Ii.1. analisis dimensional 0809

II.1. Análisis Dimensional

_________________________________________________________________________________________________________________ Apuntes de Mecánica de Fluidos JMC 08

1

UNIVERSIDAD DE OVIEDO Escuela Politécnica Superior de Ingeniería de Gijón Ingenieros Industriales Curso 2008-2009 Apuntes de Mecánica de Fluidos: 2ª parte

1. ANÁLISIS DIMENSIONAL. Túnel de viento de “Renault F1 Team” en ENSTONE (UK). Modelo a escala 1:2

Julián Martínez de la Calle

Área de Mecánica de Fluidos Gijón diciembre 2008



2

1. ANÁLISIS DIMENSIONAL. 1.1. Homogeneidad dimensional. 1.2. Teorema de BUCKINGHAM. 1.3. Grupos adimensionales. 1.4. Números de Reynolds, Euler, Mach y Froude. 1.5. Teoría de modelos. 1.6. Problemas resueltos.

El análisis dimensional es un método para verificar ecuaciones y planificar experimentos sistemáticos. A partir del análisis dimensional se obtienen una serie de grupos adimensionales, que van a permitir utilizar los resultados experimentales obtenidos en condiciones limitadas, a situaciones en que se tengan diferentes dimensiones geométricas, cinemáticas y dinámicas; y muchas veces en casos en que las propiedades del fluido y del flujo son distintas de las que se tuvieron durante los experimentos.

La importancia del análisis dimensional viene dada por la dificultad del establecimiento de ecuaciones en

determinados flujos, además de la dificultad de su resolución, siendo imposible obtener relaciones empíricas... Es importante considerar que si en un experimento en un modelo (a escala geométrica del prototipo), se

pueden obtener las escalas cinemáticas (relaciones de velocidades) y las escalas dinámicas (relaciones de fuerzas), los resultados adimensionales que se obtienen para el modelo son también válidos para el prototipo.

1.1. HOMOGENEIDAD DIMENSIONAL.

En toda ecuación física, cada término deberá tener las mismas dimensiones: la ecuación debe ser dimensionalmente homogénea; además la división de todos los términos por uno cualquiera de ellos, haría la ecuación adimensional, y cada cociente sería un grupo adimensional.

Las dimensiones de las magnitudes empleadas normalmente en Mecánica de Fluidos, incluyen sólo una o

más de las siguientes 4 dimensiones: M (masa), L (longitud), T(tiempo) y θ (temperatura):

magnitud dimensiones magnitud dimensiones Longitud (l) [l] = L Gravedad (g) [g] = L T-2 Superficie (A) [A] = L2 Fuerza (F) [F] = M L T-2 Volumen (V) [V] = L3 Presión (p), tensión (τ) [p], [τ] = M L-1 T-2 Momento de inercia (I) [I] = L4 Energía (E), Entalpía (H) [E] = M L2 T-2 Velocidad (v) [v] = L T-1 Entropía (S) [S] = M L2 T-2 θ-1 Aceleración (a) [a] = L T-2 Calor específico (c) [c] = L2 T-2 �-1 Velocidad angular (ω) [ω] = T-1 Conductividad térmica (κ) [κ] = M L T-3 θ-1 Aceleración angular (α) [α] = T-2 Viscosidad absoluta (μ) [μ] = M L-1 T-1 Densidad (ρ) [ρ] = M L-3 Viscosidad dinámica (ν) [ν] = L2 T-1 Caudal volumétrico (Q) [Q] = L3 T-1 Tensión superficial (s) [σ] = M T-2 Caudal másico ( m& ) [ m& ] = M T-1 Compresibilidad (K) [K] = M L-1 T2

3.2. TEOREMA “Π” DE BUCKINGHAM.

El teorema Π de BUCKINGHAM establece que en un problema físico en que se tengan “n” variables que incluyan “m” dimensiones distintas; las variables se pueden agrupar en “n-m” grupos adimensionales independientes.

Siendo V1, V2, ..., Vn las variables que intervienen en el problema, se debe tener una función que las

relacione: f(V1, V2, ..., Vn) = 0; si G1,G2,...,Gn-m, representan los grupos adimensionales que representan a las variables V1, V2, ..., Vn; el teorema de BUCKINGHAM también establece que existe una función de la forma: g(G1,G2,...,Gn-m) = 0.



3

El método para determinar, los grupos adimensionales (Gi, i=1,...,n-m); consiste en la selección de “m” de las “n” variables, con diferentes dimensiones, de manera que contengan entre todas las “m” dimensiones, y emplearlas como variables repetitivas, formando cada uno de los “n-m” grupos adimensionales a partir de la siguiente expresión genérica:

nm,...,1iVVGnj

1nmj

ajii

ij −=⋅= ∏=

+−=

(1.)

A los grupos adimensionales , se les suele denominar parámetros adimensionales Pi de BUCKINGHAM, al ser su expresión un productorio adimensional (símbolo de productorio = Π). Los exponentes “aij” se determinan por la condición de que cada grupo resulte adimensional; se sustituyen las dimensiones de las variables por ellas mismas y los exponentes de M,L,T,ϑ,..., se igualan a cero (adimensionalidad del parámetro).

Consideremos como ejemplo, la fuerza de arrastre en flujo externo, de un fluido sobre un determinado

objeto. Se tiene que la fuerza de arrastre (FD) depende de: la viscosidad absoluta del fluido (μ), la densidad del fluido (ρ), la velocidad relativa entre fluido y objeto (v) y de una longitud característica del objeto (L): FD = FD(μ,ρ,v,L)

Las cinco variables: FD, μ, ρ,v, y L, aportan 3 dimensiones distintas: M,L y T; con lo que por el teorema

de BUCKINGAM se tendrán 5-3=2 grupos adimensionales. Siguiendo las siguientes reglas:

- Las variables repetitivas (exponentes iníciales distintos de 1) deben aportar todas las dimensiones. - Las variables no repetitivas (exponentes iguales a 1), son las inherentes al problema1.

Las variables inherentes son la fuerza de arrastre (FD) y la viscosidad (m), y el resto (longitud, velocidad y densidad) son las repetitivas. Con lo que se tienen los siguientes grupos adimensionales:

G1 = FD La vb ρc

G2 = μ Ld ve ρf

Los exponentes de cada grupo se determinan a partir de sus ecuaciones dimensiónales: [G1] = [FD] [La] [Vb] [ρc] M0 L0 T0 = (MLT-2 )(L)a(LT-1)b(ML-3)c = M1+c L1+a+b-3c T-2-b Exponentes de masa (M) : 0 = 1 + c Exponentes de longitud (L) : 0 = 1+a+b-3c Exponentes de tiempo (T) : 0 = -2-b Resultados: a = -2; b = -2; c = -1

Con lo que el grupo adimensional G1 es: G1 = FD L-2 v-2 ρ-1 = ρ22

DvL

F; que da lugar al denominado

coeficiente de arrastre CD; en donde se introduce el factor (1/2) para tener la presión dinámica, y en vez del término L2, se tiene una superficie característica2 (A)

AvFC 2

21

DD

ρ=

(2.) De forma análoga se obtiene el segundo parámetro adimensional: G2=μL-1v-1ρ-1; que da lugar al número

de REYNOLDS Re:

μρ

=LvRe

(3.) Con lo que se puede pasar de la ecuación dimensional de la fuerza de arraste dependiendo de 4 variables: FD = FD(μ,ρ,v,L); a la ecuación adimensional del coeficiente de arrastre dependiente dependiendo de una sola variable adimensional: CD = CD(Re). 1 En el caso del problema del arrastre, lo que se debe determinar en la fuerza de arrastre (primera variable inherente), que depende fundamentalmente de la viscosidad del fluido (segunda variable inherente). 2 Normalmente, es el máximo área frontal que expone el objeto al flujo; no obstante, en determinados casos, se utilizan distintas áreas: así en el caso de perfiles aerodinámicos, la superficie característica es la cuerda por la envergadura; y en el caso de carenas de buques es el área mojada.



