TEORIA DE ERRORESINTRODUCCIONTodas las operaciones que se hacen en topografa, se reducen bsicamente a la medicin de distancias y ngulos. La vista humana, como todos los sentidos, tiene un lmite de percepcin ms all del cual no podemos apreciar ninguna magnitud, lineal o angular. Asimismo, los instrumentos que se utilizan para efectuar las mediciones, tienen las limitaciones de su propia precisin, que, por alta que sea nunca ser tanta que sea perfecta. Es por tanto que cualquier medicin que se efecte no ser ms que una aproximacin a la realidad.As pues, ninguna medicin permite obtener el verdadero valor de la magnitud que se mide, tendremos que el verdadero valor no ser nunca conocido, y por tanto deberamos hablar siempre de estimaciones o aproximaciones a una magnitud, ya que una misma magnitud, medida varias veces, tendr como resultados medidas diferentes.GENERALIDADESLa teora de errores es una ciencia fundamental para todas las materias donde se manejan y analizan grandes volmenes de datos provenientes de observaciones directas o mediciones realizadas en laboratorio o trabajos de campo, tales como los que se desarrollan en topografa, geodesia, fsica, qumica y sobre todo estadstica.Esta ciencia, parte de la estadstica, fue desarrollada por el matemtico alemn Karl Friedrich Gauss a partir de sus estudios algebraicos y complementada luego por el ingls Sir Isaac Newton quien aplica su teora del anlisis matemtico a la estadstica y mas tarde por el francs Pierre Simon Laplace quien con su teora de las probabilidades le da a la estadstica y la teora de errores carcter de ciencia.CAUSA DE LOS ERRORESSon numerosas pero solo nombraremos las mas importantes: Indeterminacin de los extremos de la magnitud a medir ( por ej. el ancho de una calle sin lneas municipales perfectamente determinadas o el ngulo o la distancia determinada por dos seales muy gruesas). Imperfeccin o inadecuacin de los instrumentos utilizados, tanto por fabricacin, malos tratos, falta de mantenimiento, o razones econmicas. Condiciones psicofsicas del operador como ser cansancio, estrs, enfermedades, apuro y por qu no falta de responsabilidad o experiencia. Imprecisin intrnseca de los mtodos de clculo, como cuando se utilizan calculadoras y la cantidad de decimales no son suficientes para las precisiones requeridas.Condiciones atmosfricas adversas que puedan alterar los resultados de las medicionesEQUIVOCACIONESEs una falta involuntaria de la conducta generado por el mal criterio o por confusin en la mente del observador. Las equivocaciones se evitan con la comprobacin, los errores accidentales solo se pueden reducir por medio de un mayor cuidado en las medidas y aumentando el nmero de medidas. Los errores sistemticos se pueden corregir aplicando correcciones a las medidas cuando se conoce el error, o aplicando mtodos sistemticos en el trabajo de campo para comprobarlos y contrarrestarlosCOMPROBACINSiempre se debe comprobar las medidas y los clculos ejecutados, estos descubren errores y equivocaciones y determinan el grado de precisin obtenida.EXACTITUD Y PRECISIONDefinimos exactitud como la aproximacin de los valores obtenidos a la verdadera magnitud que se est midiendo, as ser mayor cuanto mayor se aproximen stos. Y definimos precisin como la aproximacin de los valores obtenidos entre s. En la Figura se muestran tres dianas A, B y C con diferentes resultados de una serie de cuatro disparos de otros tantos tiradores, cuyo objetivo es acercar sus proyectiles lo mximo posible al centro de la diana.

Cuando hablamos de exactitud de una medicin, nos referimos a la proximidad del valor de sta con el valor real medido. En trminos de estadstica, la exactitud est relacionada con el sesgo de una estimacin, as pues cuando menor es el sesgo mayor es la exactitud.CIFRAS SIGNIFICATIVASDicho de otra manera, las cifras significativas son las que ocupan una posicin igual o superior al orden de magnitud del error. Por ejemplo, si la medida de una cierta longitud tiene el valor 1.234,5678 m, con un error de 0,8 m, el error es del orden de las dcimas de metro y por tanto las cifras que contiene la medida a partir de esta son no significativas, siendo slo significativas en este caso las cinco primeras, por lo tanto, ser ms correcto expresar el nmero as: 1.234, 5 m.sin embargo, es ms lgico y aproximado a la verdadera magnitud de la medida hacer un redondeo con el siguiente criterio:Si el dgito final es mayor que 5, el dgito anterior pasa a la cifra superior.Si el dgito final es menor que 5, el dgito anterior pasa a la cifra inferior.Si el dgito final es igual a 5, si es impar se pasar al siguiente par, si es par no variar.Veamos este criterio aplicado a un ejemplo. Supongamos que hemos de redondear los siguientes nmeros: 14,368; 14,363; 14,365 y 14,335. El resultado estar en la siguiente tabla:

