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Tesis para obtener el grado de Magister en ciencia Mención Física Milton Rojas
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UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE
FACULTAD DE CIENCIA
DEPARTAMENTO DE FÍSICA
PROCESOS RADIATIVOS EN REGIONES HII
MILTON ROJAS GAMARRA
SANTIAGO – CHILE
2001
PROCESOS RADIATIVOS EN REGIONES
HII
MILTON ROJAS GAMARRA
Trabajo de graduación presentado a la
Facultad de Ciencia de la Universidad de Santiago de Chile,
en cumplimiento parcial de los requisitos exigidos para optar el grado de:
Magister en Ciencia
con mención en Física.
UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE
SANTIAGO – CHILE
2001
ii
PROCESOS RADIATIVOS EN REGIONES HII
MILTON ROJAS GAMARRA
Este trabajo de graduación fue elaborado bajo la supervisión de los profesores guía:
PhD. ALEJANDRO CLOCCHIATTI* y Dr. NORMAN CRUZ MARIN**.
y a sido aprobado por los miembros de la comisión calificadora, del candidato.
*PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE.
**UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE.
-----------------------------------
Comisión Calificadora
PhD. Dante Minitri Del Barco.
-----------------------------------
Comisión Calificadora
Dr. Lautaro Vergara Cofre
Universidad de Santiago de Chile
-------------------------------------
Profesor Guía
PhD. Alejandro Clocchiatti Garcia.
-----------------------------------
Profesor Guía
Dr. Norman Cruz Marin.
Departamento de Física
Universidad de Santiago de Chile
---------------------------------------------
Director del Departamento de Física
PhD. Francisco Melo Hurtado.
Universidad de Santiago de Chile
---------------------------------------------
Gefe del Programa de Post-Grado
del Departamento de Física
PhD. Jorge Gamboa Rios.
Universidad de Santiago de Chile
iii
AGRADECIMIENTOS
- A Mis Padres:
Vidal Rojas Cusihuaman y Luz Marina Gamarra Valenza.
- A mis hermanos Carlos, Henry y Gabriela.
- A mi familia.
- A mi profesor Emilio Huaman Huillaca.
- A mi profesor Alejandro Clocchiatti.
- A la familia Ayala Chacmani.
- A la familia Osorio Valenzuela.
- A mis waikis.
- A la memoria de mi amigo Wualberto O.
1
CONTENIDO
CARÁTULA ------------------------------------------------------------------------
AGRADECIMINENTOS ---------------------------------------------------------
LISTA DE FIGURAS Y TABLAS ----------------------------------------------
RESUMEN --------------------------------------------------------------------------
I- INTRODUCCION ----------------------------------------------------------
II- PROCESOS FÍSICOS BÁSICOS ---------------------------------------
§ II.1- Fundamentos de transferencia radiativa.----------------------------
§ II.1.1.-Flujo, Intensidad, Presión, Densidad de energía, y
Brillo de la radiación de campo electromagnético.--------
§ II.1.2.- Emisión espontánea y Absorción. ------------------------
§ II.1.3.- Ecuación de transferencia de energía de radiación
de campo electromagnético para emisión
espontanea y absorción, y su solución. ----------------
§ II.1.4.- Radiación térmica, leyes de Kirchhoff. ------------------
§ II.2- Equilibrio de fotoionización. ----------------------------------------
§ II.2.1- Introducción. ---------------------------------------------
§ II.2.2- Números cuánticos y diagrama de los niveles en el
átomo de H.-------------------------------------------------
§ II.2.3- Fotoionización y recombinación en el H. --------------
§ II.2.4- Equilibrio térmico en nebulosas. -------------------------
§ II.3- Ecuación de Saha y Boltzmann. -----------------------------------
§ II.4- Espectro emitido por nebulosas gaseosas -----------------------
III- POBLACIÓN DE NIVELES ATÓMICOS. ----------------------------
§ III.1-Cálculo de los coeficientes de recombinación. -----------------
§ III.2-Cálculo de las probabilidades de transición. -------------------
§ III.3-Cálculo de las matrices cascada. ---------------------------------
§ III.4-Cálculo de las poblaciones en equilibrio termodinámico.
(vía ecuación de Saha-Boltzmann) ------------------------------
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§ III.5-Cálculo de las poblaciones fuera de equilibrio termodinámico
(vía Saha-Boltzmann con ayuda de los coeficientes de
apartamiento y vía matrices cascada) --------------------
IV- RESULTADOS TEORICOS. --------------------------------------
§ IV-Cálculo de los coeficientes de emisión. --------------------
V- COMPARACIÓN CON LOS RESULTADOS
EXPERIMENTALES -----------------------------------------------
V- CONCLUSIONES ---------------------------------------------------
VI- APÉNDICE -----------------------------------------------------------
VIII- BIBLIOGRAFÍA. ---------------------------------------------------
139
144
144
149
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172
202
3
LISTA DE FIGURAS Y TABLAS
LISTA DE FIGURAS
1. Fig. 1.1 Galaxia Andrómeda. --------------------------------------------------------
2. Fig. 1.2 Galaxia espiral M 100. ------------------------------------------------------
3. Fig. 1.3 Galaxia irregular NGC 56. -------------------------------------------------
4. Fig. 1.4 Nebulosa NGC 6611. -------------------------------------------------------
5. Fig. 1.5 Nebulosa de Orión M42. ----------------------------------------------------
6. Fig. 1.6 Nebulosa Trífida M 20. -----------------------------------------------------
7. Fig. 1.7 Nebulosa de la Cabeza de Caballo. --------------------------------------- 8. Fig. 1.8 Nebulosa con gigantes brazos de gas. ------------------------------------- 9. Fig. 1.9 Nebulosa planetaria Dumdell (NGC 6853 o M 27). --------------------
10. Fig. 1.10 Nebulosa planetaria NGC 6720 (M57). -----------------------------------
11. Fig. 1.11 Etapas de la expansión de la SN 1993J. -----------------------------------
12. Fig. 1.12 Nebulosa del Cangrejo. ------------------------------------------------------
13. Fig. 1.13 Nebulosa Cygnus Loop. ------------------------------------------------------
14. Fig. 2.1.1.1 Ley del inverso del cuadrado para el flujo radiativo.-----------------------
15. Fig. 2.1.1.2 Brillo de un rayo de luz.--------------------------------------------------------
16. Fig. 2.1.1.3 Brillo de la fuente. --------------------------------------------------------------
17. Fig. 2.1.1.4 Proyección del Flujo en la dirección normal al área. ----------------------------
18. Fig. 2.1.1.5 Flujo Neto a través de una sección. ------------------------------------------
19. Fig. 2.1.1.6 Presión de radiación. ----------------------------------------------------------
20. Fig. 2.1.1.7 Densidad de energía radiativa específica -------------------------------------
21. Fig. 2.1.1.8 Cantidad de movimiento transferido por un fotón -------------------------
22. Fig. 2.1.1.9 Radiación uniforme de una esfera sobre un punto P -----------------------
23. Fig. 2.1.2.1 Emisión Absorción y scatering ----------------------------------------------
24. Fig. 2.1.2.2 Modelo microscópico para entender la absorción -------------------------
25. Fig. 2.1.2.3 Camino óptico. ------------------------------------------------------------------
26. Fig. 2.1.3.1 Absorción de un rayo de luz. -------------------------------------------------
27. Fig. 2.1.4.1 Emisividad de cuerpo negro vs. Frecuencia y longitud de onda. ---------
28. Fig. 2.2.3.1 Diagrama de los niveles de energía de HI. ----------------------------------
29. Fig. 3.1.1 Gráficos para los coeficientes de recombinación vs. n y L . --------------
30. Fig. 3.1.2 Gráficos donde se muestra el coeficiente de recombinación en
función del número cuántico principal, para una temperatura y
un número cuántico orbital dados.---------------------------------------------
30. Fig. 3.1.3 Gráficos donde se muestra el coeficiente de recombinación en
función del número cuántico orbital, para una temperatura y
un número cuántico principal dados.-------------------------------------------
30. Fig. 3.2.1 Coeficientes de Einstein vs. el número cuántico principal. ----------------
31. Fig. 3.3.1 matrices cascada para transiciones espontáneas, caso A. -------------------
32. Fig. 3.3.2 matrices cascada para transiciones espontáneas, caso B -------------------
33. Fig. 3.3.3 matrices cascada para transiciones espontáneas y colisionales,
Pág.
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94
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4
caso A -------------------------------------------------------------------------------------------
34. Fig. 3.3.4 matrices cascada para transiciones espontáneas y colisionales,
caso B --------------------------------------------------------------------------------------------
35. Fig. 3.4.1 Poblaciones para diferentes niveles nL vs. la Temperatura ---------------
36. Fig. 5.1 Espectro de la SN1944Y Tipo IIn 2 A
ergF
cm s
vs. A . ------------
37. Fig. 5.2 Gráficos que muestran la elección del número de puntos de las
líneas espectrales que se tomarán para ser integradas y del número de
puntos que se tomaran para hallar las rectas por el MMC, las cuales serán las
bases que restarán a las líneas espectrales. Se tienen las casos
3 , 4 , 5 , 6, 7 8n H H H y . ------------------------------------------------
38. Fig. 5.3 Gráficos de comparación de los resultados teóricos con los
observados en la SN 1944Y Tipo IIn (líneas relativas a H ) -------------------------
LISTA DE TABLAS Pág.
1. Tabla 3.1.1 2/ n y para el coeficiente de recombinación ----------------------------
2. Tabla 3.1.2 Coeficientes de recombinación para T=5000ºK, 10000ºK y
20000ºK -------------------------------------------------------------------------------------------- 3. Tabla 3.2.1 Probabilidades de transición espontánea por segundo (coeficientes
de Einstein) Hasta _ 20_19n L . ,nL n LA en 1s ----------------------------------------
4. Tabla 3.2.2 Probabilidades de transición espontánea, para algunos valores
de n L . ,nL n LP (adimensional) ----------------------------------------------------------------
5. Tabla 3.2.3 fuerza del oscilador para la absorción ------------------------------------------
6. Tabla 3.2.4 fuerza del oscilador para la emisión --------------------------------------------
7. Tabla 3.2.5 Probabilidad de poblar el nivel nL debido a colisión con
electrones.-----------------------------------------------------------------------------------------
8. Tabla 3.2.6 Probabilidad de despoblar el nivel nL debido a colisión con
electrones.------------------------------------------------------------------------------------------
9. Tabla 3.2.7 Probabilidad de poblar el nivel nL tomando en cuenta
transiciones espontáneas y colisionales, para los casos A y B. -------------------------
10. Tabla 3.3.1 matrices cascada para transiciones espontáneas, caso A----------------------
11. Tabla 3.3.2 matrices cascada para transiciones espontáneas, caso B -----------------------
12. Tabla 3.3.3 matrices cascada para transiciones espontáneas y colisionales,
caso A ------------------------------------------------------------------------------------------------
13. Tabla 3.3.4 matrices cascada para transiciones espontáneas y colisionales,
caso B ------------------------------------------------------------------------------------------------
14. Tabla 3.4.1 poblaciones del hidrógeno en LTE en los diferentes niveles nL -----------
15. Tabla 3.5.1 poblaciones del hidrógeno en No-LTE en los diferentes niveles
nL para el caso de transición espontánea para densidades electrónicas de
1, 10, y 100 3/electrones cm y temperaturas de 1250, 2500, 5000, 10000,
126
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120
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121
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125
125
137
5
15000, 20000, 40000, y 80000ºK.----------------------------------------------------------------
16. Tablas 3.5.2 poblaciones del hidrógeno en No-LTE en los diferentes niveles
nL para el caso de transición espontánea y colisional con electrones para
densidades electrónicas de 1, 10, y 100 3/electrones cm y temperaturas de
1250, 2500, 5000, 10000,15000, 20000, 40000, y 80000ºK.-------------------------------
17. Tablas 3.5.3 tablas de f (T) y g(T) ------------------------------------------------------------
18. Tablas 4.1.1 tablas de los coeficientes de emisión 2nn
ergj
cm s cm
para un gas en LTE ------------------------------------------------------------------------------
19. Tablas 4.1.2 tablas de los coeficientes de emisión2nn
ergj
cm s cm
para un gas en Non-LTE ------------------------------------------------------------------------
20. Tabla 5.1 (longitud de onda en Ångström, -2.5log10 flujo específico)
Filippenko, A.V. 1997, ARAA, 35, 309 Creadas y mantenidas por Douglas
Leonard. Enviadas y autorizadas para su uso por: Alex Filippenko
103440 2
Å , 2.5log F
------------------------------------------------------------------------
21. Tabla 5.2 Resultados de las integrales 2Å
Å
ergF d
cm s
para las líneas 2n n n con 3 , 4 , 5 , 6, 7 8n H H H y -------------
22. Tabla 5.3 Tablas de comparación de los resultados teóricos con los observados
en la SN 1944Y Tipo IIn (líneas relativas a H ) ------------------------------------------
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6
RESUMEN
En el presente trabajo se ha encontrado teóricamente el espectro de
emisión de líneas de una nebulosa formada por gas de Hidrógeno de baja
(caso A) y relativamente mayor densidad (caso B), y ópticamente delgada;
para éste cálculo se incluyó capturas de electrones desde el continuo,
transiciones espontáneas hacia abajo y transiciones hacia arriba y abajo debido
a colisiones con electrones. Estas dependen de las densidades electrónica y la
temperatura local de la SN.
Estos valores fueron comparados con el espectro de la Supernova (SN):
SN 1994Y (Tipo IIn) del 9 de enero de 1994, y de éstas, se
pudieron indicar algunas las propiedades físicas de dicha SN, como son la
temperatura y la densidad electrónica.
Las tablas que resultaron son muy extensas y se incluyen en un CD,
solo las más importantes se incluyen en el texto, también gráficos, y
programas ejecutables en MATLAB; programa en donde se hicieron los
cálculos de la memoria.
Este cálculo generaliza las tablas encontradas en algunas literaturas, por
ej. “Astrophysics of Gaseous Nebulae and Active Galactic Nuclei” de D.E.
Osterbrock texto que es muy citado para el estudio de estos temas y donde se
encuentran los coeficientes de emisión para estas mismas líneas pero sólo
incluyendo los efectos de captura desde el continuo y transiciones
espontáneas. Existen también trabajos con estas generalizaciones pero que no
han sido aplicadas a la SN estudiada en esta memoria.
Para alcanzar este objetivo se usaron algunas tablas ya halladas, de las
cuales algunas de ellas se completaron, por tanto se volvieron a calcular;
también se hicieron programas para hallar algunas tablas que no se
encontraron, por ej. los coeficientes de recombinación, los coeficientes de
Einstein para transiciones espontáneas, ambos hasta un nivel con número
cuántico principal igual a 20 y un orbital igual a 19, etc.
La técnica que se usa aquí puede usarse para calcular las poblaciones en
niveles excitados de nubes de gas en la propia tierra, y si se incluyen efectos
de transferencia, también el espectro local emergente.
Si se quieren hallar los coeficientes de emisión para otras temperaturas
y densidades electrónicas, se pueden usar los programas que se incluyen en el
CD.
7
§ I.- INTRODUCCIÓN
En el éste trabajo se presenta un estudio teórico de los procesos físicos
en regiones HII que tienen que ver con la radiación. Una región H es una
región del espacio interestelar, donde existe un gas de partículas en el cual
predomina el Hidrógeno; si éste gas tiene a sus componentes en el estado
neutro 0H entonces a la región que ocupa éste gas se llama región HI y si el
Hidrogeno se encuentra ionizado H se llama región HII, la cual que es
objeto de nuestro estudio.
Una región HII es muy importante por que de ella se puede sacar mucha
información directa sobre la evolución estelar, se puede observar también un
interesante equilibrio energético (energía que gana la nebulosa por radiación
principalmente de fotones UV provenientes de estrellas cercanas y perdida por
trituración de rayos por el fenómeno de cascada), además por que estas
regiones tienen una baja densidad de materia, habiéndose encontrado por ej.
regiones con 10 , así como también con 5310
partículascm
, que permiten el
desarrollo de procesos radiativos que son muy improbables en condiciones
normales. Recordemos que la atmósfera tiene una densidad promedio de 19
32.5 10partículas
cm , es decir 1g de gas ocupa un espacio de 31m , mientras
que 1g en una de estas regiones ocupa un volumen de 31Km . En el laboratorio
se obtiene densidades de hasta 16310
partículascm
, y hasta en las mismas
atmósferas estelares se tienen densidades de 12310
partículascm
. La
aerodinámica de las ondas de choque o frentes de onda de la explosión con
velocidades supersónicas son cruciales para la estructura de las regiones HII.
Las Regiones HII, llamadas también nebulosas difusas, las podemos
encontrar en muchas partes en el Universo. Así por ej. se encuentran
fuertemente concentradas en brazos de galaxias espirales; son los mejores
objetos para trazar la estructura de los brazos espirales en galaxias distantes.
Además, las velocidades radiales de estas regiones dan información de la
cinemática de objetos de poblaciones tipo I (objetos ricos en metales, por ej.
estrellas cuya composición típica es la siguiente: 70% de hidrógeno, 28% de
helio y 2% de metales, incluyendo carbono, nitrógeno, oxígeno, neón, etc.), en
nuestra y en otras galaxias, así por ej. en la galaxia Andrómeda (fig.1.1), la
galaxia M 100 (fig.1.2),
8
en el que se encuentra gas entre e 3 y 10% de su masa total. Así también se
encuentran en las galaxias irregulares como es el caso de NGC56 fig.1.3.
También podemos encontrar regiones HII, en cúmulos de estrellas, así
tenemos el caso de la nebulosa difusa NGC 6611, fig.1.4, en el cual se
observan estrellas del tipo O excitando al gas, para así formar las regiones HII;
Fig.1.1 M31 Galaxia Andrómeda, en el cual se encuentran regiones HII.
Fotografía del telescopio Hubble
Fig. 1.2 Galaxia M100
Fig. 1.3 NGC 56. Galaxia irregular.
El gas de galaxias irregulares, alcanza
hasta un 30% de su masa total, , en cambio
en las elípticas y espirales, 3 a 10% de su
masa es gas. Un buen porcentaje de este
gas, constituyen una región HII
9
éstas nebulosas difusas tienen densidades típicas entre 10 y 4310
partículascm
,
sus partículas tienen velocidades del orden de 10 Kms
, además temperaturas
del orden 5000 o 20000 K [11] pág. 4 y masas de 210 a 410 sM [11] pág. 7.
También son ej. de nebulosas difusas, la gran nebulosa de Orión (M42) fig.1.5
y la nebulosa M20 fig.1.6. Al lado o en el interior de éstas nebulosas que
Fig. 1.4 NGC 6611 (M16). Se ven estrellas del tipo O que están
ionizando el gas circundante, resultando así una región HII.
El ancho aproximado es de 20 pc
El ancho aproximado es de 20 pc
resultando así una región HII.
Fig.1.5 Nebulosa de Orion (M42).
Se ven regiones que emiten (nebulosas de
emisión) y regiones oscuras (nebulosas de
absorción)
Fig.1.6 Nebulosa Trífida (M20)
(Observatorio de Hale)
10
emiten en el espectro visible, por eso también llamadas nebulosas de emisión,
casi siempre se encuentran regiones oscuras (nebulosas de absorción u
opacas). Así tenemos por ej. a M42 (que se parece a un águila) y la Nebulosa
de la Cabeza de Caballo (en la constelación de Orión) fig.1.7 y las mangas
gigantescas tomados por el telescopio Hubble fig.1.8
Fig. 1.7 Cabeza de Caballo. Complejo nebular que rodea a la estrella
Orionis, en la constelación de Orión, también se ve a las nebulosas IC 434 y
NGC 2024, se ven varias zonas absorbentes (nebulosas absorbentes)
Fig. 1.8
Gigantescas
mangas nebulares.
Fotografía tomada
por el Hublle en
largas exposiciones
de tiempo
11
También podemos encontrar regiones HII, rodeando a una estrella o varias
estrellas (estrellas múltiples, de 2 ó 3 componentes), éstas son el resultado de
la explosión de otra estrella que dio lugar a la que queda en el centro. Así, por
ej. una estrella que tenga una masa equivalente a la del Sol, al colapsar,
gracias a que la fuente de combustión del Hidrógeno ha terminado, producirá
por implosión una enana blanca y gracias a la explosión, el material
expulsado, dará lugar a una nebulosa planetaria. Así tenemos por ej. a la
nebulosa NGC 7293 (fig.1.2 [11] pag.8), M27 fig.1.9 y a M57 fig.1.10.
Éstas contienen entre 0.1 sM a 1.0 sM , [11] pág. 9 y densidades de 210 a
4310
partículascm
, [11] pág. 9 y las estrellas que quedan en el centro tienen
temperaturas aproximadas entre 42 10 K y 45 10 K [11] pág. 7; la expansión
radial característica de éstas nebulosas es aproximadamente de 25Kms
[11] pág.
7, y debido a que éstas partículas están siendo frenadas por el gas del entorno,
estas decrecen en un tiempo aproximado de 410 años , breve para tiempos
cósmicos. Ahora si las reacciones nucleares se producen después de la
combustión del Helio, Carbono, u otros elementos más pesados, hasta Fe 56
(ocurre en estrellas de masas mayores a 8 sM aproximadamente), se tendrá
también una explosión, pero más poderosa, llamada explosión de Supernova
(SN), dando lugar gracias a la implosión, a estrellas de Neutrones, Pulsar o a
Agujeros Negros y por la explosión, a nebulosas que también contienen
regiones HII, cuyas características físicas encontradas hasta hoy son
aproximadamente las siguientes: por ej. si se tiene una nebulosa rodeando a
una estrella cuya temperatura es de 40000 K , se ve que la densidad a una
Fig.1.9 Nebulosa Planetaria Dumbell, NGC
6853 (M27), en la constelación de Vulpecua
Fig.1.10 Nebulosa Planetaria NGC 6720
(M57) , en la contelación de Lira
12
distancia de 5pc de la estrella, será de 310partículas
cm (se encontraron hasta
4310
partículascm
), tendrá una temperatura entre 8000 K y 12000 K , y la
velocidad de expansión de ésta nebulosa será del orden de 10 Kms
; éstas ya
son nebulosas que se han frenado por el entorno cósmico; obviamente el
momento de la explosión y hasta un tiempo aproximado de 200 días, las
velocidades y las temperaturas de la nebulosa son inmensas, llegando a tener
velocidades gigantescas (un ej. de expansión de SN tenemos en la fig.1.11),
luego llegan a ser nebulosas difusas y tienen por tanto las características
encontradas hasta hoy de 10 y 4310
partículascm
, velocidades del orden de
10 Kms
, temperaturas del orden 5000 o 20000 K [11] pag 4 y masas de 210 a 410 sM
[11] pag 7. Representantes típicos de nebulosas causadas por explosión de SN
Fig. 1.11. Etapas de la expansión de la
SN1993J
13
son: La nebulosa del Cangrejo (Crab Nebula, NGC 1952) fig.1.12 y Cygnus
Loop (NGC 6960-6992-6995) fig.1.13. La nebulosa del Cangrejo es el ej. más
claro de un resto de SN. Globalmente ésta nebulosa se expande con una
velocidad correspondiente a un segundo de arco por año aproximadamente.
Extrapolando en el tiempo dicha cifra se deduce que, exceptuando tal vez los
primeros años, la velocidad de expansión ha tenido que ser bastante constante.
Por otro lado, la expansión continua provoca una dilución progresiva de la
materia de la nebulosa; de su bastante bien determinada densidad se deduce
que dentro de unos 410 años el resto de ésta SN habrá alcanzado básicamente la
densidad del gas que lo rodea. Lo que intrigó de esta SN es la naturaleza no
térmica de su espectro que fue identificada como radiación de sincrotrón, es
decir, la emisión de luz por electrones relativistas en campos magnéticos, éste
mecanismo es el que proporciona los fotones observados, desde el espectro de
radio hasta el intervalo del visible e incluso más allá de los rayos X. La fuente
de esta vida tan prolongada de la nebulosa y su elevada luminosidad total,
todavía hoy 510 veces más luminosa que el Sol, no puede ser la explosión de la
observada en 1054 (se sabe la fecha de explosión gracias a catálogos chinos).
Durante mucho tiempo dicha fuente constituyó un misterio, pero hoy en día se
conoce que es el pulsar existente en la nebulosa la que proporciona toda esa
radiación, que ioniza y hace presión en la nebulosa. Ésta nebulosa aunque es
una de las más visibles y el ej. más claro de restos se SN, no es la más común
de todas las observadas.
Fig. 1.12 Nebulosa del Cangrejo. se puede observar
su gran estructura filamentosa y con una flecha se
indica la localización de un pulsar
Fig 1.13 Cygnus Loop.
Fotografía del Hubble.
Se ven estructuras
filamentosas Al igual la
nebulosa del
Cangrejo, son
los ejemplos
más claros de
restos de SN
14
Como vemos, las regiones HII aparecen en muy variados escenarios. En
el presente trabajo se estudia teóricamente una versión simplificada de los
procesos radiativos que ocurren en éstas regiones, ya que obviamente la
radiación es la única magnitud física a la cual se puede tener acceso. Luego se
calculan teóricamente los espectros de la radiación emitida por una región HII,
después se explica como usar éstos resultados para encontrar parámetros
físicos de éstas regiones, y luego se aplica a una nebulosa en particular, que es
resultado de la explosión de SN.
Una de las explosiones más colosales que ocurren en el Universo son
las llamadas explosiones de SN, el estudio de éstas, es muy importante de
entre muchas cosas, para la cosmología. Nosotros calculamos los coeficientes
de emisión de las nubes resultantes de la explosión de SN ya en su estado
tardío, es decir cuando el espectro de la nube se produce en zonas que no se
expanden con muy altas velocidades y tomando la hipótesis que son
ópticamente delgadas y relativamente no muy densas.
Los átomos en presencia de campos electromagnéticos, se ionizan, en
las nubes que consideramos los fotones que ionizan son esencialmente UV;
los electrones que salen del átomo, vuelven a recombinarse en átomos
vecinos, a cualquier nivel de energía, si éste nivel es el nivel base, el electrón
tratará de llegar a él; para esto, puede o no pasar por otros niveles, y en cada
salto emite fotones, fenómeno que se denomina cascada; éstos fotones tienen
menor energía de los fotones que ionizaron al principio el átomo, por tanto ya
no podrán ionizar átomos que se encuentran alrededor, a lo mucho los excitan,
y así la radiación estará viajando hasta salir de la nebulosa y llegar a nosotros;
al fenómeno de transformación de fotones UV en fotones de menos energía, se
llama fenómeno de trituración de rayos, y al hecho de que la energía
emergente de la nube sea la misma que entro se llama equilibrio térmico o
energético, en donde la ganancia de energía térmica en el gas de electrones
átomos e iones debido a la fotoionización es equilibrada por la pérdida debido
a recombinación, en donde por cada electrón recombinado se pierde una
energía igual a 212
m , que se transforma en fotones con menor energía que la
de los fotones que ionizaron gracias al fenómeno de cascada; por excitación
colisional, donde los fotones que resultan de la excitación, a la larga llegan a
escapar de la nebulosa; y por radiación libre-libre (a la diferencia de la
energía ganada por fotoionización y la perdida por recombinación se le
denomina calentamiento efectivo), éste tema desarrollamos en la sección
§II.2.4. Por otro lado, otro proceso físico que ocurre en ésta nebulosa es el de
equilibrio de fotoionización, en donde consideramos que le número de
15
fotoionizaciones que causa la radiación incidente es el mismo que el de
recombinaciones; esto se detalla en la sección § II.2.
El modelo matemático que se usó para resolver éste problema, lo da la
ecuación de equilibrio estadístico, que indica que el número de electrones que
llegan a un nivel excitado en átomos de la misma especie, es el mismo que los
que salen. Así en un gas de Hidrógeno, si se tienen por ej. 310 electrones
llegando al quinto nivel excitado en 310 átomos de Hidrógeno; se tendrán
también luego de un cierto tiempo, 310 electrones saliendo del quinto nivel en
los mismos 310 átomos. Un electrón, puede llegar al nivel por recombinación,
cascada o por colisión con protones o electrones o fotones, y puede salir de
dicho nivel gracias al efecto de cascada, o por colisión con protones o
electrones, o por el mismo campo electromagnético circundante, es decir
gracias a colisión con fotones, todas estas causas, hacen que el electrón salte
hacia arriba o hacia abajo, salvo en el caso de cascada, que solo se realiza
hacia abajo. En el límite de bajas densidades, los únicos casos a considerar son
los de recombinaciones (capturas) y las transiciones radiativas hacia abajo,
debido al efecto de cascada. Todo esto detallaremos en la sección § II.4.
Éste cálculo se hace en forma teórica para luego compararla con los
resultados experimentales, específicamente con el espectro de la SN 1994Y
(Tipo IIn) del 9 de enero de 1994, pudiendo descifrar así
algunas propiedades físicas de dicha SN, a saber, su temperatura y su densidad
electrónica. Para calcular los coeficientes de emisión, incluimos varios
efectos, como son la radiación debido a capturas desde el continuo, la
radiación debido a transiciones espontáneas y a causa de colisiones con
electrones. La forma de incluir estos efectos y calcular los espectros se
encuentra en la sección § II.4, y en el capítulo III se indica paso a paso las
especificaciones de estos cálculos y se dan algunos resultados en tablas y en
gráficos.
Así, primero se calculan los coeficientes de recombinación, al mismo
tiempo que las probabilidades de transición espontánea (coeficientes de
Einstein), y las probabilidades de transición colisionales y para éste ultimo se
debe calcular primero los coeficientes colisionales. Para encontrar los
coeficientes de recombinación programe la ecuación III.1.1 y para esto
primero tuve que completar las tablas de la RAS (provistas por el sistema de
datos astrofísicos de la NASA) para 1 ,0 1l nl y 1 , 1l nl l ,
encontradas en la publicación de Burgess (1959) [5], programando las
formulas (III.1.3) y (III.1.4); teniendo así valores con números cuánticos
16
principal y orbital hasta 20 y 19 respectivamente. Para calcular las
probabilidades de transición espontánea, programo la ecuación (III.2.1), la
cual depende de los elementos de la matriz de momento dipolar que la
obtengo de la tabla proporcionada en la publicación de Chandler, Louis &
Patricia (1957). Para hallar las probabilidades de excitación y desexcitación
debido a colisiones con electrones, programo las ecuaciones (III.2.3) y
(III.2.7) respectivamente, y para esto uso el programa para hallar el coeficiente
de excitación dada por la fórmula (III.2.4), expresión que encontré en la
memoria de Deane Millar Peterson.(1969) [7], citada en la memoria de
Douglas Alexander Swartz, B. S.(1989) [9].
Luego se calculan las probabilidades verdaderas de transición
incluyendo todos estos efectos, como se indica en la sección § III.2, para lo
cual programé la ecuación semigeralizada de (II.4.8), que es parte de la
ecuación (II.4.17) (hasta el segundo sumando en el numerador y
denominador), como se indica en la sección § IV.1. Luego se calculan las
poblaciones en los diferentes niveles nL , es decir la densidad numérica de
átomos que tienen su electrón poblando el nivel electrónico con número
cuántico principal n y orbital L , dado en 3ú án mero de tomos
cm, dado por la
solución de la ecuación (II.4.16); esto se puede realizar de dos formas,
primero usando los coeficientes de apartamiento de la población, dada por la
ecuación de Saha-Boltzmann en equilibrio termodinámico, ecuación (II.4.6), o
usando el método de cascada, el cual se define como la multiplicación de las
probabilidades de transición vía todas las rutas posibles, para lo cual programe
hasta el segundo sumando de la parte derecha de la ecuación generalizada
(II.4.19). Luego recién extrapolando hasta el infinito o usando una buena
cantidad de niveles electrónicos, podemos calcular los coeficientes de
emisión, por tanto el espectro emergente, para lo cual programe la ecuación
(II.4.12), que puede solucionarse para 2 casos, en equilibrio termodinámico
(LTE), y fuera del equilibrio termodinámico (Non-LTE), dependiendo
únicamente de que valor se use para la abundancia. Así, para calcular el caso
de LTE puse la solución de (II.4.4) en (II.4.12), y para el caso de Non-LTE
puse la solución de (II.4.16) (hasta el segundo sumando) en (II.4.12). El
cálculo de las abundancias vía Saha-Boltzmann se incluyen en la sección § I.4,
y vía cascada en la sección § III.5; y el de los coeficientes de emisión en el
capítulo IV.