4

1.3. PARÁMETROS ADIMENSIONALES.

Las magnitudes que intervienen en el movimiento de un fluido, se pueden agrupar en tres tipos: - magnitudes mecánicas del fluido - magnitudes térmicas del fluido - magnitudes del flujo

magnitud dimensiones unidades SI

magnitudes mecánicas del fluido

μ viscosidad absoluta o dinámica M L-1 T-1 kg/ms=Pa.s ρ densidad (m/V) M L-3 kg/m3

ν viscosidad cinemática (μ/ρ) L2 T-1 m2/s σ tensión superficial (F/l) M T-2 kg/s2

K módulo de compresibilidad (ρΔp/Δρ) M L-1 T-2 N/m2 = Pa p, τ presión, tensión (F/A) M L-1 T-2 N/m2 = Pa

magnitudes térmicas del fluido

κ conductividad térmica M L T-3 ϑ-1 W/mK cp calor específico a presión constante ( T/h ∂∂ )p L2 T-2 ϑ-1 J/kg K cv calor especifico a volumen constante ( T/û ∂∂ )v L2 T-2 ϑ-1 J/kg K β coeficiente de dilatación térmica (-(dρ/ρ) /dT) ϑ-1 K-1

magnitudes del flujo

v velocidad L T-1 m/s L longitud característica L m g aceleración gravitacional L T-2 m/s2

ε rugosidad L m

Los parámetros adimensionales asociados a las magnitudes anteriores, vienen determinados por relaciones entre los diversos efectos que se pueden considerar:

parámetro definición relación cualitativa de efectos importancia

número de REYNOLDS vLRe ρ

=μ

ascosvistensionesfuerza

inerciadefuerza siempre

número de MACH av

/KvMa =

ρ=

lidadcompresibiinercia flujo compresible

número de FROUDE gLvFr =

gravedadinercia flujo con superficie

libre

número de WEBER σ

ρ=

LvWe2

erficialsuptensióninercia flujo con interfase

L-L, L-G

número de EULER 221 v

pEuρ

= inerciapresión siempre

número de STROUHAL T

v/LvLfSt == ticocaracterísºt

residenciaºtvelocidad

esoscilacion∨

Flujos oscilatorio transitorio

número de PRANDTL κ

μ= pc

Pr calorconducciónenergíadisipación

(prop. fluido) transmisión de calor

número de BRINKHAM TvBr

2

κμ

= calorconducciónenergíadisipación

(prop. flujo) transmisión de calor

número de GRASHOF 2

23gLTGrμ

ρΔβ=

idadcosvisadflotabilid Convección natural



5

1.4. NÚMEROS DE REYNOLDS, EULER, MACH Y FROUDE. De todos los parámetros adimensionales, 4 de ellos son de gran importancia, siendo controlante alguno de ellos en función de las magnitudes que intervengan en el flujo. NÚMERO DE REYNOLDS (Re): controla el transporte de cantidad de movimiento, es decir los efectos de la viscosidad; si el Re es pequeño, se tiene flujo con viscosidad dominante; en el movimiento de las partículas, las altas interacciones por viscosidad las ordenan en la dirección del flujo, con lo que sus trayectorias no se cruzan, se tiene régimen laminar. Si el Re es elevado, en principio los efectos viscosos son despreciables frente a los de inercia, excepto en las zonas del flujo donde se tengan altos gradientes de velocidad; las partículas se mueven desordenadamente, entrecruzándose continuamente las trayectorias, se tiene régimen turbulento. NUMERO DE EULER (Eu): controla los efectos de la presión termodinámica con respecto a la presión dinámica. Por la variedad de flujos, se tienen distintos parámetros derivados del número de Euler: En el flujo en turbomáquinas hidráulicas (fluido operante líquido) es importante para evaluar los efectos de la cavitación, el denominado número de cavitación (en donde pvapor es la presión de vapor del líquido a la temperatura de operación):

221

vapor

v

ppCa

ρ

−= número de cavitación

En flujo externo, se evalúa la resultante de las fuerzas de superficie sobre un determinado objeto, con los coeficientes de sustentación y de arrastre, que derivan del número de Euler:

Av

FC 221

DD

ρ= coeficiente de arrastre (D = “Drag”)

Av

FC 221

LL

ρ= coeficiente de sustentación (L = “Lift”)

NUMERO DE MACH (Ma): controla la relación entre las fuerzas de inercia por velocidad y las fuerzas elásticas por compresibilidad; además es la relación entre la velocidad del flujo y la velocidad de pequeñas perturbaciones en el seno del fluido, que se denomina velocidad del sonido. Las perturbaciones provocan compresiones-expansiones (variaciones de densidad) en el fluido, y la rapidez de transmitirlas, es decir la velocidad del sonido (con perturbaciones de poca intensidad), depende de la “facilidad” del fluido a experimentar variaciones de densidad: así en un fluido de alto módulo de compresibilidad, las perturbaciones se transmiten rápidamente con lo que la velocidad del sonido es alta3. Pudiendo tener tres tipos de flujos: Ma<1 régimen subsónico las perturbaciones se mueven más rápidas que el flujo Ma=1 régimen sónico las perturbaciones se mueven a igual velocidad que el flujo Ma>1 régimen supersónico las perturbaciones se mueven más lentas que el flujo NUMERO DE FROUDE (Fr): controla los efectos del campo central de fuerzas en donde pueda estar el fluido, y que normalmente es exclusivamente el campo gravitacional. Cuanto mayor ser el Fr menor será la importancia de la fuerza gravitacional respecto a la de inercia. En flujo confinado (limitado por una superficie rígida), el orden de magnitud de las fuerzas de inercia es mayor que el de las fuerzas gravitacionales, con lo que se tiene Fr altos, y por lo tanto son poco importantes los efectos gravitacionales. En flujo con superficie libre, se tiene Fr bajos del orden de la unidad; y su valor determina el diverso comportamiento del flujo ante perturbaciones superficiales. El número de Froude es la relación entre la velocidad del flujo y la velocidad de las perturbaciones en la superficie libre. Pudiendo tener tres tipos de flujos:

- v < vp y Fr < 1: flujo subcrítico - v = vp y Fr = 1: flujo crítico - v > vp y Fr > 1: flujo supercrítico

3 En condiciones de 1 atm y 20ºC, el agua tiene un módulo de compresibilidad de 2185,7 MPa y la velocidad sónica es de 1480 m/s; en las mismas condiciones el aire tiene un módulo de compresibilidad de 0,14 MPa y la velocidad sónica es de 341 m/s.



6

1.5. TEORÍA DE MODELOS.

En los ensayos experimentales del flujo en un determinado prototipo, a veces no es posible realizar los ensayos con el propio prototipo, por su tamaño o por la dificultad de reproducir las condiciones reales de flujo, con lo que se realizan los ensayos con modelos a escala (geométricamente semejantes).

Por ejemplo, en el diseño de las geometrías de perfiles aerodinámicos, se disponen modelos a escala

reducida (o a escala real) en un túnel de viento, en donde se hace incidir un flujo de aire sobre el perfil estático. En el estudio experimental de hélices marinas, se realizan dos tipos fundamentales de ensayos con hélices modelo a escala reducida: los de autopropulsión en un canal de agua dulce y los de cavitación en un túnel de cavitación cerrado con agua caliente y a depresión. En la evaluación del comportamiento de una carena, se realizan ensayos de arrastre con modelos a escala reducida en agua dulce, tanto en canales de aguas tranquilas como en piscinas con generadores de olas

La teoría de modelos permite obtener las condiciones de ensayo del modelo, a partir de las condiciones

de flujo del prototipo; y las magnitudes del prototipo, a partir de las medidas experimentales del modelo.

