

Ya que es muy importante que los alumnos interactúen al trabajar con esta lección, conviene organizarlos en equipos para resolverla. Después de terminar cada actividad, confrontarán y comentarán los resultados.

— ( Sugerencias para las actividades ) —

Si a los alumnos se les dificulta utilizar los diagramas de árbol para resolver los problemas, no se preocupe, a lo largo de esta lección, o con las subsiguientes, lo lograrán.

— ........................

Con el propósito de que los niños descubran las ventajas de usar diagramas de árbol en problemas de combinatoria, se recomienda que el maestro plantee el primer problema en forma oral, y sólo anote en el pizarrón los datos (sin el diagrama) para que busquen la respuesta. Es probable que al principio encuentren sólo algunas posibles combinaciones.

Pida que trabajen en su libro el primer problema de la actividad 1. Cuando terminen compararán el resultado obtenido con el diagrama y los que encontraron al principio de la clase. Pídales que comenten por qué en el primer intento no encontraron todas las combinaciones. Es importante que adviertan que con el diagrama de árbol se sistematiza la manera de buscar las combinaciones y al final pueden verlas y contabilizarlas sin que se les escape alguna.

Al tratar de encontrar las opciones que tiene Laura para ver la televisión, es probable que elaboren diagramas de árbol como los siguientes.

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Confronte los diferentes diagramas elaborados por los alumnos y revisen la manera en la que se interpreta cada uno. Puede preguntar: ¿Cuántas combinaciones diferentes se pueden ver en cada diagrama? ¿Cuáles son algunas de esas combinaciones? Es importante que se fijen en que cada nivel de los diagramas contiene diferentes tipos de información. Por ejemplo, en el diagrama de la izquierda, en el primer nivel aparecen sólo los horarios y en el segundo aparecen los canales. En el de la derecha la información está a la inversa.

Cuando resuelvan el último problema, tal vez algunos alumnos se den cuenta rápidamente de que si la duración de los programas se reduce a la mitad, pero se mantiene el número de canales y los horarios disponibles, entonces el número de posibilidades aumenta al doble. Otros alumnos probablemente necesiten elaborar los diagramas de árbol para llegar al resultado. Permita que cada equipo lo resuelva como pueda. Al analizar los diagramas que elaboraron pregunte sobre la información que aparece en cada nivel y sobre el total de combinaciones que hay en cada uno. Por último, pida a los alumnos que contestaron primero que expliquen cómo encontraron la respuesta.

— ........................

Todos los equipos resolverán el problema resaltado con letras verdes, a partir de la información proporcionada por dos o tres alumnos que tengan restricciones para ver la televisión. Enfrentarse a una situación real les permitirá reflexionar sobre la utilidad de los diagramas de árbol y sobre los datos que necesitan para elaborarlos.

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— ........................

La dificultad para resolver este problema se presentará cuando se agreguen al menú los postres (gelatina o plátanos). Para que los alumnos se den cuenta del número de niveles y de ramificaciones que debe llevar el diagrama de árbol, plantee preguntas tales como: ¿Qué tipo de alimentos se tiene para combinar? ¿Cuántos guisados, cuántas guarniciones y cuántos postres son? ¿Cuántos niveles debe tener el diagrama? Para terminar,

lea junto con los niños el texto escrito con letras azules y coméntenlo.

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G) ACTIVIDADES INICIALES Intenciones didácticasQue los alumnos resuelvan problemas de conteo que impliquen un conjunto dado de elementos; que determinen subconjuntos con dos elementos, sin tomar en cuenta el orden, haciendo uso de procedimientos informales.Consideraciones previasEl trabajo de este apartado consiste en que, dado un conjunto de elementos, se formen todos los subconjuntos posibles con un número determinado de elementos, sin tomar en cuenta el orden. Para el caso del problema de la consigna se tienen 4 elementos (sabores de helado) y se trata de formar subconjuntos (helados con dos sabores).Es probable que algunos alumnos den de manera automática como respuesta 12, al relacionar cada sabor con los otros 3; en talcaso, se sugiere listar las diferentes formas o presentarlas en algún gráfico (como un diagrama de árbol) en donde se pueda apreciar que 6 formas de servir el helado son las mismas que las otras 6, y que un helado de fresa y vainilla es el mismo que uno de vainilla y fresa. Es importante subrayar que el orden no importa.Con la finalidad de seguir practicando el conteo en casos semejantes, se puede variar el número de sabores. Se tienen 6 sabores; determinar todas las formas diferentes para un helado de 2 sabores. Se tienen 8 sabores; determinar todas las formas diferentes para un helado de 2 sabores, etcétera. Intenciones didácticasQue los alumnos resuelvan problemas de conteo que impliquen un conjunto dado de elementos; que determinen subconjuntos conmás de dos elementos, sin tomar en cuenta el orden, haciendo uso de procedimientos informales.Consideraciones previasEn el plan anterior, los subconjuntos determinados tenían dos elementos. Ahora, los subconjuntos pueden tener más de dos elementos, como el problema de la consigna, el cual tiene 3.Si los alumnos tienen problemas para determinar las 10 formas diferentes de integrar la comisión, se puede sugerir el siguiente conteo: A B C D E Cada letra representa un alumno. Se leen de manera consecutiva, de izquierda a derecha, y si es necesario se vuelve a empezar, hasta no repetir la misma comisión. ABC, BCD, CDE, DEA y EAB. La siguiente; ABC, se repite. Posteriormente, se hace lo mismo, pero saltando una letra, cuidando de no repetir la comisión. ACE, BDA, CEB, DAC, EBD. La siguiente, ACE, se repite. Un diagrama de árbol también es un recurso útil; en él aparecen todas las permutaciones posibles, donde el orden de los elementos sí es importante; posteriormente, se tendrán que eliminar los subconjuntos que se repitan. Otros problemas que pueden proponerse son los siguientes:a) Si se dispone de cuatro sabores diferentes de helados, encontrar todas las formas diferentes para un helado de tres sabores.b) Si hay cinco tipos de flores, encontrar todos los arreglos diferentes que se pueden hacer con cuatro tipos de flores.

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PREDICCIONES EN LA DIVISIÓN

1. Juguemos con cartas o palitos de fósforos y dos dados.

Las reglas del juego son:

Cada uno de dos jugadores pide una cierta cantidad de palitos de fósforos que no sobrepase los 80. Tira los dados y con la cantidad que indiquen, debe agrupar sus palitos, por ejemplo si sale un 2, deben formar parejas, si es un tres

deben formar tríos, etc.

Si después de formar los grupos no sobra ningún palito, entonces obtiene 10 puntos y puede seguir jugando.

Cada vez que lo desee, pero antes de tirar los dados, puede pedir o entregar palitos.

Gana el primero que acumule 100 puntos.

Completa una tabla con los resultados que se van obteniendo, establece conclusiones a partir de la observación de la tabla y responde:

¿Qué cantidad de palitos conviene pedir para asegurarse el máximo de posibilidades para ganar?

¿Puedes predecir con cuáles cantidades se tendrá éxito si el número de los dados suman 2 o suman 6, o suman 9?

2. Lee la siguiente situación y responde:

"Tres amigos están preparando cada uno su colección de calcomanías para una exposición. Para ello cuentan con hojas del mismo tamaño hechas de un papel especial. Cada uno debe decidir cuántas calcomanías pondrá por página, con la única condición que cada página tenga la misma cantidad, no pongan menos de 4 calcomanías por página y que cada uno presente todas las calcomanías. Javier tiene 120 calcomanías; Marisol tiene 130 y Benjamín 110."

a) ¿Cuáles son las diferentes posibilidades que tiene cada uno de distribuir las calcomanías en hojas de manera que se cumplan las condiciones?

b) Si los tres quisieran presentar la misma cantidad de calcomanías por página, ¿cuántas podrían poner por página?