Las comparaciones de los resultados para los coeficientes de emisión se
dan en el capítulo V, para ello hice varios programas para las conversiones,
17
gráficos y comparaciones; y en el VI las conclusiones. En el apéndice se
explica lo que contiene el CD y se incluyen algunos programas.
Conocidos los coeficientes de emisión, la temperatura y la densidad
electrónica de la nebulosa, puede calcularse el espectro de emisión incluso si
la nube no es ópticamente delgada, haciendo uso del formalismo de
transferencia radiativa, parte de la cual se detalla en el capítulo II y en donde
se incluyen los conceptos básicos sobre radiación que puede ser omitido por
un lector que sepa lo básico sobre ella.
Los programas incluidos en el CD servirán para encontrar nuevas
abundancias y coeficientes de emisión para los casos de relativamente altas
(caso B) y bajas (caso A) densidades dependiendo de la densidad electrónica y
temperatura deseada. Las tablas que se dan son para 8 temperaturas y 4
densidades electrónicas. Además usted puede usar los programas para
encontrar temperaturas y densidades electrónicas de otras nebulosas, si éstos
resultados son ilógicos por ej. que se tengan temperaturas y densidades
mayores a la de la estrella central, entonces la nebulosa a la cual se aplicaron
los programas, no reúne las características que se citaron para encontrar
nuestro programa, es decir, no será ópticamente delgada, se tiene mucha
radiación de otros elementos que no sean el Hidrógeno, la nube esta en la
etapa recién de formación, luego de haber explosionado la estrella y/o no se
cumple en ellas el equilibrio de fotoionización, puede ser debido a la
existencia de otras fuentes más poderosas que no deja que exista
recombinación, por tanto la nebulosa ya no emite fotones térmicos, o sea
debido al fenómeno de cascada o fenómenos colisionales, sino a otro tipo de
emisión, por ej. de sincrotrón.
18
§ II.- PROCESOS FÍSICOS BÁSICOS
§ II.1.- FUNDAMENTOS DE TRANSFERENCIA RADIATIVA.
Para poder entender los procesos de trasferencia radiativa primero
analizaremos los conceptos básicos sobre radiación en la sección II.1.1; en la
sección II.1.2 veremos los fenómenos de emisión espontanea y absorción,
para así en la sección II.1.3 analizar el problema de transferencia radiativa;
luego en II.1.3 se verá los temas de radiación térmica y las leyes de
Kirchhoff, en la sección II.2 y II.3 comenzamos a analizar las bases físicas
que cumplen estas nebulosas, y en II.4 indicamos las ecuaciones que deben
solucionarse para encontrar los coeficientes de emisión de estas nebulosas.
§ II.1.1.-Flujo, Intensidad, Presión, Densidad de energía, y
Brillo de la radiación de campo electromagnético.
1º.- Las propiedades elementales de la radiación son: Rybiki & Lightman
(1979) [13] pág. 1
c ,
hE ,
ET ,
donde es la frecuencia, c es la velocidad de la luz en el vacío es la
contante de Boltzmann, E la energía y T la temperatura.
2º.- El flujo de energía de radiación electromagnética radiativa [13] pág.
2, esta dado por:
19
dtdA
dE
donde es el flujo de energía de radiación de una fuente de radiación
isotrópica (emite igual energía en todas direcciones), dE es la energía que
pasa por dA en un tiempo dt , dA es la diferencial de área por donde pasa la
energía (depende de la orientación del elemento), dt es la diferencial de
tiempo que transcurre mientras pasa la energía por dA .
2
J
m s
El flujo radiativo cumple la ley del inverso del cuadrado de la distancia.
Demostremos esto
pasa por S
3º.- La intensidad de energía de radiación electromagnética específica,
intensidad específica o Brillo, (o brillo específico) y sus momentos, están
dadas por [13] pág. 3:
r
S
rrr rr
r
r
FIG 2.1.1.1 Ley del inverso del cuadrado para
el flujo radiativo
r
r1 S1
fuente
1
Energía que
pasa por
en
S
t
=
1
Energía que
pa
sa por S
t t
1S SE E
2 2
1 1( )4 ( )4r r r r
entonces:
2
1 1
2 2
( )( )
r r cter
r r
20
ddAdtdIdE ,
donde I es la Intensidad específica o Brillo, que depende de la localización
en el espacio, dirección y el área, dE es la energía que cruza dA en un tiempo
dt y A es el área de una superficie donde existe radiación isotrópica; puede
ser la misma superficie de la fuente.
1121 HzsradmsenergíaI .
La radiación que se tomo aquí es perpendicular a la sección que irradia.
Notemos que la intensidad específica o Brillo será:
dd
dI
, .
Si la sección que se toma en consideración no es perpendicular al área, o
mejor dicho, si el eje del cono, que representa al ángulo sólido que se toma en
cuenta, no es perpendicular a la sección de superficie que irradia, entonces la
intensidad específica o Brillo será:
A
normal
rayo
d
dA
FIG 2.1.1.2 Brillo de un rayo de luz. Se ven rayos que entran y salen por A , de los que salen
algunos aportan a d ,representado por un cono cuyo
eje en este caso es perpendicular al area A
21
d
dI
cos
,
donde,
2
d Jd
d s m Hz
Si la radiación es isótropa, (y viendo en un punto cualquiera donde ya
existe radiación que viene y sale en forma isotrópica, ya sea producido por
varias fuentes, o radiación que está confinada en una caja hipotética, o en una
caja negra)
I cte ,
entonces el Flujo neto es cero
0
fuente
dA
d
FIG 2.1.1.3 Brillo de la fuente
A
22
por que,
cos
cos
0
I d
I d
Es la misma cantidad de energía que cruza dA en la dirección n y - n .
Rayo
Normal
dA
d
A
Fig. 2.1.1.5 Flujo Neto a través de una sección
dA
A
n n
d
cosd
Fig. 2.1.1.4 Proyección del Flujo en la dirección
normal al área.
El flujo que pasa en la dirección n será el mismo
que el que pasa por la dirección n
23
4º.- La Presión de radiación de las ondas electromagnéticas la damos
recordando que el momento de un fotón esta dado por: [13] pág. 5
E
pc
,
y que por definición la presión de radiación electromagnética específica (o
momentum flux)está dado por
cdtdAd
dEdp
de donde d
dpc
,
por lo tanto
coscos
c
dIdp
.
El nuevo cos aparece de la proyección del momento en la dirección normal a
dA ; esto se ve en la figura 2.1.1.6
(Proyecto el área y tengo el área efectiva
cos
Proyecto el momento y tendré el otro
cos )
entonces:
c
dIdp
2cos
Integrando obtenemos:
c
dIp
2cos
12 HzNmp
Fig. 2.1.1.6 Presión de radiación
p Observador
24
Note que y p son momentos (multiplicaciones por potencias de
cos e integradas sobre d ) de la intensidad I .
Podemos integrar sobre todas las frecuencias, y así obtener las
magnitudes totales: [13]
F F d 1 2Js m
p p d 2Nm
I I d 1 2 1Js m srad
5º-La densidad de energía radiativa específica esta definida por [13]:
ddVd
dE
,
donde, dV = cdAdt , es el volumen elemental.
Si consideramos un cilindro de largo cdt que contiene los rayos, como se
ve en la figura 2.1.1.7;
Entonces tendremos:
ds cdt
dA
d
Fig. 2.1.1.7 Densidad de energía radiativa específica
25
ddAcdtd
dE
,
pero
ddAdtd
dE
dd
dI
.
Comparando estas dos ultimas expresiones, que son para el caso en que el
ángulo sólido es perpendicular al área tomada o que es lo mismo no esta
proyectada, tenemos:
c
I )( .
Integrando tenemos:
dIc
d 1
)( .
Definiendo la Intensidad específica Media de radiación electromagnética por
dI
d
dIJ
4
1,
se optiene, comparando estas dos ultimas ecuaciones:
J
c
4 .
Y la densidad total de radiación electromagnética será:
Jc
dJc
d
44
que se mide en:
3m
J
26
6º.- La presión de radiación electromagnética, [13] pág.6, que crea un
campo de una fuente de radiación isotrópica sobre una región cerrada es un
tercio de la densidad de energía de radiación total que produce dicha fuente.
Demostremos esto,
Cada fotón transfiere a la pared una cantidad de movimiento igual a:
PPPP if 2)(
Por lo tanto integrando para una cantidad de fotones dentro de d, la
presión de radiación será:
fp
ip
fuente
haz
Fig. 2.1.1.8 Cantidad de movimiento transferido por un fotón
27
dIc
P 2cos
2
Como dijimos que la fuente de radiación electromagnética la tomaremos
isotrópica entonces:
constanteI ,
entonces
dIc
P 2cos
2,
integrando en todo el espacio tendremos:
3
22 I
cP
pero para una fuente de radiación isotrópica la intensidad de radiación
electromagnética específica es igual a la Intensidad media de radiación
electromagnética, ya que
Id
dI
d
dIJ
,
entonces
3
22 J
cP .
Pero vimos que,
J
c
4 ,
entonces
3
P ,
28
y también de aquí tendremos por definición que:
33
d
dPP
por lo tanto:
3
P ,
que es lo que queríamos demostrar. Este resultado es muy usado para la
discusión de la radiación de cuerpo negro.
7º.- La Intensidad de radiación electromagnética específica se mantiene
constante en el viaje a través del espacio libre [13]
constante a lo largo del rayoI .
Si ds es el elemento diferencial de longitud a lo largo del rayo, entonces
tendremos:
0ds
dI
8º.- La intensidad de radiación electromagnética total que sale de la
fuente y llega al punto P , se llama Brillo en el punto P (por su puesto, si no
existe ninguna otra fuente que irradie campo electromagnético a P ), la
intensidad (o la energía) que sale de la fuente y no llega al punto P , no aporta
al Brillo.
P
I=B Fig.2.1.1.9 Radiación
uniforme de una
c esfera sobre un
R r punto P.
29
Si la radiación electromagnética que emana de una esfera es uniforme
(Intensidad específica constante), entonces el flujo de ésta cumple con la ley
del cuadrado inverso de la distancia (como el campo gravitatorio) sin oponerse
a la constancia de la intensidad específica.
Entonces el Flujo de energía de radiación electromagnética que sale de
la fuente, que en este caso es una esfera y llega al punto P será:
c
dsindBdI
0
2
0coscos ,
donde c esta dado por:
r
Rarcsinc
Como para este flujo, la intensidad es toda la que sale de la esfera y
llega al punto P , entonces esta parte de la intensidad total que emana la fuente
será igual por definición al Brillo de la esfera en el punto P :
BI
Integrando la ecuación en los límites donde BI , tenemos que:
c
c BsinB
2
2
2
cos12
,
entonces
cBsin 2
o
2
r
RB .
Así podemos observar que decrece con la distancia según la ley del
cuadrado inverso.
Si
30
Rr ,
entonces obtenemos
BF
que es el flujo total de una esfera de brillo uniforme o de intensidad constante,
sobre un punto situado exactamente de la superficie.
§ II.1.2.- Emisión espontanea y Absorción [13].
Beam o Rayo de Luz
Materia Fig. 2.1.2.1: Emisión Absorción y Scattering
A
1º.- La energía de un rayo (conjunto de fotones que viajan en una dirección,
imaginariamente como si estuvieran dentro de un cilindro) que pasa a través
de la materia, puede aumentar o disminuir, ya sea por emisión (espontánea o
inducida) o absorción de fotones de la materia por donde pasa el rayo,
respectivamente; por lo tanto la intensidad específica de la radiación de campo
electromagnética no permanecerá constante.
Además de los efectos de emisión y absorción, existe otro mecanismo
por el cual un rayo de radiación de campo electromagnético pasando a través
de la materia aumenta o disminuye su energía, es el caso del scattering.
2º.-Emisión; es el mecanismo por el cual un átomo emite uno o varios
fotones, ya sea en forma espontánea o inducida.
Al estudiar la radiación espontánea se define el coeficiente de emisión
j , como la energía emitida espontáneamente por unidad de tiempo, ángulo
sólido y volumen, así:
áemisión espont neadEj
dVd dt
31
Para una emisión monocromática, podemos definir el coeficiente de emisión
específico como:
dtddVd
dEj
espontaneaemisión
,
cuyas unidades serán:
Hzssradm
Joulej
3 .
En general el coeficiente de emisión depende de la dirección dentro del cual
la emisión toma lugar.
Si la emisión espontánea es isotrópica o que es lo mismo, esta orientada
aleatoriamente, entonces el coeficiente de emisión podrá escribirse como:
Pj4
1 ,
donde P es la potencia radiada producida por la emisión espontánea por
unidad de volumen y frecuencia.
Demostremos ésta última afirmación. Por definición tenemos:
de donde, considerando la radiación en todo el ángulo sólido, es decir en todas
direcciones:
tan
emisión espon eadEj
dVd dtd
dPot
dVd d
dP
d d
dP
d
32
4
00djP
P
,
y como radiación isotrópica tendremos
4
0djP
4j ,
por lo tanto,
Pj4
1 .
Para poder estudiar la emisión espontanea, en vez del coeficiente de
emisión, también se puede usar el concepto de emisividad “”, que se define
como la energía radiada espontaneamente por unidad de masa radiada, por
unidad de tiempo en que se irradia, por unidad de frecuencia y por la razón de
la diferencial de ángulo sólido donde está la energía radiada y el ángulo sólido
total alrededor de un punto cualquiera donde la radiación es isotrópica i.e.
(d/4); así:
4
emitida espontáneamentedE
ddmdtd
La relación entre j y es:
4
j
donde es la densidad de masa dada por,
dV
dm .
Para un rayo o un beam construido por fotones, emitidos solamente en forma
espontánea, de sección transversal dA y que viaja una distancia ds , tenemos:
dAdsdV .
33
Así la intensidad añadida al Beam o rayo original será:
dsjdIespontaneaemisión
.
Demostremos esta última ecuación,
ddtdAd
dEdI
menteespontanea.emitida
espontanea.misión.pore
dsj
dsdtddAd
dE
ddds
dVdt
dE
menteespontaneaemitida
menteespontaneaemitida
3º.- Absorción; es el mecanismo por el cual un átomo absorbe un fotón
radiado por alguna fuente. Para estudiar la absorción se define el coeficiente
de absorción 1m , que es la razón de la variación de intensidad específica
de radiación electromagnética que incide a la intensidad específica incidente
que está siendo absorbida por unidad de distancia ds recorrida por el beam en
su absorción (desde que empieza a ser absorbido); así:
por absorción
dI s
I s ds
Este mecanismo, podemos entenderlo mediante un modelo
microscópico, en el cual por cada fotón absorbido, consideramos que se pierde
una sección transversal de magnitud , si en total se absorben fN fotones,
entonces se habrá absorbido un área total absorbidodA de fN . Así,
34
fabsorbido NdA
dsndA
ndV
dVdV
N
absorbido
f
Fig. 2.1.2.2 Modelo microscópico para entender la absorción
donde n es la densidad de fotones absorbido, dV = absorbidodsdA es el volumen de
la región del espacio donde los fotones están siendo absorbidos y ds es la
distancia que recorre el fotón mientras esta siendo absorbido.
Aquí notamos que:
dsn1 ,
la veracidad de esta afirmación se puede ver de la siguiente manera:
dsndsNdV
dsdAdV
dVdVdV
dVfabsorbido
1111
La intensidad perdida de la incidente, gracias a la absorción,
obviamente será la misma que la intensidad absorbida, así:
I sale - I ingresa =-(dI) perdida por absorción = (dI) por absorción,
Materia Rayo absorbido
I que sale dA
ds
I incidente -dI por absorción = I absorbida
35
también, el área que se pierde por absorción de la radiación incidente será
igual al área absorbida. Así,
dAperdida por absorción =dAabsorbido =dA
ó
dAperdida por absorción = n dAabsorbido ds
dsν
nσν
I
nr.absorcióperdida.poν
dI
por eso afirmamos que
absorbidoabsorción.por.perdida dAIdAdIabsorción.por.perdida
dsdAnIdAdI absorbidoabsorción.por.perdidaabsorción.por.perdida
o,
dsnsIsdIabsorción
.
Notemos que,
. .
. .perdida por absorción
perdida por absorción absorbidodI s dA d dtd I s dA d dtd
perdida por absorción sale ingresa absorbidad dE dE dE dE
Comparando las ecuaciones tenemos,
.n
además notemos que,
36
ds
1
dsdA
dA
dsdA
N
dV
N
absorbida
absorbida
absorbida
ff
Veremos más adelante que esto tiene que ver con el camino óptico, aquí ds es
el camino recorrido por el rayo desde el momento en que está siendo
absorbido.
Para que este cuadro microscópico tenga validez, existen algunas
condiciones [13]:
a.)- La escala lineal de la sección transversal debe ser mucho menor que la
distancia media entre partículas. Así:
11
32 d n
,
de donde se tiene:
1d ,
ya que,
31
21
n
tendremos
1n 31
21
Como: n
1nn
31
21
21
o
37
1n 61
21
,
elevando al cuadrado tendremos,
1n 31
.
Ahora como:
31
nd
,
1d ;
que es lo que queríamos demostrar. Y
b.)- Los materiales absorbentes deben ser independientes y deben estar
distribuidas aleatoriamente.
Afortunadamente, estas condiciones casi siempre se cumplen en los
problemas de astrofísica.
4º.-Es lógico pensar que será directamente proporcional a densidad de la
masa que absorbe, entonces también se suele escribir como:
donde es la densidad de masa que absorbe, y el coeficiente de
proporcionalidad 2 1m g es el coeficiente de absorción de masa, más
conocida como opacidad [13].
Otro concepto muy usado también es el de Camino Óptico , que suele
usarse en vez de s , con el cual como veremos servirá para solucionar más
fácil la ecuación de transferencia. El Camino Óptico es adimensional y se
define por la siguiente relación:
por absorción
dI sd s
I s
.
38
También es definido usando el coeficiente de absorción, de la siguiente
manera:
s
ssdss
0
)()(
o
dsssd )()( ,
donde 0s es una marca arbitraria en el material, que indica el punto cero desde
donde se medirá el camino óptico.
El camino óptico se mide sobre el camino del rayo que viaja; algunas
veces es medida hacia atrás, en el mismo camino (desde el punto de donde
sale el rayo de la materia, como por ej. desde el borde de la superficie de una
estrella hacia adentro, (se supone que la radiación que se emite mas adentro no
sale, ya sea por que es absorbida u otros efectos)), en ese caso luego de
integrar, el camino óptico saldrá negativo.
Algunas veces se toma un plano paralelo al viaje del rayo (recordemos
que puede desviarse) en promedio. Un camino óptico típico o estándar se mide
a partir de este plano en la dirección perpendicular, así que ds es reemplazado
por dz y:
z
z
zsdsz
0
)()(
Fig. 2.1.2.3 Camino óptico. 0s es arbitrario y fija el
punto cero para la escala del camino
Z dz ds
0s
La superficie de referencia puede
ser el borde de una estrella
39
Si < 1 El medio es llamado ópticamente grueso (u obscuro)
u Opaco.
Si > 1 El medio es llamado ópticamente delgado (estrecho
o enrarecido) o Transparente.
Un medio esencialmente óptico, es aquel medio en el cual un fotón
típico de frecuencia , puede atravesar el medio sin ser absorbido. Mientras
que un medio Opaco es aquel medio en el cual un fotón de frecuencia , no
atraviesa en promedio, ya que es absorbido.
Se define la función fuente [13] como la razón del coeficiente de
emisión sobre el coeficiente de absorción, así:
jS ,
con ésta definición podemos usar S en vez de j . Además con la definición
de camino óptico, podemos usar en vez de , y con estas nuevas
definiciones, es mas fácil resolver la ecuación de transferencia radiativa
tomando sólo los casos de emisión espontánea y absorción.
§ II.1.3.-Ecuación de transferencia de energía de radiación de campo
electromagnético para emisión espontanea y absorción; y su
solución.
1º.- Ecuación de transferencia radiativa [13].
Si un rayo incide en cierta dirección a la materia (o si se analiza un rayo
que ya está propagándose dentro de la materia, y se lo toma como incidente)
por ej. un gas de partículas, éste puede disminuir su energía (y por tanto su
intensidad) por absorción, puede aumentar su energía por emisión de fotones
desde la materia a la que incide (ya sea por emisión espontánea, o por emisión
40
inducida (por ella misma o por la espontánea)), y también puede aumentar o
disminuir su energía (observando en cierta dirección del beam) por el efecto
de scattering.
Así, tenemos que:
dIIIincidentedespues
donde:
emisión espontánea emisión inducida absorción scattering
dI dI dI dI dI
Fig. 2.1.3.1 Absorción de un rayo de luz.
2º.-Si solo tomamos los casos de emisión espontanea y de absorción,
entonces:
absorciónespontaneaemisióndIdIdI
Entonces por lo estudiado en 10º y 11º, tenemos:
dssIsdssjsdI
que es la ecuación de transferencia radiativa para absorción y emisión
espontánea.
Si tomamos en cuenta los efectos de scattering (dispersión) la ecuación
de transferencia se solucionara de manera más dificultosa, en general usando
Materia Beem después
I después
I incidente
41
las técnicas de análisis numérico, ya que ésta ecuación será integrodiferencial,
debido a que la intensidad de emisión que se tomó dentro de d , estará en un
instante posterior dentro de otro d .
La tarea es resolver esta ecuación y encontrar la forma de estos
coeficientes para diferentes procesos físicos.
Resolvamos la ecuación de transferencia. Para esto usamos S y en
vez de j y respectivamente, es decir en vez de los coeficientes de emisión
y absorción, usamos la función fuente y el camino óptico, con estas nuevas
definiciones, la ecuación de transferencia queda:
IS
d
dI .
Demostremos esto:
de la ecuación de transferencia tenemos:
dssIdsjsdI ,
de donde:
dssIdsj
sdI
como:
jS , y dsssd )()(
entonces:
sdIsdsSsdI s)(
o
dIdSdI )( ,
42
con lo cual demostramos la ecuación.
Ahora multiplicando por e y definiendo las cantidades:
eI y
eS ,
la ecuación de transferencia llegará a ser simplemente:
d
d,
cuya solución es:
d00
.
Poniendo nuevamente en términos de I y S , encontramos la solución formal
de la ecuación de transferencia radiativa o ecuación de transferencia de
energía debido a radiación electromagnética para absorción y emisión
espontánea:
dS0II
0ee .
Demostremos esto.
Teníamos que
IS
d
dI
multiplicando por e , tenemos:
eee IS
d
dI
ahora como
43
d
dII
d
dIee
e ,
entonces,
eee IS
d
dI
de donde,
eee
eISI
d
dI;
teniendo así:
e
eS
d
dI.
Ahora, usando las definiciones
eI y
eS ,
encontramos que
d
d,
integrando desde donde 0 hasta , tenemos que,
d00
,
nuevamente en términos de I y S
dS0II
0eee 0-
44
dividiendo por e tenemos que se cumple que,
dS0II
0ee
o
0
0I I e e S d
,
que es la ecuación que queríamos demostrar.
Como es adimensional, entonces e es un factor (modulador) que
disminuye a la intensidad de radiación incidente y a la integral de la función
fuente en forma exponencial conforme crece el camino óptico; así la ecuación
de transferencia es interpretada como la suma de dos términos: 1º la intensidad
inicial disminuida por el efecto de absorción y 2º la integral de la función
fuente, que es directamente proporcional al coeficiente de emisión y que
también está disminuida gracias al efecto de absorción.
3º.- La ecuación de transferencia para el caso particular donde existe solo
emisión espontánea ( 0 ) será:
dsjsdI
y su solución será :
s
s00
sdsjsIsI ,
que nos dice que el incremento de Brillo, o el incremento de la intensidad en
la energía que ingresa a la materia, que a su vez está emitiendo
espontáneamente y absorbiendo, es igual al coeficiente de emisión espontánea
de la materia integrado a lo largo de la línea de señal de la radiación, es decir
la intensidad aumenta debido a que la materia también esta emitiendo.
Demostremos ésta última ecuación.
45
Se puede demostrar con la solución general ya encontrada y retomando
el coeficiente de absorción y luego haciéndolo cero, o directamente de la
ecuación de transferencia original
dssIdsjsdI ,
esto solamente integrando:
s
s
sI
sI 00
sdsjsdI ,
de donde inmediatamente sale la solución.
4º.- la ecuación de transferencia para el caso particular donde existe sólo
absorción ( 0j ) será:
dssIsdI
cuya solución será:
s
0s
0
sds
0sIsI e
o en términos del camino óptico:
e0II
que nos dice que el brillo del rayo de luz es decir la intensidad incidente en
una materia donde sólo existe absorción, disminuye en forma exponencial
conforme crece el valor del camino óptico, a lo largo de la línea de señal de la
radiación. La intensidad emergente I es la misma que la incidente 0I
para cuando el camino óptico es cero, que ocurre cuando la integral del
coeficiente de absorción en s es igual que en 0s , es decir no existe absorción,
la radiación que sale es la misma que la que entra.
Esto se demuestra inmediatamente a partir de la solución general que
esta en función del camino óptico:
46
dS0II
0ee ,
haciendo la función fuente igual a cero, ya que,
jS ,
o integrando la ecuación original,
dssIdsjsdI
donde
0j
;
así tenemos:
dssIsdI
,
de donde,
dssI
sdI
integrando,
s
s
sI
sI 00
dsssI
sdI
obtenemos
s
s
sI
sI00
dsssLnI
llevando al límite,
00
s
s
I sLn s ds
I s
obtendremos
47
0
0 0
s
ss ds
I s I s e
,
que es lo que queríamos demostrar. Por definición de camino óptico, también
tenemos la solución: 0I I e , y en medio ópticamente delgado
0I I , ya que 0 .
5º.- En el caso en que la función fuente es constante, es decir la razón entre el
coeficiente de emisión espontanea y el coeficiente de absorción, permanece
constantes en el proceso, puede ser gracias a que vj y permanezcan ambos
constantes a la vez, la solución de la ecuación de trasferencia será:
0 1I I e S e
0S e I S
Esta ecuación que es muy importante, la demostraremos de la siguiente
manera:
Sabemos que la solución de la ecuación de transferencia de energía para
la radiación de energía esta dado por:
dS0II
0ee
Como la función fuente es constante, entonces
dS0II
0ee
dS0I
0eee
1S0I
eee
-- ee 1S0I
-- ee SS0I
por lo tanto
0I S e I S
que es la ecuación que queríamos demostrar.
48
Vemos en esta ecuación que si
, entonces
SI .
Recordemos que si la dispersión está presente,
S contiene una contribución de
I , por lo tanto no es posible determinar a priori
S . Una de las formasde
tratar éste caso se trata con la aproximación de Sobolev [9] pág. 102.
6º.-El camino libre medio es un concepto muy usado y se define como la
distancia promedio que un fotón puede viajar en un medio absorbente antes de
ser absorbido [13]. Desde la ley exponencial para la absorción,
s
0s
0
sds
0sIsI e ,
la probabilidad de que un fotón viaje un camino óptico igual a , es e . El
camino óptico medio viajado será así igual a la unidad:
01e d
.
a distancia física media viajada en un medio homogéneo se define como el
camino libre medio l y se define por:
1l
o
1 1
ln
.
Así el camino libre medio l es simplemente el recíproco al coeficiente de
absorción para un material homogéneo.
Si el material no es homogéneo podemos definir un camino medio local
como el camino libre medio que resultaría si el fotón viajara a través de una
región homogénea que tenga las mismas propiedades. Así en cualquier punto
tendremos:
1
l
.
49
7º.- Cuando un medio absorbe radiación, ésta ejerce una fuerza en el medio,
debido a que la radiación lleva consigo un momentum [13]. Primero
definamos el vector flujo de radiación:
,F I nd
donde: n es un vector unitario a lo largo de la dirección del rayo. Recordemos
que un fotón tiene un momento igual a E/c, así que el vector momento por
unidad de área, tiempo y por unidad de longitud de camino absorbido por el
medio es:
1
F dc
Dado que: dAds dV , es la fuerza por unidad de volumen impartida dentro
del medio por el campo de radiación. Notemos que la fuerza por unidad de
masa del material esta dado por f
o:
1
f F dc
.
Estas dos últimas ecuaciones asumen que el coeficiente de absorción es
isotrópico. También asumen que no se imparte momento debido a la radiación
del propio material, y esto es debido a que la radiación es isotrópica.
§ II.1.4.- Radiación térmica, leyes de Kirchhoff [14].
1º.- Todos los cuerpos emiten en mayor o menor grado, radiación
electromagnética u ondas electromagnéticas (cuánticamente hablaríamos de
fotones). Por ejemplo, los cuerpos muy calientes, radian en el espectro de la
luz visible, mientras que a temperaturas ordinarias sólo son fuentes invisibles
de radiación infrarroja, en el caso de los sólidos se genera gracias a las cargas
eléctricas que se encuentran en la superficie, cuando éstas son aceleradas por
el efecto de agitación térmica y en el caso de los gases por causas que ya
indicamos.
50
La radiación electromagnética que emite la substancia y que se
produce a expensas de su energía interna (se llama energía interna de un
cuerpo o sistema termodinámico, a la energía que sólo depende del estado
termodinámico del cuerpo (sistema)) se llama térmica (podemos decir
también que la radiación térmica es aquella radiación emitida por materia que
esta en equilibrio térmico). Esta radiación depende únicamente de la
temperatura y de las propiedades ópticas de los cuerpos que la emiten. Si la
energía que gasta el cuerpo en radiación térmica no se repone cediéndole
calor, su temperatura desciende paulatinamente y la radiación térmica
disminuye.
Se denomina intercambio de calor por radiación el proceso espontáneo
de transmisión de energía en forma de calor de un cuerpo más caliente a otro
menos caliente, que se efectúa mediante la radiación térmica y la absorción de
las ondas electromagnéticas por estos cuerpos.
2º.- La radiación térmica es la única que puede estar en equilibrio
térmico con la substancia. En estado de equilibrio, el gasto de energía del
cuerpo en radiación térmica se compensa con la absorción por dicho cuerpo de
una cantidad igual de energía de la radiación que incide sobre él. La radiación
en equilibrio se establece en un sistema adiabático cerrado (es decir, que no
intercambia calor con el medio), en el cual todos los cuerpos se hallan a la
misma temperatura.
Del segundo principio de la termodinámica se deduce que la radiación
en equilibrio no depende del material de los cuerpos que forman el sistema
cerrado en equilibrio termodinámico. La densidad volumétrica de la energía
de radiación en equilibrio y su distribución según las frecuencias son
funciones universales de la temperatura.
3º.- Como característica espectral de la radiación en equilibrio se usa la
densidad espectral de la densidad volumétrica de la energía de esta
radiación:
d
dT ),( ,
donde d es la densidad de energía de la radiación en equilibrio con
frecuencias desde hasta +d contenida en un volumen del campo de
radiación.
La densidad volumétrica de la energía de este campo será:
51
0
.),( dT
La radiación en equilibrio es isótropa, o sea, no está polarizada y todas
sus direcciones de propagación son igualmente probables.
La energía dEr de radiación en equilibrio en el vacío, con frecuencias
desde hasta d , que incide por unidad de tiempo en la unidad de área de
la superficie de cada uno de los cuerpos del sistema en equilibrio
termodinámico, es:
dTc
dEr ),(4
,
4º.-Se llama emitancia energética (o emisividad integral) de un cuerpo
la magnitud física Re, numéricamente igual a la energía de las ondas
electromagnéticas de todas las frecuencias posibles (o de todas las longitudes
de onda desde 0 hasta ) emitidas por la unidad de área de la superficie del
cuerpo en la unidad del tiempo.
