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Ao de la Promocin de la Industria Responsable y del Compromiso Climtico

ASOCIACINUNIVERSIDAD PRIVADA SAN JUAN BAUTISTAFACULTAD DE CIENCIAS DE LA SALUDESCUELA PROFESIONAL DE MEDICINA HUMANA

MONOGRAFA:APORTES DE LA MATEMTICA EN LA MEDICINA

PROFESORA: MOQUILLAZA URIBE, MARITZA ESTEFANIA

CURSO:MATEMTICA BSICA

ALUMNO:SERNA BRAVO ANDRES

ESCUELA ACADMICO-PROFESIONAL:MEDICINA HUMANA

CICLO:CICLO I

SEMESTRE:2014-II

TURNO:MAANA

ICA PER

DICIEMBRE DE 2014

DEDICATORIA

A MI FAMILIA. A MI ESPOSA, MI HIJO POR TODO SU APOYO Y COMPRENSION ,POR SER EL PILAR DE MI ESFUERZO , LA LUZ Y LA ESPERANZA GRACIAS MIS AMORES POR SER LA FUENTE DE MI INSPIRACION

OBJETIVOS

Difundir entre los responsables de la industria la utilidad de las modernas herramientas matemticas Conocer cules son los aportes de la matemtica a las ciencias medicas y su aplicacin en el manejo de la salud.

INTRODUCCIN:El mundo orgnico es tan matemtico como el mundo inorgnico, la base matemtica de los seres vivos, sin embargo, es ms sutil, ms flexible y esta profundamente oculta.Si bien dicho texto est bien considerado en muchos crculos, nunca lo ha estado en la corriente principal de la biologa, esto debido a que las historias matemticas no encajaban cuando se contrastaba con la evidencia directa de los laboratorios. Sin embargo, es posible mencionar diversas situaciones en este mbito. Por ejemplo, para las criaturas vivas, el punto de partida es la clula: una minscula mota de protoplasma contenida dentro de una delgada membrana, pero de una estructura especializada y compleja. Una clula puede dividirse en dos, formando cada mitad una nueva clula completa capaz de reproducirse de nuevo y as indefinidamente. Las clulas se multiplican dividindose Suena a matemtica? La forma de una clula antes, durante y despus de la reproduccin es matemtica: un crculo, un corte transversal, en el crculo aparece una cintura que se estrecha, se estrangula en una figura en forma de ocho y se rompe para crear dos crculos.Otro ejemplo, es la naturaleza matemtica del reino vegetal. La notable geometra y numerologa de las plantas, la disposicin de sus hojas a lo largo del tallo, las figuras espirales formadas en las semillas y el nmero de ptalos.Mencionemos tambin, en nuestro organismo, la molcula de hemoglobina, que recoge el oxgeno de los pulmones, lo lleva al torrente sanguneo y lo libera donde es necesario.

ANTECEDENTES DE LA INVESTIGACIN

La percepcin de las relaciones entre la Matemtica y la Medicina ha variado con las diferentes pocas. En ciertos momentos esta relacin ha sido considerada muy estrecha, pretendindose analizar muchos de los hechos de la fisiologa o patologa mediante procesos sujetos a, y explicables por, las leyes de la Mecnica general. Es sobre todo en el siglo XVII y hasta entrado el XVIII cuando esta escuela de pensamiento alcanza su mxima intensidad, con el triunfo, no incontestado desde luego, de la concepcin llamada iatromecnica o iatromatemtica. Esta orientacin no es, en definitiva, sino la consecuencia de la revolucin cientfica y del xito que tuvo la aplicacin de la matemtica a la ciencias fsicas, sobre todo a partir de la obra de Newton. Ya Galileo Galilei (1564-1642) haba escrito bastante antes en Il Saggiatore, en 1623, en su proposicin VI, que el Universo esta escrito en lenguaje matemtico; sus letras son tringulos, crculos y otras figuras geomtricas, sin las cuales es humanamente imposible comprender una sola palabra. Muchsimo antes, Filolao (fl. ca. 475 a.C.), quiz el ms capaz de los discpulos de Pitgoras lo haba expresado, todava de manera ms general: Todas las cosas que pueden conocerse tienen un nmero porque no es posible que algo sin nmero pueda ser conocido, ni concebido.

El intento de usar las ciencias matemticas como instrumento para explicar el funcionamiento del organismo y su desarreglo (la enfermedad) es obra principalmente de italianos e ingleses, aunque tambin mdicos tan eminentes como Boerhaave, holands, fueron partidarios de este tipo de aproximacin cientfica a la realidad biolgica. El estudio de esta poca no constituye el objeto de este trabajo y por ello me referir a la misma slo de manera tangencial y sin ningn propsito de exhaustividad. Aparte de los ya citados, Galileo y Newton, y otros sabios (Tommaso Campanella, Benedetto Castelli, Bonaventura Cavalieri, Vincenzo Renieri, Evangelista Torricelli, etc.), que representan la raz ltima de la llamada revolucin cientfica, entre los autores ms directamente implicados en la vertiente mdica de este movimiento hay que sealar a Giovanni Alfonso Borelli (1608-1679), nacido en Npoles e hijo de un espaol y una napolitana, Laura Borelli. Borelli fue profesor de matemticas en Messina y Pisa, fundando en esta ltima ciudad un laboratorio anatmico en su propia casa, en el que ense a discpulos tan notables como Marcello Malpighi, Lorenzo Bellini y Carlo Fracassati. Tambin colabor muy activamente en la creacin y mantenimiento de la famosa Accademia del Cimento. Despus, en Roma, tras muchas vicisitudes, logr finalmente ayuda de la Reina Cristina de Suecia, que se haba convertido espectacularmente al catolicismo, para la publicacin de su ms importante obra desde el punto de vista mdico, De motu animalium, en dos volmenes, el primero sobre los movimientos externos del organismo y el segundo sobre los internos: circulacin, respiracin, secrecin de fluidos, etc.

