HOMEOMORFISMOS

UNIVERSIDAD NACIONAL JOSÉ FAUSTINO SÁNCHEZ CARRIÓN TOPOLOGÍA

Facultad de Ciencias e Ingeniería Página 1

Facultad de Ciencias e Ingeniería

Lic. Mat. Jorge Luis Rojas Paz

Docente de introducción a la topología

HOMEOMORFISMOS

Homeomorfismos: Sean M y N espacios métricos. Un homeomorfismo de M sobre N es una biyección

continua :f M N cuya inversa 1 :f M N también es continua. En este caso

se dice que M y N son homeomorfos.

Puesto que de la composición de aplicaciones biyectivas resulta otra aplicación

biyectiva y de la composición de aplicaciones continuas resulta una nueva

aplicación continua se concluye que la composición de homeomorfismos es

también un homeomorfismo.

Daremos a continuación un ejemplo interesante de homeomorfismo cuya

construcción espero sirva de guía para alumnos que quieren iniciarse en el

fascinante mundo de la topología.

Sea P= (0…., 0,1) el polo norte de la esfera unitaria n-dimensional

1; 1nns x xR . La esfera unitaria n dimensional menos el polo norte

constituye un espacio homeomorfo al espacio euclidiano nR .

En efecto:

Para efectos didácticos construiremos tal homeomorfismo considerando como

polo norte el punto P = (0,0,1) y la esfera unitaria 2-dimensional 32 ; 1s x xR . Z

L

P

Y

X

R

La recta L que pasa por el polo norte corta a la esfera S2 en el punto Q como se

aprecia y toca al plano en el punto R.



Entonces podemos escribir la ecuación de la recta L de la siguiente manera:

: ( ) ;L P t PQ R t

R

Siendo P=(0,0,1);Q=(a,b,c) y R=(x,y,0) la ecuación anterior se escribirá como

(0,0,1) ( , , 1) ( , ,0)t a b c x y

( , ,1 ( 1)) ( , ,0)at bt t c x y

1 ( 1) 0t c

( 1) 1t c

1

1t

c

Por consiguiente ;1 1

a bx y

c c

De esta forma hemos construido la función

2 2:f S P R , definida por:

( , , ) ( , , ) ;1 1

a ba b c f a b c

c c

Así mismo la ecuación de la recta L puede escribirse también como:

: ( ) ;L P t PR Q t

R

Reemplazando los puntos P, Q, R por sus respectivas coordenadas

( , , ) (0,0,1) ( , , 1)a b c t x y

( , , ) ( , ,1 )a b c tx ty t ; ; 1a tx b ty c t

Como 2( , , )a b c S P tenemos

2 2 2( ) ( ) (1 ) 1tx ty t

2 2 2 2 21 2 1t x t y t t

2 2 2 0tx ty t

2 2

2

1t

x y

Por consiguiente 2 2 2 2 2 2

2 2 2; ; 1

1 1 1

x ya b c

x y x y x ylo cual nos

permite construir la función 1 22:f S PR definida como:

1

2 2 2 2 2 2

2 2 2( , ) ( , ) ; ;1

1 1 1

x yx y f x y

x y x y x y

La cual constituye la función inversa de la función f .



Ahora bien una breve inspección muestra que

1

1

( )( , ) ( , )

( )( , , ) ( , , )

f f x y x y

f f a b c a b c

Lo cual garantiza que f sea biyectiva.

F es continua

En efecto: Dado que 2( , , ) (0,0,1)a b c S se tienen las siguientes

desigualdades

1 1a

1 1b

1 1c

2 1 0c

0 1 2 1 0c c

Po lo tanto se deduce de ellas que la función ( , , ) ;1 1

a bf a b c

c cestá bien

definida en todo punto 2( , , ) (0,0,1)a b c S , entonces:

Si 2

0 0 0, ,a b c S P es un punto arbitrario se tiene el siguiente resultado

0 0 0 0 0 00 0 0

, , , , , , , ,lim ( , , ) lim ; , ,

1 1a b c a b c a b c a b c

a bf a b c f a b c

c c , lo que

prueba que f es continua en 2 (0,0,1)S .Un argumento similar garantiza la

continuidad de 1f .

F es sobreyectiva ¡ejercicio!

Generalizando

Del análisis hecho se sigue que el homeomorfismo entre la esfera unitaria

n-dimensional 1; 1nns x xR menos el polo norte P y el espacio

euclidiano nR queda definido de la siguiente manera

: n nf S P R

11 1 1 1

1 1

( ,..., ) ( ,..., ) ;...;1 1

nn n

n n

x xx x f x x

x x

El mismo que es conocido como la proyección estereográfica. Su inversa es dada

por 1 : n nf S PR la misma que queda definida de la siguiente manera:

1

2 2 2 2 2 2

11 1

1 1 1

2 2 2( ,..., ) ( ,..., ) ;....; ;1

1 ... 1 ... 1 ...n

n nn n n

x xx x f x x

x x x x x x

y que constituye también un homeomorfismo.

.



BIBLIOGRAFÍA

ELON LAGES LIMA, Espaços Métricos, 2a.edición, Projeto

Euclides 1983.

ELON LAGES LIMA, Curso de Análise, vol.1 Coleçao Projeto

Euclides, CNPq, 1976.

ELON LAGES LIMA, Elementos de Topologia Geral, Ao Livro

Tecnico, Rio, 1970 JUAN MONTERDE, Espacios Métricos y Geometría Riemanniana,

Universitat de Valencia.



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