Recibe el nombre de emisividad, poder emisivo o densidad espectral de
emitancia energética de un cuerpo, la magnitud física numéricamente igual a
la razón de la energía Er, radiada en la unidad de tiempo por la unidad de área
de la superficie del cuerpo, mediante ondas electromagnéticas en un estrecho
intervalo de frecuencias, desde hasta d (o de longitudes de onda en el
vacío, desde hasta d ), a la anchura de este intervalo:
d
dEr r
d
dEr
2
cr r
r (o r ) dependen de la frecuencia (o de la longitud de onda), de la
temperatura, de la composición química del cuerpo y del estado de su
superficie.
52
La emitancia energética del cuerpo está ligada con la emisividad por
medio de las relaciones:
drdrRe
00
.
5º.- El poder absorbente (o factor de absorción monocromática)de un
cuerpo es una magnitud física adimensional a que indica la fracción de
energía de las ondas electromagnéticas con frecuencias desde hasta d ,
incidentes sobre la superficie del cuerpo, que éste absorbe:
1
inc
abs
r
r
dE
dEa ,
a es función de la frecuencia , temperatura T , composición química del
cuerpo, y estado de su superficie.
Se llama cuerpo negro el cuerpo que absorbe totalmente todas las
radiaciones que inciden sobre él, independientemente de la dirección que
tenga la radiación incidente, de su composición espectral y de su polarización,
sin reflejar ni transmitir nada:
* 1a .
6º.- De acuerdo con el principio de equilibrio detallado [14], todo
proceso microscópico que tenga lugar en un sistema en equilibrio debe
desarrollarse con la misma velocidad que su inverso. Este principio de la física
estadística permite hallar la relación entre el poder emisivo r y el poder
absorbente a de cualquier cuerpo opaco. Supongamos que el cuerpo entra en
la composición de un sistema en equilibrio termodinámico que se encuentra a
temperatura T . La energía radiada en la unidad de tiempo por unidad de área
de la superficie del cuerpo considerado en el intervalo de frecuencias desde
hasta d es
53
raddE r d .
Durante ese tiempo, la misma porción de superficie del cuerpo absorbe la
parte de energía radiada en equilibrio (p.3º) que incide sobre dicha
superficie. Esta parte será:
dTc
adEabs ),(4
.
Como por el principio de equilibrio detallado
rad absdE dE ,
resulta que:
),(4
* Tc
ra
r
.
Esta ecuación expresa la ley de Kirchhoff, según la cual la razón del poder
emisivo del cuerpo a su poder absorbente no depende de la naturaleza del
cuerpo y es igual a la emisividad del cuerpo negro *r para los mismos valores
de la temperatura y de la frecuencia.
La dependencia de *r respecto a y T se llama función de Kirchhoff [14]:
),(4
),(* Tc
Tfr .
7º.- De la ley de Kirchhoff se sigue que la emitancia energética de un
cuerpo (p.4º) es:
0
* draRe .
8º.-La radiación en equilibrio [14] a la temperatura T es idéntica a la
radiación térmica del cuerpo negro a esa misma temperatura. Por esto, la
radiación en equilibrio se suele llamar radiación negra. La relación entre la
54
emitancia energética del cuerpo negro y de la densidad volumétrica de la
energía de radiación negra tiene la forma:
dTc
rc
R ),(44
0
*
.
9º.- La ley de Stefan-Boltzmann [14] afirma que la emitancia energética
del cuerpo negro es proporcional a la cuarta potencia de su temperatura
absoluta:
4* TR
donde: 85.67*10
es la constante de Stefan-Boltzmann.
Esta ley se puede deducir teóricamente analizando con los métodos de la
termodinámica la radiación en equilibrio en una cavidad cerrada.
10º.- La dependencia de la emisividad del cuerpo negro r respecto a la
frecuencia para varios valores constantes de la temperatura, se muestra en la
siguiente figura:
Fig. 2.1.4.1 Emisividad de cuerpo negro vs. Frecuencia y longitud de onda[14].
55
En la región de frecuencias pequeñas, * 2r T , y en las frecuencias grandes
(ramas de la derecha de las curvas alejadas de los máximos),
Ta
er
13*
,
donde a1 es un factor constante.
La energía de radiación del cuerpo negro está distribuida irregularmente
por su espectro. El cuerpo negro casi no radia en las regiones de frecuencias
muy pequeñas y muy grandes. A medida que aumenta la temperatura del
cuerpo, el máximo de *r se desplaza al lado de frecuencias mayores, de
acuerdo con la ley:
Tbm 1 ,
en la que m es la frecuencia correspondiente al máximo de *r para la
temperatura T , y 1b es el factor constante.
La dependencia de la emisividad del cuerpo negro,
* *
2
cr r
,
respecto de la longitud de onda se puede apreciar en la figura anterior.
Cuando la temperatura del cuerpo aumenta, el máximo de *r se desplaza hacia
el lado de lado de las longitudes de onda menores, de acuerdo con la ley de
desplazamiento de Wien.
T
bm
en la que 32.6*10b mK es la Cte. de Wien.
11º.- Todos los intentos de fundamentar teóricamente, dentro de los
marcos de la Física Clásica, la función de Kirchhoff * ,r f T , hallada
experimentalmente y representada en la figura, fueron inútiles. Así con los
métodos de la termodinámica se logró obtener la fórmula de Wien [14]:
56
* 3rT
,
en la que T es una función incógnita de la relación
T .
Basándose en las leyes de la electrodinámica y en la ley de la Física
Estadística Clásica sobre la equipartición de energía según los grados de
libertad del sistema en equilibrio se obtuvo la fórmula de Rayleigh-Jeans
[14]:
kTc
r2
2* 2 ,
en la que k es la constante de Boltzmann.
La fórmula de Rayleigh-Jeans concordaba con los datos experimentales
únicamente en la región de las frecuencias pequeñas. Además, de ella se
deducía una conclusión absurda, según la cual, para cualquier temperatura, la
emitancia energética del cuerpo negro Re y la densidad volumétrica de la
energía de radiación en equilibrio eran infinitamente grandes. Este
resultado, a que llegó la Física Clásica en el problema de distribución
espectral de la radiación en equilibrio, recibió el nombre de “catástrofe
ultravioleta” [14].
57
§II.2- EQUILIBRIO DE FOTOIONIZACIÓN
§II.2.1.-INTRODUCCIÓN
La emisión de radiación de energía electromagnética de las nebulosas,
resulta de la fotoionización de la nube de gas difuso debido a fotones
ultravioleta provenientes de una o varias estrellas.
El equilibrio de ionización de cada punto en la nebulosa está fijado por
el balance entre fotoionización y recombinación de los electrones con los
iones. Ya que el Hidrógeno es el elemento más abundante, consideremos en
primera aproximación una nebulosa de puro hidrógeno bordeando una sola
estrella. La ecuación de equilibrio de ionización estará entonces dada por
(Osterbrock (1989)) [11]:
0
0
0 04,e pH
JN a H d N N H T
h
,
donde
J es la intensidad media de radiación en el punto (en unidades de energía por
unidad de área, tiempo, ángulo sólido e intervalo de frecuencia). Así,
4 J
h
, será el número de fotones incidentes por unidad de área, tiempo e
intervalo de frecuencia.
0a H es la sección transversal de ionización para el H debido a fotones con
energía h (sobre la energía umbral 0h ). Por lo tanto,
0
04 Ja H d
h
representará el número de fotoionizaciones por átomo de
hidrógeno y unidad de tiempo.
0 ,H T es el coeficiente de recombinación, por lo tanto,
58
0 ,e pN N H T será el número de recombinaciones por unidad de volumen y
tiempo. Aquí
eN , pN y 0HN son la densidad numérica de electrones, protones y átomos
neutros por unidad de volumen respectivamente. Por lo tanto, podemos decir
que las fotoionizaciones debidas al campo incidente deben ser iguales a las
recombinaciones en cualquier punto de la nebulosa.
En una primera aproximación, la intensidad media es simplemente la
radiación emitida por una estrella reducida por el efecto del cuadrado inverso,
así:
2
2 24 0
4
LRJ F
r r
,
Donde,
R es el radio de la estrella, 0F es el flujo en la superficie de la estrella.
r es la distancia de la estrella al punto en cuestión, y L es la luminosidad de
la estrella por unidad de intervalo de frecuencia.
Así tendremos:
0
0
0 0
2,
4e pH
LN a H d N N H T
r h
El campo de radiación ultravioleta es tan intenso que el hidrógeno de
cierta capa de la nebulosa es casi completamente ionizado. Ésta capa tiene
aproximadamente un grosor de:
0
10.01
H
d pcN a
,
estos fotones UV, no logran ionizar toda la nebulosa. Ésta profundidad es
justamente el camino libre medio de estos fotones.
59
Tendremos así una primera región de la nebulosa que rodea a la estrella
y que esta casi completamente ionizada a la cual se le llama “Strömgren
sphere” o región HII, a ésta le sigue una pequeña capa de transición de gas
neutro (pero con sus electrones excitados) llamada región HI, seguida de la
última capa de gas neutro (con sus electrones no excitados).
En ésta sección examinaremos la sección transversal de fotoionización y
los coeficientes de recombinación para el H, y entonces con esa información
calcularemos la estructura de esta región que hipotéticamente está constituida
de puro hidrógeno.
§II.2.2.-NÚMEROS CUÁNTICOS Y DIAGRAMA DE LOS NIVELES
EN EL ÁTOMO DE HIDRÓGENO
El estado de excitación de un átomo se determina sabiendo los números
cuánticos de los diferentes niveles y subniveles que pueblan los electrones, así
para caracterizar un nivel o un subnivel en el átomo se empieza dando el
número cuántico principal, designado por n que indica la capa del átomo, n
puede ser:
1,2,3,4,5,6,7,8...n
a las primeras capas se la designa por:
, , , , , ,...K L M O P Q
respectivamente.
Luego se caracteriza por el número cuántico orbital L que caracteriza a
las subcapas y que toma valores dependiendo del número cuántico principal
como sigue:
0,1,2,3,..., 1L n .
Se sigue con el número cuántico magnético designado por m y que toma
valores dependiendo del número cuántico orbital:
0, 1, 2, 3,...m L .
60
Luego se caracteriza por el número cuántico magnético de espín sm que
solamente puede tomar dos valores.
1, ,..... :
2sm s s donde s
Los electrones van poblando los niveles y subniveles de los átomos,
tomando en cuenta el principio de exclusión de Pauli, que se enuncia en la
forma más simple de la siguiente manera: “en todo átomo no puede haber dos
electrones que se encuentren en dos estados estacionarios iguales
determinados por el conjunto de los cuatro números cuánticos: principal n ,
orbital L magnético m y de espín sm ”.
§II.2.3.-FOTOIONIZACIÓN Y RECOMBINACIÓN PARA EL
HIDRÓGENO.
En el siguiente gráfico, Osterbrock (1989) [11] pag.15, se ven los
niveles de energía para el átomo de hidrógeno tomando en cuenta los números
cuánticos principal y orbital, a demás se gráfica con líneas continuas las
transiciones permitidas para los electrones según la regla de selección 1L ;
el único caso que se escapa a esta regla es la posibilidad de la transición 2s a
1s teniendo el mismo L e igual a uno.
61
Fig. 2.2.3.1 Diagrama de los niveles de energía de HI. Las líneas continuas indican todas
las transiciones posibles entre los niveles de energía hasta 7n y 5L , se ve que se
cumple la regla de transición 1L excepto para la transición 2s a 1s .
La probabilidad de transición desde un nivel nL a uno n L denotado
por: ,nL n LA son del orden de 4 110 s a 8 110 s , teniendo a la excepción
nuevamente al proceso 1
2 ,1 8.23s sA s . El tiempo de vida media del electrón en
un nivel excitado nL esta dado por:
62
,
1 1
1nL
nL n L
n n L L
A
por lo tanto estas son del orden de 410 s a 810 s , con la única excepción para el
tiempo de vida media en el nivel 2s dado por:
2 1
10.12
8.23s s
s
.
Como vemos es muy improbable (comparado con los demás casos) que ocurra
la transición de 2s a 1s , que hasta se podría tomarse como cero en los
cálculos, pero una vez que el átomo se excita a dicho nivel, tiene un tiempo de
vida media grande comparada con los casos comunes. Pero incluso este
tiempo de vida es a su vez pequeño comparado con el tiempo de vida media
del hidrogeno antes de ser fotoionizado o simplemente excitado en la nube.
Así, con muy buena aproximación podemos afirmar que en una nube de
hidrógeno todos los átomos neutros tienen a su electrón en su estado base y
que la fotoionización desde este nivel es balanceada por la recombinación a
todo nivel y si la recombinación fue a un nivel excitado ésta es seguida
rápidamente por transiciones de cascada hacia abajo. Esta básica
aproximación simplifica tremendamente los cálculos de condiciones físicas en
nebulosas gaseosas.
Cada nivel en un átomo neutro tiene una sección transversal de
fotoionización, cuanto mayor sea ésta, mayor será la probabilidad de
fotoionizarlo (ionizarlo mediante un fotón). Ésta sección dependerá también
de la frecuencia del fotón ionizante y de la frecuencia umbral 1 (frecuencia
mínima que debe tener el fotón para ionizar al átomo). Así por ejemplo la
sección transversal de fotoionización del átomo de hidrógeno neutro (o en
general para un ion hidrogénico de carga nuclear Z ) para el nivel 1s está dado
por [11]:
4arctan4
0 1
22
1
A ea Z
Ze
para 1 ,
donde
63
82 18 2
0 04
2 16.30*10
3 137.0A a cm
e
,
1
1
,
y
2 2
1 0 13.60h Z h Z eV
es la energía umbral (notar que: 1 0 para el hidrógeno neutro).
Los fotones producidos por fotoionización tienen una distribución
inicial de energía que depende de J a
h
. Sin embargo, la sección transversal
para dispersiones por colisión elástica entre electrones es realmente grande,
del orden de
22
13 2
24 10
ecm
m
, y estas colisiones tienden a establecer una
distribución de Maxwel-Boltzmann para la energía. La sección transversal de
recombinación y todas las otras secciones transversales que se presentan en la
nebulosa son mucho más pequeñas. Así, con muy buena aproximación, la
distribución de los electrones fotoionizados se puede considerar como una
función Maxweliana, y por lo tanto todos los procesos colisionales ocurren en
razones fijadas por la temperatura local definida por su maxweliana. Por lo
tanto el coeficiente de recombinación a cierto nivel especificado nL puede ser
escrito como
0 0
0, ,nL nLH T H f d
,
donde
2
3
22 2
4
2
m
kTm
f ekT
es la función de distribución de Maxwel-Boltzmann para las velocidades de
los electrones, y
64
0 ,nL H
es la sección transversal de recombinación al nivel nL en el hidrógeno neutro,
para electrones con velocidad . Esta sección transversal varía
aproximadamente como 2 , y el coeficiente de recombinación, el cual es
proporcional a , por lo tanto varía como 1
2T
. En el próximo capítulo
calcularemos valores para el coeficiente de recombinación para los niveles con
numero cuántico principal desde 1 a 20 y orbital desde 0 a 19, para
temperaturas de 1250ºK, 2500ºK, 5000ºK, 10000ºK, 15000ºK, 20000ºK, y
40000ºK; para las temperaturas de 5000ºK, 10000ºK, 15000ºK, 20000ºK, la
velocidad media de los electrones es del orden de 75*10 cms
y la sección
transversal de recombinación para estas velocidades será del orden de 20 210 cm a 21 210 cm [11] que es mucho menor comparado con la sección
transversal geométrica del átomo de hidrógeno.
En la aproximación nebular discutida previamente la recombinación a
cualquier nivel nL , es seguida por transiciones por cascada hacia abajo hasta
llegar rápidamente al nivel 1s , y el coeficiente de recombinación total es la
suma de las capturas a todo los niveles, comúnmente escrito como
0
,
,A nL
n L
H T
1
0
0
,n
nL
n L
H T
0
1
,n
n
H T
donde n es el coeficiente de recombinación para todos los niveles con
número cuántico principal n . Un valor típico del tiempo de recombinación es
12 51 3*10 10
r
e A e e
s añosN N N
,
donde eN es la densidad de electrones; también las desviaciones desde el
equilibrio de ionización decaen en el tiempo en ese orden de magnitud.
65
Luego de estudiar la recombinación (mediante el coeficiente de
recombinación) ahora estudiemos la fotoionización (mediante el coeficiente de
emisión).
Consideremos el problema de una estrella rodeada de una nube de gas
estática y homogénea conteniendo sólo hidrógeno al cual ioniza. Unicamente
la radiación con frecuencia 0 es efectiva para la fotoionización del
hidrógeno desde el nivel base, y la ecuación de equilibrio de fotoionización en
cada punto puede escribirse como [11]
0
0
04,p e AH
JN a d N N H T
h
donde J es la intensidad específica media de radiación electromagnética de
la estrella y la que se produce por el efecto de cascada.
La ecuación de transferencia de radiación con 0 puede escribirse en
la forma [11]
0H
dIN a I j
ds
,
donde I es la intensidad específica de radiación y j es el coeficiente de
emisión específica local (en unidades de energía por volumen, tiempo, ángulo
sólido y frecuencia) de la radiación ionizante.
Conviene dividir el campo de radiación en 2 partes, una parte estelar
que es resultado directo de la radiación que emite la estrella y una parte difusa
resultado de la emisión del gas ionizado.
s dI I I
La radiación estelar decrece antes de llegar y al entrar a la nube debido
a la dilución geométrica (inversamente al cuadrado de la distancia) y a la
absorción. Dado que la única fuente es la estrella, esto puede escribirse como
[11]
2
24
s s s
R eJ F r F R
r
66
donde
s
F r es el flujo de la radiación estelar por unidad de área, tiempo e
intervalo de frecuencia a una distancia r;
s
F R es el flujo a una distancia de justo el radio R de la estrella, es decir en
su superficie y
es el camino óptico radial a una distancia r ,
00
r
HN r a dr ,
el cual también puede ser escrito en términos del camino óptico en el
umbral 0 (comienzos de la nebulosa) como
0
o
ar r
a
.
La ecuación de transferencia para la radiación difusa d
I es
0
d
dH
dIN r a I j
ds
,
y para 0kT h la única fuente de radiación ionizante son las recapturas de
los electrones desde el nivel 1s, ya que es el fotón de mayor energía que se
emite en la recombinación. El coeficiente de radiación para esta emisión es
0
33 2 2
2
2
2
h
kTp e
h hj T a e N N
c mkT
0 ,
el cual tiene un peak en el umbral 0 .
El número total de fotones generados por recombinación al nivel base está
dado por el coeficiente de recombinación mediante la siguiente relación:
0
0
1
4,p e s
Jd N N H T
h
67
y dado que 1s A , en promedio el campo de radiación difusa d
J es más
pequeño que el campo de radiación estelar s
J , y podemos calcularlo por un
procedimiento iterativo. Para una nebulosa ópticamente delgada, una primera
muy buena aproximación es tomar 0.d
J
Por otro lado, para nebulosas ópticamente gruesas, una primera buena
aproximación es el hecho de que no todos los fotones ionizantes pueden
escapar de la nebulosa, así que todos los fotones del campo de radiación
difuso generados dentro de la nebulosa son absorbidos en cualquier otro punto
en la nebulosa, hecho que se traduce en la siguiente ecuación:
04 4 d
H
a JJdV N dV
h h
,
donde la integración es en el volumen entero de la nebulosa. Esta relación se
satisface inmediatamente mediante la aproximación de punto spot
(aproximación en el punto mismo) que se expresa mediante la siguiente
relación local:
0
d
H
jJ
N a
,
que indica que toda radiación que se genera en un punto dentro de la nebulosa,
es absorbida en un punto muy cercano a él. Ésta aproximación es muy buena
debido a que los fotones del campo de radiación difusa tienen 0 , y esto
implica una gran sección transversal de fotoionización a y por lo tanto un
pequeño camino libre medio para el fotón antes de ser absorbido.
Tomando la aproximación on the spot y usando la ecuación de dilución
geométrica y la del número total de fotones generados por fotoionización,
entonces la ecuación de equilibrio de ionización será:
0
0
2
0
2,H
p e B
N R F Ra e d N N H T
r h
donde
68
0 0 0
1, , ,B A sH T H T H T
0
2
,n H T
.
El significado físico es que en las nebulosas ópticamente gruesas, la
ionización causada por fotones del campo de radiación estelar es balanceado
por recombinaciones a niveles excitados del hidrógeno, mientras que
recombinaciones al nivel base generan fotones que a su vez pueden ionizar, y
que por tanto son absorbidos en cualquier otro punto en la nebulosa, sin tener
un efecto neto en el balance de ionización global en la nebulosa. Para
cualquier espectro estelar incidente F R , la integral de esta última ecuación
puede ser tabulada como una función conocida de 0 dado que a y son
funciones conocidas de . Así, para cualquier distribución de densidades
asumida
0H pHN r N R N r
y distribución de temperatura T r , las ecuaciones
0
0
2
0
2,H
p e B
N R F Ra e d N N H T
r h
y 00
r
HN r a dr
pueden integrarse para encontrar
0HN R y p eN r N r .
§ II.2.4- Equilibrio térmico en nebulosas
La temperatura en una nebulosa estática es fijada por el equilibrio entre
el calentamiento por fotoionización y el enfriamiento por recombinación y
radiación de la nebulosa [11]. Cuando un fotón de energía h es absorbido
causando una ionización del hidrógeno, el fotoelectrón producido tiene una
energía inicial 2
0
1
2m h , y podemos pensar en un electrón que ha sido
creado (está libre del átomo de hidrógeno) con dicha energía . Los electrones
69
así producidos son rápidamente termalizados, y en equilibrio de ionización
estas fotoionizaciones son balanceadas por igual número de recombinaciones.
En cada recombinación un electrón térmico con energía 21
2m desaparece, y
un promedio de estas cantidades sobre todas las recombinaciones representa la
energía media que “desaparece” por recombinación. La diferencia entre la
energía media de un fotoelectrón creado nuevamente y la energía media
perdida por un electrón recombinandose, representa la ganancia neta en
energía por el gas de electrones por el proceso de fotoionización. En equilibrio
esta energía neta ganada es balanceada por la pérdida de energía por radiación,
fundamentalmente por excitación del electrón del átomo, ya sea por colisión
con un electrón o un ion, llevando al electrón a niveles externos, seguido por
la emisión de fotones que pueden escapar de la nebulosa. La emisión libre-
libre o la de Bremsstrahlung, es otro mecanismo menos importante por el cual
se pierde energía [11].
La energía entrante por fotoionización considerando una nebulosa que
contiene sólo hidrógeno (por unidad de volumen y tiempo) en cualquier punto
específico de la nebulosa esta dado por (Osterbrock [11]):
0
0
0
0
4H
JG H N h a H d
h
0 3,
2p e A iN N H T kT
la expresión 3
2ikT representa la temperatura inicial del fotoelectrón creado
nuevamente. Desde esta ecuación puede verse que la energía media de un
fotoelectrón creado nuevamente depende de la forma del campo de radiación
incidente, pero no en absoluto de la intensidad de la radiación.
La energía cinética perdida por el gas de electrones (por unidad de
volumen y tiempo) en la recombinación puede escribirse como:
0 ,R p e AL H N N kT H T ,
donde
70
0 0
1
, ,A n
n
H T H T
1
0
1 0
,n
nL
n L
H T
,
con
0 0 2
0
1 1, ,
2nL nLH T H T m f d
kT
,
llamada coeficiente de enfriamiento por recombinación, dada en 3cm
s, valores
para éste coeficiente se pueden encontrar en Osterbrock, D (1989) Pág. 51
En una nebulosa que contiene solamente hidrógeno y que no pierde
radiación, la ecuación de equilibrio térmico podría escribirse como
RG H L H ,
y la solución para la temperatura nebular podría dar un iT T gracias al
calentamiento debido a la captura preferencial de electrones más lentos.
Otros dos mecanismos menos importantes de enfriamiento son las
radiaciones libre-libre y las colisionales, así la ecuación de equilibrio térmico
se escribirá:
R FF CG L L L .
71
§ II.3- Ecuación de Saha y Boltzmann.
Entre las propiedades ópticas de los átomos, la más importante es el de
su espectro de radiación, para un hidrogenoide (o hidrógeno isoelectrónico,
ej. He+, Li
++, Be
+++, y otros) las frecuencias de las rayas en el espectro de
lineas (discreto) se define por la fórmula de Balmer-Rydberg [14]:
2
2 2
1 1Z R
n m
donde
4
2 3
08
meR
h (en el sistema SI)
y
2 4
3
2 meR
h
(en el sistema de Gauss).
Las magnitudes R y RRc
son las constantes de Rydberg en 1s y
1 -1 o mcm respectivamente: 15 13.2931193*10R s y 7 11.0973731*10R m ; y
1, 2, 3 m n n n etc.
La energía para un ion hidrogenoide teniendo a su electrón en el estado
correspondiente al número cuántico principal es
2
2n
Z RhE
n
Se denomina energía de enlace del electrón en el átomo, la magnitud
absoluta de nE . El valor mínimo 1E (para 1n )corresponde al estado
fundamental, normal o base del átomo. Todos los valores de la energía para
1n caracterizan los estados excitados del átomo.
El valor máximo áx 0mE para ncorresponde a la ionización del
átomo o ion, es decir a la separación el átomo de él. La energía de ionización
es igual a la energía de enlace del electrón en el átomo (o ion).
El potencial de ionización de un hidrogenoide que se encuentre en el
estado de número cuántico principal n (o que tenga a su electrón en ese
estado), es
72
2
2
Z Rh
en ,
donde e , es la magnitud absoluta de la carga del electrón, y por tanto la
energía de ionización de un hidrogenoide que tiene a su electrón en el estado
n será: 2 2
2 20I max n n
Z Rh Z RhE E E E
n n
,
que demuestra lo que se dijo anteriormente.
En equilibrio termodinámico a temperatura T , los átomos están
distribuidos sobre sus niveles ligados de acuerdo a la ecuación de excitación
de Boltzmann.
Denotemos por ijkn a la densidad numérica de átomos en el nivel
excitado i de estado de ionización j de la especie química k , donde 0i
denota al estado base, 1i al estado de excitación 1 (dependiente de todos los
números cuánticos, no solamente con n i ), y así sucesivamente, 0j denota
al átomo neutro, 1j denota al átomo una vez ionizado, etc.
Sea ijk la energía de excitación relativo al estado base del átomo
(energía que se necesita para llevar un electrón desde su estado base al nivel
excitado i ) y sea ijkg el peso estadístico asignado al nivel dado por la
degeneración de sus subniveles (ej. 2 1j estados en la ausencia de campo
magnético). Entonces de acuerdo a la ley de Boltzmann, la población de
cualquier nivel excitado es: *
0 0
ijk
ijk ijk kT
jk jk
n ge
n g
donde el subíndice 0 denota el nivel base y * indica que ésta ecuación se
cumple en equilibrio termodinámico local (LTE). Para dos niveles excitados,
m y l la ecuación de Boltzmann será:
*mjk ljk
mjk mjk kT
ljk ljk
n ge
n g
lmh
mjk kT
ljk
ge
g
,
73
donde mlh es la energía del fotón que es igual a la diferencia de energía de los
dos niveles.
Las densidades numéricas de átomos e iones en estados sucesivos de
ionización puede hallarse desde la ecuación de Saha, la cual es una extensión
de la ecuación de Boltzmann para estados libres.
La forma básica de la ecuación de Saha se da por la siguiente relación
[8] (Mihalas 1978):
,0,
32 2
0,0,* * *
00 0,1,
0,1,
1
2 2
I k
k kTk k e
k
ghn n n e
mkT g
donde , ,I j k es el potencial de ionización. Esta ecuación aplicada entre dos
estados sucesivos de ionización tiene la forma:
, ,
32 2
0, ,* * *
0 0, 1,
0, 1,
1
2 2
I j k
j k kTjk j k e
j k
ghn n n e
mkT g
Aplicando la ecuación de Boltzmann, podemos encontrar la población o
densidad numérica de átomos en cualquier estado de excitación y por tanto ya
tendremos la población en cualquier estado de ionización y excitación en
términos de la temperatura, la densidad de electrones y la población en el
estado base del átomo en estado de ionización 1j (población del ion 1j ), a
saber:
, , , ,
32 2
, ,* * *
0, 1,
0, 1,
1
2 2
I j k i j k
i j k kTijk j k e
j k
ghn n n e
mkT g
.
Esta es la forma más usada de la ecuación de Saha. El superindice * en
el lado derecho de la ecuación anterior se puede omitir, por que esta ecuación
se puede usar para definir poblaciones en LTE en todas las ecuaciones en
desequilibrio local termodinámico (non-LTE), pero siempre en equilibrio
estadístico.
74
§ II.4- Espectro emitido por nebulosas gaseosas
Las líneas de recombinación del espectro de las regiones HI o H0
(Hidrógeno neutro) son producidas por saltos (del electrón capturado desde el
continuo) entre los niveles; pasando por niveles excitados hasta el nivel base;
éstos saltos son llamados por cascada hacia abajo. En el límite de bajas
densidades, los únicos procesos que necesitan ser considerados son los de
capturas o recombinaciones y transiciones radiativas hacia abajo o cascada.
Así la ecuación de equilibrio estadístico para cualquier nivel designado por nL
puede ser escrita como
1
, ,
1 1 1 1
n
p e nL n L n L nL nL nL n L
n n L L n L L
N N T N A N A
, (II.4.1)
Note que en general la probabilidad de transición por segundo , 0n L n LA
solamente si 1L L , teniendo a la única excepción al caso 2 ,1s sA .
El primer sumando del lado izquierdo de la ecuación (II.4.1) representa
la densidad numérica de electrones recombinándose (densidad numérica de
recombinaciones) al nivel nL ; aquí nL T es el coeficiente de recombinación
al nivel excitado nL . El segundo sumando indica a la densidad numérica de
electrones que llegan al nivel nL vía cascada desde niveles excitados más
altos. Aquí n LN es la densidad numérica de electrones que pueblan al nivel
n L (población del nivel n L que está por encima del nivel nL ) y ,n L nLA es la
probabilidad de transición de un electrón desde el nivel n L al nivel nL . El
lado derecho de la ecuación nos indica la densidad numérica de electrones que
caen por cascada desde el nivel nL a niveles de excitación inferiores. Aquí
nLN es la densidad numérica de electrones poblando el nivel nL y ,nL n LA es la
probabilidad por segundo de que ocurra la transición de un electrón que
puebla el nivel nL al nivel inferior n L .
Así la ecuación (II.4.1) nos indica en resumidas cuentas que el número
de electrones que llegan al nivel nL , ya sea por recombinación o por cascada
desde niveles superiores, son los que tienen que caer por cascada a niveles
inferiores. No se toman en cuenta las transiciones por cascada hacia arriba por
que se supone que la nube de gas no es densa así se supone que no existen
colisiones que exciten a los átomos y lleven sus electrones ya sea a niveles
superiores como inferiores y tampoco se toma en cuenta que la radiación
dentro de la nebulosa pueda excitar a los átomos llevando a sus electrones a
75
niveles superiores; la radiación estelar (la que proviene desde la estrella) se
absorbe ionizando directamente al átomo y creando radiación secundaria
(efecto llamado trituración de los fotones) que son los fotones que se crean por
cascada de los electrones que se recombinaron (por equilibrio de
fotoionización dijimos que todos los electrones fotoionizados se recombinan
nuevamente en cualquier punto de la nebulosa. Es más, en la aproximación de
punto spot se absorbe en un lugar muy cercano al punto donde se fotocreo),
estos fotones creados no tienen la energía suficiente para fotoionizar y por
tanto la nube es ópticamente delgada para ellos y son los que salen de la
nebulosa y llegan a nosotros.
Es conveniente expresar las poblaciones en términos de los factores sin
dimensión nLb que miden la desviación desde el equilibrio termodinámico a
temperatura local T , pN y eN . Los motivos que llevan al desequilibrio son
principalmente los efectos colisionales y los de fotoexcitación.
