PIToProfesor: Ing. Civil. CHRISTIAN GILBERTO PLAZAS Presentado por: Adriana Luca .Fajardo E. alfajardoe@unal.edu.coadrianaluciaf@gmail.com Celular: 3004746704 TRABAJO: Anlisis Dimensional y Similitud Universidad Nacional de Colombia Facultad de Ingeniera Departamento de Ingeniera Civil y Agrcola Bogot 27 de MAYO, de 2012 ANLISIS DIMENSIONAL SIMILITUD:Es conocido que en Fsica las magnitudes tienen dimensiones. As decimos que [v]= L

y[F]=ML

.El concepto de dimensin se debe a Fourier que, en su obra Thorie analytique de lachaleur, dice: Es necesario hacer notar que cada magnitud, indeterminada o constante, tieneuna dimensin que le es propia, y que los trminos de una no podran ser comparados si no tuviesen el mismo exponente de dimensiones. Es decir, las ecuaciones deben de ser homogneas dimensionalmente hablando. Esta es la idea que subyace en el fondo de todo el Anlisis Dimensional y es lo que hemos odo alguna vez cuando nos dicen que no se pueden sumar peras conmanzanas; aunque esto no es estrictamente cierto, puesto que 3 peras y 2 manzanas son 5 frutas. Del concepto de magnitud, dimensin y homogeneidad de las ecuaciones fsicas se ocupa el llamado Anlisis Dimensional. El Anlisis Dimensional tiene aplicaciones en:1. Deteccin de errores de clculo.2. Resolucin de problemascuya solucin directa conlleva dificultades matemticas insalvables. Por ejemplo, Rayleigh, precursor del Anlisis Dimensional junto a Fourier, lo empleo por primera vez en Mecnica de Fluidos.3. Creacin y estudio de modelos reducidos. Por ejemplo, los tneles aerodinmico.4. Consideraciones sobre la influencia de posibles cambios en los modelos, tanto cambios reales como imaginarios. Qu es un parmetro adimensional?Si se considera la ecuacin de la viscosidad

cuya expresin dimensional equivalente es:

Ahora si agrupamos todas las variables implicadas en la ecuacin, en un solo miembro, por ejemplo en el segundo, se obtiene

La expresin dimensional resultante, de esta nueva expresin ser: []

[] Se ve que las variablesdu/ds, agrupadas en la forma indicada tienen una expresin dimensional equivalente es 1. Se dice en estos casos que el grupo es adimensional. Entonces se puede decir, en general, que un parmetro adimensional es un grupo de variables agrupadas de tal forma que su expresin dimensional ms simple es 1. Es decirque no tiene dimensiones. En la mecnica de los fluidos estos grupos adimensionales tienen, por lo general, unsignificado fsico. Naturaleza adimensional del flujo fluido El principio dehomogeneidad dimensionalestablece quecada termino -grupo de variables - de una ecuacin analtica que expresa un hecho fsico real,debe satisfacerse en cualquier sistema de unidades o lo que es lo mismo debe ser consistentedimensionalmente. As por ejemplo, la ecucion de Bernoulli:

(1) tiene la siguiente expresin dimensional para cada uno de sus trminos

Ahora si dividimos ambos miembros de la ecuacin (1) entre la presin, se tiene:

cuya expresin dimensional es:

