Analisis Dimensional y Vectores-B.arenas

INTRODUCCION

BERNARDO ARENAS GAVIRIAUniversidad de Antioquia

Instituto de Fsica

2008

ndice general

0. Introduccin 10.1. Cantidades fsicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

0.1.1. Anlisis dimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.1.2. Unidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

0.2. Vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30.2.1. Cantidades escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40.2.2. Cantidades vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40.2.3. Notacin vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40.2.4. Representacin de un vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40.2.5. Direccin de un vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40.2.6. Vectores iguales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50.2.7. Vectores iguales y opuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50.2.8. Vectores unitarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50.2.9. Suma o composicin de vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50.2.10. Suma de vectores por el mtodo grfico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50.2.11. Componentes rectangulares de un vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60.2.12. Suma de vectores por componentes rectangulares . . . . . . . . . . . . . . . . 90.2.13. Producto entre vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100.2.14. Producto escalar o producto punto entre vectores . . . . . . . . . . . . . . . . 100.2.15. Producto vectorial o producto cruz entre vectores . . . . . . . . . . . . . . . . 120.2.16. Derivadas con vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

0.3. Coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150.4. Pautas generales en la solucin de problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3

Captulo 0Introduccin

ObjetivosEn esta introduccin se busca

Mostrar la importancia del anlisis dimen-sional en la fsica.

Obtener las relaciones numricas entre losdiferentes sistemas de unidades que se em-plean en la fsica.

Distinguir entre una cantidad escalar y unacantidad vectorial.

Analizar las diferentes operaciones convectores

Mostrar las relaciones matemticas entrecoordenadas rectangulares y coordenadaspolares.

0.1. Cantidades fsicas

0.1.1. Anlisis dimensional

Los conceptos, leyes y principios de la fsica,se expresan mediante ecuaciones que contienendiferentes tipos de cantidades denominadascantidades fsicas. Desde el punto de vista di-mensional, estas cantidades fsicas se clasificanen dos grupos: fundamentales y derivadas. Unacantidad fundamental se define como aquella queno es posible expresar en funcin de ningunaotra; en cambio una cantidad derivada se definecomo aquella que se expresa en funcin de unao varias cantidades fundamentales. En fsica sereconocen cuatro cantidades fundamentales, a

partir de las cuales es posible expresar cualquierotra cantidad fsica. Estas son: la longitud cuyadimensin es L, la masa cuya dimensin es M,el tiempo cuya dimensin es T y la carga elctricacuya dimensin es C.

En lo que sigue, la dimensin de una canti-dad fsica se expresa encerrando la cantidad fsi-ca entre corchetes. Por ejemplo si A es un rea,su dimensin se expresa en la forma [A].

En el rea de la mecnica, slo es necesarioconsiderar las tres primeras cantidades funda-mentales, esto es, L, M y T, ya que se tratarntemas en los cuales no interviene la carga elc-trica. Por ello, se hace referencia nicamente alas que son de inters en los temas a tratar cuan-do se analiza el movimiento de los cuerpos.

Cualquier otra cantidad fsica se encuentradentro del grupo de las denominadas canti-dades derivadas, tales como: rea (A) con di-mensin [A] = L2, volumen (V) con dimensin[V] = L3, densidad () con dimensin [] =ML3, fuerza (F) con dimensin [F] = MLT2,velocidad (v) con dimensin [v] = LT1, etc.

0.1.2. Unidades

A cada una de las cantidades fundamentales sele asigna una unidad patrn, dependiendo delsistema de unidades a emplear. En la actualidadse tiene tres sistemas de unidades: El Sistema In-ternacional (SI), el Sistema Gaussiano y el SistemaIngls (SU).

El sistema de unidades ms utilizado en la ac-tualidad y que ser empleado en la mayora delos casos, es el SI. En este sistema de unidades

2 CAPTULO 0. INTRODUCCIN

la dimensin L se expresa en metros (m), la di-mensin M se expresa en kilogramos (kg) y ladimensin T se expresa en segundos (s).

El sistema gaussiano es un sistema derivadodel anterior y en el cual las unidades de las di-mensiones L, M, T son, respectivamente, el cen-tmetro (cm), el gramo (g) y el segundo (s).

Los factores de conversin, entre los sistemasde unidades SI y gaussiano, estn dados por:

1 m 102 cm y 1 kg 103 g.

El sistema de unidades SU es de poco uso en laactualidad. En este sistema las cantidades fun-damentales son la fuerza con dimensin F, lalongitud con dimensin L y el tiempo con di-mensin T y sus unidades patrn son, respec-tivamente, la libra (lb), el pi (p) y el segundo(s). Otra unidad utilizada en este sistema es lapulgada (in o pul), cuya relacin con el pi es

1 p 12 in.

Las relaciones entre las unidades del sistema SIy el sistema SU son:

1 lb 4.448 N y 1 p 0.3048 m.

Como se ver, a medida que se traten los di-ferentes temas, un buen manejo de las dimen-siones y sus respectivas unidades, tanto de lascantidades fundamentales como derivadas, per-mitir detectar posibles errores cometidos en losclculos matemticos que se llevan a cabo en lasolucin de una situacin fsica planteada.

En la tabla 1 se muestran las cantidades fsi-cas que sern utilizadas en los temas que se con-siderarn en este curso. En ella se incluyen suscorrespondientes dimensiones y las unidadesrespectivas en el sistema SI, con el fin de iradquiriendo familiaridad desde ahora con ellas.