Las relaciones entre las ciencias sociales y las matemticas, de una parte, y entre las ciencias de la vida y las matemticas, de otra, no han posedo en la historia el vigor de las que han existido y existen entre matemtica y ciencias fsicas. Dejando a un lado las ciencias sociales, que no son objeto de nuestro inters aqu, es justo decir que ni la biologa ha necesitado de las matemticas del modo que la fsica lo ha hecho, ni la resolucin de problemas biolgicos ha venido siendo un motor decisivo para el desarrollo de la matemtica. Sin embargo es muy posible que la situacin est cambiando o haya cambiado; la matemtica actual, aunque el gran pblico no sea consciente de ello, permea casi todas las actividades humanas y se nutre de ellas; las ciencias biomdicas, y ms especficamente, la medicina, no podan ser excepciones.

MARCO TERICO: APORTES DE LA MATEMTICA EN LA MEDICINA

CAPITULO ILA MATEMTICA, Y LA MEDICINA

La matemtica tiene gran aplicacin en estudios de los procesos dinmicos biolgicos y abarcan todas las reas de la biologa. Desde esta perspectiva, lneas de investigacin prometedoras se realizan en campos tan diversos como la respuesta inmune, las interacciones genticas en el desarrollo temprano, la regulacin metablica, la quimiotaxis, las pautas epidmicas, las dinmicas de poblaciones y ecosistemas, las redes catalticas, los ritmos fisiolgicos, la actividad cerebral, las correlaciones existentes en las bases nucleotdicas del ADN; entre muchos otros retos de la matemtica.Los modelos matemticos son una de las herramientas que se utilizan para el estudio de problemas relacionados con la medicina como la: biologa, fisiologa, bioqumica, farmacocintica; sus objetivos primordiales son de demostracin, enumeracin, representacin, explicacin y prediccin de fenmenos en dichas reas. De hecho los estudiantes de estas ciencias deben poseer las siguientes competencias: razonamiento, operatividad, modelizacin y representacin, medicin, trabajo con patrones y funciones, uso de la tecnologa; todas provenientes de la matemtica.Muchos de estos modelos son los avances ms notables de los ltimos tiempos de la aplicacin de la matemtica computacional en la medicina. Muchas veces no se es consciente que en la prctica diaria existe una cantidad de teora matemtica que est involucrada en los modernos aparatos de diagnstico, en el diseo de ciruga ocular, por ejemplo.

Las ecuaciones diferenciales han sido clave en el estudio de crecimiento y decrecimiento poblacionales; tiene mucha cabida aqu el concepto de nicho ecolgico de la biologa; esto es un conjunto de condiciones ambientales y biticas que necesita una poblacin para sobrevivir. Si se sigue ilustrando cmo la matemtica interviene en estos problemas de la biologa, se tendra que recurrir a las bifurcaciones, y dems resultados de la ciencia lenguaje del universo.

Actualmente existen ciencias llamadas bioestadstica y biomatemtica; esta ltima es un rea interdisciplinaria que necesita a su vez de la: zoologa, matemtica, fsica y qumica; entre otras.Actualmente Nancy Kopell ha sido una gran estudiosa de la biomatemtica; Camas, Fernndez y Nez (2007) tienen un artculo muy interesante dedicado a sus estudios, tambin existe all una resea importante sobre la matemtica y la neurociencia; se recomienda revisar dicho texto.

CAPITULO IIPROBABILIDAD PREVIA el mdico, antes de solicitar pruebas para confirmar su diagnstico, seguramente accedera, si fuera preguntado, a expresar numricamente la probabilidad que asigna al hecho de que la enfermedad A sea efectivamente la causa de los trastornos del paciente. Esta probabilidad que denotaremos p(D) es llamada previa, porque es la que se maneja antes de conocer los resultados de los exmenes complementarios y slo por esta razn puede recibir tal calificativo, ya que, en realidad, el mdico ha llegado a ella tras una larga manipulacin de datos del paciente. Esta p(D) expresa su creencia, en virtud de toda su experiencia anterior, de que en una cohorte imaginaria de pacientes, todos idnticos al que es objeto de su atencin, un porcentaje igual a 100*p(D) % de los mismos padezca la enfermedad, mientras que el porcentaje restante est sano.Slo un mdico, con una experiencia y unos conocimientos determinados, puede asignar una p(D) a los distintos sujetos que atiende. Si stos son sometidos directamente por ejemplo en el caso de un examen en salud de una poblacin, a un test diagnstico, sin ser explorados, la nica asignacin de probabilidad de padecer la enfermedad A que puede hacrseles, la misma para todos ellos, deriva de la prevalencia de la enfermedad A en dicha poblacin. Se pierde con la adscripcin indiscriminada de la prevalencia como nica probabilidad previa a todos los individuos, una masa de informacin considerable, justamente aquella que se genera mediante el cuidadoso estudio de cada uno de los miembros de la poblacin. Con esta salvedad, desde el punto de vista operativo, la situacin es idntica en ambos casos. Si en una poblacin cualquiera la prevalencia de A es del 30% o, expresada en trminos de probabilidad, 0.3, quiere ello decir que de 100 individuos de la misma, 30 padecern la enfermedad A. En el caso concreto de un individuo examinado por su mdico, una probabilidad previa de 0.3 significa que, a juicio de ste, en una cohorte de 100 sujetos idnticos, clonados, 30 tendran la enfermedad A y 70 no.

La probabilidad previa, tanto en el caso de un paciente concreto, como en el de una poblacin en general, puede ser lo suficientemente alta como para no justificar la realizacin de pruebas complementarias. Esto es as, especialmente, si algunos efectos indeseables pueden derivarse de stas o, simplemente, si el coste de las mismas es importante. De todos estos factores se ocupa la teora de toma de decisiones que no abordaremos aqu. Para nuestro anlisis ulterior suponemos que se hace necesaria la realizacin de una prueba complementaria, ya que la probabilidad previa no autoriza, por su valor intermedio, indefinido, el establecimiento de una decisin diagnstica definitiva.

CAPITULO IIICARACTERSTICAS DIAGNSTICAS (Sensibilidad y especificidad de un test).

