Modelo lineal genaral eco0

1

Tema 3Primera parte

El Modelo Lineal General: Especificación y estimación

Monia Ben Kaabia

2

1) ESPECIFICACIÓN E INTERPRETACIÓN DEL MLG

2) HIPÓTESIS DEL MODELO.

3) RECTA DE REGRESIÓN MUESTRAL Y POBLACIONAL

4) ESTIMACIÓN POR MCO DE LOS PARÁMETROS DE POSICIÓN.

5) PROPIEDADES DE LOS ESTIMADORES MCO DE LOS PARÁMETROS DE POSICIÓN.

6) PROPIEDADES ALGEBRAICAS DE LA ESTIMACIÓN MCO

7) ESTIMACIÓN MCO DEL PARÁMETRO DE DISPERSIÓN. PROPIEDADES.

8) ESTIMACIÓN DE MÁXIMA VEROSIMILITUD DE LOS PARÁMETROS.

9) BONDAD DE AJUSTE DEL MODELO

10) FORMA FUNCIONAL Y CAMBIO DE ESCALA

INDICE

3

Especificación del Modelo Lineal General (MLG)

Con el MLG se pretende cuantificar una supuesta relación estocástica lineal unidireccional entre una variable Y (Variable endógena o dependiente) y K≥1 variables X1, X2, ,...,Xk(variables explicativas)

Para ello es necesario disponer de una colección de datos o muestra de T observaciones

211

2221212

1211111

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

kTTTT

k

k

xxxy

xxxyxxxy

LMMMM

LL

1- ESPECIFICACIÓN DEL MLG

4

1- ESPECIFICACIÓN DEL MLGEl MLG con (k) variables explicativas y dada una muestra de T observación de cada una de las variables, tiene la siguiente especificación:

T1,2,..,i 2211 =++++= ikikiii uXXXY βββ K

La terminología del MLG es:• Yi: observación i-ésima de la variable endógena o dependientes• X1i, X2i,...,Xki: observaciones i-ésimas de las k variables explicativas o exógenas• ui: i-ésimo valor del término del error o perturbación aleatoria (no observable)• β1, β2, ..., βk, son los parámetros de posición (desconocidos, a estimar)

Por tanto el MLG define una relación:-Lineal entre una variable endógena y k variables explicativas-Estocástica, ya que admite errores de ajuste-Útil para inferir los valores Yi, conociendo los valores de Xji (j=1,2,..,k)

5

1- ESPECIFICACIÓN DEL MLGEl MLG tiene término constante cuando X1i=1 para todo i=1,...,T. En este caso, El MLG con (k-1) variables explicativas y una constante tiene la siguiente especificación:

T1,2,..,i 221 =++++= ikikii uXXY βββ K

β1 es el término constante y β2, β3,...,βk las pendientes del modelo

Muy importante: El MLG es Lineal porque los parámetros que figuran en su lado derecho lo hacen de forma lineal ( a lo sumo,están multiplicados por un término que no depende de ningún parámetro del modelo)

6


• Ejemplos:- Análisis de los determinantes de las ventas anuales de una empresa

tttt uecioGpubventas +++= Pr321 βββ• Venta son las ventas anuales de la empresa en miles de euros

• Gpub son los gatos anuales en publicidad realizados por la empresa en miles de euros

• Precio es el precio de ventas del productos en euros por unidad

- Análisis de los determinantes de los salarios de los trabajadores

iiii uExpEduSalario +++= 321 βββ• Salario del individuo en euros por hora

• Edu es su nivel de educación en años

• Exp es el número de años que lleva trabajando

7

Especificación: representación matricial del MLG

-La información asociada a la variable endógene se almacena en un vector columna Y de tamaño Tx1)

-La información (datos) asociada a las variables explicativas se recoge en una matriz X de tamaño (Txk)

-Las perturbaciones en un vector U de tamaño (Tx1) y los parámetros en un vector B de tamaño (kx1)

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

Ty

yy

YM2

1

1

11

2

222

121

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

kTT

k

k

xx

xxxx

K

MOMM

L

L

U 2

1

2

1

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

Tk u

uu

MM

β

ββ

β


8

1- Especificación: Representación Matricial del MLG

UXY += β

1T 1k k T 1T

2

1

2

1

21

22212

12111

2

1

××××

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

TkkTTT

k

k

T u

uu

xxx

xxxxxx

y

yy

YMM

K

MOMM

L

L

M

β

ββ

(Observaciones Vble. Endógena)

Observaciones en periodo t=1 de todas las variables

Observaciones variable x1

XObservaciones Vbles. Exp.

Parámetros Perturbaciones

9

1- Especificación: MLG con término constante

UXY += β

Y = X β + U

1T1kk T1T1

11

2

1

2

1

2

222

121

2

1

××××

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

TkkTT

k

k

T u

uu

xx

xxxx

y

yy

MMK

MOMMLL

Mβ

ββ

(Observaciones Vble. Endógena)

Observaciones en periodo t=1 de todas las variables

Observaciones variable x1=1 para i=1,...,T

10

1- Especificación: MLG con término constante

obs ventas publicidad precio1 120 8 1002 115 9 1023 130 10 954 142 14 905 148 12 926 144 16 947 165 20 888 160 22 869 175 26 90