Tabla 1. Cantidades fsicas, dimensiones y unidades

Cantidadfsica

SmboloDimen-sin

Unidad

Longitud x, y, z L mMasa M, m M kg

Tiempo t T sPosicin r L mDespla-zamiento

r L m

Velocidad v L/T m/sAceleracin a L/T2 m/s2

Velocidadangular

1/T 1/s

Aceleracinangular

1/T2 1/s2

Momentolineal

p, P ML/T kg m/sFuerza F, f ML/T2 kg m/s2

Momentoangular

L ML2/T kg m2/sTorque ML2/T2 kg m2/s2Trabajo W ML2/T2 kg m2/s2Energa E ML2/T2 kg m2/s2Potencia P ML2/T3 kg m2/s3Presin p M/LT2 kg/m s2

Algunas de ellas reciben los siguientes nombres

Fuerza: 1 kg m s2 1 N (Newton).

Trabajo y energa: 1kg m2 s2 1 J (Julio).

Potencia: 1 kg m2 s3 1 W (Vatio).

Presin: 1 N m2 1 Pa (Pascal).

Ejemplo 1Determine las dimensiones y las unidades,en cada uno de los sistemas ante-riores, de k1, k2, k3 en la expresins = k1t2 k2t + k3, sabiendo que s es unalongitud (L) y t es un tiempo (T).

0.2. VECTORES 3

SolucinSi s es una longitud, cada uno de los tr-minos de esta expresin debe tener dimen-siones de longitud, es decir, para el primertrmino[

k1t2]= [k1]

[t2]= [k1] T2 = L,

as

[k1] =LT2

= LT2,

por consiguiente, sus unidades son: ms2en el sistema SI, cm s2 en el sistema gau-ssiano y en el sistema ingls p s2, por loque de acuerdo con la tabla 1 k1 correspon-de a una aceleracin.

Para el segundo trmino

[k2t] = [k2] [t] = [k2] T = L,

de donde

[k2] =LT= LT1,

en este caso las unidades son: ms1 en elsistema SI, cm s1 en el sistema gaussia-no y p s1 en el sistema ingls, o sea quek2 corresponde a una velocidad.

Para el tercer trmino

[k3] = L,

donde finalmente, las unidades de k3 son:m en el sistema SI, cm en el sistema gau-ssiano y p en el sistema ingls, ya que slotiene dimensiones de longitud.

Ejercicio 1Halle las dimensiones y unidades de laconstante G que aparece en la expresin

F = Gm1 m2

r2,

donde F es una fuerza, r es una longitud ytanto m1 como m2 son masas.

Ejercicio 2Teniendo en cuenta las dimensionesobtenidas para G en el ejercicio 1, deter-mine a qu cantidad fsica corresponde gen la expresin

g = Gmr2

.

Ejercicio 3Encuentre las dimensiones y unidades encada una de las siguientes expresiones (a)

gR, (b) mgR, (c) mvR[cos

( vtR)+ 1]

y(d) 12 mv

2 + mgR(1 cos ). Donde g esuna aceleracin, R es una longitud, m esuna masa, v es una velocidad y t es untiempo. En cada caso, diga a cul cantidadfsica corresponde cada expresin.

Ejemplo 2La densidad de una sustancia es = 4.5 g cm3. Exprese esta densi-dad en el sistema SI de unidades.

SolucinUtilizando factores unitarios se tiene

= 4.5 g cm3

= 4.5 g cm3 1 kg103 g

106 cm3

1 m3,

as, luego de efectuar y simplificar se ob-tiene

= 4.5 103kg m3.

Ejercicio 4Exprese en unidades SI y en unidadesgaussianas: (a) 50 km h1. (b) 3.03 103 p s2. (c) 300 p lb s1.

0.2. Vectores

La fsica es una ciencia natural que tiene co-mo objetivo explicar los fenmenos fsicos queocurren en la naturaleza, tal como el movimien-to de los cuerpos.

Para poder explicar estos fenmenos sedispone de modelos fsicos, los cuales estn sus-tentados por leyes comprobadas experimental-mente y que se expresan en forma de ecuacionesmatemticas. Es decir, se toma la matemticacomo el medio ms adecuado para explicar losfenmenos de la naturaleza que estn directa-mente relacionados con la fsica, en otras pala-bras, la matemtica es el lenguaje de la fsica.

Por lo expuesto anteriormente, se hace nece-sario utilizar el lgebra, la trigonometra, lageometra euclidiana, la geometra vectorial yel clculo, ya que mediante estas ramas de la


matemtica, es posible llevar a cabo los proce-dimientos matemticos adecuados con las can-tidades fsicas que es necesario utilizar, para unbuen entendimiento de los fenmenos fsicosinvolucrados.

Lo anterior lleva a una clasificacin de lascantidades fsicas, dependiendo de la forma co-mo se expresan. De este modo, se clasifican encantidades escalares y cantidades vectoriales.

0.2.1. Cantidades escalares

Son aquellas cantidades fsicas que quedancompletamente determinadas por su magnitud,expresada en una unidad conveniente. Coneste tipo de cantidades se opera de acuerdocon las reglas de la aritmtica, el lgebra y elclculo. Cantidades fsicas de este tipo son elrea (A), el volumen (V), la masa (m), el tiempo(t), el trabajo (W), la potencia (P), el momentode inercia (I), la presin (p), la energa (E), latemperatura (T), la entropa (S ), etc.

Ejemplos: A = 10 cm2, V = 3 m3, m = 5 kg,t = 3 s.

0.2.2. Cantidades vectoriales

Son aquellas cantidades fsicas que para sucompleta determinacin, se requiere aadir unadireccin adems de su magnitud y una unidadapropiada. A diferencia de las cantidades es-calares, con las cantidades vectoriales se operade acuerdo con las reglas de la geometra vecto-rial. Cantidades fsicas de este tipo son la veloci-dad (v), la aceleracin (a ), la velocidad angular( ), la aceleracin angular ( ), el momento li-neal (p ), la fuerza (F ), el torque ( ), el momen-to angular (L ), etc.