En nuestro caso, para simplificar, nos referiremos a una prueba diagnstica (test en la literatura inglesa, trmino que tambin emplearemos ocasionalmente ya que est ampliamente extendido entre nosotros) cualitativa, que slo tiene dos resultados posibles: positivo y negativo. El test X debera identificar las personas que sufren la enfermedad A, en las que en principio el resultado del mismo habra de ser positivo. As ocurre, en general, en un porcentaje de las mismas, pero no en todas. Nuestra experiencia nos dice que casi ningn test es positivo en todos los casos de enfermedad, y resulta lgico que sea as. En primer lugar, la alteracin que es detectada por el test puede no haber alcanzado la intensidad necesaria en algunos de los pacientes. En segundo lugar, quiz algunos casos de la enfermedad no se acompaan de la particular alteracin que evidencia el test. No olvidemos que ste, en la mayora de los casos, intenta medir algo relacionado con la enfermedad, pero que no tiene por qu ser aquello en cuya alteracin consiste, precisamente, la enfermedad. Por todo lo anterior, un test ser positivo slo en un porcentaje determinado de enfermos. Se define como sensibilidad diagnstica al cociente entre los casos de enfermedad en que fue positivo y el nmero total de enfermos en los que fue probado (tabla 1).

Sensibilidad (S) = Enfermos con test positivo / Enfermos estudiados con el test

No hay una manera terica de medir la sensibilidad de un test; no existe una frmula o funcin que permita determinarla. El nico procedimiento es el experimental, sometiendo a un grupo de pacientes, perfectamente diagnosticados, al test de que se trate y viendo cuntos resultados positivos se obtienen. Por supuesto que la fraccin de positivos (siempre inferior a uno) tendr entonces un determinado error muestral, cuya cuanta puede ser calculada estadsticamente.

Por razones tambin comprensibles, no en todos los individuos sanos el resultado de la prueba es negativo, sino que en algunos puede ser positivo. Y esto ocurre porque el test no es especfico, definindose esta No Especificidad (NE) como el cociente entre el nmero de personas sanas que dan resultado positivo y el nmero de sanos en los que se ha realizado la prueba. NE puede ser tratado estadsticamente como S y su complemento hasta la unidad (o sea, 1-NE) es precisamente la especificidad (E), que representa el cociente entre el nmero de sujetos sanos con resultado negativo y el de individuos sanos sometidos al test. Los trminos definidos hasta aqu aparecen resumidos en la Conviene hacer notar que con la expresin hacia atrs, hacemos referencia slo al hecho de que las causas son anteriores, preceden a los efectos. Sin embargo, en el desarrollo heurstico que lleva al diagnstico, esa nueva probabilidad que se calcula para la causa, conocida la presencia o ausencia del efecto, representa un estadio posterior en el proceso lgico y asigna una nueva probabilidad a la existencia de la causa, que reemplaza a la que suponamos antes de conocer si el efecto estaba presente (la que llambamos probabilidad previa). En otras palabras, el discurso lgico, la adquisicin y el procesamiento de las nuevas evidencias, es siempre hacia delante.

Para simplificar otra vez, imaginaremos que el mdico slo baraja la posibilidad de un diagnstico, frente a la posibilidad, claro, de que el paciente est sano. Tiene que quedar patente que esta simplificacin es slo para explicar ms fcilmente la formulacin matemtica del mecanismo diagnstico. La lgica del mismo es exactamente la misma si en vez de sospechar de una enfermedad, sospecha de unas pocas posibles. El tratamiento matemtico sera absolutamente coherente con lo que explicamos aqu, pero ms complejo y es justamente esa complejidad adicional la que quiero ahorrar al lector. Conviene resaltar tambin que, en la realidad, muchas veces el mdico orienta muy decididamente sus pesquisas hacia una enfermedad concreta.

En lo nico en que se puede no estar de acuerdo es en la posibilidad prctica de las mismas, por cuanto implican asumir la capacidad del mdico para asignar las probabilidades previas; posibilidad que algunos niegan porque estiman que se trata de una apreciacin subjetiva y, por lo tanto, variable e inexacta.

Segn este modelo, el mdico manejara ya, mentalmente, aun sin concretarla numricamente, una determinada probabilidad de que la persona a la que est examinando tenga una cierta enfermedad, cuando decide pedir algunas exploraciones complementarias, que normalmente no son hechas por l mismo (por eso tiene que pedirlas): una radiografa, una ecografa o una prueba de laboratorio, etc. Una vez recibido el resultado de dicha prueba, la probabilidad de que la enfermedad est verdaderamente presente ha cambiado, como consecuencia de la evidencia aportada por la prueba propuesta. Si el resultado es positivo en el sentido de que es el que se da, o el que ms probablemente se da, en los enfermos, el mdico se reafirmar en su idea de que la persona tiene la enfermedad en cuestin. En el caso contrario, su opinin respecto a esto ser menos firme, menos segura que antes.

PROBABILIDAD CONDICIONAL Y TEOREMA DE BAYES.

partiendo de un ejemplo concreto (el recogido en la Figura 1), hemos deducido o calculado las frmulas que dan la probabilidad tras un test, o, lo que es lo mismo, el valor predictivo de un test. A este mismo resultado habramos llegado, aplicando directamente la teora probabilstica, perdiendo, eso s, la inmediatez y comprensin que nos ha aportado su deduccin por nosotros mismos. En efecto, desde el punto de vista matemtico, y designando con p a la probabilidad, la frmula general que da esta probabilidad condicionada es, sin demostrar aqu su deduccin:p (B|A) = p (A|B) * p (B) / p (A)

Si consideramos B como el suceso estar enfermo (y lo designamos D) y A es el resultado positivo de un test, tenemos que:p (D|+) = p (+|D) * p (D) / p (+)

Ahora bien, p (+|D) es la sensibilidad del test y p (+) es la probabilidad de tener un resultado positivo en el mismo. De aqu se deduce que:

p (+) = p (D) * S + (1 - p (D)) * NE

por lo que:

p (D|+) = p(D) * S / p (D) * S + (1 - p (D)) * NE

Como se ve, se llega exactamente al mismo resultado al que habamos llegado nosotros antes, utilizando un ejemplo concreto y un razonamiento informal y sencillo. Igual se podra operar sobre la expresin:p (D|) = p (|D) * p (D) / p ()

El lector puede realizar por s mismo, en esta frmula, las transformaciones que hicimos antes, para llegar a la probabilidad residual de enfermedad, a pesar del resultado negativo de un test.