10 180 24 86

Ejemplo: ventas de una empresa de aspiradores

tttt uecioGpubventas +++= Pr321 βββTabla de datos para la estimación del modelo

T=1,2,...,10

Especificación en forma matricial

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

180175160165144148142130115120

VENTAS

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

8624190261862218820194161921219014195101

1029110081

X

UXVENTAS += β

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛=

3

2

1

βββ

β

11

1.2- Interpretación gráfica del MLG: Gráfico de nube de puntos

iii uxy ++= 121 ββ i=1,2,..,T

*

* *

*

* *

*

* *

* *

**

*

xi

yi

Pdte = β2

Ord. Origen*

ui

β1

Interpretación de β1

-Gráfica: Ordenada en el origen

Interpretación de β2

- Gráfica: pendiente de la recta de regresión

- Económica: Efecto parcial

- Matemática: Derivada parcial

1- Especificación y interpretación del MLG

12

1-2) Interpretación Económica y matemática del del MLG

Cuando las variables explicativas son continuas (Cuantitativas), los parámetros del MLG pueden interpretarse como:

Matemáticamente: derivadas (parciales) de la variable endógena con respecto a las variables explicativas.

Económicamente: Efecto parcial de las variables explicativas sobre la endógena

iii uxy ++= 110 ββ

i

i

i

i

XY

dxdy

111 Δ

Δ==β

β1 representa la variación absoluta en la variable endógena ante una variación de 1 unidad en la variable X1

13

1.2) Interpretación Económica y matemática del del MLG

Importante. Cuando en el MLG hay mas de una variables explicativas, en la interpretación de los parámetros hay que añadir la coletilla ceteris paribus .

T1,2,..,i 221 =+β++β+β= ikikii uXXY K

βi representa la variación absoluta de la endógena (y) debido a una variación en una unidad de la explicativa (xi), suponiendo que los demás factores en (2) se mantienen constantes.

14

β0: es la constante o el término independiente

β1:mide el cambio absoluto en Y ante un cambio en una unidad en la variable X1, manteniendo X2 constante (efecto ceteris paribus):

β2: mide el cambio en Y ante un cambio en una unidad en la variable X2, manteniendo X1 constante (efecto ceteris paribus)

iiii uxxy +++= 22110 βββ

uxxy Δ+Δ+Δ=Δ 2211 ββ

02 =Δx 11 xy Δ=Δ β

01 =Δx 22 xy Δ=Δ β

1-2) Interpretación Económica y matemática del del MLG

15

Ejemplos del MLG:

iiii uExpLEducSal +β+β+β= 210

β1: mide el efecto ceteris paribus del nivel de educación en el salario percibido. Es decir, representa la variación absoluta en el salario de cualquier trabajador debido a un año adicional de educación, suponiendo que los demás factores se mantienen constantes

β2: mide el efecto ceteris paribus de los años de experiencia en el salario, es decir, representa la variación absoluta en el salario de cualquier trabajador debido a un año adicional de experiencia, suponiendo que los demás factores se mantienen constantes

1-2) Interpretación Económica del del MLG

16

2- Hipótesis del MLG

La especificación completa del MLG no incluye solamente la forma de la relación entre Y y las k variables explicativas;

Sino también la especificación de la distribución de probabilidad de la perturbación así como de la forma en que se han generado los valores de las explicativas

Hace falta establecer una serie de hipótesis básica sobre la parte aleatoria y la parte sistemática del

modelo

17

2- Hipótesis del modelo • Supuesto 1: Muestreo aleatorio:

{(yi, xi1, x2i,…xki); i=1, …, T} muestra aleatoria del modelo poblacional de tamaño T

• Supuesto 2: Ausencia de error de especificación- Lineal- No se omiten variables relevantes- No se incluyen variables irrelevantes

• Supuesto 3: Hipótesis de linealidad en los parámetros. Establece la linealidad en los parámetros en la relación entre la variable endógena y las explicativas. Es decir, en la función de consumo tendremos:

ttt uRC ++= 21 ββ18

2- Hipótesis del modelo • Supuesto 4: Grados de libertad suficientes:Tenemos mucho

mas observaciones en la muestra que parámetros a estimar. Es decir, T-k>0.

• Supuesto 5: Hipótesis de parámetros constantes. Esta hipótesis supone que los parámetros β1, β2, …,βk son constantes en el tiempo

• Supuesto 6. Las variables explicativas son linealmente independientes

Ausencia de multicolinealidad exacta

1)(0||)()(

−′∃⇒

≠′⇒=′⇒=

XXXXkXXrkXr

19

Supuesto 7. Regresores no estocaticos. Esta hipótesis implica que los datos de las variables explicativas son fijos en muestras repetitivas. Es decir:la parte sistemática y aleatoria son independientes:

Cov(X,u)=0Supuesto 8: Hipótesis de convergencia

2- Hipótesis del modelo

xxT TXX

Σ=′

∞→lim Una matriz de constantes

20

2- Hipótesis del modelo Hipótesis referentes a las perturbaciones aleatorias

• Supuesto 9. Esperance cero de las perturbaciones aleatorias: no hay error sistemático

E(U)=0⇒ E(ui)=0 i

T

TT

T

uE

uEuE

u

uu

EUE 0

0

00

)(

)()(

)( 2

1

2

1

1 =

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=×MMM

21


Supuesto 10: Varianza de las perturbaciones aleatorias es constante a lo largo de la muestra: homoscedasticidad:

i )()var( 22 ∀== σii uEuSupuesto 11: Covarianzas nulas entre un par de perturbaciones aleatorias distintas: Ausencia de autocorrelación en todo instante de tiempo

ji 0)(),cov( ≠∀== jiji uuEuu

22

..