Es decir que cada uno de los trminosgrupos de variables- de la ecuacin resultante (3), carecen de dimensiones, dicho de otro modo son adimensionales. De lo anterior podemos sacar dos conclusiones: Es posible generar, a partir del conjunto de variables implicadas en un fenmeno fsico dado, un conjunto de grupos adimensionales. Cuando se conoce la ecuacin analtica que relaciona las variables que intervienen en un fenmeno fsico dado, se pueden obtener parmetros adimensionales a partir de la misma. Pero Que pasa cuando no se conoce la relacin entre las variables que intervienen en el fenmeno fsico en cuestin? La respuesta a esta interrogante es: Es posible generar un conjunto de grupos adimensionales a partir de las variables del problema objeto de estudio, mediante un procedimiento llamado anlisis dimensional. Es posible mediante esta tcnica determinar la relacin entre estos grupos adimensionales? Como ya se mencion, el anlisis dimensional permite determinar solamente los gruposadimensionales que caracterizan el problema, ms no la relacin funcional entre estos. Paraello deber necesariamente planificarse un estudio experimental que complemente el anlisisdimensional inicial, en esta fase de planificacin el anlisis dimensional juega un rol importante. La complejidad fenomenolgica y geomtrica de la mayor parte de los procesos de flujo fluido hace que, frecuentemente, las ecuaciones analticas Integrales y diferenciales- que explican losprincipios que rigen el flujo fluido no sean suficientes para resolver con exactitud una situacin concreta de flujo fluido.Por ello la solucin de problemas reales depende tanto del anlisis as comode la informacin experimental disponible. Sin embargo, la realizacin de experimentos implica el empleo de tiempo y dinero, parmetros que aumentan en proporcin directa al nmero de ensayos a realizar. En este contexto la tcnica del anlisis dimensional que permite planificar el trabajo experimental de manera que se pueda obtener la mayor informacin posible con un menor nmero de experimentos y por ende a un menor costo ytiempo. La teora matemtica y los resultados experimentales han desarrollado soluciones prcticas de muchos problemas hidrulicos. En la actualidad numerosas estructuras hidrulicas se proyectan y construyen solo despus de haber efectuado un amplio estudio sobre modelos. La aplicacin del anlisis dimensional y de la semejanza hidrulica permite al ingeniero organizar y simplificar las experiencias: as como el anlisis de los resultados obtenidos. El anlisis dimensional trata de las relaciones matemticas de las dimensiones de las magnitudes fsicas y constituye otra herramienta muy til de la moderna mecnica de los fluidos. En toda ecuacin que exprese una relacin fsica entre magnitudes debe verificarse la igualdad al sustituir las magnitudes por sus valores numricos y tambin por sus dimensiones. En general, todas las relaciones fsicas puede reducirse a una relacin entre las magnitudes fundamentales, fuerza F, longitud L y tiempo T (o bien la masa M, longitud L y tiempo T). Entre las aplicaciones se incluyen (1) conversin de un sistema d unidades en otro, (2) desarrollo de ecuaciones, (3) reduccin del nmero de variables requeridas en u programa experimental y (4) establecimiento de los principios para el diseo de modelos. El teorema de Pi de Buckingham Existe un nmero de grupos adimensionales independientes fijo para un problema dado, y es,generalmente aunque no siempre, igual a la diferenciaentre el nmero total de variables menos el nmero de dimensiones fundamentales. Esta forma de determinar el nmero de grupos adimensionales se conoce con el nombre de teorema de pi, y establece que:El nmero de grupos adimensionales que se utilizan para describir una situacin fsica real que involucre a n variables es igual a nj,donde j es el nmero de dimensiones fundamentales.Es decir: i = nmero de parmetros adimensionales independientes n = nmero de variables implicadas en el problema j = nmero de dimensiones fundamentales (rango de la matriz dimensional Cmo agrupar las variables de proceso en grupos adimensionales? Un conjunto bsico de grupos Pi debe escogerse de tal manera que sean independientes. Pues aunque existe un nmero fijo de parmetros para cada problema, se pueden obtener otros mediante la combinacin de losya establecidos claro que, por ello mismo no son independientes. Mtodo de Buckingham Estos grupos se pueden obtener de varias maneras, se exponen aqu dos mtodos para agrupar las variables en grupos adimensionales: Independientemente de mtodo a utilizar es una buena prctica elaborar un listado de las variables significativas implicadas en el problema objeto de estudio, y su expresin dimensional equivalente. Luego es conveniente, aunque no imprescindible, determinar el nmero de parmetrosadimensionales independientes en los quese pueden agrupar estas variables, utilizando el teorema de pi. En base a lo anterior se generan los grupos adimensionales utilizando cualquiera de los siguientes procedimientos. i. Mtodo algebraico. ii. Mtodo cociente dimensional. En el siguiente ejemplo se explica la aplicacin del procedimiento anterior. Aplicaciones del teorema de pi. Elteoremapi,lonicoquenosdiceeselnmeromnimodegruposadimensionales.Paralaconstruccin completa de un sistema de grupos adimensionales, se debe seguir con el siguiente mtodo: 1)Escribirunarelacinfuncionalparalarelacindimensionalqueseinvestiga,asegurndosedeincluir todos los parmetros dimensionales relevantes. As podemos escribir la prdida de altura por friccin (Hfriccin) en una tubera recta de seccin circular, que depende de: ( ) c , , ; , , v D L f Hfriccin =Donde c es la rugosidad absoluta de la tubera (dimensin longitud). 2)Determinar el nmero de parmetros adimensionales que se requieren construir. Para ello cada variable la expresamos dimensionalmente: Hfriccin = L L=L D=L V=L/T =M/L3 =M/(L*T) c=L En donde tenemos 7 variables (n) y 3 dimensiones (k). Por tanto el nmero de grupos adimensionales que tendremos segn el teorema de pi es de: n k = 7 3 = 4 grupos adimensionales. 3)Clculo de los grupos adimensionales. La relacin funcional se expresa dimensionalmente, elevando las variables dependientes a coeficientes: [L] = f ([L]a, [L]b, [L*T-1]c, [M*L-3]d, [M*L-1*T-1]e, [L]f) Comodebeserunaecuacindimensionalmentehomognea,elladoizquierdodelaigualdadtieneque tener la misma dimensin que el lado derecho de la igualdad, por tanto se cumple: [L] 1 = a + b + c 3d e + f [T] 0 = - c e [M] 0 = d + e Nosproduceunsistemade3ecuacionescon6incgnitas,porloqueseescogentresvariables(que queramos que se repitan en los diferentes grupos adimensionales), y se ponen en funcin de las dems. En este caso escogeremos la densidad (d), la velocidad (c) y el dimetro (f): d = - e c = - e 1 = a + b e 3*(- e) e + f 1 = a + b + e + f f = 1 a b e Sustituyendo en la misma relacin: [L] = f ([L]a, [L]b, [L*T-1]-e, [M*L-3]-e, [M*L-1*T-1]e, [L]1-a-b-e) y agrupando las potencias se obtiene: ||.|