ERRORES Entendemos genricamente que error de la medida de una cierta magnitud, es la expresin numrica de la desviacin del valor de una determinada medida con respecto a su valor real, existiendo los conceptos de error absoluto y error relativo.Error Absoluto (Ea) Se denomina error absoluto de una medida a la diferencia entre la verdadera magnitud (Mv) y el valor (M) de dicha medida:Relativo (Er) Se denomina error relativo (er) al cociente entre el error absoluto (ea) y la verdadera magnitud (Mv):

No debemos confundir error con equivocacin, ya que equivocacin es tomar una cosa por lo que no es. Las equivocaciones, tambin llamadas errores groseros, son acciones desacertadas cometidas por el observador como consecuencia de la aplicacin de un criterio errneo, una mala prctica o un descuidoCLASIFICACION DE LOS ERRORES Naturales:Son los que tienen relacin con fenmenos que tienen su origen en agentes atmosfricos, cambios del viento, humedad, presin atmosfrica, refraccin de la luz, etc. Es el ejemplo del error de lectura de una distancia con una cinta mtrica, cuya longitud vara al estar sometida a la accin del viento. Instrumentales:Se deben a imperfecciones y ajustes en los instrumentos de medida, fundamentalmente en sus partes mviles. Humanos: Se deben a las limitaciones de los sentidos humanos o a la imperfeccin de la realizacin de cierta tarea, como pude ser una lectura poco precisa por la colocacin del punto de vista sobre el elemento de medida y el elemento a medir o por la colocacin del instrumento de medida.VALOR MAS PROBABLESe denomina valor ms probable de una magnitud, a la media aritmtica de todos los resultados obtenidos con los mismos instrumentos y mediante los mismos procedimientos:

En dnde, (Mp) es el valor ms probable o media aritmtica, (Mi) el valor de cada medida y (n) el nmero de medidas realizadas.De la forma que hemos definido error, y como la verdadera medida se supone que nunca se conoce, para poder establecer un parmetro con valor conocido y trabajar matemticamente en su estudio, introduciremos el concepto de residuo de una medida.RESIDUO O ERROR APARENTE Este residuo o error aparente, por oposicin al error verdadero que algunas veces es la definicin del error absoluto, se define como la diferencia entre al valor de la propia medida (Mi) y el valor ms probable (Mp) de la magnitud medida:

En el caso en que consideremos el valor ms probable igual que el valor verdadero, el residuo de una medida ser igual que su error absoluto. Si se realizan una serie de medidas (n) de una misma magnitud, se obtendrn (n) errores correspondientes a esas medidas, y en funcin de la aplicacin de la estadstica a esa serie de valores, clasificando sus valores absolutos de menor a mayor, se definen:

Error probable (ep), como el que ocupa la posicin central en la serie establecida (en caso de ser dos, la media de ambos) Error medio aritmtico (ea), es la media aritmtica de los todos los valores. Error medio cuadrtico (ec), es el que determina la siguiente expresin:

TRANSMISION DE ERRRORES Como toda medida contiene un cierto error, cualquier nueva medida calculada a partir de otras medidas realizadas directamente, arrastrar un cierto error causado por los errores cometidos en las inciales. Sea la funcin que representa una suma, producto, etc., F(x1, x2,,xn), con ms de una variable, en la que los errores de cada variable son (ex1, ex2,,exn), el valor de la funcin incrementada por sus errores ser:

Desarrollando en serie se tiene:

Con lo que el error, en el caso ms pesimista, o sea, considerando que el error final es la acumulacin de los errores parciales de todas las medidas y que no se compensan ninguno de ellos, ser:

Siendo por tanto, el error mximo posible (eF):

Para trabajos de topografa, la hiptesis anterior es muy pesimista, y la experiencia aconseja considerar las medidas independientes y los errores aleatorios, por lo que el mximo no tiene por que ser siempre la suma de los mximos de los valores de cada medida, as la expresin [3] se sustituye por la siguiente:

Pero como se cumple que:

El resultado obtenido para la magnitud de (T), es decir el error de una suma es el siguiente:

Siendo de aplicacin tambin para una diferencia.ERRORES MAS COMUNESERROR POR TEMPERATURALos cambios de temperatura producen deformaciones en las longitudes de las cintas usadas en el campo. Por ejemplo la cinta de acero se normaliza generalmente a 20 centgrado es decir que su longitud nominal corresponde a esta temperatura.Si al realizar la medicin la temperatura es mayor de 20 centgrados la cinta se dilata, en caso contrario si la temperatura es menor a 20 centgrados la cinta se contrae lo que incurre en un error por temperatura y se calcula de la siguiente forma:Cx= 0.0000117(T-To) LTo= Es la temperatura de normalizacin de la cintaT= Es la temperatura promedia al realizar la medicinL= Es la longitud nominal de la cinta0.0000117= Es el coeficiente de dilatacin trmica de la cinta de aceroERROR POR LONGITUD EQUIVOCADAAlgunas veces las cintas trae errores en su medida. Llamamos longitud nominal a la longitud ideal o la que dice le fabricante que tiene asi la longitud real ser la comparada por un patrn la conexin, es decir la que en verdad tiene. La correccion por longitud errnea se obtiene mediante la siguiente frmula:CL= L- LL= Es la longitud real de la cinta producida del contraste del patrn.L = Es la longitud nominal de la cinta.CL= Correccin de la longitud.ERROR POR FALTA DE HORIZONTALIDADCuando el terreno es dependiente uniforme, se puede hacer la medicin directamente sobre el terreno con menos error que en el banqueo partiendo de la medicin en pendiente se calcula la distancia horizontal la correccin por falta de horizontalidad es Ch= h/ (2S)h= Es el desnivel entre los puntos externos de la cintas= Es la distancia de la parte inclinada del terrenoERROR POR CATENARIA:Se da por la forma convexa que presenta la cinta suspendida entre dos apoyos debido principalmente al peso de la cinta y a la tensin aplicada al momento de realizar la medicin estos aspectos hacen que se acorte la medida de la distancia horizontal entre las graduaciones de dos puntos de la cinta la correccin es:

W= peso de la cinta en kilogramosp= Es la tensin aplicada al realizar la medicin en kilogramosERROR POR TENSIN:Los fabricantes de cintas definen ciertas caractersticas de operacin para obtener la longitud Nominal de las cintas que fabrican. EJEMPLO: Para las cintas de acero apoyadas en toda su longitud la tensin es de 4.5 kg y suspendidas en los apoyos 5.4 kg si la tensin aplicada es mayor que estos se produce un error por tensin y la conexin por tensin se obtiene de la forma siguiente:

L: longitud nominal.P= tensin aplicada al momento de la extensinPo= tensin de fabricacin de la cinta kgA= rea de la seccin transversal de la cintaE= Mdulos de elasticidad es 2.1*104kg/mm2

AJUSTE DE CURVAEl trabajo realizado en el laboratorio nos permite realizar graficas mediante los papeles milimetrado, semi-logaritmo y logartmica.Para entender estudio de las FUNCIONES relacionadas entre variables y su representacin mediante tablas, grficas y modelos matemticos es de gran utilidad ya que por ella podemos describir, interpretar, y explicar fenmenos diversos de tipo econmico, natural. Por lo cual seremos capaces de reconocer las diferentes graficas atraves de su ecuacin de determinada funcin, asi tambin determinaremos las diferencias entre los tipos de papeles (milimetrado,semi-logaritmico,logartmico) y la precisin con repecto a cada funcion(LINEAL, POTENCIAL Y EXPONENCIAL).AJUSTES DE CURVALos datos que se obtienen mediante mediciones fluctan debido a errores aleatorios del sistema de medicin.El ajuste de curvas es un proceso mediante el cual, dado un conjunto de N pares de puntos {xi, yi} (siendo x la variable independiente y la dependiente), se determina una funcin matemtica f(x) de tal manera que la suma de los entre la imagen real y la correspondiente obtenida mediante la funcin ajustada en cada punto sea la mnima posible. AJUSTE DE CURVA FUNCION LINEALConocido tambin como rectas de regresin en (mnimos cuadrados) Sea {(xk, yk)} Nk =1 un conjunto de N puntos cuyas abcisas {xk} son todas distintas. La recta de regresin o recta ptima en el sentido de los (mnimos cuadrados) es la recta de ecuacin y = f (x) = Ax + B que minimiza el error cuadrtico medio E2(f ).

Teorema: Recta de Regresin en Mnimos CuadradosAJUSTESean {(xk , yk )}Nk=1 N puntos cuyas abcisas {xk}Nk=1 son distintas. Entonces, los coeficientes de la recta de regresin y = Ax + B son la solucin del siguiente sistema lineal, conocido como lasecuaciones normales de Gauss:

AJUSTE DE CURVA FUNCION NO LINEAL

JUSTE DE CURVA FUNCION POTENCIALEl Ajuste Potencial y = AxM Algunas situaciones se modelan mediante una funcin del tipo f (x) = AxM, donde (M) es una constante conocida. En estos casos solo hay que determinar un parmetro. Teorema: Ajuste potencialSupongamos que tenemos N puntos {(xk, yk)}Nk=1 cuyas abcisas son distintas. Entonces, el coeficiente A de la curva potencial ptima en mnimos cuadrados y = AxM viene dado por:

AJUSTE DE CURVA FUNCION EXPONENCIAL El Ajuste Exponencial y = CeAx Se desea ajustar una curva exponencial de la forma y = CeAx a un conjunto de puntos {(xk , yk )}Nk =1 dado de antemano

PREGUNTAS A RESPONDER