xix1=80 x2=100

y if(yi)

Las varianzas de ui en dos niveles distintos de renta familiar, xi , son identicas.

gasto

Caso Homoscedastico

renta

23

.xtx1 x2

y if(yi)

La varianza de ui aumenta con la renta de la familia xi.

gasto

Caso Heteroscedastico

x3

. .

renta

24

2- Hipótesis del modelo Matriz de varianzas y covarianzas del vector de perturbaciones aleatorias

)(

2121

22112

12121

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=′

uuuuu

uuuuuuuuuu

EUUE

TT

T

T

L

MOMM

L

L

Teniendo en cuenta S10+S11

TIUUE 2

2

2

2

00

0000

)( σ

σ

σσ

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=′

L

MOMM

L

L

Las perturbaciones que cumplen ambos supuestos se denominan esféricas matriz de varianzas y covarianzas escalar

25


Supuesto 12. ui se distribuye como una normal

U ~ ),0( 2TIN σ

Nui ≈Teniendo en cuenta: S9+S10+S11+S12

diiN .. ),0( 2σui ~

26


UYEUYEXUEXUXEYE

=⇒+==+=+=

)(-Y)(Y )()()( βββ

),( 2TIXNY σβ≈

Características de la variable endógena bajo el cumplimiento de las hipótesis básicas del MLG

UXY += β-Media y Varianza

Y es un vector de variables aleatoria

- Distribución: teniendo en cuenta en supuesto 12, entonces:

S.9

[ ] TIUUEYEYYEYEYV 2)())())((()( σ=′=′−−=

S5+S7

),0( 2TINU σ≈S.12:

S10+S11

27

3- Recta de regresión poblacional y muetral

Ejemplo: Función de consumo keynesianoEspecificación del modelo econométrico

Yi=β1+β2Xi+ui

E(Yi) = α + β Xi

Cada media E(Yi) es una función de Xi.

diiN .. ),0( 2σui ~

Teniendo en cuenta las hipótesis básicas del MLG:

Esta ecuación se conoce como

la recta de regresión poblacional (RRP).

28

Yi=α+βXi+ui

80 100 120 140 160 180 200 220

++++

++++

++++

++++

++++

++++

++++150

100

50

X

Y

Para cada valor de X existe una distribución de probabilidad completa de valores de Y

29

++++

Y

X

E(Yi)=α+βXi

80 100 120

897765

Distribución de Ydado X=120

Media: E(Yi)

Recta de Regresión Poblacional+

+++

++++

30

Especificacion Estocastica de la RRP

Dado un nivel de renta Xi, el consumo familiar se concentra alrededor del consumo medio de todas las familias con nivel de renta Xi .. Es decir alrededor de su media E(Yi).

La desviacion de un individuo Yi es: ui = Yi - E(Yi)

o Yi = E(Yi) + ui

o Yi = α + β X i+ uiError estocastico o Perturbación aleatoria

31

La RRP es desconocida, al ser desconocidos los valores de α y β. Al estimarlos obtenemos la recta re regresión muestral (RRM):

ii XˆˆY β+α=

Los valores de diferirán de los de Yi. Estas diferencias reciben el nombre de residuos :

iY

iii uYY =−iu

Los residuos pueden considerarse como estimaciones de las perturbaciones

3-RECTA REGRESIÓN MUESTRAL

32

Recta de Regresión Muestral (RRM)

.

..

.

Y4

Y1

Y2

Y3

x1 x2 x3 x4

}

}

{

{

1

2

3

4 Y = α + βX

x

Y

^ ^ ^

E(Y) = α + βX

(RRM)

(RRP)

Diferentes muestras tienen diferentes RRM

u

u

uu

33

RRM:Yi = α + β Xi

o Yi = α + β Xi + ui

o Yi = b1 + b2 Xi + ei

RRP:Yi = α + β Xi + ui

Yi = estimador de Yi (E(Yi)

β y = estimadores de β y α

Residuo

Término delError

^

^ ^^

^ ^ ^

^

^ α 34Relacion entre Y, u y la recta de regresión verdadera.

.

.

Y4

Y1

Y2

Y3

x1 x2 x3 x4

}

}

{

u1

u2

x

Y (RRM)

(RRP)

E(Y2)

u2Y2^

XˆˆY β+α=X)Y(E β+α=

35

4) Estimación MCO de los parámetros de posición

4.1) Introducción

Supongamos que queremos estimar los parámetros de la función de consumo keynesiano:

Yt=β1+β2Xt+utPara ello, se dispone de una muestra de T datos de consumo y renta que se pude representar en un plano Yt y Xt

Gráfico: Nube de puntos real

* * * ** * * * * * *

* **

Yt

Xt

36

Una estimación de los parámetros del modelo se obtiene ajustando una recta a la nube de puntos

* * * ** * * * * * *

* **

Yt

Xt

Recta de ajuste:

tt XY 21ˆˆˆ ββ +=

El objetivo ahora es conseguir una estimación de los parámetros de manera que se cumpla algún criterio de optimización.

¿Qué criterio?