0.2.3. Notacin vectorial

Como se observa en lo anterior, para las can-tidades escalares y para las cantidades vecto-riales, se utilizan notaciones diferentes con elfin de poderlas distinguir dentro de un texto.En textos impresos, generalmente se utiliza letranegrilla para representar los vectores; por ejem-plo, la fuerza se expresa como F y en otros casos

como ~F. Igualmente, la magnitud del vector Ase representa como |A| = |~A| = A, que corres-ponde a un escalar.

En los temas que se tratarn de ac en ade-lante, es indispensable distinguir claramenteentre una cantidad escalar y una cantidad vec-torial.

0.2.4. Representacin de un vector

Un vector se representa grficamente medianteuna flecha cuya longitud, utilizando una escalaadecuada, corresponde a la magnitud del vec-tor. Igualmente, la direccin del vector est da-da por el sentido de la flecha, como se ilustraen la figura 1 para los vectores A, B, C y D, quetienen direcciones diferentes.

AB

C

D

Figura 1: Representacin de un vector.

0.2.5. Direccin de un vector

Como se ha dicho anteriormente, a un vectorse le debe asignar, adems de su magnitud,una direccin. Para que la direccin de un vec-tor quede completamente determinada, es nece-sario definir una direccin de referencia, respec-to a la cual se mide el ngulo que forma el vectorconsiderado. En la figura 2 se muestra la direc-cin de los vectores de la figura 1, donde se hatomado la horizontal como la direccin de refe-rencia.

Matemticamente, los vectores de la figura 2,se expresan en la forma:

A = A 45o

D =D 45o

B = B

C = C

0.2. VECTORES 5

A B

CD

45o

0o

90o

45o

Figura 2: Direccin de un vector.

0.2.6. Vectores iguales

Los vectores A y B son iguales si tienen la mis-ma magnitud y la misma direccin, como seilustra en la figura 3. Matemticamente, lo an-terior se expresa en la forma A = B.

A B

q

q

Figura 3: Vectores iguales.

0.2.7. Vectores iguales y opuestos

Dos vectores A y B son iguales y opuestos sitienen la misma magnitud pero sentidos opues-tos, como se ilustra en la figura 4. Por lo quematemticamente A = B.

A

B

q

q

Figura 4: Vectores iguales y opuestos.

0.2.8. Vectores unitarios

Un vector es unitario cuando su magnitud es launidad. Por ello se define el vector unitario ,que es paralelo al vector A, en la forma

AA

,

donde A es la magnitud del vector A.

De este modo, el vector A se puede expresaren la forma A = A, lo cual indica que un vec-tor unitario es adimensional, esto es, no tiene di-mensiones.

Para trabajar operacionalmente con vectores,a cada uno de los ejes coordenados se le asociaun vector unitario, como se ilustra en la figura5 donde al eje x se le asocia el vector unitarioi, al eje y el vector unitario j y al eje z el vectorunitario k.

x

y

z

Oi

jk

Figura 5: Vectores unitarios en coordenadas rectan-gulares.

0.2.9. Suma o composicin de vectores

Los vectores se pueden sumar grfica y analti-camente, como se describe a continuacin. Estaoperacin vectorial es de utilidad, por ejemplo,cuando se trata de hallar la fuerza neta o fuerzaresultante que acta sobre un cuerpo. En este ymuchos otros casos, es necesario sumar variosvectores con el fin de obtener el vector suma ovector resultante.

0.2.10. Suma de vectores por el mtodogrfico

Dentro de este mtodo existen dos maneras dehacerlo, por el mtodo del tringulo y por elmtodo del polgono, el cual incluye el mtododel paralelogramo.

Cuando se trata de sumar dos vectores es mstil hacerlo bien sea por el mtodo del tringuloo por el mtodo del paralelogramo, en la formaque se muestra en las figuras 6 y 7, donde seilustra grficamente la suma de los vectores A yB.

En el caso del mtodo del tringulo, se tomauno de los vectores y donde ste termina se


A

B

S=A+B

A

B

BA

S=B+A

Figura 6: Mtodo del tringulo.

traslada el otro vector, de este modo, el vec-tor suma est dado por el vector que va des-de donde empieza el primer vector hasta dondetermina el segundo como se ilustra en la figura6.

Al observar la figura 6, se encuentra que A+B = B + A, lo cual indica que la suma de vec-tores es conmutativa.

En el mtodo del paralelogramo, se trasladanlos dos vectores a un punto comn, se comple-ta el paralelogramo cuyos lados opuestos tienenvalores iguales a la magnitud del vector corres-pondiente. El vector suma est dado por la dia-gonal que parte del punto comn a los dos vec-tores, como se muestra en la figura 7.

A

B

S=A+B

A

B

Figura 7: Mtodo del paralelogramo.

Cuando se trata de sumar ms de dos vec-tores, se hace una generalizacin del mtodo deltringulo y en este caso se habla del mtodo del

polgono, el cual se ilustra en la figura 8, para lasuma de los vectores A, B, C y D.

A

B

S=A+D+B+C

A

B C

D

D

C

Figura 8: Mtodo del polgono.

Igual que para dos vectores, sigue siendo v-lida la conmutatividad en la suma de vectores,esto es, A + B + C + D = D + C + B + A =A+D+ B+C.

Cuando se suman vectores grficamente, altrasladarlos, no se debe cambiar ni la magnitudni la direccin de ninguno de ellos, pues si estono ocurre se encontrara un vector suma dife-rente al buscado.