Dado que en equilibrio termodinámico tanto la ecuación de Saha
0
3
2
2
1
2h
p e kT
s
N N mkTe
N h
, (II.4.2)
y la ecuación de Boltzmann
1
2 1nX
nL kT
s
NL e
N
(II.4.3)
se pueden aplicar, entonces a partir de estas ecuaciones (que son formas
particulares de las que dimos anteriormente para el átomo de H), podemos
encontrar la población del nivel nL en equilibrio termodinámico, a saber:
32 2
2 12
nX
kTnL p e
hN L e N N
mkT
, (II.4.4)
donde
00 2nL n
hX h
n
(II.4.5)
76
es el potencial de ionización del nivel nL . Por lo tanto las poblaciones pueden
ser escritas en forma general como:
32 2
2 12
nX
kTnL nL p e
hN b L e N N
mkT
, (II.4.6)
y 1nLb en el equilibrio termodinámico.
Sustituyendo (II.4.6) en (II.4.1) podemos encontrar estas desviaciones
del equilibrio, teniendo así:
312
, ,21 1 1
2 2 1
2 1 2 1
n n n
K
X X X nnL kT kT
n L n L nL nL nL n L
n n n L n L L
mkT Le b A e b A
L h L
(II.4.7)
Podemos ver que esta ecuación puede resolverse por un procedimiento
sistemático al trabajar disminuyendo n ; como los nLb son conocidos para todo
Kn n , comenzando con un último nivel considerado, donde los ,nL n LA para
niveles mayores se consideran cero; entonces las n ecuaciones (II.4.7), con
0,1,2,..., 1L n para 1Kn n , tienen un único valor no conocido nLb y pueden
ser resueltas inmediatamente, y así sucesivamente hacia abajo. Al calcular los
nLb en último nivel considerado no se necesitarán los nLb anteriores por que las
probabilidades de transición espontáneas se consideran cero cuando la
transición es en el mismo n .
Otra forma más elegante de solucionar la ecuación de equilibrio
estadístico (II.4.1) es vía las matrices de cascada ,nL n LC , que se define como la
probabilidad de que la población de nL sea seguida por una transición a n L
vía toda posible ruta de cascada. La matriz de cascada puede ser generada
directamente desde la matriz de probabilidad ,nL n LP que da la probabilidad que
la población del nivel nL sea seguida por una transición radiativa directa al
nivel n L ,
,
, 1
,
1 1
nL n L
nL n L n
nL n L
n L L
AP
A
, (II.4.8)
77
la cual es cero a menos que 1L L a excepción del caso 2 ,1s sA que no es cero
pero que se lo podría considerar así por ser muy pequeño comparado con los
demás.
Dado que
para 1n n ,
, 1 , 1nL n L nL n LC P ;
para 2n n ,
, 2 , 2 , 1 1 , 2
1
nL n L nL n L nL n L n L n L
L L
C P C P
para 3n n
, 3 , 3 , 1 1 , 3 , 2 2 , 3
1
nL n L nL n L nL n L n L n L nL n L n L n L
L L
C P C P C P
etc. Así que si definimos:
,nL nL LLC (II.4.9)
entonces en general tendremos:
, , ,
1 1
n
nL n L nL n L n L n L
n n L L
C C P
(II.4.10)
La solución de las ecuaciones de equilibrio (II.4.1) la escribimos abajo.
Las poblaciones de los niveles nL serán fijadas por el balance entre
recombinaciones a todos los niveles n n que caen por cascada a nL y por
transiciones radiativas desde nL hacia niveles inferiores; Así tendremos
(Osterbrock):
1 1
, ,
0 1 1
n n
p e n L n L nL nL nL n L
n n L n L L
N N T C N A
(II.4.11)
78
Es conveniente expresar los resultados en esta forma debido a que una
vez que se encuentra las matrices cascada, éstas pueden usarse para encontrar
los factores nLb o las poblaciones nLN a cualquier temperatura, o incluso para
casos en los cuales las poblaciones ocurren por otros procesos no radiativos,
tal como la excitación debido a colisiones, ya sea por electrones o fotones,
trasladando al electrón ya sea desde el nivel base o desde cualquier nivel
excitado que esté por encima, debajo o al mismo nivel que el nL (mismo n )
considerado hasta nL . Si se toma un ám xn y se fitea los resultados para nL y
,nL n LC , se puede extrapolar los resultados para encontrar el valor para n .
Una vez que las poblaciones nLN han sido encontradas, los coeficientes
de emisión en cada línea (intensidad desde n a otro n ) se pueden encontrar
mediante la siguiente expresión
1
,
0 14
nnn
nn nL nL n L
L L L
hj N A
. (II.4.12)
La situación que se ha estado considerando es comúnmente llamado
caso A en la teoría de radiación de la línea de recombinación, donde se asume
que todos los fotones emitidos escapan de la nebulosa sin ser absorbidos y por
lo tanto sin causar futuras transiciones hacia arriba. El caso A es así una buena
aproximación para nebulosas gaseosas que son ópticamente delgadas en todas
las líneas de resonancia HI, de hecho éstas nubes también son poco densas,
débiles para ser observadas sencillamente.
Las nebulosas que contienen cantidades observables de gas
generalmente tienen un largo camino óptico, lo que quiere decir 1 en las
líneas de resonancia Lyman de HI. Esto puede verse en la ecuación de la
sección transversal de la línea central de absorción,
13
21
0 ,1
3
8 2
n Hn np s
ma L A
kT
(II.4.13)
donde n1 es la longitud de onda de la línea (se tiene mayor camino óptico
cuando menor es la sección transversal y para este caso cuanto menor es la
longitud de onda del fotón incidente y por tanto cuanto mayor sea la energía
del fotón, como es el caso de los fotones Lyman). Así a una temperatura típica
79
10000ºT K el camino óptico en L es alrededor de 104 veces el camino óptico
al límite Lyman 0 de la ionización al continuo. Y una nebulosa con
ionización limitada con 0 1 , por lo tanto tiene:
410L ,
310L ,
28 10L y
18 10L .
En cada dispersión existe una probabilidad finita de que un fotón de la serie
Lyman sea convertido en fotones de series más bajas (Balmer, Paschen,
Brackett, Pfund, etc.), más un número más pequeño de fotones en la serie
Lyman. Así por ejemplo un átomo de hidrogeno neutro (HI) absorbe un fotón
L este eleva a su electrón desde el nivel base al nivel 3p , luego este electrón
tiene la probabilidad 0.882 de caer nuevamente al nivel 1s 3 ,1 31,10 0.882p sP P
emitiendo otra vez un fotón H , y si sigue este proceso este fotón nunca
escaparía de la nebulosa, pero también tiene la probabilidad de que éste fotón
L sea convertido en un fotón H con una probabilidad de
3 ,2 31,20 0.118p sP P más 2 fotones en el continuo, debido a la transición 2 1s s .
En este caso, de la nebulosa saldrán estos dos fotones más el fotón H y no el
fotón L (después de 9 dispersiones en promedio, un fotón L se convierte en
un fotón H ). Así mismo un fotón L tiene la probabilidad de generar otra vez
un fotón L , en éste caso tampoco escaparía de la nebulosa por tener un
camino óptico largo siendo nuevamente absorbido por la nebulosa, pero
también tiene la probabilidad de convertirse en un fotón P más un fotón H y
más un fotón L , y también tiene la probabilidad de convertirse en un fotón
H , más dos fotones 2 1s s al continuo. Los fotones L continuamente son
absorbidos y emitidos, sin crear otros fotones y sin escapar de la nebulosa. Así
podemos observar que para nubes relativamente densas, los fotones Lyman no
pueden escapar de la nebulosa; sólo se escapan los fotones a los cuales se
transforman, es decir a los fotones de las series más bajas, por lo tanto en estos
casos de largos caminos ópticos, una mejor aproximación que el caso A es el
llamado caso B, en que se asume que los fotones Lyman no aportan al
espectro que sale de la nebulosa. Sin embargo la situación real es intermedia,
80
y es similar al caso B para las líneas Lyman mas bajas, pero progresa
continuamente a una situación cercana al caso A cuando n y 1nL .
Bajo condiciones del caso B, cualquier fotón emitido en una transición
1np s (fotón Lyman), es inmediatamente absorbido en las cercanías del
punto de emisión en la propia nebulosa, así poblando el nivel n en algún otro
átomo. Dado que en el caso B las transiciones hacia el nivel 1s no se
consideran, entonces en las ecuaciones (II.4.1), (II.4.7), (II.4.8), y (II.4.11)
simplemente se hace 0 2n n para considerar este caso; así, con esta
consideración no se sumaran los aportes de las líneas Lyman.
Algunas veces es conveniente usar el coeficiente de recombinación
efectivo, definido por
1
,
0 1
4neff nn
p e nn nL nL n L
L L L nn
jN N N A
h
(II.4.14)
Para iones del tipo hidrogenoide de carga nuclear Z , toda las
probabilidades de transición ,nL n LA son proporcionales a 4Z . Así, las matrices
,nL n LP y ,nL n LC son independientes de Z . Los coeficientes nL escalan como
2, 1,nL nL
TZ T Z
Z
;
el coeficiente de recombinación efectivo escala de la misma manera
2, 1,eff eff
nL nL
TZ T Z
Z
,
y dado que las energías nnh escalan como
2 1nn nnZ Z ,
entonces el coeficiente de emisión para un hidrogenoide será:
3
2, 1,nn nn
Tj Z T Z j
Z
. (II.4.15)
81
Así los cálculos que se efectuaran para HI a temperatura T, podrán ser
aplicados también al HII ( He ) (multiplicado por 32 ), ya que
3
22, 2 1,
2
HeII HI
nn nn
Tj T j
;
ahora si 4T T , entonces
32,4 2 1,HeII HI
nn nnj T j T .
Para las regiones HeII también podemos considerar el caso B.
Otro efecto que también hace cambiar la intensidad de las líneas, es la
colisión con electrones y protones que provoca transiciones debido al cambio
de momento angular, además de estos efectos también existen transiciones
debido al campo de radiación electromagnética exterior y el que se genera en
la propia nube de gas. Estas correcciones también pueden incluirse en la
ecuación de equilibrio estadístico (II.4.1) teniendo así la ecuación:
0
0
,
1 1
1
, ,
1 1 1
1
, ,
1 1 1
,
1 1
p e nL n L n L nL
n n L L
ne e
n L n L nL n L n L nL
n n L L n n L L
np p
n L n L nL n L n L nL
n n L L n n L L
n L n L nL
n n L L
N N T N A
N Neq N Neq
N Npq N Npq
N B J
0
0
0
0
1
, ,,
1
1
,
1
1
, ,
1 1 1
1
, ,
1 1 1
[
n
n L nL n L nLn L n L nL
n n L L
n
nL nL n L
n n L L
ne e
n L nL n L nL
n n L L n n L L
np p
n L nL n L nL
n n L L n n L L
N B J
N A
Neq Neq
Npq Npq
0
1
, ,, ,
1 1 1
]n
n L nL n L nLn L nL n L nL
n n L L n n L L
B J B J
(II.4.16)
82
Esta ecuación nos indica que la densidad numérica de átomos en los cuales se
está poblando su nivel nL es igual a la densidad numérica de átomos en los
cuales se está despoblando su nivel nL . El primer término p e nLN N T de la
ecuación nos indica la población debido a capturas directas desde el continuo
(transición libre - ligado). Aquí como dijimos nL T es el coeficiente de
recombinación; el segundo término (término radiativo) ,
1 1
n L n L nL
n n L L
N A
nos
indica las poblaciones debido a transiciones radiativas espontaneas hacia abajo
aquí como dijimos ,n L nLA es la probabilidad de transición espontanea desde el
nivel n L al nivel nL , este salto espontáneo obviamente sólo puede ocurrir
hacia abajo. El tercer y cuarto términos
0
1
, ,
1 1 1
ne e
n L n L nL n L n L nL
n n L L n n L L
N Neq N Neq
nos indican cambios en las poblaciones debidos a colisiones a electrones
circundantes, el primero gracias a saltos hacia abajo (pierde energía en la
colisión), , ,
e e
n L nL n L nLC Neq con n n será entonces la probabilidad de de-
excitación colisional debido a electrones y ,
e
n L nLq el coeficiente de
desexcitación colisional y el segundo gracias a saltos hacia arriba (gana
energía en la colisión), , ,
e e
n L nL n L nLC Neq con n n será entonces la
probabilidad de excitación colisional y ,
e
n L nLq el coeficiente de excitación
colisional debido a colisiones con electrones. Más adelante indicaremos cómo
se hallan estos coeficientes; el cálculo de estos coeficientes se hacen en la
sección § III.2- (Cálculo de las probabilidades de transición). El 5º y 6º
término
0
1
, ,
1 1 1
np p
n L n L nL n L n L nL
n n L L n n L L
N Npq N Npq
tienen significado equivalente, pero con colisiones con protones, aparecerán
los coeficientes , ,
p e
n L nL n L nLC Neq n n y , ,
p e
n L nL n L nLC Neq n n .
El 7º y 8º término (también términos radiativos)
83
0
1
, ,, ,
1 1 1
n
n L nL n L nLn L n L nL n L n L nL
n n L L n n L L
N B J N B J
tienen el mismo significado, pero con colisiones con fotones, es decir son
transiciones que ocurren debido al campo electromagnético que puede ser la
suma del campo circundante generado por la misma nube y la del campo
incidente desde el exterior de la nube, como puede ser la estrella o las estrellas
a las que rodea la nebulosa. ,, n L nLn L nLB J , es el coeficiente de-excitación gracias
a la radiación inducida y el siguiente ,, n L nLn L nLB J será el coeficiente excitación
por radiación inducida, que son diferentes debido a que están en diferentes
sumandos. Al lado derecho de la ecuación los significados son los mismos,
pero esta vez despoblando el nivel nL (por eso sale como factor común nLN ).
Para poder solucionar la ecuación de equilibrio estadístico (II.4.16)
podemos usar los coeficientes de apartamiento del ETD nLb y tener una
ecuación equivalente a (II.4.7). También podemos usar el método de cascada;
así definiremos una nueva probabilidad equivalente a (II.4.8)
,, , , ,
, 1 1 1 1
,, , , ,
1 1 1 1 1 1 1 1
e pn L nLn L nL n L nL n L nL n L nL
n L nL n n n ne p
n L n Ln L n L n L n L n L n L n L n L
n L L n L L n L L n L L
A C C B JP
A C C B J
.
(II.4.17)
Las matrices cascada se hallan con la misma ecuación (II.4.10), pero ahora
con esta probabilidad, especificando ahora para los dos casos (transiciones
hacia abajo y arriba) los límites de la primera sumatoria; así tendremos:
max( , )
, , ,
min( , ) 1 1
n n
n L nL n L n L n L nL
n n n L L
C C P
. (II.4.18)
Y para encontrar las abundancias use ecuación equivalente a (II.4.11), a saber:
84
1
,
0
*n
p e n L n L nL nL
n n L
N N T C N
1 1 1 1
,, , , ,
1 1 1 1 1 1 1 1
n n n ne p
nL n LnL n L nL n L nL n L nL n L
n L L n L L n L L n L L
A C C B J
. (II.4.19)
Y para hallar los coeficientes de emisión usamos la ecuación (II.4.12), con lo
cual se tendrá teóricamente, con mucho más realismo y complejidad el
espectro emergente de la nube de gas.
85
III.- POBLACIÓN DE NIVELES ATÓMICOS.
§ III.1-Cálculo de los coeficientes de recombinación.
Para calcular los coeficientes de emisión necesitaremos primeramente
calcular los coeficientes de recombinación, éstos los calculamos programando
la relación Burgess (1959) (para cualquier ion hidrogenoide):
1 332
2 24 0 2
2
82
3nl nl
a kZ T f T
c m
(III.1.1)
donde
22 e
ch
es la constante de estructura fina,
2
0 2a
me
es el radio de Bohr, e es la carga del electrón, m su masa, c la velocidad de la
luz, h la constante de Planck, y:
1 12 2
1 1 1 121
n
l l
x
nl l n l n l n l n
ef T l x E x l x E x
n
(III.1.2)
donde:
1 ,0 1l nl
y
1 , 1l nl l ,
se calcularon desde las siguientes fórmulas (Burgess, A),
86
1
122 2
0
2 ( 2)!,0 2 ( , )
( )!( 1)! (2 1)!
n ln l l n
t t
t
n lnl l n e q F n l
n l n l l
, (III.1.3)
y
1
0
1 2
0
( 1)(2 1), 2 1 1
63( 1) ( , )
n l
t t
t
n l
t
t
p Kl l l
nl ln
l q F n l
, (III.1.4)
donde
0 1q ,
1
1 1
2 3t t
l l n t n tq q
t n l t
, 1t ,
4 3t tp l n t l n t q ,
1 1
1 2, , 1
1 2 3t t t
l l n l n tK F n l F n l
l l
;
y donde:
1 1, 1,2 2;2 , ;tF n l F l n t l n M a b z
es la Función Hypergeométrica Confluente, definida por la serie:
Abramowitz and Stegun (1965) (Kummer’s function):
2
1 2
1 2
, ; 1 ... ...1! 2! !
n
n
n
a za z a zM a b z
b b b n (III.1.5)
donde n
a y n
b tienen la forma:
1 2 ... 1n
a a a a a n , 0
1a .
Y 1l nE x es la función incompleta gamma:
87
12
1l
nl n
xE x e d
(III.1.6)
donde 2
15.788nn
Ix
kT tn (III.1.7)
con
4
º
10
T Kt
Los programas de éste cálculo se dan en el Apéndice I (para calcular la
función incompleta gamma se uso el programa computacional Maple V) y los
resultados de 1 ,0 1l nl y 1 , 1l nl l se dan en la siguiente tabla dada
por Burgess, A (1959) y completada por nuestros cálculos hasta 20n , a
saber:
(Las tablas se encuentran en CD en la dirección
D:/Tesis_CD/tablas/ matrices_RecombinationCoeff)
88
89
n l l` n l l` n l l`
13 0 1 1,1992 2,1543 15 4 5 1,6058 2,2665 17 4 5 1,5501 2,2249
1 0 0,8690 2,3333 5 4 0,3778 3,002 5 4 0,4107 2,9249
1 2 1,3598 2,1226 5 6 1,6276 2,412 5 6 1,5886 2,3336
2 1 0,7142 2,4741 6 5 0,2282 3,2487 6 5 0,3245 1,1377
2 3 1,4999 2,1386 6 7 1,592 2,6196 6 7 1,5832 2,4916
3 2 0,5725 2,6480 7 6 0,2125 3,5362 7 6 0,2498 3,3828
3 4 1,6027 2,2043 7 8 1,4934 2,8969 7 8 1,5279 2,7046
4 3 0,4464 2,8570 8 7 0,1503 3,8713 8 7 0,1865 3,6651
4 5 1,6646 2,3335 8 9 1,3328 3,2551 8 9 1,4208 2,9788
5 4 0,3369 3,1053 9 8 0,1009 4,2617 9 8 0,1343 3,9902
5 6 1,6565 2,5338 9 10 1,1199 3,6933 9 10 1,2648 3,3205
6 5 0,2446 3,3993 10 9 0,0634 4,7161 10 9 0,0925 4,3644
6 7 1,5716 2,8153 10 11 0,8733 4,2289 10 11 1,0694 3,7362
7 6 0,1691 3,7470 11 10 0,0365 5,2434 11 10 0,0603 4,7945
7 8 1,4068 3,1885 11 12 0,6190 4,8677 11 12 0,8497 4,2324
8 7 0,1096 4,1583 12 11 0,0187 5,8533 12 11 0,0367 5,2877
8 9 1,1713 3,6643 12 13 0,3861 5,6181 12 13 0,6254 4,8158
9 8 0,0657 4,6442 13 12 0,0080 6,5556 13 12 0,0204 5,8515
9 10 0,8885 4,2540 13 14 0,1997 6,4889 13 14 0,4177 5,4932
10 9 0,0350 5,2168 14 13 0,0025 7,3600 14 13 0,0100 6,4934
10 11 0,5944 4,9689 14 15 0,0742 7,4889 14 15 0,2451 6,2712
11 10 0,0156 5,8886 16 0 1 1,1418 2,1738 15 14 0,0041 7,2212
11 12 0,3305 5,8205 1 0 0,8635 2,3333 15 16 0,1190 7,1569
12 11 0,0051 6,6726 1 2 1,2776 2,1368 16 15 0,0012 8,0427
12 13 0,1322 6,8205 2 1 0,7312 2,4517 16 17 0,0414 8,1569
14 0 1 1,1781 2,1614 2 3 1,4017 2,1329 18 0 1 1,1113 2,1841
1 0 0,8675 2,3333 3 2 0,6079 2,5946 1 0 0,8588 2,3333
1 2 1,3289 2,1274 3 4 1,5050 2,1667 1 2 1,2350 2,1457
2 1 0,7211 2,4656 4 3 0,4955 2,7638 2 1 0,7380 2,4408
2 3 1,4639 2,1341 4 5 1,5774 2,2433 2 3 1,3497 2,1348
3 2 0,5861 2,6277 5 4 0,3951 2,9608 3 2 0,6244 2,5693
3 4 1,5705 2,0879 5 6 1,6087 2,3688 3 4 1,4486 2,1550
4 3 0,4649 2,8213 6 5 0,3072 3,1893 4 3 0,5196 2,7196
4 5 1,6350 2,2959 6 7 1,5900 2,5492 4 5 1,5240 2,2102
5 4 0,3585 3,0496 7 6 0,2319 3,4539 5 4 0,4248 2,8932
5 6 1,6441 2,4659 7 8 1,5153 2,7914 5 6 1,5679 2,3049
6 5 0,2674 3,3178 8 7 0,2319 3,4539 6 5 0,3403 3,0925
6 7 1,5869 2,7065 8 9 1,5153 2,7914 6 7 1,5731 2,4439
7 6 0,1916 3,6326 9 8 0,1179 4,1153 7 6 0,2664 3,3208
7 8 1,5488 3,0267 9 10 1,2011 3,4892 7 8 1,5337 2,6325
8 7 0,1305 4,0020 10 9 0,0780 4,5260 8 7 0,2031 3,5825
8 9 1,2638 3,4358 10 11 0,9806 3,9592 8 9 1,4471 2,8758
9 8 0,0834 4,4354 11 10 0,0482 5,0003 9 8 0,1500 3,8822
9 10 1,0172 3,9433 11 12 0,7423 4,5201 9 10 1,3145 3,1797
10 9 0,0489 4,9427 12 11 0,0273 5,5464 10 9 0,1067 4,2255
10 11 0,7451 4,5590 12 13 0,5103 5,1792 10 11 1,1423 3,5497
11 10 0,0255 5,5346 13 12 0,0137 6,1729 11 10 0,0726 4,6184
11 12 0,4807 5,2929 13 14 0,3084 5,9442 11 12 0,9420 3,9917
12 11 0,0112 6,2223 14 13 0,0057 6,8885 12 11 0,0466 5,0671
12 13 0,2574 6,1548 14 15 0,1544 6,8229 12 13 0,7294 4,5116
13 12 0,0035 7,0170 15 14 0,0017 7,7018 13 12 0,0279 5,5782
13 14 0,0991 7,1548 15 16 0,0555 7,8229 13 14 0,5228 5,1155
15 0 1 1,1591 2,1679 17 0 1 1,1259 2,1792 14 13 0,0153 6,1584
1 0 0,8656 2,3333 1 0 0,8612 2,3333 14 15 0,3398 5,8092
1 2 1,3020 2,1321 1 2 1,2554 2,1413 15 14 0,0074 6,8147
2 1 0,7267 2,4582 2 1 0,7350 2,4459 15 16 0,1939 6,5989
2 3 1,4313 2,1330 2 3 1,3746 2,1336 16 15 0,0030 7,5538
3 2 0,5978 2,6102 3 2 0,6167 2,5813 16 17 0,0915 7,4907
3 4 1,5365 2,1758 3 4 1,4757 2,1599 17 16 8,59E-04 8,3827
4 3 0,4811 2,7905 4 3 0,5083 2,7404 17 18 0,0309 8,4907
2n
2n
2n
2n
90
n l l` n l l`
19 0 1 1,0978 2,1887 20 12 11 0,0673 4,7117
1 0 0,8563 2,3333 12 13 0,9031 4,0353
1 2 1,2163 2,1499 13 12 0,0446 5,1399
2 1 0,7405 2,4361 13 14 0,7110 4,5237
2 3 1,3268 2,1364 14 13 0,0278 5,6233
3 2 0,6311 2,5586 14 15 0,5249 5,085
3 4 1,4233 2,1514 15 14 0,0162 6,1673
4 3 0,5298 2,7011 15 16 0,3582 5,7242
4 5 1,4991 2,1983 16 15 0,0085 6,7775
5 4 0,4375 2,8650 16 17 0,2214 6,4462
5 6 1,5472 2,2811 17 16 0,0040 7,4594
6 5 0,3548 3,0525 17 18 0,1199 7,2560
6 7 1,5608 2,4042 18 17 0,0015 8,2187
7 6 0,2819 3,2663 18 19 0,0537 8,1583
7 8 1,5345 2,5719 19 18 4,2982E-04 9,0608
8 7 0,2187 3,5100 19 20 0,0172 9,1583
8 9 1,4651 2,7892
9 8 0,1651 3,7880
9 10 1,3529 3,0609
10 9 0,1206 4,1050
10 11 1,2018 3,3923
11 10 0,0848 4,4661
11 12 1,0206 3,7884
12 11 0,0569 4,8770
12 13 0,8219 4,2545
13 12 0,0360 5,3434
13 14 0,6211 4,7961
14 13 0,0212 5,8714
14 15 0,4341 5,4184
15 14 0,0114 6,4671
15 16 0,2750 6,1270
16 15 0,0054 7,1367
16 17 0,1527 6,9272
17 16 0,0021 7,8863
17 18 0,0702 7,8246
18 17 6,0707E-04 8,7221
18 19 0,0231 8,8246
20 0 1 1,0852 2,1930
1 0 0,8538 2,3333
1 2 1,1989 2,1539
2 1 0,7424 2,4320
2 3 1,3056 2,1383
3 2 0,6370 2,5489
3 4 1,3997 2,1489
4 3 0,5390 2,6845
4 5 1,4755 2,1887
5 4 0,4492 2,8399
5 6 1,5266 2,2614
6 5 0,3682 3,0168
6 7 1,5470 2,2707
7 6 0,2962 3,2179
7 8 1,5315 2,5207
8 7 0,2334 3,4461
8 9 1,4768 2,7156
9 8 0,1794 3,7052
9 10 1,3821 2,9600
10 9 0,1341 3,9994
10 11 1,2501 3,2582
11 10 0,0969 4,3332
11 12 1,0871 3,6151
2n
2n
Tabla 3.1.1 2/ n y para
el coeficiente de recombinación
91
y los coeficientes de recombinación se dan en las siguientes matrices para 3
temperaturas características: (el número de la fila representa al número
cuántico principal “ n ” y el de la columna al número cuántico orbital “ L ”)
Coeficientes de recombinación en 3cm
s
:
Tabla 3.1.2 Coeficientes de recombinación para T=5000ºK, 10000ºK y 20000ºK A.- Para T=5000ºK
n\l 0 1
1 2.2808e-013
2 3.3786e-014 8.3628e-014
3 1.1395e-014 3.2299e-014
4 5.3042e-015 1.5608e-014
5 2.9291e-015 8.7655e-015
6 1.7978e-015 5.4337e-015
7 1.1859e-015 3.6087e-015
8 8.2466e-016 2.5220e-015
9 5.9680e-016 1.8326e-015
10 4.4584e-016 1.3748e-015
11 3.4181e-016 1.0555e-015
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15 7.8752e-017 3.6741e-017
16 4.9602e-017 4.1501e-017
17 8.8837e-017 4.5646e-017
18 9.2310e-017 4.9316e-017
19 9.4944e-017 5.2613e-017
20 9.6761e-017 5.5577e-017
10 11
11 1.5892e-018
12 4.5978e-018 6.3010e-019
13 8.2864e-018 1.9847e-018
14 1.2058e-017 3.8167e-018
15 1.5652e-017 5.8644e-018
16 1.8980e-017 7.9473e-018
17 2.1974e-017 9.9194e-018
18 2.4697e-017 1.1757e-017
19 2.7259e-017 1.3510e-017
20 2.9693e-017 1.5203e-017
12 13
13 2.5603e-019
14 8.7055e-019 1.0594e-019
15 1.7879e-018 3.8896e-019
16 2.8987e-018 8.5173e-019
17 4.0730e-018 1.4424e-018
18 5.2387e-018 2.1039e-018
19 6.3868e-018 2.8064e-018
20 7.5156e-018 3.5312e-018
14 15
15 4.4815e-020
16 1.7718e-019 1.9400e-020
17 4.0766e-019 8.1027e-020
18 7.2124e-019 1.9587e-019
19 1.1000e-018 3.6532e-019
20 1.5275e-018 5.8467e-019
16 17
17 8.4313e-021
18 3.7177e-020 3.6788e-021
19 9.5495e-020 1.7368e-020
20 1.8833e-019 4.7552e-020
18 19
19 1.6408e-021
20 8.3183e-021 7.5413e-022
93
Con estas tablas e interpolando por el método de mínimos cuadrados
encontramos los coeficientes de recombinación para cualquier otra
temperatura; éstos se usarán para hallar los coeficientes de emisión.
Para la interpolación usamos una curva del tipo potencial
b
nl T aT
que es la que mejor se ajustó a los datos, luego se linealiza, para obtener:
ln ln lnnl b T a ,
ecuación a la que se aplica el método de regresión lineal de mínimos
cuadrados.
Los resultados de esta aproximación, se pueden graficar para todos los casos
de nL , por ejemplo tenemos:
Los resultados de los gráficos se encuentran en CD en la dirección:
D:/ Tesis_CD/gráficos /III-1Gráficos de los coeficientes de recombinación
y el programa tiene el nombre de
plot_coef_recomb20_mmc_nL10_T
94
Fig. 3.1.1 Gráficos para los coeficientes de recombinación vs. n y L
Para:
nL =10
Para:
nL =42
95
donde las estrellas azules son los calculados vía la formula (III.1.1) para
5000ºK 10000ºK y 20000ºK y la línea continua es la fiteada.
Es interesante notar cómo varía el coeficiente de recombinación en
función del número cuántico principal n para una temperatura constante y
para un l fijo; por ejemplo:
Fig. 3.1.2 Gráficos donde se muestra el coeficiente de recombinación en función del
número cuántico principal, para una temperatura y un número cuántico orbital dados.
Para T=10000ºK y
L =0 y 1 (en CD plot_CoRec_vs_n_L01yTfijo)
96
L =2 y 3 (en CD plot_CoRec_vs_n_L23yTfijo)
L =4 y 5 (en CD plot_CoRec_vs_n_L45yTfijo)
97
L =6 y 7 (en CD plot_CoRec_vs_n_L67yTfijo)
También es interesante notar cómo varía el coeficiente de recombinación en
función al número cuántico orbital L para una temperatura y número cuántico
principal n fijo; aquí tenemos algunos gráficos para T=10000ºK:
Fig.3.1.3 Gráficos donde se muestra el coeficiente de recombinación en función del número
cuántico orbital, para una temperatura y un número cuántico principal dados.
98
n =1, 2 y 3 (en CD plot_CoRec_vs_L_n123yTfijo)
n =4, 5 y 6 (en CD plot_CoRec_vs_L_n456yTfijo)
99
n =7, 8 y 9 (en CD plot_CoRec_vs_L_n789yTfijo)
100
n =13, 14 y 15 (en CD plot_CoRec_vs_L_n13_14_15yTfijo)
101
n =16, 17 y 18 (en CD plot_CoRec_vs_L_n16_17_18yTfijo)
Los programas para encontrar éstas tablas y resultados se incluyen en el
CD adjunto con los nombres.:
recom_coeff_CalculoDirecto20
alfa_tabla20, etc.
102
§ III.2-Cálculo de las probabilidades de transición.
