Tema 3 Rentas

8/18/2019 Tema 3 Rentas

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ÍndiceRentas

1. Introducción2. Clasificación de rentas

3. Renta constante3.1 Renta constante pospagable3.2 Renta constante prepagable3.3 Renta constante perpetua3.4 Renta constante diferida3.5 Renta constante anticipada

4. Renta variable4.1 Rentas variables sin ley conocida4.2 Rentas variables con ley conocida

4.2.1 Rentas en progresión geométrica4.2.2 Rentas en progresión aritmética

5. Rentas fraccionadas6. Rentas valoradas a más de un tanto



Cuando en una operación financiera intervienen un conjunto de capitales convencimientos equidistantes en el tiempo.Los capitales que componen la renta se llaman Términos de la Renta y los subintervalosPeriodos de Maduración.

Rentas 1. Introducción

C 1 C 2 C n

t 0 t 1 t 2 t n-1 t nEn una Renta se distingue:Su origen (momento t 0 de inicio del primer periodo de maduración)Su final (momento t n en el que finaliza el último periodo de maduración)Su duración (tiempo entre el final y el origen t n – t 0)Por ejemplo un contrato de alquiler de un inmueble por 2 años con pagos mensuales eldía dos de cada mes es una fuente de Renta. La Renta está constituida por el conjuntode pagos que se realizan durante 2 años, teniendo en cuenta que cada uno va asociadoa un periodo de maduración mensual.Otros ejemplos de Renta serían: sueldos, cupones que producen unas obligaciones,dividendos de unas acciones, valor de la producción de una finca rústica,….



En una renta se puede determinar: el valor final en un momento cualquiera no anterioral vencimiento del último término, el valor actual en cualquier momento no posterior

al vencimiento del primer término y eventualmente el valor en un momento intermedioentre el primer y último vencimiento.El cálculo del valor final requiere fijar una ley de interés, habitualmente, al tratarse deoperaciones a más de un año, ésta será la del interés compuesto ; el cálculo del valoractual requiere utilizar una ley de descuento, normalmente aplicaremos la deldescuento racional compuesto ; por último el cálculo del valor en un momento

intermedio requiere precisar ambas leyes y emplearemos la del interés y el descuentoracional compuesto.

Además, deberán cumplir las siguientes condiciones: los términos de la renta han deser iguales, y si son variables la variación ha de ser conocida; los períodos devencimiento de los términos han de ser equidistantes, es decir, han de tener el mismovencimiento, anual, mensual, . . .

Rentas 1. Introducción



Clases de rentas• Según la cuantía de los capitales

• Constante. Cuantías iguales; (dentro de ella está la renta unitaria cuantía launidad)• Variable. Cuantías distintas

• Variable sin seguir ley matemática• Variable siguiendo ley matemática

• En progresión geométrica

• En progresión aritmética• Según el número de términos. Duración• Temporal (duración finita). [t 0 , t n] • Perpetua (duración infinita). [t 0 , ∞ ]

• Según el vencimiento• Pospagable (rentas con vencimiento de los términos al final de su periodo)

• Prepagable (los vencimientos coinciden con el extremo inferior del periodo)En las rentas prepagables el origen de la renta coincide con el vencimiento delprimer término, mientras que el final de la renta será posterior al último vencimientoy por el contrario, en las rentas pospagables, el origen es anterior al vencimiento delprimer capital y, sin embargo, el final coincide con el vencimiento del último término.Un ejemplo de renta prepagable serían los alquileres, que en general se pagan por

anticipado. Como ejemplo de pospagable estan los sueldos, que suelen cobrarse aperíodo vencido.

2. Clasificación de rentasRentas



• Según momento de valoración de la renta respecto al origen o al final

• Inmediata. Momento α de valoración está situado en el intervalo [t 0 , t n]

• Deferida. Momentoα

de valoración es anterior al origen de la Rentaα

< • Anticipada. Momento α de valoración es posterior al final de la Renta α >t n

• Según la periodicidad del vencimiento• Entera• No entera• Fraccionada (periodicidad con que se hacen efectivos los sucesivos capitales esinferior al año, produciéndose pagos y cobros mensualmente, trimestralmente,semestralmente, etc.)