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¿Pueden poner seis, por ejemplo, y que se cumplan las condiciones?

Justifica tu razonamiento.

c) Investiga si es posible que cada uno pegue 6 calcomanías por página al redistribuirlas de alguna manera (por ejemplo, si se regalan calcomanías entre ellos; si las juntan todas y se las distribuyen en partes iguales).

3. Raúl tiene varias hojas para dibujar en las cuales el rectángulo marcado mide 20 cm por 27 cm:

a) En una hoja decide dibujar líneas verticales que se ubiquen a la misma distancia unas de otras sin que sobre espacio en los bordes del rectángulo.

¿Cada cuántos centímetros puede hacer las líneas? Escribe todas las distintas posibilidades.

¿Se pueden hacer líneas cada 3 cm? ¿Cómo se puede saber si es posible o si no lo es?

En la misma hoja desea dibujar líneas horizontales que se ubiquen a la misma distancia unas de otras sin que sobre espacio en los bordes del rectángulo.

¿Cada cuántos centímetros se pueden hacer las líneas? Presenta todas las posibilidades.

¿Se pueden trazar líneas cada 5 centímetros y se cumplan las condiciones que desea? ¿Cómo se sabe si es o no es posible?

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G) ACTIVIDADES INICIALES Intenciones didácticasQue los alumnos determinen el número de cifras del cociente de naturales y que estimen su valor, sin realizar el algoritmo.Consideraciones previasLa intención de las actividades de este plan es doble: que los alumnos determinen el número de cifras del cociente de naturales y que estimen el resultado sin realizar el algoritmo convencional.Una herramienta útil para obtener el número de cifras de los cocientes es la multiplicación del divisor por potencias de 10; por ejemplo, el resultado de la división 17 625 ÷ 75 tiene 3 cifras, porque 75 x 100 = 7 500 y 75 x 1 000 = 75 000, así que el dividendo está entre 7 500 y 75 000.Para estimar los cocientes, además de determinar el número de cifras, es necesario aplicar propiedades de las operaciones estudiadas en otros grados; por ejemplo, el resultado de la división 3 380 ÷ 65 tiene 2 cifras, pero además puede advertirse que 65 x 100 = 6 500; si 6 500 se reduce a la mitad, se obtiene 3 250, valor muy aproximado al dividendo; por tanto, el cociente es un valor muy cercano a 50, lo cual es resultado de reducir a la mitad también el factor 100.

Intenciones didácticasQue los alumnos seleccionen el resultado exacto de divisiones de naturales, haciendo uso de diversos procedimientos, sin realizar el algoritmo.Consideraciones previasAhora se trata de seleccionar el resultado exacto de divisiones sin realizar el algoritmo convencional. Los estudiantes podrán utilizardiversos procedimientos y conocimientos como: las propiedades de las operaciones (en especial de la multiplicación y división), lascaracterísticas de los múltiplos de un número, y saber determinar el número de cifras del cociente de números naturales.Por ejemplo, para seleccionar el resultado exacto de 12 462 ÷ 93, se puede proceder de la siguiente forma:• 93 x 100 = 9 300 y 93 x 1 000 = 93 000; por tanto, el cociente debe tener 3 cifras, ya que el dividendo está entre 9 300 y 93 000.Entonces 84 queda descartado.• La cifra de las unidades del cociente debe ser 4, porque al multiplicarlo por el divisor, que termina en 3, se obtiene un número quetermina en 2, tal como ocurre con el dividendo (12 462). Entonces, 125 queda descartado. • Si 93 x 100 = 9 300, entonces 93 x 50 = 4 650 y 93 x 150 = 13 950, resultado que sobrepasa al dividendo; por tanto, el cociente buscado debe ser menor que 150; así, 154 queda descartado. El resultado exacto es 134.En la resolución de problemas de división y en otros temas relacionados, los alumnos han empezado a establecer algunas relaciones entre los elementos de una división: dividendo (D), divisor (d), cociente (c) y residuo (r). Se trata ahora de estudiar nuevas relaciones. Por ejemplo, pedir que inventen divisiones que puedan ser resueltas mentalmente y cuyo residuo sea 200. En un principio los alumnos prueban con distintos números y con frecuencia presentan divisiones en las cuales el residuo es mayor que el divisor, por ejemplo 600 : 2 = 200 y residuo 200. Puede verse que se verifica la primera condición de la división, ya que D = cd + rsin embargo no verifica la segunda, ya que r > d. Este ejercicio permite tomar conciencia de esa propiedad que no siempre se explicita en clase: en la división se busca el mayor cociente que multiplicado por el divisor sea igual o se acerque lo más posible al dividendo. Existen muchas igualdades en las que D = d x c + r, pero sólo una en la que además r < d. Buscando producir muchas divisiones con tales características, los alumnos pueden descubrir que a partir de una de esas divisiones, por ejemplo 500 dividido

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entre 300 con cociente 1 y residuo 200, se pueden obtener otras con el mismo residuo, cada vez que se le sume 300 al dividendo. Al hacerlo se van obteniendo cocientes sucesivos: 1, 2, 3… mientras que el residuo se mantiene igual a 200.El que las divisiones inventadas puedan ser resueltas mentalmente centra la actividad de los alumnos en las relaciones entre los datos y no en la complejidad de los cálculos.





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Muy útil Útil Limitado Pobre


PLAN DE TRABAJO DE MATEMATICAS 5° 6°ASIGNATURA: MATEMATICASTEMA EN COMUN: COORDENADASPAGINAS DEL LIBRO

EJE TEMA SUBTEMA5° Forma, espacio y medidaTEMA Ubicación espacialSUBTEMA Representación

6° Forma, espacio y medidaTEMASUBTEMA

CONOCIMIENTOS Y HABILIDADES1.8Trazar planos de casas o edificios conocidos.(retomado)

2.7. Leer mapas de zonas urbanas o rurales, conocidas o desconocidas.2.8. Interpretar mapas de rutas.

3.5. Representar gráficamente pares ordenados en el primer cuadrante de un sistema de coordenadas cartesianas.5.3. Resolver problemas que involucren constantes de proporcionalidad particulares; resolver problemas en que se requiera tener en cuenta unidades de medida diferentes.

APRENDIZAJES ESPERADOS 5°Construyan planos de casas o edificios conocidos.Resuelvan problemas que impliquen leer e interpretar mapas.

APRENDIZAJES ESPERADOS 6°-Utilicen el primer cuadrante del plano cartesiano como sistema de referencia para ubicar puntos en el plano.-Utilicen las propiedades de la proporcionalidad para resolver problemas con diferentes unidades de medida.

Se sugiere visitar algún edificio cercano a la escuela o hacer un plano de la propia escuela. No se trata de hacerlo a escala pero sí

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5º= 28,29,62,63,64,65 6º= 90,91,92

de ponerse de acuerdo en ciertos códigos, por ejemplo, para señalar las puertas, las paredes, y respetar la distribución de los espacios. Lectura de mapas de zonas urbanas o rurales conocidas, y luego de zonas desconocidas. Interpretar mapas de rutas. Identificar en mapas los puntos cardinales. Dar indicaciones, cuando emisor y receptor tienen el mismo plano, para ir de un lugar a otro en diferentes medios de movilidad. Hacer un croquis de una zona conocida para indicar una trayectoria, verificarla sobre el terreno, acordar sobre el vocabulario y la forma de representar las referencias. Reconocimiento de códigos (números de rutas, localidades según el número de habitantes, distancias indicadas en kilómetros, etcétera) Se sugiere plantear actividades que impliquen reconocer los códigos en un mapa vial (números de rutas, localidades según el número de habitantes, distancias indicadas en km) y calcular distancias según los valores indicados en el mapa, comparar mapas de una misma zona hechos con diferente escala (en vinculación con “Sentido numérico y pensamiento algebraico”), orientar el mapa según los puntos cardinales y analizar cuáles son las indicaciones que no varían (y las que sí lo hacen) si emisor y receptor tienen el mapa en diferente orientación: entre las primeras: “Sales de A por tal ruta y en el primer cruce tomas a la izquierda, rumbo a B”, entre las segundas: “Sales de A hacia abajo...” Reflexionar qué pasa si la indicación toma en cuenta los puntos cardinales: “Tomas la autopista que sale de A hacia el este...”.