Otro paso importante para poder calcular los coeficientes de emisión, es
hallar las probabilidades espontáneas de radiación por segundo, que no es otra
cosa que calcular los coeficientes de Einstein para la transición espontánea nL n L . Esta la calcularemos desde la fórmula Burgess (1959),
23
20
, 2 2
max ,84,
3 2 1nL n L
L LaA nL n L
Z c L
(III.2.1)
donde es la constante de estructura fina, 0a es el radio de Bohr y
0
, , ,nL n L P nL r rP n L r dr
(III.2.2)
es el elemento de matriz que representa al momento dipolar (en unidades
atómicas), ,P nL r y ,P n L r son las funciones de onda normalizadas de los
estados nL y n L respectivamente. En Chandler, Louis & Patricia (1957) se
pueden encontrar estos elementos de matriz del momento dipolar en extensas
tablas, los cuales usamos para encontrar estas probabilidades de transición
espontáneas, que no dependen de la temperatura. Así tenemos los siguientes
resultados:
103
Tabla 3.2.1 Probabilidades de transición espontanea por segundo
(coeficientes de Einstein)
Hasta _ 20_19n L
,nL n LA en 1s
n L =10
n L 0 1
1 1
2 8.23 6.2677e+008
3 1.6733e+008
4 6.8217e+007
5 3.4391e+007
6 1.9737e+007
7 1.2367e+007
8 8.2585e+006
9 5.7874e+006
10 4.2124e+006
11 3.1612e+006
12 2.4328e+006
13 1.9121e+006
14 1.5301e+006
15 1.2435e+006
16 1.0242e+006
17 8.5366e+005
18 7.1896e+005
19 6.1118e+005
20 5.2392e+005
n L =20
n L 0 1
2 0
3 2.2458e+007
4 9.6723e+006
5 4.9505e+006
6 2.8596e+006
7 1.7980e+006
8 1.2030e+006
9 8.4421e+005
10 6.1502e+005
11 4.6184e+005
12 3.5560e+005
13 2.7960e+005
14 2.2380e+005
15 1.8192e+005
16 1.4988e+005
17 1.2493e+005
18 1.0523e+005
19 8.9469e+004
20 7.6702e+004
n L =21
n L 0 1 2
2 0
3 6.3164e+006 6.4680e+007
4 2.5793e+006 2.0634e+007
5 1.2892e+006 9.4296e+006
6 7.3532e+005 5.1473e+006
7 4.5886e+005 3.1324e+006
8 3.0554e+005 2.0532e+006
9 2.1369e+005 1.4209e+006
10 1.5531e+005 1.0250e+006
11 1.1642e+005 7.6421e+005
12 8.9520e+004 5.8521e+005
13 7.0315e+004 4.5820e+005
14 5.6238e+004 3.6555e+005
15 4.5693e+004 2.9635e+005
16 3.7616e+004 2.4361e+005
17 3.1342e+004 2.0270e+005
18 2.6390e+004 1.7048e+005
19 2.2429e+004 1.4475e+005
20 1.9224e+004 1.2396e+005
n L =30
n L 0 1
3 0
4 3.0665e+006
5 1.6384e+006
6 9.5552e+005
7 6.0281e+005
8 4.0397e+005
9 2.8369e+005
10 2.0677e+005
11 1.5531e+005
12 1.1960e+005
13 9.4053e+004
14 7.5292e+004
15 6.1207e+004
16 5.0427e+004
17 4.2037e+004
18 3.5410e+004
19 3.0106e+004
20 2.5810e+004
n L =31
n L 0 1 2
3 0
4 1.8362e+006 7.0407e+006
5 9.0509e+005 3.3930e+006
6 5.0740e+005 1.8786e+006
7 3.1296e+005 1.1501e+006
8 2.0677e+005 7.5618e+005
9 1.4383e+005 5.2426e+005
10 1.0413e+005 3.7865e+005
11 7.7831e+004 2.8253e+005
12 5.9715e+004 2.1648e+005
13 4.6824e+004 1.6957e+005
14 3.7398e+004 1.3532e+005
15 3.0347e+004 1.0974e+005
16 2.4965e+004 9.0225e+004
17 2.0786e+004 7.5088e+004
18 1.7490e+004 6.3161e+004
19 1.4858e+004 5.3636e+004
20 1.2728e+004 4.5936e+004
n L =32
n L 1 2 3
3 0
4 3.4769e+005 1.3794e+007
5 1.4960e+005 4.5442e+006
6 7.8276e+004 2.1470e+006
7 4.6382e+004 1.2076e+006
8 2.9874e+004 7.5422e+005
9 2.0426e+004 5.0554e+005
10 1.4608e+004 3.5665e+005
11 1.0822e+004 2.6162e+005
12 8.2467e+003 1.9792e+005
13 6.4325e+003 1.5352e+005
14 5.1164e+003 1.2158e+005
15 4.1378e+003 9.7978e+004
16 3.3947e+003 8.0154e+004
17 2.8200e+003 6.6429e+004
18 2.3685e+003 5.5685e+004
19 2.0088e+003 4.7149e+004
20 1.7185e+003 5.4981e+004
n L =40
n L 0 1
4 0
5 7.3751e+005
6 4.4582e+005
7 2.8293e+005
8 1.8983e+005
9 1.3332e+005
10 9.7152e+004
11 7.2956e+004
12 5.6168e+004
13 4.4159e+004
14 3.5344e+004
15 2.8727e+004
16 2.3664e+004
17 1.9724e+004
18 1.6613e+004
19 1.4123e+004
20 1.2107e+004
n L =41
n L 0 1 2
4 0
5 6.4536e+005 1.4864e+006
6 3.5840e+005 8.6257e+005
7 2.1747e+005 5.3402e+005
8 1.4202e+005 3.5261e+005
9 9.7987e+004 2.4495e+005
10 7.0528e+004 1.7711e+005
11 5.2491e+004 1.3224e+005
12 4.0144e+004 1.0136e+005
13 3.1399e+004 7.9422e+004
14 2.5029e+004 6.3396e+004
15 2.0278e+004 5.1416e+004
16 1.6660e+004 4.2279e+004
17 1.3856e+004 3.5189e+004
18 1.1649e+004 2.9602e+004
19 9.8882e+003 2.5139e+004
20 8.4656e+003 2.1531e+004
n L =42
n L 1 2 3
4 0
5 1.8854e+005 2.5856e+006
6 9.4210e+004 1.2876e+006
7 5.3931e+004 7.3432e+005
8 3.3974e+004 4.6127e+005
9 2.2887e+004 3.1010e+005
10 1.6200e+004 2.1915e+005
11 1.1910e+004 1.6093e+005
12 9.0253e+003 1.2184e+005
13 7.0093e+003 9.4558e+004
14 5.5562e+003 7.4913e+004
15 4.4812e+003 6.0391e+004
16 3.6682e+003 4.9417e+004
17 3.0417e+003 4.0963e+004
18 2.5508e+003 3.4343e+004
19 2.1606e+003 2.9083e+004
20 1.8464e+003 2.4849e+004
n L =43
n L 2 3 4
4 0
5 5.0499e+004 4.2561e+006
6 2.1459e+004 1.3734e+006
7 1.1244e+004 6.4613e+005
8 6.7094e+003 3.6446e+005
104
9 4.3606e+003 2.2899e+005
10 3.0103e+003 1.5460e+005
11 2.1733e+003 1.0990e+005
12 1.6245e+003 8.1227e+004
13 1.2485e+003 6.1894e+004
14 9.8148e+002 4.8339e+004
15 7.8635e+002 3.8527e+004
16 6.4022e+002 3.1236e+004
17 5.2851e+002 2.5697e+004
18 4.4156e+002 2.1409e+004
19 3.7283e+002 1.8033e+004
20 3.1776e+002 1.5339e+004
n L =50
n L 0 1
5 0
6 2.4306e+005
7 1.5916e+005
8 1.0716e+005
9 7.5239e+004
10 5.4775e+004
11 4.1094e+004
12 3.1613e+004
13 2.4837e+004
14 1.9868e+004
15 1.6140e+004
16 1.3291e+004
17 1.1074e+004
18 9.3249e+003
19 7.9255e+003
20 6.7927e+003
n L =51
n L 0 1 2
5 0
6 2.6829e+005 4.4969e+005
7 1.6180e+005 2.9037e+005
8 1.0404e+005 1.9342e+005
9 7.0964e+004 1.3474e+005
10 5.0660e+004 9.7524e+004
11 3.7480e+004 7.2846e+004
12 2.8536e+004 5.5849e+004
13 2.2243e+004 4.3762e+004
14 1.7684e+004 3.4932e+004
15 1.4296e+004 2.8330e+004
16 1.1725e+004 2.3295e+004
17 9.7378e+003 1.9388e+004
18 8.1772e+004 1.6309e+004
19 6.9340e+003 1.3850e+004
20 5.9314e+003 1.1862e+004
n L =52
n L 1 2 3
5 0
6 9.5976e+004 7.2358e+005
7 5.3097e+004 4.3331e+005
8 3.2469e+004 2.7548e+005
9 2.1441e+004 1.8606e+005
10 1.4969e+004 1.3178e+005
11 1.0898e+004 9.6899e+004
12 8.1987e+003 7.3416e+004
13 6.3324e+003 5.7005e+004
14 4.9981e+003 4.5177e+004
15 4.0174e+003 3.6429e+004
16 3.2795e+003 2.9814e+004
17 2.7132e+003 2.4718e+004
18 2.2711e+003 2.0725e+004
19 1.9206e+003 1.7552e+004
20 1.6391e+003 1.4998e+004
n L =53
n L 2 3 4
5 0
6 3.9097e+004 1.1062e+006
7 1.9129e+004 5.4840e+005
8 1.0889e+004 3.1361e+005
9 6.8663e+003 1.9816e+005
10 4.6443e+003 1.3417e+005
11 3.3052e+003 9.5537e+004
12 2.4446e+003 7.0687e+004
13 1.8638e+003 5.3902e+004
14 1.4562e+003 4.2119e+004
15 1.1609e+003 3.3582e+004
16 9.4145e+002 2.7235e+004
17 7.7464e+002 2.2411e+004
18 6.4547e+002 1.8674e+004
19 5.4377e+002 1.5732e+004
20 4.6256e+002 1.3383e+004
n L =54
n L 3 4 5
5 0
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n L 0 1
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n L =61
n L 0 1 2
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n L 1 2 3
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n L =65
n L 4 5 6
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105
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n L 0 1 2
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n L =87
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n L =91
n L 0 1 2
9 0
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n L 2 3 4
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n L =11_7
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n L =14_6
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110
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n L 0 1
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n L 1 2 3
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n L 2 3 4
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n L 3 4 5
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n L 5 6 7
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n L 9 10 11
15 0
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n L 10 11 12
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111
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n L 12 13 14
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n L 13 14 15
15 0
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n L 0 1
16 0
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n L 0 1 2
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n L 1 2 3
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n L 2 3 4
16 0
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n L 4 5 6
16 0
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n L 6 7 8
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n L 7 8 9
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n L 9 10 11
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n L 0 1
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n L 4 5 6
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n L 5 6 7
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n L 14 15 16
17 0
18 8.7192e+000 5.3362e+003
19 2.5187e+000 1.6714e+003
20 9.6300e-001 6.6680e+002
n L =17_16
n L 15 16 17
17 0
18 2.8380e+000 5.9983e+003
19 6.4140e-001 1.0176e+003
20 2.0674e-001 2.9178e+002
n L =18_0
n L 0 1
18 0
19 4.0270e+002
20 3.4168e+002
n L =18_1
n L 0 1 2
18 0
19 9.0125e+002 5.5572e+002
20 7.3493e+002 4.7847e+002
n L =18_2
n L 1 2 3
18 0
19 5.1481e+002 6.8213e+002
20 4.0948e+002 5.9373e+002
n L =18_3
n L 2 3 4
18 0
19 3.9448e+002 8.0766e+002
20 3.0501e+002 7.0784e+002
n L =18_4
n L 3 4 5
18 0
19 3.1752e+002 9.4023e+002
20 2.3781e+002 8.2601e+002
n L =18_5
n L 4 5 6
18 0
19 2.5869e+002 1.0838e+003
20 1.8696e+002 9.4960e+002
n L =18_6
n L 5 6 7
18 0
19 2.1072e+002 1.2409e+003
20 1.4635e+002 1.0782e+003
n L =18_7
n L 6 7 8
18 0
19 1.7055e+002 1.4140e+003
20 1.1330e+002 1.2101e+003
n L =18_8
n L 7 8 9
18 0
19 1.3654e+002 1.6051e+003
20 8.6309e+001 1.3422e+003
n L =18_9
n L 8 9 10
18 0
19 1.0768e+002 1.8164e+003
20 6.4361e+001 1.4698e+003
n L =18_10
n L 9 10 11
18 0
19 8.3253e+001 2.0503e+003
20 4.6703e+001 1.5861e+003
n L =18_11
n L 10 11 12
18 0
19 6.2715e+001 2.3093e+003
20 3.2721e+001 1.6819e+003
n L =18_12
n L 11 12 13
18 0
19 4.5645e+001 2.5961e+003
113
20 2.1899e+001 1.7445e+003
n L =18_13
n L 12 13 14
18 0
19 2.7287e+001 2.9137e+003
20 1.3780e+001 1.7571e+003
n L =18_14
n L 13 14 15
18 0
19 2.0573e+001 3.2654e+003
20 7.9501e+000 1.6894e+003
n L =18_15
n L 14 15 16
18 0
19 1.2037e+001 3.6549e+003
20 4.0246e+000 1.5358e+003
n L =18_16
n L 15 16 17
18 0
19 5.8778e+000 4.0861e+003
20 1.6344e+000 1.2343e+003
n L =18_17
n L 16 17 18
18 0
19 1.9162e+000 4.5635e+003
20 4.1602e-001 7.43640e+002
n L =19_0
n L 0 1
19 0
20 3.0722e+002
n L =19_1
n L 0 1 2
19 0
20 6.9801e+002 4.2106e+002
n L =19_2
n L 1 2 3
19 0
20 4.0207e+002 5.1346e+002
n L =19_3
n L 2 3 4
19 0
20 3.1090e+002 6.0417e+002
n L =19_4
n L 3 4 5
19 0
20 2.5276e+002 6.9913e+002
n L =19_5
n L 4 5 6
19 0
20 2.0822e+002 8.0118e+002
n L =19_6
n L 5 6 7
19 0
20 1.7173e+002 9.1221e+002
n L =19_7
n L 6 7 8
19 0
20 1.4098e+002 1.0337e+003
n L =19_8
n L 7 8 9
19 0
20 1.1474e+002 1.1671e+003
n L =19_9
n L 8 9 10
19 0
20 9.2261e+001 1.3138e+003
n L =19_10
n L 9 10 11
19 0
20 7.3020e+001 1.4754e+003
n L =19_11
n L 10 11 12
19 0
20 5.6625e+001 1.6533e+003
n L =19_12
n L 11 12 13
19 0
20 4.2769e+001 1.8492e+003
n L =19_13
n L 12 13 14
19 0
20 3.7732e+000 2.0651e+003
n L =19_14
n L 13 14 15
19 0
20 2.1710e+001 2.3030e+003
n L =19_15
n L 14 15 16
19 0
20 1.4119e+001 2.5650e+003
n L =19_16
n L 15 16 17
19 0
20 8.2750e+000 2.8536e+003
n L =19_17
n L 16 17 18
19 0
20 4.0469e+000 3.1714e+003
n l =19_18
n L 17 18 19
19 0
20 1.3211e+000 3.5215e+003
n L =20_0
n L 0
20 0
n L =20_1
n L 1
20 0
n L =20_2
n L 2
20 0
n L =20_3
n L 3
20 0;
y así para éste caso tenemos:
20 ,20 0L LA ,
L y L = 0,1,2,3,...,19
114
Ahora con esta tabla podemos hallar las verdaderas probabilidades
de transición espontánea, que la definimos en (II.4.8) por medio de la
relación:
,
, 1
,
1 1
nL n L
nL n L n
nL n L
n L L
AP
A
Así tenemos los siguientes resultados:
Tabla 3.2.2 Probabilidades de transición espontánea, para algunos valores de n L .
,nL n LP (adimensional)
n l =10
n l 0 1
1 1.0000 0
2 1.0000 1.0000
3 0 0.8817
4 0 0.8390
5 0 0.8177
6 0 0.8053
7 0 0.7972
8 0 0.7917
9 0 0.7877
10 0 0.7847
11 0 0.7824
12 0 0.7806
13 0 0.7791
14 0 0.7779
15 0 0.7770
16 0 0.7761
17 0 0.7754
18 0 0.7748
19 0 0.7743
20 0 0.7743
n l =20
n l 0 1
2 0 0
3 0 0.1183
4 0 0.1190
5 0 0.1177
6 0 0.1167
7 0 0.1159
8 0 0.1153
9 0 0.1149
10 0 0.1146
11 0 0.1143
12 0 0.1141
13 0 0.1139
14 0 0.1138
15 0 0.1137
16 0 0.1136
17 0 0.1135
18 0 0.1134
19 0 0.1133
20 0 0.1134
n l =21
n l 0 1 2
2 0 0 0
3 1.0000 0 1.0000
4 0.5841 0 0.7456
5 0.4540 0 0.6567
6 0.3933 0 0.6129
7 0.3591 0 0.5874
8 0.3375 0 0.5710
9 0.3229 0 0.5597
10 0.3123 0 0.5515
11 0.3045 0 0.5454
12 0.2984 0 0.5407
13 0.2937 0 0.5370
14 0.2898 0 0.5331
15 0.2867 0 0.5316
16 0.2841 0 0.5295
17 0.2819 0 0.5278
18 0.1572 0 0.5264
19 0.2784 0 0.5251
20 0.2770 0 0.5240
n l =30
n l 0 1
3 0
4 0 0.0377
5 0 0.0390
6 0 0.0390
7 0 0.0389
8 0 0.0387
9 0 0.0386
10 0 0.0385
11 0 0.0384
12 0 0.0384
13 0 0.0383
14 0 0.0383
15 0 0.0382
16 0 0.0382
17 0 0.0382
18 0 0.0382
19 0 0.0381
20 0 0.0381
n l =31
n l 0 1 2
3 0 0 0
4 0.4159 0 0.2544
5 0.3187 0 0.2363
6 0.2714 0 0.2237
7 0.2449 0 0.2157
8 0.2284 0 0.2103
9 0.2173 0 0.2065
10 0.2094 0 0.2037
n l =32
n l 1 2 3
3 0
4 0.0043 0 1.0000
5 0.0036 0 0.6374
6 0.0032 0 0.5149
7 0.0030 0 0.4556
8 0.0029 0 0.4214
9 0.0028 0 0.3995
10 0.0027 0 0.3844
n l =40
n l 0 1
4 0
5 0 0.0175
6 0 0.0182
7 0 0.0182
8 0 0.0182
9 0 0.0181
10 0 0.0181
n l =41
n l 0 1 2
4 0
5 0.2273 0 0.1035
6 0.1917 0 0.1027
7 0.1702 0 0.1001
8 0.1569 0 0.0981
9 0.1480 0 0.0965
10 0.1418 0 0.0953
n l =42
n l 1 2 3
4 0
5 0.0045 0 0.3626
6 0.0038 0 0.3088
115
7 0.0035 0 0.2770
8 0.0033 0 0.2577
9 0.0031 0 0.2450
10 0.0030 0 0.2362
n l =43
n l 2 3 4
4 0
5 0.0035 0 1.0000
6 0.0026 0 0.5539
7 0.0021 0 0.4104
8 0.0019 0 0.3428
9 0.0017 0 0.3044
10 0.0016 0 0.2802
n l =50
n l 0 1
5 0
6 0 0.0099
7 0 0.0103
8 0 0.0103
9 0 0.0102
10 0 0.0102
n l =51
n l 0 1 2
5 0
6 0.1435 0 0.0535
7 0.1266 0 0.0544
8 0.1149 0 0.0538
9 0.1072 0 0.0531
10 0.1019 0 0.0525
n l =52
n l 1 2 3
5 0
6 0.0039 0 0.1735
7 0.0034 0 0.1635
8 0.0031 0 0.1539
9 0.0029 0 0.1470
10 0.0028 0 0.1420
n l =53
n l 2 3 4
5 0
6 0.0047 0 0.4461
7 0.0036 0 0.3483
8 0.0030 0 0.2950
9 0.0027 0 0.2635
10 0.0025 0 0.2431
n l =54
n l 3 4 5
5 0
6 0.0027 0 1.0000
7 0.0018 0 0.4887
8 0.0013 0 0.3331
9 0.0011 0 0.2623
10 0.0010 0 0.2232
n l =60
n l 0 1
6 0
7 0 0.0063
8 0 0.0065
9 0 0.0065
10 0 0.0065
n l =61
n l 0 1 2
6 0
7 0.0991 0 0.0320
8 0.0896 0 0.0328
9 0.0823 0 0.0326
10 0.0774 0 0.0323
n l =62
n l 1 2 3
6 0
7 0.0033 0 0.0979
8 0.0029 0 0.0965
9 0.0027 0 0.0931
10 0.0025 0 0.0903
n l =63
n l 2 3 4
6 0
7 0.0047 0 0.2392
8 0.0038 0 0.2129
9 0.0033 0 0.1925
10 0.0029 0 0.1785
n l =64
n l 3 4 5
6 0
7 0.0042 0 0.5113
8 0.0029 0 0.3672
9 0.0023 0 0.2932
10 0.0020 0 0.2508
n l =65
n l 4 5 6
6 0
7 0.0021 0 1.0000
8 0.0012 0 0.4367
9 0.0009 0 0.2750
10 0.0007 0 0.2043
n l =70
n l 0 1
7 0
8 0 0.0043
9 0 0.0045
10 0 0.0044
n l =71
n l 0 1 2
7 0
8 0.0726 0 0.0210
9 0.0666 0 0.0216
10 0.0617 0 0.0215
n l =72
n l 1 2 3
7 0
8 0.0028 0 0.0615
9 0.0025 0 0.0620
10 0.0023 0 0.0606
n l =73
n l 2 3 4
7 0
8 0.0044 0 0.1445
9 0.0036 0 0.1370
10 0.0032 0 0.1285
n l =74
n l 3 4 5
7 0
8 0.0047 0 0.2980
9 0.0035 0 0.2502
10 0.0028 0 0.2168
n l =75
n l 4 5 6
7 0
8 0.0036 0 0.5633
9 0.0023 0 0.3737
10 0.0017 0 0.2815
n l =76
n l 5 6 7
7 0
8 0.0017 0 1.0000
9 0.0009 0 0.3945
10 0.0006 0 0.2305
n l =80
n l 0 1
8 0
9 0 0.0032
10 0 0.0032
n l =81
n l 0 1 2
8 0
9 0.0556 0 0.0147
10 0.0515 0 0.0151
n l =82
n l 1 2 3
8 0
9 0.0023 0 0.0417
10 0.0021 0 0.0425
n l =83
116
n l 2 3 4
8 0
9 0.0040 0 0.0950
10 0.0034 0 0.0931
n l =84
n l 3 4 5
8 0
9 0.0048 0 0.1902
10 0.0037 0 0.1730
n l =85
n l 4 5 6
8 0
9 0.0044 0 0.3499
10 0.0030 0 0.2773
n l =86
n l 5 6 7
8 0
9 0.0031 0 0.6055
10 0.0018 0 0.3727
n l =87
n l 6 7 8
8 0
9 0.0014 0 1.0000
10 0.0007 0 0.3596
n l =90
n l 0 1
9 0
10 0 0.0024
n l =91
n l 0 1 2
9 0
10 0.0440 0 0.0108
n l =92
n l 1 2 3
9 0
10 0.0020 0 0.0299
n l =93
n l 2 3 4
9 0
10 0.0036 0 0.0663
n l =94
n l 3 4 5
9 0
10 0.0046 0 0.1298
n l =95
n l 4 5 6
9 0
10 0.0048 0 0.2335
n l =96
n l 5 6 7
9 0
10 0.0040 0 0.3956
n l =97
n l 6 7 8
9 0
10 0.0027 0 0.6404
n l =98
n l 7 8 9
9 0
10 0.0011 0 1.0000
n l =10_0
n l 0 1
10 0
11 0 0.0024
n l =10_1
n l 0 1 2
10 0
11 0.0440 0 0.0108
n l =10_2
n l 1 2 3
10 0
11 0.0020 0 0.0299
n l =10_3
n l 2 3 4
10 0
11 0.0036 0 0.0663
n l =10_4
n l 3 4 5
10 0
11 0.0046 0 0.1298
n l =10_5
n l 4 5 6
10 0
11 0.0048 0 0.2335
n l =10_6
n l 5 6 7
10 0
11 0.0040 0 0.3956
n l =10_7
n l 6 7 8
10 0
11 0.0027 0 0.6404
n l =10_8
n l 7 8 9
10 0
11 0.0011 0 1.0000
n l =10_9
n l 8 9 10
10 0
11 0.0011 0 1.0000
n l =11_0
n l 0 1
11 0
12 0 0.0024
n l =11_1
n l 0 1 2
11 0
12 0.0440 0 0.0108
n l =11_2
n l 1 2 3
11 0
12 0.0020 0 0.0299
n l =11_3
n l 2 3 4
11 0
12 0.0036 0 0.0663
n l =11_4
n l 3 4 5
11 0
12 0.0046 0 0.1298
n l =11_5
n l 4 5 6
11 0
12 0.0048 0 0.2335
117
n l =11_6
n l 5 6 7
11 0
12 0.0040 0 0.3956
n l =11_7
n l 6 7 8
10 0
11 0.0027 0 0.6404
n l =11_8
n l 7 8 9
11 0
12 0.0011 0 1.0000
n l =11_9
n l 8 9 10
11 0
12 0.0011 0 1.0000
n l =11_10
n l 10 11 12
11 0
12 0.0011 0 1.0000
n l =20_0
n l 0
20 0
n l =20_1
n l 1
20 0
n l =20_2
n l 2
20 0
n l =20_3
n l 3
20 0
y así para éste caso tenemos:
20 ,20 0l lP , l y l =0,1,2,3,...,19.
Por tanto también en el caso
particular: l l .
Valores más completos y también para el caso B podemos encontrar
en el CD anexo, en la dirección:
D:/tesis_CD/III-2Tablas de las probabilidades de transición/ matrices_ProbabilyTransition_P
/matrices_P_espontanea_A/caso_A y
D:/tesis_CD/III-2Tablas de las probabilidades de transición// matrices_ProbabilyTransition_P
/matrices_P_espontanea_A/caso_B
Algunos gráficos interesantes de observar debido a su dependencia son los
de ,n L nLA vs. n o L . (A no es función de T).
Figuras. 3.2.1 Coeficientes de Einstein vs. Numero cuántico principal.
En los siguientes 3 gráficos se muestra los coeficientes para diferentes transiciones, en
el primero hasta el nivel base 10nL , con número cuántico principal igual a uno y
orbital igual a cero, el cual se indica al final del subíndice de A en el gráfico,
similarmente se pueden interpretar los siguientes dos gráficos, y también los del CD.
118
En el eje de las ordenadas se encuentra el coeficiente de emisión
espontánea.
119
Más gráficos podemos encontrar en el CD en la dirección:
D:/tesis_CD/III-2Gráficos de las probabilidades de transición/matrices_EinsteinCoeff_A.
Como se explico en la sección § II.4 (Espectro emitido por nebulosas
gaseosas), podemos tener espectros más precisos incluyendo varios efectos,
uno de ellos es el de las transiciones debido a las colisiones con electrones;
para calcular la intensidad con la incorporación de éste efecto, hallemos
primero las probabilidades de excitación y desexcitación debido a colisión
con electrones, y para esto los coeficientes de excitación y de desexcitación
colisional, a saber:
( _ij n L nL excitation y _ _ji n L nL de excitation )
Para la excitación:
, ,
e e
n L nL n L nLC Neq (III.2.3)
110
, , , ,2, , 1 5
,
2.186 100.148
n L nL n L nL n L nL n L nLe
n L nL n L nL e
n L nL e e e e
E E E Eq f T E E
kT kT kT kT
(III.2.4)
Donde:
, , 2 2
1 1n L nL n n
n n
,
2
, , , 2 2
1 1n L nL n n n nE E h hZ R
n n
,
R
Rc
,
R y R son las constantes de Rydberg en 1s y 1cm respectivamente.
15 13.2931193 10R s ,
5 11.0973731 10R cm ,
, ,
1
3
nn L nL n L nL
cl n
gf A
g
(III.2.5)
es la fuerza del oscilador,
120
22i ig n
la degeneración,
2 2 2 2 2
3 2
8 8
3 3cl
e e
e e
m c m c
(III.2.6)
Classical damping Constant, y
1
zt
n n
eE z dt
t
, 0,
0,1,2,...
R z
n
es la función exponencial integral , en este caso ,n L nL
e
Ez
kT
.
Y para la de_excitación tenemos:
2
,
ij
e
E
kTe e eiji ij n L nL
j
gC C e C
g
n n n . (III.2.7)
Valores para la fuerza del oscilador f vienen incluido en el CD
anexo, para el caso de la absorción ,ij n L nLf f en la dirección:
Tabla 3.2.3 fuerza del oscilador para la absorción
Tesis_CD/tablas/III-2Tablas de las probabilidades de transición/
matrices_ce_collisional_coefficient /oscillator_strenght_f/absorcion
y para el caso de emisión, en la dirección:
Tabla 3.2.4 fuerza del oscilador para la emisión
Tesis_CD/tablas/III-2Tablas de las probabilidades de transición/
matrices_ce_collisional_coefficient /oscillator_strenght_f/emision.
En estas se tiene según el nombre de la matriz, la fuerza de la
transición para las transiciones desde niveles n L o n L indicados por la
posición del elemento de la matriz hacia el nivel nL indicado por el nombre
de la matriz.
Así también incluimos los valores para las probabilidades de
transición debido a la colisión con electrones eC , para el caso de población
del nivel nL , sea desde un nivel inferior n L (por absorción) o desde un
nivel superior n L (por emisión), en la dirección:
121
Tabla 3.2.5 Probabilidad de poblar el nivel nL debido a colisión con electrones.
Tesis_CD/tablas/III-2Tablas de las probabilidades de transición/
matrices_ce_collisional_coefficient/poblaciones_emabs
y para el caso de despoblación desde el nivel nL a otro cualquiera en:
Tabla 3.2.6 Probabilidad de despoblar el nivel nL debido a colisión con electrones.
Tesis_CD/tablas/III-2Tablas de las probabilidades de transición/
matrices_ce_collisional_coefficient/despoblaciones_emabs.
La posición en la matriz 20*20 de los elementos indican el lugar
desde donde cae o sube el electrón en la transición colisional, y el nombre
de la matriz indica el lugar donde se puebla o despuebla, la fila representa
al número cuántico principal n y la columna al número cuántico orbital L .
En todas estas tablas se tiene para las temperaturas de 1250, 2500, 50000,
10000, 15000, 20000, 40000 y 80000ºK
Luego de haber hallado las probabilidades de transición colisional,
podemos hallar las probabilidades de transición incluyendo los efectos
transición espontánea y por colisión con electrones con ayuda de la fórmula
II.4.17:
, ,
, 1 1
, ,
1 1 1 1
e
n L nL n L nL
n L nL n ne
n L n L n L n L
n L L n L L
A CP
A C
Valores para estas probabilidades se tienen en el CD anexo, en la
dirección:
Tabla 3.2.7 Probabilidad de poblar el nivel nL tomando en cuenta transiciones
espontaneas y colisionales, para los casos A y B.
Tesis_CD/tablas/ III-2Tablas de las probabilidades de transición/
matrices_ProbabilyTransition_P/matrices_P_espontanea_colisional_Ane/
para el caso A en / caso_A y
para el caso B en / caso_B.
En ambos casos se da para las temperaturas de 1250, 2500, 50000, 10000,
15000, 20000, 40000, y 80000ºK y densidades electrónicas de 1, 10 y
3100electronescm
, las que fueron hallados en los programas:
122
fun_tabla_p_ab_emabs_pob_espne=f(casoAB,Ne,T),
fun_prob_p(casoAB,Ne,T,nn,ll),
que a su vez llaman a otros sub-programas y que también se incluyen en el
CD que puedan ser usados para encontrar las probabilidades para
temperaturas y densidades electrónicas deseadas.
123
§ III.3-Cálculo de las matrices cascada.
Como vimos en la sección § II.4, las matrices cascada las calculamos
usando la relación (II.4.10), sea para el caso de transición espontánea
solamente o incluida las transiciones debido a colisiones con electrones, a
saber:
, , ,
1 1
n
nL nL nL n L n L n L
n n L L
C C P
,
con ayuda de la definición (II.4.9):
,nL nL LLC .
