Tema 1: Cálculo diferencial en varias variablesproyectomentor-upm.wdfiles.com/local--files/apuntes-1/ESA_1_2012.pdf · Se estudia la función en puntos próximos al (0,0). f h h(

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_______________________________________________________________________________________________ Cálculo II. Graduado en Ingeniería Prof. Fulanito de los Palotes Página 1 de 1

Calificación:

CÁLCULO II. Ejercicio de Seguimiento de Aprendizaje

Tema 1: Cálculo diferencial en varias variables

FECHA: 30/03/12 TIEMPO RECOMENDADO: 1/2 Hora Puntuación/TOTAL: 2,5/10

ENUNCIADO Y RESPUESTA AL EJERCICIO: ENUNCIADO

Sea la función f(x,y) definida de la siguiente forma en todo (x,y) de IR2:

( ) {

( ) ( )

( ) ( )

a) Calcule para cualquier (x,y) de IR2 las expresiones de

( ) y

( )

b) Calcule para qué direcciones v = (v1,v2)t existen las derivadas direccionales

( ).

RESULTADOS

a) Si (x,y)(0,0) entonces,

( )

( ) ;

( )

( )

Si (x,y)=(0,0) entonces,

( )

( ) ( )

;

( )

( ) ( )

b) Sea v = (v1,v2)

t, tal que ||v||=1, entonces, si (x,y)=(0,0) como punto en el que puede haber problemas para su cálculo:

( )

(( ) ) ( )

( )

( )

( )

( ) ( )

Si (x,y)=(0,0) entonces, siempre que v20, se podrá calcular la derivada direccional.

Cuando (x,y)(0,0) entonces,

( )

( )

( )

¡¡ BUEN TRABAJO !!

Utilice la parte trasera para desarrollar en ella un resumen los cálculos correspondientes


_______________________________________________________________________________________________ Cálculo II. Graduado en Ingeniería Prof. Carlos Paredes Página 1 de 1

Calificación:


Tema 1A: Cálculo diferencial en varias variables



Sea la función f(x,y) definida de la siguiente forma en todo (x,y) de IR2:

( ) {

( ) ( )

( ) ( )

a) Dibuje el conjunto de puntos (x,y) del plano donde f no esta definida. (0.5 ptos)

b) Calcule para el punto (0,0) de IR2 las expresiones de

( ) y

( ). (1.0 ptos)

c) Analice la continuidad de f(x,y) en el origen (utilice la trayectoria y = x + x2). (1.0 ptos)

ESCRIBA AQUÍ LOS RESULTADOS

a) La función no esta definida en aquellos puntos que anulan el denominador:

{

b) Si (x,y)=(0,0) entonces,

( )

( ) ( )

;

( )

( ) ( )

c) El límite sobre la trayectoria sugerida:

( ) ( )

( )

( ) ( )

Para comprobar la continuidad bastará comparar este límite con otra trayectoria, por ejemplo, radial y=mx, exceptuando las trayectorias con m=1 y m=-2, sobre las que la función no esta definida (apartado a):

( ) ( )

( )

( ) ( )

Por lo que la función no es continua en el origen.



ESA 1 30 de marzo de 2012

1. a) Desarrollar según la fórmula de Taylor de 2º grado en el entorno del punto (1,0) la

función y=f(x,z) definida implícitamente por 3 2 2 0y x y z con f(1,0)=1 (2 puntos)

b) Cuál sería la aproximación lineal en el punto (x,z)=(.95, .1) (0,25 puntos)

c) Aproximación cuadrática en el punto (x,z)=(.95, .1) (0.25 puntos)

Solución:

a)

),(2 zxT

332)1(0)1(2!2

10)1)(1(

!1

11),( 2222

2 zxxzzxxzxzxT

b) 05.1)1.0,95.0( lAproxlinea

c) 0425.1)1.0,95.0( caóncuadrátiAproximaci

2. Sea la siguiente superficie definida en forma implícita:

1)(),,( zxyzLnxyzzyxF

a) Obtener el plano tangente en el punto P tal que x=1 e y=1 (1.25 puntos)

b) Considerando z como función de x e y, encontrar la derivada direccional de z en P

según la dirección del vector v(2, 1) (1.25 puntos)

Solución:

a)

),1,1(1)ln(1)(),1,1(

1;11)(),,( eP

ezzzzLnzzF

yxzxyzLnxyzzyxF

eeFeeFeeF

zxyF

yxzF

xyz

yzyzF zyxxxx

1),1,1(;1),1,1(;1),1,1(1

1;

1; ''''''

Plano tangente en P(1,1,e):

0)(1

)1)(1()1)(1( eze

yexe

b)

)1(

)1(

),(

'