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Observa el plano de la ciudad de Oaxaca que se presenta a continuación y después contesta las siguientes tres preguntas

En el plano, ¿cuál de los siguientes símbolos representa la ubicación de un estacionamiento?

C)

D)

E)

F)

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¿En cuál de los siguientes cuadrantes se ubica el jardín Conzatti?A) 3CB) 2CC) 4BD) 3B¿Cuál de las siguientes rutas se puede utilizar para ir desde el mercado de artesanías, ubicado sobre la calle Cosijopi, hasta el restaurante ubicado en la esquina de la calle M. Maza de Juárez?A) Cuatro calles al Norte, cuatro calles al Este y una calle al Sur.B) Una calle al Norte, cuatro calles al Este y dos calles al Norte.C) Cuatro calles al Este, tres calles al Norte y una calle al Oeste.D) Una calle al Este, una calle al Norte y tres calles al Este


Intenciones didácticasQue los alumnos ubiquen puntos en un sistema de coordenadas cartesianas, representado en un croquis, haciendo uso de un par ordenado de números; asimismo, con las parejas de números ordenados, que ubiquen los puntos respectivos.Consideraciones previasEs probable que la primera dificultad que tengan los alumnos sea relacionar la ubicación del semáforo 3 con el par ordenado (7, 2), y esa es la intención; algunas preguntas que los pueden orientar son: ¿a cuántas calles del eje vertical (avenida Vertical) se localiza? ¿A cuántas calles del eje horizontal (avenida Horizontal) se localiza? Se espera que los estudiantes adviertan que este semáforo se encuentra a 7 calles de la avenida vertical y a 2 calles de la avenida horizontal y que esos valores son el par de números ordenados. También es relevante que reflexionen sobre la importancia del orden de las coordenadas; para ello podría plantearse la siguiente pregunta: ¿(7, 2) y (2, 7) representan el mismo punto?Para comprender mejor el funcionamiento del sistema cartesiano en un plano es importante subrayar los siguientes aspectos: Los ejes que lo determinan son perpendiculares, en este caso representados por las avenidas Vertical y Horizontal. Existe un punto de origen –representado por las coordenadas (0, 0)– y que corresponde a la intersección de los dos ejes.Para ubicar un punto es necesario un par de valores (x, y): el primero representa la distancia al eje vertical y el segundo la distancia al eje horizontal. Éstos reciben los nombres de abscisa y ordenada, respectivamente. Se puede hacer uso del croquis para señalar otros puntos (semáforos) y que los alumnos determinen las coordenadas; o viceversa, que el maestro o algún alumno determine el par ordenado y que los demás ubiquen los semáforos. Intenciones didácticasQue los alumnos identifiquen regularidades en las coordenadas de los puntos y las rectas que éstos determinan en el plano cartesiano.Consideraciones previas

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Una vez que los estudiantes saben ubicar puntos en un plano cartesiano y determinar sus coordenadas, es importante que ahorabusquen relaciones entre las regularidades de las coordenadas de los puntos y las rectas que éstos determinan en el plano. Algunas de ellas son:Si varios pares ordenados tienen la misma abscisa, ordenada o ambas, pertenecen a la misma recta.Si el valor de la abscisa es 0 en varios pares ordenados, estos pertenecen al eje vertical.Si el valor de la ordenada es 0 en varios pares ordenados, estos pertenecen al eje horizontal.Si a varios pares ordenados que pertenecen a una paralela del eje horizontal se suma el mismo valor a las ordenadas, al representarlos y unirlos se obtiene otra paralela.Si a varios pares ordenados que pertenecen a una paralela del eje vertical se suma el mismo valor a las abscisas, al representarlos y unirlos se obtiene otra paralela.Por el trabajo realizado, es posible que en la pregunta 5 los alumnos digan que los pares ordenados deben tener la misma abscisa ola misma ordenada, sin embargo, no son los únicos casos; también se les puede preguntar: ¿qué sucede si tienen la misma abscisay la misma ordenada, por ejemplo (2, 2), (5, 5) y (8, 8)?; éstos también pertenecen a una recta, aunque no es paralela a ningún eje. Adicionalmente, puede discutirse el comIntenciones didácticasQue los alumnos identifiquen regularidades en las coordenadas de los puntos y las rectas que éstos determinan en el plano cartesiano.Consideraciones previasUna vez que los estudiantes saben ubicar puntos en un plano cartesiano y determinar sus coordenadas, es importante que ahorabusquen relaciones entre las regularidades de las coordenadas de los puntos y las rectas que éstos determinan en el plano. Algunas de ellas son:Si varios pares ordenados tienen la misma abscisa, ordenada o ambas, pertenecen a la misma recta.Si el valor de la abscisa es 0 en varios pares ordenados, estos pertenecen al eje vertical.Si el valor de la ordenada es 0 en varios pares ordenados, estos pertenecen al eje horizontal.Si a varios pares ordenados que pertenecen a una paralela del eje horizontal se suma el mismo valor a las ordenadas, al representarlos y unirlos se obtiene otra paralela.Si a varios pares ordenados que pertenecen a una paralela del eje vertical se suma el mismo valor a las abscisas, al representarlos y unirlos se obtiene otra paralela.Por el trabajo realizado, es posible que en la pregunta 5 los alumnos digan que los pares ordenados deben tener la misma abscisa ola misma ordenada, sin embargo, no son los únicos casos; también se les puede preguntar: ¿qué sucede si tienen la misma abscisay la misma ordenada, por ejemplo (2, 2), (5, 5) y (8, 8)?; éstos también pertenecen a una recta, aunque no es paralela a ningún eje. Adicionalmente, puede discutirse el comportamiento de las coordenadas (2, 7), (3, 6) y (4, 5) o (7, 6), (9, 7) y (11, 8), ya que también se ubican en la misma recta.Se sugiere no obligar a los alumnos a que utilicen el plano cartesiano; si no lo hacen, el esfuerzo intelectual es mayor. Sin embargo, podrían utilizarlo para verificar sus respuestas. Intenciones didácticasQue los alumnos manejen el sistema de coordenadas cartesianas en la ejecución de un juego.Consideraciones previas