.CAPITULO IVUSO DE LA ESTADSTICA EN ESTUDIOS CLNICOS Y EPIDEMIOLGICOS

El nexo entre las ciencias de la vida y la estadstica no es por cierto nuevo.Los padres fundadores de la estadstica, Karl Pearson (18571936) y Ronald Fisher (18901962), ambos licenciados en matemticas por Cambridge, estuvieron en todo momento motivados por aplicaciones biolgicas; el primero por su inters en la teora de la evolucin; por sus convicciones eugensicas el segundo. Es significativo que la revista que Pearson fund lleve por ttulo Biometrika, y que Fisher comenzase su carrera en un centro de estudios agronmicos y la concluyese de catedrtico de gentica en su alma mter. Esta relacin de la estadstica y las ciencias de la vida se echa de ver incluso en parte de la terminologa: en estadstica se habla de tratamientos, de contagios, etc. aun en casos en que se analice un problema de fabricacin industrial o se lleve a cabo un estudio sociolgico.

CAPITULO VPROBABILIDAD TRAS LAS PRUEBAS COMPLEMENTARIAS (Valor predictivo de un test).

el mdico, para formular sus hiptesis, y para confirmarlas o negarlas, utiliza fundamentalmente sntomas y signos, que se asocian a determinadas enfermedades. En virtud de tal asociacin, si conocemos que una persona est afectada por la enfermedad A, podemos presumir los rasgos patolgicos que presentar, incluso adjudicando a cada uno de ellos una cierta probabilidad de ocurrencia. Tambin querramos juzgar acerca de la probabilidad de una cierta enfermedad a partir de la presencia de un determinado sntoma o resultado de una prueba diagnstica, que es una probabilidad distinta. El clculo, sin embargo, de tal probabilidad no es inmediato, sino que exige una cierta elaboracin matemtica, que trataremos de deducir a continuacin, mediante un sencillo ejemplo.

Se percibe claramente que, tras la realizacin del test, se ha formado un grupo, el de los resultados positivos, en el que se ha enriquecido la proporcin de enfermos. Por esa misma razn ha aumentado la probabilidad de encontrar un enfermo en ese grupo con respecto a la que exista, antes del test, de encontrarlo en la poblacin general. Anlogas consideraciones pueden hacerse con respecto a los sujetos sanos, aunque seguiremos refirindonos casi siempre slo a los enfermos para no complicar innecesariamente las cosas y porque de ordinario, como ya hemos escrito anteriormente, el mdico lo que busca es la confirmacin de una determinada hiptesis de enfermedad.

En el grupo de personas que han dado un resultado positivo se integran:

1. Enfermos con test positivo. Su fraccin es: p(D) * S. 2. Sanos con test positivo. Su fraccin es: [1-p(D)] * NE.

Por ello, la prevalencia de enfermos en el nuevo grupo formado (aquellos con el test positivo) o, si se prefiere, la nueva probabilidad de enfermedad para los integrantes de dicho grupo (a la que podremos llamar probabilidad posterior, para distinguirla de la probabilidad previa que es la que conocamos antes de aplicar el test), es igual a:

p(D|+) = P(D) * S / p(D) * S + [1-p(D)] * NE

En donde p(D|+) debe leerse como probabilidad de enfermedad en aquellos pacientes con resultado positivo en el test. Obsrvese que el denominador es la suma de los enfermos con resultado positivo y los sanos con resultado positivo (falsos positivos, claro). En el resto de nuestra exposicin utilizaremos esta notacin para las probabilidades condicionadas, en combinacin con sencillos smbolos de lgebra booleana. Por ejemplo, si D representa al conjunto de enfermos, noD representa precisamente al conjunto de no enfermos, de acuerdo con las expresiones de Boole.

En el ejemplo expuesto dicha probabilidad posterior es de 0.67 bastante superior a la probabilidad previa de enfermedad en la muestra (0.20). O sea, gracias al test, entre los que dan resultado positivo en el mismo, es ms fcil localizar a los enfermos, predecir con ms confianza que estn enfermos. Por ello, esta probabilidad posterior recibe tambin el nombre de valor predictivo del resultado positivo del test, VP (+). O sea, tambin:

VP(+) = P(D) * S / p(D) * S + [1-p(D)] * NE

Observando esta frmula, algunas propiedades diagnsticas de los tests pueden ser explicitadas:

1. Si S = NE:

VP( +) = p(D) * S / p(D) *S + [1-p(D)] *S = p (D) * S / S = p(D)

Es decir, la probabilidad previa de enfermedad no vara por el hecho de que un sujeto tenga un resultado positivo en un test con el que la fraccin de sujetos que dan resultado positivo es la misma entre los enfermos que entre los sanos. Es un test que no sirve para nada y esto se refleja al hacer estos clculos.

Un test perfecto arrojara un resultado positivo en todos los enfermos y nunca tal resultado entre los sanos. Normalmente un test no alcanza esta validez absoluta, pero, al menos, debe resultar ms frecuentemente positivo entre los enfermos que entre los sanos (o sea, S>NE). Si S = NE, como veamos, no aporta ninguna utilidad diagnstica.

2. Si S = 0, VP (+) = 0. Cualquier resultado positivo invalidara el diagnstico de enfermedad, ya que ningn enfermo puede tener un resultado positivo (S= 0).3. Si NE = 0, VP (+) = 1. El resultado positivo, en este caso, confirma plenamente el diagnstico, ya que ningn sano tiene un resultado positivo (NE = 0).

De anloga forma se puede calcular que el valor predictivo de un resultado negativo es:

p(noD|) = VP() = (1-p(D)) * E / (1 - p(D)) * E + p(D) * I

Con p(noD|) designamos la probabilidad de que un individuo est sano tras el resultado negativo del test. El denominador es la suma de los sanos con resultado negativo y los enfermos con resultado negativo (falsos negativos, claro).

