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Rentas financieras

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La importancia de este tema (y los siguientes del mismo concepto) es incuestionable, pues gran parte de las matemáticas financieras suponen la aplicación de uno u otro modo, de la teoría de las rentas. Nos centraremos inicialmente en saber distinguir los distintos tipos de rentas, para posteriormente comenzar con las rentas unitarias (base para gran cantidad de cálculos financieros) y rentas constantes, en cualquiera de sus modalidades. El objetivo es distinguir los elementos que intervienen en una renta financiera, clasificar cualquier renta financiera, calcular el valor actual y final de una renta unitaria en cualquiera de los planteamientos posibles (temporal, perpetua, inmediata, diferida, anticipada, pospagable, prepagable) y calcular el valor actual y final de una renta constante en cualquiera de los planteamientos posibles.

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  • 1. Contenido Introduccin Concepto de renta Clasicacin de las rentas Valor capital o nanciero de una renta Renta inmediata, pospagable y temporal Renta inmediata, prepagable y temporal Rentas perpetuas Rentas diferidas en d perodos de rdito constante Rentas anticipadas en h perodos de rdito constante Determinacin de n e i en las rentas unitarias de rdito constante Gestin Financiera Gestin Financiera. 5 > Rentas nancieras Juan Carlos Mira Navarro Juan Carlos Mira Navarro 1 / 57 Gestin Financiera. 5 > Rentas nancieras

2. Contenido Introduccin Concepto de renta Clasicacin de las rentas Valor capital o nanciero de una renta Renta inmediata, pospagable y temporal Renta inmediata, prepagable y temporal Rentas perpetuas Rentas diferidas en d perodos de rdito constante Rentas anticipadas en h perodos de rdito constante Determinacin de n e i en las rentas unitarias de rdito constante Gestin Financiera 1 Introduccin 2 Concepto de renta 3 Clasicacin de las rentas 4 Valor capital o nanciero de una renta 5 Renta inmediata, pospagable y temporal Valor actual Valor nal 6 Renta inmediata, prepagable y temporal Valor actual Valor nal 7 Rentas perpetuas Valor actual 8 Rentas diferidas en d perodos de rdito constante 9 Rentas anticipadas en h perodos de rdito constante 10 Determinacin de n e i en las rentas unitarias de rdito constante 11 Gestin Financiera Juan Carlos Mira Navarro 2 / 57 Gestin Financiera. 5 > Rentas nancieras 3. Contenido Introduccin Concepto de renta Clasicacin de las rentas Valor capital o nanciero de una renta Renta inmediata, pospagable y temporal Renta inmediata, prepagable y temporal Rentas perpetuas Rentas diferidas en d perodos de rdito constante Rentas anticipadas en h perodos de rdito constante Determinacin de n e i en las rentas unitarias de rdito constante Gestin Financiera 1 Introduccin 2 Concepto de renta 3 Clasicacin de las rentas 4 Valor capital o nanciero de una renta 5 Renta inmediata, pospagable y temporal Valor actual Valor nal 6 Renta inmediata, prepagable y temporal Valor actual Valor nal 7 Rentas perpetuas Valor actual 8 Rentas diferidas en d perodos de rdito constante 9 Rentas anticipadas en h perodos de rdito constante 10 Determinacin de n e i en las rentas unitarias de rdito constante 11 Gestin Financiera Juan Carlos Mira Navarro 3 / 57 Gestin Financiera. 5 > Rentas nancieras 4. Contenido Introduccin Concepto de renta Clasicacin de las rentas Valor capital o nanciero de una renta Renta inmediata, pospagable y temporal Renta inmediata, prepagable y temporal Rentas perpetuas Rentas diferidas en d perodos de rdito constante Rentas anticipadas en h perodos de rdito constante Determinacin de n e i en las rentas unitarias de rdito constante Gestin Financiera Podemos establecer estas cinco variables: n i V0 C Vn Juan Carlos Mira Navarro 4 / 57 Gestin Financiera. 5 > Rentas nancieras 5. Contenido Introduccin Concepto de renta Clasicacin de las rentas Valor capital o nanciero de una renta Renta inmediata, pospagable y temporal Renta inmediata, prepagable y temporal Rentas perpetuas Rentas diferidas en d perodos de rdito constante Rentas anticipadas en h perodos de rdito constante Determinacin de n e i en las rentas unitarias de rdito constante Gestin Financiera Podemos establecer estas cinco variables: n i V0 C Vn Las variables a considerar, son: n = nmero de perodos, tiempo. Tiempo transcurrido, i = tasa o tipo de inters. Remuneracin al capital, V0 = valor actual o capital inicial, Capital impuesto, o Capital recibido, C = Pago, o Aportacin, Vn = valor nal o montante de la operacin, Capital obtenido, o Capital a devolver. n e i, han de estar referidos a la misma unidad de tiempo. Juan Carlos Mira Navarro 4 / 57 Gestin Financiera. 5 > Rentas nancieras 6. Contenido Introduccin Concepto de renta Clasicacin de las rentas Valor capital o nanciero de una renta Renta inmediata, pospagable y temporal Renta inmediata, prepagable y temporal Rentas perpetuas Rentas diferidas en d perodos de rdito constante Rentas anticipadas en h perodos de rdito constante Determinacin de n e i en las rentas unitarias de rdito constante Gestin Financiera Podemos establecer estas cinco variables: n i V0 C Vn Las variables a considerar, son: n = nmero de perodos, tiempo. Tiempo transcurrido, i = tasa o tipo de inters. Remuneracin al capital, V0 = valor actual o capital inicial, Capital impuesto, o Capital recibido, C = Pago, o Aportacin, Vn = valor nal o montante de la operacin, Capital obtenido, o Capital a devolver. n e i, han de estar referidos a la misma unidad de tiempo. Versin imprimible Juan Carlos Mira Navarro 4 / 57 Gestin Financiera. 5 > Rentas nancieras 7. Contenido Introduccin Concepto de renta Clasicacin de las rentas Valor capital o nanciero de una renta Renta inmediata, pospagable y temporal Renta inmediata, prepagable y temporal Rentas perpetuas Rentas diferidas en d perodos de rdito constante Rentas anticipadas en h perodos de rdito constante Determinacin de n e i en las rentas unitarias de rdito constante Gestin Financiera 1 Introduccin 2 Concepto de renta 3 Clasicacin de las rentas 4 Valor capital o nanciero de una renta 5 Renta inmediata, pospagable y temporal Valor actual Valor nal 6 Renta inmediata, prepagable y temporal Valor actual Valor nal 7 Rentas perpetuas Valor actual 8 Rentas diferidas en d perodos de rdito constante 9 Rentas anticipadas en h perodos de rdito constante 10 Determinacin de n e i en las rentas unitarias de rdito constante 11 Gestin Financiera Juan Carlos Mira Navarro 5 / 57 Gestin Financiera. 5 > Rentas nancieras 8. Contenido Introduccin Concepto de renta Clasicacin de las rentas Valor capital o nanciero de una renta Renta inmediata, pospagable y temporal Renta inmediata, prepagable y temporal Rentas perpetuas Rentas diferidas en d perodos de rdito constante Rentas anticipadas en h perodos de rdito constante Determinacin de n e i en las rentas unitarias de rdito constante Gestin Financiera En el lenguaje corriente, renta es una sucesin de cobros o pagos peridicos, que tienen el carcter de rendimiento de un capital (como la rentabilidad o alquiler de un inmueble, las amortizaciones de un prstamo, las aportaciones a un plan de pensiones, . . . ); en matemtica nanciera, el concepto es muy amplio y corresponde a un conjunto de prestaciones (monetarias) con vencimientos diversos. A cada una de las prestaciones se le llama plazo o trmino de la renta, y llamaremos perodo al espacio de tiempo (generalmente un ao) que hay entre dos prestaciones consecutivas. Juan Carlos Mira Navarro 6 / 57 Gestin Financiera. 5 > Rentas nancieras 9. Contenido Introduccin Concepto de renta Clasicacin de las rentas Valor capital o nanciero de una renta Renta inmediata, pospagable y temporal Renta inmediata, prepagable y temporal Rentas perpetuas Rentas diferidas en d perodos de rdito constante Rentas anticipadas en h perodos de rdito constante Determinacin de n e i en las rentas unitarias de rdito constante Gestin Financiera En el lenguaje corriente, renta es una sucesin de cobros o pagos peridicos, que tienen el carcter de rendimiento de un capital (como la rentabilidad o alquiler de un inmueble, las amortizaciones de un prstamo, las aportaciones a un plan de pensiones, . . . ); en matemtica nanciera, el concepto es muy amplio y corresponde a un conjunto de prestaciones (monetarias) con vencimientos diversos. A cada una de las prestaciones se le llama plazo o trmino de la renta, y llamaremos perodo al espacio de tiempo (generalmente un ao) que hay entre dos prestaciones consecutivas. En cuanto al origen y duracin de la renta, tienen un signicado claro cuando la renta es contnua o peridica; origen es entonces la fecha de comienzo de las prestaciones y duracin es el intervalo entre el principio y el nal de las prestaciones. Juan Carlos Mira Navarro 6 / 57 Gestin Financiera. 5 > Rentas nancieras 10. Contenido Introduccin Concepto de renta Clasicacin de las rentas Valor capital o nanciero de una renta Renta inmediata, pospagable y temporal Renta inmediata, prepagable y temporal Rentas perpetuas Rentas diferidas en d perodos de rdito constante Rentas anticipadas en h perodos de rdito constante Determinacin de n e i en las rentas unitarias de rdito constante Gestin Financiera En relacin con el objeto de las rentas, ste est intimamente ligado al de su valoracin, se trata pues de encontrar un valor de la renta en un momento determinado del tiempo. De esta forma se puede determinar: el valor nal en un momento cualquiera no anterior al vencimiento del ltimo trmino, el valor actual en cualquier momento no posterior al vencimiento del primer trmino y eventualmente el valor en un momento intermedio entre el primer y ltimo vencimiento. El clculo del valor nal requiere jar una ley de inters, habitualmente, al tratarse de operaciones a ms de un ao, sta ser la del inters compuesto; el clculo del valor actual requiere utilizar una ley de descuento, normalmente aplicaremos la del descuento racional compuesto; por ltimo el clculo del valor en un momento intermedio requiere precisar ambas leyes y emplearemos la del inters y el descuento racional compuesto. Juan Carlos Mira Navarro 7 / 57 Gestin Financiera. 5 > Rentas nancieras 11. Contenido Introduccin Concepto de renta Clasicacin de las rentas Valor capital o nanciero de una renta Renta inmediata, pospagable y temporal Renta inmediata, prepagable y temporal Rentas perpetuas Rentas diferidas en d perodos de rdito constante Rentas anticipadas en h perodos de rdito constante Determinacin de n e i en las rentas unitarias de rdito constante Gestin Financiera 1 Introduccin 2 Concepto de renta 3 Clasicacin de las rentas 4 Valor capital o nanciero de una renta 5 Renta inmediata, pospagable y temporal Valor actual Valor nal 6 Renta inmediata, prepagable y temporal Valor actual Valor nal 7 Rentas perpetuas Valor actual 8 Rentas diferidas en d perodos de rdito constante 9 Rentas anticipadas en h perodos de rdito constante 10 Determinacin de n e i en las rentas unitarias de rdito constante 11 Gestin Financiera Juan Carlos Mira Navarro 8 / 57 Gestin Financiera. 