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Si los alumnos no entienden cómo jugar, el maestro puede hacer una demostración del juego. Para terminar la sesión, el maestro puede pedirles a los alumnos que expliquen cuál es la mejor estrategia para ganar. Esto debe originar una serie de argumentaciones que se analizarán en grupo.Otra actividad sugerida es realizar el juego Traza la figura geométrica con las siguientes reglas:• El juego consiste en intentar reproducir en un plano cartesiano una figura geométrica idéntica al del equipo contrario.• Un equipo traza una figura geométrica en su plano cartesiano. Posteriormente, sin mostrarlo, le dicta al otro equipo los pares ordenados de los puntos de sus vértices.• El otro equipo intenta reproducir la figura con la información dada.• Se comparan las figuras y se da un punto al equipo si acertó en la reproducción.• Los equipos intercambian de rol. Se sugiere que en los planos cartesianos de ambos equipos se utilice la misma escala para que la verificación pueda hacerse superponiendo las figuras.Algunas constantes de proporcionalidad poseen nombres que las identifican, como escala, densidad, velocidad. Se les presentaránproblemas a los alumnos en los que se pongan en juego distintas situaciones relativas a estos conceptos.Por ejemplo, representar a escala el edificio de la escuela, después de haber tomado las medidas necesarias. La relación de proporcionalidad subyacente es la que se establece entre las medidas del edificio y el croquis que se quiere trazar. Si bien se puede partir de trabajar con una relación establecida entre dos medidas expresadas como unidades diferentes, por ejemplo, 1 cm - 2 m, posteriormente se considerará la constante de proporcionalidad, denominada factor de escala, que exigirá convertir a una unidad común, se tratará de la constante 1/200. Una vez hallada, esta constante permite calcular cualquier distancia en el croquis si se conoce la correspondiente en el edificio o a la inversa.Este conocimiento se tratará en relación con los del eje Medición y espacio.




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PLAN DE TRABAJO DE MATEMATICAS 5° 6°ASIGNATURA: MATEMATICASTEMA EN COMUN: SISTEMA INTERNACIONAL DE MEDIDAS Y UNIDADES MAS COMUNES

PAGINAS DEL LIBRO

EJE TEMA SUBTEMA5°Forma, espacio y medida

TEMA MEDIDASUBTEMA UNIDADES

6° Forma, espacio y medidaTEMASUBTEMA Subtema. Números naturales

CONOCIMIENTOS Y HABILIDADES2.9. Realizar conversiones entre los múltiplos y submúltiplos del metro, del litro y del kilogramo.(retomado)3.9. Identificar los múltiplos y submúltiplos del metro cuadradoy las medidas agrarias.

3.6. Establecer relaciones entre unidades del Sistema Internacional de Medidas (SI) y las unidades más comunes del sistema inglés.

APRENDIZAJES ESPERADOS 5°Resuelvan problemas que impliquen conversiones entre múltiplos y submúltiplos del metro, litro y kilogramo.

APRENDIZAJES ESPERADOS 6°. Resuelvan problemas que impliquen conversiones del Sistema Internacional (SI) y el sistema inglés de medidas.

PRESENTARLES LA SIGUIENTE INFORMACION

Generalidades

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5º= 66,67,68,103,104,105 6º= 93,94,95

No se pueden poner dos o más prefijos juntos: por ejemplo, 10−9 metros hay que escribirlos como 1 nm, no 1 mµm.

Hay que tener en cuenta antes los prefijos que las potencias; así, "km²" se lee kilómetro cuadrado, no kilo– metro cuadrado. Por ejemplo, 3 km² son 3 000 000 m², no 3 000 m² (ni tampoco 9 000 000 m²). Es decir, los prefijos del SI, en lugar de miles, se convierten en multiplicadores de millón en el caso de las potencias de 2, de mil millones en el caso de las potencias de 3 y así sucesivamente. Por lo tanto, es probable que se requiera emplear números grandes, aunque se empleen todos los prefijos.

Son mejores los prefijos cuya potencia es múltiplo de tres. Por ello es preferible emplear "100 m" que "1 hm". Hay, sin embargo, algunas excepciones importantes: el centímetro, la hectárea (hecto-área), el centilitro, el decímetro cúbico (equivalente a un litro), el hectopascal y el decibelio (la décima parte de un belio).

Los prefijos myria- y myrio-, que han quedado obsoletos, se abandonaron antes de que el SI entrara en vigor en 1960, probablemente por no seguir el mismo modelo que el resto de prefijos, por no existir símbolos adecuados para representarlos (para entonces ya se empleaban los símbolos M, m y µ) y por ser, en general, poco empleados.

El kilogramo es la única unidad básica del SI que lleva prefijo. Denota la masa de un objeto real. El gramo es la milésima parte (1/1000) de la masa de dicho objeto.

Aunque en principio pueden emplearse, las combinaciones de prefijos y cantidades se emplean poco, incluso en los ámbitos de la ciencia y de la ingeniería:

Masa: hectogramo, gramo, miligramo, microgramo y otras unidades más pequeñas se emplean a menudo. El megagramo y otras mayores, en cambio, no se suelen emplear habitualmente; en su lugar se emplea la tonelada o la notación científica. En ocasiones el megagramo se emplea para diferenciar la tonelada métrica de la no métrica.

Volumen en litros: litro, decilitro, centilitro, mililitro, microlitro y otras unidades más pequeñas se emplean a menudo. Los volúmenes mayores en ocasiones se dan en hectolitros; en otras en metros cúbicos o en kilómetros cúbicos; también en hectómetros cúbicos. Así, por ejemplo, es muy común expresar el volumen de los embalses o lagos en hectómetros cúbicos.

Longitud: kilómetro, metro, decímetro, centímetro, milímetro y a menudo unidades más pequeñas. Unidades mayores como el megámetro, el gigámetro u otras, pocas veces. La unidad astronómica, el año-luz y el pársec se emplean, en cambio, a menudo; en el reglamento del SI, la unidad astronómica figura como una unidad aceptable pero oficialmente fuera del sistema.

Tiempo: segundo, milisegundo, microsegundo y otras unidades más pequeñas son habituales. El kilosegundo y el megasegundo también se emplean en ocasiones, aunque son más habituales determinadas formas de notación científica o las horas, los minutos y otras unidades que denotan tiempos tan largos o más que dichas unidades.

† Aunque anteriormente en Reino Unido, Irlanda, Australia y Nueva Zelanda se empleaba la escala larga para nombrar los números, actualmente y 365

cada vez más emplean la escala corta. Hay que tener en cuenta que por encima del millón y por debajo de la millonésima, nombres iguales poseen significados distintos en ambos sistemas corto y largo, con lo que números del orden del billón o del trillón, por ejemplo, pueden resultar confusos a nivel internacional. El empleo de los prefijos del SI puede ser el camino para la superación de este problema

G) ACTIVIDADES INICIALES Intenciones didácticasQue los alumnos resuelvan problemas que impliquen hacer transformaciones entre unidades del Sistema Inglés (pulgada, pie y milla) y unidades del Sistema Internacional de Medidas.Consideraciones previasAntes de que los alumnos resuelvan los problemas, si el profesor considera pertinente, puede comentar la historia y los lugaresdonde se utiliza el Sistema Inglés y el Sistema Internacional de Medidas. Si bien en cada problema se da la equivalencia entre las unidades del Sistema Inglés y las unidades del Sistema Internacional, en el caso del pie y de la milla no sucede esto. La equivalencia para el pie se da en centímetros y el resultado se pide en metros, y la equivalencia de la milla se da en metros aunque el resultado se pide en kilómetros; esto propicia que se hagan conversiones entre múltiplos y submúltiplos del metro.En el caso del velocímetro, si los alumnos no advierten que mph significa millas por hora, hay que señalarlo.Se sugiere solicitar a los estudiantes que busquen otras aplicaciones del pie, la pulgada y la milla, con el fin de plantear problemas que permitan interpretar esta información en unidades del Sistema Internacional de Medidas. En relación con el eje “Sentido numérico y pensamiento algebraico” estudiar sistemáticamente el Sistema Internacional de Medidas (si): buscar equivalencias, describir medidas con escritura decimal, realizar conversiones que exijan multiplicaciones y divisiones por potencias de 10, entre otros ejercicios. Introducir la hectárea y el área como unidades estándar para medir ciertas superficies de tierra.En relación con el eje “Manejo de la información”, interpretar precios dados por unidad de superficie (en metros cuadrados y en medidas agrarias), o el rendimiento de un grano en toneladas por unidad de superficie, por ejemplo. Intenciones didácticasQue los alumnos resuelvan problemas que impliquen hacer transformaciones entre unidades del Sistema Inglés (libra, onza y galón)y unidades del Sistema Internacional de Medidas.Consideraciones previasPara poder comparar los precios de las diversas presentaciones de las galletas o de los jugos es necesario transformar todos los contenidos a la misma unidad de medida. Una posibilidad es convertir todos los contenidos de las galletas en kilogramos y los de los jugos en litros.Hechas las transformaciones anteriores, existen varias formas de proceder para decidir el mejor precio según el contenido. Una forma es utilizar las nociones de una relación de proporcionalidad al establecer problemas de valor faltante.Por ejemplo, con las presentaciones 1 y 2 de galletas:1 kg $48.001.250 kg x