1.5.1. SEMEJANZA: Prototipo, modelo y sus respectivos flujos considerados, están relacionados entre si por tres tipos de semejanza: geométrica, cinemática y dinámica. Semejanza geométrica, con un factor de escala de longitudes constante4 entre modelo y prototipo (NL):

NL = prototipodelicacaracterísLongitud

elomoddelticacaracterísLongitud

( )prototipodelticacaracterísÁrea

elomoddelticacaracterísÁreaN 2L =

( )prototipodelticocaracterísVolumen

elomoddelticocaracterísVolumenN 3L =

Semejanza cinemática del campo de velocidades, con un factor de escala de velocidades entre modelo y prototipo:

prototipodelticacaracterísVelocidad

elomoddelticacaracterísVelocidadNV =

La relación entre los dos factores de escala: de longitudes y de velocidades, viene determinada por el factor de escala de tiempos:

prototipoelenflujodelticocaracterísTiempo

elomodelenflujodelticocaracterísTiempoNN

NV

LT ==

Semejanza dinámica de los campos de las distintas fuerza que puedan intervenir en el flujo, con un factor de escala de fuerzas, que debe ser constante, entre modelo y prototipo:

prototipodelticacaracterísFuerza

elomoddelticacaracterísFuerzaNF =

El factor de escala de fuerzas, es el que va a permitir establecer las condiciones del flujo en el ensayo del modelo a partir de las condiciones del flujo en el prototipo, y obtener “fuerzas, potencias y rendimientos” del prototipo a partir de sus correspondientes valores experimentales en el modelo. Los campos de fuerzas que pueden aparecer en la interacción de un fluido y un objeto, pueden ser:

4 En determinados modelos, el factor de escala de longitudes se hace variar de una dirección a otra: por ejemplo en un modelo de una playa, para estudiar las variaciones batimétricas por acumulación de arena por efecto de determinadas corrientes, se pueden tener un factor de escala para las longitudes horizontales (NLH=1:1000) y otro para las longitudes verticales (NLV=1:100)



7

Fuerzas de inercia, determinadas por la variación temporal de la cantidad de movimiento, y cualitativamente podemos expresarlas por:

22223

i vL)T/L(LT

T/LLdt

)mv(dF ρ=ρ=ρ

==

Fuerzas de rozamiento por viscosidad, determinadas por el campo de tensiones, que a su vez viene determinado por la viscosidad y el campo de velocidades, y podemos expresarlas cualitativamente por:

vLLLvF 2 μ=μ=μ

Fuerzas gravitatorias, determinadas por la posición en el campo gravitatorio, expresadas por:

3g gLmgF ρ==

Fuerzas de presión, determinadas por el campo de presiones:

2p pLF =

Fuerzas de elasticidad, determinadas por la compresibilidad del fluido, o bien por la velocidad de pequeñas perturbaciones en el seno del fluido: Fe = KL2 =ρa2L2

Fuerzas de tensión superficial, determinadas por: Fσ = σL Para la semejanza dinámica total, el factor de escala de fuerzas debe ser constante, independientemente del campo de fuerzas considerado:

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( ) prototipo

elomod

prototipop

elomodp

prototipog

elomodg

prototipo

elomod

prototipoi

elomodiF ¡F

F¡F

F

¡F

F

¡F

F

¡FF

Nσ

σ

μ

μ=====

De la relación anterior se obtienen los siguientes resultados: (1) relación entre fuerzas de inercia y fuerzas viscosas

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

pm

prototipoprototipoprototipo

22

prototipo

prototipoi

elomodelomodelomod

22

elomod

elomodi

prototipo

prototipoi

elomod

elomodi ReRe

RevLvL

vLF

F

RevLvL

vLFF

F

F

FF

=⇒

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛μ

ρ=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

μρ

=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛μ

ρ=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

μρ

=

⇒=

μ

μ

μμ

Es decir, para la semejanza de los campos de fuerzas de inercia y de esfuerzos viscosos, entre modelo y prototipo, el número de REYNOLDS del modelo debe ser el mismo que el del prototipo. (2) relación entre fuerzas de inercia y fuerzas gravitatorias

( )( )

( )( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

pm

protoproto

2

proto3

22

protog

protoi

elomodelomod

2

elomod3

22

elomodg

elomodi

prototipog

prototipoi

elomod

elomodi FrFr

FrgLv

gLvL

F

F

FrgLv

gLvL

FF

F

F

FgF

=⇒

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ρ

ρ=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ρ

ρ=

⇒=

Es decir, para la semejanza de los campos de fuerzas de inercia y fuerzas gravitatorias, entre modelo y prototipo, el número de FROUDE del modelo debe ser el mismo que el del prototipo.



8

(3) relación entre fuerzas de inercia y fuerzas elásticas.

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

pm2proto2

2

proto

2

proto2

22

protoe

protoi

2elomod2

2

elomod

2

elomod2

22

elomode

elomodi

prototipoe

prototipoi

elomode

elomodi MaMa

Maav

/Kv

KLvL

F

F

Maav

/Kv

KLvL

FF

F

F

FF

=⇒

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ρ=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ρ=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ρ=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ρ=

⇒=

Es decir, para la semejanza de los campos de fuerzas de inercia y de compresibilidad, entre modelo y prototipo, el número de MACH del modelo debe ser el mismo que el del prototipo. (4) relación entre fuerzas de inercia y fuerzas de tensión superficial:

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

pm

protoproto

2

proto

22

proto

protoi

elomodelomod

2

elomod

22

elomod

elomodi

prototipo

prototipoi

elomod

elomodi WeWe

WeLvLvL

F

F

WeLvLvL

FF

F

F

FF

=⇒

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

σρ

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

σρ

=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

σρ

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

σρ

=

⇒σ

=

σ

σ

σ

Es decir, para la semejanza de los campos de fuerzas de inercia y de fuerzas de tensión superficial, entre modelo y prototipo, el número de WEBER del modelo debe ser el mismo que el del prototipo. (5) relación entre fuerzas de inercia y fuerzas de presión

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

pm

p

p2

21

p

2

p2

22

protop

protoi

m

m2

21

m

2

m2

22

elomodp

elomodi

prototipop

prototipoi

elomodp

elomodi EuEu

Eu/2v/p

2pv

pLvL

F

F

Eu/2v/p

2pv

pLvL

FF

F

F

FF

=⇒

=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

ρ=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ρ=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ρ=

=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

ρ=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ρ=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ρ=

⇒=

Es decir, para la semejanza de los campos de fuerzas de inercia y de fuerzas de presión, entre modelo y prototipo, el número de EULER del modelo debe ser el mismo que el del prototipo. Para la semejanza dinámica total entre modelo y prototipo, el factor de escala de fuerzas debe ser constante, y con ello se tiene las siguientes igualdades entre los parámetros adimensionales de modelo y prototipo: Rem=Rep Frm=Frp Mam=Map Wem=Wep Eum=Eup ...

El cumplimiento simultaneo de todas las igualdades anteriores, lleva al absurdo de que el factor de escala de longitudes sea 1, es decir que el modelo es el propio prototipo; lo que quiere decir que es imposible ensayar un modelo a escala, y que se conserve la semejanza en todos los campos de fuerza entre modelo y prototipo; no obstante, en los ensayos con modelos lo que se hace es considerar cual es el parámetro adimensional controlante, es decir el campo de fuerzas más importante (a parte del inercial). Por ejemplo, el ensayo de arrastre de un modelo de carena en un canal de experiencias hidrodinámicas, se realiza de tal forma que el número de FROUDE del modelo sea el del prototipo, pues en el movimiento de un buque, las fuerzas gravitacionales del campo de olas generado predominan sobre los esfuerzos viscosos sobre la propia carena. Así si la velocidad del buque es de 15 nudos, y el modelo se construye a escala 1:100, la velocidad con la que se debe mover el modelo en el canal es5 de 15 100/1 =1,5 nudos = 0,772 m/s 5 Frm=Frp pmpm L/Lvv =⇒