5 > Rentas nancieras 12. Contenido Introduccin Concepto de renta Clasicacin de las rentas Valor capital o nanciero de una renta Renta inmediata, pospagable y temporal Renta inmediata, prepagable y temporal Rentas perpetuas Rentas diferidas en d perodos de rdito constante Rentas anticipadas en h perodos de rdito constante Determinacin de n e i en las rentas unitarias de rdito constante Gestin Financiera Dada la gran aplicacin de las rentas a problemas econmicos reales se hace preciso su estudio segn la clasicacin y terminologa clsica. Por ello, clasicaremos las rentas en los siguientes grupos: Cuando las variables que intervienen en la denicin de la renta se suponen conocidas con certeza, se la denomina renta cierta, empleando el trmino renta aleatoria cuando alguna de las variables depende del resultado de un fenmeno aleatorio. Juan Carlos Mira Navarro 9 / 57 Gestin Financiera. 5 > Rentas nancieras 13. Contenido Introduccin Concepto de renta Clasicacin de las rentas Valor capital o nanciero de una renta Renta inmediata, pospagable y temporal Renta inmediata, prepagable y temporal Rentas perpetuas Rentas diferidas en d perodos de rdito constante Rentas anticipadas en h perodos de rdito constante Determinacin de n e i en las rentas unitarias de rdito constante Gestin Financiera Dada la gran aplicacin de las rentas a problemas econmicos reales se hace preciso su estudio segn la clasicacin y terminologa clsica. Por ello, clasicaremos las rentas en los siguientes grupos: Cuando las variables que intervienen en la denicin de la renta se suponen conocidas con certeza, se la denomina renta cierta, empleando el trmino renta aleatoria cuando alguna de las variables depende del resultado de un fenmeno aleatorio. Otra clasicacin es la que distingue las rentas segn la amplitud de sus perodos de maduracin. Cuando todos los perodos de renta, son de amplitud nita la renta se denomina discreta y se da el nombre de renta continua a aquellas en las que todos los perodos son innitesimales. Las rentas discretas, tambin llamadas de perodo uniforme, reciben en particular los nombres de anual, semestral, mensual, bianual, . . . en correspondencia con la medida del perodo. Juan Carlos Mira Navarro 9 / 57 Gestin Financiera. 5 > Rentas nancieras 14. Contenido Introduccin Concepto de renta Clasicacin de las rentas Valor capital o nanciero de una renta Renta inmediata, pospagable y temporal Renta inmediata, prepagable y temporal Rentas perpetuas Rentas diferidas en d perodos de rdito constante Rentas anticipadas en h perodos de rdito constante Determinacin de n e i en las rentas unitarias de rdito constante Gestin Financiera Atendiendo a la cuanta de los trminos, las rentas discretas se clasican en constantes y variables. Dentro de las constantes, se encuentran las rentas unitarias, que son aquellas en las que todos los trminos tienen de cuanta la unidad. Juan Carlos Mira Navarro 10 / 57 Gestin Financiera. 5 > Rentas nancieras 15. Contenido Introduccin Concepto de renta Clasicacin de las rentas Valor capital o nanciero de una renta Renta inmediata, pospagable y temporal Renta inmediata, prepagable y temporal Rentas perpetuas Rentas diferidas en d perodos de rdito constante Rentas anticipadas en h perodos de rdito constante Determinacin de n e i en las rentas unitarias de rdito constante Gestin Financiera Atendiendo a la cuanta de los trminos, las rentas discretas se clasican en constantes y variables. Dentro de las constantes, se encuentran las rentas unitarias, que son aquellas en las que todos los trminos tienen de cuanta la unidad. Teniendo en cuenta el vencimiento de los trminos, clasicaremos las rentas en: rentas prepagables, cuando todos los vencimientos coincidan con el extremo inferior del correspondiente perodo y rentas pospagables o rentas con vencimiento de los trminos al nal de su correspondiente perodo. Juan Carlos Mira Navarro 10 / 57 Gestin Financiera. 5 > Rentas nancieras 16. Contenido Introduccin Concepto de renta Clasicacin de las rentas Valor capital o nanciero de una renta Renta inmediata, pospagable y temporal Renta inmediata, prepagable y temporal Rentas perpetuas Rentas diferidas en d perodos de rdito constante Rentas anticipadas en h perodos de rdito constante Determinacin de n e i en las rentas unitarias de rdito constante Gestin Financiera Atendiendo a la cuanta de los trminos, las rentas discretas se clasican en constantes y variables. Dentro de las constantes, se encuentran las rentas unitarias, que son aquellas en las que todos los trminos tienen de cuanta la unidad. Teniendo en cuenta el vencimiento de los trminos, clasicaremos las rentas en: rentas prepagables, cuando todos los vencimientos coincidan con el extremo inferior del correspondiente perodo y rentas pospagables o rentas con vencimiento de los trminos al nal de su correspondiente perodo. Juan Carlos Mira Navarro 10 / 57 Gestin Financiera. 5 > Rentas nancieras 17. Contenido Introduccin Concepto de renta Clasicacin de las rentas Valor capital o nanciero de una renta Renta inmediata, pospagable y temporal Renta inmediata, prepagable y temporal Rentas perpetuas Rentas diferidas en d perodos de rdito constante Rentas anticipadas en h perodos de rdito constante Determinacin de n e i en las rentas unitarias de rdito constante Gestin Financiera Atendiendo a la cuanta de los trminos, las rentas discretas se clasican en constantes y variables. Dentro de las constantes, se encuentran las rentas unitarias, que son aquellas en las que todos los trminos tienen de cuanta la unidad. Teniendo en cuenta el vencimiento de los trminos, clasicaremos las rentas en: rentas prepagables, cuando todos los vencimientos coincidan con el extremo inferior del correspondiente perodo y rentas pospagables o rentas con vencimiento de los trminos al nal de su correspondiente perodo. En las rentas prepagables el origen de la renta coincide con el vencimiento del primer trmino, mientras que el nal de la renta ser posterior al ltimo vencimiento y por el contrario, en las rentas pospagables, el origen es anterior al vencimiento del primer capital y, sin embargo, el nal coincide con el vencimiento del ltimo trmino. Juan Carlos Mira Navarro 10 / 57 Gestin Financiera. 5 > Rentas nancieras 18. Contenido Introduccin Concepto de renta Clasicacin de las rentas Valor capital o nanciero de una renta Renta inmediata, pospagable y temporal Renta inmediata, prepagable y temporal Rentas perpetuas Rentas diferidas en d perodos de rdito constante Rentas anticipadas en h perodos de rdito constante Determinacin de n e i en las rentas unitarias de rdito constante Gestin Financiera Atendiendo a la cuanta de los trminos, las rentas discretas se clasican en constantes y variables. Dentro de las constantes, se encuentran las rentas unitarias, que son aquellas en las que todos los trminos tienen de cuanta la unidad. Teniendo en cuenta el vencimiento de los trminos, clasicaremos las rentas en: rentas prepagables, cuando todos los vencimientos coincidan con el extremo inferior del correspondiente perodo y rentas pospagables o rentas con vencimiento de los trminos al nal de su correspondiente perodo. En las rentas prepagables el origen de la renta coincide con el vencimiento del primer trmino, mientras que el nal de la renta ser posterior al ltimo vencimiento y por el contrario, en las rentas pospagables, el origen es anterior al vencimiento del primer capital y, sin embargo, el nal coincide con el vencimiento del ltimo trmino. Un ejemplo de renta prepagable seran los alquileres, que en general se pagan por anticipado. Como ejemplo de pospagable, los sueldos, que suelen cobrarse a perodo vencido. Juan Carlos Mira Navarro 10 / 57 Gestin Financiera. 5 > Rentas nancieras 19. Contenido Introduccin Concepto de renta Clasicacin de las rentas Valor capital o nanciero de una renta Renta inmediata, pospagable y temporal Renta inmediata, prepagable y temporal Rentas perpetuas Rentas diferidas en d perodos de rdito constante Rentas anticipadas en h perodos de rdito constante Determinacin de n e i en las rentas unitarias de rdito constante Gestin Financiera Segn que la duracin de la renta sea nita o innita, sta recibir el calicativo de renta temporal o renta perpetua respectivamente. Juan Carlos Mira Navarro 11 / 57 Gestin Financiera. 5 > Rentas nancieras 20. Contenido Introduccin Concepto de renta Clasicacin de las rentas Valor capital o nanciero de una renta Renta inmediata, pospagable y temporal Renta inmediata, prepagable y temporal Rentas perpetuas Rentas diferidas en d perodos de rdito constante Rentas anticipadas en h perodos de rdito constante Determinacin de n e i en las rentas unitarias de rdito constante Gestin Financiera Segn que la duracin de la renta sea nita o innita, sta recibir el calicativo de renta temporal o renta perpetua respectivamente. La posicin del punto de valoracin de la renta, respecto al origen o nal de la misma, proporciona otro criterio de clasicacin. As para < t0, se dice que la renta est diferida en d = t0 , para > tn que est anticipada en h = tn; y recibe el nombre de renta inmediata cuando coincide con el origen o nal de la renta. Juan Carlos Mira Navarro 11 / 57 Gestin Financiera. 5 > Rentas nancieras 21. Contenido Introduccin Concepto de renta Clasicacin de las rentas Valor capital o nanciero de una renta Renta inmediata, pospagable y temporal Renta inmediata, prepagable y temporal Rentas perpetuas Rentas diferidas en d perodos de rdito constante Rentas anticipadas en h perodos de rdito constante Determinacin de n e i en las rentas unitarias de rdito constante Gestin Financiera Segn que la duracin de la renta sea nita o innita, sta recibir el calicativo de renta temporal o renta perpetua respectivamente. La posicin del punto de valoracin de la renta, respecto al origen o nal de la misma, proporciona otro criterio de clasicacin. As para < t0, se dice que la renta est diferida en d = t0 , para > tn que est anticipada en h = tn; y recibe el nombre de renta inmediata cuando coincide con el origen o nal de la renta. Finalmente, segn el tipo de sistema nanciero con el que se valores, se puede hablar de: rentas valoradas en capitalizacin compuesta, rentas valoradas en capitalizacin simple, . . . Juan Carlos Mira Navarro 11 / 57 Gestin Financiera. 5 > Rentas nancieras 22. Contenido Introduccin Concepto de renta Clasicacin de las rentas Valor capital o nanciero de una renta Renta inmediata, pospagable y temporal Renta inmediata, prepagable y temporal Rentas perpetuas Rentas diferidas en d perodos de rdito constante Rentas anticipadas en h perodos de rdito constante Determinacin de n e i en las rentas unitarias de rdito constante Gestin Financiera 1 Introduccin 2 Concepto de renta 3 Clasicacin de las rentas 4 Valor capital o nanciero de una renta 5 Renta inmediata, pospagable y temporal Valor actual Valor nal 6 Renta inmediata, prepagable y temporal Valor actual Valor nal 7 Rentas perpetuas Valor actual 8 Rentas diferidas en d perodos de rdito constante 9 Rentas anticipadas en h perodos de rdito constante 10 Determinacin de n e i en las rentas unitarias de rdito constante 11 Gestin Financiera Juan Carlos Mira Navarro 12 / 57 Gestin Financiera. 