Los resultados se dan en forma de matrices C= ( ,nL n LC ) donde n L es fijo y
nL que da la fila y la columna de la matriz respectivamente, nos indica
todos los posibles niveles desde donde cae el electrón al nivel n L fijo.
Los resultados son los siguientes: (valores con mas precisión se dan
en el CD en D:/tablas/matrices_cascada/cascada_A/caso_a)
Tabla 3.3.1 matricegs cascada para transiciones espontáneas caso A
,10nLC =c20a_nl_1_0 =
Columns 1 through 7
1.0000 0 0 0 0 0 0
1.0000 1.0000 0 0 0 0 0
1.0000 1.0000 1.0000 0 0 0 0
1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0 0 0
1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0 0
1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0
1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000
1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000
1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000
1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000
1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000
1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000
1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000
1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000
1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000
1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000
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Columns 8 through 14
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1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000
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1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000
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1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0 0
1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0
1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000
,20nLC =c20a_nl_2_0 =
Columns 1 through 7
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0 0.1183 0 0 0 0 0
0.0492 0.1190 0.0301 0 0 0 0
0.0648 0.1187 0.0403 0.0109 0 0 0
0.0720 0.1185 0.0451 0.0163 0.0049 0 0
0.0760 0.1183 0.0478 0.0194 0.0077 0.0025 0
0.0785 0.1182 0.0495 0.0213 0.0095 0.0041 0.0014
0.0803 0.1181 0.0506 0.0226 0.0107 0.0052 0.0024
0.0815 0.1180 0.0514 0.0235 0.0116 0.0059 0.0030
0.0824 0.1179 0.0520 0.0242 0.0122 0.0065 0.0035
0.0831 0.1179 0.0524 0.0247 0.0127 0.0072 0.0039
0.0837 0.1178 0.0528 0.0251 0.0131 0.0073 0.0043
0.0841 0.1178 0.0530 0.0254 0.0134 0.0075 0.0045
124
0.0845 0.1178 0.0532 0.0257 0.0136 0.0078 0.0047
0.0848 0.1177 0.0534 0.0259 0.0138 0.0079 0.0048
0.0850 0.1177 0.0536 0.0261 0.0140 0.0081 0.0050
0.0999 0.1177 0.0537 0.0262 0.0139 0.0082 0.0051
0.0854 0.1177 0.0538 0.0264 0.0140 0.0083 0.0052
0.0856 0.1177 0.0539 0.0235 0.0141 0.0084 0.0052
Columns 8 through 14
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0.0033 0.0022 0.0015 0.0010 0.0007 0.0005 0.0003
0.0033 0.0022 0.0015 0.0011 0.0007 0.0005 0.0004
0.0034 0.0023 0.0016 0.0011 0.0008 0.0006 0.0004
Columns 15 through 20
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0.0002 0.0002 0.0001 0.0000 0 0
0.0003 0.0002 0.0001 0.0001 0.0000 0
,21nLC =c20a_nl_2_1 =
Columns 1 through 7
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0.3796 0.0668 0.6061 0.8380 0.9352 0.9790 1.0000
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0.3486 0.0710 0.5846 0.8115 0.9101 0.9565 0.9801
0.3397 0.0723 0.5785 0.8040 0.9029 0.9500 0.9743
0.3331 0.0733 0.5741 0.7985 0.8976 0.9453 0.9701
0.3280 0.0740 0.5708 0.7944 0.8937 0.9391 0.9669
0.3241 0.0746 0.5682 0.7911 0.8905 0.9389 0.9641
0.3209 0.0751 0.5666 0.7886 0.8881 0.9366 0.9622
0.3183 0.0755 0.5645 0.7865 0.8861 0.9349 0.9606
0.3161 0.0758 0.5632 0.7848 0.8845 0.9334 0.9593
0.3143 0.0761 0.5621 0.7834 0.8831 0.9322 0.9582
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Columns 8 through 14
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0.9928 1.0000 0 0 0 0 0
0.9877 0.9954 1.0000 0 0 0 0
0.9839 0.9920 0.9969 1.0000 0 0 0
0.9810 0.9894 0.9946 0.9979 1.0000 0 0
0.9788 0.9874 0.9927 0.9962 0.9985 1.0000 0
0.9770 0.9858 0.9913 0.9949 0.9972 0.9989 1.0000
0.9755 0.9845 0.9901 0.9938 0.9963 0.9980 0.9992
0.9744 0.9834 0.9892 0.9929 0.9955 0.9972 0.9985
0.9734 0.9826 0.9884 0.9922 0.9948 0.9966 0.9979
0.9725 0.9818 0.9877 0.9916 0.9942 0.9961 0.9974
0.9718 0.9812 0.9871 0.9911 0.9938 0.9956 0.9970
0.9712 0.9806 0.9866 0.9906 0.9933 0.9953 0.9966
Columns 15 through 20
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
1.0000 0 0 0 0 0
0.9994 1.0000 0 0 0 0
0.9988 0.9995 1.0000 0 0 0
0.9984 0.9991 0.9996 1.0000 0 0
0.9980 0.9987 0.9993 0.9997 1.0000 0
0.9977 0.9984 0.9990 0.9994 0.9997 1.0000
Los valores de las demás matrices se encuentran en el CD, en la
dirección:
Para el caso A (nubes ópticamente delgadas) Tabla 3.3.1 matrices cascada para transiciones espontáneas caso A D:/ Tesis_CD/tesis/tablas/ III-3Tablas de las matrices cascada/ matrices_cascada/
cascada_A/caso_A
Para el caso B (nubes ópticamente gruesas) Tabla 3.3.2 matrices cascada para transiciones espontáneas caso B D:/ Tesis_CD/tesis/tablas/ III-3Tablas de las matrices cascada/ matrices_cascada/
cascada_A/caso_B
125
En éstas matrices la posición del elemento indica el nivel desde
donde cae por cascada el electrón al nivel indicado por el nombre de la
matriz; éste valor será la multiplicación de todas las probabilidades de
todos los casos posibles vía todas las rutas posibles de caída.
Para el caso en que se incluye los efectos de las transiciones
colisionales por electrones, la fórmula que nos permite hallar los valores de
las cascadas es la misma relación (II.4.10), los resultados se presentan en el
CD en las direcciones:
Para el caso A en: Tabla 3.3.3 matrices cascada para transiciones espontáneas y
colisionales, caso A D:/ Tesis_CD/tesis/tablas/ III-3Tablas de las matrices cascada/ matrices_cascada/
cascada_ANe/hasta 20/caso_A
Para el caso B en: Tabla 3.3.4 matrices cascada para transiciones espontáneas y
colisionales, caso B D:/ Tesis_CD/tesis/tablas/ III-3Tablas de las matrices cascada/ matrices_cascada/
cascada_ANe/hasta 20/caso_B
Las posiciones de los elementos indican lo mismo que para el caso
en que se toma las transiciones espontáneas solamente.
En ambos casos se da para temperaturas de 1250, 2500, 50000, 10000,
15000, 20000, 40000 y 80000ºK y una densidad electrónica de 310electronescm
.
El análisis de estas matrices ,n L nLC es importante para poder hacer una
extrapolación hasta infinito en n manteniendo constante L , n y L y así
hacer una corrección hasta infinito para tener valores mas precisos, por que
cuanto mayor es el número cuántico principal tomado, mayor es la
precisión. Más de 600 gráficos que se usaron para afirmar esto, varios de
ellos se encuentran en el CD adjunto, en las siguientes direcciones:
Para el caso en que se toma transiciones espontaneas solamente:
Caso A en: Gráficos 3.3.1 matrices cascada para transiciones espontáneas, caso A
D:/ Tesis_CD/ III-3Gráficos de las matrices cascada/ matrices_cascada/ cascada_A/Caso_A
Caso B en: : Gráficos 3.3.2 matrices cascada para transiciones espontáneas, caso B
D:/ Tesis_CD/ III-3Gráficos de las matrices cascada/ matrices_cascada/ cascada_A/ Caso_B
Y para el caso que se incluyen a demás las transiciones colisionales:
126
Caso A en: Gráficos 3.3.3 matrices cascada para transiciones espontáneas y colisionales, caso A D:/ Tesis_CD/ III-3Gráficos de las matrices cascada/ matrices_cascada/ cascada_ANe/
Caso_A
Caso B en: Gráficos 3.3.4 matrices cascada para transiciones espontáneas y colisionales, caso B D:/ Tesis_CD/ III-3Gráficos de las matrices cascada/ matrices_cascada/ cascada_ANe/
Caso_B
Estos gráficos fueron encontrados en gracias al programa:
plot_matrices_cascada20.m
que también se incluye en el CD.
Veamos algunos gráficos, (los textos que se ponen en los gráficos
indican en orden los valores de L , n y L ).
Para el caso en que se toma transiciones espontáneas solamente:
Caso A:
127
128
129
Caso B:
130
Y para el caso que se incluyen a demás las transiciones colisionales:
Caso A:
Ne=10 y T=10000ºK
Ne=10 y T=15000ºK
131
Caso B:
Ne=10 y T=20000ºK
Ne=10 y T=5000ºK
132
Podemos ver cual será el valor en el infinito para las cascadas, es
decir el valor inf ,l nlC , para esto usé el método de mínimos cuadrados MMC
para una curva potencial de la forma.
by ax c ,
para éste caso
, inf ,
b
n L nL L nLC n an C .
Así algunos valores de inf ,L nLC se dan en los gráficos incluidos en el CD, en
la dirección:
D:/ Tesis_CD/ III-3Gráficos de las matrices cascada/ matrices_cascada/ cascada_A/Caso_A
/extrapolacion_hasta_infinito
Tenemos por ejemplo los siguientes gráficos, que muestran el ajuste
exponencial para poder encontrar los valores en el infinito. Aquí las líneas
verdes son resultado del ajuste y los tres últimos números del subíndice de
C indican en orden los valores de L , n y L .
133
134
135
136
Se pueden encontrar más gráficos haciendo correr el programa:
plot_pot_matrices_cascada_mmc20
Que también se incluyen en el CD.
También se hizo un ajuste exponencial de la forma:
bxy ae c
en el programa:
plot_exp_matrices_cascada_mmc20
que para éste caso sería:
, inf ,
bn
n L nL L nLC n ae C
,
pero no se ajusta tan bien como para el caso de la regresión potencial.
137
§ III.4-Cálculo de las poblaciones en equilibrio termodinámico.
(vía ecuación de Saha-Boltzmann)
Para calcular las poblaciones en equilibrio termodinámico usamos la
relación (II.4.6) hallada en la sección §2.4, a saber:
32 2
2 12
nX
kTnL nL p e
hN b L e N N
mkT
,
donde el coeficiente de apartamiento de equilibrio termodinámico 1nLb .
Tablas para algunas temperaturas densidades electrónicas en una
nube de hidrógeno de dan en el CD anexo, en la dirección:
Tabla 3.4.1 poblaciones del hidrógeno en LTE en los diferentes niveles nL .
Tesis_CD/tesis/III-4Tablas poblaciones LTE/vía Saha-Boltzmann.,
Tablas que fueron halladas haciendo correr el programa:
fun_poblaciones_SB_LTE(T,Np,Ne)
Es interesante saber cómo es el gráfico de las poblaciones con
respecto a la temperatura,
Fig. 3.4.1 Poblaciones para diferentes niveles nL vs. La Temperatura, manteniendo fijo
la abundancia electrónica, que debe ser igual a la abundancia de protones por que la
nube es de hidrógeno.
138
Más gráficos podemos encontrar en el CD anexo en la dirección:
Tesis_CD/Gráficos/ III-4Gráficos poblaciones LTE/ vía Saha-Boltzmann
139
§ III.5-Cálculo de las poblaciones fuera de equilibrio termodinámico
(vía Saha-Boltzmann con ayuda de los coeficientes de
apartamiento y vía matrices cascada)
Para poder calcular los coeficientes de emisión, que es nuestro
objetivo, tenemos que calcular las poblaciones en los diferentes niveles nL
de excitación del átomo, ya que de él mucho depende. Ésta la podemos
hallar de dos formas como se indicó en la sección §II.4. Una es vía la
ecuación de Saha-Boltzmann (II.4.6), a saber:
32 2
2 12
nX
kTnL nL p e
hN b L e N N
mkT
,
donde 1nLb es el coeficiente de apartamiento del equilibrio
termodinámico, el cual se halla para el caso donde se incluyen transiciones
espontáneas solamente. Sustituyendo (II.4.6) en la ecuación de equilibrio
estadístico (II.4.1), es decir en
1
, ,
1 1 1 1
n
p e nL n L n L nL nL nL n L
n n L L n L L
N N T N A N A
,
se obtiene
312
, ,21 1 1
2 2 1
2 1 2 1
n n n
K
X X X nnL kT kT
n L n L nL nL nL n L
n n n L n L L
mkT Le b A e b A
L h L
.
Para el caso en que se incluyen además las transiciones debido a la colisión
con electrones, sustituyendo el mismo (II.4.6) en la ecuación de equilibrio
estadístico
0
0
0
,
1 1
1
, ,
1 1 1
1
,
1
1
, ,
1 1 1
[
]
p e nL n L n L nL
n n L L
ne e
n L n L nL n L n L nL
n n L L n n L L
n
nL nL n L
n n L L
ne e
n L nL n L nL
n n L L n n L L
N N T N A
N Neq N Neq
N A
Neq Neq
(III.5.1)
y usando un procedimiento recursivo donde los coeficientes para el último
nivel considerado se tomarán como cero, y los demás se hallan a partir de
140
ellos. Así, luego de tener los coeficientes de apartamiento, éstos se
sustituyen en la ecuación de Saha-Boltzmann, teniendo así las poblaciones
para los diferentes estados de excitación.
El otro método más elegante es, como dijimos, el de cascada.
Para el caso que se toman transiciones espontáneas solamente,
hallamos las poblaciones por medio de la fórmula (II.4.11):
1 1
, ,
0 1 1
n n
p e n L n L nL nL nL n L
n n L n L L
N N T C N A
de donde
eff
p e nL
nL
nL
N N TN
A
, (III.5.2)
donde
,
eff
nL n nL
n n
T f T
(III.5.3)
es el coeficiente de recombinación efectivo,
1
, ,
0
n
n nL n L n L nL
L
f T C
(III.5.4)
y
1
,
1 1
n
nL nL n L
n L L
A A
(III.5.5)
representa la probabilidad total de transición radiativa para el nivel nL .
Para el caso que se incluyen las transiciones colisionales, estas cantidades
serían, desde (II.4.19):
1 1 1
, , ,
0 1 1 1 1
n n ne
p e n L n L nL nL nL n L nL n L
n n L n L L n L L
N N T C N A C
(III.5.6).
De donde
141
1
,
0
1 1
, ,
1 1 1 1
n
p e n L n L nL
n n LnL n n
e
nL n L nL n L
n L L n L L
N N T C
N
A C
, (III.5.7)
en el cual se definen las cantidades equivalentes a las del caso en que se
toman transiciones espontáneas solamente:
,
eff
nL n nL
n n
T f T
1
, ,
0
n
n nL n L n L nL
L
f T T C
igual que en el anterior caso, pero ahora son otros ,n L nLC
y
1
,
1 1
n
nL nL n L
n L L
A A
1
,
1 1
ne
nL nL n L
n L L
C C
(III.5.8)
Para nuestros cálculos tomamos un _ max 20n en vez de infinito, teniendo
así los siguientes resultados:
Para el caso en que se consideran transiciones espontáneas solamente, se
tiene las siguientes matrices:
Tablas 3.5.1 poblaciones del hidrógeno en No-LTE en los diferentes niveles nL para el
caso de transición espontánea para poblaciones electrónicas de 1, 10, y 100 elec/cm^3 y
temperaturas de 1250, 2500, 5000, 10000,15000, 20000, 40000, y 80000ºK.
Caso A
Tesis_CD/tesis/ III-5Tablas poblaciones No-LTE/vía cascada/ poblaciones_A/hasta 20/
casoA,
Caso B
Tesis_CD/tesis/ III-5Tablas poblacones No-LTE/vía cascada/ poblaciones _A/hasta 20/
casoB,
142
Y para el caso en que a demás de las espontáneas se incluyen las
colisionales, se tiene
Tablas 3.5.2 poblaciones del hidrógeno en No-LTE en los diferentes niveles nL para el
caso de transición espontánea y colisional con electrones para densidades electrónicas
de 1, 10, y 100 elec/cm^3 y temperaturas de 1250, 2500, 5000, 10000,15000, 20000,
40000, y 80000ºK.
Caso A
Tesis_CD/ III-5Tablas poblaciones No-LTE/vía cascada/ poblaciones _ANe/
hasta 20/casoA,
Caso B vectores_f_np_nl
Tesis_CD/ III-5Tablas poblaciones No-LTE/vía cascada/ poblaciones _ANe/
hasta 20/casoB,
Tablas y gráficos
Los programas se incluyen en el CD
Además de estos cálculos hasta 20n se hizo hasta infinito vía
extrapolación; se sigue un procedimiento similar al dado en Pengelly
(1964) pág. 151. Sacamos los resultados directamente para los coeficientes
de emisión (caso emisión espontanea), para esto se hicieron las tablas
intermedias de ,n nLf T y
,
,
n nL
n nL
n
f Tg T
T
, con 1
0
n
n n L
L
T T
, dados
en la dirección:
Tablas 3.5.3 tablas de f (T) y g(T)
Tesis_CD/ III-5Tablas poblaciones No-LTE/vía cascada/ poblaciones _A/
vectores_f_np_nl
y
Tesis_CD/ III-5Tablas poblaciones No-LTE/vía cascada/ poblaciones _A/
vectores_g_np_nl
El método de extrapolación que se usa es el de mínimos cuadrados
para una curva potencial, teniendo la forma: (diferente a la tomada por
Pengelly(1964) ecuaciones 22 y 26)
,
, , , ,
L nLb
n L nL L nL L nL L nLC C n a n C
143
, ,
nLb
n nL nL nL nLg g n a n g
el valor de la asíntota se halla en el programa
plot_pot_vectores_g_mmc20
para esto se analizan los gráficos dados en la dirección
D:/ Tesis_CD/ III-3Gráficos de las matrices cascada/cascada_A/Caso_A
/extrapolacion_hasta_infinito
como se indican en la sección (§ III.3).
Todos estos valores se reemplazan en la ecuación:
19
, 20, ,
20
1
2
e p
nL n nL nL nL n
n n nnL
N NN T f g g T
AC
,
donde
1 1
, ,
1 1 1 1
n ne
nL n L nL n LnLn L L n L L
AC A C
,
que es la generalización de nLA . En este caso las cascadas también tendrán
que hallarse por el procedimiento generalizado para transiciones
espontáneas y colisionales con electrones a la ves, como se indico.
Usando estas ecuaciones hallamos los coeficientes de emisión que se
dan en las tablas dada en la dirección:
D:/Tesis_CD/tablas/ IV-1Tablas coeficientes de emisión/ vía cascada/
cascada_Ane/hasta infinito/casoA
Se hicieron para una abundancia de 310electronescm
y temperaturas
de 1250,2500,5000,10000,15000,20000,40000 y 80000º K para el caso_A, y no
más por que además de que el análisis es muy tedioso por que se tienen que
ver gráficos caso a caso para todos los números cuánticos usados (400), de
ellos sacar los valores de las cascadas en el infinito vía interpolación y
recién así ponerlos en las ecuaciones de las poblaciones, para luego
ponerlos en las del coeficiente de emisión, sus resultados no difieren en
casi nada con los que se toma hasta el número cuántico 20n . Así que los
demás casos se hizo con aproximación hasta 20n .
144
IV.- RESULTADOS TEORICOS.
§ IV.1-Cálculo de los coeficientes de emisión.
Nuestro objetivo es hallar los coeficientes de emisión (es decir la
intensidad de radiación) de la nebulosa incluyendo efectos de recombinación,
radiación espontánea y debido a la colisión con electrones. Para esto tenemos
que calcular mediante procedimientos computacionales la fórmula (II.4.12); a
saber:
1
,
0 14
nnn
nn nL nL n L
L L L
hj N A
.
Como vemos, para calcular esta ecuación necesitamos las poblaciones en los
diferentes niveles nL considerados. Nosotros consideraremos hasta el nivel
con número cuántico principal n igual a 20 y con número cuántico orbital L
igual a 19 (cuanto más niveles se consideren será mejor), y para algunos casos
se hizo hasta infinito. De la forma cómo se encuentren las abundancias se
tendrán todos los casos. Para el caso en donde se incluyen recombinaciones
desde el infinito y transiciones espontáneas solamente, estas poblaciones los
encontramos resolviendo la ecuación (II.4.11) en §III.1:
1 1
, ,
0 1 1
n n
p e n L n L nL nL nL n L
n n L n L L
N N T C N A
.
Para resolver ésta ecuación hemos usado los resultados que se tienen para los
coeficientes de emisión n L T calculados en §III.1 y los resultados que se
tienen para las probabilidades de transición espontánea por segundo ,nL n LA
que se tienen en §III.2. Además, calculamos las matrices de cascada, para lo
cual resolvimos por un procedimiento recursivo la ecuación (II.4.10):
, , ,
1 1
n
nL nL nL n L n L n L
n n L L
C C P
con ayuda de la relación
145
,nL nL LLC ,
que es el caso para el mismo n ; y para resolver esto tenemos que hallar las
probabilidades de transición espontanea, definidas mediante la relación
(II.4.8):
,
, 1
,
1 1
nL n L
nL n L n
nL n L
n L L
AP
A
,
que se calcula mediante las probabilidades de transición espontánea por
segundo (coeficientes de Einstein) calculadas en §III.2.
También resolvimos en forma generalizada, cuando las poblaciones de
los niveles ocurren también por colisiones con electrones; como se indicó
anteriormente en la sección §II.4, tomaremos como nueva definición:
,, , , ,
, 1 1 1 1
,, , , ,
1 1 1 1 1 1 1 1
e pn L nLn L nL n L nL n L nL n L nL
n L nL n n n ne p
n L n Ln L n L n L n L n L n L n L n L
n L L n L L n L L n L L
A C C B JP
A C C B J
Los cálculos para encontrar éstas abundancias se hicieron en las
secciones §III.4 y §III.5 y los resultados de los coeficientes de emisión
2nn
ergj
cm s cm
para transiciones desde el nivel n al n , se dan en tablas en forma de matrices
donde n indica la fila y n indica la columna, y son:
I. PARA UN GAS EN EQUILIBRIO TERMODINÁMICO (LTE):
Tablas 4.1.1 tablas de los coeficientes de emisión 2nn
ergj
cm s cm
para un gas en LTE
1 vía Saha-Boltzmann LTE (único caso)
146
Todos para: 310electronesNecm
y
1250,2500,5000,10000,15000,20000,40000 80000ºT y K
1.1 caso A D:/ Tesis_CD/tablas/ IV-1Tablas coeficientes de emisión/ vía Saha-Boltzmann LTE/casoA
Y se incluye para éste caso gráficos en:
D:/ Tesis_CD/tablas/ IV-1Gráficos coeficientes de emisión/ vía Saha-Boltzmann LTE/casoA
Así tenemos por ej.
147
1.1 caso B
D:/ Tesis_CD/tablas/ IV-1Tablas coeficientes de emisión/ vía Saha-Boltzmann LTE/casoB
II. PARA UN GAS FUERA DE EQUILIBRIO TERMODINÁMICO
(Non-LTE):
Tablas 4.1.2 tablas de los coeficientes de emisión2nn
ergj
cm s cm
para un gas en Non-LTE
1 Vía Cascada
Todos para: 31,10,100electronesNecm
y
1250,2500,5000,10000,15000,20000,40000 80000ºT y K
1.1 Tomando en cuenta transiciones espontáneas
1.1.1 Hasta 20 _ 19n L
1.1.1.1 caso A
D:/ Tesis_CD/tablas/ IV-1Tablas coeficientes de emisión/ vía cascada/ cascada_A/hasta 20/casoA
1.1.1.2 caso B
D:/ Tesis_CD/tablas/ IV-1Tablas coeficientes de emisión/ vía cascada/cascada_A/hasta 20/casoB
1.2 Tomando en cuenta transiciones espontáneas y colisionales con
electrones
1.2.1 Hasta 20 _ 19n L
1.2.1.1 caso A
D:/Tesis_CD/tablas/ IV-1Tablas coeficientes de emisión/ vía cascada/ cascada_ANe/hasta 20/casoA
148
1.2.1.2 caso B
D:/ Tesis_CD/tablas/ IV-1Tablas coeficientes de emisión/ vía cascada/cascada_ANe/hasta 20/casoB
1.2.2 Hasta n
1.2.2.1 caso A
Para: 310electronesNecm
y
1250,2500,5000,10000,15000,20000,40000 80000ºT y K
D:/Tesis_CD/tablas/ IV-1Tablas coeficientes de emisión/ vía cascada/
cascada_Ane/hasta infinito/casoA
De éstos se eligió al que más se acerca a las observaciones, y se puso en
el capítulo V.
149
V.- COMPARACIÓN CON RESULTADOS EXPERIMENTALES.
El espectro que se tiene para comparar es el espectro de la Super-Nova
SN 1994Y (Tipo IIn) 9 de Enero de 1994, que fue enviada
y autorizada para su uso por el Dr. Alex Filippenko, están ubicadas en
Filippenko, A.V. 1997, ARAA, 35, 309 (creadas y mantenidas por Douglas
Leonard). Éste espectro se da en una matriz de 2 columnas, en la primera
van las longitudes de onda en Ångström Å y en la segunda
102.5log F donde: 2
ergF
cm s Hz
es el flujo específico, i.e.
103440 2
Å , 2.5log F
, el cual está en el CD con el nombre: logsn1994y en
la dirección:
Tesis_CD/Gráficos/V-Tablas comparaciones con experimentos.
Tabla 5.1 (longitud de onda en Ångström, -2.5log10 flujo específico)
Filippenko, A.V. 1997, ARAA, 35, 309
Creadas y mantenidas por Douglas Leonard
Enviadas y autorizadas para su uso por: Alex Filippenko
103440 2
Å , 2.5log F
3093.54 14.8361
3095.53 14.8174
3097.51 14.8406
3099.49 14.9121
3101.47 14.9280
3103.46 14.9326
3105.44 15.0371
3107.42 15.0970
3109.41 15.0352
3111.39 14.9622
3113.37 14.8976
3115.36 14.8795
3117.34 14.8778
3119.32 14.9169
3121.31 14.9868
3123.29 15.0185
3125.27 15.0393
3127.25 15.0849
3129.24 15.1090
3131.22 15.0494
3133.20 14.9521
3135.19 14.9131
3137.17 14.9309
3139.15 14.9143
3141.14 14.8987
3143.12 14.9686
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9415.47 15.1700
9417.46 15.1488
9419.44 15.1275
9421.42 15.1105
9423.41 15.0895
9425.39 15.0851
9427.37 15.1000
9429.36 15.1172
9431.34 15.1257
9433.32 15.1310
9435.31 15.1352
9437.29 15.1424
9439.27 15.1380
9441.25 15.1114
9443.24 15.0909
9445.22 15.1056
9447.20 15.1507
9449.19 15.1771
9451.17 15.2007
9453.15 15.2208
9455.14 15.2449
9457.12 15.2587
9459.10 15.2363
9461.08 15.1730
9463.07 15.1463
9465.05 15.1283
9467.03 15.1252
9469.02 15.1413
9471.00 15.1705
9472.98 15.1993
9474.97 15.2524
9476.95 15.2631
9478.93 15.2430
9480.92 15.2126
9482.90 15.1692
9484.88 15.1189
9486.86 15.1012
157
9488.85 15.1115
9490.83 15.1122
9492.81 15.1110
9494.80 15.1140
9496.78 15.1276
9498.76 15.1489
9500.75 15.1475
9502.73 15.1422
9504.71 15.1080
9506.69 15.0331
9508.68 14.9661
9510.66 14.9332
9512.64 14.9170
9514.63 14.9204
9516.61 14.9707
9518.59 14.9834
9520.58 14.9637
9522.56 14.9253
9524.54 14.8681
9526.53 14.7727
9528.51 14.7727
9530.49 14.8754
9532.47 14.9348
9534.46 14.9379
9536.44 14.9140
9538.42 14.8832
9540.41 14.8184
9542.39 14.8064
9544.37 14.8222
9546.36 14.8559
9548.34 14.9245
9550.32 15.0105
9552.30 15.0367
9554.29 15.0003
9556.27 14.9997
9558.25 15.0002
9560.24 15.0146
9562.22 15.0562
9564.20 15.1156
9566.19 15.1378
9568.17 15.1333
9570.15 15.1274
9572.13 15.1088
9574.12 15.0897
9576.10 15.0717
9578.08 15.0525
9580.07 15.0655
9582.05 15.1254
9584.03 15.1537
9586.02 15.1592
9588.00 15.1534
9589.98 15.1394
9591.97 15.1120
9593.95 15.1062
9595.93 15.1170
9597.91 15.1231
9599.90 15.1297
9601.88 15.1316
9603.86 15.1186
9605.85 15.0894
9607.83 15.0782
9609.81 15.0700
9611.80 15.0753
9613.78 15.0970
9615.76 15.1301
9617.75 15.1674
9619.73 15.2165
9621.71 15.2630
9623.69 15.3317
9625.68 15.3682
9627.66 15.3502
9629.64 15.3035
9631.63 15.2766
9633.61 15.2390
9635.59 15.2289
9637.58 15.2440
9639.56 15.2590
9641.54 15.2671
9643.52 15.2731
9645.51 15.2711
9647.49 15.2570
9649.47 15.2512
9651.46 15.2474
9653.44 15.2482
9655.42 15.2586
9657.41 15.2775
9659.39 15.2756
9661.37 15.2490
9663.35 15.2418
9665.34 15.2541
9667.32 15.2666
9669.30 15.2637
9671.29 15.2516
9673.27 15.2428
9675.25 15.2287
9677.24 15.2223
9679.22 15.2248
9681.20 15.2302
9683.19 15.2343
9685.17 15.2474
9687.15 15.2263
9689.13 15.1547
9691.12 15.1244
9693.10 15.1476
9695.08 15.1931
9697.07 15.2134
9699.05 15.2193
9701.03 15.2420
9703.02 15.2791
9705.00 15.3131
9706.98 15.3468
9708.96 15.3749
9710.95 15.3657
9712.93 15.3006
9714.91 15.2837
9716.90 15.2991
9718.88 15.3061
9720.86 15.2861
9722.85 15.2532
9724.83 15.2370
9726.81 15.2170
9728.79 15.2229
9730.78 15.2671
9732.76 15.3048
9734.74 15.3025
9736.73 15.2751
9738.71 15.2676
9740.69 15.2667
9742.68 15.2647
9744.66 15.2607
9746.64 15.2597
9748.63 15.2667
9750.61 15.2805
9752.59 15.2931
9754.57 15.3163
9756.56 15.3230
9758.54 15.3054
9760.52 15.2843
9762.51 15.2862
9764.49 15.3122
9766.47 15.3007
9768.46 15.2539
9770.44 15.2242
9772.42 15.2208
9774.41 15.2234
9776.39 15.2012
9778.37 15.1527
9780.35 15.1345
9782.34 15.1190
9784.32 15.1308
9786.30 15.1912
9788.29 15.2827
9790.27 15.3231
9792.25 15.3341
9794.24 15.3320
9796.22 15.2996
9798.20 15.2697
9800.18 15.2556
9802.17 15.2475
9804.15 15.2287
9806.13 15.1950
9808.12 15.1799
9810.10 15.1800
9812.08 15.1838
9814.07 15.1851
9816.05 15.1875
9818.03 15.1887
9820.01 15.1825
9822.00 15.1905
9823.98 15.2176
9825.96 15.2471
9827.95 15.2602
9829.93 15.2595
9831.91 15.2838
9833.90 15.3242
9835.88 15.3739
9837.86 15.4502
9839.85 15.5270
9841.83 15.5517
9843.81 15.5361
9845.79 15.5087
9847.78 15.4632
9849.76 15.3987
9851.74 15.3048
9853.73 15.2084
9855.71 15.1546
9857.69 15.1168
9859.68 15.1050
9861.66 15.1256
9863.64 15.1500
9865.62 15.1718
9867.61 15.1967
9869.59 15.2234
9871.57 15.2656
9873.56 15.2811
9875.54 15.2836
9877.52 15.2656
9879.51 15.2133
9881.49 15.1391
9883.47 15.1229
9885.46 15.1495
9887.44 15.1696
9889.42 15.2076
9891.40 15.2329
9893.39 15.2171
9895.37 15.1710
9897.35 15.1464
9899.34 15.1091
9901.32 15.1080
9903.30 15.1589
9905.29 15.2152
9907.27 15.2165
9909.25 15.1689
9911.23 15.1976
9913.22 15.3107
Para poder comparar con nuestros resultados ésta debemos convertirla a:
2
3440 2
Å ,Hz
ergF
cm s
luego a:
2
3440 2
Å ,Å
ergF
cm s
o a:
2
3440 2
cm ,cm
ergF
cm s
usando las relaciones:
F d F d y c
tenemos:
158
2
d c
d
;
y para convertir las unidades en F :
8
2 210
cm Å
erg ergF F
cm s cm s
El gráfico del espectro de la Supernova 1994Y Tipo IIn ya
convertido es el siguiente:
Fig. 5.1 Espectro de la SN1944y Tipo IIn Filippenko, A.V. 1997, ARAA, 35, 309
2 Å
ergF
cm s
vs. Å
Luego, debemos integrar las líneas de interés, y para esto primero restar la
base en el espectro. Los valores de estas integrales son los que se
compararán con los valores de los coeficientes de emisión nnj y lo haremos
relativo a H .