• Según la ley financiera• Simple. Para su cálculo recordar suma de progresión aritmética

• Compuesta. Para su cálculo recordar suma de progresión geométrica2

1 naanS

crecienteprogresión

edecrecientprogresión

1

1

1

1

r ar aS

r r aaS

n

n

t 0

Rentas 2. Clasificación de rentas



• Según la aleatoriedad• Cierta. Se conocen los términos de la Renta y su Duración

• Aleatoria. No se conocen con certeza, aunque se conoce su distribución deprobabilidad. Ejemplo: la pensión de un jubilado cuya duración es aleatoria.

• Según la amplitud de los periodos de maduración• Discretas. Periodo de maduración finitos

• Periódicas. Todos los periodos de igual amplitud. La mayoría de las rentas

en la práctica.• No periodicas.

• Continuas. Periodos infinitesimales, flujo continuo de capitales.

Rentas 2. Clasificación de rentas



(*) El valor ac tua l de una renta constante se representa mediante el símbolo (a histor iada) y se obtienesumando las cuantías equivalentes en el momento 0 (origen) a cada una de las unidades monetarias quecomponen la renta

)1(1

razóndeedecrecientgeométrica progresiónunadetérminosdesumalaesque

)1( 1)1( 1......)1( 1)1( 1 120

ir n

iiiiaV nnin

3.1 Renta Constante PospagableEstudiamos una renta constante, temporal, inmediata, entera y pospagable. Aunque no

se diga expresamente se calculará en régimen de compuesta (renta compuesta).

Cálculo del valor actual (*):• Renta unitaria

ina

ina

V 0? 1 1 1 ….. 1 1

0 1 2 3 ….. n -1 n

(1+i)-1

(1+i) -2

(1+i) -3

……… (1+i) – (n-1)

(1+i) – n

3. Renta ConstanteRentas



i

iii

ii

ii

ii

i

iiia

r

r aaS

nnnn

in

n

)1(1)1(

)1(1)1(

1

)1(1)1(

)1(1

1

)1(1

)1(1

)1(1

1

1

11

1

así

comocalcular puedeseque

• Renta no unitaria, con términos de cuantía C

iiC Ca

iiiiC

iC

iC

iC

iC AV

n

innnnnin)1(1

)1(1

)1(1

......)1(

1)1(

1)1()1(

......)1()1( 12120

Rentas 3. Renta Constante



(*) El valor f ina l se representa mediante el símbolo (s histor iada) y se obtiene sumando las cuantíasequivalentes en el momento n a cada una de las unidades monetarias que componen la renta

)1(razóndecrecientegeométrica progresiónunadetérminosdesumalaesque

)1()1(......)1()1(1 122

ir niiii sV nn

inn

• Renta unitaria

in s

Cálculo del valor final (*):

ii

iii s

r ar aS nn

in

n

1)1(1)1(

1)1()1(1

1

1

así


1(1+i)

(1+i) 2

……… ………

(1+i)n-2

(1+i) n-1

in s

1 1 ….. 1 1 1

0 1 2 ….. n -2 n-1 n

V n?




• Renta no unitaria, con términos de cuantía C

iiC sC

iiiiC iC iC iC iC C S V n

in

nnnninn

1)1(**

)1()1(......)1()1(1)1(*)1(*......)1(*)1(* 122122

innn

nnninn

inn

o

sC iiiC

iiiiiC AiS V

V

*1)1(.......)1()1(

)1()1(

1)1(

1......)1(

1)1(

1)1(

121

12

así

actualvalor elndocapitalizavalor mismoelobtener podríamosTambién




El valor ac tual y e l va lor f ina l de la renta son capitales equivalentes puesto que midenlo mismo (el valor de la renta) en dos momentos diferentes de tiempo (t 0 y t n ). Por ello, siconocemos una de las cuantías podemos calcular la otra.

Así, para pasar de 0 n en capitalización compuesta tenemos que multiplicar pory para pasar 0 n de hay que multiplicar por

ni)1( ni )1(

inn

ininn

ininin

inn

ininn

ininin

S i A AiS nS n A

siaai sn sna

*)1(;*)1();();(

*)1(;*)1();();(

Conclusión final






Ejemplo: Calcular el valor inicial y final de una renta pospagable, de 10 años deduración y término anual constante de 6.000 € , si el interés efectivo anual es del 5%.Comprobar también que el valor final puede obtenerse capitalizando el valor inicial.






Ejemplo: En el ejemplo anterior calcular n e i a partir de V 0


• Cálculo de los valores del resto de términos de una Renta

En la valoración de la Rentas Constantes se tienen 4 variables (V o oV n ,C, n , i ) conocidas tres de ellas podemos obtener la cuarta.