5 > Rentas nancieras 23. Contenido Introduccin Concepto de renta Clasicacin de las rentas Valor capital o nanciero de una renta Renta inmediata, pospagable y temporal Renta inmediata, prepagable y temporal Rentas perpetuas Rentas diferidas en d perodos de rdito constante Rentas anticipadas en h perodos de rdito constante Determinacin de n e i en las rentas unitarias de rdito constante Gestin Financiera En trminos generales, se entiende por valor capital de una renta en un determinado momento al valor nanciero de la distribucin de capital que la dene. En particular resulta interesante la determinacin del valor capital o nanciero de las rentas en su origen t0 y en su nal tn. Valores que reciben los nombres especcos de valor inicial o actual y valor nal de la renta respectivamente. Grcamente el valor actual de una renta sera, t0 C3 t3 C6 t6 Juan Carlos Mira Navarro 13 / 57 Gestin Financiera. 5 > Rentas nancieras 24. Contenido Introduccin Concepto de renta Clasicacin de las rentas Valor capital o nanciero de una renta Renta inmediata, pospagable y temporal Renta inmediata, prepagable y temporal Rentas perpetuas Rentas diferidas en d perodos de rdito constante Rentas anticipadas en h perodos de rdito constante Determinacin de n e i en las rentas unitarias de rdito constante Gestin Financiera En trminos generales, se entiende por valor capital de una renta en un determinado momento al valor nanciero de la distribucin de capital que la dene. En particular resulta interesante la determinacin del valor capital o nanciero de las rentas en su origen t0 y en su nal tn. Valores que reciben los nombres especcos de valor inicial o actual y valor nal de la renta respectivamente. Grcamente el valor actual de una renta sera, t0 C3 t3 C6 t6 C3 0 Juan Carlos Mira Navarro 13 / 57 Gestin Financiera. 5 > Rentas nancieras 25. Contenido Introduccin Concepto de renta Clasicacin de las rentas Valor capital o nanciero de una renta Renta inmediata, pospagable y temporal Renta inmediata, prepagable y temporal Rentas perpetuas Rentas diferidas en d perodos de rdito constante Rentas anticipadas en h perodos de rdito constante Determinacin de n e i en las rentas unitarias de rdito constante Gestin Financiera En trminos generales, se entiende por valor capital de una renta en un determinado momento al valor nanciero de la distribucin de capital que la dene. En particular resulta interesante la determinacin del valor capital o nanciero de las rentas en su origen t0 y en su nal tn. Valores que reciben los nombres especcos de valor inicial o actual y valor nal de la renta respectivamente. Grcamente el valor actual de una renta sera, t0 C3 t3 C6 t6 C3 0 C6 0 Juan Carlos Mira Navarro 13 / 57 Gestin Financiera. 5 > Rentas nancieras 26. Contenido Introduccin Concepto de renta Clasicacin de las rentas Valor capital o nanciero de una renta Renta inmediata, pospagable y temporal Renta inmediata, prepagable y temporal Rentas perpetuas Rentas diferidas en d perodos de rdito constante Rentas anticipadas en h perodos de rdito constante Determinacin de n e i en las rentas unitarias de rdito constante Gestin Financiera En trminos generales, se entiende por valor capital de una renta en un determinado momento al valor nanciero de la distribucin de capital que la dene. En particular resulta interesante la determinacin del valor capital o nanciero de las rentas en su origen t0 y en su nal tn. Valores que reciben los nombres especcos de valor inicial o actual y valor nal de la renta respectivamente. Grcamente el valor actual de una renta sera, t0 C3 t3 C6 t6 C3 0 C6 0 C3 0 + C6 0 Figura: Valor actual de una renta nanciera Juan Carlos Mira Navarro 13 / 57 Gestin Financiera. 5 > Rentas nancieras 27. Contenido Introduccin Concepto de renta Clasicacin de las rentas Valor capital o nanciero de una renta Renta inmediata, pospagable y temporal Renta inmediata, prepagable y temporal Rentas perpetuas Rentas diferidas en d perodos de rdito constante Rentas anticipadas en h perodos de rdito constante Determinacin de n e i en las rentas unitarias de rdito constante Gestin Financiera Adems, verica las propiedades: respecto al punto de valoracin, las rentas, pueden ser valoradas en cualquier punto. Juan Carlos Mira Navarro 14 / 57 Gestin Financiera. 5 > Rentas nancieras 28. Contenido Introduccin Concepto de renta Clasicacin de las rentas Valor capital o nanciero de una renta Renta inmediata, pospagable y temporal Renta inmediata, prepagable y temporal Rentas perpetuas Rentas diferidas en d perodos de rdito constante Rentas anticipadas en h perodos de rdito constante Determinacin de n e i en las rentas unitarias de rdito constante Gestin Financiera Adems, verica las propiedades: respecto al punto de valoracin, las rentas, pueden ser valoradas en cualquier punto. propiedad asociativa, por la que dos o ms rentas pueden ser sustituidas por una nica equivalente a las anteriores. Juan Carlos Mira Navarro 14 / 57 Gestin Financiera. 5 > Rentas nancieras 29. Contenido Introduccin Concepto de renta Clasicacin de las rentas Valor capital o nanciero de una renta Renta inmediata, pospagable y temporal Renta inmediata, prepagable y temporal Rentas perpetuas Rentas diferidas en d perodos de rdito constante Rentas anticipadas en h perodos de rdito constante Determinacin de n e i en las rentas unitarias de rdito constante Gestin Financiera Adems, verica las propiedades: respecto al punto de valoracin, las rentas, pueden ser valoradas en cualquier punto. propiedad asociativa, por la que dos o ms rentas pueden ser sustituidas por una nica equivalente a las anteriores. propiedad disociativa, por la que una renta puede ser desdoblada y obtener varias rentas equivalentes a la original. Juan Carlos Mira Navarro 14 / 57 Gestin Financiera. 5 > Rentas nancieras 30. Contenido Introduccin Concepto de renta Clasicacin de las rentas Valor capital o nanciero de una renta Renta inmediata, pospagable y temporal Renta inmediata, prepagable y temporal Rentas perpetuas Rentas diferidas en d perodos de rdito constante Rentas anticipadas en h perodos de rdito constante Determinacin de n e i en las rentas unitarias de rdito constante Gestin Financiera Valor actual Valor nal 1 Introduccin 2 Concepto de renta 3 Clasicacin de las rentas 4 Valor capital o nanciero de una renta 5 Renta inmediata, pospagable y temporal Valor actual Valor nal 6 Renta inmediata, prepagable y temporal Valor actual Valor nal 7 Rentas perpetuas Valor actual 8 Rentas diferidas en d perodos de rdito constante 9 Rentas anticipadas en h perodos de rdito constante 10 Determinacin de n e i en las rentas unitarias de rdito constante 11 Gestin Financiera Juan Carlos Mira Navarro 15 / 57 Gestin Financiera. 5 > Rentas nancieras 31. Contenido Introduccin Concepto de renta Clasicacin de las rentas Valor capital o nanciero de una renta Renta inmediata, pospagable y temporal Renta inmediata, prepagable y temporal Rentas perpetuas Rentas diferidas en d perodos de rdito constante Rentas anticipadas en h perodos de rdito constante Determinacin de n e i en las rentas unitarias de rdito constante Gestin Financiera Valor actual Valor nal Estudiaremos inicialmente las rentas constantes inmediatas que clasicaremos segn su vencimiento en pospagables y prepagables y dentro de estos en temporales y perpetuas. A este n, stas, son las ms sencillas con valores nancieros de fcil tabulacin. Expresaremos las dems en funcin de las primeras. Al valor actual de una renta constante temporal, inmediata, pospagable de trmino 1 (unitaria), lo designaremos por an i , en el que n expresa su duracin en perodos y el subndice i el tipo de inters peridico a que se evala. Juan Carlos Mira Navarro 16 / 57 Gestin Financiera. 5 > Rentas nancieras 32. Contenido Introduccin Concepto de renta Clasicacin de las rentas Valor capital o nanciero de una renta Renta inmediata, pospagable y temporal Renta inmediata, prepagable y temporal Rentas perpetuas Rentas diferidas en d perodos de rdito constante Rentas anticipadas en h perodos de rdito constante Determinacin de n e i en las rentas unitarias de rdito constante Gestin Financiera Valor actual Valor nal Grcamente, 1 1 1 1 0 1 2 n 1 n Juan Carlos Mira Navarro 17 / 57 Gestin Financiera. 5 > Rentas nancieras 33. Contenido Introduccin Concepto de renta Clasicacin de las rentas Valor capital o nanciero de una renta Renta inmediata, pospagable y temporal Renta inmediata, prepagable y temporal Rentas perpetuas Rentas diferidas en d perodos de rdito constante Rentas anticipadas en h perodos de rdito constante Determinacin de n e i en las rentas unitarias de rdito constante Gestin Financiera Valor actual Valor nal Grcamente, 1 1 1 1 0 1 2 n 1 n (1 + i)1 Juan Carlos Mira Navarro 17 / 57 Gestin Financiera. 5 > Rentas nancieras 34. Contenido Introduccin Concepto de renta Clasicacin de las rentas Valor capital o nanciero de una renta Renta inmediata, pospagable y temporal Renta inmediata, prepagable y temporal Rentas perpetuas Rentas diferidas en d perodos de rdito constante Rentas anticipadas en h perodos de rdito constante Determinacin de n e i en las rentas unitarias de rdito constante Gestin Financiera Valor actual Valor nal Grcamente, 1 1 1 1 0 1 2 n 1 n (1 + i)1 (1 + i)2 Juan Carlos Mira Navarro 17 / 57 Gestin Financiera. 5 > Rentas nancieras 35. Contenido Introduccin Concepto de renta Clasicacin de las rentas Valor capital o nanciero de una renta Renta inmediata, pospagable y temporal Renta inmediata, prepagable y temporal Rentas perpetuas Rentas diferidas en d perodos de rdito constante Rentas anticipadas en h perodos de rdito constante Determinacin de n e i en las rentas unitarias de rdito constante Gestin Financiera Valor actual Valor nal Grcamente, 1 1 1 1 0 1 2 n 1 n (1 + i)1 (1 + i)2 ... (1 + i)(n1) Juan Carlos Mira Navarro 17 / 57 Gestin Financiera. 5 > Rentas nancieras 36. Contenido Introduccin Concepto de renta Clasicacin de las rentas Valor capital o nanciero de una renta Renta inmediata, pospagable y temporal Renta inmediata, prepagable y temporal Rentas perpetuas Rentas diferidas en d perodos de rdito constante Rentas anticipadas en h perodos de rdito constante Determinacin de n e i en las rentas unitarias de rdito constante Gestin Financiera Valor actual Valor nal Grcamente, 1 1 1 1 0 1 2 n 1 n (1 + i)1 (1 + i)2 ... (1 + i)(n1) (1 + i)n Juan Carlos Mira Navarro 17 / 57 Gestin Financiera. 5 > Rentas nancieras 37. Contenido Introduccin Concepto de renta Clasicacin de las rentas Valor capital o nanciero de una renta Renta inmediata, pospagable y temporal Renta inmediata, prepagable y temporal Rentas perpetuas Rentas diferidas en d perodos de rdito constante Rentas anticipadas en h perodos de rdito constante Determinacin de n e i en las rentas unitarias de rdito constante Gestin Financiera Valor actual Valor nal Grcamente, 1 1 1 1 0 1 2 n 1 n (1 + i)1 (1 + i)2 ... (1 + i)(n1) (1 + i)n an i Figura: Valor actual de una renta unitaria Juan Carlos Mira Navarro 17 / 57 Gestin Financiera. 5 > Rentas nancieras 38. Contenido Introduccin Concepto de renta Clasicacin de las rentas Valor capital o nanciero de una renta Renta inmediata, pospagable y temporal Renta inmediata, prepagable y temporal Rentas perpetuas Rentas diferidas en d perodos de rdito constante Rentas anticipadas en h perodos de rdito constante Determinacin de n e i en las rentas unitarias de rdito constante Gestin Financiera Valor actual Valor nal El valor actual de esta renta, lo calcularemos aplicando el principio general de equivalencia de capitales en el origen de la misma. Por tanto, recordando la expresin del valor actual de un capital C C0 = 1 (1 + i)n an i = 1 (1 + i) + 1 (1 + i)2 + + 1 (1 + i)n1 + 1 (1 + i)n expresin en la que el segundo trmino constituye la suma de trminos de una progresin geomtrica cuyo primer trmino es 1 (1 + i) , el ltimo 1 (1 + i)n y la razn 1 (1 + i) . Juan Carlos Mira Navarro 18 / 57 Gestin Financiera. 