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De donde, x = $60.00Como la presentación 1 cuesta $62.90, entonces, de las presentaciones 1 y 2, la que más conviene es la 2. De la misma forma, se pueden comparar las presentaciones 2 y 3. También el valor unitario puede ser útil para realizar las comparaciones, es decir, se obtiene el precio de 1 kg en las tres presentaciones. Es posible que los alumnos se sorprendancon el uso de la onza tanto en las galletas como en los jugos. Sería conveniente comentar que, además de la onza para medir masa, existe la onza para calcular líquidos (fl.oz). Se sugiere solicitar a los estudiantes que busquen otras aplicaciones de la libra, la onza y el galón, con la finalidad de plantear otros problemas que permitan interpretar esta información en unidades del Sistema Internacional de Medidas. Intenciones didácticasQue los alumnos calculen equivalencias entre divisas de diferentes países.Consideraciones previasEs recomendable preguntar a los alumnos sobre algunas monedas extranjeras que conozcan o de las que hayan oído hablar; y queinvestiguen su equivalencia en pesos mexicanos a fin de plantear problemas que impliquen realizar conversiones entre las diferentes divisas.Es probable que la pregunta 3 resulte compleja, ya que se relacionan 2 monedas extranjeras: euros y dólares. Una posibilidad esconvertir los 500 dólares en pesos mexicanos y después, éstos en euros. También puede establecerse que 1 euro equivale a 1.2576 dólares, al dividir 16.35 entre 13.00; posteriormente, se procede a encontrar el equivalente en euros de los 500 dólares.Se sugiere actualizar el tipo de cambio de las monedas consideradas en la tabla.

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A

CTIVIDADES ENCICLOMEDIA



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PLAN DE TRABAJO DE MATEMATICAS 5° 6°ASIGNATURA: MATEMATICASTEMA EN COMUN: PROBLES UE IMPLIUEN DIVISION DE FRACCION NO FORMAL

PAGINAS DEL LIBRO

EJE Y COMPETENCIA5° 6° SENTIDO NUMÉRICO Y PENSAMIENTO ALGEBRAICO

CONOCIMIENTOS Y HABILIDADES4.4. Dividir un número fraccionario o decimal entre un número natural.

PROPOSITOS 5° APRENDIZAJES ESPERADOS 6°Dividan fracciones entre naturales.

G) ACTIVIDADES INICIALES Intenciones didácticasQue los alumnos encuentren un procedimiento para dividir una fracción entre un número natural, cuando el numerador de la fracciónes múltiplo del natural.Consideraciones previasLa división de fracciones es un tema de la educación secundaria; no obstante, los alumnos tienen algunas herramientas para enfrentarse con problemas en los que se tiene que dividir una fracción común entre un número natural (1, 2, 3, 4,…). De ninguna manera se trata de que se les enseñe el algoritmo convencional (multiplicación en cruz o multiplicar por el recíproco), sino de que los alumnos pongan en juego conocimientos previos y lleguen al resultado del problema usando sus propios procedimientos.

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5º= 6º= 115,116,117

En esta sesión, se trabaja el caso más sencillo, cuando el numerador de la fracción es múltiplo del divisor. Se espera que los alumnos se den cuenta de que, en este caso, basta con dividir el numerador de la fracción entre el divisor; por ejemplo, 4 6 entre 2 da como resultado 2 6 . Es probable que algunos alumnos crean que para dividir 46 entre dos se divide tanto el numerador como el denominador; en el ejemplo anterior, erróneamente pensarán que 4 6 entre 2 da como resultado 2 3 . Para que se den cuenta de su error, puede solicitarles que representen gráficamente 4 6 y 23 , a fin de que noten que es la misma fracción.Los procedimientos que pueden surgir para resolver los problemas planteados son:• Representar la pieza de madera dividida en quintos, con 1 5 dañado, y dividir en dos partes iguales los 4 5 restantes. Para cada puerta se ocuparán 25 . 1/ 5 • Si un quinto está dañado, quedan cuatro quintos, cuatro quintos dividido entre dos da como resultado dos quintos.El profesor, al término de la confrontación de resultados, puede mostrar a los alumnos que la notación para indicar 4 5 entre 2 (en el caso del primer problema) es: 4 5 ÷ 2 = 2 5

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También puede proponer que resuelvan otras divisiones similares recordando dos cosas importantes:• En esta sesión sólo se trabajarán casos en los que el numerador de la fracción es múltiplo del divisor.• No se trata de que los alumnos aprendan algoritmos mecánicos que no comprenden, sino de que resuelvan la división comprendiendo lo que hacen. Intenciones didácticasQue los alumnos encuentren un procedimiento para dividir fracciones entre números naturales, en casos donde el numerador noes múltiplo del divisor.Consideraciones previasProbablemente los alumnos se darán cuenta de que no pueden recurrir al procedimiento abordado en la clase anterior, porque ahora el numerador de la fracción no es múltiplo del divisor. Se espera entonces que usen sus conocimientos previos acerca de las fracciones para generar estrategias propias y lleguen al resultado. Por ejemplo, para el caso del primer problema pueden dar las siguientes respuestas correctas:• Les toca de 1 /10 y otro pedazo. Invítelos a que determinen el valor de ese otro pedazo.• Les toca la mitad de 3 /10. En este caso, invítelos a que averigüen cuánto es la mitad de 3 /10.• También, recordando lo estudiado en la clase anterior, pueden dividir 3 entre 2 y responder que les toca 1.5 10 . En este caso,invítelos a que encuentren una fracción en la que tanto el numerador como el denominador sean números enteros.Las estrategias de resolución que pueden surgir son varias, por ejemplo:• Trabajar con dibujos. Pueden representar al pastel circular o rectangular (el problema no lo aclara). Al hacer el dibujo, los alumnos notarán que a cada uno le toca un décimo más la mitad de un décimo. Los alumnos pueden expresar así el resultado y está bien, no obstante, es interesante que les haga ver que pueden dar el resultado sin que esté expresado como una suma.

Puede plantearles: ¿cuánto es la mitad de 1/10?, ¿y cuánto obtienes si sumas 1/10 más 1/20?Otra manera de llegar al resultado a partir del dibujo es que los alumnos noten que si se divide un décimo a la mitad, este pedazo es1/20 del pastel y por tanto, se tendrían 6/20 para repartir entre Raúl y Esperanza, por lo que a cada uno le tocan 3/20.