'

'

'

'

'

eeF

Fz

eeF

Fz

yxfz

z

y

y

z

x

x

; vector unitario

5

1,

5

2

v

vu

Derivada direccional en P según la dirección u:

)1(5

3

5

1)1)((

5

2)1()(),(()(),( ''

eeeeeeuPzPzuPzyxfD yxu


_______________________________________________________________________________________________ Cálculo II. Graduado en Ingeniería Prof. Manuel Hervás Página 1 de 2

Calificación:


Tema 2: Introducción a la Optimización



Calcula y clasifica los puntos críticos de 3 2 4 2( , ) 2 2 3f x y x y y x y

RESULTADOS

Puntos críticos: 0f

2

3 2

3 6 0

4 8 3 0

x

y

f x xy

f y y x 3 ( 2 ) 0 0 ; 2x x y x x y

Para

2

2

0 ; 4 (1 2 ) 0 0

0 ; 0

12 ; 4 (2 3 1) 0 ; 1

2

1; 2

x y y y

y x

x y y y y y x

y x

Puntos:

1 2 3

1(0,0) ; 1, ; ( 2,1)

2P P P

Test de las derivadas segundas:

2

6 6

6

4 24

xx

xy

yy

f x y

f x

f y

2

3

3 61 11, : 1, 6 0 Punto Silla

6 102 2

6 12-2,1 : -2,1 24 0 ; ( 2,1) 6 Máximo

12 28xx

P H

P H f

En el caso 1(0,0)P :

0 0(0,0) 0 DUDA

0 4H .



Forma de resolver la duda

Se estudia la función en puntos próximos al (0,0). 3( ,0)f h h En el plano 0y en un sentido la función es

positiva y en el otro sentido la función es negativa y se comporta como una inflexión en el origen, pero en el

plano 0x , 2 4(0, ) 2 2f k k k siempre es negativa, por tanto se trata de un punto SILLA.



Calificación:


Tema 20: Introducción a la Optimización



Dada la función ( , , )f x y z x y z sujeta a la restricción 3 3 3 81x y z .

Analiza la existencia de extremos absolutos. Estudia, mediante Multiplicadores de Lagrange, en qué punto se alcanza el valor MÁXIMO y cuál es dicho valor máximo.

RESULTADOS

Extremos absolutos: Se aplica el Teorema del valor extremo

El conjunto 3 3 3 3( , , ) / 81D x y z x y z de los puntos que satisfacen la ecuación de ligadura es un conjunto

cerrado y acotado (compacto) y dado que ( , , )f x y z xyz es continua en él se puede asegurar que existe un máximo

y un mínimo absoluto en algún punto de D . Multiplicadores de Lagrange

Sean3 3 3

( , , )

( , , ) 81

f x y z x y z

g x y z x y z

Evaluar , , y x y z tal que

( , , ) ( , , )

( , , )

f x y z g x y z

g x y z k

2

2

2

3 3 3

3

3

3

81

x

y

z

f yz x

f xz y

f xy z

x y z

2 2 2

3yz xz xy

x y z

3 3

3 3(1) Siendo 0, 0, 0

y xx y z

z x

Obtención del punto que da valor máximo

Sustituyendo (1) en la ecuación de ligadura 3 3 3 81x y z , resulta:

3 33 81 27 3x x x . Por tanto 3x y z (3,3,3)P Máximo

93 1

9

1

3 (3,3,3) 27f

Observaciones

1. Las funciones y f g son de clase 1C además el punto P(3,3,3) es un punto regular ya que

2

2

2

3 27

(número de ecuaciones de ligadura) 3 27 1

3 27

i

j P

P

xg

rg r rg y rgx

z

Lo que garantiza, según el teorema de Lagrange, La existencia de .






_______________________________________________________________________________________________ Cálculo II. Graduado en Ingeniería Prof. Santiago de Vicente Página 1 de 2

Calificación:


Tema 3: Funciones Vectoriales



Considere la curva dada por la intersección de las dos superficies:

y

1. Escriba la curva en paramétricas. Use la cabeza y utilice unas ecuaciones paramétricas “razonables”. (0.5 puntos) 2. Calcule la longitud de la curva. (0.5 puntos) 3. Calcule el vector normal principal y el plano osculador en el punto (0, 1, 0). (0.5 puntos) 4. Calcule curvatura y torsión de la curva en el punto (0, 1, 0). (0.5 puntos) 5. Calcule el círculo osculador a la curva en el punto (0, 1, 0). (0.5 puntos)

RESULTADOS

1. ( ) , ( ) , ( )

2.