5 > Rentas nancieras 39. Contenido Introduccin Concepto de renta Clasicacin de las rentas Valor capital o nanciero de una renta Renta inmediata, pospagable y temporal Renta inmediata, prepagable y temporal Rentas perpetuas Rentas diferidas en d perodos de rdito constante Rentas anticipadas en h perodos de rdito constante Determinacin de n e i en las rentas unitarias de rdito constante Gestin Financiera Valor actual Valor nal Aplicando la expresin de la suma de los trminos de una progresin geomtrica, S = anq a1 q 1 an i = 1 (1 + i)n 1 (1 + i) 1 (1 + i) 1 (1 + i) 1 multiplicando numerador y denominador por (1 + i): an i = 1 (1 + i)n 1 1 (1 + i) = (1 + i)n 1 i an i = 1 (1 + i)n i (1) Juan Carlos Mira Navarro 19 / 57 Gestin Financiera. 5 > Rentas nancieras 40. Contenido Introduccin Concepto de renta Clasicacin de las rentas Valor capital o nanciero de una renta Renta inmediata, pospagable y temporal Renta inmediata, prepagable y temporal Rentas perpetuas Rentas diferidas en d perodos de rdito constante Rentas anticipadas en h perodos de rdito constante Determinacin de n e i en las rentas unitarias de rdito constante Gestin Financiera Valor actual Valor nal expresin que nos da el valor actual de la renta unitaria. Generalizando, el valor actual de una renta constante, temporal, inmediata y pospagable de trmino C, duracin n perodos a inters i, y de acuerdo con (1), ser: V0 = C an i V0 = C 1 (1 + i)n i (2) Juan Carlos Mira Navarro 20 / 57 Gestin Financiera. 5 > Rentas nancieras 41. Contenido Introduccin Concepto de renta Clasicacin de las rentas Valor capital o nanciero de una renta Renta inmediata, pospagable y temporal Renta inmediata, prepagable y temporal Rentas perpetuas Rentas diferidas en d perodos de rdito constante Rentas anticipadas en h perodos de rdito constante Determinacin de n e i en las rentas unitarias de rdito constante Gestin Financiera Valor actual Valor nal El valor nal de una renta constante, temporal, inmediata, pospagable de trmino 1 (unitaria) lo designaremos por sn i , en el que n e i corresponden a la duracin y tipo de inters respectivamente. Del mismo modo que hemos hecho para el valor actual, la obtencin grca del valor nal, sera: Juan Carlos Mira Navarro 21 / 57 Gestin Financiera. 5 > Rentas nancieras 42. Contenido Introduccin Concepto de renta Clasicacin de las rentas Valor capital o nanciero de una renta Renta inmediata, pospagable y temporal Renta inmediata, prepagable y temporal Rentas perpetuas Rentas diferidas en d perodos de rdito constante Rentas anticipadas en h perodos de rdito constante Determinacin de n e i en las rentas unitarias de rdito constante Gestin Financiera Valor actual Valor nal 1 1 1 1 1 0 1 2 n 2 n 1 n Juan Carlos Mira Navarro 22 / 57 Gestin Financiera. 5 > Rentas nancieras 43. Contenido Introduccin Concepto de renta Clasicacin de las rentas Valor capital o nanciero de una renta Renta inmediata, pospagable y temporal Renta inmediata, prepagable y temporal Rentas perpetuas Rentas diferidas en d perodos de rdito constante Rentas anticipadas en h perodos de rdito constante Determinacin de n e i en las rentas unitarias de rdito constante Gestin Financiera Valor actual Valor nal 1 1 1 1 1 0 1 2 n 2 n 1 n 1 Juan Carlos Mira Navarro 22 / 57 Gestin Financiera. 5 > Rentas nancieras 44. Contenido Introduccin Concepto de renta Clasicacin de las rentas Valor capital o nanciero de una renta Renta inmediata, pospagable y temporal Renta inmediata, prepagable y temporal Rentas perpetuas Rentas diferidas en d perodos de rdito constante Rentas anticipadas en h perodos de rdito constante Determinacin de n e i en las rentas unitarias de rdito constante Gestin Financiera Valor actual Valor nal 1 1 1 1 1 0 1 2 n 2 n 1 n 1 (1 + i) Juan Carlos Mira Navarro 22 / 57 Gestin Financiera. 5 > Rentas nancieras 45. Contenido Introduccin Concepto de renta Clasicacin de las rentas Valor capital o nanciero de una renta Renta inmediata, pospagable y temporal Renta inmediata, prepagable y temporal Rentas perpetuas Rentas diferidas en d perodos de rdito constante Rentas anticipadas en h perodos de rdito constante Determinacin de n e i en las rentas unitarias de rdito constante Gestin Financiera Valor actual Valor nal 1 1 1 1 1 0 1 2 n 2 n 1 n 1 (1 + i) (1 + i)2 Juan Carlos Mira Navarro 22 / 57 Gestin Financiera. 5 > Rentas nancieras 46. Contenido Introduccin Concepto de renta Clasicacin de las rentas Valor capital o nanciero de una renta Renta inmediata, pospagable y temporal Renta inmediata, prepagable y temporal Rentas perpetuas Rentas diferidas en d perodos de rdito constante Rentas anticipadas en h perodos de rdito constante Determinacin de n e i en las rentas unitarias de rdito constante Gestin Financiera Valor actual Valor nal 1 1 1 1 1 0 1 2 n 2 n 1 n 1 (1 + i) (1 + i)2 ... (1 + i)n2 Juan Carlos Mira Navarro 22 / 57 Gestin Financiera. 5 > Rentas nancieras 47. Contenido Introduccin Concepto de renta Clasicacin de las rentas Valor capital o nanciero de una renta Renta inmediata, pospagable y temporal Renta inmediata, prepagable y temporal Rentas perpetuas Rentas diferidas en d perodos de rdito constante Rentas anticipadas en h perodos de rdito constante Determinacin de n e i en las rentas unitarias de rdito constante Gestin Financiera Valor actual Valor nal 1 1 1 1 1 0 1 2 n 2 n 1 n 1 (1 + i) (1 + i)2 ... (1 + i)n2 (1 + i)n1 Juan Carlos Mira Navarro 22 / 57 Gestin Financiera. 5 > Rentas nancieras 48. Contenido Introduccin Concepto de renta Clasicacin de las rentas Valor capital o nanciero de una renta Renta inmediata, pospagable y temporal Renta inmediata, prepagable y temporal Rentas perpetuas Rentas diferidas en d perodos de rdito constante Rentas anticipadas en h perodos de rdito constante Determinacin de n e i en las rentas unitarias de rdito constante Gestin Financiera Valor actual Valor nal 1 1 1 1 1 0 1 2 n 2 n 1 n 1 (1 + i) (1 + i)2 ... (1 + i)n2 (1 + i)n1 sn i Figura: Valor nal de una renta unitaria Juan Carlos Mira Navarro 22 / 57 Gestin Financiera. 5 > Rentas nancieras 49. Contenido Introduccin Concepto de renta Clasicacin de las rentas Valor capital o nanciero de una renta Renta inmediata, pospagable y temporal Renta inmediata, prepagable y temporal Rentas perpetuas Rentas diferidas en d perodos de rdito constante Rentas anticipadas en h perodos de rdito constante Determinacin de n e i en las rentas unitarias de rdito constante Gestin Financiera Valor actual Valor nal Igual que para la obtencin del valor actual, el valor nal, sera: sn i = 1 + (1 + i) + (1 + i)2 + + (1 + i)n2 + (1 + i)n1 = n1 s=0 (1 + i)s Nuevamente se trata de una suma de trminos variables en progresin geomtrica, esta vez creciente, de razn (1 + i) cuya expresin es S = anq a1 q 1 , y por tanto, resulta: sn i = (1 + i)n 1 i (3) Juan Carlos Mira Navarro 23 / 57 Gestin Financiera. 5 > Rentas nancieras 50. Contenido Introduccin Concepto de renta Clasicacin de las rentas Valor capital o nanciero de una renta Renta inmediata, pospagable y temporal Renta inmediata, prepagable y temporal Rentas perpetuas Rentas diferidas en d perodos de rdito constante Rentas anticipadas en h perodos de rdito constante Determinacin de n e i en las rentas unitarias de rdito constante Gestin Financiera Valor actual Valor nal Relacin entre el valor actual y el valor nal Obsrvese que se verica que capitalizando n perodos el valor actual encontramos el valor nal de la renta: sn i = an i (1 + i)n (4) por ser (1 + i)n el factor de capitalizacin en el intervalo [0, n]. Cuando en lugar de una renta de cuanta unitaria se trate de una renta con trminos de cuanta constante C, el valor nal ser: Vn = C sn i Vn = C (1 + i)n 1 i Vn = C an i (1 + i)n (5) De la misma forma, podramos obtener el valor actual, aplicando el descuento racional compuesto al valor nal. Juan Carlos Mira Navarro 24 / 57 Gestin Financiera. 5 > Rentas nancieras 51. Contenido Introduccin Concepto de renta Clasicacin de las rentas Valor capital o nanciero de una renta Renta inmediata, pospagable y temporal Renta inmediata, prepagable y temporal Rentas perpetuas Rentas diferidas en d perodos de rdito constante Rentas anticipadas en h perodos de rdito constante Determinacin de n e i en las rentas unitarias de rdito constante Gestin Financiera Valor actual Valor nal Calcular el valor inicial y nal de una renta pospagable, de 8 aos de duracin y trmino anual constante de 5 000 e, si se valora a rdito anual constante del 7 %. Comprobar tambin que el valor nal puede obtenerse capitalizando el valor inicial. Juan Carlos Mira Navarro 25 / 57 Gestin Financiera. 5 > Rentas nancieras 52. Contenido Introduccin Concepto de renta Clasicacin de las rentas Valor capital o nanciero de una renta Renta inmediata, pospagable y temporal Renta inmediata, prepagable y temporal Rentas perpetuas Rentas diferidas en d perodos de rdito constante Rentas anticipadas en h perodos de rdito constante Determinacin de n e i en las rentas unitarias de rdito constante Gestin Financiera Valor actual Valor nal Calcular el valor inicial y nal de una renta pospagable, de 8 aos de duracin y trmino anual constante de 5 000 e, si se valora a rdito anual constante del 7 %. Comprobar tambin que el valor nal puede obtenerse capitalizando el valor inicial. V0 = (V0)8 0,07 = C a8 0 ,07 = 5 000 a8 0 ,07 = 5 000 1 (1 + 0, 07)8 0, 07 = 5 000 5, 9712986 = 29 856, 49 V8 = (Vn)8 0,07 = C s8 0 ,07 = 5 000 s8 0 ,07 = 5 000 (1 + 0, 07)8 1 0, 07 = 5 000 10, 259803 = 51 299, 01 Tambin se podra haber obtenido V8 capitalizando V0. En efecto, Juan Carlos Mira Navarro 25 / 57 Gestin Financiera. 5 > Rentas nancieras 53. Contenido Introduccin Concepto de renta Clasicacin de las rentas Valor capital o nanciero de una renta Renta inmediata, pospagable y temporal Renta inmediata, prepagable y temporal Rentas perpetuas Rentas diferidas en d perodos de rdito constante Rentas anticipadas en h perodos de rdito constante Determinacin de n e i en las rentas unitarias de rdito constante Gestin Financiera Valor actual Valor nal Calcular el valor inicial y nal de una renta pospagable, de 8 aos de duracin y trmino anual constante de 5 000 e, si se valora a rdito anual constante del 7 %. Comprobar tambin que el valor nal puede obtenerse capitalizando el valor inicial. V0 = (V0)8 0,07 = C a8 0 ,07 = 5 000 a8 0 ,07 = 5 000 1 (1 + 0, 07)8 0, 07 = 5 000 5, 9712986 = 29 856, 49 V8 = (Vn)8 0,07 = C s8 0 ,07 = 5 000 s8 0 ,07 = 5 000 (1 + 0, 07)8 1 0, 07 = 5 000 10, 259803 = 51 299, 01 Tambin se podra haber obtenido V8 capitalizando V0. En efecto, V8 = V0(1 + i) 8 = 29 856, 49 (1 + 0, 07) 8 = 29 856, 49 1, 7181862 = 51 299, 01 La obtencin de los valores de a8 0 ,07 y de s8 0 ,07 puede obtenerse directamente utilizando tablas nancieras, con una calculadora resolviendo las expresiones y por supuesto utilizando una calculadora nanciera con la que pueden obtenerse de forma directa. Juan Carlos Mira Navarro 25 / 57 Gestin Financiera. 