37

1) Un criterio sería minimizar la suma de los residuos cometidos en toda la muestra

2) Minimizar la suma de los residuos en valor absoluto

3) Minimizar la suma de los cuadrados de los residuos

∑ =iuminProblemas: los errores grandes y (+) se pueden compensar con los grandes y (-)

∑ =iumin Dificultad analítica de obtener una solución para

∑ 2ˆmin iu 221 )ˆˆ(min tt xy ββ −−∑

38

El criterio de optimalidad seria obtener una expresión de que minimice la suma de los cuadrados de los residuos

∑ 2ˆmin iu 221 )ˆˆ(min tt xy ββ −−∑

Ventajas:

- Eliminar la compensación de errores por el signo

- Penalizar más los errores grandes que los pequeños

- Llevar a una solución analítica sencilla.

Este criterio de estimación es el más conocido en Este criterio de estimación es el más conocido en Econometría y se denomina MCO (Mínimos Econometría y se denomina MCO (Mínimos

Cuadrados Ordinarios)Cuadrados Ordinarios)

39


kikii xxy β++β+β= ˆˆˆˆ221 K

ikikii uxxy ˆˆˆˆ221 +β++β+β= K

iikikiii yyxxyu ˆˆˆˆˆ221 −=β−−β−β−= K

MCO minimiza la SR= ∑ 2iu

∑ 2iu Sxxy kikii =β−−β−β−∑ 2

221 )ˆˆˆ( Kmin = min

residuos

4-2) Estimación del modelo Lineal General

40

∑ 2iu Sxxy kikii =β−−β−β−∑ 2

221 )ˆˆˆ( Kmin = min

Condiciones de primer orden:Condiciones de primer orden:

0)ˆˆˆ(2

0)ˆˆˆ(2

0)ˆˆˆ(2

221

221122

2211

=β−−β−β−−=β∂

∂

=β−−β−β−−=β∂

∂

=β−−β−β−−=β∂

∂

∑

∑

∑

kikiikik

kikiiii

kikii

xxyxS

xxxyxS

xxyS

K

M

K

K

41

En forma matricial:

βββ ˆˆˆ2ˆˆˆ2 XXYXYYUUui ′′+′′−′=′=∑Min S=

0ˆ22ˆˆˆ

ˆ =β′+′−=β∂

′∂=

β∂

∂ XXYXUUS

β′=′ ˆXXYXSistema de ecuaciones normales: k ecuaciones normales y k incógnitas

Condiciones de primer orden:

42

Una solución, si existe, es el estimado MCO del vector de parámetros β:

YX)XX(ˆ 1 ′′=β −

A Solución única si

B ∞ soluciones si

0≠′XX0=′XX

β′=′ ˆ XXYX

0=′XX Multicolinealidad exacta (Falla S.9)

Supuestos utilizados

-S2. Especificación correcta

-S3. Linealidad en los parámetros

-S4.Grados de libertad suficientes

-S5. parámetros constantes

-S6. No multicolinealidad exacta

43

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

∑∑∑∑∑∑∑

∑∑∑∑∑∑∑∑∑

−

−−2

12

12

132

323

232232

32

kikiikkiiki

kiikikii

i

kiiiiii

kiii

xxxxxxxxxxx

xxxxxxxxx

xxxT

L

LM

MOO

L

L

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

∑

∑∑

kii

ii

i

xy

xyy

M2

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

β

ββ

kˆ

ˆˆ

2

1

M

β′=′ ˆ XXYX

Las k ecuaciones normales bajo la forma matricial


44

1

212

12

132

323

232232

32−

−

−−

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

∑∑∑∑∑∑∑

∑∑∑∑∑∑∑∑∑

kikiikkiiki

kiikikii

i

kiiiiii

kiii

xxxxxxxxxxx

xxxxxxxxx

xxxT

L

LM

MOO

L

L

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

∑

∑∑

kii

ii

i

xy

xyy

M2=

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

kβ

ββ

ˆ

ˆˆ

2

1

M

Expresión matricial del estimador MCO (modelo con término constante)

YX)XX(ˆ 1 ′′=β −


45

4) Estimación MCO de los parámetros de posiciónEjemplo: ventas de una empresa de aspiradores

tttt uecioGpubventas +++= Pr321 βββ

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

135522250531479

180175160165144148142130115120

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛=′

8546514592923145922977161

92316110

8624190261862218820194161921219014195101

1029110081

86908688949290951021002426222016121410981111111111

XX

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛=′

86908688949290951021002426222016121410981111111111

YX

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛=′′=

−

−

135522250531479

8546514592923145922977161

92316110)(ˆ

1

1 YXXXβ

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−−

−−=

3

2

1

ˆˆˆ

46,120,257,247

135522250531479

384926833984592683272129144939845929144941502841

3274641

βββ

46

4) Estimación MCO de los parámetros de posiciónEjemplo: modelo estimado de las ventas de una empresa de aspiradores

tttt uecioGpubventas ˆPr46,122,257,247 +−+=

Interpretación de los resultados- Las ventas esperadas independientemente del precio y los gastos en publicidad son de 247,57 miles de euros

- Si se incrementan los gastos en publicidad en mil euros, manteniendo el precio constante, las ventas se incrementan en 2,2 mil euros

-Si se incrementa el precio en un euro, manteniendo los gastos en publicidad constantes, disminuirán las ventas en 1,46 mil euros

