TEMA 7 RENTAS CONSTANTES.pdf

8/17/2019 TEMA 7 RENTAS CONSTANTES.pdf

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Gestión Financiera Reyes F.F.1

TEMA 7:RENTAS CONSTANTES, ANUALES, TEMPORALES Y

PERPETUAS

1.- INTRODUCCIÓN

1.1.- CONCEPTO DE RENTA:

Una renta es un conjunto de capitales financieros convencimientos equidistantes de tiempo.

El concepto de renta exige, por tanto:

La existencia de varios capitales Que los vencimientos sean equidistantes, es decir, que los capitales venzan cada

año, cada mes, cada trimestre, cada dos años, … pero siempre con la mismaperiodicidad.

Un ejemplo de renta es un plan de pensiones. En ellos, mediante un proceso decapitalización, por medio de pagos periódicos a instituciones financieras, éstas nosentregan determinadas cantidades en el momento de la jubilación, fruto de los pagosrealizados y de los intereses generados por los mismos.

A cada uno de los capitales se le denomina término.

Al tiempo transcurrido entre dos términos consecutivos periodo.El origen de una renta es la fecha de comienzo de la misma y la duración, el intervaloentre el principio y el final de la operación financiera.

C1

0

C3 C2 Cn

1 2 3 n

n términos

Periodo

origen final

Duración


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1.2.- CLASIFICACIÓN DE LAS RENTAS:

1. Según la naturaleza de los capitales que la componen:a. Constantes: aquellas en las que todos los capitales tienen la misma cuantía

b. Variables: aquellas cuyos capitales son distintos unos respecto de otros. La variaciónpuede seguir un orden preestablecido o no, destacando las rentas variables enprogresión aritmética y las variables en progresión geométrica.

2. Según la duración de los periodos:a. Anuales: Los capitales vencen cada añob. Fraccionadas: los capitales vencen con periodicidad inferior al año. Ejemplo: renta

mensual, trimestral, etc.

c. Con periodicidad superior al año: el periodo que transcurre entre vencimiento yvencimiento es mayor que año. Ejemplo: renta bianual, trianual, etc.

3. Por el vencimiento de los términos: a. Pospagables: los términos vencen al final de cada periodo.b. Prepagables: los términos vencen al principio de cada periodo.

4. Por el comienzo y finalización de la renta:a. Inmediatas: El primer periodo de la renta comienza en el momento de constitución

de la misma, y el último término se encuentra en el último periodo de la renta.

b. Diferidas: el primer término comienza cierto tiempo después del momento deconstitución de la renta.

c. Anticipadas: el último periodo está cierto tiempo después del momento devencimiento del último término de la renta.

5. Por la duración de la renta:a. Temporales: tienen un número finito de términos.b. Perpetuas: constan de infinitos términos.

Por la naturalezadel término

Por la duraciónde los periodos

Por elvencimiento delos términos

Por el comienzoy final de la

renta

Por la duraciónde la renta

Constantes

Variables

Anuales

Fraccionadas

Con periodicidad

superior al año

Pospagables

Prepagables

Inmediatas

Diferidas

Anticipadas

Temporales

Perpetuas


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2.- RENTAS ANUALES TEMPORALES CONSTANTES INMEDIATAS

2.1.- POSPAGABLES:

Estamos hablando de rentas:1. ANUALES: cuyos términos vencen cada año.2. CONSTANTES: la cuantía de los términos no varía.3. TEMPORALES: Tienen un número finito de términos.4. INMEDIATA POSTAPAGABLE: porque el primer pago tiene lugar al finalizar el

periodo en que se constituye la renta, es decir, en el momento 1

Para calcular los valores actuales y finales de una renta de este tipo, vamos a tener encuenta el caso de una renta cuyo término vale 1€.