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• Otro procedimiento, sin usar dibujos, es encontrar una fracción equivalente a 3/10 pero cuyo numerador sea un múltiplo de 2 (porque se quiere dividir entre dos). Esa fracción puede ser 6/20 y al dividir entre 2 se obtiene 3/20.Los procedimientos para los otros problemas pueden ser similares; en el caso del tercer problema es probable que los alumnos conviertan 3/4 de metro a 75 cm, es válido y lo interesante sería que en la confrontación se demuestre la equivalencia de los resultados dados en centímetros o en metros.Con la práctica, se espera que los alumnos usen la estrategia consistente en encontrar fracciones equivalentes cuyo numerador sea múltiplo del divisor. Recuerde que en ningún caso se espera enseñar el algoritmo convencional para dividir una fracción entre un entero. Observe que los procedimientos informales dan lugar a que el alumno ejercite su razonamiento y profundice en sus conocimientos sobre las fracciones. Al resolver varios ejemplos, los estudiantes notarán que dividir una fracción entre un número entero equivale a multiplicar su denominador por ese número, por ejemplo, 3/4 entre 8 da como resultado (.332.) Es decir, para que esta fracción sea 8 veces más pequeña, el denominador debe ser 8 veces mayor.Para terminar, se sugiere plantear otras divisiones de fracciones, como las que se trabajaron en la sesión anterior o como las que se trabajaron en esta sesión. Intenciones didácticasQue los alumnos dividan números decimales entre números naturales en un contexto monetario.Consideraciones previasNo obstante que es la primera vez que los alumnos se enfrentan a problemas que implican dividir un decimal entre un natural, seespera que con lo que saben de números decimales y con su experiencia en el manejo del dinero, puedan calcular el costo de un boleto.Los procedimientos que pueden seguir son variados; a manera de ejemplo se presentan algunos:• Un boleto del Metro cuesta menos de $3 porque 3 x 4 = 12, se pasa. Si costara 2.90, el total sería 2.90 + 2.90 + 2.90 + 2.90 = 11.60, todavía se pasa. Si costara 2.70, el total sería 2.70 + 2.70 + 2.70 + 2.70 = 10.80.El costo de un boleto es 2.70.• Si cada boleto del Metrobús costara $3, el total, sería $15, y si costara $4 el total, sería $20. Entonces, el boleto vale más de $3, pero menos de $4. La diferencia entre $17.50 y $15 es de $2.50 que, dividido en cinco partes, es $0.50. Un boleto de metrobúsvale $3.50.• Para el caso de la pesera, si dividimos 26 entre 7, da como resultado 3 y sobran 5 que, junto con los otros 60 centavos da un total de $5.60. Este sobrante se divide en 7 partes iguales, cada parte es de 0.80. El boleto de la pesera cuesta $3.80.Si algún equipo plantea la siguiente división para el caso del autobús:

6 32.40

los alumnos notarán que en la parte entera, toca de a 5 y sobran 2. Es muy probable que aquí se detengan porque ya no saben qué hacer ante la presencia del punto. Usted puede apoyarlos con preguntas como: ¿qué cantidad de dinero es el 2 que les sobró?, y si juntan esa cantidad con el 4, ¿qué cantidad de dinero tienen?, ¿y si dividen ese 24 entre 6, ¿a cómo toca?, ¿el resultado esen pesos o décimos de peso?, y sin son décimos de peso, ¿no les convendría poner el punto después del 5 para indicar que empiezan a repartirdécimos?Es difícil que los alumnos, por sí solos, construyan el algoritmo convencional para dividir un decimal entre un natural. Puede

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apoyarlos con intervenciones e, incluso, con una explicación al frente del grupo. Esta explicación tiene que ser posterior a que los alumnos hayan justificado sus propios procedimientos. También es importante que no sólo les diga: “se hace la división igual y se sube el punto”; esta explicación no tiene sentido para los alumnos porque no saben por qué lo tienen que hacer. En su lugar, es importante que ellos se den cuenta de que, en el momento de bajar la primera cifra decimal (décimos), la cifra del residuo también son décimos y por esa razón debe ponerse el punto en el resultado (cociente), para indicar que empiezan a dividirse los decimales.Se sugiere que el maestro plantee otros ejercicios para fortalecer los procedimientos empleados, por ejemplo:a) 10.5 ÷ 4b) 350.45 ÷ 8c) 258.9 ÷ 10d) 57 689.6 ÷ 100e) 674 567 ÷ 1 000




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PLAN DE TRABAJO DE MATEMATICAS 5° 6°ASIGNATURA: MATEMATICASTEMA EN COMUN: RELACION DE VOLUMEN Y CAPACIDAD

PAGINAS DEL LIBRO

EJE Y COMPETENCIA5° FORMA ESPACIO Y MEDIDA

TEMA MedidaSUBTEMA Conceptualización

6° FORMA ESPACIO Y MEDIDATema. Análisis de la informaciónSubtema. Relaciones de proporcionalidad

CONOCIMIENTOS Y HABILIDADES4.8. Identificar y comparar volúmenes. 4.8. Relacionar el decímetro cúbico y el litro. Deducir otras

equivalencias entre unidades de volumen y capacidad para líquidos. Conocer e interpretar unidades culturalmente usuales para diferentes magnitudes.

APRENDIZAJES ESPERADOS 5°Comuniquen las características, definan y clasifiquen prismas y pirámides.

APRENDIZAJES ESPERADOS 6°Resuelvan problemas que impliquen usar la relación entre unidades cúbicas y unidades de capacidad.

G) ACTIVIDADES INICIALES 387

5º= 144,145 6º= 124,125

Consideraciones previasENTREGAR LA SIGUIENTE INFORMACION A LOS ALUMNOS

El volumen es una magnitud definida como el espacio ocupado por un cuerpo. Es una función derivada ya que se halla multiplicando las tres dimensiones.

En matemáticas el volumen es una medida que se define como los demás conceptos métricos a partir de una distancia o tensor métrico.

En física, el volumen es una magnitud física extensiva asociada a la propiedad de los cuerpos físicos de ser extensos, que a su vez se debe al principio de exclusión de Pauli.

La unidad de medida de volumen en el Sistema Internacional de Unidades es el metro cúbico, aunque temporalmente también acepta el litro, que se utiliza comúnmente en la vida práctica.

Relación entre Capacidad y Volumen

La "capacidad" y el "volumen" son términos que se encuentran estrechamente relacionados. Se define la capacidad como el espacio vacío de alguna cosa que es suficiente para contener a otra u otras cosas. Se define el volumen como el espacio que ocupa un cuerpo. Por lo tanto, entre ambos términos existe una equivalencia que se basa en la relación entre el litro (unidad de capacidad) y el decímetro cúbico (unidad de volumen).

Este hecho puede verificarse experimentalmente de la siguiente manera: si se tiene un recipiente cualquiera con agua que llegue hasta el borde, y se introduce en él un cubo sólido cuya medida sea de 1 decímetro por lado (1 dm3), se derramará toda el agua. Esto equivaldrá a la cantidad de agua desplazada por el cuerpo al ser introducido dentro del recipiente, y el agua derramada será de 1 litro. Por tanto, puede afirmarse que:

1 dm3 = 1 litro

1 dm3 = 1.000 cm3

Unidades de volumen

Se clasifican tres categorías:

Unidades de volumen sólido. Miden al volumen de un cuerpo utilizando unidades de longitud elevadas a la tercera

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potencia. Se le dice volumen sólido porque en geometría se utiliza para medir el espacio que ocupan los cuerpos tridimensionales, y se da por hecho que el interior de esos cuerpos no es hueco sino que es sólido.

Unidades de volumen líquido. Éstas unidades fueron creadas para medir el volumen que ocupan los líquidos dentro de un recipiente.