Ejemplo:

Disponemos de 1.000.000 € que producen una renta anual constante y pospagable de160.000 € durante 10 años, calcular el tanto anual



En Excel se utilizan las funciones:VA (tasa;nper;pago;vf;tipo)VF (tasa;nper;pago;va;tipo)NPER (tasa;pago;va;vf;tipo)PAGO (tasa;nper;va;vf;tipo)TASA (nper;pago;va;vf;tipo

Donde: va es el valor inicialvf es el valor finaltasa es la tasa de descuentonper es el número de términos de la rentapago es el importe de la cuantía constante. Se ha de poner negativo para que el VA dépositivo

tipo no es el tipo de interés. Hace referencia al tipo de renta. Pospagable 0 o sin valor,Prepagable 1

También se utilizan las opciones de Excel Buscar Objetivo y Solver del menúherramientas

Solución del ejemplo con Excel


http://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_5/Renta%20pospagable.xls



3.2 Renta Constante PrepagableEstudiamos una renta constante, temporal, inmediata, entera y prepagable. Aunque no

se diga expresamente se calculará en régimen de compuesta (renta compuesta).

Cálculo del valor actual:• Renta unitaria

)1(

1razóndeedecrecientgeométrica progresiónunadetérminosdesumalaesque

)1(1

......)1(

1)1(

11 120

i

r n

iiiäV nin

inä

1 1 1 ….. 1 1

0 1 2 ….. n -2 n-1 n

1(1+i) -1

(1+i) -2

……… ……… (1+i) – (n-2)

(1+i) – (n-1)

V 0?




)1()1()1(1

1

)1(1

)1(1

1

)1(1

)1(11

1

1

1

iaii

i

ii

i

i

ii ä

r r aa

S

in

nnn

in

n

así


ininin

n

innnin

AiaiC Ä V i

iiC äC iii

C i

C i

C i

C C Ä V

)1()1(

)1(1)1(*

)1(1

......)1(

1)1(

11

)1(......

)1()1(

0

12120

Los valores iniciales V 0 y finales V n de las rentas prepagables se obtienenmultiplicando por (1+i) los valores de las rentas pospagables

Cálculo del valor final

)1(1)1(

)1(.......)1()1( 2

iii

s

iii sV n

in

ninn

escribir tambiénpuedeseprogresiónladetérminoslossumando

)1(y)1(:quey

)1( :queverificase

i s siaäiä s

inininin

ninin




Ejemplo: Calcular el valor inicial y final de una renta prepagable, de 10 años de duracióny término anual constante de 6.000 € , si el interés efectivo anual es del 5%. Sabiendoque los valores inicial y final de la misma renta pospagable son:


€36,467.75 €41,330.46 05,0101005,0100 S V AV



3.3 Renta Constante Perpetua.Las rentas perpetuas son las que tienen un número infinito de términos, por ello se

puede calcular el valor inicial V 0 pero no el valor final V n, independientemente de que seaprepagable o pospagable, constante o variable, etc. La renta es perpetua n ∞

• Pospagable. Estudiamos una renta constante, inmediata, entera y pospagable. Aunqueno se diga expresamente se calculará en régimen de compuesta (renta compuesta).

• Renta unitaria

El resultado final es el capital que habría que colocar en el momento inicial para podercobrar una unidad monetaria al final de cada período con carácter indefinido (perpetuo).

iii

a

n

ni

1)1(1lim

i

C C*a A ii1

iiaiä ii)1(

)1(

• Renta no unitaria

• Prepagable. Como sabemos pasamos de pospagable a prepagable multiplicandopor (1+i)

• Renta unitaria

• Renta no unitaria ii

C i)aC( äC Ä iii)1(

1*





Ejemplo: ¿Qué capital habría que colocar hoy en una entidad financiera para que en unfuturo pueda pagarse un Premio a la Innovación de 1 millón de euros anuales a

perpetuidad, teniendo en cuenta que la entidad abona unos intereses del 5% anual?