5 > Rentas nancieras 54. Contenido Introduccin Concepto de renta Clasicacin de las rentas Valor capital o nanciero de una renta Renta inmediata, pospagable y temporal Renta inmediata, prepagable y temporal Rentas perpetuas Rentas diferidas en d perodos de rdito constante Rentas anticipadas en h perodos de rdito constante Determinacin de n e i en las rentas unitarias de rdito constante Gestin Financiera Valor actual Valor nal Calcular el valor inicial y nal de una renta pospagable, de 8 aos de duracin y trmino anual constante de 5 000 e, si se valora a rdito anual constante del 7 %. Comprobar tambin que el valor nal puede obtenerse capitalizando el valor inicial. V0 = (V0)8 0,07 = C a8 0 ,07 = 5 000 a8 0 ,07 = 5 000 1 (1 + 0, 07)8 0, 07 = 5 000 5, 9712986 = 29 856, 49 V8 = (Vn)8 0,07 = C s8 0 ,07 = 5 000 s8 0 ,07 = 5 000 (1 + 0, 07)8 1 0, 07 = 5 000 10, 259803 = 51 299, 01 Tambin se podra haber obtenido V8 capitalizando V0. En efecto, V8 = V0(1 + i) 8 = 29 856, 49 (1 + 0, 07) 8 = 29 856, 49 1, 7181862 = 51 299, 01 La obtencin de los valores de a8 0 ,07 y de s8 0 ,07 puede obtenerse directamente utilizando tablas nancieras, con una calculadora resolviendo las expresiones y por supuesto utilizando una calculadora nanciera con la que pueden obtenerse de forma directa. Utilizando la calculadora nanciera, para obtener V0, 5000 CHS PMT 8 n 7 i PV obteniendo la respuesta de 29 856, 49 Juan Carlos Mira Navarro 25 / 57 Gestin Financiera. 5 > Rentas nancieras 55. Contenido Introduccin Concepto de renta Clasicacin de las rentas Valor capital o nanciero de una renta Renta inmediata, pospagable y temporal Renta inmediata, prepagable y temporal Rentas perpetuas Rentas diferidas en d perodos de rdito constante Rentas anticipadas en h perodos de rdito constante Determinacin de n e i en las rentas unitarias de rdito constante Gestin Financiera Valor actual Valor nal 1 Introduccin 2 Concepto de renta 3 Clasicacin de las rentas 4 Valor capital o nanciero de una renta 5 Renta inmediata, pospagable y temporal Valor actual Valor nal 6 Renta inmediata, prepagable y temporal Valor actual Valor nal 7 Rentas perpetuas Valor actual 8 Rentas diferidas en d perodos de rdito constante 9 Rentas anticipadas en h perodos de rdito constante 10 Determinacin de n e i en las rentas unitarias de rdito constante 11 Gestin Financiera Juan Carlos Mira Navarro 26 / 57 Gestin Financiera. 5 > Rentas nancieras 56. Contenido Introduccin Concepto de renta Clasicacin de las rentas Valor capital o nanciero de una renta Renta inmediata, pospagable y temporal Renta inmediata, prepagable y temporal Rentas perpetuas Rentas diferidas en d perodos de rdito constante Rentas anticipadas en h perodos de rdito constante Determinacin de n e i en las rentas unitarias de rdito constante Gestin Financiera Valor actual Valor nal De la misma forma que hicimos en el caso de una renta pospagable, veremos grcamente la renta prepagable: 1 1 1 1 0 1 n 2 n 1 n Juan Carlos Mira Navarro 27 / 57 Gestin Financiera. 5 > Rentas nancieras 57. Contenido Introduccin Concepto de renta Clasicacin de las rentas Valor capital o nanciero de una renta Renta inmediata, pospagable y temporal Renta inmediata, prepagable y temporal Rentas perpetuas Rentas diferidas en d perodos de rdito constante Rentas anticipadas en h perodos de rdito constante Determinacin de n e i en las rentas unitarias de rdito constante Gestin Financiera Valor actual Valor nal De la misma forma que hicimos en el caso de una renta pospagable, veremos grcamente la renta prepagable: 1 1 1 1 0 1 n 2 n 1 n 1 Juan Carlos Mira Navarro 27 / 57 Gestin Financiera. 5 > Rentas nancieras 58. Contenido Introduccin Concepto de renta Clasicacin de las rentas Valor capital o nanciero de una renta Renta inmediata, pospagable y temporal Renta inmediata, prepagable y temporal Rentas perpetuas Rentas diferidas en d perodos de rdito constante Rentas anticipadas en h perodos de rdito constante Determinacin de n e i en las rentas unitarias de rdito constante Gestin Financiera Valor actual Valor nal De la misma forma que hicimos en el caso de una renta pospagable, veremos grcamente la renta prepagable: 1 1 1 1 0 1 n 2 n 1 n 1 (1 + i)1 Juan Carlos Mira Navarro 27 / 57 Gestin Financiera. 5 > Rentas nancieras 59. Contenido Introduccin Concepto de renta Clasicacin de las rentas Valor capital o nanciero de una renta Renta inmediata, pospagable y temporal Renta inmediata, prepagable y temporal Rentas perpetuas Rentas diferidas en d perodos de rdito constante Rentas anticipadas en h perodos de rdito constante Determinacin de n e i en las rentas unitarias de rdito constante Gestin Financiera Valor actual Valor nal De la misma forma que hicimos en el caso de una renta pospagable, veremos grcamente la renta prepagable: 1 1 1 1 0 1 n 2 n 1 n 1 (1 + i)1 ... (1 + i)(n2) Juan Carlos Mira Navarro 27 / 57 Gestin Financiera. 5 > Rentas nancieras 60. Contenido Introduccin Concepto de renta Clasicacin de las rentas Valor capital o nanciero de una renta Renta inmediata, pospagable y temporal Renta inmediata, prepagable y temporal Rentas perpetuas Rentas diferidas en d perodos de rdito constante Rentas anticipadas en h perodos de rdito constante Determinacin de n e i en las rentas unitarias de rdito constante Gestin Financiera Valor actual Valor nal De la misma forma que hicimos en el caso de una renta pospagable, veremos grcamente la renta prepagable: 1 1 1 1 0 1 n 2 n 1 n 1 (1 + i)1 ... (1 + i)(n2) (1 + i)(n1) Juan Carlos Mira Navarro 27 / 57 Gestin Financiera. 5 > Rentas nancieras 61. Contenido Introduccin Concepto de renta Clasicacin de las rentas Valor capital o nanciero de una renta Renta inmediata, pospagable y temporal Renta inmediata, prepagable y temporal Rentas perpetuas Rentas diferidas en d perodos de rdito constante Rentas anticipadas en h perodos de rdito constante Determinacin de n e i en las rentas unitarias de rdito constante Gestin Financiera Valor actual Valor nal De la misma forma que hicimos en el caso de una renta pospagable, veremos grcamente la renta prepagable: 1 1 1 1 0 1 n 2 n 1 n 1 (1 + i)1 ... (1 + i)(n2) (1 + i)(n1) an i Figura: Valor actual de una renta unitaria prepagable Juan Carlos Mira Navarro 27 / 57 Gestin Financiera. 5 > Rentas nancieras 62. Contenido Introduccin Concepto de renta Clasicacin de las rentas Valor capital o nanciero de una renta Renta inmediata, pospagable y temporal Renta inmediata, prepagable y temporal Rentas perpetuas Rentas diferidas en d perodos de rdito constante Rentas anticipadas en h perodos de rdito constante Determinacin de n e i en las rentas unitarias de rdito constante Gestin Financiera Valor actual Valor nal Igual que hicimos en el caso de una renta pospagable, analizaremos en primer lugar la renta prepagable constante de cuantas unitarias, es decir, de trmino 1, asociado a los perodos 0, 1, 2, , n. Su valor inicial, o en 0, simbolizado por an i es: an i = 1 + (1 + i)1 + (1 + i)2 + + (1 + i)(n1) = n1 s=0 (1 + i)s y sumando los trminos de la progresin puede tambin escribirse: an i = 1 (1 + i)n 1 (1 + i)1 = 1 (1 + i)n i (1 + i) (6) Juan Carlos Mira Navarro 28 / 57 Gestin Financiera. 5 > Rentas nancieras 63. Contenido Introduccin Concepto de renta Clasicacin de las rentas Valor capital o nanciero de una renta Renta inmediata, pospagable y temporal Renta inmediata, prepagable y temporal Rentas perpetuas Rentas diferidas en d perodos de rdito constante Rentas anticipadas en h perodos de rdito constante Determinacin de n e i en las rentas unitarias de rdito constante Gestin Financiera Valor actual Valor nal El valor nal o en n, representado por sn i , es: sn i = (1 + i) + (1 + i)2 + + (1 + i)n = n s=1 (1 + i)s y sumando los trminos de la progresin puede tambin escribirse: sn i = (1 + i)n 1 i (1 + i) (7) Juan Carlos Mira Navarro 29 / 57 Gestin Financiera. 5 > Rentas nancieras 64. Contenido Introduccin Concepto de renta Clasicacin de las rentas Valor capital o nanciero de una renta Renta inmediata, pospagable y temporal Renta inmediata, prepagable y temporal Rentas perpetuas Rentas diferidas en d perodos de rdito constante Rentas anticipadas en h perodos de rdito constante Determinacin de n e i en las rentas unitarias de rdito constante Gestin Financiera Valor actual Valor nal Relacin entre el valor actual y el valor nal Se verica la relacin, como ocurra en la renta pospagable: sn i = an i (1 + i)n Puede igualmente observarse, viendo el valor inicial y el valor nal de esta renta con sus anlogos en el caso de renta pospagable, que mantienen la siguiente relacin: an i = an i (1 + i) sn i = sn i (1 + i) consecuencia de ser constante el rdito periodal, lo que implica la equivalencia de las rentas prepagable unitaria, con la pospagable de cuanta constante (1 + i): Juan Carlos Mira Navarro 30 / 57 Gestin Financiera. 5 > Rentas nancieras 65. Contenido Introduccin Concepto de renta Clasicacin de las rentas Valor capital o nanciero de una renta Renta inmediata, pospagable y temporal Renta inmediata, prepagable y temporal Rentas perpetuas Rentas diferidas en d perodos de rdito constante Rentas anticipadas en h perodos de rdito constante Determinacin de n e i en las rentas unitarias de rdito constante Gestin Financiera Valor actual Valor nal prepagable 1 1 1 1 0 1 n 2 n 1 n Juan Carlos Mira Navarro 31 / 57 Gestin Financiera. 5 > Rentas nancieras 66. Contenido Introduccin Concepto de renta Clasicacin de las rentas Valor capital o nanciero de una renta Renta inmediata, pospagable y temporal Renta inmediata, prepagable y temporal Rentas perpetuas Rentas diferidas en d perodos de rdito constante Rentas anticipadas en h perodos de rdito constante Determinacin de n e i en las rentas unitarias de rdito constante Gestin Financiera Valor actual Valor nal prepagable 1 1 1 1 0 1 n 2 n 1 n pospagable (1 + i) (1 + i) (1 + i) (1 + i) 0 1 2 n 1 n Juan Carlos Mira Navarro 31 / 57 Gestin Financiera. 5 > Rentas nancieras 67. Contenido Introduccin Concepto de renta Clasicacin de las rentas Valor capital o nanciero de una renta Renta inmediata, pospagable y temporal Renta inmediata, prepagable y temporal Rentas perpetuas Rentas diferidas en d perodos de rdito constante Rentas anticipadas en h perodos de rdito constante Determinacin de n e i en las rentas unitarias de rdito constante Gestin Financiera Valor actual Valor nal prepagable 1 1 1 1 0 1 n 2 n 1 n pospagable (1 + i) (1 + i) (1 + i) (1 + i) 0 1 2 n 1 n Juan Carlos Mira Navarro 31 / 57 Gestin Financiera. 5 > Rentas nancieras 68. Contenido Introduccin Concepto de renta Clasicacin de las rentas Valor capital o nanciero de una renta Renta inmediata, pospagable y temporal Renta inmediata, prepagable y temporal Rentas perpetuas Rentas diferidas en d perodos de rdito constante Rentas anticipadas en h perodos de rdito constante Determinacin de n e i en las rentas unitarias de rdito constante Gestin Financiera Valor actual Valor nal prepagable 1 1 1 1 0 1 n 2 n 1 n pospagable (1 + i) (1 + i) (1 + i) (1 + i) 0 1 2 n 1 n Juan Carlos Mira Navarro 31 / 57 Gestin Financiera. 