2.1.1- VALOR ACTUAL

Suma de los términos de serie en progresión geométrica decreciente.Para sumar los términos de esta serie usamos la fórmula:

donde:

El valor actual será la

suma de los valores

actualizados de todos lostérminos de esta renta

unitaria y se le llama:

1

0 1 2 3 n

1

1 1

Pospagable

C1

0

C3 C2 Cn

1 2 3 n


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Si observas la última expresión, en el denominador queda: que también podemos

expresar de la siguiente forma: , de forma que podamos simplificar con el

numerador:

Cuando la renta no es unitaria sino que tiene un término constante de cuantía C, el valoractual de la misma, sería:

Que nos permitirá calcular el valor actual de una renta temporal, constante y pospagable de“n” términos de “C” unidades monetarias cada uno, valorados al tanto “i” de interéscompuesto.

2.1.2.- VALOR FINAL

En el numerador hemos

sacado factor común a

En el denominador hemos

hecho la diferencia defracciones

Valor actual de una renta temporal,

constante, unitaria y pospagable

El valor final será la suma

de los valorescapitalizados de todos los

términos de esta renta


1 1

1

0 1 2 3 n

1 1


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Cuando la renta no es unitaria sino que tiene un término constante de cuantía C, el valorfinal de la misma, sería:

Que nos permitirá calcular el valor final de una renta temporal, constante y pospagable de“n” términos de “C” unidades monetarias cada uno, valorados al tanto “i” de interéscompuesto.

2.1.3.- RELACIÓN ENTRE VALOR ACTUAL Y FINAL


donde:

0 1 2 n

1 1 1

Ejercicios1 a 13


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2.2.- PREPAGABLES:

1. ANUALES: cuyos términos vencen cada año.2. CONSTANTES: la cuantía de los términos no varía.3.

TEMPORALES: Tienen un número finito de términos.4. INMEDIATA PREPAGABLE: porque el primer pago tiene lugar al comienzo del

primer periodo en que se constituye la renta, es decir, en el momento 0

2.2.1.- VALOR ACTUAL

Seguiremos tomando como ejemplo una renta constante unitaria.


suma de los valores

actualizados de todos lostérminos de esta renta


0 1 2 n-1 n

1

1

1

1

1


donde:

prepagable

C1

0

C3 C2 Cn

1 2 n-1 n


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Cuando la renta no es unitaria sino que tiene un término constante de cuantía C, el valoractual de la misma, sería:

Que nos permitirá calcular el valor actual de una renta temporal, constante y prepagable de“n” términos de “C” unidades monetarias cada uno, valorados al tanto “i” de interéscompuesto.

RELACIÓN ENTRE EL VALOR ACTUAL DE UNA RENTA POSPAGABLE Y UNA PREPAGABLE

Como puedes observar, entre el valor actual de una renta unitaria constante anualpospagable y el de una prepagable:

Existe la siguiente relación:

De forma que bien podemos decir:


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2.2.2.- VALOR FINAL

Cuando la renta no es unitaria sino que tiene un término constante de cuantía C, el valorfinal de la misma, sería:

Que nos permitirá calcular el valor final de una renta temporal, constante y prepagable de“n” términos de “C” unidades monetarias cada uno, valorados al tanto “i” de interéscompuesto.


donde:

El valor final será la suma

de los valores

capitalizados de todos lostérminos de esta renta


1

1

0 1 2n-1 n

1

1


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RELACIÓN ENTRE EL VALOR FINAL DE UNA RENTA POSPAGABLE YUNA PREPAGABLE

Como puedes observar, entre el valor final de una renta unitaria constante anual pospagable y el de una prepagable:

Existe la siguiente relación:

De forma que bien podemos decir:

2.2.3.- RELACIÓN ENTRE VALOR ACTUAL Y FINAL:

Es decir que:

0 1 2 n

1 1 1

Ejercicios14 a 17


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RELACIONES ENTRE LOS VALORES ACTUALES Y FINALES DE RENTAS

UNITARIAS, CONSTANTES, TEMPORALES, INMEDIATAS, POSPAGABLES YPREPAGABLES:

Como se puede observar, si se conoce el valor actual de una renta unitaria, constante,temporal, inmediata y posgable:

Se puede conocer el valor actual y final de cualquier otra renta:

Valor actual de una renta constante, temporal,inmediata y pospagable, cuyo término vale C

Valor final de la renta anterior

Valor actual de una renta constante, temporal,inmediata y prepagable, cuyo término vale C

Valor final de la renta anterior


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3.- RENTAS ANUALES TEMPORALES CONSTANTES DIFERIDAS

Son rentas diferidas aquellas cuyo momento de valoración es una serie de periodos “d” anteriores al origen. A esos periodos se les denomina “diferimiento” y SÓLO afecta a losvalores actuales

3.1.- POSPAGABLES:


Para calcularlo sólo hemos de actualizar todos los términos al momento cero. Ese valor seráel mismo de una renta inmediata pospagable pero actualizada durante los “d” periodos deldiferimiento. Tomemos como ejemplo una renta unitaria:

GRAFICAMENTE:

ANALÍTICAMENTE:

d

C2 C1 Cn

d+1 d+2 d+n1 30……

Momento de valoración.Valor actual:

Momento de valoración.

Valor final:

Diferimiento

Esto es

d

11 1

d+1 d+2 d+n1 30……

Diferimiento


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Cuando los términos de la renta no son unitarios sino que valen “C” unidades monetarias:

3.1.2.- VALOR FINAL

El valor final de una renta diferida es el mismo que el de una renta inmediata pues el

diferimiento no le afecta, por tanto:

3.2.- PREPAGABLES:


Siguiendo con el ejemplo de una renta unitaria:


Diferimiento

d

11 1

d+1 d+n-1 d+n1 30……

Esto es

Sacamos factorcomún a:


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3.2.2.- VALOR FINAL

Al igual que en el caso de las pospagables, el diferimiento no afecta al valor final, que seráel mismo que en el caso de las rentas inmediatas, es decir:

RELACIÓN ENTRE VALORES ACTUAL Y FINAL, POSPAGABLE YPREPAGABLE:

Las relaciones son las mismas que en las rentas constantes, es decir:

Valor actual de una renta constante, temporal,

pospagable y diferida, cuyo término vale C

El valor final de la renta diferida coincide con elde una inmediata

Valor actual de una renta constante, temporal,prepagable y diferida, cuyo término vale C

El valor final de la renta diferida coincide con elde una inmediata

4.- RENTAS ANUALES TEMPORALES CONSTANTES ANTICIPADAS

Son rentas anticipadas aquellas cuyo momento de valoración es una serie de periodos “h”posteriores al final de la renta. A esos periodos se les denomina “anticipación” y SÓLOafecta a los valores finales

4.1.- POSPAGABLES:

Momento de valoración.Valor actual:

Momento de valoración.Valor final:

Periodo de antici ación

0

C2 C1 Cn

1 2 n n+2 n+hn+1….

Ejercicios

18 a 23


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4.1.1.- VALOR ACTUALEl valor actual de una renta de este tipo coincide con el de una renta inmediata, pues el

periodo de anticipación no le afecta.

4.1.2.- VALOR FINAL

Tal y como venimos haciendo hasta ahora, tomemos como ejemplo el caso de una rentaunitaria:

Cuando el término de la renta no es unitario, sino que vale “C” u.m.:

4.2.- PREPAGABLES:


El valor actual de una renta de este tipo coincide con el de una renta inmediata, pues el

periodo de anticipación no le afecta.


0

11 1

1 2 n n+2 n+hn+1 ….

Esto es



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4.2.2.- VALOR FINAL

Cuando el término de la renta no es unitario, sino que vale “C” u.m.:

RELACIÓN ENTRE VALORES ACTUAL Y FINAL, POSPAGABLE YPREPAGABLE:

Las relaciones son las mismas que en las rentas constantes, es decir:

El valor actual de una renta constante,anticipada coincide con el de una inmediata.