3.4 Renta Constante DiferidaLas rentas diferidas son las que se valoran (valor actual) en un momento t , antes del

momento inicial V 0, comenzándose a recibir o entregar a partir del momento d + 1 . E ltiempo d entre t y 0 se llama periodo de diferimiento.




i) (1

i) (1i) (1i) (1i) (1i) (1i) (1i) (1i) (1

d

d n 2 1 d n d 2 d 1 d

d ino

t

inint

iaV V

ad aV

)1(

/11

..........1111

..........11

:también

i) (1 d d ininint iaC A Ad V )1( *1/ • Renta no unitaria

• Renta unitaria

• Renta Pospagable

Valor en el momento t o valor actual. Se denota como

También se puede obtener como diferencia entre dos Rentas R1 y R21 ………. 1 1 1 ……….. 1

0 1

d

d+1

d+2 d+n

R1

1 ……… 1

0 1 d

R2

id ind in aaad /R=R1-R2 =>

Con el factor de actualización obtenemos el valor de la Renta Diferidaen función de la Renta Inmediata

d i)( 1

inad /

ina

inad /


………

………. ……..



• Renta Prepagable. Multiplicaríamos por (1+i) los valores de las pospagables

Valor en el momento nd n

t nn

n iV V iV V )1()1(0:Como

11)1(

1)1(/

/)1(

1/

/)1(

1/

d ind inin

id id nind inin

id id nind inin

i)( ai

iaäd

äääd i

ääd

aaad i

aad

iaEquivalenc

quedemostrar podríasePrepagable

quedemostrar podríasePospagable

:Resumen




Ejemplo: Calcular el valor actual de una renta pospagable, diferida 4 años y de 10años de duración y término anual constante de 6.000 € , si el interés efectivo anual es

del 5%. Considerar una renta prepagable para que el valor en t coincida.




Ejemplo: Calcular el valor actual de una renta perpetua pospagable, diferida 4 años ytérmino anual constante de 6.000 € , si el interés efectivo anual es del 5%.




3.5 Renta Constante AnticipadaLas rentas anticipadas son las que se valoran en un momento n+h posterior a su final n.

El periodo h entre n y n+h se llama periodo de anticipación


1 1 …… 1 1

0 i 1 2 …… n -1 n n+h

V0 Vn Vn+h

Periodo deDuración anticipación

Origen Fin (h) Momento devaloración



in

hn

hhn

ininhnhnhhhh

hn

siV iV

sh siiiiiiiiiV

)1()1(

/)1()1(.....)1()1(1)1()1(.....)1()1()1( 121121

• Renta unitaria

• Renta Pospagable

Valor en el momento n+h. Se denota como

También se puede obtener como diferencia entre dos Rentas R1 y R21 1 ……. 1 1 …….. 1

0 1 2 n n+1 n+h

R1

1 1

n n+1 n+h

R2

R=R1-R2 =>

Con el factor de capitalización obtenemos el valor de la Renta Diferidaen función de la Renta Inmediata

h

i)( 1 in sh /

in s

in sh /

ihihnin s s sh /


……. …….



• Renta no unitaria

• Renta Prepagable. Multiplicaríamos por (1+i) los valores de las pospagables

in

h

in

h

inhn sC iS iS hV *)1()1(/

Valor en el momento 0

)1()1(0 hnhn

nn

iV

iV V


Ejemplo: Calcular el valor final de una renta pospagable, anticipada 4 años y de 10años de duración y término anual constante de 6.000 € , si el interés efectivo anual esdel 5%.



Ejemplo: Una inversor ha colocado 100.000 € anuales pospagables durante 10 años en

un banco que abona intereses al 9% anual. Determinar el montante obtenido a los 15años de realizada la primera imposición




Los términos son diferentes entre sí. Podemos distinguir entre si su variación sigue o nouna ley conocida, en el primer caso estudiaremos las rentas en progresión aritmética y

rentas en progresión geométrica.

4.1 Rentas variables sin ley conocida: No hay expresiones simplificadoras para losvalores actual y final.• Rentas inmediatas

• Renta pospagable

C 1 C 2 C s …. C n

0 1 2 .… n

snn

s sn

nnn

sn

s

sn

n

iC C iC iC V

iC iC iC iC V

)1(.....)1()1(

)1()1(.....)1()1(

1

22

11

1

22

110

C 1 C 2 …………. C s C n

0 1 n-1 n

• Renta prepagable

2 nn V iV

V iV i

)1(

)1(

)1(

00

operador elutilizamos

Rentas 4. Renta Variable

s



• Rentas diferidas. Utilizamos el factor (1+i) -d para obtener las rentas diferidas en funciónde las rentas inmediatas

