R/ v η R/v ηR vη

ANÁLISIS DIMENSIONAL Una dimensión es la forma en que se puede expresar una magnitud fundamental, independientemente de su valor y de las unidades que se use para medirla.

Las expresiones dimensionales son representaciones de las ecuaciones físicas en las que las magnitudes se expresan en términos de sus dimensiones, independientemente de su valor y de las unidades que utiliza. En este texto en tenderemos el término dimensión como sinónimo de magnitud fundamental.

El análisis de las dimensiones de una ecuación física (análisis dimensional) permite evaluar si la ecuación es dimensionalmente correcta.. Las ecuaciones dimensionales también ayudan a deducir una expresión física a partir de resultados experimentales, por ejemplo, si se sabe por experiencia que la fuerza de resistencia al movimiento de una esfera dentro de un fluido depende de su radio R, de su velocidad v, y de la viscosidad η del fluido, se puede determinar a través del análisis dimensional si la expresión para calcular la fuerza resistiva es Se denota la dimensión de una magnitud con corchetes, por ejemplo, si a es aceleración, la notación [a] se lee "dimensión de a" y esta dimensión es LT-2. La aceleración está expresada en términos de la longitud y el tiempo (magnitudes fundamentales).

[ ] 2

2TL

T

La −==

Cantidad Física o Magnitud Unidad SI Símbolo Dimensión

Longitud metro m L

Masa kilogramo kg M

Tiempo segundo s T

Temperatura kelvin K θ

Intensidad de Corriente ampere A I

Intensidad Luminosa candela cd J

Cantidad de Sustancia mole mol N La tabla muestra las cantidades físicas fundamentales y sus dimensiones

La tabla mostrada a continuación muestra las dimensiones de algunas magnitudes físicas comunes:

Magnitud Fórmula Dimensión (*)

Área A 2L

Volumen V 3L

Velocidad media t/xvM ∆= 1LT −

Aceleración media t/vaM ∆∆= 2LT −

Fuerza a.mF = 2MLT −

Trabajo d.FW = 22TML −

Potencia t/WP ∆= 32TML −

Presión A/Fp = 21TML −−

Velocidad angular media t/M ∆∆= θω 1T −

Aceleración angular media t/M ∆∆= ωα 2T −

Cantidad de movimiento v.mp = 1MLT −

Carga eléctrica t.Iq ∆= IT

Diferencia de potencial eléctrico

q/WV =∆ 321 TMLI −−

Resistencia eléctrica I/VR ∆= 322 TMLI −−

Es más apropiado usar el término “expresión dimensional” en lugar de “dimensión”, para no confundirlo con otros conceptos como cuando se habla de espacio tridimensional por ejemplo.

Criterios del Análisis Dimensional .

• El criterio de homogeneidad nos dice que una ecuación es dimensionalmente correcta, si todos sus términos tienen las mismas dimensiones, por ejemplo, si la ecuación A + B = C – D es dimensionalmente correcta, entonces:

[A] = [B] = [C] = [D]

)(ln2 να )t(enocosB)t(senoAx ϖϖ +=

lo que se lee como: “la dimensión de A es igual a la dimensión de B e igual a la dimensión de C y D”, y se dice que la ecuación es “homogénea”.

• El análisis dimensional cumple las reglas del álgebra, a excepción de la suma y la resta, ya que al plantear que todos los términos de una ecuación tienen las mismas dimensiones, no tiene sentido sumarlas o restarlas, sólo igualar sus dimensiones. En todo caso podemos decir que la suma o resta de dos dimensiones iguales resulta siempre la misma dimensión, por ejemplo, la expresión:

[m] - [m] = [m] = M

muestra que la resta de dos masa es otra masa, y no cero como lo sugiere el álgebra común. Esto permite simplificar notablemente las ecuaciones dimensionales.

• Las constantes numéricas y los ángulos son adimensionales, lo mismo que las funciones trigonométricas, logaritmo, y exponencial, cuyos argumentos también deben ser adimensionales, por ejemplo:

[ ] *=π [ ] *)t(seno =ω → [ ] *t =ω [ ] *)8xln( =+ → [ ] *t8x =+

La dimensión de los términos adimensionales se denota convencionalmente con * y se le omite en el análisis dimensional, salvo el término adimensional se use como exponente, en cuyo caso se reemplaza por su valor numérico correspondiente.