5 > Rentas nancieras 69. Contenido Introduccin Concepto de renta Clasicacin de las rentas Valor capital o nanciero de una renta Renta inmediata, pospagable y temporal Renta inmediata, prepagable y temporal Rentas perpetuas Rentas diferidas en d perodos de rdito constante Rentas anticipadas en h perodos de rdito constante Determinacin de n e i en las rentas unitarias de rdito constante Gestin Financiera Valor actual Valor nal prepagable 1 1 1 1 0 1 n 2 n 1 n pospagable (1 + i) (1 + i) (1 + i) (1 + i) 0 1 2 n 1 n Juan Carlos Mira Navarro 31 / 57 Gestin Financiera. 5 > Rentas nancieras 70. Contenido Introduccin Concepto de renta Clasicacin de las rentas Valor capital o nanciero de una renta Renta inmediata, pospagable y temporal Renta inmediata, prepagable y temporal Rentas perpetuas Rentas diferidas en d perodos de rdito constante Rentas anticipadas en h perodos de rdito constante Determinacin de n e i en las rentas unitarias de rdito constante Gestin Financiera Valor actual Valor nal prepagable 1 1 1 1 0 1 n 2 n 1 n pospagable (1 + i) (1 + i) (1 + i) (1 + i) 0 1 2 n 1 n Juan Carlos Mira Navarro 31 / 57 Gestin Financiera. 5 > Rentas nancieras 71. Contenido Introduccin Concepto de renta Clasicacin de las rentas Valor capital o nanciero de una renta Renta inmediata, pospagable y temporal Renta inmediata, prepagable y temporal Rentas perpetuas Rentas diferidas en d perodos de rdito constante Rentas anticipadas en h perodos de rdito constante Determinacin de n e i en las rentas unitarias de rdito constante Gestin Financiera Valor actual Valor nal prepagable 1 1 1 1 0 1 n 2 n 1 n pospagable (1 + i) (1 + i) (1 + i) (1 + i) 0 1 2 n 1 nprepagable (1 + i) (1 + i) (1 + i) (1 + i) (1 + i) 0 1 2 n 1 n Figura: Relacin entre una renta unitaria prepagable y pospagable Esta relacin entre prepagables y pospagables se vericar siempre que el rdito de valoracin sea constante para todos los perodos, con independencia de las cuantas de los trminos de la renta, ya que trasladar el vencimiento de los trminos del extremo inicial de cada perodo al extremo nal equivale a multiplicar las cuantas por (1 + i), factor de capitalizacin del perodo. Juan Carlos Mira Navarro 31 / 57 Gestin Financiera. 5 > Rentas nancieras 72. Contenido Introduccin Concepto de renta Clasicacin de las rentas Valor capital o nanciero de una renta Renta inmediata, pospagable y temporal Renta inmediata, prepagable y temporal Rentas perpetuas Rentas diferidas en d perodos de rdito constante Rentas anticipadas en h perodos de rdito constante Determinacin de n e i en las rentas unitarias de rdito constante Gestin Financiera Valor actual Valor nal Al ser i > 0, se vericar siempre an i > an i y sn i > sn i Tambin se obtienen de forma inmediata estas nuevas relaciones entre rentas unitarias prepagables y pospagables: an i = 1 + an1 i sn i = sn+1 i 1 Estas expresiones son propias de las rentas de cuanta constante, lo que permite escribir: an i = n1 s=0 (1 + i)s = 1 + n1 s=1 (1 + i)s = 1 + an1 i sn i = n1 s=0 (1 + i)s = 1 + n1 s=1 (1 + i)s = 1 + sn1 i y facilita los clculos con el empleo de tablas, caluladora nanciera u hoja de clculo. Juan Carlos Mira Navarro 32 / 57 Gestin Financiera. 5 > Rentas nancieras 73. Contenido Introduccin Concepto de renta Clasicacin de las rentas Valor capital o nanciero de una renta Renta inmediata, pospagable y temporal Renta inmediata, prepagable y temporal Rentas perpetuas Rentas diferidas en d perodos de rdito constante Rentas anticipadas en h perodos de rdito constante Determinacin de n e i en las rentas unitarias de rdito constante Gestin Financiera Valor actual Valor nal Calcular el valor inicial y nal de una renta de perodo anual, prepagable de 6 trminos y cuanta constante 4 000 e valorada en capitalizacin compuesta de parmetro i = 9 % anual. Juan Carlos Mira Navarro 33 / 57 Gestin Financiera. 5 > Rentas nancieras 74. Contenido Introduccin Concepto de renta Clasicacin de las rentas Valor capital o nanciero de una renta Renta inmediata, pospagable y temporal Renta inmediata, prepagable y temporal Rentas perpetuas Rentas diferidas en d perodos de rdito constante Rentas anticipadas en h perodos de rdito constante Determinacin de n e i en las rentas unitarias de rdito constante Gestin Financiera Valor actual Valor nal Calcular el valor inicial y nal de una renta de perodo anual, prepagable de 6 trminos y cuanta constante 4 000 e valorada en capitalizacin compuesta de parmetro i = 9 % anual. Su valor inicial puede obtenerse con: V0 = ( V0)6 0,09 = 4000 a6 0 ,09 = 4000 (1+i)a6 0 ,09 = 40001, 094, 4859185 = 19558, 61 El valor nal, puede obtenerse en funcin del valor inicial: Vn = ( V0)6 0,09 (1 + 0, 09) 6 = 19 558, 61 1, 6771001 = 32 801, 74 Juan Carlos Mira Navarro 33 / 57 Gestin Financiera. 5 > Rentas nancieras 75. Contenido Introduccin Concepto de renta Clasicacin de las rentas Valor capital o nanciero de una renta Renta inmediata, pospagable y temporal Renta inmediata, prepagable y temporal Rentas perpetuas Rentas diferidas en d perodos de rdito constante Rentas anticipadas en h perodos de rdito constante Determinacin de n e i en las rentas unitarias de rdito constante Gestin Financiera Valor actual Valor nal Calcular el valor inicial y nal de una renta de perodo anual, prepagable de 6 trminos y cuanta constante 4 000 e valorada en capitalizacin compuesta de parmetro i = 9 % anual. Su valor inicial puede obtenerse con: V0 = ( V0)6 0,09 = 4000 a6 0 ,09 = 4000 (1+i)a6 0 ,09 = 40001, 094, 4859185 = 19558, 61 El valor nal, puede obtenerse en funcin del valor inicial: Vn = ( V0)6 0,09 (1 + 0, 09) 6 = 19 558, 61 1, 6771001 = 32 801, 74 Utilizando la calculadora nanciera, V0: g BEG 6 n 9 i 4 000 CHS PMT PV obteniendo 19 558, 61 El valor de Vn, partiendo de los datos anteriores: 0 PV FV presentado el resultado de 32 801, 74 Juan Carlos Mira Navarro 33 / 57 Gestin Financiera. 5 > Rentas nancieras 76. Contenido Introduccin Concepto de renta Clasicacin de las rentas Valor capital o nanciero de una renta Renta inmediata, pospagable y temporal Renta inmediata, prepagable y temporal Rentas perpetuas Rentas diferidas en d perodos de rdito constante Rentas anticipadas en h perodos de rdito constante Determinacin de n e i en las rentas unitarias de rdito constante Gestin Financiera Valor actual 1 Introduccin 2 Concepto de renta 3 Clasicacin de las rentas 4 Valor capital o nanciero de una renta 5 Renta inmediata, pospagable y temporal Valor actual Valor nal 6 Renta inmediata, prepagable y temporal Valor actual Valor nal 7 Rentas perpetuas Valor actual 8 Rentas diferidas en d perodos de rdito constante 9 Rentas anticipadas en h perodos de rdito constante 10 Determinacin de n e i en las rentas unitarias de rdito constante 11 Gestin Financiera Juan Carlos Mira Navarro 34 / 57 Gestin Financiera. 5 > Rentas nancieras 77. Contenido Introduccin Concepto de renta Clasicacin de las rentas Valor capital o nanciero de una renta Renta inmediata, pospagable y temporal Renta inmediata, prepagable y temporal Rentas perpetuas Rentas diferidas en d perodos de rdito constante Rentas anticipadas en h perodos de rdito constante Determinacin de n e i en las rentas unitarias de rdito constante Gestin Financiera Valor actual En primer lugar analizaremos el supuesto de renta perpetua pospagable y unitaria. El esquema se corresponde con el del valor actual de una renta pospagable unitaria en el que el tiempo es perpetuo. Su valor actual o inicial, valorado a rdito constante i, lo representamos por a i y vendr dado por la suma de una serie geomtrica, que es convergente por ser (1 + i)1 < 1: a i = s=1 (1+i)s = lm n n s=1 (1+i)s = lm n an i = lm n 1 (1 + i)n i = 1 i (8) Este valor a i , se puede interpretar como la cuanta, tal que sus intereses periodales son la unidad ya que: a i i = 1 Juan Carlos Mira Navarro 35 / 57 Gestin Financiera. 5 > Rentas nancieras 78. Contenido Introduccin Concepto de renta Clasicacin de las rentas Valor capital o nanciero de una renta Renta inmediata, pospagable y temporal Renta inmediata, prepagable y temporal Rentas perpetuas Rentas diferidas en d perodos de rdito constante Rentas anticipadas en h perodos de rdito constante Determinacin de n e i en las rentas unitarias de rdito constante Gestin Financiera Valor actual En el caso de que la renta perpetua unitaria sea prepagable, su valor actual, ser: a i = s=0 (1 + i)s = lm n n s=0 (1 + i)s = lm n an i = lm n 1 (1 + i)n i (1 + i) = 1 + 1 i (9) Entre a i y a i se verican, por tanto, las mismas relaciones que entre los valores actuales de las rentas temporales prepagable y pospagable, es decir: a i = a i (1 + i) a i = a i + 1 No tiene sentido hablar de valor nal de rentas perpetuas, pues las series que los representan son divergentes. Recurdese que una renta es convergente cuando la razn de la progresin es q < 1. En el valor nal, q > 1 ya que (1 + i) > 1 y por tanto, es divergente. Juan Carlos Mira Navarro 36 / 57 Gestin Financiera. 5 > Rentas nancieras 79. Contenido Introduccin Concepto de renta Clasicacin de las rentas Valor capital o nanciero de una renta Renta inmediata, pospagable y temporal Renta inmediata, prepagable y temporal Rentas perpetuas Rentas diferidas en d perodos de rdito constante Rentas anticipadas en h perodos de rdito constante Determinacin de n e i en las rentas unitarias de rdito constante Gestin Financiera Valor actual El valor actual de una renta perpetua de trminos de cuanta constante C, ser: En el supuesto de una renta pospagable: V0 = (V0) i = C a i = C i y en el de prepagable: V0 = ( V0) i = C a i = C 1 + 1 i Juan Carlos Mira Navarro 37 / 57 Gestin Financiera. 5 > Rentas nancieras 80. Contenido Introduccin Concepto de renta Clasicacin de las rentas Valor capital o nanciero de una renta Renta inmediata, pospagable y temporal Renta inmediata, prepagable y temporal Rentas perpetuas Rentas diferidas en d perodos de rdito constante Rentas anticipadas en h perodos de rdito constante Determinacin de n e i en las rentas unitarias de rdito constante Gestin Financiera Valor actual El valor actual de una renta perpetua de trminos de cuanta constante C, ser: En el supuesto de una renta pospagable: V0 = (V0) i = C a i = C i y en el de prepagable: V0 = ( V0) i = C a i = C 1 + 1 i Obtener el valor actual de una renta perpetua con trminos anuales de cuanta constante C = 4 500 valorada a un tipo de inters del 6 %, tanto en el caso de que fuera pospagable como prepagable. Juan Carlos Mira Navarro 37 / 57 Gestin Financiera. 5 > Rentas nancieras 81. Contenido Introduccin Concepto de renta Clasicacin de las rentas Valor capital o nanciero de una renta Renta inmediata, pospagable y temporal Renta inmediata, prepagable y temporal Rentas perpetuas Rentas diferidas en d perodos de rdito constante Rentas anticipadas en h perodos de rdito constante Determinacin de n e i en las rentas unitarias de rdito constante Gestin Financiera Valor actual El valor actual de una renta perpetua de trminos de cuanta constante C, ser: En el supuesto de una renta pospagable: V0 = (V0) i = C a i = C i y en el de prepagable: V0 = ( V0) i = C a i = C 1 + 1 i Obtener el valor actual de una renta perpetua con trminos anuales de cuanta constante C = 4 500 valorada a un tipo de inters del 6 %, tanto en el caso de que fuera pospagable como prepagable. En la opcin de trminos pospagables, V0 = (V0) 0,06 = C a 0 ,06 = 4 500 1 0, 06 = 75 000 Si se trata de prepagable, V0 = ( V0) 0,06 = C a 0 ,06 = 4 500 1 + 0, 06 0, 06 = 79 500 Juan Carlos Mira Navarro 37 / 57 Gestin Financiera. 