Aunque, naturalmente, las mismas manipulaciones matemticas anteriores pueden realizarse en esta nueva frmula y la situacin es conceptualmente idntica, en mi opinin, en la mayora de las ocasiones, el mdico lo que trata es de confirmar o descartar una hiptesis diagnstica, ya que en las circunstancias habituales a l llegan personas que no se sienten completamente bien y presentan una determinada sintomatologa, que puede corresponder a un cuadro patolgico concreto. Quiero decir que el mdico busca con las pruebas complementarias informacin pertinente sobre la existencia, o no, de una enfermedad concreta y sta es la diana de su investigacin, no la consideracin abstracta del estado de salud. Por ello, quiz es mejor hablar en el caso de un resultado negativo, de la probabilidad residual de enfermedad con dicho resultado; es decir, la probabilidad de que un sujeto, a pesar de que haya obtenido un resultado negativo en el test, est de todas maneras enfermo. Dicha probabilidad residual es igual a 1 - VP() y, por consiguiente:

p(D|) = p(D) * I / p(D) * I + (1 - p(D)) * E

Es evidente que p(noD|) + p(D|) es igual a uno. Y lo es lgica y matemticamente. En cualquier caso es claro que el valor predictivo de cualquier resultado de un test (positivo o negativo) resulta muy influenciado por la probabilidad previa.

Slo admitiendo prevalencias fijas, basadas en estudios epidemiolgicos, se puede adjudicar un valor predictivo al resultado de un test, sin que medie la apreciacin de la probabilidad previa por parte del mdico. Esto se hace en algunos programas informticos de apoyo a la toma de decisiones, habindose creado el concepto de poder de evocacin (evoking strength) para un determinado hallazgo clnico o resultado de una prueba diagnstica, equivalente, con estas restricciones, al de valor predictivo.

CAPITULO VIBIOINFORMTICA

Antes de comentar el mbito de esta nueva especialidad, ser conveniente hacer algunas observaciones sobre las relaciones entre las matemticas y los ordenadores y entre las matemticas y la informtica, observaciones a las que hemos de retornar.Los ordenadores digitales o, con terminologa tomada del ingls, menos extendida pero ms precisa, las computadoras digitales nacieron en los aos que siguen a la Segunda Guerra Mundial y fueron inicialmente concebidas con el nico propsito de efectuar clculos matemticos no sofisticados pero s demasiado prolijos o tediosos para ser realizados manualmente. Las matemticas no slo dieron la motivacin para la construccin de estas mquinas: algunas de las ideas esenciales en su funcionamiento, por ejemplo la idea de programa, se deben a matemticos como J. von Neumann (19031957) o el ya citado A. Turing (19121954). Estas consideraciones no son contradictorias con el reconocimiento de otros hechos igualmente ciertos: los ordenadores slo fueron posibles gracias a la existencia de vlvulas termoinicas de vaco (las lmparas de las viejas radios y televisores), y su espectacular desarrollo posterior ha venido de la mano de innovaciones tecnolgicas como el transistor primero y el chip despus. La opinin pblica, incluso la opinin pblica con cierta cultura cientfica, no suele estar al tanto de esta importancia de las matemticas para la informtica. Es ms, frecuentemente se oye afirmar que uno u otro avance han sido posibles gracias a un nuevo programa informtico, cuando lo correcto sera decir gracias a un nuevo algoritmo matemtico cuya aplicacin precisa de un ordenador por el volumen de clculo requerido.

Regresando a la bioinformtica, se nos ofrece en ella un campo que ilustra algunas de las consideraciones precedentes. Es cierto que los avances en esta nueva especialidad hubiesen sido imposibles sin potentes ordenadores de gran velocidad, pero no lo es menos que en ella hallamos, casi exclusivamente, algoritmos matemticos; unos creados a la vista del problema a resolver, otros que ya existan y eran empleados en otro tipo de aplicaciones.

La bioinformtica comprende muy diversas subreas. En primer lugar dir algo acerca de la que probablemente sea ms conocida: la secuenciacin de genoma, en especial la secuenciacin del genoma humano. Cuando, en 1977, Frederick Sanger (1918) identific la secuencia del ADN del bacterifago Phi X 174, que posee 11 genes en 5386 bases, pudo manejar la informacin suministrada por los anlisis bioqumicos de forma manual. Esta identificacin le vali el Premio Nobel de Qumica en1980, segundo que reciba, pues haba merecido otro en 1958 por su secuenciacin tres aos antes de los aminocidos de la insulina. Sin embargo las tcnicas manuales son ya totalmente insuficientes incluso para el genoma de una bacteria. La bioqumica (tcnica shotgun) slo suministra las secuencias parciales correspondientes a miles de pequeos fragmentos de ADN que hay que ensamblar analizando coincidencias entre los diversos fragmentos. Nos hallamos as ante un problema de anlisis combinatorio de inconcebible complejidad cuya solucin precisa de modo simultneo de gran volumen de clculo (el Proyecto Genoma Humano ocup varios meses a 2000 ordenadores) y de eficientes algoritmos matemticos. Las tcnicas utilizadas en estos ltimos son mltiples, y van desde la optimizacin (parte de las matemticas que halla los valores de las variables para los que toma una funcin su mayor o menor valor) a la probabilidad. De particular utilidad es la llamada programacin dinmica (que nada tiene que ver con la programacin de ordenadores) introducida a principios de los aos cincuenta del siglo pasado por el matemtico RichardBellman (19201984) para resolver problemas, que aparecen frecuentemente en ingeniera, donde un proceso de toma de decisin puede fragmentarse en una sucesin de decisiones parciales. La programacin dinmica, ahora ubicua en bioinformtica, haba sido ya muy empleada en economa, siendo de relevancia especial las contribuciones de R. Merton (1944), Premio Nobel de Economa en 1997. De otro lado, los algoritmos desarrollados en conexin con la secuenciacin de genoma se estn aplicando a otras tareas; igual que se estudian porciones de ADN, pueden ser investigados fragmentos de oraciones de los lenguajes humanos o series temporales de variables macroeconmicas.