(1+i) -d V d V d C 1 …. …. C n

0 d d+1 .… .… d+n


d d

V iV

)1(0


d -d V iV )1(0

• Rentas anticipadas. Utilizamos el operador (1+i) h para obtener las rentas anticipadasen función de las rentas inmediatas

C 1 C 2 …. C n;V n (1+i) hV n

0 1 2 .… n n+h



nh

hn V iV )1(

nhhn V iV )1(





Ejemplo: Obtener el valor actual y el valor final de una renta formada por los siguientescapitales

(600.000;1), (800.000;2), (500.000;3), (400.000;4), (700.000;5) y (300.000;6)

sabiendo que se valora al 12% y que es pospagable




Ejemplo: Considerar la renta anterior como prepagable




Ejemplo: Considerar la renta pospagable anterior está diferida 4 años respecto almomento de valoración




Ejemplo: Considerar la renta, diferida 4 años respecto al momento de valoración, peroen este caso considerarla como prepagable




Ejemplo: Considerar que la renta ahora está anticipada 3 años respecto a momento devaloración, considerar la renta como pospagable y como prepagable



4.2 Rentas variables con ley conocida:4.2.1 Rentas en progresión geométricaUn término = término anterior * Cuantía constanteC = primer término; q = cuantía constante o razón

Temporal pospagable

C Cq Cq 2 …. Cq n-1

0 1 2 3 .… n

)1()1(

1

)1)(1()1(

1)1(

)1()1(

)1(1

)1()1(1)1(1

)1();(

)1(1

)1(1

)1(1

)1()1(1

1)1/()1(.....)1(1

)1(.....)1(1*)1()1(.....)1()1();(

111

11

11

1)1(11)1(11

)1(111121

qii

q

C iqi

iq

iC

iqi

iq

iC iqiqiC qC A

iq

iq

iq

iqiq

r

r aaS iqiqiq

iqiqiC iCqiCqiC qC A

nnn

nn

in

nnnnnnn

nnnnin

entonces

yrazóngeométricap.esComo

:actualValor

)1()1(

)1()1(

1

)1();()1();( qiqi

C qii

q

C iqC AiqC S

nn

n

nin

nin

:finalValor


ntodecrecimieoocrecimienttasaedecrecientcreciente 1);10)(1(;0 qqqq

iq 1•Si



• Caso particular (*)

niC qC A

n......iqiqiq

in

nn

*)1();(

111)1(.....)1(111

)1(11

luego

essumalaSi

niC niC iqC AiqC S nnin

nin

11 )1()1()1();()1();(

• Perpetua pospagable (solo tiene solución si q<1+i )

0)1

(;11

)1

(1);();( limlimlim n

n

n

nin

ni i

qqi

C qii

q

C qC AqC A queya


(*) el caso particular q=1+i hay que resolverlo como se indica y no directamente en lafórmula ya que quedaría una forma indeterminada del tipo 0/0

)1()1(

qiqiC

nn



Temporal prepagable: recordar prepagable = pospagable * (1+i)

C Cq Cq2

…. Cqn-1

0 1 2 …. n-1 n

)1(

)1(1

)1();()1();(

qi

iq

C iqC AiqC A

n

inin

:actualValor

in

inn

in

qC S iqC AiqC S

);()1(

);()1();(

:finalValor

• Caso particular

nC iniC iqC S iqC S nC niC iqC AiqC A iq

nninin

inin

*)1()1()1();()1();(

*)1()1();()1();(1

1

1

Si




• Perpetua prepagable (solo tiene solución si q<1+i )

qiiC

qC AqC A inni 1)1(

);();( lim

• Renta diferida y anticipada

Se valoran en función de las correspondientes inmediatas

Para diferida en d periodos se utiliza el operador (1+i) -d

Para anticipada en h periodos se utiliza el operador (1+i) h


Ejemplo:Obtener la fórmula del valor final de una renta temporal, prepagable y anticipada



Ejemplo:Obtener los valores actual y final de una renta pospagable cuyo primer término es de

10.000 € y que crecerá los años siguientes de forma acumulativa a razón de un 5%anual. La duración es de 15 años y el tanto de valoración es del 10% anual.