3. ,

4. ,

5. ( )


Utilice la parte trasera para desarrollar en ella un resumen de los cálculos correspondientes



Ver EJERCICIO RESUELTO 6 del Capítulo 13 del LIBRO DE TEXTO

1) La curva intersección de un cilindro con un plano es una elipse. Se pueden elegir para ella infinitas formas de

ecuaciones paramétricas. Sin embargo, las ecuaciones más lógicas resultan de tener en cuenta que, en la ecuación del

cilindro, tenemos una suma de cuadrados igual a la unidad. Con esta observación lo más lógico es poner:

( ) ( )

2) Calculamos la velocidad, y con ella, la longitud:

( ) ( ) | ( )| √

∫ √

√ ∫ √ ⁄

donde aparece una integral elíptica sin primitiva, cuyo valor puede aproximarse excelentemente mediante un método

numérico construido mediante una suma de Riemann con un solo intervalo (definición de integral en Cálculo I), por

ejemplo:

( ) √ ⁄ ∫ ( )

(

)

√

Con lo que:

√ √ ( )

3) De forma trivial, la Normal Principal en (0,1,0) es:

( ) √

( )

y el Plano Osculador, en todos sus puntos, es el plano de la curva:

4) Dado que la elipse intersección del cilindro y del plano tiene “centro” el origen y semiejes √ (en el plano ) y 1

(en el plano ), la curvatura en el punto propuesto es:

( )

( )

√

Por su parte, la torsión es nula en todos los puntos al tratarse de una curva plana (su plano osculador es el mismo para

todos los puntos):

5) Como la circunferencia osculatriz (frontera del circulo osculador) tiene su centro en la recta definida por la normal

principal a partir del punto (0, 1, 0) y radio el radio de curvatura en ese punto, el centro de la circunferencia es:

( ) ( ) ( ) ( )

Y, por tanto, la ecuación de la circunferencia buscada se escribe como intersección de la esfera y del plano:

( ) , y + z = 1

NOTA: El estudiante que sepa qué son las cosas no necesita hacer apenas cálculos. Obviamente, el estudiante que solo conozca

cómo se calculan, puede perfectamente aplicar las fórmulas de clase y del Libro de Texto para obtener, mediante el cálculo

ciego, los mismos resultados.

-2-1

01

2-2

-10

12

-2

-1

0

1

2

3

y

y + z - 1 = 0

x

z



Calificación:


Tema 3: Funciones Vectoriales



Considere la curva dada por la intersección de las dos superficies:

y

1. Escriba la curva en paramétricas. Use la cabeza y utilice unas ecuaciones paramétricas “razonables”. (0.5 puntos)

2. Calcule la longitud de la curva. (0.5 puntos)

3. Calcule el vector normal principal y el plano osculador en el punto √

√

. (0.5 puntos)

4. Calcule curvatura y torsión de la curva en el punto √

√

. (0.5 puntos)

5. Calcule el círculo osculador a la curva en el punto √

√

. (0.5 puntos)

RESULTADOS

1. , ,

2.

3. ,

4. ,

5.





Figuras para

1) La curva es la intersección de un cilindro de sección astroide con un plano perpendicular a él. Por tanto, es una astroide en el plano

. Se pueden elegir para ella infinitas formas de ecuaciones paramétricas. Sin embargo, las ecuaciones más lógicas resultan de

tener en cuenta que tenemos una suma de cuadrados igual a la unidad. En efecto, la ecuación del cilindro puede ponerse:

(

)

(

)

Con esta observación lo más lógico es utilizar las ecuaciones paramétricas:

2) Calculamos la velocidad, y con ella, la longitud:

| |

∫

[ ]

3) De forma trivial, la Normal Principal en √

√

es:

√

y el Plano Osculador, en todos sus puntos, es el plano de la curva:

4) Para calcular la curvatura utilizamos:

|

|

| |

| |

Como:

| | | |

resulta que:

Como para el punto √

√

se tiene

, la curvatura en el punto propuesto es:

(

)

( )

Por su parte, la torsión es nula en todos los puntos al tratarse de una curva plana (su plano osculador es el mismo para todos los

puntos):

5) Como la circunferencia osculatriz (frontera del circulo osculador) tiene su centro en la recta definida por la normal principal a partir

del punto y radio el radio de curvatura en ese punto, el centro de la circunferencia es:

√

√

( √ √ )

y, por tanto, la ecuación de la circunferencia buscada se escribe:

( √ ) ( √ )

-1

0

1

2

3

-1

-0.5

0

0.5

1-1

-0.5

0

0.5

1

x

x - 1 = 0

y

z

00.5

11.5

2

-1-0.5

00.5

1-1

-0.5

0

0.5

1

x

x = 1, y = cos(t)3, z = sin(t)3

y

z

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