\|=DLD v DfDHfriccin, ,* *c Conloquehemosobtenidocuatrogruposadimensionales,talescomohabamosdeducidoporla aplicacin del teorema de pi. Ejemplo 1 Determinar los grupos adimensionales formados con las variables involucradas en el flujo de un fluido sobre un cuerpo slido de forma esfrica. Se sabe que la fuerza ejercida sobre el cuerpo es una funcin de la velocidad media de flujo v, densidad del fluido V, viscosidad del fluido y dimetro del cuerpo esfricoD. Resolucin Lista de variables y sus dimensiones No.VariableSmboloDimensiones 1FuerzaF

2VelocidadV

3Densidad

4viscosidad

5DimetroDL Dimensiones fundamentales usadas en la definicin dimensional de las variables del problema No.SmboloDimensiones 1LLongitud 2MMasa 3Tiempo Numero de grupos adimensionales I=5-3=2 a)Determinacin algebraica. La variable objeto de estudio F, puede ser expresada como funcin exponecial de las cuatro restantes. As: F =

a (1) Cuya expresin dimensional es

(

) (2)

(

) Igualando los exponentes de M, L yu en ambos miembros de esta expresin se tiene elsiguiente sistema de ecuaciones: 1 = a + b 1 = -3a - b + c + d -2 = -b d Resolviendo para a,d,c, se tiene a = 1 - bd = 2- bc = 2- b sustituyendo estos valores en (1) y reagrupando: F =

F =(

)

=(

)

(3) Los parmetros adimensionales se obtiene de esta ltima expresin:

y

Parmetros adimensionales importantes del flujo fluido. En la mecnica de fluidos los parmetros adimensionales se definen exactamente y a cada unode ellos se les da un nombre. Hay grupos adimensionales que se presentan en casi todos losproblemas de flujo fluido y tienen significado fsico, por lo que son ordinariamente estudiadospara caracterizar el flujo. Las siguientes variables son relevantes en los procesos de flujo fluido: No.VariableSmboloDimensiones 1FuerzaF

2VelocidadV

3Densidad

4viscosidad

5Velocidad del sonidoc

6Longitud LL 7Aceleracin de la gravedad g

8Tensin superficial

9Variacin de la presin

No . Tomando como base estas variables se forman los siguientes parmetrosadimensionales, importantes en la mecnica de fluidos: Grupo adimensionalDesignacinExpresin Nmero de Reynolds ReRe