Ejemplo:Considerar el ejemplo anterior como prepagable




4.2.2 Rentas en progresión aritméticaUn término = término anterior + Cuantía constante (razón)

creciente ( d>0 ) C = primer término; d = cuantía constante

decreciente ( d<0 ) último término +Temporal pospagable

C C+d C+2d …. C+(n-1)d

0 1 2 3 .… n

R

Podemos descomponer la renta variable R en n rentas de cuantía constante R1 ,…., R n

C C C …. C C

0 1 2 3 .… n-1

R1

n

d d

…. d d

0 1 2 3 .… n-1

R2

n

d

0 1 2 3 .… n-1 Rn

n

R1: renta inmediata

R2: renta diferida 1 periodo

Rn: renta diferida n-1 periodos

…………………………………………………………….


inCa

in /ad 1

in /adn 1

condición



El valor actual o final es la suma de los valores actuales o finales de las n rentas:

iia

idnadn

id C

idnadna

id C

iidna

id C d C A

idnadn

idn

iidn

idn

iidn

idn

iidn

iidna

id C ina

id aC d C A

i)( inai

iniiiiiniiii

iiiiiii

iii

iii

iii

aiaiaid aC

anaad aC d C A

nin

ininin

n

inin

in

nnn

n

inn

ininin

-nnin

nnnnn

nnnn

nnn

in

ininin

iinininin

)1(1

)(*)()1(

)();(

*)1(1)1()1(

)1()()1(*);(

1)1(1

)1()1()1(.........)1(1

)1)(1()1(.........)1()1(1

)1()1(....)1()1()1()1(1

)1(1)1(......

)1(1)1(

)1(1)1(

)1(........)1()1(*

)/1......../2/1(*);(

)1(1)1(21

)1(21

1)1(

)2(2

)1(1

1

)1(

2

2

1

1

121

queRecordar *)

:operandoseguimossifórmulaotraotraobtener podemos

luego

restoysumo

( *):corcheteelensoperacione

:actualValor


R



prepagableTemporal

yquesabiendo;

pospagableperpetuaRenta

:actualV.elmoscapitalizasifinal,Valor

0)1(

11)(

)1()();();(

)()1()(

)1()()1();()1();(

limlimlimlim

nnn

n

nni

inn

in

n

inn

inn

in

in

ia

iid C

iidna

id C d C Ad C A

idnS

id C

idnia

id C

iidna

id C id C Aid C S

ininin

C C+d C+2d … C+(n-1)d

0 1 2 … n-1 n

R

)aritméticaprogresión

laderazónlacontodiferimiendeperiododconfundir no( OjoyfactoreslosaplicanSe

anticipadayDiferida

eprepagabalperpetuaRenta

d

i)( i)(

ii

id C d C Aid C A

d C S id C S

d C Aid C A

hd

ii

inin

inin

11

1)();()1();(

);()1();(

);()1();(


R




Ejemplo: Obtener la fórmula del valor actual de una renta diferida , perpetua y prepagable

R



Ejemplo:Se ha de pagar una renta anual cuya primera cuantía es de diez mil euros y las

restantes crecen linealmente en 500 euros cada año. Si se valora al 8% anual,obtener su valor actual en los siguientes casos:

a) La renta es pospagable, está diferida 3 años y tiene una duración de 12 años.b) La renta es prepagable y perpetua.


R t



5. Renta fraccionada

Una renta se transforma en fraccionada cuando cada cuantía y periodo se divide enm partes iguales.

C 1 C S C n

0 1 s n

R

Una renta fraccionada se puede valorar como no fraccionada considerando la amplitudde los subperiodos como unidad de tiempo y utilizar el rédito equivalente del subperiodo.

C 1 /m C 1 /m…C 1 /m C s /m C s /m…C s /m C n /m

0 1 s-1

R(m)

1/m 2/m ….. s1/m 2/m …… n-1 2/m ….. 1/m n

C n /mC n /m…

El rédito im para los periodos de amplitud 1/m en función del tanto i para los periodosunitarios se calcula:

m jiiiii m

mm

mm

m ;1)1()1(1 /1

Rentas

R t



Renta constante pospagable.

• unitaria 1/m 1/m 1/m ………………….. 1/m

0 1 …………………….. n

R(m)

inin

inin

X*s s

X*aa(m)

(m)

afraccionadunitariarentafinalValor

afraccionadunitariarentaactualValor

X X

1

R

n

Renta fraccionada Renta no fraccionada de cuantía constante X .Equivalente a

Rentas 5. Renta fraccionada

1/m 2/m..