� En las ecuaciones dimensionales se prefiere usar exponentes negativos para expresar la división, en lugar de la representación fraccionaria

Problema 1 .- ¿Cuales de las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas, en el orden en que son presentadas? 1. Si uno de los términos de una ecuación dimensionalmente correcta se

multiplica por zeα la ecuación deja de ser dimensionalmente correcta.

2. La expresión, dimensionalmente correcta, es adimensional. 3. En la ecuación, A y B tienen la misma

dimensión. a) FFF b) FVF c) VFV d) FVV e) FFV

Solución:

El término zeα es adimensional no importando que representen α y x, por tanto, multiplicar uno de los términos de una ecuación por este factor, no afecta sus dimensiones (F)

−= s

yg

0 epp

)cbxax(senoAZ 2 ++=

En una ecuación dimensional la función logaritmo y su argumento son adimensionales (V)

Por el principio de homogeneidad dimensional y teniendo en cuenta que las funciones trigonométricas son adimensionales, A y B deben tener las mismas dimensiones (V)

Problema 2 Si la siguiente expresión física es dimensionalmente homogénea, donde x se mide en metros y A en m/s, halle la dimensión de Za/bc. a) L-1 b) T -1 c) LT -1 d) L-1 T e) L-1 T -1

Solución:

x en m → [x]= L [ax2] = * → [a]= L-2

A en m/s → [A]= LT –1 [bx] = * → [b]= L-1

por homogeneidad [A] = [Z]= LT –1 [c] = *

Luego: [Za/bc]= (LT –1 L-2) / L-1 = T –1

Problema 3 Determine las dimensiones de α y β en la siguiente ecuación que es dimensionalmente correcta:

Donde x e y son desplazamientos y a es aceleración: a) L-1 y LT -1 b) L y LT c) LT y LT -1 d) L y LT -1 e) L y T -1

Solución:

x e y son desplazamientos → [x] = [y] = L a es aceleración → [a] = LT –2 por homogeneidad: → [y]= [α] = L También, eliminando los valores adimensionales 2 y )(cos 0

2 θ de la ecuación

dada: [y]= [ax2/β2] → (LT –2 L2) / [β2] = L → [β2] = L2 T –2 → [β]= L T -1

Problema 4 La ecuación es dimensionalmente correcta y corresponde a la variación de la presión atmosférica con la altura. Si g es la aceleración de la gravedad, determine la dimensión de p0 y de (s/y)2 a) ML-1T y LT -4 b) MLT -2 y L2 T 4 c) ML-1T -2 y L-2 T d) MLT y L2 T e) ML-1T -2 y L2 T -4

2

0

220 x)(cos2

a)(tan.y

−=

θβθα

ηπ vR6F =

Solución:

por homogeneidad: [P0] = [P] = M L-1 T –2

por otro lado [-g y/s] = * → [y/s] = [g] -1 = (L T –2) -1 = L-1 T 2

Luego: [s/y] 2 = (L1 T -2) 2 =L2 T –4

Problema 5 La fuerza resistiva sobre un glóbulo rojo (esférico), que se mueve en la sangre, depende de su radio R, de su velocidad v, y de la viscosidad η de la sangre. Experimentalmente se ha determinado que si R = 2 µm, v = 7.10–7 m/s, y η = 3.10 –3 kg/ms, la fuerza resistiva toma el valor de 252 π 10–16 N. Luego, la expresión para calcular la fuerza resistiva es: a) 6 π v η R b) 6 π v η / R c) v η / 6 π R d) v η R / 6 π e) v R / 6 η π

Solución:

si F es fuerza, un ensayo de su expresión en términos de las variables dadas es:

ηvRKF = donde K es una constante numérica adimensional.

usando análisis dimensional: M L T –2 = L (L T –1) (M / L T) = M L T –2

Luego, la expresión ensayada es dimensionalmente correcta, faltando sólo determinar el valor de la constante numérica. Para esto reemplazamos valores:

252 π x10 -16 N = K (2 x10 –6 m) ( 7x 10 –7 m/s) (3 x10 –3 kg/ms)

→ K = 252 π /42 → K = 6 π →