Nmero de FroudeFr

Nmero de EulerEu

Nmero de MachM

Nmero de WeberWe

En todos los problemas relacionados con la Mecnica de Fluidos, aparece siempre un nmero determinado de grupos adimensionales. Veamos cuales son, y por qu son estos y no otros. As,anivelgeneral,sabemosquelasumadefuerzasqueactansobreunfluido,puedeprovocaruna aceleracin del mismo: a m F* = Esta fuerza de inercia se puede expresar como: 2 2* * * L v a m = Las fuerzas que componen el sumatorio de fuerzas, son las msicas y las superficiales, y pueden ser: a)Fuerzas msicas: 1)Fuerzas debido a la gravedad: g L Fm* *3 =b)Fuerzas superficiales: 1)Fuerzas normales o de presin: p L FpA = *2 2)Fuerzas tangenciales o de friccin debido a la viscosidad: v L Ffriccin* * =3)Fuerzas tangenciales debido a la tensin superficial: oo* L F =4)Fuerzas normales debido a la compresibilidad: kk*2L F = Sumando todas las fuerzas e igualando a las de inercia, obtenemos: 2 2 2 2 3* * * * * * * * * L v L L v L p L g L k o = + + + A +Esta es una expresin que relaciona 8 magnitudes fsicas: ( ) 0 , , , , , , , = A o k v g p l fComointervienen3magnitudesbsicas(masa,longitudytiempo),sehandeobtener5grupos adimensionales: Dividiendo la ecuacin del F por las fuerzas de inercia, obtendremos: 1* * * **2 2 2 2= + +A+v v L vpvg L k Estoscinconmerosadimensionales,engeneral,selesdaotraformayselesasignaunosnombres particulares: -Nmero de Reynolds. u * * *Rel v l= = ;eselcocienteentrelasfuerzasdeinerciaylasdefriccinproducidasporla viscosidad. -Nmero de Euler. -Nmero de Froude. g lvFr*=; es la raz cuadrada del cociente entre las fuerzas de inercia y las de gravedad. -Nmero de Mach. kvMa = ;esla razcuadradadelcocienteentrelas fuerzasdeinerciaylasdeelasticidad.Siendokla velocidad del sonido en el fluido en cuestin. -Nmero de Weber. lvWe* o= ;eslarazcuadradadelcocienteentrelasfuerzasdeinerciaylasdebidasalatensin superficial. pvEuA=* 2; representa la raz cuadrada del cociente entre las fuerzas de inercia y las de presin. -NUMERO DE PRANDTL Y NMERO DE SCHMIDT. Pr y Sh comparan propiedades del fluido. Pr compara la Difusividad de momentum con respecto a la difusividad de calor, y Sh compra la difusividad de momentum con respecto a la difusividad de masa. Mientras que son nmeros importantes para el diseo de procesos de flujo y transporte, su importancia en corrientes naturales es pequea en comparacin con otros agentes de transporte. Todos los nmeros anteriores son fundamentales para cualquier problema de transporte de calor o de masa. Los dos nmeros siguientes describen procesos que no son necesariamente universales. -Nmero de Grashof. Gr compara las intensidades relativas de conveccin en campos de transporte. Originalmente aplicado a la conveccin natural debida a campos de temperatura o densidad inestable, su uso se ha vuelto ms amplio en el anlisis de todos aquellos flujos con grandes gradientes espaciales de densidad. -Nmero de Damkohler. DN simplemente contrasta la intensidad de la transformacin qumica o biolgica con respecto a un cambio en la concentracin de masa ocasionado por adveccin. Su uso se ha extendido al diseo de procesos industriales pero ha tenido poco reconocimiento en anlisis de transporte ambiental. SIMILITUD En el diseo y prueba de equipos relacionados con el flujo de fluidos se suele construirmodelos a escala de laboratorio, geomtricamente similares a los prototipos. Los datosexperimentales obtenidos con estos modelos se aplican al diseo de los prototipos de tamaoreal en funcin de requisitos de similaridad geomtrica, cinemtica y dinmica.Consideremos cualquier problema de flujo fluido, por ejemplo, el flujo sobre un objeto esfrico.Las propiedades y configuracin del flujo estndeterminadas por la forma geomtrica delobjeto y las propiedades pertinentes del fluido. Se dice entonces que dos flujos son similares sison geomtricamente similares y si todos los parmetros adimensionales correspondientes sonlos mismos para los dos flujos. Consideremos ahora un modelo y un prototipo.Cmo podemos relacionar las medidas hechas en el modelo con el prototipo? La respuesta es: haciendo que sean geomtricamente semejantes y que los parmetros adimensionales sean