159
En este gráfico podemos distinguir las líneas de Balmer (llamadas
también líneas H ) para el hidrógeno neutro o HII, hasta 8, es decir vemos
las transiciones:
2n n n
donde:
3 ,4 ,5 ,6,7 8n H H H y
Para integrar primero se vio el número de puntos que tiene cada
línea, luego con los puntos extremos a estas líneas se construyó una recta
por el MMC, la cual reemplazara a la base del espectro que restará a la
línea. Los gráficos que se hicieron para realizar estas elecciones y las restas
son los siguientes:
Fig. 5.2 Gráficos que muestran la elección del número de puntos de las líneas
espectrales que se tomarán para ser integradas y del número de puntos que se tomaran
para hallar las rectas por el MMC, las cuales serán las bases que restarán a las líneas
espectrales. Se tienen las casos 3 ,4 ,5 ,6,7 8n H H H y .
Se ven sobre el gráfico del Espectro de la SN1944y Tipo II 2 Å
ergF
cm s
vs. Å
160
161
162
163
Así por el método de Simpson integramos las líneas para cada caso,
teniendo los siguientes resultados:
Tabla 5.2 Resultados de las integrales 2Å
Å
ergF d
cm s
para las líneas 2n n n con 3 ,4 ,5 ,6,7 8n H H H y
3n H
1.6996e+007
4n H
9.5839e+006
5n H
5.2597e+006
6n
2.1450e+006
7n
7.3204e+005
8n
5.1429e+005
Para ésta integración se usó la fórmula de parábolas de Simpson:
0 1 2 3 2 14 2 4 ... 2 43
b
n n na
hydx y y y y y y y para: n par
Estos resultados se pueden ver en las tablas (5.3); en las dos primeras
tablas se muestra las razones de las líneas observadas en la SN1994Y Tipo IIn
y las teóricas para los casos A y B para una temperatura y densidad
electrónica dadas; y en la que sigue, se da una comparación para los casos
A y B, de las razones dadas en Ostrerbrock (1989) y las nuestras. De entre
las diferentes combinaciones entre 8 temperaturas y 4 abundancias
electrónicas, se eligió la que estaba más de acuerdo con las observaciones,
y ésta fue para una densidad electrónica de 310000electronesNecm
y
temperatura de 10000ºT K . Para esta elección se tomo la suma de los
valores absolutos de los restos o diferencias entre las razones observadas y
las teóricas.
Mas tablas de resultados podemos encontrar en la dirección:
D:/tesis_CD/tablas/ V-Tablas comparaciones con experimentos.
164
Tabla 5.3 Tablas de comparación de los resultados teóricos con los observados en la
SN 1944y Tipo IIn (líneas relativas a H ).
Línea
nHH
Observado en
la SN1994y
Type IIn
Caso A
10000ºT K
310000
eNe
cm
Caso A
15000ºT K
3100
eNe
cm
Caso A
80000ºT K
3100
eNe
cm
HH
1.7734 2.7214 2.7739 2.3781
H
H
0.5488 0.4815 0.4914 0.5237
HH
0.2238 0.2738 0.2831 0.3155
HH
0.0764 0.1725 0.1799 0.2068
8HH
0.0537 0.1164 0.1221 0.1432
Línea
nHH
Observado en
la SN1994y
Type IIn
Caso B
10000ºT K
310
eNe
cm
Caso B
15000ºT K
3100
eNe
cm
Caso B
80000ºT K
3100
eNe
cm
HH
1.7734 2.7874 2.7136 2.5178
H
H
0.5488 0.4759 0.4834 0.5069
HH
0.2238 0.2674 0.2742 0.2968
HH
0.0764 0.1668 0.1721 0.1901
8HH
0.0537 0.1116 0.1156 0.1292
Línea
nHH
Observado en
la SN1994y
Type II
Caso A
(Osterbrock)
10000ºT K
Caso A
80000ºT K
3100
eNe
cm
Caso B
(Osterbrock)
10000ºT K
Caso B
80000ºT K
3100
eNe
cm
HH
1.7734 2.86 2.3781 2.87 2.5178
H
H
0.5488 0.470 0.5237 0.466 0.5069
HH
0.2238 0.262 0.3155 0.256 0.2968
HH
0.0764 0.159 0.2068 0.158 0.1901
8HH
0.0537 0.107 0.1432 0.105 0.1292
165
Los siguientes gráficos muestran también la comparación de las
razones de líneas observadas en el espectro de la SN1994Y Tipo IIn y las
razones halladas.
En éstos gráficos las estrellas rojas representan a los resultados
teóricos y los círculos azules a los observados. En el eje de las ordenadas
están los valores relativos y en el de las abscisas se da la longitud de onda
en Ångström o el número cuántico principal.
Fig. 5.3 Gráficos de comparación de los resultados teóricos con los observados
en la SN 1944Y Tipo IIn (líneas relativas a H )
166
167
168
Mas gráficos de comparación se pueden encontrar en la dirección:
D:/tesis_CD/gráficos/ V-Gráficos comparaciones con experimentos.
Y se hallan usando el programa:
fun_plot_spec_obs_teo_sn1994y
Los valores dentro de éstos gráficos indican los valores que se usaron para
hacer el gráfico, así los 3 últimos números indican en orden el caso A(=1) o
B(=2) la densidad electrónica y la temperatura.
169
VI.- CONCLUSIONES.
En el presente trabajo se analizaron los procesos radiativos que ocurren
en regiones HII, se hallaron los coeficientes de emisión para nubes
ópticamente delgadas, casos A y B, y además se vio que los resultados
teóricos para la razón de intensidades de las líneas espectrales, concuerdan con
los observados en la SN 1994Y Tipo IIn, algunos más que otros dependiendo
de la temperatura y densidad electrónica elegida, como se pueden observar en
los gráficos (5.3).
Se ve, además, la posibilidad de poder averiguar cantidades físicas muy
importantes de la nube, como son la densidad electrónica y la temperatura, que
para el análisis de la SN elegida, SN 1994Y (Tipo IIn) del 9 de
enero de 1994, fue de 10000T K y 310000electronesNecm
. Podemos
notar que la temperatura y la densidad electrónica son relativamente elevadas;
por tanto, para ésta SN un cálculo más realista sería, incluyendo efectos de
transiciones gracias a colisiones con protones y fotones del campo
electromagnético exterior y de la propia nube, así como los efectos debido al
fenómeno de transferencia radiativa. En éste modelo teórico se supuso con
una nube de hidrógeno (Región HII), ópticamente delgada, de baja y
relativamente alta densidad; examinando los procesos radiativos que ocurren
en ella, como son las capturas electrónicas, transiciones espontáneas y gracias
a colisión con electrones, para poder hallar así los coeficientes de emisión.
La introducción del concepto de cascada es un método muy útil,
elegante y alternativo al de los coeficientes de apartamiento para calcular las
abundancias en los diferentes niveles nL del átomo.
La técnica usada aquí puede servir para otras partes de la ciencia como
para analizar gas en las nubes de nuestra atmósfera, para esto, se deben incluir
además los efectos de trasferencia radiativa.
En la mayoría de los textos y publicaciones revisadas se encuentran
cálculos incluyendo sólo los efectos de capturas desde el infinito y
transiciones espontáneas. Para calcular el espectro emergente en este trabajo
se vieron los efectos de capturas desde el infinito, transiciones espontáneas y
debido a colisiones con electrones, en la fórmula (II.4.16) se ve además la
posibilidad de incluir colisiones con protones y transiciones debido a la
radiación de un campo externo o de otras partes de la misma nube; se pueden
incluir también como se dijo efectos de transferencia radiativa en nubes
estáticas y con movimiento conjunto. Así para resolver con más realismo éste
problema, debe hallarse la intensidad de radiación I a partir de la
ecuación dada en el capítulo II, a saber,
170
IS
d
dI , (6.1)
cuya solución formal es:
0
0I I e e S d
(6.2)
donde
jS es la función fuente, es el camino óptico, es el
coeficiente de recombinación y j es el coeficiente de emisión. Para una nube
que sea homogénea 0S , la solución de esta ecuación será
0 1I I e S e (6.3)
en donde se ve que la intensidad que emergerá de la nube o de la cáscara que
se analice será la suma de la radiación incidente a la nube modulada por el
factor e que hace que disminuya exponencialmente gracias a la absorción,
más la función fuente modulada por el factor 1 e , es decir, gracias a la
definición de S , la intensidad de la radiación emergente será mayor cuando
mayor sea el coeficiente de emisión, y éste es mayor básicamente cuando la
emisión espontánea de la misma cáscara es mayor, también pueden aportar al
coeficiente de emisión las radiaciones colisionales de átomos o iones con
electrones y protones, la radiación de otras partes de la propia nube (o cáscara)
y la misma radiación incidente del exterior de la nube (o cáscara), todas estas
radiaciones son debido a transiciones de los electrones en los diferentes
niveles de energía del átomo; otros aportes que puede tener j son la
radiación libre-libre, de frenado o de Bremsstrahlung, (electrones en campos
eléctricos) y la de Sincrotrón (electrones relativistas en campos magnéticos).
Si uno quiere resolver el problema de transferencia radiativa
autoconsistentemente, uno debe resolver la ecuación (6.2) incluyendo todos
los efectos mencionados para el coeficiente de emisión y para poder integrar
debería saberse cual es el valor de éste y por tanto de la función fuente en todo
punto o capa delgada de la nebulosa; el problema no es fácil sabiendo que la
función fuente depende también del mismo campo de radiación I en
dicho punto, exactamente de 0I e
, donde ya estará disminuido al efecto
de absorción y del campo de radiación de la propia nube.
171
Cuando consideramos una nube ópticamente delgada, 0 , y por tanto
de la ecuación (6.2), 0I I , si tomamos una cáscara de la nube para
analizar, la intensidad emergente de ésta cáscara será la misma que la que
incidió de la capa anterior de la misma nube (en la primera capa ya se
trituraron los fotones UV que envió la estrella progenitora), y si la radiación
que manda la capa anterior es la que se indicó para hallar el coeficiente de
emisión (radiación espontanea, colisional, etc.), ya que en una nube donde
existe pura emisión dsjsdI
, donde s es una distancia sobre la línea de
luz, desde un punto arbitrario 0s , así en un medio homogéneo I s j s ;
entonces las razones de éstas líneas podremos compararlas o con las nubes
observadas en donde se cumpla con cierta aproximación que sean homogéneas
y ópticamente delgadas. Podemos decir también que se encontró los
coeficientes de emisión de una capa delgada de la nube, en donde la
temperatura y la densidad de electrones, protones o iones, permanezcan
constantes.
Uno puede ver de antemano, si puede aplicar el método para hallar la
temperatura y densidad electrónica descrito en esta memoria, simplemente
graficando el espectro tomado experimentalmente; allí se puede ver la
profundidad que existe en el lado corrido al azul de la línea, cuanto menos
área tenga ésta profundidad, más aplicable será nuestro método, ya que ésta
profundidad corresponde a la absorción, y cuanto menos absorción exista, más
transparente será el medio a la radiación, y por tanto la nube se dice que es
ópticamente delgada. Una representación esquemática de la formación de
estas líneas en atmósferas expandiéndose, se puede encontrar en la memoria la
memoria de Douglas Alexander Swartz, B. S.(1989) [9] Pág. 8.
Resolver el problema trasferencia es lo mismo a averiguar cómo varía la
densidad y la temperatura cuando varía la distancia r desde el centro de la
estrella, es decir, averiguar las funciones r y T r . Resolver
completamente la fórmula (II.4.16) y el problema de transferencia radiativa,
serán temas que incluiré en trabajos futuros.
172
APÉNDICE I
PROGRAMAS
(Los programas originales se dan en el CD)
En la dirección:
D:/Tesis_CD/programas_rutina/solo_programas
PROGRAMAS A
PROGRAMAS QUE CALCULAN LOS COEFICIENTES DE
RECOMBINACIÓN
nL T
PROGRAMA A-01
(programa alfa_tabla20.m)
%************************************************************************
% HALLA LOS COEFICIENTES DE RECOMBINACIÓN PARA CUALQUIER TEMPERATURA
% (POR MMC)
% Devuelve una matriz alfa_new_T_N=alfa_new(n*l)
%
% Se carga con 3 matrices para las temperaturas de 5000 10000 y 20000ºK
% halladas anteriormente y por el MMC para una curva potencial, se halla
% los coeficientes de recombinación para cualquier temperatura.
%
% alfa_new
%************************************************************************
function alfa_new=f(T_N);
load coef_recom20_nl_5.txt;
load coef_recom20_nl_10.txt;
load coef_recom20_nl_20.txt;
alf_1=coef_recom20_nl_5;
alf_2=coef_recom20_nl_10;
alf_3=coef_recom20_nl_20;
n_max=20; %LINEALIZANDO
for i=1:n_max;
for j=1:i;
ln_alf_1(i,j)=log (alf_1(i,j));
173
ln_alf_2(i,j)=log (alf_2(i,j));
ln_alf_3(i,j)=log (alf_3(i,j));
end
end
%ln_alf_2
%alf_2
%pause;
T=[5000 10000 20000];
%se da todas las componentes de la matriz 1*3
%o que es lo mismo un vector tÍpico fila
for i=1:3;
ln_T(i)=log (T(i));
end;
%ln_T
coef_A=zeros(n_max,n_max);
coef_B=zeros(n_max,n_max);
for i=1:n_max;%USANDO MMC PARA UNA LINEA
for j=1:i;
A=[ln_alf_1(i,j) ln_alf_2(i,j) ln_alf_3(i,j)];
b=polyfit(ln_T,A,1);
coef_A(i,j)=b(1);
coef_B(i,j)=b(2);
end;
end;
%recupernado la forma exponencial
for i=1:n_max;
for j=1:i;
aa(i,j)=exp(coef_B(i,j));
bb(i,j)=coef_A(i,j);
alfa_new(i,j)=(aa(i,j))*((T_N)^(bb(i,j)));
end;
end;
alfa_new;
PROGRAMA A-02
PROGRAMA QUE CALCULA LOS COEFICIENTES DE
RECOMBINACIÓN (para 3 temperaturas)
(programa recom_coeff_CalculoDirecto20.m)
Primero se calcularon los subprogramas para calcular el momento
dipolar (sigma), gamma, y para estos la función hipergeométrica confluente y
el factorial, luego el coeficiente de recombinación hasta n_L=10_9 luego en
recom_coeff_CalculoDirecto20.m hasta n_L=20_19.
174
%************************************************************************
% CALCULA LOS ELEMENTOS DE LA MATRIZ PARA EL COEFICIENTE DE
% RECOMBINACIÓN(20)
%
% Se da el momento dipolar, gama, y la temperatura(5000,10000y20000ºK)
% usando sub_programas para sigma y gamma y Maple para la integral;
% la matriz 10*10 ya fue hallada en recom_coeff_CalculoDirecto.m,
% allí se hallaron las matrices coef_recom20_nl_5,10y20
% Usa la formula (12) de: A.Burges #118 1959 pag.179
% American Astronomical Society. Provided by the NASA Astrophysics Data
% System
%
% recom_coeff_CalculoDirecto20.m
%************************************************************************
PROGRAMA A-03
(programa recom_coeff_CalculoDirecto.m)
%************************************************************************
%CALCULA LOS ELEMENTOS DE LA MATRIZ PARA EL COEFICIENTE DE RECOMBINACIÓN
% DADOS: el momento dipolar, gama, y la temperatura
%
% encuentra las matrices 10*10 de los coeficientes de recombinación
% para las temperaturas 5000 10000 y 20000ºK
%
% recom_coeff_CalculoDiecto
%************************************************************************
Salva las matrices con: save coef_recom20_nl_5.txt coef_recom20_nl_5 -ascii -double -tabs;
save coef_recom20_nl_10.txt coef_recom20_nl_10 -ascii -double -tabs;
save coef_recom20_nl_20.txt coef_recom20_nl_20 -ascii -double -tabs;
Para estos 2 programas que completan la matriz 20*20 de los
coeficientes de recombinación se uso los siguientes subprogramas:
PROGRAMA A-04
(programa sigma.m)
function sigma=f(n,l,lp);
PROGRAMA A-05
(programa gamm.m)
function gamm=f(n,l,lp);
175
PROGRAMA A-06
(programa factorial.m)
%********************************
% HALLA EL FACTORIAL DE UN NÚMERO
% DADO EL NÚMERO
%
% factorial
%********************************
function factorial=f(i);
for j=1:i;
a(j)=j; %de menos a más
%a(j)=i+1-j; %de más a menos
end
factorial=1;
for j=1:i;
factorial=factorial*a(j);
end
PROGRAMA A-07
(programa c_hyperg_fun.m)
%****************************************************************
%CALCULA LA FUNCIÓN HIPERGEOMÉTRICA CONFLUENTE OK!!!
%
% calculated for the Kummer`s Function
%
% M(a,b,z)=1+az/b+(a)_2z^2/(b)_22!+...+(a)_nz^2/(b)_nn!+...
% donde: (a)_n y (b)_n tienen la forma:
% (a)_n=a(a+1)(a+2)...(a+n-1), y (a)_0=1.
%
% ecuation 13.1.2 of [1]
%
% Para: abs(z)<inf
% Donde: g=Lim(m tend. a inf de)(1+1/2+1/3+...+1/m-ln(m))
% =0.5772156649... is the Euler`s constan
%
% [1] M. Abramowitz and I.A. Stegun, "Handbook of Mathematical
% Functions", Dover Publications, 1965, Ch. 5.
%****************************************************************
function c_hyperg_fun=f(alf,bet,z);
c_hyperg_f=0;
alfa=alf;
beta=bet;
for i=0:50;
if i==0;
aa(1)=1;
else
if i==1;
176
aa(2)=(alf*z)/bet;
else
al(i+1)=alf+i-1;
be(i+1)=bet+i-1;
alfa=alfa*al(i+1);
beta=beta*be(i+1);
aa(i+1)=(alfa*z^(i))/(beta*factorial(i));
end
end
c_hyperg_f=c_hyperg_f+aa(i+1);
%para la convergencia (con nuestros valores siempre converge)
%aux=(a(i+1)/c_hyperg_fun)*100
%if abs(aux)>1;
% c_hyperg_fun=c_hyperg_f;
%end
end
c_hyperg_fun=c_hyperg_f;
PROGRAMAS B
PROGRAMAS QUE CALCULAN LOS COEFICIENTES DE
EINSTEIN
,n l nlA
PROGRAMA B-01
(programa ProbEspCalcDirecto20.m)
%************************************************************************
% CALCULA LAS PROBABILIDADES DE TRANSICIÓN ESPONTANEA COMOCIENDO LOS
% ELEMENTOS DE LA MATRIZ DE MOMENTO DIPOLAR
%
% Los elementos de la matriz momento dipolar se sacan de:
% OSCILLATOR STRENGTHS AND MATRIX ELEMENTS FOR THE ELECTRIC DIPOLE MOMENT
% FOR HYDROGEN
% Louis C. Green, Patricia P. Rush and Carolyn D. Chandler
% 1957 AsJS ...3...37G
% American Astronomical Society. Provided by the NASA Astrophysics Data
% System y se usa la fórmula (3) de: A.Burges #118 1959 pag.179
%
% ProbEspCalcDirecto20
%************************************************************************
PROGRAMAS C
PROGRAMAS QUE CALCULAN LOS COEFICIENTES
COLISIONALES
,n l nl
eq
177
PROGRAMA C-01
(programa fun_tabla_q_emabs_pobdesp_ne.m)
%************************************************************************
% HALLA LAS TABLAS PARA LA MATRIZ PROBABILIDAD DE POBLAR EL NIVEL nl
% POR ABSORSIÓN Y EMISIÓN DEBIDO A COLISIONES CON ELECTRONES
%
% q=Probabilidad de transición colisional debido a electrones/
% por electrón y unidad de volumen
% C=excitation rate coefficient
%
% en función de la temperatura T(ºK)
%
% C_ji=n_e*q_ji, C_ij=n_e*q_ij
%
% usamos la expresión para C_ij dada en la pag.85 de la disertación de:
% DOUGLAS ALEXANDER SWARTZ, B.S.
% (THE UNIVERSYTY OF TEXAS AT AUSTIN)(1989)
% MODELLING LATE-TIME ATMOSPHERES OF SUPERNOVAE.
%
% sacada de la memoria de:(esta más detallado)(Pag33 ec. II-30)
% Deane Millar Peterson
% HARVARD UNIVERSITY
% Departament of Astronomy
% THE BALMER LINES IN EARLY TYPE STARS
%
% para una emisión (de-exitación) ji=21=nplp-nl=transición hacia abajo Y
% para una absorción (exitación) ij=12=nsls-nl=transición hacia arriba
% pensando en poblar por emisión y absorción el nivel nl (ns<n<np)
% sale de j=nplp=njlj y llega (cae) a i=nl=nili nj>ni y
% sale de i=nsls=nili y llega (sube) a j=nl=njlj nj>ni
%
% LOS CASOS A Y B son los mismos, coloque: para nl=10 i.e.
% qe_emabs_pob_neNe_T_1_0=(0) y
% qe_emabs_despob_neNe_T_1_0=(0)
% no importa no tenerlo por que en el programa del numerador y
denominador
% de 4.8 Osterb. lo hace cero este caso, y por tanto en adelante
%
% Se lama a las funciones:
% fun_q_emabs_pob_ne(n_max,casoAB,T,n,l) y
% fun_q_emabs_despob_ne(n_max,casoAB,T,n,l);
%
% fun_tabla_q_emabs_pobdesp_ne
%************************************************************************
function fun_tabla_q_emabs_pobdesp_ne=f(n_max,casoAB,T);
PROGRAMA C-02
(programa fun_q_emabs_pob_ne.m)
178
%************************************************************************
% CALCULA LA MATRIZ PROBABILIDAD DE POBLAR EL NIVEL nl
% POR ABSORSIÓN Y EMISIÓN DEBIDO A COLISIONES CON ELECTRONES
%
% en función a la temperatura T(ºK)
%
% q_ji y q_ij
%
%
% Se lama a las funciones:
% fun_q_abs_ij_ne(n_max,casoAB,T,ni,li,nj,lj) y
% fun_q_em_ji_ne(n_max,casoAB,T,nj,lj,ni,li)
%
% fun_q_emabs_pob_ne
%************************************************************************
function fun_q_emabs_pob_ne=f(n_max,casoAB,T,n,l);
PROGRAMA C-03
(programa fun_q_emabs_despob_ne.m)
%************************************************************************
% CALCULA LA MATRIZ COEFICIENTES q DE DESPOBLACIÓN DEL NIVEL nl
% POR EMISIÓN Y ABSORSIÓN DEBIDO A COLISIONES CON ELECTRONES
%
% en función a la temperatura T(ºK)
%
% q_ji y q_ij
%
% Se lama a las funciones:
% fun_q_em_ji_ne(n_max,casoAB,T,nj,lj,ni,li) y
% fun_q_abs_ij_ne(n_max,casoAB,T,ni,li,nj,lj)
%
% fun_q_emabs_despob_ne
%************************************************************************
function fun_q_emabs_despob_ne=f(n_max,casoAB,T,n,l);
PROGRAMA C-04
(programa fun_q_abs_ij_ne.m)
%************************************************************
% CALCULA EL COEFICIENTE DE EXITACIÓN (ABSORCIÓN) DEBIDO A
% COLISIONES CON ELECTRONES
% (elemento de matriz)
% q_ij
%
% q_ij=Probabilidad de transición (por absorción) debido a la
% colisión con un electrón/por electrón y por unidad de volumen
% =Coeficiente colisional con un electrón (por excitación)
%
% se da la temperatura T(ºK) y los 4 números cuánticos de los niveles
% no se toma la densidad de electrones Ne, que
179
% se toma ya para hallar C_ij i.e. la probabilidad
%
% NOTA: C_ij=n_e*q_ij
%
% Se halla integrando la sección transversal sobre una distribución
% maxweliana
%
% sale de i=nsls=nili y llega a j=nl=njlj nj>ni
% no se habilita los CASOS A Y B
%
% llamamos a las funciones:
% funcion_energ_npn(n_max)
% fun_oscillator_strenght_abs(n_max,casoAB,ni,li,nj,lj)
%
% fun_q_abs_ij_ne
%************************************************************
function fun_q_abs_ij_ne=f(n_max,casoAB,T,ni,li,nj,lj);
PROGRAMA C-05
(programa fun_q_em_ji_ne.m)
%************************************************************
% CALCULA EL COEFICIENTE DE DE-EXITASIÓN (EMISIÓN) DEBIDO A
% COLISIONES CON ELECTRONES
% (elemento de matriz)
% q_ji
%
% q_ji=Probabilidad de transición (por emisión) debido a la
% colisión con un electrón/por electrón y por unidad de volumen
% =Coeficiente colisional con un electrón (por de-exitación)
%
% se da la temperatura T(ºK) y los 4 números cuánticos.
%
% notar que la relación con la probabilidad es:
%
% C_ji=n_e*q_ji=Cij(i/j)^2exp(E_ij/KT)
%
% sale de j=nplp=njlj y llega (cae) a i=nl=nili nj>ni (np>n>ns)
% no se habilita los CASOS A Y B
%
% llamamos a las funciones:
% funcion_energ_npn(n_max)
% fun_q_abs_ij_ne(n_max,casoAB,T,ni,li,nj,lj)
%
% fun_q_em_ji_ne
%************************************************************
function fun_q_em_ji_ne=f(n_max,casoAB,T,nj,lj,ni,li);
180
PROGRAMA C-06
(programa fun_oscillator_strenght_abs.m)
%*****************************************************
% OSILLATOR STRENGH FOR ABSORTION f_ij
%
% Astrophysical Quantities 1973 pag. 58
%
% g_2*A_21=3*cdc*g_1*f_12=-3*cdcg_2*f_21
%
% cdc=(8*pi^2*e^2*mu^2)/(3*m*c^3)=(8*pi^2*e^2)/(3*m*c*lambda^2)
% 12=ij
%
% se uso la función:
% lon_onda_amstr_transition_mn(n_max)
%
% fun_oscillator_strenght_abs
%*****************************************************
function fun_oscillator_strenght_abs=f(n_max,casoAB,ni,li,nj,lj)
PROGRAMA C-07
(programa fun_energ_npn.m)
%***********************************************************
% Calcula la energía del fotón absorbido, que provoca una
% transición hacia arriba i-j ó nplp-nl ó np-n
% notar que es la misma energía que se emitiría en una
% transición hacia abajo nl-nplp
%
% USA:
% lon_onda_amstr_transition_mn(n_max)
%
% fun_energ_npn
%***********************************************************
function fun_energ_npn=f(n_max);
PROGRAMA C-08
(programa lon_onda_amstr_transition_mn.m)
%========================================================================
=
% HALLA LAS LONGITUDES DE ONDA EN AMSTRONG A PARTIR DE m y n (EN
MATRICES)
%calcula los valores vía la fórmula:
%frec=Z^2*R(cm^-1)*(1/n^2-1/m^2) y frec=c/LongOnda
%y lo convierte a amstrong
% lon_onda_amstr_transition_mn
%========================================================================
=
function lon_onda_amstr_transition_mn=f(n_max)
181
Rp=1.09737331e5; %cm^-1
lon_onda_amstr_transition_mn=zeros(n_max,n_max);
for n=1:n_max-1;
for m=n+1:n_max;
lon_onda_amstr_transition_mn(m,n)=1e8/(Rp*((1/n^2)-(1/m^2)));
end
end
%save lon_amstrong.txt lon_amstrong -ascii -double -tabs;
PROGRAMA C-09
(programa fun_oscillator_strenght_em.m)
%*****************************************************
% OSILLATOR STRENGH FOR EMISSION f_ji
%
% Astrophysical Quantities 1973 pag. 58
%
% g_2*A_21=3*cdc*g_1*f_12=-3*cdcg_2*f_21
%
% cdc=(8*pi^2*e^2*mu^2)/(3*m*c^3)=(8*pi^2*e^2)/(3*m*c*lambda^2)
% 12=ij
%
% se uso la función:
% lon_onda_amstr_transition_mn(n_max)
%
% fun_oscillator_strenght_em
%*****************************************************
function fun_oscillator_strenght_em=f(n_max,casoAB,nj,lj,ni,li);
PROGRAMA C-10
(programa fun_tabla_ce_emabs_pobdes_ne.m)
%************************************************************************
% HALLA LAS TABLAS PARA LA MATRIZ PROBABILIDAD DE POBLAR EL NIVEL nl
% POR ABSORSIÓN Y EMISIÓN DEBIDO A COLISIONES CON ELECTRONES
% (excitation rate coefficient)
%
% en función a la densidad de electrones Ne, la temperatura T(ºK)
%
% C_ji=n_e*q_ji, C_ij=n_e*q_ij
%
% usamos la expresión para C_ij dada en la pag.85 de la disertación de:
% DOUGLAS ALEXANDER SWARTZ, B.S.
% (THE UNIVERSYTY OF TEXAS AT AUSTIN)(1989)
% MODELLING LATE-TIME ATMOSPHERES OF SUPERNOVAE.
%
% sacada de la memoria de:(esta más detallado)(Pag33 ec. II-30)
% Deane Millar Peterson
% HARVARD UNIVERSITY
182
% Departament of Astronomy
% THE BALMER LINES IN EARLY TYPE STARS
%
% para una emisión (de-exitación) ji=21=nplp-nl=transición hacia abajo Y
% para una absorción (exitación) ij=12=nsls-nl=transición hacia arriba
% pensando en poblar por emisión y absorción el nivel nl (ns<n<np)
% sale de j=nplp=njlj y llega (cae) a i=nl=nili nj>ni y
% sale de i=nsls=nili y llega (sube) a j=nl=njlj nj>ni
%
% LOS CASOS A Y B son los mismos colo que: para nl=10 i.e.