9

1.5.2. NUMEROS ADIMENSIONALES CONTROLANTES EN SEMEJANZA: A continuación se establecen una pautas cualitativas en el análisis dimensional de diversos flujos, para establecer que números adimensionales tienen mayor importancia y cuales se pueden no considerar (sus efectos). (1) En flujo incompresible, estacionario y sin superficie libre, el número adimensional controlante es el Re. Es decir se podrá considerar semejanza si el número de Reynolds del modelo es el mismo que el del prototipo. (2) En flujo incompresible, estacionario y con superficie libre, los números controlantes son el Re y el Fr. Pero normalmente no es posible mantener los dos números simultáneamente6 iguales; con lo que en este caso se considera controlante el número de Froude. (3) En flujo compresible, estacionario y sin superficie libre, los números controlantes son el Re y el Ma; por no poder mantener simultáneamente las igualdades, se considera el más controlante el número de Mach. (4) En general si el Re es muy grande, se puede no considerar sus efectos, siendo controlantes el Ma o el Fr. No obstante el Re marca en qué tipo de flujo se está, pero si el flujo es turbulento completamente desarrollado, la influencia del Re es prácticamente constante. (5) Si el flujo es no estacionario se debe considerar además el número de Strouhal. Es importante destacar que se pueden tener dos tipos de procesos no estacionarios: - flujo no estacionario con condiciones de contorno estacionarias. - flujo no estacionario con condiciones de contorno no estacionarias. El primer caso de condición de contorno estacionaria, se tiene en la formación de la estela de torbellinos de Von Karman, en el flujo externo de la interacción de un flujo con un objeto. Aguas arriba del objeto, el flujo puede ser bastante uniforme, pero aguas abajo se origina una estela que integra una serie de vórtices contrarrotantes, que van creciendo en el sentido del flujo, hasta alcanzar un tamaño crítico, y son arrastrados por la propia corriente: el crecimiento y desprendimiento de vórtices es alternativo y no estacionario. La frecuencia de desprendimiento de vórtices es función de Re, y viene determinada por el número de Strouhal:

c

rr

ticocaracterís

residenciaf/1U/L

tt

St == = f(Re)

El segundo caso de condición de contorno no estacionaria, se tiene cuando algunos de los contornos geométricos con los que interacciona el flujo, tiene posiciones no estacionarias (dependen del tiempo). Un ejemplo clásico es la destrucción del puente de TACOMA por la interacción del viento. En condiciones normales, la estructura esta estacionario (no se mueve), pero para determinadas condiciones del viento, la frecuencia de los torbellinos coincidió con una frecuencia natural de la estructura, que empezó a vibrar (contorno no estacionario), generando nuevas frecuencias y amplitudes de los torbellinos de Von Karman, que resonaron con las frecuencias naturales de la estructura, dando lugar a un proceso de auto excitación, que llevo a la destrucción del puente.

6 Simultáneamente quiere decir que Frm=Frp y Rem=Rep, lo que puede traer problemas experimentales. Si el modelo se ensaya en el mismo fluido que el prototipo, la igualdad de los números de Reynolds, lleva a que la velocidad del ensayo sea: vm=vp(Lp/Lm); y la igualdad de los números de Froude, lleva a que la velocidad del ensayo sea: Lp/Lmvpvm = ; es decir dos velocidades distintas. Por ejemplo en el ensayo de una carena de un buque, si la escala del modelo es de 1:100, si se considerase la igualdad de números de Reynolds, el modelo debería moverse a 100 veces la velocidad del prototipo, y se considerase la igualdad de números de Froude, el modelo debería moverse a 0,1 veces la velocidad del prototipo.

II.1. An

______Apunte

1.1. al avageomsuperffluido DETE DATO

RESO Las va Es deadime (1) PA π1 = F π2 = μ π3 = ε Obtenparám

1 =π

nálisis Dimension

_______________es de Mecánica de

Aplicación dance de una eetría y del ficial, y los p

o. A partir de e

ERMINE: 1 2 li

OS:

OLUCIÓN:

ariables que in

ecir hay 6 varensionales π1,

f(FD,D,

ARAMETRO

FD ρa Ub Dc

μ ρd Ue Df

ε ρg UhDi

niéndose los metros adimen

22D

DU

F

ρ

nal

______________e Fluidos

del teorema deesfera en mov

flujo. La geoarámetros delestas consider

. Parámetros a

. A partir del sa de 45 mm

Esfera: lisa, dAire: densidaCoeficiente d

ntervienen son

riables y 3 d π2 y π3 de tal

,ε,U,ρ,μ) = 0

S ADIMENSI

M0L0T

M0L0T

M0L0T

siguientes vansionales son:

2 =π

CD

______________

e Buckinghamimiento unifoometría vienel flujo más imraciones:

adimensionaledato de la gráde diámetro, c

diámetro = 45ad = 1,204 kg/de arrastre par

n: Fu D R V D V

dimensiones, cl forma que:

⇒

IONALES: P

T0=(MLT-2) (M

T0=(ML-1T-1)

T0=(L) (ML-3)

alores: a=-1;

UDρμ

_______________

m: Fuerza de orme en un dee determinada

mportantes son

es que intervieáfica CD=CD(Rcuando se mu

mm /m3; viscosidara esferas lisas

uerza de arrasDiámetro de la Rugosidad de laVelocidad de laDensidad del flViscosidad del

con lo que po

∃ φ(π

Por el método

ML-3)a (LT-1)b

(ML-3)d (LT-1)

)g (LT-1)h (L)i

b=-2; c=-2;

3 =π

______________

arrastre de uneterminado flua por el diámn: velocidad d

enen en el flujRe), los valoreeve en aire a v

ad = 18,1 10-6

s:

stre: FD esfera: D a esfera: ε a esfera: U luido: ρ fluido: μ

or el Teorem

π1,π2,π3) =0

de Buckingha

(L)c 0=

)e (L)f 0=

0=

d=-1, e=-1;

Dε

_______________

na esfera: Enuido, la fuerzametro de la ede la esfera, y

jo. Identifíquees de la fuerzavelocidades d

6 kg/ms

[FD] =M[D] = L[ε] = L[U] = L[ρ] = M[μ] = M

ma de Bucking

am:

=1+a; 0=1-3a

=1+d; 0=-1-3d

=g; 0=1-3g+h

f=-1; g=0;

______________

n el estudio dea de arrastre desfera y por

y densidad y v

elos. a de arrastre pae 0,001, 1, 10

MLT-2

L L LT-1 ML-3 ML-1T-1

gham, hay tre

a+b+c; 0=-2-b

d+e+f; 0=-1-e

h+i; 0=-h

h=0; i=-1; co

______________ JMC 08

10

la resistenciadepende de lala rugosidad

viscosidad del

ara una esfera y 100 m/s.

es parámetros

e

on lo que los

0

a a d l

a

s

s



11

El parámetro adimensional π1; puede rescribirse como: 8

4DU

F2

221

D π⋅

πρ

; obteniendo el número adimensional,

que determina la fuerza de arrastre en cualquier geometría: el coeficiente de arrastre: CD:

AU

FC

221

DD

ρ= en donde A es el área de la mayor sección perpendicular al flujo7.

La inversa del parámetro adimensional π2, es también adimensional, y es el número de Reynolds:

ν=

ρμ=

μρ

=DU

/DUDURe en donde μ es la viscosidad absoluta o dinámica (kg/ms)

y ν es la viscosidad cinemática (m2/s)

El parámetro adimensional π3, es la rugosidad relativa: Drε

=ε

Con todo, se obtiene, que existe una función que relaciona los tres números adimensionales: f(CD, Re, εr) =0; es decir que el coeficiente de arrastre, depende del número de Reynolds, y de la rugosidad relativa8: CD=CD(Re, εr) (2) FUERZA DE ARRASTRE: En el caso de esferas lisas, se tiene que el coeficiente de arrastre solo depende del Reynolds: CD=CD(Re), que es gráfica que se suministra en los datos. A Re muy bajos (Re<1), se puede obtener analíticamente9 que CD=24/Re. Con los datos numéricos: D=45mm; ν=(18,1 10-6 kg/ms) / (1,204 kg/m3) = 15,033 10-6 m2/s; la fuerza de arrastre de la esfera lisa de 45 mm de diámetro, para distintas velocidades es: AUCF 2