0.2.11. Componentes rectangulares de unvector

En la seccin 0.2.12, se considera el mtodoanaltico que permite sumar vectores. En dichomtodo se emplea el concepto de componentesrectangulares de un vector.

Con ayuda de los vectores unitarios asocia-dos a los ejes coordenados, siempre es posibleexpresar un vector en componentes rectangula-res, como se ilustra en la figura 9, para el vectorA.

En este caso se ha aplicado el mtodo grficopara la suma de vectores, con la condicin quelos vectores componentes son perpendicularesentre s, esto es, el vector A expresado en com-ponentes rectangulares est dado por

A = Axi+ Ayj+ Azk,

donde las componentes rectangulares Ax, Ayy Az pueden ser positivas o negativas, depen-diendo de la orientacin del vector respecto a

0.2. VECTORES 7

x

y

z

OAxi

Ayj

Azk A

Figura 9: Componentes rectangulares de un vector.

los sentidos positivos de los ejes rectangulares.En el caso de la figura 9, las tres componentesson positivas. La magnitud del vector A es-t relacionada con la magnitud de sus compo-nentes rectangulares, por medio de la expresin

A2 = A2x + A2y + A

2z .

En el caso de dos dimensiones, se procede deforma idntica, solo que nicamente aparecendos componentes rectangulares, como se mues-tra en la figura 10, para el vector A.

x

y

O Axi

AyjA

q

b

Figura 10: Componentes rectangulares de un vector.

En este caso, aplicando de nuevo el mtodogrfico para la suma de vectores, se tiene que elvector A expresado en componentes rectangu-lares est dado por

A = Axi+ Ayj,

donde igualmente las componentes rectangula-res Ax y Ay pueden ser positivas o negativas,dependiendo de la orientacin del vector res-pecto al sentido positivo de los ejes de coorde-nadas, esto es, del cuadrante donde se encuen-tre el vector. En la figura 10, las componentesson positivas.

En el caso particular de un vector en dos di-mensiones, como sus componentes rectangula-res son perpendiculares, el teorema de Pitgo-ras permite relacionar la magnitud del vectorcon la magnitud de sus componentes rectangu-lares, mediante la expresin

A2 = A2x + A2y ,

donde, conociendo las magnitudes de dos deellas, es posible conocer la magnitud de la otra.

Por otro lado, una vez que se conocen lasmagnitudes de las tres cantidades, la direccindel vector A se obtiene utilizando cualquiera delas definiciones de las funciones trigonomtri-cas, aunque es costumbre emplear la funcintrigonomtrica tangente, esto es,

tan =AyAx

, = tan1AyAx

,

tan =

AxAy

, = tan1AxAy

,

dependiendo de cual eje se tome como direccinde referencia, como se ilustra en la figura 10. Deeste modo, el vector A de la figura 10, matemti-camente se expresa en la forma

A =Aq

A =Ab

Ejemplo 3Encuentre las componentes rectangularesdel vector unitario paralelo a la lnea AB,apuntando en el sentido de A hacia B.

x

y

z

O

600 mm

510mm

320 mm

A

B

SolucinSea un vector unitario paralelo al vectorAB, esto es

=ABAB

.


De acuerdo con la siguiente figura, el vec-tor

AB tiene las componentes rectangula-

res

x

y

z

O

600 mm

510mm

320 mm

A

B

l

AB = ( 0.6i+ 0.32j 0.51k)m,

donde su magnitud est dada por

AB =

0.62 + 0.322 + 0.512 m= 0.85 m.

Por consiguiente el vector unitario para-lelo al vector

AB, expresado en compo-

nentes rectangulares, est dado por

=( 0.6 i+ 0.32 j 0.51 k)m

0.85m,

= 0.72 i+ 0.38 j 0.6 k.O sea que las componentes rectangularesdel vector unitario son

x = 0.72, y = +0.38, z = 0.6.

Ejercicio 5Encuentre las componentes rectangularesdel vector unitario paralelo a la lnea BA,apuntando en el sentido de B hacia A.Compare su resultado con el obtenido enel ejemplo 3.

x

y

z

O

600 mm

510mm

320 mm

A

B

Ejemplo 4Con ayuda del mtodo grfico, halle el

A

B

q

vector suma de los vectores mostrados enla figura.SolucinTeniendo en cuenta el mtodo del trin-gulo, la magnitud y direccin del vectorsuma se obtiene como sigue.

A

B

q

S=A+B

a b

c

De la figura se cumple la igualdad

(ac)2 = (ab)2 + (bc)2, (1)

donde

ac = S, ab = A + B cos , bc = B sen .(2)

Reemplazando las expresiones de laecuacin (2) en la ecuacin (1), se obtiene

S2 = (A + B cos )2 + (B sen )2

= A2 + B2 + 2AB cos ,

donde mediante esta expresin, conocidacomo la ley del coseno, es posible conocerla magnitud del vector suma.

Para hallar la direccin del vectorsuma, con ayuda de la figura, se procedecomo sigue.

A

B

q

S

a b

c

b

g

d

e

cb = S sen = B sen ,S

sen =

Bsen

,

(3)

ed = A sen = B sen ,A

sen =

Bsen

.

(4)Por las ecuaciones (3) y (4), se encuen-

traS

sen =

Asen

=B

sen .

0.2. VECTORES 9

Expresin conocida como la ley del seno, y me-diante la cual es posible hallar el ngulo , cono-ciendo los valores de B, y S.

Ejercicio 6Halle la magnitud y direccin del vec-tor suma, de los vectores mostrados en lafigura.