R t



Pasamos a calcular la X , tomando un periodo cualquiera (s-1;s]:

1/m 1/m 1/m 1/m

s-1 1/m 2/m m-1/m s

1/m

1/m(1+i)1/m

1/m(1+i) (m-1)/m

m

/m /m /m

/mmm-

n

mm

/m

j

i

i)( m

i

i)(

i)-(

mi)(

i)( i)(

m

X

r ar aS

i)( ...i)( m X

1111

111

11

1111

1;

1111

111

11

1

11

1/mi)( 1razóndecrecientegeométricaprogresióncorchetesEntre

……………………..


Rent s



Entonces:

fraccionar sinunadefunciónenafraccionadrentaunatransformaqueoperador elesdecir Es m

m

m

m

m

ji

s j

i s

a jia

inin

inin

)(

)(

m=Cuantía de cada subperiodo

n=términos anualesi=tanto anual


Rentas



Valoración como Renta no fraccionada:

• Unitaria

La renta fraccionada se puede valorar como no fraccionada tomando 1/m como periodode una duración; de cuantía 1/m de n*m términos y valorada al rédito im ,siendo

minm

minm

smV

am

V

m j

ii

nm

mmm

1

1

1)1(

0

/1

Cuantía de cada subperiodo

n*m = nºde términos(subperiodos)im = rédito subperiodo


Rentas



Ejemplo:

Obtener el valor actual y el valor final de una renta unitaria pagadera mensualmentepor doceavas partes, durante 8 años, si se valora a un tanto del 10% anual.


Rentas



• Unitaria perpetua

mmmn

(m)

n

(m)

ji jia

jiaa

inini

11limlim


Rentas



Ejemplo: Considerar en el ejemplo anterior que se trata de una renta perpetua


Rentas



m(m)(m)

m

(m)(m)n

m

(m)(m)

m

(m)(m)

(m)

m

jC C*aV

s jiC C*sV

a jiC C*aV

ja s X s

a X a jiC X

mC

m

i

inin

inin

iinin

inin

0

0

1*

*;1

perpetua

finalValor

actualValor

:Luego

perpetuaen;quey

querecordar ;lacasoesteenpor sSustituimo

No unitaria


Rentas



mm

nm

nm

jC

imC a

mC V

S mC V

amC

V

S m

V

amV mC

m

mi

minm

minm

minm

minm

1

1

1;

1

0

0

0

perpetua

finalValor

actualValor

:Luego

y

unitariarentaenobtenidasecuacioneslasenpor sSustituimo

Si se valora como no fraccionada:


Observar que: Si se valora como renta fraccionada la cuantía es C y si se valora comono fraccionada la cuantía es C/m

Rentas f



Ejemplo:

Una empresa ha firmado un contrato de mantenimiento para los próximos 5 años,comprometiéndose a pagar 25.000 euros al finalizar cada trimestre. Se desea conocerel valor actual, y final, de este contrato si la empresa utiliza un tanto de valoración del15% efectivo anual.


Rentas f d



Constantes y prepagablesUtiliza el operador (1+i) 1/m =1+i m para pasar de pospagable a prepagable. Cuando la

renta era no fraccionada se utilizaba el operador (1+i). Aquí se utiliza (1+i)1/m

lossubintervalos tienen una amplitud de 1/m

afraccionadno comovalorasesi

unitariano

unitaria

minmminm

inin

ininin

ininin

S *mC V a*

mC V

S C*V aC*V

S jii)( S i)( S

a jii)( ai)( a

n

(m)(m)n

(m)(m)

m

/m(m) /m(m)

m

/m(m) /m(m)

0

0

11

11

11

11


Rentas 5 R f i d



Perpetua prepagable

Unitaria

m

mmm

m

/m

m

/m

nm

/m(m)

n

(m)

jiC aC V

(C) j

i)( i j

ii)( a jii)( aa

i

inini

/1)()(

0

111

)1(

*

1111 limlim

constantecuantíaCon


O simplemente utilizar el operador (1+i) 1/m para pasar de pospagable a prepagable

Rentas 5 R f i d



Ejemplo:

Considerar los datos del ejemplo anterior, pero efectuándose los pagos al principiode cada trimestre.


Rentas 5 R f i d



Rentas diferidas y anticipadas:

Utilizar los operadores (1+i) -d y (1+i) h


Por ejemplo: Diferida en d periodos, cuantía variable, en progresión aritmética primertérmino C y razón d , perpetua, pospagable, fraccionada de frecuencia m.