los mismos. El significado de flujo semejante y correlacin entre modelo y prototipo se puede entender considerando la forma adimensional de las ecuaciones gobernantes. Es claro que si todas las ecuaciones diferenciales correspondientes se hacen adimensionales, el tamao del objeto no entra en consideracin si la forma es geomtricamente semejante. Sin embargo los parmetrosadimensionales deben ser necesariamente iguales en ambos casos. Estos parmetros dependen de las propiedades del fluido y de una dimensin fsica caracterstica del objeto. Por tanto, las ecuaciones diferenciales descritas son idnticas para el modelo y prototipo. Se pueden hacer entonces medidas de cualquier variableadimensional del modelo y esta tendr el mismo valor para el prototipo y al convertir a la forma dimensional los datos tomados en el modelo pueden ser relacionados directamente con el prototipo. Se puede decir entonces: dos flujos son similares si los parmetros y variables adimensionales son los mismos sin importar el tamao de la configuracin geomtrica del flujo, si se mantiene una semejanza geomtrica. MODELOS HIDRAULICOS Los modelos hidrulicos, en general, pueden ser o bien modelos verdaderos o modelos distorsionados. Los modelos verdaderos tienen todas las caractersticas significativas del prototipo reproducidas a escala (semejanza geomtrica) y satisfacen todas las restricciones de diseo (semejanza cinem tica y dinmica). El estudio comparativo entre modelo y prototipo ha mostrado con evidencia que L correspondencia de comportamiento es frecuentemente buena, fuera de las limitaciones esperada~ como lo atestigua el correcto funcionamiento de muchas estructuras diseadas a partir de ensayos sobr modelos.Semejanzas de modelos. Muchasveces,conlaexperimentacin;envezdeexaminarunfenmenofsico,queocurreenunobjeto particularoenunconjuntodeobjetos,nosinteresaestudiarunconjuntodefenmenos,sobreunobjetoo conjunto de objetos. Por ejemplo, se quiere predecir el campo de presiones en un pilar de un puente que est sobre un ro. Para ello tenemos dos opciones: a)Construirlo a escala 1:1, y medir directamente las presiones. Si la resistencia es adecuada dejarlo, y si no, destruirlo y volverlo a construir adecuadamente. b)Construirunmodeloaescala,porejemplo1:60,yrealizarpruebasenunlaboratoriodehidrulica,y extrapolar los resultados para construir un pilar adecuado. Como es obvio la opcin a) es inviable y tendremos que recurrir a la opcin b). Paraellodeberemosrelacionarelmodeloaescalaconelprototiporeal,dealgunamanera;parapoder predecirelcomportamientodesteapartirdelosresultadosobtenidosexperimentalmenteenelmodeloa escala. Por ello debemos hablar de las leyes de semejanza. Leyes de semejanza. Para poder extrapolar los resultados, previamente se han de cumplir: a)El modelo ha de ser geomtricamente igual que el prototipo. Portanto,laslongitudesL,superficiesAyvolmenesVdebenserhomlogosentreelprototipoyel modelo, y han de verificar la siguiente relacin: 3 2; ; = = =VmVpAmApLmLp Siendo la escala del prototipo en relacin al modelo. b)El modelo ha de ser dinmicamente semejante al prototipo. Para quelos fenmenosenel modeloyenelprototiposeancomparablesnobasta quelos modelosde estructuras o mquinas hidrulicas sean geomtricamente semejantes a los prototipos, sino que tambin losflujos,osealaslneasdecorriente,handesersemejantes.Paraelloesnecesarioquelas velocidades,aceleraciones,yfuerzasseansemejantes.Cuandosecumplelasemejanzageomtricay dinmica se dice que el modelo tiene semejanza cinemtica con el prototipo. Porlotantoparaunasemejanzacompleta,supuestalaintervencindetodaslasfuerzassealadas anteriormente, se debera cumplir: Eup = Eum; Frp = Frm; Map = Mam; Rep = Rem; Wep = Wem Esta condicin slo se cumple cuando el modelo y el prototipo tienen el mismo tamao. Afortunadamente, en un buen nmero de casos puede prescindirse de la influencia de tres de las fuerzas y consecuentemente, de sus tres adimensionales correspondientes. SEMEJANZA GEOMETRICA Entre el modelo y el prototipo existe semejanza geomtrica cuando las relaciones entre todas las dimensiones correspondientes u homlogas en modelo y prototipo son iguales. Tales relaciones puede escribirse:

SEMEJANZA CINEMTICA Entre modelo y prototipo existe semejanza cinemtica si (1) las trayectorias de las partculas mviles homlogas son geomtricamente semejantes y (2) las relaciones entre las velocidades de las partculas homlogas son iguales. A continuacin se dan las siguientes relaciones tiles: Velocidad:

Aceleracin:

Caudal:

SEMEJANZA DINAMICA Entre dos sistemas semejantes geomtricos y cinemticamente existe semejanza dinmica si las relaciones entre las fuerzas homlogas en modelo y prototipo son las mismas. Las condiciones requeridas para la semejanza completa se obtienen a partir del segundo principio del movimiento de Newton

Las fuerzas que actan pueden ser cualquiera de las siguientes, o una combinacin de las mismas: fuerzas viscosas, fuerzas debidas a la presin, fuerzas gravitatorias, fuerzas debidas a la tensin superficial y fuerzas elsticas. Entre modelo y prototipo se desarrolla la siguiente relacin de fuerzas:

LA RELACION ENTRE LAS FUERZAS DE INERCIA se desarrolla en la siguiente forma:

(

)

Esta ecuacin expresa la ley general de la semejanza dinmica entre modelo y prototipo y se la conoce con el nombre de ecuacin newtoniana. RELACION DE LAS FUERZAS DE INERCIA A LAS DE PRESION (nmero de Eu/er). Vienedada por (utilizando T = L/V)

RELACION DE LAS FUERZAS DE INERCIA A LAS VISCOSAS (nmero de Reyno/ds). Se obtiene a partir de

RELACION DE LAS FUERZAS DE INERCIA A LAS GRAVITATORIAS. Se obtiene de

La raz cuadrada de esta relacin,

se llama nmero de Fraude. RELACION DE LAS FUERZAS DE INERCIA A LAS ELASTICAS (nmero de Cauchy). Se obtiene a partir de

La raz cuadrada de esta relacin,

se llama nmero de MAch En la mayora de los problemas de flujos de fluidos son fuerzas predominantes las de la gravedad, viscosidad y/o elasticidad, pero no necesariamente de forma simultnea. Trataremos nicamente los casos en que una sola fuerza predominante influye sobre la configuracin del flujo, mientras que el resto de las fuerzas producen efectos despreciables o que se compensan. Si son varias las fuerzas que simultneamente influyen en las condiciones del flujo, el problema se complica en exceso. . RELACION DE TIEMPOS Las relaciones de tiempos establecidas para configuraciones del flujo gobernadas esencialmente por la viscosidad, o por la gravedad, o por la tensin superficial, o bien por la elasticidad, son, respectivamente,