B=15 u57

o A=23 u

0.2.12. Suma de vectores por compo-nentes rectangulares

Para sumar dos o ms vectores por compo-nentes rectangulares, primero se expresa cadauno de los vectores en sus componentes rec-tangulares y luego se suman, por separado, lascomponentes rectangulares paralelas a cada ejecoordenado, es decir, al sumar los vectores A, B,C y D, se procede as

i) Se obtienen las componentes rectangularesde cada vector, como se ilustra grficamente enla figura 11.

x

y

O Axi

AyjA

B

C

DBxi

Byj Dxi

Dyj

Figura 11: Componentes rectangulares de cada vec-tor.

A = Ax i+ Ay j,B = Bx i+ By j,C = Cy j,D = Dx i+ Dy j,

donde,

- las componentes del vector A son positivas,ya que el vector se encuentra en el primercuadrante (Ax > 0, Ay > 0),

- la componente horizontal del vector B esnegativa, mientras que su componente ver-tical es positiva por estar ubicado el vectoren el segundo cuadrante (Bx < 0, By > 0),

- el vector C solo tiene componente verticalla cual es negativa por apuntar en sentidoopuesto a la direccin tomada como positi-va para el eje y (Cy < 0),

- la componente horizontal del vector D espositiva y su componente vertical negativa,ya que el vector se encuentra en el cuartocuadrante (Dx > 0, Dy < 0).

ii) Componentes rectangulares del vectorsuma

Sx = Ax + Bx + Dx,Sy = Ay + By + Cy + Dy.

De este modo, el vector suma en componentesrectangulares, est dado por

S = Sxi+ Syj.

iii) Magnitud del vector suma

x

y

O Sxi

SyjS

q

b

Figura 12: Vector suma de varios vectores.

Como las componentes del vector suma sonperpendiculares entre s, de nuevo se utiliza elteorema de Pitgoras, esto es

S2 = S2x + S2y

iv) Direccin del vector suma

tan = SySx , = tan1 Sy

Sx ,

tan = SxSy , = tan1 Sx

Sy


dependiendo del eje que se tome como referen-cia, como se muestra en la figura 12.

Ejemplo 5Halle el vector suma o vector resultante,de los cuatro vectores mostrados en lafigura.

x

y

O

37o

D= 7u

A=

20u

25o

B =15u

29oC = 30u

SolucinLuego de considerar las componentes rec-tangulares de cada vector, se encuentraque las componentes rectangulares delvector suma son

Sx = 5.77u y Sy = 17.75u.De este modo, el vector suma expresadoen componentes rectangulares est dadopor

S = (5.77i 17.75j)u.Finalmente, luego de hallar la magni-

tud y direccin de este vector, se obtiene

S = 18.66 u 71.99o

Grficamente se tiene

x

y

O 71.99o

18.66 u

-17.75 u

5.77 u

Ejercicio 7Encuentre los siguientes vectores, utilizan-do los cuatro vectores de la grfica. (a)

V1 = A (B C) + D, (b) V2 = (AB) + CD, (c) V3 = A + D (2C B) y(d) V4 = A BCD.

x

y

O

37o

D= 7u

A=

20u

25o

B =15u

29oC = 30u

0.2.13. Producto entre vectores

En fsica se definen cantidades, tales como eltrabajo realizado por una fuerza, el momen-to angular de un cuerpo o el torque de unafuerza, en funcin del producto entre dos vec-tores. Pero se debe tener cuidado al definirlas yaque existen dos tipos de producto, uno de ellosse conoce como producto escalar o producto puntoentre dos vectores y el otro como producto vecto-rial o producto cruz entre dos vectores, los cualestienen propiedades o caractersticas diferentescomo se muestra en lo que sigue.

0.2.14. Producto escalar o producto puntoentre vectores

El producto escalar entre dos vectores, ser degran utilidad en la definicin matemtica delconcepto de trabajo.

Se consideran los vectores A y B que formanentre s un ngulo , como se ilustra en la figura13. El producto escalar entre estos dos vectores,que se representa como A B, est definido por

A B AB cos ,

o sea que el producto escalar entre los vectoresA y B es igual al producto de sus magnitudespor el coseno del ngulo que forman.

De acuerdo con esta definicin, se tiene queel producto escalar entre dos vectores es un es-

0.2. VECTORES 11

A

q

B

Figura 13: Producto escalar de dos vectores.

calar, y que adicionalmente

A B = AB cos ,B A = BA cos ,

lo cual indica que el producto escalar cumple lapropiedad de conmutatividad.

Partiendo de esta definicin, es posible ob-tener otras dos definiciones para el productoescalar, teniendo en cuenta la figura 14, comosigue.

A

q

B

A

q

BA cos q

B cos q

(a) (b)

Figura 14: Proyeccin de un vector sobre el otro.

En la figura 14(a), la proyeccin del vector Asobre el vector B est dada por A cos , lo cualpermite expresar la definicin de producto es-calar en la forma

A B (A cos )B,esto es, el producto escalar de los vectores A yB tambin se puede definir como el producto dela componente del vector A paralela a B por lamagnitud de B.

Anlogamente, al considerar la figura 14(b),la proyeccin del vector B sobre el vector A es-t dada por B cos , por lo que la definicin deproducto escalar se puede escribir en la forma

A B A(B cos ),o sea, el producto escalar de los vectores A y Bigualmente se puede definir como el producto

de la magnitud del vector A por la componentedel vector B paralela al vector A.

Por otro lado, de la definicin de producto es-calar entre los vectores A y B, se obtienen lassiguientes conclusiones

- Cuando los vectores son paralelos el pro-ducto punto es mximo, ya que en este casoel coseno adquiere su mximo valor.

- Cuando los vectores son antiparalelos elproducto punto es mnimo, ya que en estecaso el coseno adquiere su mnimo valor.

- Cuando los vectores son perpendiculares elproducto punto es nulo.