)()1(1

)()1();()1();()1();(/)()(

id

C ji

iid

C ji

id C A ji

id C Aid C Ad m

d

m

d

m

d md miii

quito diferimientofactor (1+i) -d

quito fraccionamientofactor i/jm

Por ejemplo: Anticipada en h periodos, cuantía variable, en progresión geométricaprimer término C y razón q, temporal n años, prepagable, fraccionada de frecuencia m.

qiqiC

jiiiqC S h

nn

m

mh(m)in 1

)1()1()1();(/1

• Quito anticipamiento factor (1+i) h

• Quito fraccionamiento i/j m• Como es renta prepagable utilizo operador (1+i) 1/m

Rentas 5 R t f i d



Rentas variables Aplicar el factor i/j m para pasar de rentas sin fraccionar a fraccionadas.Ejemplos:

General

e)(prepagabl

e)(pospagabl

)(0

)(0

)(0

)(0

nm

mn

m

m

nm

mn

m

m

V ji

V V ji

V

V ji

V V ji

V

P. geométrica

i-qC

jiqC A

qC S iqC S qC AiqC A

qC S jiqC S

qC A jiqC A

i

inin

inin

inin

inin

m

mmm

mmmm

m

m

m

1);(

);()1();();()1();(

);();(

);();(

)(

)(/1)(

)(/1)(

)(

)(

perpetua

(pospagable)

(prepagable)


Factor (1+i) 1/m = 1+i mTransformar prepagables a normalizadas pospagablesse multiplica por el factor

Rentas 5 R t f i d



Ejemplo:Valorar la nómina de una empresa que el primer año tiene un valor de un millón deeuros y crece al 6% acumulativo anual durante 10 años utilizando un tanto de

valoración del12% anual. Sabiendo que la nómina se paga mensualmente concarácter pospagable, obtener los valores actual y final de esta renta.


Rentas 5 Renta fraccionada



Progresión aritmética

);()1();(

);();(

perpetua

);()1();(

);()1();(

);();(

);();(

)(/1)(

)()(

)(/1)(

)(/1)(

)(

)(

lim

lim

ini

ini

inin

inin

inin

inin

d C Aid C A

d C A

j

id C A

d C S id C S

d C Aid C A

d C S ji

d C S

d C A jid C A

m

n

mm

m

nm

m

mmm

mmm

m

m

pospagable

prepagable

pospagable

prepagable


Factor (1+i) 1/m = 1+i mTransformar prepagables a normalizadas pospagablesse multiplica por el factor

Rentas 5 Renta fraccionada



Ejemplo

Valorar el consumo de energía eléctrica en una empresa durante los próximos 10 años,sabiendo que el primer año el importe ha sido de 10.000 € , que irán creciendo a razónde 600 euros cada año y que se valora a un tanto efectivo anual del 12%. Teniendo encuenta que los pagos a la compañía eléctrica se realizan bimestralmente, obtener elvalor actual en el caso de pagos pospagables.


6 Rentas valoradas a más de un tantoRentas



6. Rentas valoradas a más de un tanto

Rentas valoradas a más de un tantoC 1 C 2

… C S

0 1 2 … S S+1 n

C S+1 …. C n

i1 i2

Se valora por separado el tramo de 0 a S y el tramo de S+1 a n y se suman:

21

)1(

...

)1()1()1(

10

21

1

)(211

10

i sn s

i s

n

n

S r

sr sr S

r r

aiaC V C C C C

iCr iiC V :particular Caso

Renta diferida S periodos

Ojo: El diferimiento se valora a i1 no a i2 ,por eso no emplear la siguiente fórmula 2

)1(/ 2 i sni snaiaS s

Rentas 6 Rentas valoradas a más de un tanto



1

2)1( 2 i si sn

S iS C V snn

Renta inmediatade duración n-speriodos.

Renta anticipadan-s periodos a tantoi2 de duración s periodosvalorada al tanto i1

6. Rentas valoradas a más de un tanto

Rentas 6 Rentas valoradas a más de un tanto



6. Rentas valoradas a más de un tantoEjemplo:Una persona ingresa en una cuenta de un banco 1000 € comprometiéndose aincrementar sus aportaciones sucesivas anuales en un 4%. El banco le ofrece unosintereses del 8% durante los 3 primeros años, un 10% durante los 4 siguientes y un 12%a partir de ese momento. Si el cliente realiza 10 aportaciones en total, se pide: obtenerel montante que podrá retirar después de 10 años desde que realizó la primeraaportación.

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