FLUJOS CONFINADOS, FLUJOS CON REYNOLDS ELEVADOS, FLUJOS COMPRESIBLESEl tema del flujo en tuberas su relevancia radica en dos factores: primero est el aspecto prctico evidente de queelflujoentuberassepresentaenlamayorpartedeaparatosysistemasy,porconsiguiente,debeser entendido por los ingenieros; el segundo factor es tal vez menos obvio y proviene del hecho de que una gran cantidaddeinformacintilymuchosconceptosdelflujoentuberaspuedenaplicarseenotrosestudiosde fluidos,el ms apropiadodelos cualesesla teorade capalmite.De hecho,los diferentesconceptosentre flujo en tuberas y flujo en la capa lmite son tan similares que hay que estarmuy cuidadoso. Despus de examinar ciertas diferencias fundamentales entre flujos laminares y turbulentos, mediante la revision del experimento clsico de Reynolds, se consider el flujo laminar en una tubera cuando R I 2,300. Se utiliz la ley de viscosidad de Newton para el flujo laminar; ntese que sta slo es vlida para flujo paralelo como el que se encuentra en tuberas rectas. En flujos ms generales debe utilizarse la ley de viscosidad general, de la cual la ley de viscosidad de Newton es un caso especial. Esto se har en el siguiente captulo cuando se estudie la ley de viscosidad de Srukes; al utilizar esta ley junto con las leyes del movimiento de Newton, se deducirn las conocidas ecuaciones de Navier-Stokes; y a partir de ellas puede resolverse el flujo laminar . En el caso de una tubera, a mayor nmero de Reynolds ms delgada es la subcapa debido a que nmeros de Reynolds elevados inducen fluctuaciones de velocidad ms fuertes y, en consecuencia, una mayor penetracin de la turbulencia hacia la frontera. En la zona de tubera lisa de cualquier curva del diagrama anterior, el espesor de su capa es lo suficientemente grande para exceder e, la altura promedio de la arena. Ya se haba observado que la rugosidad no tena ningn efecto sobre la prdida de altura para flujo laminar. Debido a que la regin del flujo para la cual se encuentran expuestas las partculas de arena es viscosa en lugar de turbulenta, es claro que todas las curvas de friccin de la zona de tubera lisa deben coincidir. Para nmeros de Reynolds ms elevados, el espesor de la subcapa disminuye hasta exponer los granos de arena al flujo turbulento por fuera de la subcapa viscosa. Naturalmente, las tuberas con mayor rugosidad alcanzan esta situacin con nmeros de Reynolds menores. Una vez que se ha alcanzado la zona de tubera rugosa, una gran parte de la superficie rugosa se encuentra expuesta al flujo turbulento por encima de la subcapa. En esta regin predominan velocidades mayores. En estos trminos se estableci la ecuacin analtica para flujo laminar, la cual describe el perfil de velocidad y result ser una superficie paraboloide de revolucin. Acontinuacinseconsideraturbulentoentuberias.Seexpliccmolaturbulenciaoriginaelllamado esfuerzo aparente ascomo el transporte de molculas causabaelesfuerzoviscoso.Seindic que cercade unafronteraslidadominanlosesfuerzosviscososyhaciaafueradelafronteradominanlosesfuerzos aparentes con una regin de traslapo en la cual tanto los efectos viscosos como los efectos de turbulencia son importantes. Luego se delinearon tres zonas de flujo en tuberas, las cuales son: zona de tuberialisa, zona de tubera rugosa y zona de transicin. La prdida de altura para flujo turbulento completamente desarrollado requiere datos experimentales en la forma del diagrama de Moody o en algunas ecuaciones para el factor de friccin f encontradas al ajustar curvas a los datos experimentales. Para el perfil de velocidades se present la ley de Za potenciaunsptimodeducidamedianteelajustedecurvasyrestringidaaunflujoconnmerosde Reynolds bajos, es decir, menores que 3 x 106. Luego se llev a cabo la solucin de una gran variedad de problemas en tuberas. ConayudadelashiptesisdelongituddemezcladePrundtly/odelanlisisdimensional,juntocon algunos datos experimentales, pudo llegarse a los perfiles de velocidad para flujos turbulentos con numerous deReynoldselevados(mayoresque3x106)paratuberaslisasyrugosas.Enesteltimocasohubo necesidad de considerar las tres zonas de flujo antes mencionadas.Numeros de Reynolds elevados: Se han establecido los perfiles de velocidad en tuberas con flujos de nmeros de Reynolds elevados, tanto para tuberas lisas como para tuberas rugosas. En todas las ecuaciones est presente el esfuerzo G que, con propsitos generales, puede considerarse como la friccin en la pared zV Adems, en los casos de tubera rugosa se tiene el factor de rugosidad e, que debe determinarse junto con ZJ, para calcular los perfiles de velocidad. El factor e se encuentra fcilmente para tuberas estndar consultando el diagrama de Moody dy. Luego se encuentra el factor de friccin f utilizando las curvas de Moody o las diferentes ecuaciones para el factor de friccin . Flujos Compresibles: Cuando la prdida de presin del fluido en el sistema es suficiente para determinar una variacin de su densidad superior al 10%, el flujo deber ser considerado como compresible, tenindose muy en cuenta las variaciones de la densidad y de la velocidad del gas durante el mismo. El flujo compresible siempre hace referencia a flujo de GASES, por lo que cuando se aborde los sistemas de circulacin de gases, siempre hay que considerar que la densidad, y por tanto la velocidad, vara a lo largo de la conduccin. Conclusiones Cabe destacar que este tema es bastante terico y que bsicamente el objetivo de este es el de proporcionar las dimensiones y cantidades fsicas utilizadas en mecnica de fluidos, por lo tanto fue muy conveniente la realizacin de este trabajo de investigacin Bibliografa [1] Duarte C.A. 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