En sntesis, el producto punto entre los vectoresA y B adquiere valores comprendidos entre elintervalo AB A B +AB.

Teniendo en cuenta lo anterior, para los vec-tores unitarios i, j y k, que son linealmente in-dependientes por ser perpendiculares entre s,se satisfacen las siguientes igualdades

i i = j j = k k=1,

i j = j i = j k = k j = k i = i k = 0.Por consiguiente, el producto escalar de los vec-tores A y B, teniendo en cuenta sus compo-nentes rectangulares, tambin se puede expre-sar en la forma

A B = AxBx + AyBy + AzBz.Ejemplo 6Utilizando la definicin de producto pun-to, encuentre el ngulo que el vector A for-ma con cada uno de los vectores B, C y D,mostrados en la figura.

x

y

O

37o

D= 7u

A=

20u

25o

B =15u

29oC = 30u


SolucinInicialmente se expresa cada vector encomponentes rectangulares

A = (20 cos 37 i+ 20 sen 37 j)u,B = (15 cos 25 i+ 15 sen 25 j)u,C = (30j)u,D = (7 sen 29 i 7 cos 29 j)u.

Ahora, empleando la definicin de pro-ducto escalar, entre los vectores A y B, setiene que el ngulo entre ellos est dadopor

cos =A BAB

.

Llevando a cabo las operaciones indicadasen la expresin anterior, para cada parejade vectores, se encuentra

Angulo entre los vectores A y B:1 = 118o.

Angulo entre los vectores A y C:2 = 127o.

Angulo entre los vectores A y D: 3 = 98o.

Resultados que estn de acuerdo conlos mostrados en la figura.

Ejercicio 8Encuentre el ngulo entre los siguientesvectores (a) A + B y A C, (b) B C yAD, (c) B y AC y (d) DA y C+ B,donde los vectores A, B, C y D, se mues-tran en la figura.

x

y

O

37o

D= 7u

A=

20u

25o

B =15u

29oC = 30u

0.2.15. Producto vectorial o productocruz entre vectores

Se consideran los vectores A y B que forman en-tre s un ngulo , como se ilustra en la figura 15.

El producto vectorial entre estos dos vectores,que se representa como A B, est definido detal forma que es igual a otro vector C perpendi-cular tanto al vector A como al vector B, esto es,el vector C = A B es un vector perpendicularal plano formado por los vectores A y B, dondesu magnitud est dada por

|C| = |A B|= AB sen ,

A

q

B

C= A Bx

Figura 15: Producto vectorial entre vectores.

o sea que la magnitud del producto vectorialentre los vectores A y B es igual al producto desus magnitudes por el seno del ngulo que for-man.

Por otro lado, como consecuencia de la defini-cin del producto vectorial entre los vectores Ay B, se tienen las siguientes conclusiones

- Cuando los vectores son paralelos la mag-nitud del producto cruz es nula, ya que eneste caso el seno adquiere el valor cero.

- Cuando los vectores son antiparalelos lamagnitud del producto cruz es nula, ya queen este caso el seno adquiere el valor cero.

- Cuando los vectores son perpendiculares,formando entre s un ngulo de 90o, lamagnitud del producto cruz es mxima, yaque el seno adquiere su mximo valor, estoes AB.

- Cuando los vectores son perpendiculares,formando entre s un ngulo de 270o, lamagnitud del producto cruz es mnima, yaque el seno adquiere su mnimo valor, estoes AB.

En sntesis, el producto cruz entre los vectoresA y B adquiere valores comprendidos entre elintervalo AB |A B| +AB.

0.2. VECTORES 13

Teniendo en cuenta lo anterior, para los vec-tores unitarios i, j y k, que son linealmente in-dependientes por ser perpendiculares entre s,se satisfacen las siguientes igualdades

i i = j j = k k = 0,

i j = k, j i = k, j k = i,k j = i, k i = j, i k = j

Por consiguiente, el producto vectorial de losvectores A y B, teniendo en cuenta sus compo-nentes rectangulares, tambin se puede expre-sar en la forma

C = A B= (Axi+ Ayj+ Azk) (Bxi+ Byj+ Bzk).

ConC = Cxi+ Cyj+ Czk,

se encuentra que

Cx = AyBz AzBy,

Cy = AzBx AxBz,Cz = AxBy AyBx.

El resultado anterior tambin se puede obteneral resolver el determinante

A B =

i j kAx Ay AzBx By Bz

El producto vectorial entre vectores se utilizarpara definir, respecto a un punto determinado,el vector torque de una fuerza y el vectormomento angular de un cuerpo.

Ejemplo 7Considere los vectores P1 y P2 de la figu-ra. Efecte el producto vectorial entre es-tos dos vectores y utilice el resultado parademostrar la identidad trigonomtrica

sen(1 2) = sen 1 cos 2 cos 1 sen 2

SolucinPara hallar el producto vectorial de estos

P1 P

2

q

1

q

2

y

x

dos vectores, primero se debe expresar ca-da uno de ellos en componentes rectangu-lares, esto es

P1 = P1xi+ P1yj= P1 cos 1i+ P1 sen 1j,

P2 = P2xi+ P2yj= P2 cos 2i+ P2 sen 2j.

Por consiguiente, el producto vectorial delos vectores dados, que de acuerdo con laregla de la mano derecha apunta en la di-reccin negativa del eje z, est dado por

P1P2 = P1P2(sen1 cos 2 sen 2 cos 1)k,por lo que su magnitud es

|P1 P2| = P1P2(sen1 cos 2 sen 2 cos 1).(1)

Por otro lado, considerando la definicinde producto vectorial, se tiene que la mag-nitud tambin est dada por

|P1 P2| = P1P2sen(1 2). (2)Finalmente, igualando las ecuaciones (1) y(2), se obtiene

sen(1 2) = (sen1 cos 2 sen 2 cos 1).