5 > Rentas nancieras 82. Contenido Introduccin Concepto de renta Clasicacin de las rentas Valor capital o nanciero de una renta Renta inmediata, pospagable y temporal Renta inmediata, prepagable y temporal Rentas perpetuas Rentas diferidas en d perodos de rdito constante Rentas anticipadas en h perodos de rdito constante Determinacin de n e i en las rentas unitarias de rdito constante Gestin Financiera 1 Introduccin 2 Concepto de renta 3 Clasicacin de las rentas 4 Valor capital o nanciero de una renta 5 Renta inmediata, pospagable y temporal Valor actual Valor nal 6 Renta inmediata, prepagable y temporal Valor actual Valor nal 7 Rentas perpetuas Valor actual 8 Rentas diferidas en d perodos de rdito constante 9 Rentas anticipadas en h perodos de rdito constante 10 Determinacin de n e i en las rentas unitarias de rdito constante 11 Gestin Financiera Juan Carlos Mira Navarro 38 / 57 Gestin Financiera. 5 > Rentas nancieras 83. Contenido Introduccin Concepto de renta Clasicacin de las rentas Valor capital o nanciero de una renta Renta inmediata, pospagable y temporal Renta inmediata, prepagable y temporal Rentas perpetuas Rentas diferidas en d perodos de rdito constante Rentas anticipadas en h perodos de rdito constante Determinacin de n e i en las rentas unitarias de rdito constante Gestin Financiera Las rentas se dicen diferidas cuando el momento de valoracin es anterior al origen de la renta. Si suponemos que el diferimiento coincide con un nmero entero d de perodos de rdito constante i, para cada uno de los diversos tipos de rentas unitarias tratadas anteriormente, se obtienen los siguientes resultados: El valor actual, representado por d/an i es: d/an i = n s=1 (1 + i)(d+s) = (1 + i)d n s=1 (1 + i)s = (1 + i)d an i (10) Juan Carlos Mira Navarro 39 / 57 Gestin Financiera. 5 > Rentas nancieras 84. Contenido Introduccin Concepto de renta Clasicacin de las rentas Valor capital o nanciero de una renta Renta inmediata, pospagable y temporal Renta inmediata, prepagable y temporal Rentas perpetuas Rentas diferidas en d perodos de rdito constante Rentas anticipadas en h perodos de rdito constante Determinacin de n e i en las rentas unitarias de rdito constante Gestin Financiera Grcamente: d 1 1 1 1 1 0 1 2 3 4 5 n 2 n 1 n Juan Carlos Mira Navarro 40 / 57 Gestin Financiera. 5 > Rentas nancieras 85. Contenido Introduccin Concepto de renta Clasicacin de las rentas Valor capital o nanciero de una renta Renta inmediata, pospagable y temporal Renta inmediata, prepagable y temporal Rentas perpetuas Rentas diferidas en d perodos de rdito constante Rentas anticipadas en h perodos de rdito constante Determinacin de n e i en las rentas unitarias de rdito constante Gestin Financiera Grcamente: d 1 1 1 1 1 0 1 2 3 4 5 n 2 n 1 n 0 1 2 n 2 n 1 n Juan Carlos Mira Navarro 40 / 57 Gestin Financiera. 5 > Rentas nancieras 86. Contenido Introduccin Concepto de renta Clasicacin de las rentas Valor capital o nanciero de una renta Renta inmediata, pospagable y temporal Renta inmediata, prepagable y temporal Rentas perpetuas Rentas diferidas en d perodos de rdito constante Rentas anticipadas en h perodos de rdito constante Determinacin de n e i en las rentas unitarias de rdito constante Gestin Financiera Grcamente: d 1 1 1 1 1 0 1 2 3 4 5 n 2 n 1 n 0 1 2 n 2 n 1 n (1 + i)1 Juan Carlos Mira Navarro 40 / 57 Gestin Financiera. 5 > Rentas nancieras 87. Contenido Introduccin Concepto de renta Clasicacin de las rentas Valor capital o nanciero de una renta Renta inmediata, pospagable y temporal Renta inmediata, prepagable y temporal Rentas perpetuas Rentas diferidas en d perodos de rdito constante Rentas anticipadas en h perodos de rdito constante Determinacin de n e i en las rentas unitarias de rdito constante Gestin Financiera Grcamente: d 1 1 1 1 1 0 1 2 3 4 5 n 2 n 1 n 0 1 2 n 2 n 1 n (1 + i)1 (1 + i)2 Juan Carlos Mira Navarro 40 / 57 Gestin Financiera. 5 > Rentas nancieras 88. Contenido Introduccin Concepto de renta Clasicacin de las rentas Valor capital o nanciero de una renta Renta inmediata, pospagable y temporal Renta inmediata, prepagable y temporal Rentas perpetuas Rentas diferidas en d perodos de rdito constante Rentas anticipadas en h perodos de rdito constante Determinacin de n e i en las rentas unitarias de rdito constante Gestin Financiera Grcamente: d 1 1 1 1 1 0 1 2 3 4 5 n 2 n 1 n 0 1 2 n 2 n 1 n (1 + i)1 (1 + i)2 ... (1 + i)(n1) Juan Carlos Mira Navarro 40 / 57 Gestin Financiera. 5 > Rentas nancieras 89. Contenido Introduccin Concepto de renta Clasicacin de las rentas Valor capital o nanciero de una renta Renta inmediata, pospagable y temporal Renta inmediata, prepagable y temporal Rentas perpetuas Rentas diferidas en d perodos de rdito constante Rentas anticipadas en h perodos de rdito constante Determinacin de n e i en las rentas unitarias de rdito constante Gestin Financiera Grcamente: d 1 1 1 1 1 0 1 2 3 4 5 n 2 n 1 n 0 1 2 n 2 n 1 n (1 + i)1 (1 + i)2 ... (1 + i)(n1) (1 + i)n Juan Carlos Mira Navarro 40 / 57 Gestin Financiera. 5 > Rentas nancieras 90. Contenido Introduccin Concepto de renta Clasicacin de las rentas Valor capital o nanciero de una renta Renta inmediata, pospagable y temporal Renta inmediata, prepagable y temporal Rentas perpetuas Rentas diferidas en d perodos de rdito constante Rentas anticipadas en h perodos de rdito constante Determinacin de n e i en las rentas unitarias de rdito constante Gestin Financiera Grcamente: d 1 1 1 1 1 0 1 2 3 4 5 n 2 n 1 n 0 1 2 n 2 n 1 n (1 + i)1 (1 + i)2 ... (1 + i)(n1) (1 + i)n an i Juan Carlos Mira Navarro 40 / 57 Gestin Financiera. 5 > Rentas nancieras 91. Contenido Introduccin Concepto de renta Clasicacin de las rentas Valor capital o nanciero de una renta Renta inmediata, pospagable y temporal Renta inmediata, prepagable y temporal Rentas perpetuas Rentas diferidas en d perodos de rdito constante Rentas anticipadas en h perodos de rdito constante Determinacin de n e i en las rentas unitarias de rdito constante Gestin Financiera Grcamente: d 1 1 1 1 1 0 1 2 3 4 5 n 2 n 1 n 0 1 2 n 2 n 1 n (1 + i)1 (1 + i)2 ... (1 + i)(n1) (1 + i)n an i d/an i Juan Carlos Mira Navarro 40 / 57 Gestin Financiera. 5 > Rentas nancieras 92. Contenido Introduccin Concepto de renta Clasicacin de las rentas Valor capital o nanciero de una renta Renta inmediata, pospagable y temporal Renta inmediata, prepagable y temporal Rentas perpetuas Rentas diferidas en d perodos de rdito constante Rentas anticipadas en h perodos de rdito constante Determinacin de n e i en las rentas unitarias de rdito constante Gestin Financiera A efectos operativos es interesante expresar la renta diferida como la diferencia de dos rentas inmediatas: d/an i = n s=1 (1 + i)(d+s) = n+d s=1 (1 + i)s d s=1 (1 + i)s de la que se obtiene: d/an i = an+d i ad i Si se trata del valor actual prepagable, su valor actual, ser: d/an i = n1 s=0 (1 + i)(d+s) = (1 + i)d n1 s=0) (1 + i)s = (1 + i)d an i (11) que tambin podemos expresar como: d/an i = ad+n i ad i Juan Carlos Mira Navarro 41 / 57 Gestin Financiera. 5 > Rentas nancieras 93. Contenido Introduccin Concepto de renta Clasicacin de las rentas Valor capital o nanciero de una renta Renta inmediata, pospagable y temporal Renta inmediata, prepagable y temporal Rentas perpetuas Rentas diferidas en d perodos de rdito constante Rentas anticipadas en h perodos de rdito constante Determinacin de n e i en las rentas unitarias de rdito constante Gestin Financiera En el supuesto de que la renta sea perpetua en lugar de temporal, el valor actual, se obtendra: d/a i = lm n d/an i = lm n (1 + i)d an i = (1 + i)d 1 i (12) que tambin podr obtenerse como: d/a i = a i ad i Si la renta diferida es prepagable y perpetua: d/a i = lm n d/an i = (1 + i)d+1 1 i y tambin, d/a i = a i ad i Juan Carlos Mira Navarro 42 / 57 Gestin Financiera. 5 > Rentas nancieras 94. Contenido Introduccin Concepto de renta Clasicacin de las rentas Valor capital o nanciero de una renta Renta inmediata, pospagable y temporal Renta inmediata, prepagable y temporal Rentas perpetuas Rentas diferidas en d perodos de rdito constante Rentas anticipadas en h perodos de rdito constante Determinacin de n e i en las rentas unitarias de rdito constante Gestin Financiera Si las rentas no son unitarias, sino de cuanta C, d/(V0)n i = C d/an i y si es perpetua d/(V0) i = C d/a i si es prepagable, d/( V0)n i = C d/an i y si es perpetua d/( V0) i = C d/a i Al valor nal de una renta diferida en d perodos no le afecta el diferimiento ya que, d/sn i = (1 + i)n+d d/an i = (1 + i)n+d (1 + i)d an i = (1 + i)n an i = sn i Juan Carlos Mira Navarro 43 / 57 Gestin Financiera. 5 > Rentas nancieras 95. Contenido Introduccin Concepto de renta Clasicacin de las rentas Valor capital o nanciero de una renta Renta inmediata, pospagable y temporal Renta inmediata, prepagable y temporal Rentas perpetuas Rentas diferidas en d perodos de rdito constante Rentas anticipadas en h perodos de rdito constante Determinacin de n e i en las rentas unitarias de rdito constante Gestin Financiera Calcular el valor actual de una renta prepagable de cuanta anual constante de 2 000 e diferida 3 aos y de 4 de duracin, si la valoracin se hace a un tipo de inters del 6 % Juan Carlos Mira Navarro 44 / 57 Gestin Financiera. 5 > Rentas nancieras 96. Contenido Introduccin Concepto de renta Clasicacin de las rentas Valor capital o nanciero de una renta Renta inmediata, pospagable y temporal Renta inmediata, prepagable y temporal Rentas perpetuas Rentas diferidas en d perodos de rdito constante Rentas anticipadas en h perodos de rdito constante Determinacin de n e i en las rentas unitarias de rdito constante Gestin Financiera Calcular el valor actual de una renta prepagable de cuanta anual constante de 2 000 e diferida 3 aos y de 4 de duracin, si la valoracin se hace a un tipo de inters del 6 % 3/( V0)4 0,06 = 2 000 3, 673012 0, 839619 = 6 167, 86 o como diferencia de rentas siendo, 3/a4 0 ,06 = a7 0 ,06 a3 0 ,06 = 3, 083932 Juan Carlos Mira Navarro 44 / 57 Gestin Financiera. 5 > Rentas nancieras 97. Contenido Introduccin Concepto de renta Clasicacin de las rentas Valor capital o nanciero de una renta Renta inmediata, pospagable y temporal Renta inmediata, prepagable y temporal Rentas perpetuas Rentas diferidas en d perodos de rdito constante Rentas anticipadas en h perodos de rdito constante Determinacin de n e i en las rentas unitarias de rdito constante Gestin Financiera 1 Introduccin 2 Concepto de renta 3 Clasicacin de las rentas 4 Valor capital o nanciero de una renta 5 Renta inmediata, pospagable y temporal Valor actual Valor nal 6 Renta inmediata, prepagable y temporal Valor actual Valor nal 7 Rentas perpetuas Valor actual 8 Rentas diferidas en d perodos de rdito constante 9 Rentas anticipadas en h perodos de rdito constante 10 Determinacin de n e i en las rentas unitarias de rdito constante 11 Gestin Financiera Juan Carlos Mira Navarro 45 / 57 Gestin Financiera. 