Unidades de volumen de áridos, también llamadas tradicionalmente unidades de capacidad. Éstas unidades fueron creadas para medir el volumen que ocupan las cosechas (legumbres, tubérculos, forrajes y frutas) almacenadas en graneros y silos. Estas unidades fueron creadas porque hace muchos años no existía un método adecuado para pesar todas las cosechas en un tiempo breve, y era más práctico hacerlo usando volúmenes áridos. Actualmente estas unidades son poco utilizadas porque ya existe tecnología para pesar la cosecha en tiempo breve.

Unidades de volumen sólido

Sistema Internacional de Unidades

El Metro cúbico es la unidad fundamental del S.I. para volúmenes. Debe considerarse con los siguientes múltiplos y submúltiplos:

Múltiplos

Kilómetro cúbico Hectómetro cúbico

Decámetro cúbico

Submúltiplos

Decímetro cúbico Centímetro cúbico

Milímetro cúbico

Sistema inglés de medidas Pulgada cúbica Pie cúbico

Yarda cúbica

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Acre-pie

Milla cúbica

Unidades de volumen líquido

Sistema Internacional de Unidades

La unidad más usada es el Litro, pero debe ser considerada con los siguientes múltiplos y submúltiplos:

Múltiplos

Kilolitro Hectolitro

Decalitro

Submúltiplos

Decilitro Centilitro

Mililitro

Sistema inglés de medidas

En el Reino Unido y Estados Unidos

Barril Galón

Onza líquida

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Medidas usadas en la cocina Cucharadita Cucharada

Taza

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ACTIVIDADES ENCICLOMEDIAOBSERVAR EL VIDEO DE LAS MEDIDAS CUBICAS RELACIONADAS CON LA CAPACIDAD



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PLAN DE TRABAJO DE MATEMATICAS 5° 6°ASIGNATURA: MATEMATICAS TEMA EN COMUN: Resolver problemas que involucren la búsqueda de divisores o múltiplos comunes

PAGINAS DEL LIBRO

EJE Y COMPETENCIA5°

TEMA Significado y uso de las operacionesSUBTEMA Problemas multiplicativos

6° Sentido numérico y pensamiento algebraico

D) CONTENIDOS POR CICLO2.3. Resolver problemas que impliquen el uso de múltiplos de números naturales.(retoma)4.3. Resolver problemas que impliquen la búsqueda de divisores de un número

5.1. Resolver problemas que involucren la búsqueda de divisores o múltiplos comunes a varios números.5.2. Resolver problemas multiplicativos con valores fraccionarios o decimales mediante procedimientos no formales

APRENDIZAJES ESPERADOS 5°Resuelvan problemas que impliquen el uso de múltiplos de números naturales.Resuelvan problemas que impliquen el DIVISOR de números naturales

APRENDIZAJES ESPERADOS 6°. Usen el divisor común o el múltiplo común para resolver problemas.

..

G) ACTIVIDADES INICIALES Intenciones didácticasQue los alumnos resuelvan problemas que impliquen obtener múltiplos comunes de dos o más números.Consideraciones previasCompletar la tabla es importante porque los alumnos deben generar múltiplos de 6, 8 y 12; posteriormente podrán visualizar y relacionar múltiplos comunes de estos números. Así, para contestar la primer pregunta tendrán que identificar el primer múltiplo común de 6 y 12, el cual es el 12; para la segunda pregunta es necesario identificar los múltiplos comunes de 6, 8 y 12 después de transcurridas 72 horas, los cuales son tres: 24, 48 y 72. La respuesta a esta segunda pregunta es 4, considerando la toma inicial.

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5º= 125,126,127 6º=

Para la última pregunta se espera que los alumnos adviertan que de las 8 de la mañana del viernes a las 8 de la mañana del domingo transcurrieron 48 horas, así que hay una toma simultánea de los tres medicamentos; de la misma manera, después de 4 horas (12 horas) no hay ninguna toma, la más próxima es a las 2 de la tarde, el medicamento A.Hay dos aspectos adicionales que vale la pena reflexionar a partir de las preguntas anteriores:• Si el tratamiento continuara indefinidamente, existirá un momento en que dejen de coincidir la toma de los tres medicamentos?,¿por qué? Se trata de advertir que la lista de múltiplos comunes a dos o más números es infinita.• ¿Existe un momento en que se tome el medicamento C, sin que se tome el medicamento A? ¿Por qué sucede esto? Aquí la intención es que identifiquen que todos los múltiplos de 12, también son múltiplos de 6.Con la finalidad de seguir trabajando con la noción de múltiplo común, se pueden proponer los siguientes problemas.a) Encontrar los primeros diez múltiplos comunes de 7 y 10.b) Encontrar el décimo múltiplo común de 5 y 9.c) Encontrar todos los números que tienen como múltiplo común el 20.Se pueden plantear distintas situaciones en relación con un mismo contexto que permitan a los alumnos determinar algunas características de la noción de múltiplo.Si en la serie numérica se parte de número 3 y se enuncian únicamente los números siguientes de 4 en 4, ¿se dirá el número 46?Si se parte de 0 y se va de 3 en 3, ¿se dirá el número 42?Si se parte de 1 y se va de 5 en 5, ¿se dirá el número 76?Si se parte de 2 y se va de 4 en 4 ¿se dirá el número 87?Los alumnos pueden elaborar algunos recursos para llegar a la respuesta, entre ellos escribir todos los números que se enuncian y constatar si se dijo o no el número dado en el enunciado. Si se elijen números más grandes se propiciará la evolución de los procedimientos para evitar tener que escribir todos los números. El número elegido para saltar también puede influir en los procedimientos, por ejemplo, en el segundo ejercicio, los alumnos pueden conjeturar que los números que se obtienen son los de la escala del 3, es decir que si el número dado está en la escala del 3 sí se dirá. ¿Cómo determinar si un número está o no en la escala del 3? Será necesario observar que todos esos números se pueden pensar como 3 multiplicado por algún otro número. En otros casos será necesario primero restar el número desde el cual se partió antes de buscar las características de los números dados.No se pretende que los alumnos lleguen a establecer que un número se dirá si luego de restar el número de inicio, al dividirlo por el número con el cual se dan los saltos se obtiene un residuo cero, sino que dado un número empiecen a estudiar el conjunto de números que se obtienen al multiplicar dicho número por números enteros.En este grado se buscará además que los alumnos puedan producir y reconocer los múltiplos de números como 2, 5 y 10.

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PLAN DE TRABAJO DE MATEMATICAS 5° 6°ASIGNATURA: MATEMATICAS TEMA EN COMUN: PROBABILIDAD

PAGINAS DEL LIBRO

EJE Y COMPETENCIA5° MANEJO DE LA INFORMACION

TEMA Análisis de la información y representación de la informaciónSUBTEMA Nociones De probabilidad

6° manejo de la informaciónTEMA Análisis de la informaciónSUBTEMA Nociones de probabilidad

CONOCIMIENTOS Y HABILIDADES3.11. Determinar los elementos del espacio muestral de una experiencia aleatoria.

5.5. Comparar la probabilidad teórica de un evento simplecon su probabilidad frecuencial.

APRENDIZAJES ESPERADOS 5°Determinen el espacio muestral de un experimento aleatorio.

APRENDIZAJES ESPERADOS 6°. Comparen las probabilidades: teórica y frecuencial de un evento simple

G) ACTIVIDADES INICIALES Con monedas, dados u otros objetos, los alumnos pueden, por ejemplo, comparar la probabilidad teórica de que caiga águila (1/2) con la probabilidad frecuencial, al realizar el experimento de lanzar una moneda muchas veces. La realización de la experiencia muchas veces les permitirá comprobar que aproximadamente sucede de esa manera. Es decir, que si el experimento se realizara una gran cantidad de veces, el cociente del número de águilas entre el total de repeticiones será aproximado al cociente del número de soles entre el total de repeticiones.RESOLVER LO SIGUIENTE

Hay 87 caramelos en una bolsa y 68 son de ananá. Si se escoge uno, ¿cuál es la probabilidad de que esta sea de ananá?