E(ventas)= = 247,57 siendo Gpub = precio=01β

Δventas = *ΔGpub = 2,2*ΔGpub si ΔPrecio=02β

Δventas = *ΔPrecio = -1,46*ΔPrecio si Δgpub=03β

47

4) Estimación MCO de los parámetros de posiciónEjemplo: modelo estimado de las ventas de una empresa de aspiradores

Dependent Variable: VENTASMethod: Least SquaresDate: 03/08/06 Time: 13:19Sample: 2001 2010Included observations: 10========================================================Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. =========================================================C 247.5675 67.35953 3.675315 0.0079PUBLICIDAD 2.203809 0.545412 4.040634 0.0049PRECIO -1.464234 0.648685 -2.257233 0.0586=============================================================

48

5) Propiedades de los estimadores MCO de los parámetros de posición

un vector de variables aleatoriaA) Propiedad en muestras finitas

Los estimadores MCO son ELIO, es decir, lineales, insesgados y óptimos (en el sentido de que cualquier otro estimador lineal e insesgado tiene una matriz de varianzas y covarianzas “mayor”)

Teorema de Gauss Markov

β

49

1) Linealidad de

El estimador MCO de β es una función lineal de las observaciones de la variable endógena Y (Vble aleatoria)

Si Y aumenta al doble, se multiplica por dos.

YAYXXX ′=′′=β −1)(ˆ

β

β

A′ Es una matriz (kxT) de elementos constantes que cumple la siguiente propiedad: IXA =′

TkTkkk

TT

TT

yayaya

yayayayayaya

+++=

+++=

+++=

...ˆ

...ˆ...ˆ

2211

22221212

12121111

β

ββ

M

5) Propiedades de los estimadores MCO de los parámetros de posición

50

2) Insesgadez de

UXXXUXXXXXXX

UXXXXYXXX

′′+=

′′+′′=

+′′=′′=

−

−−

−−

1

11

11

)( )()(

)()()(ˆ

β

β

βββ=β)ˆ(Eβ

5- Propiedades del estimador MCO

Demostración

)()(]ˆ[ 1 UEXXXE ′′+= −ββ

ββ =⇒= ]ˆ[ 0)( EuEsiSupuestos utilizados

-S5. Parámetros constantes

-S7. Las variables explicativas

son deterministas

-S9. E(U)=0


-S5. Parámetros constantes

-S7. Las variables explicativas

son deterministas

-S9. E(U)=0

Sesgo = 0)ˆ( =− ββE

51

3) Óptimos: Mínima varianza

[ ] 12 )())ˆ(ˆ))(ˆ(ˆ()ˆvar( −′=′−−= XXEEE σβββββ

Propiedades del estimador MCO

Matriz de varianzas y covarianzas del estimador MCO

Demostración:

UXXXUXXX

′′=−

′′+=−

−

1

1

)()ˆ()(ˆ

ββ

ββ

[ ][ ]

[ ] 1211

11

)()()( )()(

)ˆ)(ˆ()ˆ(

−−−

−−

′=′′′′=

′′′′=

′−−=

XXXXXUUEXXXXXXUUXXXE

EVar

σ

βββββ


- Todos los utilizados anteriormente anteriores (S5, S6 , S9) +

- S10.

- S11.


- Todos los utilizados anteriormente anteriores (S5, S6 , S9) +

- S10.

- S11.

i )var( 2 ∀= σiuji 0),cov( ≠∀=ji uu

T2I)var( σ=U

52

3) Óptimos: desarrollo de la matriz de varianzas y covarianzas del estimador MCO

12 )()ˆvar( −′= XXσβ

1jh

2hj

1jj

2j )XX()ˆ,ˆcov( y )XX()ˆvar( −− ′σ=ββ′σ=β

Matriz de varianzas y covarinzas


⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

)ˆvar()ˆ,ˆcov()ˆ,ˆcov(

)ˆ,ˆcov()ˆvar()ˆ,ˆcov()ˆ,ˆcov()ˆ,ˆcov()ˆvar(

)ˆ(

21

2212

1211

kkk

k

k

V

βββββ

ββββββββββ

β

LMOMM

L

L

53

3) Optimalidad de Mejor: mínima varianzaEn el sentido de que cualquier otro estimador lineal e insesgadotiene una matriz de varianzas y covarianzas “mayor”

β

CY=β~

[ ] CVarVar =− )ˆ()~( ββC es una matriz semidefinida positiva


ββ =]~[EDado cualquier tal queSe cumple que:

Demostración

54

Demostración

Dado que las estimaciones de los parámetros β por MCO son una combinación lineal de las perturbaciones y las perturbaciones son Normales, entonces las estimaciones se distribuyen como Normales


4- Distribuciones de los estimadores MCO

( )12 )(ˆ −′, Ν XXσββ ∼ Supuestos utilizados

- S5.- Parámetros constantes

- S7.- Variables explicativas son deterministas

- S9+S10+S11+S12.


- S5.- Parámetros constantes

- S7.- Variables explicativas son deterministas

- S9+S10+S11+S12.

)IN(0, T2σU ∼UA

UXXX′+=

′′+= −

βββ

)(ˆ 1

55

Den

sida

d

)ˆ( if β

iii EE βββ == )~()ˆ( iβ

)ˆ( if β

)~( if β

)ˆ( if β)ˆ( if β

Den

sida

d

iiE ββ =)ˆ(iβ

Insesgadez

Eficiencia

Propiedades del estimador MCOInterpretación gráfica de las propiedadesPor tanto, β es un vector determinista, pero su estimador por MCO es un vector de variables aleatorias normales, centradas en el valor que se quiere estimar.