21

DD ρ=

U=0,001m/s 993,210033,15

045,0001,0Re6

=⋅

⋅=

−; CD=10 N1057,9

4045,0001,0204,110F 9

22

21

D−⋅=

π⋅⋅=

U=1 m/s 299310033,15

045,01Re6

=⋅

⋅=

−; CD=0,4 N10383,0

4045,01204,14,0F 3

22

21

D−⋅=

π⋅⋅=

U=10m/s 2993410033,15045,010Re

6=

⋅

⋅=

−; CD=0,4 N103,38

4045,010204,14,0F 3

22

21

D−⋅=

π⋅⋅=

U=100m/s 29934110033,15045,0100Re

6=

⋅

⋅=

−; CD=0,1 N957,0

4045,0100204,11,0F

22

21

D =π

⋅⋅=

7 En el caso del flujo sobre un perfil aerodinámico, el área es el producto de la cuerda por la envergadura. En el caso de flujo sobre una carena de un barco, el área es la superficie mojada de la carena. 8 En el problema no hemos considerado los efectos de la compresibilidad, si el flujo se desarrolla a Ma>0,3; el coeficiente de arrastre, también depende del número de Mach. 9 Es la ecuación de STOKES, que se obtiene resolviendo, en coordenadas esféricas, las ecuaciones de continuidad y de Navier-Stokes, en donde la velocidad tangencial es nula, no asi la radial y la meridional. La ecuación coincide con los resultados experimentales a Re<0,1; a Re =1, se obtiene un error del 10% (CD=26,4)



12

1.2. Fuerza de arrastre: números de Reynolds y de Euler. La fuerza de arrastre sobre un dirigible debe determinarse mediante ensayos con un modelo a escala reducida. Los ensayos se realizan en un túnel de agua, en donde el modelo de dirigible se fija a un soporte instrumentado con un sensor de fuerza; la velocidad del flujo a agua que incide sobre el modelo, se controla con una bomba de velocidad variable que es la que origina el flujo hacia el modelo. DETERMINE: 1. Cualitativamente los números adimensionales controlantes. 2. Justifique porque se tiene que ensayar el modelo en un túnel de agua. 3. Velocidad a la que se debe ensayar el dirigible modelo en el túnel de agua. 4. Potencia de arrastre del dirigible prototipo. DATOS: Dirigible: Lp=20m; Up=36 km/h; aire a 25ºC y 1 bar: viscosidad = 15,58 10-6 m2/s; densidad = 1,2 kg/m3

Modelo: Lm=1m; agua, viscosidad = 10-6 m2/s; densidad = 1000 kg/m3

Fuerza de arrastre a la velocidad de ensayo = 1649 N RESOLUCIÓN: (1) PARÁMETROS ADIMENSIONALES CONTROLANTES. Los números adimensionales más importantes en un proceso de flujo son: Re, Eu, Ma y Fr. Debido a la baja velocidad del submarino con respecto a la velocidad del sonido, los efectos de compresibilidad no son importantes, y en número de MACH no es controlante; por no haber superficies libre, el número de Froude tampoco es controlante; con lo que los números adimensionales que se tienen en cuenta para la similitud dinámica son exclusivamente el número de REYNOLDS y el número de EULER. Se puede llegar analíticamente a esta conclusión, partiendo de que la fuerza de arrastre depende de las siguientes variables: FD=f(U,L,ρ,μ), y aplicando el teorema de BUCKINGHAM, se obtienen dos parámetros adimensionales, que están relacionados, respectivamente, con los números de REYNOLDS y de EULER. (2) ENSAYO EN UN TUNEL DE AGUA. Para la semejanza dinámica entre modelo y prototipo, sus números de Reynolds deben ser iguales:

p

ppp

m

mmm

LURe

LURe

υ==

υ= en un dirigible la longitud característica en su ESLORA.

Con lo que la velocidad a la que se debe mover el modelo es: p

m

m

ppm L

LUU

υυ

=

Numéricamente, con los datos: Up = 36(1000/3600)= 10 m/s Lp = 20 m; Lm = 1 m νp = 10-6 m2/s; νmagua = 15,58 10-6 m2/s Si el ensayo se realiza en un túnel de viento, la velocidad del aire en el túnel debería ser de:

s/m2001058,151058,15

12010

L

LUU

6

6

p

m

m

ppm =

⋅

⋅=

υυ

=−

−

Esta velocidad tiene dos problemas: uno el experimental, porque se tiene que trabajar con grandes velocidades de flujo de aire y sobre todo porque se tiene números de Mach relativamente altos (Ma>0,3), y se deberían considerar los efectos de la compresibilidad. Para evitar estos dos problemas, se ensaya en un túnel de agua, debido a la que la viscosidad cinemática del agua es unas 15 veces menor que la del aire, y con ello la velocidad de ensayo en agua baja en la misma proporción.



13

(3) VELOCIDAD DEL FLUJO QUE INCIDE SOBRE EL MODELO: La velocidad del flujo uniforme que se hace incidir sobre el modelo, viene determinada por la igualdad de números de Reynolds entre modelo y prototipo:

s/m84,121058,15

1012010

L

LUU

6

6

p

m

m

ppm =

⋅=

υυ

=−

−

(4) POTENCIA DE ARRASTRE: La potencia de arrastre, viene determinada por: PD = FD U. El ensayo suministra el valor de la fuerza de arrastre sobre el modelo. La fuerza de arrastre sobre el prototipo se determina por análisis dimensional, que establece que para la semejanza dinámica los números de EULER, deber ser iguales:

221

2

UL/FEu

ρ= ;

2p

2pp2

1Dp

p2m

2mm2

1Dm

mLU

FEu

LU

FEu

ρ==

ρ=

2

m

p2

m

p

m

pDmDp L

L

U

UFF ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ρ

ρ=⇒

Numéricamente con los datos: FDm=1649 N; ρp = 1,2 kg/m3 ρm = 1000 kg/m3 Up = 10 m/s Um = 12,84 m/s Lp = 20 m Lm = 1 m

N1,480120

84,1210

10002,1N1649

L

L

U

UFF

222

m

p2

m

p

m

pDmDp =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ρ

ρ=

Con lo que la potencia de arrastre, estimada para el prototipo del dirigible es: PDp= FDp Up = (480,1 N)(10m/s) = 4,8 kW La potencia de arrastre involucrada en el modelo a escala reducida es: PDm=FDmUm=(1649N)(12,84m/s) =21,17kW No debe extrañar, que tanto la fuerza de arrastre, como la potencia de arrastre, sean mayores en el modelo a escala reducida, que en el prototipo, debido a que el modelo se ensaya en agua y el prototipo se mueve en aire.



14

1.3. Fuerza de sustentación y arrastre en aviones. En el vuelo de un avión, la fuerza de sustentación sobre las alas debe equilibrar el peso de la aeronave (equilibrio vertical), y la fuerza de empuje del chorro de gases debe equilibrar la fuerza de arrastre del aire sobre el avión (equilibrio horizontal). La velocidad de despegue de un avión, suele ser un 20% superior a la velocidad de entrada en perdida (velocidad mínima para que la sustentación pueda equilibrar su peso, operando a coeficiente de sustentación máximo). DETERMINE: 1. La velocidad de entrada en perdida a nivel de mar. 2. La distancia de despegue. 3. El empuje mínimo para poder despegar del aeropuerto de Asturias. DATOS: Avión: Empuje máximo motores Pratt&Whitney JT8SD-217A/C: 178 kN Peso máximo aeronave: 72600 kg; Alas: área de sustentación: A = 182 m2; factor alargamiento: � = 8 Coef. aerodinámicos: arrastre bidimensional: CD∞ = 0,02; sustentación máxima: CLmax=1,8 Aire atmosférico: ρ0 = 1,2 kg/m3 Aeropuerto de Asturias: longitud de la pista: 2200 m

Coeficiente de arrastre en función del factor de alargamiento:Λπ

+= ∞

2L

DDCCC

RESOLUCIÓN: 1). La velocidad de entrada en perdida a nivel de mar: (VS); es la velocidad mínima, para la que la sustentación equilibra el peso, en la condiciones de sustentación máxima:

( ) p2SmáximaLL AV

21CPesoF ρ== ⇒ ( )

( )==

ρ=

182·23,1·8,18,9·72600·2

ACPeso·2V

pmáximaLS 59,43 m/s = 213,93 km/h

2) Carrera de despegue: La velocidad de despegue debe ser mayor que la de entrada en perdida; en este caso un 20% mayor: Vdespegue = 1,2·VS = 1,2·59,34 = 71,31 m/s = 256,72 km/h. El balance de fuerzas es: Fuerza Empuje chorro – Fuerza Arrastre aerodinámico = M·dV/dt

dtdV·MAVCT p

221

Dmax =ρ−

En la ecuación diferencial, se puede sustituir el elemento de tiempo: dt = dx/V; con lo que se tiene una ecuación diferencial, entre la velocidad (V) y el espacio recorrido (x):

( )V/dx

dV·MVACT 2p2

1Dmax =ρ− ; con p2

1D ACK ρ= ; queda: 2KVT

VdVMdx−

= 2KVTTln

K2Mx

−=

La constante K se determina a partir del coeficiente de sustentación, en equilibrio vertical: peso = sustentación:

==ρ

=182·31,71·23,1

8,9·72600AV

PesoC 221

p2despegue2

1Ldespegue 1,25

Con lo que el coeficiente de arrastre correspondiente es: =π

+=Λπ

+= ∞ 8·25,102,0CCC

22L

DD 0,082

La constante K será: ==ρ= 182·23,1082,0ACK 21

p21

D 9,197 kg/m

Con todo la distancia de despegue, será: =−

=−

= 22 31,71·197,9178000178000ln

197,9·272600

KVTTln

K2Mx 1203,09 m

3) El empuje mínimo para poder despegar del aeropuerto de Asturias. A partir de la Ec. 7.2, con la condición de que la distancia de despegue debe ser menor que la longitud de la pista de despegue, L = 2200 m

2KVTTln

K2ML

−= ⇒

e M/KL2

2

1

KVT −−

=

=−

=−

= −− ee 72600/2200·197,9·2

2

M/KL2

2

1

31,71·197,9

1

KVT 109,45 kN



15

1.4. Cavitación: número de Euler (número de cavitación) En el flujo de líquidos, si por aumento de velocidad, la presión baja hasta valores próximos a la presión de vapor (a la temperatura del flujo), el líquido cambia de fase, se generan burbujas de vapor, que son arrastradas por la corriente hacia zonas de alta presión, en donde las implosiones generan pulsos de alta frecuencia y alta presión. A este fenómeno se denomina cavitación. Consideremos el flujo entorno a un arpón de pesca submarina: conforme el disparo se realiza a menos profundidad, la velocidad para condiciones de cavitación es menor. Se realizan un ensayo en donde se determina que a una profundidad de 2 m, si la velocidad es menor de 44 m/s no hay cavitación. DETERMINE: 1. Número de cavitación mínimo para no cavitación. 2. Velocidad máxima para no cavitación a una profundidad de10 m. 3. A que profundidad deja de cavitar, si el arpón se dispara verticalmente hacía abajo, desde un profundidad de 2 m a la velocidad del apartado anterior DATOS: agua de mar: densidad=1025 kg/m3; presión de vapor = 23 mbar Arpón: a 2 m de profundidad la velocidad de no cavitación es 44 m/s CD=0,4 (suponerlo constante) Peso = 0,250 kg; densidad = 2300 kg/m3; Área recta máxima =2 cm2 Presión atmosférica: 990 mbar

RESOLUCIÓN: Se define como número de cavitación, al número de Euler, derivado de considerar la diferencia, entre la presión de vapor y la presión no perturbada por la interacción del objeto que se mueve en el seno del líquido. En nuestro caso:

221

vaporatm2

21

vapor

U

pghp

U

ppCa

ρ

−ρ+=

ρ

−= ∞ en donde “h” es la profundidad

(1) NÚMERO DE CAVITACIÓN MÍNIMO: Con el resultado experimental, de que a 2 m de profundidad la cavitación se inicia a velocidades mayores de 12 m/s; el número de cavitación mínimo para no cavitación es:

atm vapor*2 21 1

2 2

p gh p 99000 1025 9,8 2 2300Ca 0,118U 1025 44

+ ρ − + ⋅ ⋅ −= = =

ρ ⋅ y se denomina número de cavitación crítico

(2) VELOCIDAD MÁXIMA PARA NO CAVITACIÓN A UNA PROFUNDIDAD DE 10 m: la condición de no cavitación es que el número de cavitación sea mayor que el crítico:

*2

21

vaporatm CaU

pghpCa >

ρ

−ρ+=

*21

vaporatm

Ca

pghpU

⋅ρ

−ρ+<⇒

a 10 metros de profundidad, la velocidad debe ser:

atm vapor* 11

22

p gh p 99000 1025 9,8 10 2300U 57,1 m / s1025 0,118Ca

+ ρ − + ⋅ ⋅ −< = =

⋅ρ ⋅



16

(3) PROFUNDIDAD A LA QUE DEJA DE CAVITAR, CON UN DISPARO VERTICAL DESCENDENTE, EN LAS CONDICIONES: h 0= 2m; U0 = 57,1 m/s.

La ecuación de equilibrio de fuerzas sobre el arpón es: DdvP F E mdt

− − =

En donde: “P” es el peso: P=mg “FD” es la fuerza de arrastre AvCF 2

21

DD ρ=

“E” es el empuje de flotación E = ρgV “m” es la masa del arpón “dv/dt” es su aceleración con todo se tiene la ecuación diferencial: 21

D 2mg C v A gV mdv / dt− ρ − ρ = ; como lo que interesa obtener en la ecuación h=h(v); en la ecuación se puede expresar el elemento de tiempo, en función de la velocidad y de la variación de profundidad: dt=dh/v; con todo se tiene la ecuación diferencial:

2

vdvdhB C v

=− ⋅

en donde las constantes son: agua arpónB g(1 / )= − ρ ρ ; 1D2C C A / m= ρ

cuya integración da la ecuación h=h(v): 2

00 2

B C v1h h ln2C B C v

⎛ ⎞− ⋅= + ⎜ ⎟− ⋅⎝ ⎠

obteniéndose también la función v=v(h) 02C(h h )2

0B (B C v )v

Ce − −

− − ⋅ ⋅=

Numericamente: ( )agua arpón1025B g 1 / 9,8 1 5,4332300

⎛ ⎞= − ρ ρ = − =⎜ ⎟⎝ ⎠

m/s2

41

D 2 0,4 1025 2·10C AC 0,164

m 0,250

−⋅ ⋅ρ= = = m-1

2 20B C v 5,433 0,164 57,1 529,275− ⋅ = − ⋅ = − m/s2

Con lo que la velocidad en función de la profundidad es:

2·0,164(h 2)0,328(h 2)5,433 529,275

v 33,128 3227,287·0,164

e e− −

− −+ ⋅= = +

el número de cavitación en función de la profundidad es: 2221 v

h6,19683,188v1025

2300h8,9102599000Ca ⋅+=

⋅

−⋅⋅+=

Con las dos últimas ecuaciones se construye la tabla : h – v –Ca: profundidad velocidad Nº cavitación

m m/s - 2,00 57,10 0,070 2,50 52,65 0,086 3,00 48,56 0,105 3,10 47,78 0,109 3,20 47,01 0,114 3,30 46,26 0,118 3,50 44,79 0,128

La zona de cavitación esta en los puntos de número de cavitación menor de 0,118 (Ca<Ca*); es decir, el arpón sale en cavitación (Ca=0.070) y al alcanzar la profundidad de 3,3 m deja de cavitar.