Otra empresa que se viene acometiendo desde hace aos, ms all de la secuenciacin del genoma, es la de desarrollar algoritmos que identifiquen fragmentos de cadenas, generalmente fragmentos de cadenas de ADN, que posean funcionalidad biolgica, como la codificacin de protenas. Es uno de los campos (el diseo de aviones o automviles es otro) donde la experimentacin en el ordenador est sustituyendo o ha sustituido ya, en todo en o en parte, a las pruebas de laboratorio.

La bioinformtica permite as mismo seguir la evolucin de los organismos de una especie a travs de la evolucin del correspondiente ADN, predecir la secuencia de aminocidos en una protena (su estructura primaria) a partir de la secuencia del gen que la codifica, etc. Las aplicaciones de todas estas tcnicas son muy variadas, y para concluir este apartado mencionar como ancdota que uno de estos estudios ha permitido concluir que la poblacin de olmos en Espaa tiene su origen casi exclusivo en ejemplares trados a Cdiz por los romanos para que por ellos trepasen las vides.

CAPITULO VIIIMGENES

hay matemticas detrs de todas y cada una de las imgenes digitales que van llenando nuestra vida, sea en la fotografa digital, en la televisin digital, en los discos verstiles digitales (DVDes), etc. Estas tcnicas no existiran sin avances puramente fsicos (chips, cristales lquidos, nuevos materiales, miniaturizacin, etc), pero tampoco sin la multitud de algoritmos matemticos imprescindibles para codificar las seales, almacenarlas, transmitirlas, comprimirlas, manipularlas, etc.

Pero no es a estas ideas a las que deseo referirme en este apartado, sino al conjunto de tcnicas, algunas muy recientes, que permiten de manera no invasiva obtener imgenes del interior del cuerpo humano. Es claro que, adems del inters que poseen en la enseanza de la medicina, estas tcnicas han supuesto un avance sencillamente espectacular en la capacidad de diagnstico clnico.

Una vez ms, en cada una de tales tcnicas se conjugan los descubrimientos e invenciones de la fsica que permiten obtener las imgenes (y que, por lo dems, son variados: ultrasonidos, rayos X, resonancia magntica nuclear, emisin de positrones, etc) con algoritmos matemticos.Para fijar ideas, considerar tan solo el caso de la tomografa computerizada.

Es bien sabido que esta tcnica se origin en los ltimos aos sesenta y primeros setenta y vali a sus creadores, el britnico Sir Godfrey Newbold Hounsfield y el estadounidense Allan McLeod Cormack, el Premio Nobel de Medicina de 1979. El segundo trabajaba en la Universidad Tufts y el primero lo haca para un laboratorio de investigacin de una empresa privada: el de la marca discogrfica EMI (al parecer creado mediante los abundantes recursos de los que esta casa dispona a raz de haber publicado parte de la obra de los Beatles). El paciente recibe sucesivamente haces paralelos de rayos X en diversas direcciones (180 direcciones distintas en el primer prototipo). Para cada direccin y cada rayo del haz se registra la atenuacin sufrida por la radiacin, que depende del tipo de tejido o estructura encontradoshasta aqu el problema fsico y, a continuacin, hay que reconstruir el interior del paciente partiendo de este conjunto de proyecciones, una tarea matemtica que, en el prototipo, requera dos horas y media de clculo a un gran ordenador. Como tantas otras veces, las matemticas necesarias para inferir la estructura interior de un objeto a partir de proyecciones se haban desarrollado con mucha anterioridad y en contexto muy diferente. Esencialmente se basan en la llamada transformada de Radon, introducida por el austriaco Johann Radon (18871956) en sus estudios sobre la llamada geometra integral, un campo que, por cierto, tiene a uno de sus fundadores en el gerundense Lluis Santal (19112001), quien desarroll su trabajo en el exilio argentino.

CAPITULO VIIIDINMICA MOLECULAR

La formulacin por Newton de su mecnica, con su pasmosa capacidad de explicacin y prediccin de todo tipo de fenmenos, conmocion los espritus de la poca y contribuy decisivamente a la fe ilustrada en la inteligibilidad por la mente humana de una naturaleza gobernada por leyes fsicas, cerrando el paso a visiones del cosmos basadas en intervenciones supernaturales o mgicas. Dentro de tal ambiente intelectual, el marqus de Laplace (17491827) escribi unas palabras famosas: una inteligencia que pudiese abarcar todas las fuerzas que animan a la naturaleza y las respectivas situaciones de los entes que la componen una inteligencia suficientemente vasta para someter estos datos a anlisis abarcara en la misma frmula los movimientos de los mayores cuerpos y los de los tomos ms ligeros; para ella nada sera incierto y el futuro, como el presente, estaran ante su vista (Essai surles probabilits, 1795).