% ce_emabs_pob_neNe_T_1_0=(0) y
% ce_emabs_despob_neNe_T_1_0=(0)
% no importa no tenerlo por que en el programa del numerador y
denominador
% de 4.8 Osterb. lo hace cero este caso, y por tanto en adelante
%
% Se lama a las funciones:
% fun_ce_emabs_pob_ne(n_max,casoAB,Ne,T,n,l) y
% fun_ce_emabs_despob_ne(n_max,casoAB,Ne,T,n,l);
%
% fun_tabla_ce_emabs_pobdesp_ne
%************************************************************************
function fun_tabla_ce_emabs_pobdesp_ne=f(n_max,casoAB,Ne,T);
PROGRAMA C-11
(programa fun_ ce_emabs_pob_ne.m)
%************************************************************************
% CALCULA LA MATRIZ PROBABILIDAD DE POBLAR EL NIVEL nl
% POR ABSORSIÓN Y EMISIÓN DEBIDO A COLISIONES CON ELECTRONES
%
% en función a la densidad de electrones Ne, la temperatura T(ºK)
% C_ji=n_e*q_ji, C_ij=n_e*q_ij
%
% Se lama a la función:
% fun_q_emabs_pob_ne(n_max,casoAB,T,n,l)
%
% fun_ce_emabs_pob_ne
%************************************************************************
function fun_ce_emabs_pob_ne=f(via,n_max,casoAB,Ne,T,n,l);
PROGRAMA C-12
(programa fun_ ce_emabs_despob_ne.m)
%************************************************************************
% CALCULA LA MATRIZ PROBABILIDAD DE DESPOBLACIÓN DEL NIVEL nl
% POR EMISIÓN Y ABSORSIÓN DEBIDO A COLISIONES CON ELECTRONES
%
% en función a la densidad de electrones Ne, la temperatura T(ºK)
% C_ji=n_e*q_ji, C_ij=n_e*q_ij
%
183
% no existe el CASOS B
%
% Se lama a la función:
% fun_q_emabs_despob_ne(n_max,casoAB,T,n,l)
%
% fun_ce_emabs_despob_ne
%************************************************************************
function fun_ce_emabs_despob_ne=f(via,n_max,casoAB,Ne,T,n,l);
PROGRAMA C-13
(programa fun_ c_abs_ij_ne.m)
%************************************************************
% CALCULA LA PROBABILIDAD DE EXITACIÓN (ABSORCIÓN) DEBIDO A
% COLISIONES CON ELECTRONES
% (elemento de matriz)
%
% se da la densidad de electrones Ne, la temperatura T(ºK)
% y los 4 números cuánticos
% C_ij=n_e*q_ij
%
% sale de i=nsls=nili y llega a j=nl=njlj nj>ni
% no se habilita los CASOS A Y B
% USA:
% fun_q_abs_ij_ne(n_max,casoAB,T,ni,li,nj,lj)
%
% fun_c_abs_ij_ne
%************************************************************
function fun_c_abs_ij_ne=f(n_max,casoAB,Ne,T,ni,li,nj,lj);
PROGRAMA C-14
(programa fun_ c_em_ji_ne.m)
%************************************************************
% CALCULA LA PROBABILIDAD DE DE-EXITASIÓN (EMISIÓN) DEBIDO A
% COLISIONES CON ELECTRONES
% (elemento de matriz)
%
% se da la densidad de electrones Ne, la temperatura T(ºK)
% y los 4 números cuánticos
%
% C_ji=n_e*q_ji=Cij(i/j)^2exp(E_ij/KT)
%
% USA:
% fun_q_em_ji_ne(n_max,casoAB,T,ni,li,nj,lj)
%
% fun_c_em_ji_ne
%************************************************************
function fun_c_em_ji_ne=f(n_max,casoAB,Ne,T,nj,lj,ni,li);
184
PROGRAMAS D
PROGRAMAS QUE CALCULAN LAS PROBABILIDADES DE
TRANSICIÓN
,n L nLP
PROGRAMA D-01
(programa fun_tabla_p_ab_emabs_pob_espne.m)
%************************************************************************
% HALLA LAS TABLAS PARA LA MATRIZ PROBABILIDAD "P" DE POBLAR EL NIVEL nl
% POR ABSORSIÓN Y EMISIÓN DEBIDO A TRANSICIONES ESPONTANEAS Y COLISIONES
% CON ELECTRONES
%
% en función a la densidad de electrones Ne, la temperatura T(ºK)
%
% P= ELEMENTO posibilidad/SUMATORIA de todas las posibilidades
%
% Generalizamos la ecuación (4.8) del Osterbrock
%
% Se lama a las funciones:
% fun_prob_p(via,n_max,trans,casoAB,Ne,T,nn,ll)
% fun_sum_p(via,n_max,trans,casoAB,Ne,T)
%
% el nombre que se da a la matriz al salvarla indica la probabilidad de
% poblar el nivel nl ya sea por emisión (cae de arriba espontáneamente o
por colisión con electrones)
% o por absorción (salta de abajo, por colisión con elec.)a temperatura T
%
% fun_tabla_p_ab_emabs_pob_espne
%************************************************************************
function fun_tabla_p_ab_emabs_pob_espne=f(via,n_max,trans,casoAB,Ne,T);
PROGRAMA D-02
(programa fun_prob_p.m)
%************************************************************************
**
% CALCULA LA PROBABILIDAD "P" DE HACER UN ATRANSICIÓN nplp-nl
% PROBABILIDAD DE POBLAR EL NIVEL nl
%
% los elementos de la matriz indican con su posición (nplp), la
% probabilidad de saltar al nivel nl
% para los CASOS A y B no se cambia nada
% pero ver si se llama a la función o a las matrices ya creadas para
% colisiones con electrones
% habilitar las funciones fun_sum_p(Ne,T); si no se tiene creada
% el denominador de 4.8 Osterbrock generalizado y también
% fun_c_emabs_pob_ne(Ne,T,n,l);
185
%
% llama las funciones:
% fun_numerador_p(via,n_max,trans,casoAB,Ne,T,n,l)
% fun_sum_p(via,n_max,trans,casoAB,Ne,T);
%
% fun_prob_p.m
%************************************************************************
**
function fun_prob_p=f(via,n_max,trans,casoAB,Ne,T,nn,ll);
PROGRAMA D-03
(programa fun_sum_p.m)
%**************************************************************
% CALCULA EL DENOMINADOR DE LA PROBABILIDAD P
% PARA TRANSICIONES ESPONTÁNEAS, COLISIONALES Y RADIATIVAS
%
% Los elementos de la matriz son la suma de las despoblaciones
% desde el nivel nplp y están ubicados allí mismo (nplp)
% solo dependerá de Ne y T(ºK)
%
% USA:
% fun_ce_emabs_despob_ne(via,n_max,casoAB,Ne,T,n,l)
%
% fun_sum_p.m
%**************************************************************
function fun_sum_p=f(via,n_max,trans,casoAB,Ne,T);
PROGRAMA D-04
(programa fun_numerador_p.m)
%************************************************************************
% CALCULA EL NUMERADOR DE LA PROBABILIDAD "P" DE HACER UN ATRANSICIÓN
% nplp-nl
% NUMERADOR DE LA PROBABILIDAD DE POBLAR EL NIVEL nl
%
% los elementos de la matriz indican con su posición (nplp), la
% probabilidad de saltar al nivel nl
% para los CASOS A y B no se cambia nada
% pero ver si se llama a la función o a las matrices ya creadas para
% colisiones con electrones
%
% llama las funciones:
% fun_a_pob_nl(n_max,casoAB,Ne,T,n,l)
% fun_ce_emabs_pob_ne(via,n_max,casoAB,Ne,T,n,l)
% fun_cp_emabs_pob_np(casoAB,Ne,T,n,l);%futura creación
% fun_cem_emabs_pob_cem(casoAB,Ne,T,n,l);%futura creación
%
% fun_numerador_p.m
%************************************************************************
function fun_numerador_p=f(via,n_max,trans,casoAB,Ne,T,n,l);
186
PROGRAMA D-05
(programa fun_a_pob_nl.m)
%********************************************************************
% CALCULA LA MATRIZ DE POBLACIÓN DEL NIVEL nl
%
% como se lo creo a mano, entonces solo lo carga
%
% fun_a_pob_nl
%********************************************************************
function fun_a_pob_nl=f(n_max,casoAB,n,l);
PROGRAMA D-06
(programa fun_ce_emabs_pob_ne.m)
function fun_ce_emabs_pob_ne=f(via,n_max,casoAB,Ne,T,n,l);
PROGRAMA D-07
(programa fun_ce_emabs_despob_ne.m)
function fun_ce_emabs_despob_ne=f(via,n_max,casoAB,Ne,T,n,l);
PROGRAMAS E
PROGRAMAS QUE CALCULAN LAS MATRICES CASCADA
,n L nLC
PROGRAMA E-01
(programa fun_tabla_c_ab_emabs_pob_espne.m)
%************************************************************************
% HALLA LAS TABLAS PARA LA MATRIZ PROBABILIDAD "P" DE LLEGAR POR CASCADA
% AL NIVEL nl POR ABSORSIÓN Y EMISIÓN DEBIDO A TRANSICIONES ESPONTANEAS Y
% COLISIONES CON ELECTRONES
%
% en función a la densidad de electrones Ne, la temperatura T(ºK)
%
% Generalizamos la ecuación (4.10) del Osterbrock
%
% Solo llama la función fun_cascada_c(Ne,T) para diferentes Ne y T
% y es en ella donde salva las matrices para cada nl que se crea en esa
% función.
%
% Se lama a la función:
187
% fun_cascada_c(via,n_max,trans,casoAB,Ne,T);
%
% fun_tabla_c_ab_emabs_pob_espne
%************************************************************************
function fun_tabla_c_ab_emabs_pob_espne=f(via,n_max,trans,casoAB,Ne,T);
PROGRAMA E-02
(programa fun_cascada_c.m)
%****************************************************************
% CÁLCULO DE LAS MATRICES CASCADA
%EN NUBES OPTICAMENTE DELGADAS Y NO DENSAS VÍA MATRICES CASCADA
% (CASOS A Y B)
%
% vía la ecuación generalizada de 4.10 Osterbrock
%
% USA:
% fun_prob_p(via,n_max,trans,casoAB,Ne,T,i,j)
%
% fun_cascada_c
%****************************************************************
function fun_cascada_c=f(via,n_max,trans,casoAB,Ne,T)
PROGRAMA E-03
(programa fun_prob_p.m)
function fun_prob_p=f(via,n_max,trans,casoAB,Ne,T,nn,ll);
PROGRAMAS F
PROGRAMAS QUE CALCULAN LAS POBLACIONES (Non-LTE)
nLN
PROGRAMA F-01
(programa fun_tabla_poblaciones.m)
%************************************************************************
% HALLA LAS TABLAS PARA LA MATRIZ ABUNDANCIAS N_nl
% DEBIDO A TRANSICIONES ESPONTANEAS Y ESPONTANEAS-COLISIONES
% CON ELECTRONES CASOS A Y B
%
% en función a la densidad de electrones Ne, la temperatura T(ºK)
%
% Generalizamos la ecuación (4.11) del Osterbrock
%
% Se lama a la función:
% fun_poblaciones_nl(via,n_max,trans,casoAB,Ne,T)
188
%
% fun_tabla_poblaciones
%************************************************************************
function fun_tabla_poblaciones=f(via,n_max,trans,casoAB,Ne,T);
PROGRAMA F-02
(programa fun_poblaciones_nl.m)
%*******************************************************************
% REGRESA LA MATRIZ DE ABUNDANCIAS DADA LA TEMPERATURA T Y ABUNDANCIA
% ELECTRONICA Ne
%
% sin corrección al inf., usando f=sum(alf*C) y 4-11 osterb. o
% la mitad de (29) pengelly n=fila l=columna
%
% ve los casos de transición espontanea y transición espontanea y
% colisional unidas, para los casos A Y B
%
% usa la función:
% fun_sum_p(via,n_max,trans,casoAB,Ne,T)(suma del denominador de (4.8))
% o también usando la matriz ya creada.
% fun_fm_nl(via,n_max,trans,casoAB,Ne,T)(debe habilitarse la suma en np
hasta 20)
%
% fun_poblaciones_nl
%*******************************************************************
function fun_poblaciones_nl=f(via,n_max,trans,casoAB,Ne,T);
PROGRAMA F-03
(programa fun_sum_p.m)
function fun_sum_p=f(via,n_max,trans,casoAB,Ne,T);
PROGRAMA F-04
(programa fun_fm_nl.m)
%*******************************************************************
% REGRESA LA MATRIZ f DADO LA TEMPERATURA T_N
% n=fila l=columna
%
% es la suma de los elementos del vector dado por fun_fv_np_nl
%
% se llama a la función:
% fun_fv_np_nl(via,n_max,trans,casoAB,Ne,T,n,l)
%
% fun_fm_nl
%*******************************************************************
function fun_fm_nl=f(via,n_max,trans,casoAB,Ne,T)
189
PROGRAMA F-05
(programa fun_fv_np_nl.m)
%*******************************************************************
% REGRESA EL VECTOR f DADO LA TEMPERATURA T_N, n y l
% CASOS A Y B
% parte de la ecuación 4.11 Osterbrock
% sumatoria (en lp de 0 a np-1) de alfa_nplp(T)*C_nplp,nl
% USA:
% alfa_tabla20(T_N)
% fun_cascada_c_nl(via,n_max,trans,casoAB,Ne,T,n,l)%para c/matriz(crear)
% fun_fv_np_nl
%*******************************************************************
function fun_fv_np_nl=f(via,n_max,trans,casoAB,Ne,T,n,l)
PROGRAMA F-06
(programa alfa_tabla20.m)
function alfa_new=f(T_N);
PROGRAMA F-07
(programa fun_cascada_c_nl.m)
function fun_cascada_c_nl=f(via,n_max,trans,casoAB,Ne,T)crear
PROGRAMAS G
PROGRAMAS QUE CALCULAN LAS POBLACIONES (LTE vía SB)
nLN
PROGRAMA G-01
(programa fun_tabla_poblaciones_sb_LTE.m)
%************************************************************************
% HALLA LAS TABLAS PARA LA MATRIZ ABUNDANCIAS N_nl EN LTE
%
% En función a la densidad de electrones Ne, la temperatura T(ºK)
% No importa las transiciones por que es LTE
% Ecuación Saha-Boltzmann (4.4) Osterbrock.
%
% Se lama a la función:
% fun_poblaciones_SB_LTE(T,Np,Ne)
%
% fun_tabla_poblaciones_sb_LTE
%************************************************************************
function fun_tabla_poblaciones_sb_LTE=f(T,Np,Ne);
190
PROGRAMA G-02
(programa fun_poblaciones_SB_LTE.m)
%***********************************************************************
% CALCULA LA MATRIZ DE ABUNDANCIAS N_ nl en LTE
% (equilibrio termodinámico) vía la ecuación de
% SAHA-BOLTZMANN
%
% se da la temperatura T y
% las densidades numéricas de protones y electrones
% Np (#protones/cm^3) y Ne (#electrones/cm^3)
%
% Ecuación Saha-Boltzmann (4.4) Osterbrock.
%
% los valores de las poblaciones en el nivel nl
% se indica por la posición n=fila y l=columna de la matriz
%
% fun_poblaciones_SB_LTE
%***********************************************************************
function fun_poblaciones_SB_LTE=f(T,Np,Ne);
PROGRAMAS H
PROGRAMAS QUE CALCULAN LOS COEFICIENTES DE EMISIÓN
(Non-LTE)
nLj
PROGRAMA H-01
(programa fun_tabla_emision_coeff_nnp.m)
%************************************************************************
% HALLA LAS TABLAS PARA LOS COEFICIENTES DE EMISIÓN
% DEBIDO A TRANSICIONES ESPONTANEAS Y ESPONTANEAS-COLISIONES
% CON ELECTRONES CASOS A Y B
%
% en función a la densidad de electrones Ne, la temperatura T(ºK)
%
% Generalizamos la ecuación (4.12) del Osterbrock
%
% Se lama a la función:
% fun_emision_coeff_nnp(via,n_max,trans,casoAB,Ne,T);
%
% fun_tabla_emision_coeff_nnp
%************************************************************************
function fun_tabla_emision_coeff_nnp=f(via,n_max);
191
PROGRAMA H-02
(programa fun_emision_coeff_nnp.m)
%************************************************************************
% CÁLCULO DE LOS COEFICIENTES DE EMISIÓN (MATRICES(n*np))
%
% para cada transición en función a la temperatura
% usamos f=sum(alfa*C), 4-11 y 4-12 Osterbr.
%
% líneas 74 y 75 habilitar para casos 4.12 osterb. generalizado o no
% no importa que se cargo de más las los a20_nplp (para el caso
% generalizado no lo uso).
%
% usa las funciones:
% lon_onda_amstr_transition_mn(n_max)
% fun_abundancias_nl(via,n_max,trans,casoAB,Ne,T,n,l)
% fun_numerador_p(via,n_max,trans,casoAB,Ne,T,n,l)
%
% fun_emision_coeff_nnp
%************************************************************************
function fun_emision_coeff_nnp=f(via,n_max,trans,casoAB,Ne,T);
PROGRAMA H-03
(programa fun_poblaciones_nl.m)
function fun_poblaciones_nl=f(via,n_max,trans,casoAB,Ne,T);
PROGRAMA H-04
(programa fun_numerador_p.m)
function fun_numerador_p=f(via,n_max,trans,casoAB,Ne,T,n,l);
PROGRAMA H-05
(programa lon_onda_amstr_transition_mn.m)
function lon_onda_amstr_transition_mn=f(n_max)
PROGRAMAS I
PROGRAMAS QUE CALCULAN LOS COEFICIENTES DE EMISIÓN
(LTE)
nLj
PROGRAMA I-01
192
(programa fun_tabla_emision_coeff_SB_LTE.m)
%************************************************************************
% HALLA LAS TABLAS PARA LOS COEFICIENTES DE EMISIÓN EN LTE (vía SB)
%
% en función a la densidad de electrones Ne, la temperatura T(ºK)
%
% Ecuación (4.12) del Osterbrock
%
% Se lama a la función:
% fun_emisscoeff_SB_LTE(casoAB,T,Np,Ne) o tablas
%
% fun_tabla_emisscoeff_SB_LTE
%************************************************************************
function fun_tabla_emisscoeff_SB_LTE=f(T,Np,Ne);
PROGRAMA I-02
(programa fun_emision_coeff_SB_LTE.m)
%***********************************************************************
% CALCULA LA MATRIZ DE ABUNDANCIAS N_ nl en LTE
% (equilibrio termodinámico) via la ecuación de
% SAHA-BOLTZMANN
%
% se da la temperatura T y
% las densidades numéricas de protones y electrones
% Np (#protones/cm^3) y Ne (#electrones/cm^3)
%
% las abundancias se llaman vía la función fun_abundancias_SB_LTE
% y los coeficiente de emisión con fun_emisscoeff_SB_LTE
% que las calculo vía la ecuación de Saha-Bolztmann para el LTE
% las posiciones de la matriz se indican con n y np j(n,np)
%
% USA:
% lon_onda_amstr_transition_mn(n_max)
% fun_abundancias_SB_LTE(T,Np,Ne) o tablas
%
% fun_emisscoeff_SB_LTE
%***********************************************************************
function fun_emisscoeff_SB_LTE=f(casoAB,T,Np,Ne);
PROGRAMA I-03
(programa fun_poblaciones_SB_LTE.m)
function fun_poblaciones_SB_LTE=f(T,Np,Ne);
PROGRAMA I-04
(programa fun_numerador_p.m)
193
function fun_numerador_p=f(via,n_max,trans,casoAB,Ne,T,n,l);
PROGRAMA I-05
(programa lon_onda_amstr_transition_mn.m)
function lon_onda_amstr_transition_mn=f(n_max)
PROGRAMAS J
PROGRAMAS QUE CALCULAN LOS COEFICIENTES DE EMISIÓN
(Non-LTE hasta el infinito)
nLj
PROGRAMA J-01
(programa funcion_emision_coeffinf_nnp.m)
%************************************************************************
% CALCULO DE LOS COEFICIENTES DE EMISIÓN (MATRICES(n*np))
% para cada transición en función a la temperatura
% usamos f=sum(alfa*C), 4-11 y 4-12 Osterbr.
% USA:
% funcion_abundancias_g_nl(Ne,T)
% lon_onda_amstr_transition_mn(n_max)
%
% funcion_emision_coeffinf_nnp
%************************************************************************
function funcion_emision_coeffinf_nnp=f(Ne,T);
PROGRAMA J-02
(programa funion_abundancias_g_nl.m)
%*******************************************************************
% REGRESA LA MATRIZ DE POBLACIONES DADA LA TEMPERATURA T_N
% con corrección al inf., usando f=sum(alf*C) y (29) pengelly
% n=fila l=columna
% CASOS A Y B
% USA:
% funcion_fm_nl(via,n_max,trans,casoAB,Ne,T)
% alfa_20_inf(T_N)
% fun_gm_20_nl(T_N)
% fun_gm_inf_nl(T_N)
%
% funcion_poblaciones_g_nl
%*******************************************************************
194
function funcion_abundancias_g_nl=f(casoAB,Ne,T);
PROGRAMAS K
PROGRAMAS QUE SIRVEN PARA CONPARAR CON LA SN1994Y
TYPE IIn
OTROS PROGRAMAS ÚTILES
PROGRAMA 01
(programa fun_mmc_regresion_exponencial.m) bxy ae c
%**************************************************************
% REGRESIÓN PARA LA CURVA PONENCIAL Y=a*e^(b*x)+c
% regresa los parámetros a, b y c
% dados los vectores x_v e y_v
%
% fun_mmc_regresion_exponencial
%**************************************************************
function fun_mmc_regresion_exponencial=f(x_v,y_v);
i_max=length(x_v);
%LINEALIZANDO
%hallando primero c
x1=x_v(1);
x2=x_v(2);
x3=0.5*(x1+x2);
resta=abs(x_v(3)-x3);
r=1;
s=1;
t=1;
for i=1:i_max;
x1=x_v(i);
for j=1:i_max;
if j==i;
ss=5;
else
x2=x_v(j);
for k=1:i_max;
if k==i;
ss=5;
else
if k==j;
ss=5;
else
aux=x_v(k);
x3=0.5*(x1+x2);
resta_ijk=abs(aux-x3);
if resta_ijk<resta;
resta=resta_ijk;
195
r=i;
s=j;
t=k;
else
ss=5;
end
end
end
end
end
end
end
y1=y_v(r);
y2=y_v(s);
y3=y_v(t);
c1=(y1*y2-y3*y3)/(y1+y2-2*y3);
for i=1:i_max;
positivo(i)=abs(y_v(i)-c1);
ln_y(i)=log (positivo(i));%si sale imaginario a,b y c es por log(#-)~=
end
%USANDO MMC PARA UNA LINEA
d=polyfit(x_v,ln_y,1);
coef_A=d(1);
coef_B=d(2);
%HALLANDO LOS PARÁMETROS DE LA FUNCIÓN ORIGINAL
b=coef_A;
if b<0; %único caso con asíntota en c sea creciente o decreciente
if y_v(3)>y_v(1);%curva creciente, si y solo si b<0 (y-c<0)
a=-exp(coef_B);
else %curva decreciente (y-c>0)
a=exp(coef_B);
end
else %b>0también existe asintota en c pero se acerca en el lado neg. de x
if y_v(3)>y_v(1);%curva creciente si y solo si b>0 (y-c>0)
a=exp(coef_B);
else %curva decreciente (y-c<0)
a=-exp(coef_B);
end
end
%CALCULANDO DE NUEVO c COMO UN PROMEDIO DE y-a*e^(b*x)
sum=0;
for i=1:i_max;
sum=sum+(y_v(i)-a*exp(b*x_v(i)));
end;
c=sum/i_max;
%c=0 %habilitar para caso Y=a*e^(b*x)
fun_mmc_regresion_exponencial=[a b c];
PROGRAMA 02
(programa fun_mmc_regresion_potencial.m) by ax c
196
%**************************************************************
% REGRESIÓN PARA LA CURVA PONENCIAL Y=a*x^b+c
% regresa los parámetros a, b y c
% (también caso c=0)
%
% fun_mmc_regresion_potencial
%**************************************************************
function f=fun_mmc_regresion_potencial(x_v,y_v);
i_max=length(x_v);
%LINEALIZANDO
%hallando primero c
x1=x_v(1);
x2=x_v(2);
x3=sqrt(x1*x2);
resta=abs(x_v(3)-x3);
r=1;
s=1;
t=1;
for i=1:i_max;
x1=x_v(i);
for j=1:i_max;
if j==i;
ss=5;
else
x2=x_v(j);
for k=1:i_max;
if k==i;
ss=5;
else
if k==j;
ss=5;
else
aux=x_v(k);
x3=sqrt(x1*x2);
resta_ijk=abs(aux-x3);
if resta_ijk<resta;
resta=resta_ijk;
r=i;
s=j;
t=k;
else
ss=5;
end
end
end
end
end
end
end
y1=y_v(r);
y2=y_v(s);
y3=y_v(t);
197
c1=(y1*y2-y3*y3)/(y1+y2-2*y3);
%c1=0 %habilitar para caso Y=a*x^b
for i=1:i_max;
positivo(i)=abs(y_v(i)-c1);
ln_y(i)=log (positivo(i));%si sale imag a,b y c es por log(#-)~=
ln_x(i)=log (x_v(i));
end
%USANDO MMC PARA UNA LINEA
d=polyfit(ln_x,ln_y,1);
coef_A=d(1);
coef_B=d(2);
%HALLANDO LOS PARÁMETROS DE LA FUNCIÓN ORIGINAL
b=coef_A;
if b<0; %único caso con asintota en c sea creciente o decreciente
if y_v(3)>y_v(1);%curva creciente si y solo si b<0 (y-c<0)
a=-exp(coef_B);
else %curva decreciente (y-c>0)
a=exp(coef_B);
end
else %b>0 no existe asintota
if y_v(3)>y_v(1);%curva creciente si y solo si b>0 (y-c>0)
a=exp(coef_B);
else %curva decreciente (y-c<0)
a=-exp(coef_B);
end
end
%CALCULANDO DE NUEVO c COMO UN PROMEDIO DE y-a*x^b
sum=0;
for i=1:i_max;
sum=sum+(y_v(i)-a*x_v(i)^b);
end;
c=sum/i_max;
%c=0 %habilitar para caso Y=a*x^b
%fun_mmc_regresion_potencial=[a b c];
f=[a b c];
PROGRAMA 03
(programa fun_plot_mmc_exponencial.m)
%************************************************
% plot original y PLOT POR MMC Y=a*e^(b*x)+c
%
% USA:
% fun_mmc_regresion_exponencial(x_v,y_v)
%
% fun_plot_mmc_exponencial
%************************************************
function fun_plot_mmc_exponencial=f(x_v,y_v);
i_max=length(x_v);
abc=fun_mmc_regresion_exponencial(x_v,y_v);
%******************************************
% CALCULO
198
%******************************************
a=abc(1);
b=abc(2);
c=abc(3);
for j=1:i_max;
y_v_mmc(j)=a*exp(b*x_v(j))+c;
end;
%*******************************************
% PLOT
%*******************************************
plot(x_v,y_v,'.r');
hold on;
plot(x_v,y_v_mmc,'dg');
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('MMC Y=a*e^(^b^*^x^)+c');
%gtext('texto_en_el_grafico');
hold on;
%print Nombre_del_grafico -djpeg
PROGRAMA 04
(programa fun_plot_mmc_potencial.m)
%************************************************
% plot original y Plot por MMC Y=a*x^b+c
%
% USA:
% fun_mmc_regresion_potencial(x_v,y_v)
%
% fun_plot_mmc_potencial
%************************************************
function fun_plot_mmc_potencial=f(x_v,y_v)
i_max=length(x_v);
abc=fun_mmc_regresion_potencial(x_v,y_v);
%******************************************
% CALCULO
%******************************************
a=abc(1);
b=abc(2);
c=abc(3);
for j=1:i_max;
y_v_mmc(j)=a*x_v(j)^(b)+c;
end;
%*******************************************
% PLOT
%*******************************************
plot(x_v,y_v,'.r'); %plot original
hold on;
plot(x_v,y_v_mmc,'dg');%plot por MMC
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('MMC Y=a*x^(^b^)+c');
199
%gtext('C_n_2_,_3_2');
hold on;
%print nombre_del _grafico -djpeg
PROGRAMA 05
(programa gamma_function.m)
%****************************************************************
% CALCULA LA FUNCIÓN GAMMA
%
% calculated for the Euler`s Infinite Product
% 1/G(z)=ze^(gz)pit(en n de 1 a inf de)((1+1/z)e(-z/n))
% ecuation 6.1.3 of [1]
%
% Para: abs(z)<inf
% Donde: g=Lim(m tend. a inf de)(1+1/2+1/3+...+1/m-ln(m))
% =0.5772156649... is the Euler`s constan
%
% [1] M. Abramowitz and I.A. Stegun, "Handbook of Mathematical
% Functions", Dover Publications, 1965, Ch. 5.
%
% gamma_function
%****************************************************************
function gamma_function=f(a);
g=0.5772156649;
aux=a*exp(g*a);
pit=1;
for i=1:500000;
pit=pit*((1+a/i)*exp(-(a/i)));
end;
inv_gam_fun=aux*pit;
gamma_function=1/inv_gam_fun;
PROGRAMA 06
(programa fun_expint.m)
function fun_expint=f(x,n);
%fun_expint Exponential integral function (n-esima).
% Y = fun_expint(x,n) is the exponential integral function for each
% element of x. The exponential integral is defined as:
%
% fun_expint(x,n) = integral from 1 to Inf of (exp(-t)/t^n)dt, for x>0.
%
% for the E_1 we use the program expint of the toolbox of the Matlab
% nex we use the recurrence relation
%
% E_n+1(x)=(1/n)(e^(-x)-xE_n(x)) ecuation 5.1.14 of [1]
%
% [1] M. Abramowitz and I.A. Stegun, "Handbook of Mathematical
% Functions", Dover Publications, 1965, Ch. 5.
200
for i=1:n;
E_n(i)=0;
end
E_n(1) = expint(x); %toolbox MATLAB
for i=1:n-1;
E_n(i+1)=(1/i)*(exp(-x)-x*E_n(i));
end
fun_expint=E_n(n);
%OK!!!!
PROGRAMA 07
(programa fun_integral_simpson_pts.m)
%************************************************************************
% CALCULA LA INTEGRAL DE UNA FUNCIÓN DADA POR MEDIO DE
% PUNTOS APLICANDO LA REGLA DE SIMPSON DE LAS PARABOLAS
%
% int_a_b_(y)dx=h/3(y_0+4y_1+2y_2+4y_3+...+2y_(n-2)+4y_(n)) n=par
%
% a=x_0
% b=x_n
%
% entre 2 puntos distanciados en h de la función a integrar
% y=f(x) aproxima una parábola de la forma:
% y=ax^2+bx+c
%
% x_v y y_v deben ser de número impar de componentes y
% cada componente de x_v deben estar a igual distancia "h"
%
%
% cuanto menos sea h y l sea mayor, es mejor
%
% Pag.447 MANUAL DE MATEMÁTICAS
% I. Bronshtein, K. Semendiaev (1997)
% Editorial Mir Moscu
%
% fun_integral_simpson_pts
%************************************************************************
%function fun_integral_simpson_pts=f(x_v,y_v)
function integral=fun_integral_simpson_pts(x_v,y_v)
%flata ver si l es impar si no lo es quitarle la ultima componente
%a x_v y y_v, pero yo vere que siempre se de l impar
%con estos nuevos x_v y y_v recién se trabajará
%verificando si los vectores en x e y son del mismo tamaño
if ~isequal(size(x_v),size(y_v))
error('X and Y vectors must be the same size.')
end
201
l=length(x_v);
h=abs(x_v(2)-x_v(1));
%verificando que la distancia en x entre los puntos sea la misma
%for i=1:l-2; %desabilito por que con en grado de precisión por efectos
% a=abs(x_v(i+1)-x_v(i)); %de aproximación difícil encontrar iguales
% b=abs(x_v(i+2)-x_v(i+1));%pero viendo mi SN si lo son
% if ~isequal(a,b)
% error('los intervalos entre puntos deben ser iguales.')
% end
%end
suma_impar=0;
suma_par=y_v(1);%f(x_0)
for i=1:l/2;%impar
j=2*i-1;
suma_impar=suma_impar+4*y_v(j);
end
for i=1:l/2;%par
j=2*i;
suma_par=suma_par+2*y_v(j);
end
suma=suma_impar+suma_par;
integral=(h/3)*suma;
%fun_integral_simpson_pts=(h/3)*suma;
%x_v=[1,3,6];y_v=[1,2,4];int=fun_integral_simpson_pts(x_v,y_v)
Los que no se incluyen, se encuentran en el CD-ROM de la contratapa.
Para que funciones el hipervinculo, el CD debe estar en la unidad D de
su computadora.
202
BIBLIOGRAFÍA
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La mayoría de los paper se encontraron en:
*Astrophysics Data System (A.D.S) (NASA).