Ejercicio 9Considere los vectores P1 y P2 de la figu-ra. Efecte el producto escalar entre estosdos vectores y utilice el resultado para de-mostrar la identidad trigonomtrica

cos(1 2) = cos 1 cos 2 + sen 1 sen 2

P1 P

2

q

1

q

2

y

x


Ejemplo 8Encuentre el ngulo que el vector A for-ma con cada uno de los vectores B, C y D,mostrados en la figura.

x

y

O

37o

D= 7u

A=

20u

25o

B =15u

29oC = 30u

SolucinInicialmente se expresa cada vector encomponentes rectangulares

A = (20 cos 37 i+ 20 sen 37 j)u,B = (15 cos 25 i+ 15 sen 25 j)u,C = (30 j)u,D = (7 sen 29 i 7 cos 29 j)u.

Ahora, empleando la definicin de pro-ducto vectorial, entre los vectores A y B,se encuentra que el ngulo entre ellos estdado por

sen =|A B|

AB.

Llevando a cabo las operaciones indicadasen la expresin anterior, para cada parejade vectores, se encuentraAngulo entre los vectores A y B: 1 = 62o,que es el suplemento de 1 = 118o.Angulo entre los vectores A y C: 2 = 53o,que es el suplemento de 1 = 127o.Angulo entre los vectores A y D: 3 = 82o,que es el suplemento de 1 = 98o.Resultados que concuerdan con losobtenidos en el ejemplo 6, utilizando ladefinicin de producto escalar.

Ejercicio 10Encuentre, empleando la definicin deproducto vectorial, el ngulo entre lossiguientes vectores (a) A + B y A C, (b)BC y AD, (c) B y AC y (d) DA yC+B, donde los vectores A, B, C y D, sonlos mostrados en la figura. Compare conlos resultados obtenidos en el ejercicio 8.

x

y

O

37o

D= 7u

A=

20u

25o

B =15u

29oC = 30u

0.2.16. Derivadas con vectores

En diferentes situaciones se hace necesarioderivar un vector, bien sea respecto a una delas coordenadas o respecto al tiempo, es decir,respecto a una cantidad escalar. Esta operacinse emplea al definir cantidades fsicas tales co-mo los vectores velocidad (v), aceleracin (a),fuerza (F) y torque de una fuerza respecto a unpunto (). En lo que sigue, t es un escalar res-pecto al cual se tomarn las derivadas de unvector o de un producto de vectores.

Si el vector A est dado en componentes rec-tangulares por A = Axi+ Ayj+ Azk, su deriva-da respecto al escalar t, viene dada por

dAdt

=ddt(Axi+ Ayj+ Azk),

=dAxdt

i+dAydt

j+dAzdt

k,

donde se ha tenido en cuenta que los vectoresunitarios i , j y k tienen magnitud y direccinconstantes, es decir

didt

=djdt

=dkdt

= 0.

En algunas situaciones se hace necesario deter-minar la derivada de un producto escalar o deun producto vectorial. En este caso, se aplicanlas mismas reglas del clculo para la derivadade un producto.

De este modo, la derivada del escalar A = B C, est dada por

dAdt

=ddt(B C)

=dBdtC+ B dC

dt.

0.3. COORDENADAS POLARES 15

De igual manera, la derivada del vector D =PQ, es

dDdt

=ddt(PQ)

=dPdtQ+ P dQ

dt.

En este caso se debe tener presente que elproducto cruz no es conmutativo, mientras queel producto punto s lo es.

Ejemplo 9Derivar los siguientes vectores respecto alescalar t. (a) A(t) = 3t2i + 2tj + 8k. (b)r(t) = [Acos(t)] i + [Asen(t)] j, donde es una constante.

Solucin(a)

dA(t)dt

= 6ti+ 2j.

(b)

dr(t)dt

= [A sen(t)] i+ [A cos(t)] j= A{[ sen(t)] i+ [cos(t)] j}.

Ejercicio 11Halle la segunda derivada de los vec-tores dados en el ejemplo 9. Encuentre unarelacin entre el vector r(t) y su segundaderivada.

0.3. Coordenadas polares

Hasta este momento se han empleado coorde-nadas rectangulares para el trabajo con vec-tores. Como se ver ms adelante, se presentansituaciones fsicas en las que es ms adecuadoemplear otro sistema de coordenadas conocidocomo coordenadas polares r , en las que un pun-to del plano xy, con coordenadas rectangulares(x, y), se expresa en la forma (r, ) donde r esla longitud de la recta que va del origen al pun-to en consideracin y es el ngulo que la rectaforma con respecto a un eje de referencia, medi-do en sentido antihorario, como se ilustra en lafigura 16.

q

( , )r q

r

Figura 16: Coordenadas polares.

Mediante el sistema de coordenadas rectan-gulares es posible encontrar una relacin en-tre ambos sistemas de coordenadas, teniendo encuenta la figura 17.

q

( , )r q

r

x

y

( , )x y

Figura 17: Coordenadas polares y coordenadas rec-tangulares.

De la figura 17 se tiene

x = r cos y y = r sen .

Ejemplo 10Las coordenadas cartesianas de dospuntos en el plano xy, estn dadas por(2.0, 4.0)m y ( 3, 0, 3.0)m. Determine(a) La distancia entre estos puntos. (b) Suscoordenadas polares.

Solucin(a) Para determinar la distancia entre lospuntos A y B, se consideran los vectoresr1 y r2, cuyas componentes rectangularesestn dadas por

x (m)

y (m)

(2.00, -4.00)

(-3.00, 3.00)

O

A

B

r1

r2

q1

q2

D

r1 = (2i 4j)m y r2 = ( 3i+ 3j)m.