II.1. An

______Apunte

1.5. realizutilizala amp DETE DATO RESO (1) Pestaci

númer

En docaract El otrobtien

TK =

T es caract (2) Ase obt

TdeK

Evide El fac

=FN

Con la

s

dLL

=

Como Ls = L (3) FR

sSt =

La fresegun

nálisis Dimension


Frecuenciasar un prototipan los peces, splitud del cole

ERMINE: 1 2 di 3

OS:

OLUCIÓN:

PARAMETROionarios, el p

ro de STROUH

onde “f” es uterística, U un

ro parámetro cne por el teore

2221 LU

Tρ

= :

la fuerza de terística, que e

AMPLITUD Dtiene el factor

2d2

1d

elfinLU

T

ρ=

entemente las

ctor de escala

(===

Ds

Dd

s

d

FF

TT

as ecuaciones

s

d

d

sTT

UU

==

o la amplitud d

Ld/0,816 = 1/0

RECUENCIA

ds

ss StULf

==

ecuencia del mndos o bien 1/

nal

______________e Fluidos

s característicpo, a partir dese le denominaeteo, de la vel

. Parámetros c

. Amplitud coinámicamente. Frecuencia d

Delfín: SubmarinistaHidrodinámic

OS CONTROparámetro con

HAL: U

fSt ⋅=

una frecuenciana velocidad c

controlante, vema de Buckin

empuje sumien este caso e

DE LAS OSCde escala de l

Tsubma2d

KL

=

densidades so

de fuerzas Td/

(( ⋅ρ⋅

⋅ρ⋅2

21

D

221

D

UC

AUC

s [1] y [2], se o

Ds

Dd

d

sUU

CC

UU

de los coleteo

0,1816 = 1,225

A DE LOS AL

d

dd

ULf

⇒

movimiento de/0,245 = 4 seg

______________

cas: número e los datos oba propulsión plocidad de ava

controlantes don la que debee semejante alde aleteo del s

velocidad =

a: velocidad =ca: CDsub = 3 C

OLANTES: Entrolante, es e

UTL

UL

=⋅

=⋅

a característiccaracterística y

viene determinngham, se den

nistrada por s la amplitud

ILACIONESlongitudes:

21staarini

U

T

ρ=

on iguales, por

/Ts, se obtiene

)) ⎜⎜

⎝

⎛=

D

D

sub

delfin

CC

A

A

obtiene el fact

s

d

s

dAA

UU

=

s del delfín es

5 m

ETEOS DEL

LLff

s

dds =

e las aletas degundos /aleteo

_______________

de Strouhal.btenidos de lapor estela de rance y de la de

de la propulsióen moverse lasl coleteo del dsubmarinista.

= 5 m/s; cole= 1 m/s CDdelfín; Asub =

En procesos el factor de

TU/L

ca, “T” su pery L/U el tiemp

nado por la funomina coefic

el sistema dede los coleteo

: De la iguald

2s

2s

s

LU

T

rque tanto el d

e a partir de la

⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞2

s

d

Ds

d

AA

UU

tor de escala d

s

d

Ds

DdAA

CC

;

s de 1m, la am

SUBMARIN

22,115,1

UU

d

s =

el submarinisto, que es el per

______________

En el diseñoa propulsión dremolinos, en ensidad del ag

ón por estela ds aletas del sub

delfín.

teo: amplitud

= 0,5 Adelfín

oscilatorios escala de tie

riodo, L una po de residenc

unción T=T(Liente de empu

e propulsión (os-aleteos.

dad de coefici

s

dLL

=

delfín como el

as fuerzas de a

⎟⎟⎠

⎞

s

d

de longitudes:

mplitud de los

NISTA:Por la i

H245,051

25=

ta debe ser de riodo del mov

_______________

o de aletas dede un delfín. donde el emp

gua. A partir d

de remolinos. bmarinista, pa

= 1m; frecuen

y/o no empos, o

longitud cia.

,U,ρ); se uje KT, y deriv

(del inglés “th

ientes de emp

s

d

d

sTT

UU

l submarinista

arrastre que se

CC

LL

s

d =

aleteos del sub

igualdad de nú

Hz

0,245 Hz, es vimiento de la

______________

e submarinismAl tipo de pr

puje conseguidde los datos:

ara tener un flu

ncia = 1,5 Hz

va del número

hrust”). L es

uje de modelo

a se mueven en

e oponen al mo

31

AA

s

d

Ds

Dd =

bmarinista, se

úmeros de Str

decir un aletes aletas.

______________ JMC 08

17

mo, se intentaropulsión quedo depende de

ujo

o de EULER:

una longitud

o y prototipo,

[1]

n el mar.

ovimiento:

[2]

816,05,0

13

=

erá de:

rouhal:

eo cada 0,245

7

a e e

d

,

5

II.1. An

______Apunte

1.6. fundafluido(alturaentre de madimen DETE DATO RESO (1) PA En el Consiparám

1 =π

2 =π

2 =π

3 =π

4 =π

nálisis Dimension


Reglas damentalmente o (viscosidad a o carga en ula potencia en

asa) que se transional en bom

ERMINE: 1 2 3 4

OS:

c

Ns =

OLUCIÓN:

ARÁMETRO

flujo de bomb

ideraremos cometros adimen

ba D)gH( ωρ

cba DP ωρ

53DP

ρω

cba DQ ωρ

cba Dωρμ

nal

______________e Fluidos

de semejandel caudal, dy densidad). unidades de lontregada al líqansfiere al líqumbas: A partir

. Parámetros a

. Parámetro ad

. Reglas de se

. Punto de fun

Bomba: D =

centrífuga o ra

= 0,2

S ADIMENSI

bas, la variabl

omo variables nsionales que s

cD 00LM

00LM

00LM

00LM

Clasif

______________

nza en bomde la velocidaLos parámetrongitud: H =

quido y la conuido es el térmr de la informa

adimensionaledimensional inemejanza entrencionamiento

127 mm; Q =

adial

0,4 0

IONALES:

les son: En C Po D V D V

independientese tienen (7 va

2200 TL(T −=

200 TML(T =

300 ML(T −=

100 TML(T −=

ficación de bom

_______________

mbas y ved de giro y d

ros de funcionΔp/ρg), la po

nsumida: η=(Qmino “gH”, y eación anterior

es, a partir delndependiente e máquinas gecuando la vel

= 18 L/s; ρ =1

mixta

0,6 0,8 1,0

nergía específaudal otencia consu

Diámetro del roVelocidad de gDensidad del líViscosidad del

es: la densidaariables – 3 di

a32 T()ML)( −

a33 )ML)(T −−

a3 T()ML)( −−

a31 ()ML)(T −−

mbas en funci

______________

entiladoresdel tamaño denamiento de iotencia consumQ Δp)/P = ρQges el parámetrr y de los dato

l teorema de Bdel tamaño de

eométrica y diocidad de giro

1000 kg/m3; N

2,0

fica gH Q

umida Podete Diro ωquido ρlíquido μ

ad, la velocidaimensiones = 4

cb1 M)L()T− =

cb1 )L()T( − =

cb1 M)L()− =

cb1 )L()T( − =

ión de la velo

_______________

: El flujo l rodete; ademnterés son: elmida “P” y elgH/P). La enero que normals:

Buckingham. e la bomba: vinámicamenteo aumenta un

N = 1450 rpm

axial

3,0 4,0

H [gH] =[Q] = L[P] = M[D] = L[ω] = T[ρ] = M[μ] = M

ad de giro y el4 parámetros)

ca31a TLM +−

ca31a LM +−=

ca31a TLM −+−

ca31a TLM +−

cidad específi

______________

en una bommás de las prol aumento de l rendimiento ergía especificlmente se utili

elocidad espee semejantes: 20%.

m; H = 6,8 m;

= L2 T-2

L3 T-1 M L2 T-3 L T-1 M L-3 M L-1 T-1

l diámetro; con) son:

bT−

bc T−

b−

bT−

ica

______________ JMC 08

18

mba dependeopiedades delpresión “Δp”“η” (relación

ca (por unidadiza en análisis

cífica.

η = 63%

n lo que los 4

221D

gHω

=π

33

DQ

ω=π

24Dρω

μ=π

8

e l ” n d s

4



19

El parámetro adimensional del aumento de energía especifica del líquido, se denomina coeficiente de altura, y determina que para una misma bomba, si la velocidad de giro se duplica, la altura de bombeo de cuadruplica; y que la altura depende del cuadrado del tamaño del rodete.