La probabilidad mide la frecuenta con la que aparece un resultado determinado, dicha medición oscila entre todos los decimales incluidos entre 0 y 1.

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5º= 109,110,111-112,113,114,115

6º=

Cuando la probabilidad es 0, el suceso es imposible y cuando la probabilidad es 1, el suceso es seguro.




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PLAN DE TRABAJO DE MATEMATICAS 5° 6°ASIGNATURA: MATEMATICASTEMA EN COMUN: CONSTRUCCION DE TESELADOSPAGINAS DEL LIBRO


TEMA Figurasmedidas SUBTEMA Figuras planasunidades

6° TEMA SUBTEMA

CONOCIMIENTOS Y HABILIDADES5.5. Construir teselados con figuras diversas.5.6. Establecer relaciones entre unidades y periodos de tiempo.

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APRENDIZAJES ESPERADOS 5°Resuelvan problemas que impliquen establecer relaciones entre unidades y periodos de tiempo

APRENDIZAJES ESPERADOS 6°. NO HAY TEMA EN COMUN

G) ACTIVIDADES INICIALES Dada una colección de diferentes figuras simples: cuadrados, rectángulos, paralelogramos, triángulos, hexágonos regulares, etcétera, construir teselados con una misma figura o con combinaciones de éstas.Descubrir en papeles pintados o diseños sobre telas cuál es el patrón (figuras en cierta disposición) que se repite y describir cómo se repite. plantear la posibilidad de reducir el patrón en caso de que haya alguna simetría. Analizar, sobre una lámina que muestre algún teselado sencillo del palacio de la Alhambra, cuáles son las figuras que intervienen y cómo están dispuestas. Sobre papel cuadriculado se podría reproducir y sería una actividad de construcción de polígonos. Unidades adecuadas para el tiempo geológico, histórico, en relación con la vida de una persona, en relación con el transcurso de un año, cotidianamente, etcétera. En relación con el eje “Sentido numérico y pensamiento algebraico” señalar lo irregular de los agrupamientosrespecto al sistema decimal de numeración.

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5º= 117,118,119,120,121 6º=

Representar sobre una recta el tiempo histórico en siglos, usando los números romanos, y analizar cómo se corresponde esa designación con los números decimales. Así, la llegada de Colón a América sucedió en el siglo xv, en el año 1492.

Qué son los teselados?

Los teselados son los diseños de figuras geométricas que por sí mismas o en combinación cubren una superficie plana sin dejar huecos ni superponerse, o sea, el cubrimiento del plano con figuras yuxtapuestas. Un poco de historia

Las antiguas civilizaciones utilizaban teselados para la construcción de casas y templos cerca del año 4000 A.C. Por ese tiempo los sumerios realizaban decoraciones con mosaicos que formaban modelos geométricos. El material usado era arcilla cocida que coloreaban y esmaltaban.

Posteriormente otros grupos demostraron maestría en este tipo de trabajo. Ellos fueron los persas, los moros y los musulmanes.

El grupo matemático de los pitagóricos analizaron tales construcciones y probablemente éstas los haya conducido al famoso teorema que establece que la suma de los ángulos interiores es igual a un ángulo llano.

La palabra teselado proviene de “tessellae”. Así llamaban los romanos a las construcciones y pavimentos de su ciudad.

Tipos de teselados

Los teselados pueden ser regulares o irregulares. Dentro de los regulares existen los semirregulares y demirregulares.

Los regulares se logran a partir de la repetición y traslación de polígonos regulares.

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Los demirregulares (fig. izquierda) se logran a partir de la combinación de varios tipos de polígonos regulares pero de modo que no todos los vértices tengan la misma distribución, en cambio, los semirregulares (fig. derecha) se forman con la combinación de dos o más polígonos regulares pero distribuidos de modo tal que en todos los vértices aparezcan los mismos polígonos y en el mismo orden

Por último, los irregulares, se forman gracias a la deformación de los lados de un polígono regular.

Creación de una figura irregular teselable Se dibuja un rectángulo cualquiera:

Se modifica uno de sus lados mayores y se traslada esa modificación al otro lado mayor.

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Luego se modifica el lado menor y se traslada esa modificación al otro lado.

Finalmente se tesela el plano con la forma resultante

El trabajo final quedará similar a este

En esta obra, además de construir una figura teselable y "cubrir" el plano, creamos diferentes texturas. Si quieres conocer más de nuestros trabajos y texturas, ingresa a nuestra comunidad.

También te invitamos a subir las tuyas.

Cómo cubrir el plano

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Para generar teselados podemos aplicar los movimientos de traslación, rotación y simetría axial. La primera, se logra copiando, trasladando y pegando la figura. La segunda, tomando un punto y girando a su alrededor. Por último, la simetría axial es el movimiento inverso en el plano para que una figura sea superponible a su homóloga ya que para esto no basta con deslizarla sobre el plano.

Teselados regulares

Algunas cosas para tener en cuenta:

No siempre es posible teselar un motivo: Sólo existen tres tipos de polígonos regulares que nos permiten teselar: el triángulo, el cuadrado y el hexágono regular.

Es necesario que los polígonos regulares tengan sus lados congruentes.

El poder teselar depende de la suma de los ángulos interiores de las distintas figuras que concurren en un punto.

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Escoge como cual teselado quieres hacer

Un teselado se refiere a una partición del plano mediante polígonos idénticos, o a un polígono o grupo de polígonos idénticos que convenientemente agrupados recubren enteramente el plano.

Un teselado visto en el pavimento de una Calle

Teselado Hexagonal de un Piso

Un teselado también es una regularidad o patrón de figuras que cubre o pavimenta completamente una superficie plana que cumple con dos requisitos:

1. que no queden huecos

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2. que no se superpongan las figuras

Los teselados se crean usando transformaciones isométricas sobre una figura inicial.

Distintas culturas en el tiempo han utilizado esta técnica para formar pavimentos o muros de mosaicos en catedrales y palacios.

Es un error común referise al teselado como "teselación" lo cual es una traducción equivocada de la palabra en Inglés "tesellation". El único término correcto en español es "teselado".

Algunos mosaicos sumerios con varios miles de años de antigüedad contienen regularidades geométricas. Arquímedes en el siglo III a. C. hizo un estudio acerca de los polígonos regulares que pueden cubrir el plano

Johannes Kepler, astrónomo alemán, estudió los polígonos regulares que pueden cubrir el plano, en su obra “Harmonice mundi” de 1619. Además realizó estudios en tres dimensiones de los llamados sólidos platónicos.

Entre 1869 y 1891, el matemático Camille Jordan y el cristalógrafo Evgenii Konstantinovitch Fiodorov estudiaron completamente las simetrías del plano, iniciando así el estudio sistemático y profundo de los llamados teselados.

Un personaje clave en este tema es el artista holandés M. C. Escher (1898-1972) quien, por sugerencia de su amigo el matemático H. S. M. Coxeter, aprendió los teselados hiperbólicos, lo que motivó su interés por el palacio de La Alhambra en Granada. Legó a un sinnúmero de bellas, curiosas y misteriosas obras de arte.

Los únicos polígonos regulares que cubren completamente una superficie plana son: el triángulo equilátero, el cuadrado y el hexágono.

Como la unión en cada vértice debe sumar 360º para que no queden espacios, los únicos polígonos regulares que suman 360 al unirlos por sus ángulos, interiores son estos tres.

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