Ahora, la diferencia entre los vectores r1 yr2 es igual al vector D, esto es

D = r1 r2= (5i 7j)m.

De este modo, la distancia entre los pun-tos A y B, corresponde a la magnitud delvector diferencia, es decir

D =

52 + 72 8.6 m.(b) Coordenadas polares de cada punto

Para el punto A sus coordenadas po-lares son (r1 ,1), cuyos valores estn da-dos por

r1 =

22 + 42

= 4.47 m,

1 = 360 tan1 42= 296.57o.

Para el punto B las coordenadas polaresson (r2 ,2), con valores

r2 =

32 + 32

= 4.24 m,

1 = 180 tan1 33= 135o.

Ejercicio 12Dos puntos en el plano tienen coordena-das polares (2.5 m, 30.0o) y (3.8 m, 120.0o).Determine (a) Las coordenadas carte-sianas de estos puntos. (b) La distancia en-tre ellos.

0.4. Pautas generales en la solu-cin de problemas

Los diferentes temas que se tratan en un cursode fsica, corresponden a situaciones que se pre-sentan en la naturaleza, tal como el movimientode los cuerpos. Estos temas se analizan primerode una manera general y luego se aplican losconceptos involucrados en el anlisis y solucinde situaciones fsicas particulares, ms conoci-dos como problemas. A continuacin, se consi-deran las pautas generales que se deben seguiren la solucin de problemas.

1. Mientras no se entienda con toda claridadla situacin fsica planteada en un proble-ma particular, no es posible llegar a unasolucin que tenga sentido fsico real. Porello es indispensable leer detenida y cuida-dosamente el enunciado propuesto. No en-tender el enunciado es quiz el origen demuchas salidas en falso, que pueden llevara soluciones sin ningn significado.

2. Una vez que se ha logrado cumplir el pa-so anterior, es posible trazar un diagramao esquema de la situacin planteada en elenunciado. Con esto se logra una mejor vi-sualizacin del caso que se describe.

3. Con ayuda del diagrama anterior, general-mente, se escriben las cantidades dadas ylas cantidades conocidas. Igualmente, sedebe estar seguro de cules cantidadesdebe determinar, es decir, cules son las in-cgnitas del problema.

4. En la solucin de un problema, por lo gene-ral, slo se aplican pocos principios o con-ceptos fsicos. En esta etapa es indispen-sable analizar cules principios o concep-tos se deben emplear, teniendo en cuenta larelacin entre las cantidades a determinary las cantidades conocidas.

5. Teniendo en cuenta que la matemtica esel lenguaje de la fsica, se expresan losprincipios o conceptos en funcin de lascantidades fsicas que intervienen en elproblema particular. En esta parte se debetener mucho cuidado de utilizar expre-siones matemticas que sean vlidas en lasituacin que se est tratando. Tenga pre-sente que algunas expresiones no son devalidez general, sino que slo son aplica-bles en ciertos casos. Como algunas vecesse obtienen varias ecuaciones simultneasque es necesario resolver, se debe contar elnmero de ecuaciones y de incgnitas conel fin de saber si es posible obtener unasolucin en funcin de las cantidades cono-cidas o no. En cada caso particular, utiliceel mtodo ms adecuado que le permita re-

0.4. PAUTAS GENERALES EN LA SOLUCIN DE PROBLEMAS 17

solver de la forma ms sencilla posible, elsistema de ecuaciones simultneas.

6. Hasta donde sea posible, trabaje en for-ma literal, es decir, utilice los smbolos delas cantidades fsicas conocidas en lugarde hacer los reemplazos numricos desdeun comienzo. As es posible expresar lite-ralmente las incgnitas en funcin de lascantidades dadas en el enunciado, y de es-ta forma se tiene la posibilidad de hacerun anlisis fsico y dimensional de los re-sultados obtenidos, permitiendo detectarposibles errores. Espere hasta el final parareemplazar los valores numricos con susrespectivas unidades. Es importante incluirunidades, porque la respuesta se debe ex-presar en funcin de ellas y porque se ten-dr una comprobacin adicional al simpli-ficar las unidades en forma adecuada.

7. Cuando se obtengan respuestas numri-cas, es necesario hacer un anlisis de ellasrespondiendo a la pregunta tiene senti-do fsico el valor encontrado? Por ejem-plo, si se encuentra que la velocidad de unauto es mayor que la velocidad de la luz(3 108m s1), o que un cuerpo, tal comoun baln, tiene una masa igual a la de latierra (5.98 1024 kg) o a la de un elec-trn (9.1 1031 kg), es porque existe unerror en la solucin del problema, ya queson respuestas o resultados que no estn deacuerdo con la realidad.

8. Por ltimo, se deben utilizar "todas" lascomprobaciones posibles de los resultados.

Bibliografa

- Fsica (Quinta edicin), Tomo I, R. A. Ser-way, R. J. Beichner. McGraw-Hill, 2001.

- Fsica Universitaria, Volumen I, R. L. Reese.Thomson, 2002.

- Fsica, vol. I (Mecnica), M. Alonso yE. Finn. Fondo Educativo Interamericano,S.A., 1976.

- Fsica Universitaria Vol. 1 (novena edicin),F. W. Sears, M. W. Zemansky, H. D. Youngy R. A. Freedman. Addison Wesley Long-man, 1998.

- Mecnica Vectorial para Ingenieros, Esttica, F.P. Beer y E. R. Johnston, Jr. McGraw-Hill,1997.

Documents

Analisis Dimensional y Vectores-B.arenas