La insesgadez significa que esta muestra probablemente saldrá del entorno del centro de la distribución, que coincide con el verdadero valor.

β

56

CAT.1 Variables explicativas y residuos ortogonales entre si

6. PROPIEDADES ALGEBRAICAS DE LA ESTIMACIÓN MCO

0ˆ0)ˆ( =′⇒=−′ uXYYX

0ˆˆˆˆ ==′ UXUY β

Demostración:

Se deriva del sistema de ecuaciones normales

CAR.2- La variable endógena estimada es ortogonal al residuo

0ˆ =′−′ βXXYX 0)ˆ( =−′ βXYX

∑ =⇒=′ 0uY0uY ii

57

CAR.3. La suma de los residuos MCO es igual a cero:

Si en el modelo hay término constante

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=′

∑

∑∑

0

00

ˆ

ˆˆ

ˆ

ˆˆ111

UX 22

1

21

22221MMM

KMOMM

LL

iki

ii

i

TkTkk

T

ux

uxu

u

uu

xxx

xxx

0ˆ =∑ iu

CAR.4. La media de las variables (endógena estima) y endógena es la misma

0ˆ)ˆ(ˆ =−=−= ∑ ∑∑∑ iiiii yyyyu

YYyy iiˆˆ =⇒=∑ ∑


58

CAR.5. Los residuos son combinación lineal de las perturbaciones aleatorias

En todos los casos

MUUXXXXXUXXUXXYU

=′′−−+=

−+=−=−1)(

ˆ)(ˆˆ

ββ

βββUXXX ′′+= −1)(ˆ ββ

Demostración

MUU =ˆ XXXXIM ′′−= −1)(

Simétrica

Idempotente

Semi-D.P.

CAR.6. Los residuos son combinación lineal de v. endógena

MYU =ˆ

MYYXXXXYXYU =′′−=−= −1)(ˆˆ βYXXX ′′= −1)(βDemostración


59

CAR.7 Los residuos se distribuyen

En todos los casos

),0( 2MN σ


60

Nota- calculo de la suma de los cuadrados de los residuos

YXYYXYXYUUuSR i ′′−′=−′−=′′== ∑ βββ ˆ)ˆ()ˆ(ˆˆ2

βββββ ˆˆ)ˆˆ(ˆˆ XXYYUXXYYYXYYSR ′′−′=+′′−′=′′−′=

YYYYXXYYSR ˆˆˆˆ ′−′=′′−′= βββˆ XY =

0ˆ =′UX

CAR .8 MYYMUUUUSR ′=′=′= ˆˆ

Demostración

MUUMUMUUUMUU ′=′′=′⇒= ˆˆˆ

MYYMYMYUUMYU ′=′′=′⇒= ˆˆˆ


61

22222

2222

ˆˆ'ˆˆ)ˆˆ(

')(

YTYXYTYYYTYYySE

YTYYYTYYyST

ii

ii

−′′=−=−=−=

−=−=−=

∑∑∑∑

βCon T. const YY =ˆ

CAR 9. Si el modelo de regresión tiene término constante, entonces se cumple que:

ST=SE+SRDemostración

YYYYUUSR ˆˆˆ ′−′=′′=

ˆˆˆ ˆˆˆ 22 YTYYUUYTYYYYUUYY −′+′′=−′⇒′+′′=′

Definiciones

Restanto 2YT


62

7) Estimación del parámetro de dispersión y propiedades

7-1) Estimación

kTSR

kTUU

kTu

u ii −

=−′

=−

== ∑ ˆˆˆˆ)var(

22σ

kTMYY

kTMUU

kTYXYY

−′

=−

′=

−′−′

=βσˆ

ˆ 2

63

7-2) Propiedades

A. En muestras finitas:

1) Insesgado

[ ] [ ] [ ] [ ][ ] )()()()(

)()()()ˆˆ(222 kTMtrIMtrUUMEtr

UMUEtrUMUtrEMUUtrEMUUEuuE

T −===′=

′=′=′=′=′

σσσ

22 ˆˆ)ˆ( σσ =⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−′

=kT

UUEE

)()(

ˆˆ)ˆ( 2

kTMUUE

kTMUUE

kTUUEE

−′

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

−′

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−′

=σ

Propiedades de la traza

- tr(escalar)=escalar

- tr(AB)=tr(BA)

- E[tr(A)]=tr(E[A])

- tr(In)=n

kTItrItrXXXXtrItrXXXXtrItrXXXXItrMtr

kTT

TT

−=−=′′−=

′′−=′′−=−

−−

)()())(()(

))(()())(()(1

11

MUUSR ′=

Demostración

64

2) No lineal

3) No ELIO

kTMYY

kTuu

−′

=−′

=σˆˆˆ 2

7-2) PROPIEDADES DEL PRÁMETRO DE DISPERSIÓN

A. EN MUESTRAS FINITAS:

65

)I,0(NX N2σ≈),0(Nx 2

i σ≈

22 r

AXX χσ

≈′

B. PROPIEDADE ASINTÓTICAS:

Teorema: Sea X=(x1,x2,...,xN) un vector de N variables

aleatorias normales independientes con media cero y varianza

constante

Además si tenemos una matriz A simétrica e idempotente de rango r

66

Aplicando este teorema a nuestro caso se obtiene:

),0( 2TINU σ≈

22 kT

MUU−≈

′χ

σ2

2

ˆˆkT

UU−≈

′χ

σ

2kT2

2ˆ)kT(−χ≈

σσ−

A partir de los supuestos s10+s11+s12

kTMrango −=)(

También tenemos una matriz M simétrica idempotente y de rango (T-k)

XXXXIM ′′−= −1)(

Entonces, aplicando el teorema anterior obtendremos:

Demostración:

kTMUU

kTUU

−′

=−′

=ˆˆ

ˆ 2σ

2ˆ)( σkTMUU −=′

67

kT2)ˆvar(

42

−σ

=σ

-Asintóticamente insesgado

-Consistente

0kT

2lim)var(lim4

T

2

T=

−σ

=σ∞→∞→

B. PROPIEDADE ASINTÓTICAS:

Para demostrara la consistencia, tenemos que calcular primero lavarianza:

Demostración:2

kT2

2ˆ)kT(−χ≈

σσ−

Propiedades de

)(2)(

)(2

2

kTVkTE

kT

kT

−=

−=

−

−

χ

χ

)(2)ˆvar()(ˆ)(var 24

2

2

2

kTkTkT−=

−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ − σσσ

σ

68

A modo de resumen, concluimos que el estimador MCO de σ2 es asintóticamente insegado y consistente,

si bien por lo que respecta a las propiedades para muestras finitas solamente podemos afirmar que es

un estimador insesgado

69

Finalmente sustituyendo por su estimador obtenemos los estimadores de las varianzas y covarianzas de los estimadores MCO del vector β:

2σ 2σ

12 )(ˆ)ˆ(ˆ −′= XXV σβ

⎪⎩

⎪⎨⎧

′==

′==⇒ −

−

12ˆ,ˆ

122ˆ

)(ˆ)ˆ,ˆcov(ˆ

)(ˆ)ˆvar(ˆ

ijjiji

jjj

XXXX

j

σββσσβσ

ββ

β

Es un estimador insesgado

70

8- Estimación por Máxima Verosimilitud (MV) de los parámetros

• El método de MV se basa en la función de verosimilitud de la muestra.

• La función MV se define como la probabilidad de que se den las observaciones muestrales.

• Intuitivamente viene a proporcionar la probabilidad de que para unos determinados parámetros de β y σ2 obtengamos una muestra en concreta.

71

8- Estimación por Máxima Verosimilitud (MV) de los parámetros

• El método de MV consiste en encontrar aquellos valores de los parámetros que maximizan la función de verosimilitud, es decir la probabilidad conjunta de las observaciones de la variable endógena

),,,( 2k21 σβββ K

La función de verosimilitud se puede expresar:

),(),...,,( 221 σβ== fyyyfL T

72

• Sabemos que:

• Por tanto la función de densidad conjunta del vector U será:

• Recordar que:

U = Y-Xβ

),0( 2TIN σU∼

( ) ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ′

σ−

πσ= UUUf T 22/2 2

1exp2

1)(

La estimación MV Requiere distribución del error

(1)

73

En la función de verosimilitud (1) sustituyendo el vector U como función de las variables observables obtenemos la función de verosimilitud de la muestra Y:

( ) ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ β−′β−

σ−

πσ=σβ= XYXYYfL T ()(

21exp

21),|( 22/2

2

Los parámetros que maximizan L son los mismos que maximizan Lln=l

)()(2

1)ln(2

)2ln(2

ln 22 ββ

σσπ XYXYTTL −′−−−−==l

Maximizamos lnL con respecto a β y σ2

)2(21)ln(

2)2ln(

2ln 2

2 β′β′+β′−σ

−σ−π−== XXXYYYTTLl

74

[ ]

)()(2

12

)(22

1

422

2

β−′β−σ

+σ

−=σ∂∂

β−′−σ

−=β∂

∂

XYXYT

XYX

l

l

Igualando a cero (1 y 2) y llamamos los estimadores máxima verosimilitud de los parámetros, obtenemos

2~y ~

σβ

2~~~~2

~

σ=β′β′+′β′−′

β′=′

TXXYXYY

XXYX

1

2

3

4

YXXX ′′=β −1)(~

A partir de 3 y 4 la estimación MV de

TXXYXYY β′β′+′β−′

=σ~~~

2~2

β=β ˆ~

Tuu ˆˆ′

= kTuu

−′

=σˆˆˆ 2 22 ~ˆ σ≠σ

Condiciones de primer orden

UXYYYU ˆ~~~ =−=−= β

75

Propiedad de los estimadores MV de los parámetros de posición

Dado que los estimadores MV de β son iguales a los MCO, cumplen las mismas propiedades

Lineales

Insesgados

ÓptimosELIO

Eficientes+

Son los de menor varianza entre todos los estimadores insesgados

Su varianza alcanza el límite inferior de la Cota de Cramer-Rao 76

Propiedad del estimadores MV del parámetros de dispersión

1) Para muestras pequeñas

No ELIO

Tk

TkT

TuuEE

22

22 )()ˆˆ()~( σ

−σ=−σ

=′

=σ

-No lineal:

- Sesgado:

Sesgo negativo: MV infraestima el parámetro de dispersión

TMYY ′

=2~σ

TkESesgo

2222 )~()~( σσσσ −=−=

77

Propiedad del estimadores MV del parámetros de dispersión

2) Propiedad asintóticas

a) Insesgadez asintótica22 )~(lim σσ =

∞→E

T

b) Consistencia

2

42 )(2)~var(

TkT σ−

=σ

0)(2lim)~var(lim 2

42 =

σ−=σ

∞→∞→ TkT

TT

Recordar

Bajo el supuesto de normalidad

2k-T2 χ

σMUU ′

Propiedades de

)(2)(

)(2

2

kTVkTE

kT

kT

−

−=

−

−

χ

χ

∼

78

Análisis de la eficiencia de los estimadores MV:Cota de Cramer-Rao

Para obtener la desigualdad de Cramer-Rao, partimos de la Matriz de Información, que el caso del MLG será

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

σ∂σ∂∂

σ∂β∂∂

σ∂β∂∂

β′∂β∂∂

−=

22

2

2

2

2

22

lnln

lnln

LL

LL

EMI

Cota CR:menor varianza que pueda tener un estimador insesgado

79

A partir de las expresiones de las primeras derivadas de la lnL, obtenemos las segundas derivas:

24

22 ln )σσ

σββ

XXXXLa′

−=′

−=′∂∂

∂

=−′

−=∂∂

∂42

2 )(ln )σ

βσβ

XYXLb

6

2

6422

2

22

)()(12

ln )

σσ

ββσσσσ

UUT

XYXYTLc

′−=

−′−−=∂∂

∂

80

Aplicando la esperanza a cada uno de estos elementos (a,b y c):

2

1

2)( σTuEUUET

ii =⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛=′ ∑

=

22 )()σσ

XXXXEa′

−=′

−

0)()(E ) 444 =′

−=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ′−=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −′−

σσσβ UEXUXEXYXb

46

22

6

2

6

2

222

2)(2

22E )

σσσσ

σσ

σσ TTTUUETUUTc −

=−

=′−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ′−

Demostración

81

Obtenemos la matriz de información:

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

σ

σ′

=4

2

20

0

T

XX

MI

La cota de C-R es la inversa de la matriz de información:

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ ′==

−

−

T

XXMICR 4

12

1 20

0)(σ

σ

82

Denominamos ahora:)(2

)()(

24

12

σσ

βσ

CRT

CRXX

=

=′ −

- Eficiencia del estimador de βTanto los estimadores MV como MCO tienen la varianza mínima que puede alcanzar un estimador insesgado de :

12 )()()~()ˆ( −′=== XXCRVV σβββEficiencia del estimador de σ2

)()(2)~var( 22

42 σσσ CR

TkT

<−

=

)()(

2)ˆvar( 24

2 σσσ CRkT

>−

=

Menor que la cota de Cramer-Rao, pero es sesgado

83

Resumen• Estimación MV • Estimación MCO

YXXX ′′=β −1)(~ YXXX ′′=β −1)(ˆ

β=β ˆ~

TUU ˆˆ~2 ′

=σ

Lineales, Insesgados, Óptimos (ELIO) y eficientesAsintóticamente insesgados y Consistentes

22 ~ˆ σ≠σNo lineal, sesgado yno eficiente

No lineal, Insesgado, no eficiente No ELIO

Asintóticamente insesgados y Consistentes

β~ˆ XYY == UYYYYU ~~ˆˆ =−=−=

kTUU−′

=ˆˆ

ˆ 2σ

84

9. Mediad de ajuste:

DESCOMPOSICIÓN DE LA VARIANZA:

Si entre las variables explicativas se tiene un término constante, La variación muestral de la variable endógena (ST) se puede descomponer en la variación debida a la regresión (SE) (influencia de X2

, X3,...,X

k) y en variación debida

a los residuos (SR):

ST=SE+SR

85

EXPRESIONES:

YXYYUUuSR

YTYXYTYSE

YTYYYTYST

i

i

i

′β′−=′==

−′β′=−=

−=−=

∑∑∑

ˆ'ˆˆ

ˆˆ'

2

222

222

86

El coeficiente de determinación El coeficiente de determinación es una medida del poder explicativo (bondad de ajuste del modelo).

En el MLG con término independiente el R2 puede calcularse:

El mide el porcentaje de la variación de Y que puede atribuirse a las variaciones de todas las explicativas X.

==STSER2

2

2

'

ˆ

YTYYYTYX

−−′β′

22

'ˆ

11YTYY

YXYYSTSRR

−′′−′

−=−= β

R2

87

Yˆ

0y 0

i

2i

2

=⇒

=⇒= ∑Y

R

0u 1 2i

2 =⇒= ∑R

El aumenta de valor al aumentar el número de regresoressean estos relevantes o no. Para eliminar este fenómeno se define el ajustado de grados de libertad”

Características:

10 2 ≤≤ R

R2

R2

88

El Coeficiente de determinación corregido )( 2R

1/)(/ˆˆ

11/

/1 22

−−′−′

−=−

−−=

TYTYYKTuu

TSTKTSRR

)1(11 22 RKT

TR −−−

−=

89

2) si k ↑ y las variables son muy explicativas SR ↓

T-k↓

SR

T-k↓

3) 4) si k=15) el puede tomar valores negativos

↓⇒↑−− 2R

1//TST

kTSR

Características

1) si k ↑ y las variables sonpocas explica

22 RR ≤22 RR =

2R

↑⇒↓−− 2R

1//TST

kTSR

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Modelo lineal genaral eco0