La dinmica molecular es, tal vez, un intento de llevar a la prctica, siquiera sea de manera muy parcial, el sueo de Laplace. Se trata de determinar qu har en el futuro una molcula mediante la resolucin de las correspondientes ecuaciones del movimiento, conocidas la posicin y velocidad en un instante de tiempo inicial de los tomos que la constituyen. En las aplicaciones que ahora mismo nos interesan, la molcula ser una protena con millares y millares de tomos y deseamos saber cmo la misma se va a plegar en el espacio, impelida por las leyes de la fsica, con vistas a determinar exactamente cmo evolucionar en el futuro su forma para as poder desempear su funcin biolgica. Si la protena es parte de un frmaco, su accin va a depender precisamente de las configuraciones espaciales que pueda adoptar para interactuar con protenas que tomen parte en el metabolismo del paciente o pertenecientes a algn patgeno. Por tanto la dinmica molecular, que posee mltiples aplicaciones en fsica, qumica y ciencia de los materiales, est muy vinculada al diseo racional de frmacos. Aunque ste parti en principio de tcnicas de cristalografa de rayos X y espectroscopia de resonancia magntica nuclear para hallar la configuracin tridimensional de las molculas, las simulaciones de dinmica molecular estn tomando importancia creciente.La dinmica molecular supone un gran reto por muchas razones. Ante todo debido a la complejidad de establecer el modelo. Aunque sera deseable emplear ecuaciones cunticas para estudiar los tomos, por el momento hay que limitarse casi exclusivamente a la mecnica newtoniana y modelar los tomos por partculas clsicas.El nmero de partculas/tomos cuya evolucin hay que seguir es a veces astronmico y, lo que es peor, cada tomo interacciona con todos los restantes por las fuerzas electrostticas y de van der Waals (18371923), de modo que el nmero de las fuerzas a considerar es el cuadrado del nmero de los tomos. Para hacernos idea del tipo de cifras a las que estamos aludiendo mencionar que se han llevado a cabo simulaciones, en un periodo de 50 nanosegundos, de virus completos que constan de un milln de tomos; si una de tales simulaciones se hubiese llevado a cabo en un ordenador domstico hubiera requerido 35 aos de clculo ininterrumpido.Mas las dificultades no vienen slo del tamao del problema. El fenmeno que se estudia abarca escalas de tiempo sumamente disparejas una situacin anloga a la del crecimiento de un adolescente, que acontece en un lapso de algunos aos y est determinado por digestiones cada una de las cuales dura horas o minutos.En la dinmica molecular, los plegamientos que deseamos observar pueden tardar milisegundos o incluso segundos y a ellos contribuyen vibraciones de tomos que tienen periodos del orden de los femtosegundos. Una tercera fuente de escollos son las interacciones de la protena con el medio, generalmente acuoso, con el que intercambia constantemente energa a travs de colisiones para mantenerse en equilibrio trmico. Estas interacciones dan lugar a trminos estocsticos en las ecuaciones.

Simulacin numrica en odontologa y ortodoncia

En este trabajo se resume de manera sucinta la aplicacin de la modelizacin matemtica y la simulacin numrica al mejor conocimiento de ciertos fenmenos mecnicos en odontologa y en ortodoncia. Para ello hacemos un breve compendio de la investigacin realizada por los autores desde el ao 1997, en colaboracin con un grupo de matemticos y ortodontistas de la Universidad de Santiago de Compostela. El objetivo fundamental de la investigacin financiada durante 3 aos por la Xunta de Galicia) es la modelizacin matemtica y la simulacin numrica, de diferentes procesos mecnicos en la mandbula humana y del comportamiento de algunos dispositivos utilizados en su cirugia y ortodoncia (implantes dentales, mini placas de titanio, \brackets"). Despus de la descripcin anatmica de la mandibula, hacemos especial nfasis en las dificultades solventadas para realizar un buen modelo geomtrico con elementos nitos tetradricos tanto de la mandibula como de las piezas dentales. Construdo el modelo se describe la simulacin en ordenador de diferentes problemas de inters para los especialistas mdicos: tensiones en una mordida con el primer molar derecho y con un implante dental de titanio, localizacin de fracturas mandibulares despus de un impacto, reduccin de fracturas de mandibula con mini placas de titanio y comparacin del comportamiento de dos modelos de brackets" ortodoncicos de acero. La formulacin matemtica de los problemas se basa en las ecuaciones en derivadas parciales qutraducen el comportamiento elstico del hueso y de losdispositivos, con distintas condiciones de contacto. Estos problemas se aproximan por el mtodo de los elementos nitos (variable espacial) y el esquema de Newmark (variable temporal) y se resuelven en ordenador con programas de clculo elaborados por el propio equipo investigador.

La modelizacin y simulacin numrica del cuerpo humano es un rea de investigacin relativamente reciente que est experimentando un enorme auge en los ltimos aos. Su principal objetivo es conseguir un mejor conocimiento del comportamiento mecnico y fisiolgico del cuerpo humano y disear herramientas para su correcta simulacin numrica en ordenador con vistas a poder hacer predicciones y tomar decisiones. Hoy en dia los modelos biomecnicas y fisiolgicos del cuerpo humano juegan un papel prominente en la prevencin, diagnostico y terapia de muchas enfermedades. La introduccin generalizada de tales modelos en la actividad mdica contribuir decisivamente al desarrollo de una medicina ms preventiva y ms individualizada. La investigacin en este campo abarca prcticamente todas las partes y funciones del cuerpo humano: simulacin numrica del corazn y del sistema circulatorio, del hgado, del ojo, del cerebro, crecimiento de tumores, formacin de huesos, ... Especial relevancia tiene toda la investigacinrelacionada con la ciruga guiada por imagen a distancia y con las consecuencias de los accidentes por impacto (accidentes de transito) en diferentes partes del cuerpo (cabeza, rodillas, mandbulas,...).El trabajo que presentamos en estas paginas est relacionado con la simulacin de diversos procesos mecnicos que ocurren en la mandibula humana, considerada como una estructura sea, y tambin en las distintas piezas dentales y/o dispositivos utilizados en su cirugia y ortodoncia (\brackets", implantes dentales, mini placas de titanio,...). Comenzamos haciendo especial nfasis en las dificultades solventadas para realizar un buen modelo geomtrico con elementos nitos tetradricos tanto de la mandbula como de las piezas dentales. La simulacin numrica en la mecnica de la mandbula comienza a principios de los aos 90 ([17, 18, 23]) y el nmero de trabajos no ha parado de crecer hasta hoy. Adems delas publicaciones medicas especializadas, es interesante observar el nmero de presentaciones y publicaciones relacionadas con la simulacin en ortodoncia y odontologa que aparecen en congresos de ingeniera biomdica y biomecnica. Sealamos como ejemplo la referencia [19]. Los mtodos y resultados de nuestra investigacin y otras similares son de indudable inters por s mismas pero tambin como paso importante hacia modelos ms precisos que, en consonancia con las necesidades medicas actuales, permitan la simulacin del movimiento dentario y del proceso de formacin de hueso. Estos aspectos no han sido tratados en nuestro trabajo, entre otras razones, porque los modelos matemticos de estos fenmenos estn todava en fase de formulacin y validacin.