22HD

gHCω

=

El parámetro adimensional de la potencia consumida, se denomina coeficiente de potencia, y determina que la potencia depende del cubo de la velocidad de giro y de la quinta potencia del tamaño del rodete.

53PD

PCρω

=

El parámetro adimensional del caudal, se denomina coeficiente de caudal, y determina que el caudal aumenta linealmente con la velocidad, y cúbicamente con el tamaño:

3QDQC

ω=

El cuarto parámetro adimensional es la inversa del número de Reynolds: μ

ρω=

2DRe

(2) PARÁMETRO ADIMENSIONAL INDEPENDIENTE DEL TAMAÑO: VELOCIDAD ESPECIFICA. En bombas, hay un parámetro adimensional, que se obtiene de los anteriores, que no depende del tamaño de la máquina, sino de su morfología: es la velocidad especifica Ns, que se obtiene por la relación entre los parámetros adimensionales (π3)1/2 / (π1)3/4:

4/3

2/1

s)gH(

QN ω=

El valor de la velocidad característica, permite clasificar las bombas: Bombas centrífugas o radiales Ns bajos (0,2 a 0,5) bajos caudales y altas cargas Bombas de flujo mixto Ns intermedio (0,5 a 3) caudales y alturas intermedias Bombas axiales Ns alto (3 a 4) altos caudales y bajas cargas

En la ecuación de la velocidad característica, las variables se expresan en el S.I., es decir la velocidad de giro en radianes / segundo, el caudal en m3/s, la altura o carga en metros y la aceleración gravitatoria en m/s2. No obstante es habitual, utilizar dos tipos de sistemas técnicos, el europeo ( en donde la velocidad de giro se expresa en Herzios (Hz=revoluciones/segundo); y el americano (en donde la velocidad de giro se expresa en rpm (revoluciones/minuto), el caudal en gpm (galones / minuto), y en lugar de la energía especifica, se pone la carga en pies; las relaciones entre las distintas velocidades características es:

NsUSA = 2732 NsSI Ns UE = NsSI / 2π = 0,1592 Ns SI NsUSA = 17166 NsUE



20

(3) REGLAS DE SEMEJANZA: si se disponen de dos bombas geométrica y dinámicamente semejantes, y los viscosos son despreciables (por trabajas a Re altos), se tiene que el coeficiente de caudal es el mismo en las dos bombas; y además como los coeficientes de altura y de potencia solo dependen (despreciando efectos viscosos) del coeficiente de caudal, se tiene también las igualdades correspondientes de los coeficientes de altura y de potencia: por similitud geométrica y cinemática: CQ1=CQ2

( ) ( )312

22Q3

11

11Q

D

QC

D

QC

ω==

ω= ⇒

322

2311

1

D

Q

D

Q

ω=

ω [1]

por trabajar a Re muy altos: Cp = Cp(CQ); CH = CH(CQ) y CQ=cte ⇒ Cp1 = Cp2 y CH1 = CH2

( ) ( )52

322

22P5

1311

11P

D

PC

D

PC

ωρ==

ωρ= ⇒

52

322

251

311

1

D

P

D

P

ωρ=

ωρ [2]

( ) ( )222

22H2

11

11H

D

gHC

D

gHC

ω==

ω= ⇒

222

2211

1

D

H

D

H

ω=

ω [3]

Las expresiones [1], [2] y [3], se denomina leyes de semejanza de las bombas. (4). PUNTO DE FUNCIONAMIENTO CON UN AUMENTO DEL 20% DE VELOCIDAD DE GIRO. En este caso, se trata de la misma bomba y la semejanza geométrica es total: en este caso D1=D2. Si lo que varia es la velocidad de giro, el nuevo punto de funcionamiento viene determinado por las leyes de semejanza anteriores: Punto de funcionamiento “1”: N1 = 1450 rpm

Q1=18 L/s; H1=6,8 m; =⋅⋅⋅⋅

=η

ρ=

−

63,08,610188,91000gQHP

3

1 1,904 kW

Punto de funcionamiento “2”: N2 = 1,2 (1450)=1740 rpm

=ω

ω⋅=

ωω

=2

1

1

212

2,118QQ 21,6 L/s

=ω

ω⋅=

ωω

=1

1

1

212

2,18,6HH 8,16 m

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ω

ω⋅=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ωω

=3

13

212 1

2,1904,1

1PP 3,290 kW



21

1.7. Aerodinámica F1: En el nuevo reglamento de F1 para 2009, el alerón delantero podrá tener unas dimensiones máximas de 1400 mm x 500 mm, y el piloto podrá variar su ángulo de ataque ±6º. Con esas restricciones el ingeniero de Aerodinámica de Renault F1 Team, el español Pedro García, ha realizado ensayos en el túnel de viento en Enstone (UK) con el nuevo alerón del R29. En el ensayo a bajos ángulos de ataque, se obtuvieron los resultados que se adjuntan, de fuerzas de sustentación y arrastre en función del ángulo de ataque, para el modelo a escala 1:2; los signos negativos de ángulo de ataque y sustentación, representan que el alerón es una ala invertida: borde de ataque redondeado, borde de estela afilado, extradós (parte superior) cóncavo e intradós (parte inferior) convexo. DETERMINE: 1. Gráficas CL vs α y CD vs α.

2. Potencia de arrastre y fuerza de sustentación a 324 km/h, para el ángulo de ataque óptimo (|CL/CD| máximo) 3. Disminución de la potencia de arrastre, que supone el cambio de ángulo de ataque de -21º a – 15º, a una velocidad de 324 km/h.

DATOS: Modelo: escala 1:2, velocidad ensayo: 108 km/h; Aire ensayo: 1,23 kg/m3.

α -6º -9º -12º -15º -18º -21º -24º -27º -30º

FL(N) -32,93 -83,30 -120,11 -178,23 -206,32 -226,66 -194,69 -188,88 -172,42

FD(N) 4,84 7,75 9,69 13,56 32,93 54,24 64,90 75,55 83,30 (1) GRÁFICAS COEFICIENTES AERODINÁMICOS:

El denominador es constante: 1,23 30 0,175 96,863

En donde, densidad: ρ = 1,23 kg/m3

velocidad: v = (108 km/h)(1000m/km)/(3600 s/h) = 30 m/s área característica: cuerda modelo x envergadura modelo = (1,400/2)·(0,500/2) = 0,175 m2

A partir de la tabla de datos, añadiendo las filas de CL, CD y relación CL/CD se tiene:

α -6º -9º -12º -15º -18º -21º -24º -27º -30º

FL(N) -16,47 -41,65 -60,05 -178,23 -103,16 -113,33 -97,34 -94,44 -86,21

FD(N) 4,84 7,75 9,69 13,56 18,35 24,67 30,45 35,7 40,3

CL -0,170 -0,430 -0,620 -1,840 -1,065 -1,170 -1,005 -0,975 -0,890 CD 0,050 0,080 0,100 0,140 0,189 0,255 0,314 0,369 0,416

|CL/CD| 3,403 5,374 6,197 13,144 5,622 4,594 3,197 2,645 2,139 (2) ÁNGULO DE ATAQUE OPTIMO: para el ángulo de ataque, en donde se tiene simultáneamente mayor sustentación y menor arrastre. En nuestro caso: α = -15º; CD = 0,140; CL = -1,840 (ver tabla). Potencia arrastre a 324 km/h (=324/3,6 = 90 m/s):

90 0,140 1,23 90 1,4 0,5 43,94 Fuerza de sustentación a 324 km/h:

1,840 1,23 90 1,4 0,5 6416,17 (3) POTENCIA DE ARRASTRE: con una velocidad de 324 km/h, el cambio de ángulo de ataque de -21º a -15º, supone el paso de un coeficiente de arrastre de 0,255 a 0,140; con lo que se tiene una potencia extra de:

∆ ∆ 90 0,255 0,140 1,23 90 1,4 0,5 36,09

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Ii.1. analisis dimensional 0809