5 > Rentas nancieras 98. Contenido Introduccin Concepto de renta Clasicacin de las rentas Valor capital o nanciero de una renta Renta inmediata, pospagable y temporal Renta inmediata, prepagable y temporal Rentas perpetuas Rentas diferidas en d perodos de rdito constante Rentas anticipadas en h perodos de rdito constante Determinacin de n e i en las rentas unitarias de rdito constante Gestin Financiera En este caso, se trata de rentas valoradas en un momento que se encuentra h perodos posterior al nal de la renta. Si se trata de una renta anticipada y pospagable, el valor de la renta en = tn+h, representado por h/sn i viene dado por la expresin: h/sn i = n1 s=0 (1 + i)h+s = (1 + i)h n1 s=0 (1 + i)s = (1 + i)h sn i (13) Si se trata de una renta prepagable y anticipada, y que tiene como valor en = tn+h: h/sn i = n s=1 (1 + i)h+s = (1 + i)h n s=1 (1 + i)s = (1 + i)h sn i = (1 + i)h+1 sn i (14) Juan Carlos Mira Navarro 46 / 57 Gestin Financiera. 5 > Rentas nancieras 99. Contenido Introduccin Concepto de renta Clasicacin de las rentas Valor capital o nanciero de una renta Renta inmediata, pospagable y temporal Renta inmediata, prepagable y temporal Rentas perpetuas Rentas diferidas en d perodos de rdito constante Rentas anticipadas en h perodos de rdito constante Determinacin de n e i en las rentas unitarias de rdito constante Gestin Financiera Determinar el valor al nal de nueve aos de una renta pagadera por aos vencidos, de cuanta anual constante de 30 000 e de siete trminos, sabiendo que el rdito anual es del 6 % Juan Carlos Mira Navarro 47 / 57 Gestin Financiera. 5 > Rentas nancieras 100. Contenido Introduccin Concepto de renta Clasicacin de las rentas Valor capital o nanciero de una renta Renta inmediata, pospagable y temporal Renta inmediata, prepagable y temporal Rentas perpetuas Rentas diferidas en d perodos de rdito constante Rentas anticipadas en h perodos de rdito constante Determinacin de n e i en las rentas unitarias de rdito constante Gestin Financiera Determinar el valor al nal de nueve aos de una renta pagadera por aos vencidos, de cuanta anual constante de 30 000 e de siete trminos, sabiendo que el rdito anual es del 6 % 2/(Vn)7 0,06 = 30 000 (1 + 0, 06) 2 s7 0 ,06 = 282 939, 48 Juan Carlos Mira Navarro 47 / 57 Gestin Financiera. 5 > Rentas nancieras 101. Contenido Introduccin Concepto de renta Clasicacin de las rentas Valor capital o nanciero de una renta Renta inmediata, pospagable y temporal Renta inmediata, prepagable y temporal Rentas perpetuas Rentas diferidas en d perodos de rdito constante Rentas anticipadas en h perodos de rdito constante Determinacin de n e i en las rentas unitarias de rdito constante Gestin Financiera 1 Introduccin 2 Concepto de renta 3 Clasicacin de las rentas 4 Valor capital o nanciero de una renta 5 Renta inmediata, pospagable y temporal Valor actual Valor nal 6 Renta inmediata, prepagable y temporal Valor actual Valor nal 7 Rentas perpetuas Valor actual 8 Rentas diferidas en d perodos de rdito constante 9 Rentas anticipadas en h perodos de rdito constante 10 Determinacin de n e i en las rentas unitarias de rdito constante 11 Gestin Financiera Juan Carlos Mira Navarro 48 / 57 Gestin Financiera. 5 > Rentas nancieras 102. Contenido Introduccin Concepto de renta Clasicacin de las rentas Valor capital o nanciero de una renta Renta inmediata, pospagable y temporal Renta inmediata, prepagable y temporal Rentas perpetuas Rentas diferidas en d perodos de rdito constante Rentas anticipadas en h perodos de rdito constante Determinacin de n e i en las rentas unitarias de rdito constante Gestin Financiera La utilizacin generalizada de las rentas unitarias hace conveniente su estudio analtico de los valores nancieros principalmente inicial y nal como funcin de sus variables bsicas n e i. Estudio del valor actual como funcin de n La variable n se reere al nmero de trminos de la renta y por tanto, pertenece a los nmeros naturales, n N. La funcin de n, que representa an i , es: 1(n) = an i = n s=1 (1 + i)s = 1 (1 + i)n i Esta funcin es creciente cuanto mayor sea el nmero de trminos. Para n = 0 toma el valor 1(0) = 0, y est acotada por: lm n 1(n) = a i = 1 i Juan Carlos Mira Navarro 49 / 57 Gestin Financiera. 5 > Rentas nancieras 103. Contenido Introduccin Concepto de renta Clasicacin de las rentas Valor capital o nanciero de una renta Renta inmediata, pospagable y temporal Renta inmediata, prepagable y temporal Rentas perpetuas Rentas diferidas en d perodos de rdito constante Rentas anticipadas en h perodos de rdito constante Determinacin de n e i en las rentas unitarias de rdito constante Gestin Financiera Si ampliamos la funcin al campo real positivo haciendo n = x y x R, viendo la primera y segunda derivada podramos decir que la funcin es creciente y cncava tal como se muestra en el grco. 1 i 1(n) 1+i i 2(n) 0 n Figura: Estudio de n Juan Carlos Mira Navarro 50 / 57 Gestin Financiera. 5 > Rentas nancieras 104. Contenido Introduccin Concepto de renta Clasicacin de las rentas Valor capital o nanciero de una renta Renta inmediata, pospagable y temporal Renta inmediata, prepagable y temporal Rentas perpetuas Rentas diferidas en d perodos de rdito constante Rentas anticipadas en h perodos de rdito constante Determinacin de n e i en las rentas unitarias de rdito constante Gestin Financiera Determinar el nmero de aos de una renta cuyo valor actual es de 45 032 e, sus trminos pospagables de 4 000 e y el tipo de inters del 8 % Juan Carlos Mira Navarro 51 / 57 Gestin Financiera. 5 > Rentas nancieras 105. Contenido Introduccin Concepto de renta Clasicacin de las rentas Valor capital o nanciero de una renta Renta inmediata, pospagable y temporal Renta inmediata, prepagable y temporal Rentas perpetuas Rentas diferidas en d perodos de rdito constante Rentas anticipadas en h perodos de rdito constante Determinacin de n e i en las rentas unitarias de rdito constante Gestin Financiera Determinar el nmero de aos de una renta cuyo valor actual es de 45 032 e, sus trminos pospagables de 4 000 e y el tipo de inters del 8 % 45 032 = 4 000 an 0 ,08 45 032 4 000 = 1 (1 + 0, 08)n 0, 08 0, 900640 = 1 1 1, 08n 1 1, 08n = 1 0, 900640 1, 08 n = 1 0, 099360 n log 1, 08 = log 10, 064412 n = 30 Juan Carlos Mira Navarro 51 / 57 Gestin Financiera. 5 > Rentas nancieras 106. Contenido Introduccin Concepto de renta Clasicacin de las rentas Valor capital o nanciero de una renta Renta inmediata, pospagable y temporal Renta inmediata, prepagable y temporal Rentas perpetuas Rentas diferidas en d perodos de rdito constante Rentas anticipadas en h perodos de rdito constante Determinacin de n e i en las rentas unitarias de rdito constante Gestin Financiera Estudio del valor actual como funcin de i La determinacin del valor de n, se hara a travs de las tablas nancieras, interpolando en su caso, por tanteos o tomando logaritmos. El valor actual de una renta unitaria pospagable, es: 1(i) = an i = n s=1 (1 + i)s = 1 (1 + i)n i Obteniendo la primera y segunda derivada, 1(i) = n s=1 (s)(1 + i)(s+1) < 0 1(i) decreciente 1 (i) = n s=1 s(s + 1)(1 + i)(s+2) > 0 1(i) convexa Juan Carlos Mira Navarro 52 / 57 Gestin Financiera. 5 > Rentas nancieras 107. Contenido Introduccin Concepto de renta Clasicacin de las rentas Valor capital o nanciero de una renta Renta inmediata, pospagable y temporal Renta inmediata, prepagable y temporal Rentas perpetuas Rentas diferidas en d perodos de rdito constante Rentas anticipadas en h perodos de rdito constante Determinacin de n e i en las rentas unitarias de rdito constante Gestin Financiera los valores de 1(i) en los extremos, son: 1(0) = n y lm ix 1(i) = 0 Resumiendo, 1(i) es decreciente y convexa, corta al eje de ordenadas y en el punto (0, n) y tiene como asntota el eje positivo de x (abcisas). Si se trata de una renta prepagable, operando de la misma forma, veramos que se trata igualmente de una funcin decreciente y convexa en la que la asntota, sera: lm i 2(i) = lm i n1 s=0 (1 + i)s = 1 Juan Carlos Mira Navarro 53 / 57 Gestin Financiera. 5 > Rentas nancieras 108. Contenido Introduccin Concepto de renta Clasicacin de las rentas Valor capital o nanciero de una renta Renta inmediata, pospagable y temporal Renta inmediata, prepagable y temporal Rentas perpetuas Rentas diferidas en d perodos de rdito constante Rentas anticipadas en h perodos de rdito constante Determinacin de n e i en las rentas unitarias de rdito constante Gestin Financiera Su representacin grca, sera: n 2(i) = an i 1(i) = an i 1 0 i Figura: Estudio de i Juan Carlos Mira Navarro 54 / 57 Gestin Financiera. 5 > Rentas nancieras 109. Contenido Introduccin Concepto de renta Clasicacin de las rentas Valor capital o nanciero de una renta Renta inmediata, pospagable y temporal Renta inmediata, prepagable y temporal Rentas perpetuas Rentas diferidas en d perodos de rdito constante Rentas anticipadas en h perodos de rdito constante Determinacin de n e i en las rentas unitarias de rdito constante Gestin Financiera La obtencin del valor de i, se hara utilizando un mtodo de tanteo, o mediante el empleo de las tablas nancieras e interpolando en su caso. Juan Carlos Mira Navarro 55 / 57 Gestin Financiera. 5 > Rentas nancieras 110. Contenido Introduccin Concepto de renta Clasicacin de las rentas Valor capital o nanciero de una renta Renta inmediata, pospagable y temporal Renta inmediata, prepagable y temporal Rentas perpetuas Rentas diferidas en d perodos de rdito constante Rentas anticipadas en h perodos de rdito constante Determinacin de n e i en las rentas unitarias de rdito constante Gestin Financiera La obtencin del valor de i, se hara utilizando un mtodo de tanteo, o mediante el empleo de las tablas nancieras e interpolando en su caso. Al adquirir un vehculo por 24 000 e nos proponen pagar durante 6 aos una renta de 5 390 e anuales. A qu tipo de inters se ha realizado la operacin? Juan Carlos Mira Navarro 55 / 57 Gestin Financiera. 5 > Rentas nancieras 111. Contenido Introduccin Concepto de renta Clasicacin de las rentas Valor capital o nanciero de una renta Renta inmediata, pospagable y temporal Renta inmediata, prepagable y temporal Rentas perpetuas Rentas diferidas en d perodos de rdito constante Rentas anticipadas en h perodos de rdito constante Determinacin de n e i en las rentas unitarias de rdito constante Gestin Financiera La obtencin del valor de i, se hara utilizando un mtodo de tanteo, o mediante el empleo de las tablas nancieras e interpolando en su caso. Al adquirir un vehculo por 24 000 e nos proponen pagar durante 6 aos una renta de 5 390 e anuales. A qu tipo de inters se ha realizado la operacin? 24 000 = 5 390 a6 i a6 i = 24 000 5 390 = 4, 452690 Buscando los valores en las tablas, obtenemos: a6 0 ,09 = 4, 485919 a6 0 ,10 = 4, 355261 e interpolando, 4, 452690 4, 485919 4, 355261 4, 485919 = x 0, 09 0, 1 0, 09 0, 033229 0, 130658 = x 0, 09 0, 01 x = 0, 092543 = 9, 25 % Juan Carlos Mira Navarro 55 / 57 Gestin Financiera. 5 > Rentas nancieras 112. Contenido Introduccin Concepto de renta Clasicacin de las rentas Valor capital o nanciero de una renta Renta inmediata, pospagable y temporal Renta inmediata, prepagable y temporal Rentas perpetuas Rentas diferidas en d perodos de rdito constante Rentas anticipadas en h perodos de rdito constante Determinacin de n e i en las rentas unitarias de rdito constante Gestin Financiera 1 Introduccin 2 Concepto de renta 3 Clasicacin de las rentas 4 Valor capital o nanciero de una renta 5 Renta inmediata, pospagable y temporal Valor actual Valor nal 6 Renta inmediata, prepagable y temporal Valor actual Valor nal 7 Rentas perpetuas Valor actual 8 Rentas diferidas en d pe