Modelo geomtrico de la mandbulaTanto para su representacin geomtrica como para los clculos previstos es imprescindible contar con una buena representacin de la geometra de la mandbula. El mtodo ms utilizado consiste en descomponer la mandbula (en general, la pieza o dominio que se quiere representar) en subdominios \pequeos" llamados elementos nitos. Los elementos nitos ms usados son tetraedros y hexaedros. El conjunto de los elementos nitos se llama una malla o mallado. Debido a la complicada geometra de la mandbula, la generacin de un \buen" mallado de elementos nitos tetradricos no es una tarea sencilla. Un \buen" mallado no slo debe representar de forma precisa la geometra de la mandbula sino que debe tener \buenas" propiedades para que los clculos numricos posteriores sean ables. Para ello es imprescindible que los tetraedros no sean degenerados o sea que sus caras sean tringulos \lo ms equilteros posible". En los trabajos pioneros de simulacin en mandbulas (hace 15 aos), los mallados se generaban \manualmente" y, en algunos casos, con el apoyo de imgenes de radiografia y/o de escner. Pocos aos ms tarde, diferentes tcnicas de iluminacin con lser han permitido digitalizar la superficie de la mandibula generando una nube de puntos y sus correspondientes coordenadas. Utilizando algoritmos de geometria computacional se genera una malla de tringulos que representa dicha superficie con enorme precisin. En la etapa inicial de nuestro proyecto, el mallado superficial fue obtenido de una digitalizacin

CONCLUSIONES

El uso de la matemtica en nuestra profesin mdica es amplsimo. La estadstica, que no es ms que una aplicacin de la matemtica, es absolutamente necesaria para la redaccin de cualquier trabajo cientfico, para su comprensin y crtica y hasta para la cotidiana prctica clnica. El captulo importante del anlisis en la toma de decisiones est lleno de consideraciones numricas. El estudio de las llamadas curvas ROC (receiver operating charasteristic), para decidir los valores de corte ptimos en las pruebas cuantitativas, tambin. El anlisis de las series temporales, modelos predictivos, algoritmos diagnsticos, etc., de nuevo supone la ayuda de la matemtica.

Los matemticos estn construyendo modelos tridimensionales del corazn, imitando las fibras musculares con cientos de curvas cerradas sobre las que actan fuerzas elsticas simuladas, capaces de contraer el msculo y originar un flujo de sangre, que puede ser estudiado con ecuaciones tpicas de la dinmica de fluidos. Las imgenes que cualquiera de nosotros puede ya observar de tomografa axial computerizada (TAC), de resonancia nuclear magntica (RNM) o tomografa por emisin de positrones (PET, de las iniciales en ingls), representan el resultado de miles de mediciones separadas, que son combinadas de manera matemtica. El anlisis de sistemas jerrquicos complejos es otra rea importante de investigacin mdica con implicaciones numricas. La construccin de modelos matemticos es extraordinariamente til en los estudios de fisioneurologa, donde la teora de redes y la sntesis de informacin son herramientas fundamentales.

En esta nueva especialidad que es la biologa matemtica, los cientficos estn reemplazando los experimentos clnicos y de laboratorio con modelos matemticos que pueden imitar los lentos acontecimientos naturales de manera instantnea, ahorrando esfuerzo y, sobre todo, tiempo. Los modelos matemticos, con las naturales asunciones, se aproximan a la dinmica de la infeccin de las clulas T por el VIH, con algoritmos algo similares a los de dinmica de poblaciones y con las necesarias ecuaciones diferenciales, aunque de mucha mayor complejidad. Para modelar estos procesos se emplea la llamada optimal control theory, estrechamente emparentada con la estadstica matemtica.

Desde las realidades en las que el uso del clculo est ms que justificado, como en los tratamientos estadsticos, hasta las aparentemente ms alejadas de los datos puramente numricos, como es el caso del proceso lgico por el que se llega a conocer la naturaleza del mal que aqueja a un enfermo. En todos estos mbitos, alejados entre s, la matemtica puede representar una valiosa ayuda. Para todo ello hay que hacer, casi siempre, unas pocas asunciones, que se corroboran generalmente en la prctica, y que son las necesarias para poder entrar en el universo perfecto de la matemtica. Este no es un precio caro para muchos, y desde luego no para el que escribe estas pginas, que piensa, con F. Nietzsche, que sin sus ficciones lgicas, sin medir la realidad en un mundo ficticio, absoluto e inmutable, sin la falsificacin perpetua del universo por el nmero, el hombre no podra seguir viviendo. Tambin el matemtico y filsofo Alfred N. Whitehead (1861-1947) escribi que en su avance hacia la perfeccin una ciencia se torna esencialmente matemtica.

La matemtica es, pues, una poderossima herramienta, que nunca deberamos desdear.Einstein dej escrito que el principio creativo reside en las matemticas. En cierto sentido, por lo tanto, encuentro posible que, como soaban los antiguos, el pensamiento puro pueda asir la realidad. Yo ni me atrevera a juzgar este aserto. Pero s creo que la matemtica constituye una excelente gimnasia mental siempre y est situada dentro del crculo ms humano del hombre. No slo la empleamos, sino que desde los tiempos ms antiguos, en prcticamente todas las culturas, han existido juegos y pasatiempos, de base matemtica, lo que representa una prueba de hasta qu punto el comportamiento espontneo del hombre est enmarcado en conceptos y operaciones numricas y, en definitiva, dentro del reino de la matemtica. Lo nico que hay que tener presente, para no caer en lo irrazonable, es que esta ciencia existe para interpretar la realidad, no para suplantarla.

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ANEXOSTabla 1Caractersticas bsicas de un test Enfermos con test positivo Sensibilidad (S) = Total de enfermos explorados con el test

Enfermos con test negativo Insensibilidad (I) = Total de enfermos explorados con el test

Sanos con test positivo No especificidad (NE) = Total de sanos explorados con el test

Sanos con test negativo Especificidad (E) = Total de sanos explorados con el test

Tabla 2Definicin de categoras

Resultado del testEstado real de los sujetos

SanosEnfermos

PositivoFalsos positivosFPVerdaderos positivosVP

NegativoVerdaderos negativosVNFalsos negativosFN