Valor final de una renta constante, temporal,pospagable y anticipada, cuyo término vale C

El valor actual de una renta constante,

anticipada coincide con el de una inmediata.

Valor final de una renta constante, temporal,prepagable y anticipada, cuyo término vale C

…. n


n+2 n+hn+10

11 1

1 2 n-1

1

Esto es


Ejercicio24


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5.- RENTAS ANUALES PERPETUAS

Son rentas que tienen un número infinito de términos.

En este tipo de rentas, el problema es calcular el valor final, ya que NUNCA se llega a él, esdecir, no tienen valor final.

5.1.- RENTAS ANUALES, CONSTANTES, PERPETUAS EINMEDIATAS

5.1.1.- VALOR ACTUAL DE LAS POSPAGABLES:

Seguimos tomando como ejemplo el caso de una renta unitaria

Como se trata de una renta perpetua , luego

Por tanto:

5.1.2.- VALOR ACTUAL DE LAS PREPAGABLES:

……


suma de los valores

actualizados de todos los

términos de esta rentaunitaria y se le llama:

1

0 1 2 3

1 1

1 1 1


suma de los valores

actualizados de todos los

términos de esta renta

unitaria y se le llama: 1

01

2………...


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Como se trata de una renta perpetua , luego

Por tanto:

5.2.- RENTAS ANUALES, CONSTANTES, PERPETUAS Y DIFERIDAS

5.2.1.- VALOR ACTUAL DE LAS POSPAGABLES:

Procederemos igual que se ha hecho con las rentas inmediatas pero, teniendo en cuenta queuna renta diferida se valora “d” periodos antes de su origen.

Así pues si el valor actual de una renta diferida, temporal, constante, anual y pospagableera:

En caso de que la renta fuera perpetua:



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5.2.2.- VALOR ACTUAL DE LAS PREPAGABLES:

Procederemos igual que se ha hecho con las rentas inmediatas pero, teniendo en cuenta queuna renta diferida se valora “d” periodos antes de su origen.

Así pues si el valor actual de una renta diferida, anual, constante, prepagable y temporalera:

En caso de que la renta fuera perpetua:


Ejercicios

25 y 26


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1. INTRODUCCIÓN1.1.-Concepto de renta1.2.-Clasificación de las rentas.

2.

RENTAS ANUALES, TEMPORALES, CONSTANTES, INMEDIATAS.

2.1.- POSPAGABLES1.1.1.- Valor actual1.1.2.- Valor final1.1.3.- Relación entre el valor actual y final

2.2.- PREPAGABLES2.2.1.- Valor actual2.2.2.- Valor final2.2.3.- Relación entre el valor actual y final.

3. RENTAS ANUALES, TEMPORALES, CONSTANTES, DIFERIDAS.3.1.- POSPAGABLES

3.1.1.- Valor actual3.1.2.- Valor final

3.2.- PREPAGABLES3.2.1.- Valor actual

3.2.2.- Valor final

4. RENTAS ANUALES, TEMPORALES, CONSTANTES, ANTICIPADAS.4.1.- POSPAGABLES

4.1.1.- Valor actual4.1.2.- Valor final

4.2.- PREPAGABLES4.2.1.- Valor actual4.2.2.- Valor final

5. RENTAS ANUALES, PERPETUAS5.1.- RENTAS ANUALES, CONSTANTES, PERPETUAS E INMEDIATAS

5.1.1.- Valor actual de las pospagables5.1.2.-Valor actual de las prepagables

5.2.- RENTAS ANUALES, CONSTANTES, PERPETUAS Y DIFERIDAS5.2.1.-Valor actual de las pospagables

5.2.2.-Valor actual de las prepagables.

BIBLIOGRAFÍA:

“Gestión Financiera” Edit Thomson Paraninfo

“Gestión Financiera” Edit. McGrawHill

“Matematicas Financieras” Teoría y 950 ejercicios de Concepción Delgado y Juan Palomero.

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